• No results found

Signaler - Information

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Signaler - Information"

Copied!
61
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Litteratur . . . . 50

Noter . . . . 38

Tid-frekvens analys . . . . 36

Lite informationsteori . . . . 29

Heisenberg-relationen . . . .27

Reflexion och transmission . . . . 25

Telegrafekvationen . . . .20

Organisk signalbehandlare i realtid - örat . . . . 14

Simulering av brus . . . . 10

Wiener-filter . . . . 9

Accelerometern som vinkelmätare . . . . 2

Inledning . . . . 2

Signaler - Information ( F G B o r g ) . . . 2

(2)

“I don’t know anything, but I do know that everything is interesting

if you go into it deeply enough.”

Richard Feynman

Signaler - Information

Inledning

En diskrettid signal är en räcka reella (eller komplexa) värden xn, n Î Z. En kontinuerligtid signal är en reellvärd (eller komplexvärd) funktion x(t) av tiden t Î R. En temperaturlogg som

registrerar temperaturen vid regelbundna tidsintervaller ger ett exempel på en signal. Tekniken och fysiken kan till stora delar sägas handla om signaler; deras alstring, behandling och tolkning.

Typiska signalproblem i tekniken gäller komprimering och denoising av signaler.

Huvudproblemen kan sägas vara att omvandla en signal i en annan (t ex syntetisera tal från en text) eller att urskilja en signal bland “bakgrundsbrus”. Ett antal matematiska metoder har utvecklats för att handskas med dylika problem. Grunden för dessa metoder är Fourier-analys.

Som början illustreras användningen av (diskret) Fourier-analys med ett exempel där en accelerometer nyttjas som vinkelmätare (inclinometer).

Accelerometern som vinkelmätare

En elektronisk kondensatortyp accelerometer ger en utgångsspänning som med god noggrannhet är proportionell till accelerationen i dess längdaxels riktning. Denna egenskap gör att den kan användas som vinkelmätare i tyngdkraftsfältet. Utgångsspänningen V blir

(1) V= a cos(h) + b

där a och b betecknar kalibreringskonstanter, och q vinkeln mellan längdaxeln och tyngdkrafts- riktningen (den vertikala riktningen). I vårt fall var accelerometern fäst i en vridbar arm vars vridvinkel q (i det vertikala planet) man önskade kontinuerligt mäta med en tidsresolution på minst 5 ms. Problemet är att accelerometern fungerar också som en känslig “seismometer”; den registrar också vibrationer som t ex då vridarmen slår i ändläget. Typiska rörelser som skulle mätas var rörelser åter och fram hos vridarmen med en frekvens av storleksordningen 2 Hz.

Eftersom “störningarna” kan väntas ha betydligt högre frekvens är det naturligt att försöka

“filtrera” signalen genom att bortlämna alla komponenter över en viss frekvens fc (cut-off frequency). I princip, ifall signalen kan representeras som [1]

(3) x(t) =

5

ckei2ofkt

(3)

blir den filtrerade signalen (low-pass filter, le filtre passe-bas)

(4)

xc(t) = f

5

k [fc

ckei2ofkt

Antag alltså att vi samplar signalen med frekvensen f (antal/sek) med regelbundna

tidsintervaller D t = 1/ f. För en total mättid T erhåller vi N = f T antal värden xn, n = 0, ... , N - 1, som vi kan representera på formen

(5) xn=N-1k=0

5

ckei2oknN

där koefficienterna ck omvänt bestäms genom

(6) ck = 1N N-1n=0

5

xne-i2onNk

eftersom

(7) N-1k=0

5

e-i2okm-nN = N $ dn,m .

Jämför vi (5) och (3) ser vi att frekvenserna fk är givna genom (tiden t = n Dt )

(8)

fk = k N$ Dt = k

T = k N $f med f= 1Dt

I vårt experiment var samplingsfrekvensen f ca 1400 Hz och för N valde vi N = 1024 (en exponent av 2 för att matcha FFT-algoritmen). Low-pass filtreringen (4) modifierades enligt följande standardmetod:

A. Först “avtrendar” vi datan så att start- och slutvärdena sammanfaller:

x@ y = x - xN-1- x0

(4)

(10) ck = 1N N-1n=0

5

yne-i2onNk

C. Därefter utför vi själva filtreringen genom att definiera nya Fourier-koefficienter dk genom

(11) dk = ck$ H(fk)

där H är “transferfunktionen” (motsvarar kvadraten av en Butterworth-filter HB av fjärde ordningen, eller konvolutionen h = hB* hB av dito responsfunktion)

(12)

H(f) = 1 1+ æèffcöø

8

vilken uppenbarligen undertrycker komponenterna med frekvenser f > fc. D. Nästa steg är beräkna den omvända transformationen

(13) ync =N-1k=0

5

dkei2okNn

E. Från denna erhåller vi slutligen den filtrerade signalen xc genom att reversera avtrendningen i A:

(14) xnc = ync + xN-1- x0 . N- 1 n

Avtrendningen av datan gör att vi får en periodisk funktion y som beter sig bättre under Fourier-transformationen. Likaså används en “avrundad” avklippning i steg C för att stävja uppkomsten av högfrekventa komponenter (“ringing”) [2]. --

I vårt fall var vi också intresserade av att beräkna vinkelhastigheten. Deriverar vi (3) visavi tiden ser vi att hastighetsfunktionens Fourier-koefficienter ges som i 2p fk ck. Hastigheten beräknad med hjälp av filtrerad data blir därför

(15) æ

èdxc dt ö

øn =N-1k=0

5

dk$ i2o kNf$ ei2okNn + xN-1 - x0

N- 1 f

(5)

I de numeriska beräkningarna används en Fast Fourier Transformations-algoritm (FFT, efter Cooley och Tukey, 1965 [3]) som radikalt minskar beräkningstiden för transformationer av typen (5) och (6) ovan.

0 100 200 300 400 500 600 700 800

0 50 100 150 200

Fig. 1. Filtrerad vinkeldata och rådata.

Figur 1 visar effekten av filtrering med fc = 10 Hz. Som kontroll användes också en optisk skiva (optic encoder) för att mäta vinkeln. Vinkelhastigheten beräknad både på basen av filtrerad accelerometerdata och utjämnad data från den optiska skivan ges i figur 2.

0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3

0 200 400 600

Smoothed encoder Smoothed accel.

Fig. 2. Vinkelhastigheten beräknad på basen av filtrerad accelerometerdata och data från den optiska skivan

(6)

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 0

15 30 45 60 75 90 105 120 135 150

Raw accel.

Smoothed accel.

Smoothed encoder

Fig. 3. Vinkeldata för samma test som i fig. 3.

Figur 4 visar ett typiskt “spektrum” för den ofiltrerade vinkeldatan. Spektrumet består av kvadraten på signalens Fourier-koefficienter avbildad som funktion av frekvensen.

Vi har beskrivit “digital” filtrering [4]. Ofta filtreras signalerna analogt. En generisk lågpass RC-filter visas i fig. 5 bestående av ett motstånd R och en kondensator C. Ifall in-signalen (input, signaux d’entrée) Uin är en ren harmonisk signal (w = 2pf ),

(16)

Uin = a eizt daâ a¨r ut-signalenocksaâ en harmonisk signa Uout= b eizt da¨r

b= a

1+ izRC

vilket motsvarar en fasförskjutning a i ut-signalen (output, signaux de sortie) given genom

(17) tana = -zRC

Vi ser att (16) svarar mot en betydligt “tamare” avklippning än (12) med avklippningsfrekvensen (cut-off) fc,

(18) fc = 1 2oRC

I vårt fall var det fasförskjutningen som orsakade problem i.o.m. att den filtrerade signalen tidsfördröjs. Eftersom vi ville jämföra vinkelvärden (vinkelhastighet) med en samtidigt samplad kraftsignal var en sådan deformation av signalen oönskvärd och vi valde att filtrera signalen digitalt istället.

(7)

0 20 40 60 80 0

1 2 3

Frequency (Hz)

Fig. 4. Del av “spektrum” för rå vinkeldata.

|ck|2 avbildad på den vertikala axeln.

Tidsfördröjningen visas tydligt av fig. 6. Fördröjningar av detta slag kan också beräknas från mätdata genom att använda korrelations-funktioner av typen

(19) f(t) =

°

0

TUin&(t)Uout(t - t)dt

Genom att bestämma tiden t för vilken | f (t) | är maximum erhåller man en typisk

tidsfördröjning t (som är relaterad till fasförskjutningen a genom a = w t för en sinusvåg med vågtalet w ).

R

Uin C Uout

Fig. 5. Lågpass RC-filter.

(8)

500 600 700 800 900 1000 1100 0.004

0.002 0

opt.

acc.

time (ms)

Fig. 6. Grafen visar tidsförskjutningen mellan signalen från den optiska skivan och den elektroniskt filtrerade

signalen från accelerometern (försedd med en 64 nF kondensator mellan signal och jord).

Denhär sortens eliminering av störningar fungerar tämligen bra då både huvudsignalen och störningarna från gång till gång i stort sett är av samma slag. I vårt fall har vi t ex en enkel

fram-åter rörelse. Skulle rörelsen innehålla överraskande ryck kanske proceduren inte fungerar så bra (fig. 7 nedan visar reaktionen på en Dirac-puls). Nämligen, rekonstruktionen av den

filtrerade signalen kan inte återge alltför komplicerade kurvor eftersom rekonstruktionen använder sig bara av ca N fc/f stycken Fourier-komponenter (vilket i detta fall blir 1024 ´ 10/

1400 » 7). Resolutionen kan i princip förbättras genom att öka N, t ex genom att fortsätta signalen med konstanta värden (padding) i början och slutet.

Vi kan ännu jämföra den elektroniska filtreringen (16) och den digitala filtreringen ovan.

Ut-spänningen från RC-filtret ges av (vi antar att Uout = Uin = 0 i början)

(20) Uout(t) =

°

t RC1 e-tRC-uUin(u)du

som är en konvolutionsekvation av formen

(21)

y(t) =

°

º h(t - u)x(u)du da¨r h(u) = 1RCe-RCu h(u) och

h(u) = 1 om u > 0 och 0 annars (Heavisides funktion

(9)

Ekv (21) betecknas vanligen som y = h * x (konvolution av h och x), medan h kallas respons- funktionen. Nämligen, matar vi in en “Dirac-signal” d(t) blir responsen y enligt (21) just y(t) = h(t). Vi definierar den kontinuerliga Fourier-transformationen enligt

(22) X(f) =

°

º e-i2oftx(t)dt

Dess omvändning ges av

(23) x(t) =

°

º ei2oftX(f)df

Tar vi Fourier-transformationen av (21) erhåller vi

(24)

Y(f) = H(f)X(f) da¨r H(f) = 1

1+ i2ofRC

Vi kan också omvänt beräkna (med hjälp av residue-kalkyl) responsfunktionen h(t) för kontinuerlig tid till den digitala frekvensresponsen (12),

(25)

h(t) =

°

º ei2oft 1

1+ æèffcöø

8df= - oifc

4 k=

5

30zkexp(i2ozkfc t ) da¨r

zk= exp io8 (2k+ 1)

En ideal lågpassfilter,

(26) H(f) = x[-fc,fc](f) =

1 ifall- fc[ f [ fc och 0 annars, har däremot responsfunktionen

(27) h(t) = sin(2ofct) ot

(10)

Wiener-filter

“Very little of mathematics is useful practically, and ... that little is comparatively dull ...

We have concluded that the trivial mathematics is, on the whole, useful, and that real mathematics, on the whole, is not.”

G H Hardy i A Mathematician´s Apology [5]

“One of the chief duties of a mathematician in acting as an advisor to scientists is to discourage them from expecting too much from mathematics”.

Norbert Wiener (1894-1964) [6]

Ett typiskt signalbehandlingsproblem är att försöka lista ut ursprungssignalen x från den uppmätta signalen y, relaterade genom

(28) y= s & x + n

där s står för en utjämning (smearing), t ex orsakad av elektronik, och n står för brus (noise).

Fourier-transformerar vi ekv (28) erhåller vi

(11)

(29) Y(f) = S(f)X(f) + N(f)

4

1 h t( ) 1 sinc t( ) .5 hRC t( )

5

5 t

6 4 2 0 2 4 6

1 0 1 2 3 4

Fig. 7. Responsfunktionerna för filtern (16), (26) och RC-filtern, alla med samma avklippningsfrekvens fc = 1.

Graferna har skiftats i höjdled för att lättare skiljas från varandra.

Ifall brustermen kan negligeras, och utjämningsfunktionen är bekant, kan vi lösa x från (s

“dekonvoleras” med y)

(30) X(f) = Y(f) S(f)

genom invers Fourier-transformation. Har man brus kan man försöka med Wiener-metoden;

nämligen, man försöker återskapa signalen x genom att tillämpa en (optimerad) filter f på y som sedan dekonvoleras med s för att ge en signal z som man hoppas skall vara så nära den ursprungliga signalen x som möjligt [7]. I termer av Fourier-transformationer har vi

(31) Z(f) = Y(f)F(f) S(f)

(12)

(32)

°

z(t) - x(t) 2dt=

°

Z(f) - X(f) 2df=

°

S(f) -2 (S(f)X(f)+ N(f))F(f) - S(f)X(f) 2=

°

S(f) -2æè C(f) 2 1- F(f) 2+ N(f) 2 F(f) 2öø

där vi satt C = S X , samt nyttjat Plancherels relation (övergång från integral över tiden till inegral över frekvensen) och förhållandet att bruset ej korrelerar med signalen. Minimering visavi f ger lösningen (Wiener-filter)

(33) F(f) = C(f) 2 C(f) 2+ N(f) 2

I praktiken försöker man från signalens spektrum uppskatta brustermen (med en glatt funktion) som extrapoleras in i signalområdet där man på så sätt kan skilja åt de båda termerna som ingår i högra membrum av (33). Wiener-filtern (lanserad på 40-talet) är bl a populär i bildbehandlings- sammanhang (2D-version av filtret), men torde inom reglertekniken ha ersatts av Kalman-filter (lanserad på 60-talet) och dess generaliseringar.

Norbert Wiener

Simulering av brus

För att testa filtreringsalgoritmer är det bra att kunna simulera brus. Tillexempel den tidsdiskreta signalen xk,

(13)

(34) xk+1= xk+ nk

beskriver en Brown-process ifall nk är oberoende stokastiska variabler med samma normalfördelning N(0,s). I detta fall har vi ( j ³ 0 ),

(35) Eéëæèxk+j- xköø

2ù

û =j$ Eéëxk2ùû = j $ konstant eftersom Eéëxixjùû = dij$ Eéëxi2ùû

där E[.] betecknar den stokastiska medelvärdesoperatorn. För motsvarande tidskontinuerlig Brown-process blir (35) (c, en konstant)

(36) Eéë(x(s) - x(t))2ùû = c $ s - t

Ett generellt fraktalt brus har istället variationen

(37) Eéë(x(s) - x(t))2ùû = c $ s - t 2H (0< H < 1)

där Hurst-exponenten H = ½ motsvarar Brown-processen (för börskursers utveckling lär man ha t ex funnit H » 0.65 [8]). Antag att x(0) = 0, då innebär (37) att

(38) E[x(s)x(t)]= c2 $æè s 2H+ t 2H- s - t 2Höø

Väljer vi ett ändligt tidsintervall kan vi Fourier-analysera brussignalen för detta intervall och beräkna spektrumets väntevärden nyttjande (38),

(39) Eéë X(f) 2ùû =

° °

Eéëx(s)x(t)ùûei2of(s-t)dsdti f-2H-1 ;

d v s, spektrumet har en exponentfördelning (power law). Detta ger en enkel metod för att simulera brus med valbar Hurst-exponent H. Välj antalet komponenter N och skriv signalen på Fourier-formen

(14)

där cn är oberoende komplexa stokastiska variabler,

(41) cn = rneihn

rn är normalfördelade med medevärdet 0 och variansen n-2H-1, medan qn är likformigt fördelade i intervallet [-p, p]. I Mathcad (eller enkel C-kod) kan man t ex approximativt generera

koefficienterna cn genom

(42) cn = é

ëêk=

5

121æèrnd(1) - 0.5öø + i $k=

5

121æèrnd(1) - 0.5öø ùûú $ 1nH+1/2

(summan av de likformigt fördelade variablerna rnd(1) - 0.5 har medelvärden 0 och variansen 1/12). Brussignalen erhålls alltså genom att ta den inversa Fourier-transformationen av (42).

Figurerna 8 och 9 visar resultaten av en dylik simulering med N = 256.

2.289368

1.03050410. 6 spect

k

50

1 k

1 10 100

1 106 1 105 1 104 1 103 0.01

0.1 1 10

Fig. 8. Spektrumet |ck|2 för (42) med H = ½.

Log-log graf.

0.219011

0.152059 ym

255

0 m

0 50 100 150 200 250 300

0.1 0 0.1 0.2

0.3 Simulated Fractal Time Series

Time

Signal (amplitude)

Fig. 9. Den simulerade tidsserien (40) för H = ½.

(15)

Det fraktala bruset följer en skalningslag (“renormalisering”) enligt

(43) xa(t)= 1d aHx(at)

dvs, om x(t) är en fraktal signal med Hurst-exponenten H, då är den skalade signalen xa(t) likså en fraktal signal med samma Hurst-exponent och statistiska egenskaper. Detta förhållande har också nyttjats som definierande egenskap för fraktala signaler. (Som graf betraktad har den fraktala signalen med Hurst-exponenten H en fraktal dimension D = 2 - H; sk

Weierstrass-Mandelbrot fraktaler.)

Inom tekniken används ofta för testningsändamål sk vitt brus som har en platt distribution där E[|X(f)|2] är oberoende av frekvensen. Vi kan simulera detta på samma sätt som ovan genom att lämna bort faktorn n- 2H - 1 i (42).

3

2 ym

255

0 m

0 50 100 150 200 250 300

2 0 2

White noise

Time

Signal (amplitude)

Fig. 10. Simulering av vitt brus.

Processen nk i (34) definierar också gaussiskt vitt brus [9]. För att få ljudprov på “vitt brus” kan man nyttja en radio, eller t ex skriva kommandon

y=rand(10000,1); sound(y,5000)

i Matlab (likformigt fördelat brus). Spektrumet kan plottas i Matlab med kommandon

y=rand(1024,1); x=fft(y); x = x(1:512); semilogy(abs(x).^2)

(16)

Fig. 11. Spektrum för vitt brus.

Vitt brus innebär i princip att energin fördelas jämnt över hela aktuella frekvensområdet, varpå dess användbarhet som testsignal baserar sig [10]. Termiska bruset (Johnson noise) i

elektroniken utgör ett vitt brus inom ett begränsat frekvensintervall; enligt Nyquists teorem (1928) gäller för brusspänningen V :

(44) EéëV(t)V(s)ùû =

°

º ei2of(t-s)4RkTdf

= 4RkTd(t - s)

där R betecknar kretsens elektriska motstånd, k är Boltzmanns konstant, och T betecknar temperaturen i Kelvin. Ekv (33) grundar sig på det klassiska ekvipartitionsteoeremet och måste enligt kvantmekaniken modifieras för frekvenser f > kT/h ( » 6 ´ 1012 Hz), där h betecknar Plancks konstant.

Organisk signalbehandlare i realtid - örat

Levande organismers växelverkan med omgivningen är möjligt tack vara de väl utvecklade sinnesorganen som förmår snappa upp signaler från omgivningen och förmedla dem vidare till hjärnan som försöker tolka signalerna. Hörseln är en av de centrala organen och är en mycket avancerad form av signalbehandlare. Tryckvågor i luften leds via ytterörat till trumhinnan som aktiverar hörselbenen i mellanörat vilka via en membran (det ovala fönstret) överför rörelsen till det vätskefyllda innerörat i form av vågor (travelling waves) i snäckan (cochlea) vilka retar speciella nervhår (stereocilier) som omvandlar rörelsen till elektriska signaler. Hammaren, städet, och stigbygeln utgör ett system för impedansampassning som optimerar energiöverföringen till

(17)

vätskan i snäckan. I annat fall skulle ljudvågorna reflekteras tillbaka. Hörselbenen fungerar som en aktiv förstärkare och filter i.o.m. att t ex stigbygelmuskeln (M. stapedius) kan ha dämpande inflytande vid kraftiga ljud (acoustic stapedius reflex, ASR) samt optimerar den auditiva anpassningen vid svagt ljud. (De två musklerna stapedius och tensor tympani är f.ö.

människokroppens minsta muskler.) Stapedius aktiveras också då man själv frambringar ljud för att inte hörapparaten skall överbelastas av det egna ljudet. En annan funktion är att muskelns anspänning dämpar de låga frekvenserna (dämpning i storleksordningen 20 dB samtidigt som stigbygeln förskjuts ca 50 mm ur sitt viloläge) och underlättar urskiljningen av de högre frekvenserna som är typiska för talljud.

Örats känslighet illustreras av det faktum att svängningar med en amplitud på endast omkr 10-10 m (= 1 Å, ungefärlig diameter hos väteatomen) hos trumhinnan fortfarande kan vara hörbara ! Till denna slutsats kommer man utgående från att trumhinnans yta är omkr 60 - 80 mm2 och tröskeln för hörbara ljudvågor vid 1500 - 2000 Hz (det känsligaste området) uppmätts till omkr 10-16 W/cm2 (vilket tagits som nollnivån för decibelskalan). Denna känslighetsnivå ligger blott ett par magnituder över den termiska brusnivån. Det kan även anmärkas att transmissionen via hörselbenen fasförskjuter signalen med 180 grader och fördubblar det akustiska trycket. Man har också påvisat en elektrisk växelström i snäckan som om man låter den gå via förstärkare till högtalare återger den ursprungliga ljudsignalen (mikrofoneffekten). Det är fantastieggande att tänka sig hur detta intrikata system utvecklats under evolutionens gång. Hammaren lär komma från ledbenet i fiskens gälskelett, städet från kvadratbenet, och stigbygeln från pelarbenet.

Vätskevågorna i snäckan har en intressant egenskap. För en ljudsignal med konstant frekvens kommer vågornas amplitud att nå maximum allt närmare basen desto högre frekvensen är. Hela det registrerbara frekvensområdet omfattar intervallet 20 - 20 000 Hz på tio oktaver (210

» 1000). Snäckans känslighet för olika frekvenser brukar åskådliggöras med ett diagram där snäckan ritats som en spiral (med toppen in i spiralen) där varje punkt motsvarar ett

frekvensvärde där vågorna med denna frekvens har maximal amplitud. Huvuddragen i frekvensernas fördelning kan förklaras med en enkel geometrisk modell av snäckan och

hydrodynamikens ekvationer (Eulers ekvationer). Huruvida det finns någon teknisk imitation av snäckans filterprinciper är obekant men en hydraulisk bandpassfilter för extremt lågfrekventa havsvågor (0.001 Hz) har t ex konstruerats av Scripps Institution of Oceanography (La Jolla, CA) (beskrivs av Doebelin (1990)).

(18)

Fig. 12. Örat. Från Nordisk Familjebok, 1957.

(19)

Fig. 13. Mellan- och innerörat. (Keener, Sneyd, 1998.)

(20)

Hårcellerna (mekanoreceptorer, alltsomallt omkr 30 000 till antalet) i snäckan är också avstämda för olika frekvenser så att de lågfrekvenskänsliga cellerna är i toppen och de högfrekvenskänsliga cellerna finns vid basen. I innerörat finns också balansorganen bestående av de tre

hinnbåggångarna och de två hinnsäckarna (utriculus, sacculus). Dessa fungerar som

accelerometrar; hinnbåggångarna mäter vinkelacceleration, och hinnsäckarna registrerar linjär acceleration. I hinnsäckarna finns det små mineralkorn, otoliter, som trycker mot cilieförsedda sinnesceller vid linjär acceleration (då man t ex lutar på huvudet).

Även om människan har relativt god hörsel kan vi inte “se” med hörseln som t ex fladdermöss och tumlare kan med hjälp av ekon. Förmågan att urskilja de relevanta signalerna (ekon från ett bytesdjur t ex) bland allt “brus” förutsätter antagligen en frekvensdiskriminering med hög upplösning. Härvidlag möts vi av en princip som är central för sinnesceller, nämligen lateral inhibation. Tillexempel, vid en ren ton retas en sinnescell motsvarande denna frekvens samtidigt som cellen inhiberar sinnesceller i närliggande frekvensområden. Genom att s a s dämpa “resonansen” från de andra cellerna accentueras signalen från den rätt “avstämda” cellen.

Denna princip har nyttjats i teorin för Artificiella Nervnät (neural networks), och återkommer också i en form i waveletanalysen.

En enkel mekanisk modell för transmissionen från trumhinnan till stigbygellocket beskrivs i nedanstående figur. Vi har också ritat dess ekvivalenta kretsschema där massan (m) motsvaras av en spol med induktans (L), fjädern och dess fjäderkonstanten (k) motsvaras av en kondensator och inversionen av dess kapacitans (1/C), kraften (F) svarar mot spänningen (U), lägeskoordinaten (x) svarar mot laddningen (q), o s v.

(21)

Fig 14. En schematisk modell för transmissionen från trumhinnan (m1) till stigbygellocket (m2) och dess kretsekvivalent. Kraften F motsvarar tryck-

variationen i ytterörat som sätter trumhinnan i rörelse. Fjäderkonstanterna k1 och k2 beskriver trumhinnans och stigbygellockets + ovala fönstrets elasticitet medan k3

kontrolleras av M. stapedius.

Kretsen utgör i princip en avstämningskrets där kapacitansen C3 kontrolleras av stapedius.

Kretsens impedans Z vid frekvensen f (frekvenstalet w = 2p f ) blir

(45) Z(z) = iz é

ë êê êL1æ

è1- 1 z2L1C1

öø + 1

1 L2æ

èç1-z2L2C21 ö ø÷

- z2C3

ù

û úú ú

Lägger vi på en harmonisk ingångsspänning med frekvenstalet w, blir spänningen över kondensatorn C2 lika med

(46) Uout(z) = 1 Z(z) $

-z2C12C3

izæèL2- z-2æèC11 + C12 öøöø

$ Uin(z)

I den mekaniska modellen motsvarar Re(Uin) kraften som påverkar trumhinnan och Re(Uout) kraften som påverkar stigbygellocket. Grafen nedan ger ett exempel för värdena L1 = 1, C1 = 20, L2 =1, C2 = 1, och C3 = 0.5 (som inte har något med fysiologiska värden att göra utan bara valda för att illustrera principerna).

166.666667

71.428571 Re u x( ( ))

1.116129

0.567742 x

0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1

0 100

(22)

r

L R

C

V

I

Fig. 15. Efter Keener, Sneyd, 1998.

Impedansen för denna krets blir ( g = 1/r )

(47)

Z(z) = æèizC+ g + 1 izL + Rö

ø

-1

=

R LC + izC

z02- z2+ icz med z0 = gR+ 1

LC ;c = RL + g C.

Svängningarna av hårcellen alstrar en ionström som antas ge upphov till en spänning V = ZI enligt kretsschemat ovan. Följande graf visar magnituden av impedansen som en funktion av frekvenstalet då C = 10, R = 0.01, L = 0.01, och g = 1. Vi ser att kretsen kommer att ge störst utslag omkr w = 3 i detta fall. Desto midjesmalare kurva desto bättre frekvensdiskriminering.

Absoluta värdet av impedansen (47) har maximum vid

(48)

zmax= z˜2+ W2+ z04- z˜4 - W i z˜ + 14

z04- z˜4 2z˜W med z˜ = z02- c2

2 ;W = æèR L öø

2+ z˜2

0.095169

5.127772 10. 3 z x( )

20

0 x

0 5 10 15 20

0 0.05 0.1

(23)

Kopplar man ihop massor och fjädrar i långa serier, alternativt motsvarande elektroniska komponenter, erhåller man en-dimensionell gitter (lattice) som kan ha intressanta signal-

egenskaper vilket behandlas i följande avsnitt (Remoissenet (1999) bygger sin studie av solitoner i stor utsträckning på dylika modeller).

---

“Tuoreen norjalaistutkimuksen mukaan

matkapuhelimen antennista säteilee lähetysvaiheessa sähkömagneettisia aaltoja.”

HeSa 11.4.1990

Telegrafekvationen

Vi tänker oss en signalledning byggd upp av en serie likadana element:

L

C L1 In-1

In

In+1

Vn-1 Vn Vn+1

Jn-1

Kirchoffs lagar ger för detta fall ekvationerna

(49)

Vn- Vn-1 = LdIn-1

dt In- In+1 = -CdVn

dt +Jn

L1dJn

dt = -Vn

som tillsammans ger

(24)

(50)

d2Vn

dt2 + 1L1CVn = 1LC(Vn+1+ Vn-1- 2Vn)

Vi kan göra en övergång till det kontinuerliga fallet om vi inför en längdvariabel x = na där a betecknar längden för en kretsenhet vilken vi låter gå mot noll. Högra membrum i (50) övergår då i

a2 LC

d2V dx2

Koefficienten a2/LC kan skrivas som 1/lc där l = L/a och c = C/a är induktans respektive kapacitans per längdenhet. Koefficienten 1/L1C skrivs som 1/lc där l = L1a går mot ett finit värde då a går mot noll eftersom spolarna är parallellkopplade. Det kontinuerliga fallets ekvation blir alltså

(51)

d2V

dt2 - v02d2V

dx2 + z02V= 0 med v0 = 1

lc ochz0 = 1

kc

som är ett exempel på en telegrafekvation (telegrapher’s equation) för en kabel med

självinduktans samt induktans och kapacitans visavi “jorden”. Ekvationen är av vågevaktiontyp och ansätter vi en partikulärlösning av formen

(52) V(x, t) = V0ei(kx-zt)

ser vi att följande dispersionsrelation måste gälla

(53) z(k) = z02+ v02k2

Ekv (53) betyder att signaler med frekvenstal under w0 inte kan propagera fritt längs kabeln vilken därför fungerar som en sorts högpassfilter. Den icke-linjära dispersionsrelationen innebär också att vågorna deformeras. Ansätter vi i analogi med (52) en lösning av formen

(54) Vn(t) = V0ei(kna-zt)

för den diskreta ekvationen (50) erhåller vi följande dispersionsrelation

(25)

(55) z(k) = z02+ 4v02a-2sin2æèka 2 öø

Ekv (55) betyder att vi i det diskreta fallet har en bandpassfilter med zmin= z0

zmax= z02+ 4v02a-2

Byter vi ut spolen L1 i föregående grundkrets mot ett motstånd R1 (beskriver strömläckaget till jorden) och placerar ett annat motstånd R i serie med spolen L erhåller vi på liknande vis i det kontinuerliga fallet telegrafevationen (Heaviside 1876)

(56)

d2V

dt2 + c dVdt + z0

2V- v02d2V dx2 = 0 medz0 = rg

lc c = gl+ rc

lc v0 = 1lc

där g motsvarar gränsvärdet av 1/R1a då a går mot noll och är konduktans per längdenhet.

Telegrafekvationen (56) är förbunden med en intressant historia. Ekvationen går tillbaka på det självlärde geniet Oliver Heaviside (1850-1925) som ägnade sitt liv åt utvecklingen och tillämpningen av Maxwells teori efter att Maxwells bok Treatise on Electricity and Magnetism utkom 1873. Det är i Heavisides vektorformulering som Maxwells teori fortfarande lärs ut i läroböcker och vid högskolor. Oförskräckt hanterade han också divergerande summor, integraler och dervivator av bråktalsordningar och till matematikernas förtrytelse kom han till rätt resultat.

Heaviside var pionjär inom “operator”-matematiken och vektoranalysen och deltog i flamberande debatter bl a mot kvaterionernas förkämpar. Heavside arbetade ända tills 24-åring som telegrafist i Danmark och hade alltså praktisk erfarenhet av elektroteknik. Hans kabelteori hade en mycket viktig förbättring jämförd med den tidigare versionen (1855) av W Thomson (Kelvin)

(1824-1907). Nämligen, Thomsons modell beaktade endast resistansen och kapacitansen och negligerade induktansen. Löser vi dispersionsrelationen för (56) får vi

(26)

Gamma-termen beskriver alltså en dämpning av signalen (52). Heaviside insåg att man genom att öka induktansen l i (56) kan minska gamma-termen. Detta hade en stor ekonomisk betydelse.

År 1858 lyckades man dra en 3745 km lång kabel över Atlanten. För att överkomma dämpningen som Thomsons teori förutskickade såg man som den enda möjligheten att skicka en så kraftig signal som möjligt. Kabeln matades med 2000 Volts spänning med följd att isoleringen

förstördes och kabeln blev obrukbar inom en månad efter nedläggningen (en bidragande orsak kan också ha varit att kabeln förvarades i luft i två år före nedläggningen vilket kan ha gjort guttaperkaisoleringen skör). Signalhastigheten var ca 8 ord per minut i början men växte till det dubbla innan isoleringen förstördes. Heavisides lösning för att effektivera transmissionen var att med jämna mellanrum förse kabeln med spolar för att öka induktansen samt att använda

högfrekventa signaler. Dock var det en G Campbell och en M I Pupin som stred om patent- rättigheter och äran till upptäckten, en strid ur vilken Pupin gick segrande och fick ge namn åt

“pupinspolar”. (För undervattenskablar ersatte man sedermera pupinspolarna med en speciell omlindning av ledningstrådarna efter en metod av Krarup.) Heaviside gjorde också den viktiga observationen att vi enligt (57) får en dispersionsfri propagering (w(k) linjär i k) ifall w0 = g/2 vilket är detsamma som att g/c = r/l. Antag att vi kan representera spänningen som en integral (superposition av planvågor)

(58) V(x, t) =

°

a(k)eiæèkx-z(k)töødk

I (58) kan vi lösa ut a(k) genom Fourier-transformation

(59) a(k) = 12o

°

e-ikyV(y, 0)dy

för att erhålla

(60) V(x, t) = 12o

°

eiæèkæèx-yöø -z(k)töøV(y, 0)dkdy Antag vi har en gaussisk puls

(61) V(y, 0) = eik0y-2y2r2 i begynnelsen, då blir (60) till

(62) V(x, t) = r

2o

°

eiæèkx-z(k)töøe-r2æèk-k0öø

2

2 dk

(27)

Ifall vi har w(k) = v0k bibehåller vågpulsen (61) sin form,

(63) V(x, t) = eik0(x-v0t)e-æèx-v0töø

2 2r2

Den linjära relationen w(k) = v0k innebär att de olika frekvenskomponenterna hos en puls fortplantas med samma hastighet varför pulsen inte deformeras. I det allmännare fallet låt utveckla w(k) i Taylor-serie kring k0,

(64)

z(k) = z(k0) + vgK+ PK2+ ...

med vg= dz(k0)

dk (grupphastighet) P= d2z(k0)

dk2 och K= k - k0

då blir (62), ifall vi negligerar tredje och högre ordningens termer i (64),

(65) V(x, t) l r

r2+ 2iPt eiæèk0x-z(k0)töøe-

æèx-vgtöø2 2æèr2+2iPt öø

Detta visar att pulsens centrum fortplantas med grupphastigheten vg, samtidigt som pulsen sjunker ihop och breddas proportionellt till kvadratroten på tiden t.

Istället för (58) kan vi utgå från

(66) V(x, t) =

°

b(z)eiæèk(z)x-ztöødz som leder till

(67) V(x, t) = 12o

° °

eiæèk(z)x-z(t-s)öøV(0, s)dzds

Ekv (67) är lämpad för uppgiften att studera hur en signal V(0, t) som matas in vid x = 0

(28)

(68) k(z) = ! 1v0 z2- z02+ icz För en harmonisk insignal

(69) V(0, t) = e-Wt blir (67)

(70) V(x, t) = ei(k(W)x-Wt)

Ifall W >> w0 kan vi skriva (fortplantning i positiv x-riktning)

(71) k(W) l Wv0 + i c v0

Den imaginära delen i (71) bidrar med en exponentiell avklingning i (70).

Ekvationen (51) är också bekant som den 1-dimensionella versionen av den relativistiska Klein-Gordon-ekvationen (1926) i kvantmekaniken för spin-0 partikel, som vanligen skrivs

(72)

d2y

dt2 - c2Ä2y + æèmc2

² ö ø

2y = 0

(c står för ljushastigheten, m för partikelmassan). Det är intressant att observera hur den icke-relativistiska Schrödinger-ekvationen härleds från (72). Vi antar att vågfunktionen y kan skrivas som

(73) y = y0e-mc2² t

där y0 varierar långsamt med tiden; d v s,

(74)

d2y0

dt2 << mc²2 dy0

dt

då blir (72) ifall vi sätter in (73)

(29)

(75) i²dy0

dt + ²2

2m Ä2y0 = 0

som är Schrödinger-ekvationen utan potentialterm. Skriver vi (65) som

(76) V(x, t) = eiæèk0x-z(k0)töøV0(n, t) medn = x - vgt

finner vi att V0 satisfierar en ekvation av Schrödinger-typ också,

(77) idV0

dt +Pd2V0

dn2 = 0

Vi oberverar att medan (72) och (51) är tidssymmetriska - om V(x, t) är en lösning så är också V(x, -t) en lösning - är (75) och (77) uppenbart inte tidssymmetriska. Detta går tillbaka på ansatserna (73) och (76) där komponenten för propagering i positiv x-riktning skiljs ut.

Reflexion och transmission

Vi antar att två olika sorters kablar kopplats ihop vid x = 0 och att telegrafekvationen uppdelas på de två områdena I: x < 0 ,och II: x > 0, enligt,

(78)

d2V

dt2 - v02d2V

dx2 + z02V= 0 (x < 0) d2V

dt2 - v12d2V

dx2 + z12V= 0 (x > 0)

Andra ordningens derivator i V har alltså en “step-singularitet” vid x = 0, varför V och dess första ordningens derivator är kontinuerliga i x = 0. Vi antar en inkommande planvåg (52) (med V0 = 1) samt som gränsvillkor att V är en utgående planvåg för x ® +¥. För att dessa krav skall gå ihop med kontinuitetsvillkoret vid x = 0 hamnar vi att ansätta,

(78)

V(x, t) = ei(kx-zt)+ R ei(-kx-zt) V(x, t) = T eiæèk´x-ztöø

med k= 1v z2- z2

(30)

för I resp. II. R-termen i (78) står för den reflekterande delen av vågen, T-termen för den transmitterande delen. Från kontinuitetsvillkoren vid x = 0 erhåller vi,

(79) 1+ R = T ik(1 - R) = ik´T som ger

(80) R= k - k´ k+ k´

Ekvationen (80) illustrerar “impedansanpassningens” betydelse. Om k och k´ har vitt skiljda värden reflekteras en stor del av signalen istället för att matas vidare i kabeldelen II (eller mottagaren).

Vi kan också ge en alternativ behandling utgående från en harmonisk signal [11]

V(x, t) = V(x)e-izt

genom vilken ekv (56) kan skrivas på formen (där vi inför strömmen I )

(56*) dV

dx = -(r- izl)I dI

dx = -æèg - izcöøV som leder till

d2V

dx2 = j2V

medj2= (r - izl)æèg - izcöø

vilket är en omskrivning av (56). Skriv lösningen till förgående ekvation som en summa V(x) = V+e-jx+ V-ejx

av signal som fortplantas i positiv resp. negativ x-riktning (den reflekterande delen). Antag vi har en kabel som kopplas till en belastning Z vid x = 0. Vi får ekvationerna

(31)

V(x = 0) = V++ V-

I(x = 0) = V++ V-

Z = j

r- izl(V+- V-)

från vilka vi kan bestämma förållandet mellan V+ och V-, V- = Z- Z0

Z+ Z0V+ Z0= r - izlg- izc

där Z0 betecknar kabelns s k vågimpedans. Impedansanpassning Z = Z0 minimerar reflektionen.

Z Ze

E

Vi observerar att ifall kabeln uppfyller Heavisides designformel, g/c = r/l, är vågimpedansen reell och omvänt, och har värdet Z0 = cl = gr . För detta specialfall har vi också

j = Z0æèg - izcöø

varför den exponentiella dämpningen bestäms av faktorn Z0 g ( = r/Z0 ). Typiska värden för Z0 är kring 75 W. Ethernetkabel kan t ex ha Z0 = 50 W (5 Mhz).[12]

Heisenberg-relationen

Antag vi har en signal av en närapå konstant frekvens f. För att mäta signalens frekvens är det uppenbart att vi behöver en tidslängd T på åtmistone en “vibration”, T f > 1. Överlagrar vi två signaler med frekvenserna f och f + Df ,

(32)

behövs en mättid T > 1/Df för att urskilja överlagringens (“svajningen”) frekvens; dvs, för att mäta en signals frekvens med noggrannheten Df behövs en mättid om minst T > 1/Df. Detta är ett exempel på en Heisenberg-relation. (Dess kvantfysikaliska version: för att mäta en partikels energi med noggrannheten DE ( = h Df ) behövs en mättid om minst T > h/DE, där h är Plancks konstant.) Vi har motsvarande relation för x-koordinaten och vågtalet k (tre relationer i det 3-dimensionella fallet). Matematiskt har dessa att göra med en Fourier-representation av typen

(58) V(x, t) =

°

a(k)eiæèkx-z(k)töødk

Ekv (61) och (62) ger ett exempel där |V(x, 0)|2 och |a(k)|2 båda är gaussiska fördelningar vars varianser i x och k satisfierar

(82) Var(x)Var(k) = r22 1 2r2 = 14

Vi kan antaga utan inskränkning - för L2-integrerbara signaler - att

(83)

°

V(x, t) 2dx= 2o

°

a(k) 2dk= 1

ÓxÔ =

°

x V(x, t) 2dx= 0

ÓkÔ = 2o

°

k a(k) 2dk= 0

I detta fall har vi

(84) Var(k) = Ók2Ô = 2o

°

k2 a(k) 2dk=

°

idxd V(x, t) 2dk

Låt a beteckna en reell parameter, då har vi en generell olikhet

(85)

°

(x + a ddx )V(x, t) 2dxm 0

som tack vare (83) och (84) kan skrivas,

(86)

Óx2Ô - a + a2Ók2Ô = Ók2Ôæèça- 12Ók2Ôö

ø÷

2+ Óx2Ô - 14

Ók12Ô m0

vilket betyder generellt att (Heisenberg 1927)

(33)

(87)

DxDk m 12

medDx = (x- ÓxÔ)2 Dk = (k- ÓkÔ)2

Likhetstecknet gäller ifall vi sätter integranden noll i (85) vilket ger ekvationen just för en gaussisk våg. (I kvantfysiken har (87) följande betydelse: för att mäta en partikels impuls - dess x-komponent - med en noggrannhet Dp ( = hDk ) fodras en mätsträcka - projicerad på x-axeln - av storleksordningen L ~ h/Dp.) För ett finit tidsavsnitt av en signal kan vi göra en liknande härledning för en tid-frekvens relation. En “tidsgaussisk” motsvarighet till signalen (63) skrivs

(88) V(x, t) = ei(k0x-z(k0)t)e-

æè x v0 -tö

ø 2 4Dt2

Ekv (63) och (88) är ekvivalenta via identifikationen v02Dt2 = s2/2 =Dx2 [13].

---

“IN NO IST LAT WHEY CRACTIC FROURE BIRS GROCIO PONDEMONE OF DEMONSTURES OF THE REPTAGIN IS REGOATIONA OF CRE”

Modernistisk poesi ? C Shannons exempel på 3:e ordningens approximering av engelska språket baserad på dess “trigram” struktur.

Lite informationsteori

Termodynamiken, värmeläran, föddes under ångmaskinsåldern ur intresset att försöka faställa hur bränslet effektivast kunde omvandlas till mekaniskt arbete (Sadi Carnot). På motsvarande sätt har elektrificeringen och telegrafin fött fram informationsteorin. “The fundamental problem of communicaton is that of reproducing at one point either exactly or approximately a message selected at another point”, fastställer Claude Shannon [14] i sin klassiska A mathematical theory of communication (1948). Jämförelsen mellan termodynamiken och informationsteorin är mer än en analogi. De förbinds bl a genom statistisk mekanik varifrån informationsteorin t ex lånat

(34)

Vi behandlar ett enkelt fall med ett binärt system där vi kodar informationen i nollor och ettor som representeras t ex av spänningsområden 0 - 1 V och 2 - 5 V. Ett meddelande kodas alltså i strängar av typen 0001011101 ... . Antalet olika strängar av längden N (N “bitar”) blir (89) W= 2N

d v s; strängar med N bitar kan alltsomallt koda W olika meddelanden. Ekv (89) gäller som en allmänn definition för mängden information N (i bitar, “bits”) i termer hur många W olika

meddelanden denna information kan urskilja. Antag som att överföringen inte är felfri. Det finns en sannolikhet 0 < p < 1 att en etta tolkas om nolla och omvänt. Ifall vi mottar en lång sträng 0001110100 ... med N tecken kan vi förmoda att Np bitar har bytt värde, men vi vet inte vilka.

De förbytta tecknena kan vara fördelade på

(90) We = NæNp èç ö

ø÷

olika vis i strängen som motsvarar en informationsmängd [15]

(91) Ie = log2

N æNp èç ö

ø÷ =log2N!- log2Np!- log2Næè1 - pöø ! l -Næèplog2p+ æè1 - pöø log2æè1 - pöøöø

där vi nyttjat den asymptotiska Stirling-formeln ( N ® ¥ ) lnN!l N lnN - N

Betydelsen av resultatet är följande: p g a av “störningarna” i kanalen överförs inte N bitar information utan I = N - Ie,

(92) I= N(1 - H(p, 1 - p)) med H(p1, ..., pn) h -

5

pilog2pi

Vi har subtraherat den andel information som behövs för att s a s lokalisera de felaktiga bitarna. I extremfallet p = 0.5 finns det inget samband mellan meddelandet och signalen som mottas och vi har I = 0. Ekv (92) anger den teoretiska kapaciteten hos det binära kanalsystemet som har fel- sannolikheten p. I praktiken inför man redundans i kodningen (och error-checking) för att

motverka felkällorna/bruset (noise). Så länge p < 0.5 kan man sända meddelanden med önskad grad av tillförlitlighet; t ex, för att vara säker på att signalen för 1 går fram kan man sända en sträng av n stycken ettor: 11111 ... 1. Mottagaren beräknar medeltalet av n-strängen; ifall medeltalet är större än 0.5 tas signalen som 1. Givet p < 0.5 kan n alltid väljas så att

(35)

sannolikheten för feltolkning är godtyckligt liten (medeltalet för den mottagna strängen närmar sig för stora n normalfördelningen N(1-p, p(1-p)/Ön) [16]).

Vi generaliserar föregående exempel där vi antog att meddelandet i snitt består av lika andel av ettor och nollor samt att felsannolikheten för 0 ® 1 och 1 ® 0 var de samma (binary symmetric channel, BSC).

0 0

1 1

1 - q 1 - p p

q r

s

Nu antar vi att frekvensen för ‘0’ är r vid källan och för ‘1’ följaktligen s = 1 - r. Felsannolik- heten 0 ® 1 antas vara p och för 0 ® 1 lika med q. För en N-sträng har vi i snitt rN nollor och (1 - r)N ettor. Antalet N-strängar med denna frekvensbegränsning är till antalet

W= NæNr

è ö

ø

vilket motsvarar en informationskapacitet hos källan (source) på Is= log2W= -Næèrlog2r+ s log2s öø = N $ H(r, s)

som för r = 0.5 blir Is = N i samstämmighet med ekv (89). Ifall t ex r = 0 är informations-

kapaciteten Is = 0 eftersom källan har bara 1-tillståndet. Då strängen når mottagaren kommer den i snitt att bestå av N(r(1 - p) + sq) nollor av vilka Nsq uppkommit genom feltolkningen 1 ® 0.

Motsvarande tal för ettor är N(s(1 - q) + rp) och Nrp. Vi kan därför uppskatta antalet felmöjligheter till

We = Næèræè1 - pöø + sqöø Nsq æ

èççç ö

ø÷÷÷ Næèsæè1 - qöø + rpöø Nrp æ

èççç ö

ø÷÷÷

(36)

(94)

Ie = log2We =

- N é

ë êê ê êê

sq log2 sq

ræè1-p öø+sq + ræè1 - pöø log2ræèræè1-pöø +sq1-pöø + rp log2s(1-q)+rprp + s(1 - q) log2 sæè1-q öø

sæè1-q öø +rp

ù

û úú ú úú

Vi kan skriva (94) på en elegantare form genom att införa följande beteckningar:

p(y|x) = villkorligsannolikhet fo¨r Y = y givet att X = p(y, x) = sannolikhet fo¨r att Y = y och X = x

Vi låter X beteckna den stokastiska variabeln för källan (med värden 0 och 1) och Y dito för den mottagna signalen. Vi har t ex p(X = 0) º pX(0) = r och p(Y = 1|X = 0) º pY|X(1|0) = q. Med dessa beteckningar kan informationskapaciteten utgående från (94) skrivas

(95) I= Is- Ie = N $æ è çç

ç

5

pX(xi) log2pX1(xi) -

5

pYæèyjöø

5

pX|Yæèxi|yjöø log2 1 pX|Yæèxi|yjöø

ö ø

÷÷

÷

= N $ æèH(X) - H(X|Y)öø

vari vi också definierat uttryckena H(X) för källans entropi och den villkorliga entropin

(conditional entropy) H(X|Y). Ekv (95) är inte begränsad till binära system. Samma resonemang går igenom mutatis mutandis ifall vi använder ett större “alfabet” än {0, 1}. Den maximala infor- mationskapaciteten C för en kanal kan bestämmas genom att söka en fördelning (“kodning”) pX

som maximerar (95) givet pX|Y (channel capacity formula) [17]:

(96) C= maxXæèH(X)- H(X|Y)öø Inom informationsteorin definieras

(97) I(X, Y) h H(X) - H(X|Y) = H(X) + H(Y) - H(X, Y

som ömsesidig information (mutual information). Den senare likheten i (97) följer från definitionen för simultan entropi (joint entropy)

(98) H(X, Y) h

5 5

p(xi, yj) log2p(x1i, yj)

Vi kan generalisera föregående formler till kontinuerliga fördelningar. Vi hamnar dock att observera att kontinuerliga variabler implicerar som sådana oändlig information eftersom man

References

Related documents

(select * from Anställd where lön &gt; 9000 and namn = U.namn and lön = U.lön and chef = U.chef and avd = U.avd). ett annat sätt att

Som i fallet för den varierbara induktiva impedansen kommer analysen av H c (s) göras med filterapproximationen där kapacitansen försummas, detta leder till ett förenklat uttryck av

Ett tips innan denna mappning utförs är att gruppera funktionella krav i EKD’s kravmodell och utföra denna mappning gruppvis på flera olika use case diagram för

Inledning Kokosfett, morot och bärssaft ger dig möjlighet att demonstrera och diskutera vad som händer med olika typer av ämnen i kroppen.. Material Kokosfett, morot och bärssaft

Inledning Kokosfett, morot och bärssaft ger dig möjlighet att demonstrera och diskutera vad som händer med olika typer av ämnen i kroppen.. Material Kokosfett, morot och

Alla våra smarta prylar bygger på en maskinernas evolution, från den första sten en människa tog i sin hand för att slå flisor ur en annan sten, till min smarta telefon.. Jag

Att vara en attraktiv arbetsgivare som kontinuerligt utvecklar medarbetare och ledare är avgörande för att kunna leverera den service som invånarna efterfrågar.. Tidslinje

Figuren visar skillnaden mellan beräknat och uppmätt tjäldjup då ekvation (3.6) användes för att beräkna tjäldjupet.. För förklaring se