Vad matematiklärare vet och vill veta om nya elever

Examensarbete

Jessica Sjöstrand 2011-07-12

Ämne: Matematikdidaktik

Vad matematiklärare vet och vill veta om nya elever

- En kvalitativ fallstudie i lärares syn på informationsflödet vid överlämningar i grundskolan mellan årskurs sex och årskurs sju.

What mathematics teachers know and want to know about new pupils

- A qualitative case study of teachers’ view on the flow of during transfer in primary schools between grade six and grade seven.

Sammanfattning

Varje år börjar mer än 100 000 elever årskurs sju. Genom överlämning förbereder mottagande skola att ta över undervisningen. Hur går övergången till på respektive skola?

Hur bör överlämningar gå till enligt matematiklärare intervjuade i denna studie?

De ger sin syn på likvärdig utbildning, individualisering, den röda tråden genom matematikundervisningen, konstruktivistisk undervisning och komplexiteten i matematiklärares uppdrag. Syftet med studien är att komma åt vad som underlättar arbetet med att hitta elevernas förkunskaper i matematik.

Bedömningsmatriser vid överlämningar är välkomna, men fokus bör ligga på ett organisatoriskt plan enligt matematiklärarna. Även andra rutiner bör granskas för att främja det matematiska lärandet. Lärarna är medvetna om att om man skall bedriva en konstruktivistisk undervisning måste man fånga upp eleverna där de står kunskapsmässigt. Då de aldrig vet allt om enskild elevs verkliga matematikkunskaper, är chanserna större att ge eleverna adekvat utbildning om förutsättningarna är de rätta.

Nämligen vetskapen om enskilda elevers speciella behov, möjligheten att ha nära pedagogiskt samarbete med kollegorna, möjligheten att snabbt få specialundervisning till elever som behöver det. Arbetet underlättas också om eleverna kan läsa och skriva på svenska, har matematiska förkunskaper som behärska de fyra räknesätten, förstå likamedtecknets betydelse och att ha både praktiska och skriftliga erfarenheter av att lösa matematiska problem. Lusten att lära har stor betydelse för skolmatematiken.

Abstract

Each year more than 100,000 pupils begin grade seven of primary school. By transition between grade six and seven, the receiving school prepares to take over the teaching.

How does the transition work at the respective school? How should the transition work, according to mathematics teachers interviewed in this study?

They give their vision of equivalent education, individualization, “the red thread” of mathematics education, constructivist teaching and the complexity of the mathematics teacher's mission. The aim of the study is to assess what facilitate the understanding of pupils’ knowledge of mathematics.

Matrices of assessment for the transitions process are welcome, but the focus should be on an organizational plan according to the interviewed teachers. Also other processes should be reviewed in order to promote the mathematical learning. The teachers are aware that if you will engage in a constructivist teaching, you need to capture the pupils’

present knowledge. As the teachers never know everything about the individual pupil's real mathematics skills, the chances are greater to give pupils adequate training if the conditions are right. Namely the knowledge about individual pupils' special needs, the ability to have close cooperation with colleagues, opportunity to remedial teaching to pupils who need it. The work is also facilitated if pupils can read and write in Swedish, have previous mathematical knowledge mastering the four rules of arithmetic, understand the meaning of equality, and have both practical and written experience of solving mathematical problems. Motivation to learn is also of great importance for school mathematics.

Innehållsförteckning

Förord...6

1.Inledande bakgrund...7

2. Syfte och frågeställningar………12

2.1 Syfte...12

2.2 Frågeställningar...12

3. Teoretisk bakgrund och ramverk...13

3.1 Matematikdidaktik...13

3.2 Kunskapsbegreppet...14

3.3 Matematisk kunskap...15

3.4 Lärande….………...17

3.4.1 Kunskapssyner: behavioristisk, konstruktivistisk, sociokulturell...17

3.4.2 Kunskapssyn inom matematikdidaktiken………...18

3.4.3 Lärares förväntningar och förberedelser av matematikundervisning……19

3.5 Sätt att ta reda på var eleverna befinner sig...21

3.5.1 Summativ bedömning………...22

3.5.2 Formativ bedömning……….22

3.6 Regler att förhålla sig till vid överlämningar………..22

3.6.1 Skollagen………...22

3.6.2 Läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, Lpo94…...24

3.6.3 Kursplanen i matematik………...25

3.6.4 Övriga bestämmelser………26

4. Metod ...27

4.1 Analysmetod……...27

4.2 Med inspiration av grounded theory, GT………...28

4.2.1 Hitta kategorier………28

4.3 Datainsamlingsmetod………..29

4.3.1 Typ av intervju………..29

4.3.2 Intervjufrågorna………29

4.3.3 Val av informanter………31

4.4 Etiska och andra avvägningar………31

5. Resultat...33

5.1 Peter...33

5.1.1 Rutiner vid överlämnandet vid P-skolan………33

5.1.2 Peters syn på överlämnandet………..34

5.1.3 Peters syn på sin roll……….35

5.2 Torsten...38

5.2.1 Rutiner vid överlämnandet vid T-skolan………38

5.2.2 Torstens syn på överlämnandet……….……….40

5.2.3 Torstens syn på sin roll………41

5.3 Anna………45

5.3.1 Rutiner vid överlämnandet vid A-skolan………45

5.3.2 Annas syn på överlämnandet………46

5.3.3 Annas syn på sin roll………49

5.4 Karin………51

5.4.1 Rutiner vid överlämnandet vid K-skolan………..51

5.4.2 Karins syn på överlämnandet………..52

5.4.3 Karins syn på sin roll………54

6. Analys...57

6.1 Matematikundervisningen...57

6.2 Organisatoriska aspekter...59

6.2.1 Sammanställning av gången i överlämnandet...59

6.2.2 Analys kring organisatoriska aspekter...60

6.3 Matematiska aspekter………..62

6.4 Läraraspekter………62

6.5 Sammanfattande analys………...63

6.5.1 Schematisk bild av likheter och skillnader i synen på överlämningar……63

6.6.1 Svar forskningsfråga 1………..64

6.6.1 Svar forskningsfråga 2………..65

6.6.1 Svar forskningsfråga 3………..66

7. Diskussion...68

7.1 Metoddiskussion...68

7.2 Avslutande diskussion...70

7.2.1 Vidare forskning………..……….70

7.2.2 Avslutningsvis………..71

Referenser ...72

Bilagor...75

Bilaga A – Underlag till intervju 1 ………...75

Bilaga B – Underlag till intervju 2 ………77

Bilaga C – Underlag till intervju 3 ………78

Förord

”Skynda dig Jessica överlämnandekonferensen börjar nu!” ropar biträdande rektorn i korridoren, jag småsprang och log åt henne. Jag såg fram mot en givande stund, när jag nu för första gången skulle få veta mer om mina blivande elever än endast deras namn. Med klasslistan, papper och penna i handen, var jag redo…

I egenskap av blivande klassföreståndare till en årskurs sjua deltog jag vid en så kallad överlämnandekonferens, där lärarna i årskurs sju mottog muntlig information, skriftliga omdömen och annan skriftlig information från elevernas tidigare klasslärare från årskurs sex. Detta möte tog en hel arbetsdag i anspråk, vilket i efterhand kan tyckas anmärkningsvärt med tanke på den ringa information som utbyttes under detta möte.

Efter en tid på skolan funderade jag fortfarande kring nyttan med denna typ av överlämnande. Hade övriga lärare fått ut något vid detta tillfälle som jag, med mindre erfarenhet, inte kunde se? Jag började reflektera över vilken information jag vill ha om de nya eleverna i min roll som klassföreståndare och i min roll som ämneslärare i matematik. Borde det inte kunna gå till väga på ett mer strukturerat och effektivt sätt.

Vilka sätt används i andra svenska skolor? En nyfikenhet kring andra lärares hanterande av överlämnandeuppgifter och starten med de nya eleverna blev startskottet till denna studie.

1. Inledande bakgrund

I din hand håller du ett examensarbete som är avslutningen på mina studier till senare- lärare i matematik och teknik. Intresset för lärandeprocessen i framförallt matematik och nyfikenheten på vad verksamma matematiklärare gör och har för erfarenheter, ledde mig till beslutet att genomföra examensarbetet inom just det matematikdidaktiska forskningsområdet.

Inom det matematikdidaktiska forskningsområdet finns flera pågående diskussioner inom olika problemområden som har med matematik och lärande att göra. Bland annat kan matematik studeras på olika utbildningsnivåer, både hos barn och vuxna och det är möjligt att göra jämförelser dem emellan. Man kan också matematikdidaktiskt fokusera sin forskning på matematikundervisning inom en specifik åldersgrupp eller inom ett visst matematiskt område. Olika teoretiska möjligheter att bedriva forskning på har också en speciell del i den matematikdidaktiska forskningsgrenen. Då matematikdidaktik i grunden är ett tvärvetenskapligt område kan man väga in flera samhällsvetenskapliga aspekter kring matematikundervisningen (Grevholm, 2001; Niss, 1999). Till exempel kan man på mikronivå undersöka skillnader i vad elever med olika sociala svårigheter visat sig behöva för stöd i sin matematikundervisning, men också på makronivå vad samhället har för krav på matematiska kunskaper hos elever idag (ibid). Idag arbetar matematikdidaktiker med att förstå och förklara lärande i matematik så att kompetensen hos alla som går och lär sig matematik blir högre oavsett på vilken utbildningsnivå matematikundervisningen bedrivs (Löwing, 2006; Niss, 1999). I teoridelen kan du läsa mer om den matematikdidaktiska disciplinen (se kapitel 3).

Efter 1995 har resultaten försämrats, och då i synnerhet inom matematik och naturvetenskap. (Skolverket, 2009b, s.75)

Trots framgångsrik forskning inom matematikdidaktiken vittnar internationella jämförelser att sedan 1995 har svenska elevers matematikkunskaper försämrats (ibid).

Hur gör lärare ute i de svenska skolorna och hur ska man börja undrar man som ny i yrket. En metod att bryta trenden med ständigt sjunkande resultat kan vara att förbättra den information som äger rum vid överlämnande.

Att eleverna är olika framstår ibland som så självklart att man lätt glömmer bort att det faktiskt har konsekvenser för undervisningen. (Engström &

Magne, 2006)

Varje år i Sverige tar våra så kallade 7-9 skolor emot över 100 000 nya elever i årskurs sju (Statistiska centralbyrån Tabeller, 2008). En lång erfarenhet finns ute i skolverksamheterna av att hantera överlämnanden av elever mellan skolor. Hur

matematiklärare resonerar angående de arbetssätt de använder sig av när de tar emot nya elever och hur den syn de har på mottagandet i relation till det matematiklärare har att förhålla sig till i matematikundervisningen, kan endast matematiklärarna själva svara på.

Jag har en förhoppning om att komma åt vad matematiklärare behöver för kunskaper om de nya eleverna och väljer därför ett lärarperspektiv i denna studie.

Inom matematikdidaktiken utgår många ifrån ett konstruktivistiskt synsätt på lärandet.

Det synsättet innebär att kunskaper konstrueras inom varje individ utifrån det de redan kan, dvs vi tolkar det nya och bygger ut eller reviderar nya kunskaper (Cobb, ; Engström, 1998; Skott, ;Säljö, 2000). Men har matematiklärare alltid detta synsätt? Genom att studera hur lärare tänker kring elevernas kunskaper vid mottagandet respektive lyssna till hur de faktiskt går tillväga kan jag analysera om de agerar konstruktivistiskt. För att kunna agera konstruktivistiskt i undervisningen behöver lärarna veta vilka förkunskaper eleverna har och detta vet inte matematiklärare tillräckligt idag (Löwing, 2006).

Den matematikdidaktiska forskning som har bedrivits de senaste decennierna har kommit fram till flera sätt att förhålla sig som lärare för att främja lärandet i matematik. Det finns studier om vad som händer vid övergångar mellan olika stadier, dessa studier har ofta ett elevperspektiv. Jag har sökt efter studier om stadieövergångar och hittat arbeten som mestadels belyser övergången mellan grundskolan och gymnasiet eller mellan förskolan och förskoleklass. Man kan felaktigt få en uppfattning att det inte finns övergångar inom grundskolan. Det är inte heller vanligt att man tittar på lärarnas syn över hur man går till väga vid dessa överlämningar, alltså hur man gör, använder och hanterar den information som utbytes. ”En stor del av lärarkunskapen synes vara tyst” skriver Engstöm (1998).

Genom att låta lärare tala och ha ett lärarperspektiv i denna studie hoppas jag på att bidra med ytterligare insyn.

Vi vet att det är av betydelse för elevers utbildning att matematiklärarna dels arbetar utefter var eleverna befinner sig i sin utveckling, dels är av vikt att läraren ställer adekvata förväntningar och anpassar undervisningen till eleverna (Löwing, 2006;

Skolverket; 2009b). Därmed borde det vara av intresse för matematiklärare att snabbt hitta de nya elevernas kunskapsnivåer och förkunskaper för att kunna arbeta därefter.

Finns det hinder i skolvärldens verkliga övergångar, som gör att arbetet med att ta fram förkunskaper hos matematikelever försvåras? Genom att ha ett lärarperspektiv i denna studie kan jag kanske finna sådana hinder. Men förhoppningsvis också lyfta möjligheter och peka på bättre eller sämre tillvägagångsätt, då jag är övertygad om att vi har många duktiga matematiklärare ute i landet. Vi behöver lyssna till lärarna för att hitta lösningar på hur vi kan förbättra de svenska matematikelevernas resultat.

Vi vet att elevernas lärande påverkas av socioekonomiska faktorer (Illeris, 2007; Säljö, 2000). Man kan som enskild lärare inte ändra på samhälleliga faktorer, men genom att

göra sig medveten om dessa faktorer kan man ta hänsyn till dessa och få en viss effekt på elevernas resultat. Skolorna i Sverige har tidigare setts som relativt likvärdiga, vilket inte gäller i samma utsträckning idag. Flera faktorer nämns i kunskapsöversikten (Skolverket, 2009b), men den starkaste faktorn är föräldrarnas utbildningsnivå. Och man pekar på att det är ett led i att skolan speglar det samhälle den finns i och att samhället har blivit mer segregerat.

Forskningen är i stort sett enig om att skolornas elevsammansättning har blivit alltmer homogen och att skillnaderna mellan skolor och mellan olika elevgrupper när det gäller elevernas resultat har blivit större. (ibid)

Lärarens förväntningar påverkar elevernas resultat (Skolverket, 2009b), och när läraren ställer upp förväntningar har den mångfacetterade faktorer att beakta så att eleven kan leva upp till förväntningarna. Därmed anser jag att överlämningstillfället kan vara en möjlighet till att de första förväntningarna på eleverna blir adekvata. Om man inte har någon kunskap om sina nya elever, vilka förväntningar ställer man då? Om lärare från olika skolor dessutom delar med sig av rutiner som fungerar, kan skillnader i elevresultat minska.

Även tiden har betydelse för att elevresultaten har försämrats i matematik (Skolverket, 2009b). Vid intervjuerna med matematiklärarna i denna studie kommer det visa sig hur lång tid det kan ta att få grepp om elevernas kunskapsnivåer.

/…/ effekten av ett skolår är större än effekten av ett kronologiskt år.

Effekten av ett skolår är starkare för yngre elever än för äldre elever, och den är starkare för kunskaper och färdigheter inom matematik och naturvetenskap än den är för allmänna kognitiva färdigheter. (ibid, s.65) Varje skolår eleven genomgår påverkar elevens kunskap mer än det faktum att eleven har blivit ett år äldre. Om eleverna under en period inte lär sig något för att undervisningen inte är anpassad till deras kunskapsnivå, vid exempelvis lärar- eller skolbyte, kan det ha betydelse för resultaten. Om överlämningen vid lärarbytet sker enligt en bestämd form kanske lärare snabbare kan anpassa undervisningen till de elever de faktiskt undervisar.

Styrdokumenten lärarna har att rätta sig efter idag (Lpo94) var nydanande då de kom.

Några begrepp som är återkommande och berör främjandet av lärandet är lusten att lära, den röda tråden och individualisering (Skolverket, 2003, 2008, 2009b;

Utbildningsdepartementet, 1994). Hur lusten att lära påverkas negativt om undervisningen inte sker på rätt nivå finns det flera studier som visar (Löwing & Kilborn, 2002; Skolverket, 2003). För att hjälpa eleverna att behålla lusten att lära matematik och

kunna ge dem utvecklande utmaningar måste vi veta vad de har gjort tidigare, vad de verkligen kan och vilka missförstånd de behöver bli av med. Några tolkar lusten att lära felaktigt som att lärarna ska bli underhållare, men tyngdpunkten ligger i att ge tillfällen till förståelse och känslan av att man utvecklas i ämnet (Skolverket, 2003). Enligt Löwing (2006) har inte lärare idag kontroll på elevernas förkunskaper och det medför större svårigheter att ge undervisning med lustfyllt lärande. Med det målrelaterade betygssystem vi har idag har man försökt säkerställa att individualisering sker löpande, men när jag har arbetat ute på olika skolor tycker jag att flera lärare uttrycker att de inte hinner med att göra detta tillfredsställande. Forskning visar också att lärare anser att de individualiserar undervisningen då de låter eleverna arbeta självständigt, men det är inte självständigt arbete som främjar matematiskt kunnande (Skolverket, 2009b). Det kallas för hastighetsindividualisering, vilket kan ha motsatt effekt, (ibid).

I en longitudinell studie av Olof Magne och Arne Engström beskriver de:

De många förhoppningar om en förändrad matematikundervisning som knöts till läroplansreformerna har knappats infriats. I stället är det stabiliteten i skolans matematikundervisning som är mest påfallande.

(Engström & Magne, 2006)

Det är alltså inte så lätt att ändra lärarnas arbetsmetoder. Med detta lärarperspektiv i studien hoppas jag komma åt en del av den tysta kunskapen inom matematikundervisningen och hitta några förklaringar till varför forskare kan se att lärarna inte har ändrat arbetssätt i den utsträckning man önskat.

Hur förankras vetenskaplig forskning i verksamheten enligt lärarna? Det ligger i varje lärares uppdrag att hålla sig uppdaterad och påläst i sina ämnen, men det ligger enligt skollagen även på rektorers ansvar att se till att möjligheter skapas och att kompetensutveckling kan ske (Utbildningsdepartementet, 1994). Genom att titta på några av de kunskaper man kommit fram till i matematikdidaktisk forskning och jämföra dem med hur lärare gör och synen på dem samma hos de lärare jag kommer att intervjua i denna studie vill jag kunna bidra till åtminstone en riktning för att skapa en hållbar arbetssituation som samtidigt är förankrad i vetenskapen. Alltså finns ambitionen att skapa ett närmande mellan verksamheten och forskarvärlden. Att det finns ett behov, i syftet att främja elevers lärande, av att diskutera och studera detta påvisar Johansson:

I believe that individual teachers should, at all times and with interest, curiosity, and respect for students’ thinking, successively try to develop and deepen their students’ complex knowledge of and skills in mathematics. In this way, the teachers become more skilled in assessing the results of their work and of their students’ learning. It will also become easier to understand learning as a phenomenon. What it is possible or reasonable for

a teacher to learn in teacher education, continued teacher education, or practical professional activities must, however, be an object of further study. (Johansson, 1993, s.183)

Min avsikt är att lyfta fram vad som är av betydelse för att skapa bra rutiner kring överlämningar så att de ligger i linje med forskningen, hur lärarna verkligen vill arbeta och som underlättar elevernas matematiska utveckling. Kommunikationen är viktig för allt lärande, men viktigt är att kommunikation mellan ämneslärare hålls levande i utvecklande syfte.

I denna studie har jag valt att undersöka hur lärare förhåller sig till elevers matematikkunskaper då de börjar på en ny skola i årskurs sju och hur lärarna ser på hanteringen av information om eleverna. En specifik händelse, överlämningen, studeras ur ett lärarperspektiv. Övergångar mellan olika skolor sker vid flera tillfällen under en elevs skolgång och den framträdande roll läraren har enligt forskningen för att elever skall få goda resultat i matematik har stor betydelse. Finns det lärare som har metoder, verktyg eller arbetssätt för att snabbt få en klar bild över sina elevers kunskaper i matematik, är det viktigt att dessa arbetsmetoder uppmärksammas.

2. Syfte och frågeställningar

2.1 Syfte

Det som kommer att studeras i detta arbete är vad man vet om hur lärare i matematik beaktar de kunskaper eleverna har med sig när de kommer nya till årskurs 7. Genom att intervjua fyra verksamma matematiklärare med nya elevgrupper kommer jag att söka kunskap om hur olika lärare ser på hanterandet av den information om eleverna som står dem till buds vid terminsstarten. Informationen gäller både elevernas matematiska kunskaper och annan information som kan vara relevant för matematikundervisningen och som dessa lärare använder eller väljer att inte använda.

Syftet är att ur ett lärarperspektiv beskriva hur matematiklärare använder och ser på den information om eleverna vilken ges och vilken lärarna själva tar reda på vid mottagandet av en ny grupp matematikelever i årskurs sju. För att sedan se om det finns behov av ytterligare studier som kan leda till andra sätt att skapa sig en bild av den nya elevgruppens förkunskaper och andra förutsättningar i matematik.

2.2 Frågeställningar:

1. Hur ser informationsflödet ut mellan grundskolans årskurs sex och årskurs sju, d.v.s. vilka informationskällor har matematiklärare att utgå ifrån med en ny undervisningsgrupp i årskurs sju?

2. Vilken information önskar mottagande matematiklärare få tillgång till vid ett överlämnande och varför är den informationen önskvärd för att de ska kunna bedriva sin matematikundervisning?

3. Vilka faktorer är betydelsefulla enligt de mottagande matematiklärarna för att övergången skall fungera på bästa sätt ur ett lärandeperspektiv?

3. Teoretisk bakgrund och ramverk

Denna del i arbetet syftar till att studien skall förankras teoretiskt och visar vilka vetenskapliga teorier den vilar på. Begrepp som är centrala i studien definieras. Vi startar med en inblick i matematikdidaktiken som forskningsgren. Kunskapsbegreppet diskuteras med förklaring av tyst kunskap och vidare matematisk kunskap. Lärande får stor del i avsnittet då det finns flera olika syn på hur vi lär och olika saker som påverkar lärandet i matematik. Vi kommer även in på vad förväntningar betyder för matematiskt lärande och vad det finns för olika sätt angående bedömning.

3.1 Matematikdidaktik

Niss (1999) pekar på att många av forskarna i matematikdidaktik till en början även var undervisande matematiklärare på universiteten. För fyrtio-femtio år sedan, då matematikdidaktiken som disciplin anses ha börjat, resonerade man om matematikstudenten som att antingen hade den ”det” eller inte (ibid). Man ansåg helt enkelt att misslyckanden i matematikstudier helt berodde på studenten själv.

Misslyckades man som student var man inte lämpad att studera matematik och därmed ifrågasattes heller inte på vilket sätt undervisningen vid universiteten kunde ha bedrivits annorlunda i syfte att anpassa undervisningen till de elever som inte förstod. Idag är inställningen en annan, man är medveten om att om lärare anpassar undervisningen till studenterna kommer fler att klara av kurserna (då får dessutom universiteten betalt och har mer medel till forskning m.m.). En anledning till att uppfattningen om ansvarsfördelningen kring misslyckanden i matematikstudier har ändrats är att det numer även är lärare från andra undervisningsnivåer än universitetets som idag bidrar till forskningen inom matematikdidaktiken (ibid).

Så vad innebär matematikdidaktisk forskning? Jo, matematikdidaktiken är en tvärvetenskaplig disciplin, självfallet inbegriper det matematikens område, men tar bland annat del av samhällsvetenskaplig och beteendevetenskaplig forskning. Vilka vetenskapliga forskningsområden matematikdidaktiska studier lutar sig mot beror på i vilket sammanhang och ur vilka perspektiv undersökningen sker och vilka andra vetenskaper den angränsar till i forskningsfrågan. Inom samhällsvetenskaplig forskning är det individ och samhälle som studeras och inom matematikdidaktiken studeras

”undervisning och lärande när det gäller matematik på alla nivåer i utbildningssystemet”

(Niss, 2001). Niss har utarbetat en modell där han förklarar disciplinen matematikdidaktik och vad som studeras. Matematikdidaktik av första ordningen innebär att det som studeras är nära den matematiska undervisningen och matematikdidaktik av andra ordningen innebär att det som studeras är själva matematikdidaktiska disciplinen och båda kan gå i varandra (Niss, 1999). Denna studie lägger, enligt Niss modell, an ett deskriptivt och analytiskt perspektiv på övergången mellan årskurs sex och sju på primär

nivå. Studien ger en beskrivning av hur övergången går till och hur matematiklärarna tänker kring densamma och även analys av vad deras beskrivningar kan generera för upplysningar om konsekvenser av överlämningen.

Paul Cobb tilldelades Freudenthalmedaljen¹ 2008 för sitt gedigna arbete inom den matematikdidaktiska forskningen. Cobb har varit verksam inom matematikdidaktiken från i stort sett denna forskningsgrens begynnelse och han har med sitt massiva arbete bidragit till att föra forskningen framåt genom att bland annat utveckla ett socialkonstruktivistiskt sätt (se 3.3) att se på lärandet inom matematikdidaktiken (Skott, 2008a). Cobb har enligt Jeppe Skott varit tongivande till ”den fackdidaktiska scenen”

(ibid). Liksom Niss har Cobb bidragit med kunskap och sätt att arbeta inom matematikdidaktiken genom att ta fram olika övergripande modeller, exempelvis en modell tillsammans med Yackel vilken varit användbar vid analyser och studier av klassrumssituationen ur ett socialt och psykologiskt perspektiv (se avsnitt 3.4.3).

3.2 Kunskapsbegreppet

Genom historien har synen på vad kunskap är och synen på hur människan lär ändrats ett flertal gånger efter rådande kultur. Den västerländska kulturens syn på kunskap har sitt ursprung från tiden cirka 200 f.Kr. i samband med Platons reflektioner över vad kunskap är och hans resonemang kring att det bör skiljas på sann kunskap och rent tyckande, episteme respektive doxa (Gustavsson, 2002). Efter Platon har man beroende på tidens anda diskuterat filosofiskt huruvida det finns sann kunskap eller ej och pekat på olika sätt för människan att lära sig genom att både inhämta och hitta nya kunskaper. För att veta om någon kunskap är sann måste den rättfärdigas på något vis. Enkelt uttryckt kan den göra det genom att bygga på fundamentala (självevidenta) grunder eller koherenta föreställningar, där förenklat allt hänger ihop och därmed måste vara sant. För att underbygga de resonemang och analyser som kommer att föras mot slutet av denna studie redogörs här de teorier och begrepp studien lutar sig mot.

Enligt Gustavsson (2002) fanns det i läroplansarbetet av Lpo 94 behov av att diskutera kunskapsbegreppet. Han menar att begreppet kunskap under lång tid tagits för given, men då det under 1900-talet har skett en snabb sociokulturell utveckling med nya och andra kunskaper som ger nya socioekonomiska aspekter på vilken kunskap som är av betydelse för framgång både på individuell och samhällelig nivå (ibid). Behovet av att se över kunskapsbegreppet och innehållet i det som skall läras i skolan har vuxit. De diskussioner som fördes kring vad kunskap är, medförde att man enades om att det i vår tid passar bra att dela in kunskap i olika former, ”vetandet, kunnandet och klokheten” och det man lyfte

1 Freudenthalmedaljen delas ut av ICMI, The International Commission on Mathematical Instruction.

Denna kommission håller världskonferens vart fjärde år och vid konferensen i Mexico sommaren 2008 delades priset ut till Paul Cobb.

fram i diskussionerna har lett fram till att vi i den svenska skolan idag sedan 1992 talar om de fyra F:n i läroplanen (Gustavsson, 2004). I varje skolämne delas numer kunskapen in i de fyra F:n som står för; fakta, förståelse, förtrogenhet och färdighet (Gustavsson, 2002, s.23). Detta innebär att lärare vid avgränsande av stoff, planering av undervisningen och i bedömning av vad eleverna kan, utgår ifrån alla fyra F:n. För att kunna använda denna uppdelning av kunskapsbegreppet har vi kursplaner i varje ämne som tillhör den rådande läroplanen och för varje ämne finns förtydligande av vilka kunskaper eleverna bör ha uppnått efter årskurs tre, fem och nio i den svenska grundskolan. Detta gäller även i skolämnet matematik, se vidare i nästa stycke (Skolverket, 2008). ”Vetandet” kan förklaras med att det är kunskap som är vetenskapligt förankrad, episteme, ”kunnandet” kan förklaras med olika praktiska kunskaper som exempelvis yrkesskicklighet, techne och ”klokheten” är den form av kunskap som ”syftar till att åstadkomma ett gott liv för människor”, fronesis (Gustavsson, 2004). Redan Platons efterträdare Aristoteles använde begreppen techne och fronesis, men det som behövdes diskuteras före införandet av Lpo94 var vad begreppen och framförallt kunskapsbegreppet betydde för oss i dagens svenska samhälle.

Ett demokratiskt samhälle bygger på ömsesidig respekt och likvärdighet för de olika formerna av kunskap som finns i olika verksamheter (Gustavsson, 2002, s. 17).

Ett begrepp som visade sig vara återkommande under den kunskapsdiskussion som nämns ovan var ”tyst kunskap”. Det behövdes nämligen ett begrepp för den kunskap som genereras genom erfarenhet, eller snarare yrkesskicklighet, i olika verksamheter med praktiska inslag. Och framförallt fick den typ av kunskap som man inom olika yrken visste fanns, men inte var vetenskapligt belagd, ett erkännande. I många fall diskuteras fortfarande hur man kan komma åt denna ”tysta kunskap”. När jag i denna studie undersöker lärarens syn på de frågor jag har runt övergången mellan årskurs sex och sju är det ett lärarperspektiv som studeras för att kanske kunna sätta ord på deras tysta kunskap om hur de gör och vad de av erfarenhet anser man bör göra vid mottagandet av nya matematikelever i årskurs sju.

3.3 Matematisk kunskap

David Tall beskriver matematisk kunskap eller snarare matematiskt tänkande som uppdelad i tre världar;

 den visuella-spatiala

 den proceptuella-symboliska

 den formella (Tall, 2004)

Den visuella-spatiala matematiska världen kan beskrivas som den matematik vi kan uppleva och förkroppsliga, antingen genom verkliga upplevelser och erfarenheter eller genom att visualisera tanken. Både Euklidisk geometri och icke Euklidisk geometri ingår bland annat i denna värld. Ju mer erfarenhet av matematiska verksamheter som kräver sinnenas upplevelser, desto större förståelse i denna den första matematiska världen.

Den proceptuella-symboliska matematiska världen är den där man räknar och manipulerar inom aritmetiken, algebran, analysen och liknande. Även om matematiken i denna den andra matematiska världen har grund eller ursprung i den första, så ligger fokus på symbolerna. Genom att frigöra matematiska symboler ifrån verkligheten kan man komma fram till nya matematiska kunskaper.

Den tredje matematiska världen är enligt Tall den formella matematiska världen. Här är det bevisen som står i fokus. Genom olika förhållanden eller relationer bygger man upp axiom som ligger till grund för matematiska teorem eller satser.

Enligt Skott trycker Niss på att det är oerhört viktigt att vi inte begränsar oss och säger att eleven har matematisk kunskap när den kan räkna ut tal eller uppgifter inom varje matematiskt område för sig. Det är av större betydelse kunskapsmässigt ifall eleven kan se sammanhang och vara så förtrogen med kunskaperna så att den kan använda dem i olika situationer (Skott, 2008b, s.295). Jag kan se en risk när man idag påvisar för elever och föräldrar att eleven har den eller den matematiska kunskapen om eleven uppfyller olika kriterier ur skolmatematikens kursplan. Nämligen att det målrelaterade system vi har blir ett system som begränsar elevens möjligheter om de inte blickar längre i sin målsättning än vad kriterierna för att nå exempelvis godkänd nivå gör gällande. För att då inte fastna i att dela in matematikämnet i olika områden med olika stoff, menar Niss att det är bättre att lära eleverna matematik på så vis att de når så många matematiska kompetenser som möjligt (Niss, 2002). De matematiska kompetenser Niss använder sig av är:

 Tankegångs-

 Representations-

 Symbol och formel-

 Kommunikations-

 Hjälpmedels-

 Resonemangs-

 Modellerings-

 Problembehandlings- kompetenserna (Niss, 2002).

Det går att dela in de matematiska kompetenserna i två syften där tankegångs-, problembehandlings-, modellerings- och resonemangskompetenserna syftar till att genom frågor få svar inom matematiken (Skott, 2008b, ss. 294). Vidare syftar de övriga till att matematiskt kunna använda språk och hjälpmedel (ibid). Om vi jämför Talls tre matematiska världar och Niss matematiska kompetenser med kursplanen i matematik för grundskolans senare år ser vi hur det matematiklärare har att rätta sig efter stämmer överens med denna forskning (Skolverket, 2008).

3.4 Lärande

3.4.1 Kunskapssyner: Behavioristisk, konstruktivistisk, sociokulturellt

Man brukar dela in lärandet i tre dimensioner, för att förstå vad som påverkar människan att lära, där innehållsdimensionen kan förklaras med att lärandet beror av vilket stoff som ska läras, där drivkraftsdimensionen menas att för att lära behövs det något som motiverar oss att ta in det nya och samspelsdimensionen hänger ihop med att människor är sociala varelser och vi lär av varandra både medvetet och omedvetet (Illeris, 2007). De fyra lärotyperna kumulation, assimilation, ackomodation och transformation har lärare att beakta i sin undervisningsplanering (ibid). Förutsättningar att lära för den enskilde individen hänger ihop med intelligens och förmågor, men även arv och miljö. De har olika karaktär och man talar om att förutsättningarna är av biologisk, social, kulturell, etnisk, individuell eller personlig karaktär (ibid). Generellt sett har det sociala arvet en stor genomslagskraft på lärandet (ibid).

Traditionellt sett på hur människan utvecklas och lär sig har man sett på kunskaper som sanningar vilka kan överföras från individ till individ. Men denna passiva syn på kunskap har i stort sett övergivits då man idag anser att lärandet kräver aktivitet. Med behavioristisk syn på lärandet menas att människan lär genom beteendeinlärning (Säljö, 2000). Genom positiv förstärkning av sådant beteende som var önskvärt och negativ förstärkning av sådant beteende som inte var önskvärt lär människan vad som är rätt och fel beteende vid olika tillfällen (ibid). John B. Watson (1879-1958) och Burrhus Frederic Skinner (1904-1990) var de psykologer som genom sina tankar om hur människan lär påverkade undervisningens utformning till att vara behavioristisk fram till den på allvar började ifrågasättas i mitten av 1970-talet (Andersson, 2009). Det som då kritiserades var att det saknades reflektion, planering och kritiskt tänkande för den som skulle lära. Vilket bland andra Albert Bandura (1925-) framhåller i sin kritik av behaviorismen, det har betydelse för inlärningen (ibid). Andersson (2009) formulerar hur detta hade inverkan på undervisningen så här:

Om man bara planerade tillräckligt noga och sedan följde upp, skulle undervisningen gå som en dans. Elevernas olika behov och särart nämndes inte med ett ord. (ibid, s.66)

Flera reaktioner på den rådande ”utbildningssynen” kom från olika håll. Psykologen och psykoterapeuten Carl Rogers (1902-1987) i USA motsatte sig denna allena rådande undervisningsmetodik då han menade att man måste utgå ifrån elevens förutsättningar och behov (ibid). Han var inte ensam utan exempelvis gick Alexander Sutherland Neill (1883-1973) i bräschen för ”den fria pedagogiken”, med efterföljare som namnkunnige Paulo Freire (1921-1997) (ibid). Reaktionen på den behavioristiska synen på lärande som enda sätt att lära har lett fram till andra synsätt på lärandet idag.

3.4.2 Kunskapssyn inom matematikdidaktiken

Inom matematikdidaktisk forskning var fram till 1980-talet den behavioristiska kunskapssynen den vedertagna synen på lärande, men i början av 1980-talet medverkade Paul Cobb till att radikal konstruktivism blev den gängse synen på lärandet, vilket sedan lett till den socialkonstruktivistiska synen på lärandet som är rådande idag inom den matematikdidaktiska disciplinen (Skott, 2008a). Konstruktivism är en kunskapsteori som grundar sig på det antagandet att kunskap är subjektivt och inte går att direkt överföra från en person till en annan utan kunskapen konstrueras inom individen genom bearbetning och strukturering och senare omstrukturering. Man brukar skilja på svag konstruktivism, radikal konstruktivism och social konstruktivism. Det som är kännetecknande för social konstruktivism utöver svag konstruktivism är det faktum att man tar hänsyn till den kontext den lärande individen befinner sig i (Engström, 1998).

Det finns förutom ett socialt perspektiv även ett historiskt och ett kulturellt perspektiv att ta hänsyn till om man vill förstå hur och vad individen lär sig. Den socialkonstruktivistiska synen på kunskapsbildande har inom matematikdidaktiken varit den rådande sedan 1990-talet (Engström, 1998; Skott, 2008a).

Kilborn & Löwing skriver: ”läraren enligt en konstruktivistisk syn på undervisning har extra stora krav på sig vad gäller att arrangera sådana undervisningssituationer som ger eleverna möjligheter att konstruera ny kunskap” (Kilborn & Löwing, 2002, s.12). De menar vidare att för att kunna arrangera sådan undervisning måste man veta var eleverna står i sitt matematiska kunnande. Ett socialkonstruktivistisk sätt att se på matematiklärandet innebär således att matematiklärare bör vara medvetna om att de resultat man vill uppnå med sin undervisning kan fallera om man inte tagit hänsyn till var eleven befinner sig kunskapsmässigt, men även ur andra perspektiv så att hela elevens undervisningssituation beaktas.

Om vi då har Niss matematiska kompetenser i gott minne, så ser vi att om matematikläraren har som målsättning att öka alla åtta kompetenserna hos eleverna, så måste läraren utgå ifrån varje elevs kunskapsnivå (Niss, 2002). Jag menar att med ett social-konstruktivistiskt synsätt på lärandet går det att använda Niss matematiska

kompetenser i undervisningen. Talls teorier kring tre matematiska världar kan fungera som ett stöd för både lärare och elever att då det finns svårigheter att bygga upp förståelse för vissa matematiska kunskaper, så kan man visa på att eleven har större möjlighet att lära sig se matematiska lösningar genom att befinna sig i de olika världarna (Tall, 2004).

Exempelvis när matematiken blir för formell för eleven så att den har svårt att förstå vad som är rätt eller fel kan man försöka använda de kunskaper eleven har i den visuella- spatiala för att skapa större förståelse (jämför med avsnitt 3.3).

Arne Engström inleder sin beskrivning av konstruktivismen i Matematik och reflektion genom att i punktform lista hur en konstruktivistisk undervisning i matematik kan beskrivas:

En konstruktivistisk undervisning

 utgår från en uppfattning att eleven använder sig av det han/hon redan vet för att utveckla personligt meningsbärande lösningar,

 stimulerar eleverna att reflektera över sina matematiska aktiviteter,

 kännetecknas av ett stort inslag av laborativa aktiviteter som möjliggör för eleverna att konstruera sin egen matematik,

 ger ett stort utrymme åt gruppdiskussioner, som låter eleverna bryta sina uppfattningar mot andras, utvecklar elevernas förmåga att motivera och bestyrka sina idéer,

 ser lärandet som en problemlösande aktivitet, där elevernas egna frågeställningar och sätt att formulera problem ges stort utrymme,

 förankras i elevernas verklighet, inte i påhittade situationer,

 ger eleverna möjligheter att bygga upp sin egen matematik; matematiska symboler och algoritmer bygger på det som eleverna spontant utvecklar och formaliseras efterhand,

 betonar kreativa aktiviteter som tillåter eleverna att utveckla sina möjligheter istället för att producera ett givet svar,

 presenterar problemlösande aktiviteter som är öppna, som stimulerar till att arbeta fram olika lösningar,

 ser matematik som en kulturell och social yttring. (Engström,1998, s.11-12.) Denna lista använder jag mig av vid analyserandet av ifall de intervjuade lärarnas syn på kunskap är konstruktivistisk.

3.4.3 Lärares förväntningar och förberedelser av matematikundervisning

För att kunna föra resonemang kring vad lärare behöver veta om nya elevers förkunskaper är det intressant att veta hur lärarna bedriver sin matematikundervisning och hur de vill bedriva sin undervisning. En anledning till varför det är intressant belyses bland annat i en resultatrapport från Skolverket (2009b). Där framkommer att ju mer

eleverna ägnar sig åt eget, individuellt arbete, desto mindre engagemang från eleverna och sämre studieresultat (ibid, s.212). Det innebär att det inte räcker med att undervisningen består av en lärobok i matematik och att eleverna räknar enskilt för att de ska kunna bygga upp god matematisk kunskap. Det räcker inte heller med att det finns en kunnig vuxen närvarande som kan svara på frågor. Lärares handlingar och kommunikation med sina elever i undervisningen är av stor betydelse för elevernas resultat. Fram till 90-talet var svenska skolresultat goda i internationell jämförelse, därefter har resultaten sjunkit. Samtidigt reformerades styrdokumenten och svensk skola har blivit en av de mest avreglerade skolorna (ibid). Vilka handlingar behövs då?

När det gäller matematiken som skolämne finns det flera forskare som menar att det är viktigt att undervisande lärare vet vilka förkunskaper eleverna har i undervisningsgruppen och anpassar undervisningen till gruppen, några av dem är Löwing

& Kilborn (2002) och Wiliam (2007). Löwing (2006) menar att det är en brist i matematikundervisningen att lärarna inte har kontroll på vilka förkunskaper eleven faktiskt har (ibid, ss. 196-201). Eleverna i Löwings studie fick, oberoende av förkunskaper och förmåga, samma förklaringar och räknade på samma uppgifter om än i olika tempo, detta blev en av orsakerna till att många av dessa elever till slut gav upp.

Hon påvisar också att lärare får en ohållbar arbetssituation då de i sin ambition att individualisera undervisningen ställer till det för sig och snart har matematikelever som arbetar med olika områden och matematiklärarna tappar kontrollen då de blir stressade av att inte veta var eleverna befinner sig både i boken och kunskapsmässigt (Löwing, 2004).

De förväntningar läraren ställer på eleven kan inverka på resultatet (Skolverket, 2009b).

I forskningen har vissa kontextuella effekter - kamrateffekter och lärarförväntningar – identifierats som betydelsefulla för att förklara elevers resultat (ibid).

De senaste 25 åren har man inom den matematikdidaktiska disciplinen studerat det man kallar beliefs (Wilson & Cooney, 2002). På olika vis har man uppmärksammat de förväntningar som finns och som man tror eller visar har inverkan på undervisningen och dess resultat (ibid). Med ett lärarperspektiv i denna studie lämnar jag elev-förväntningar och andra åt sidan och lyfter istället fram de lärar-förväntningar man inom forskningen ovan har insett har betydelse för matematikinlärningen och lärarnas resonerande och agerande kring undervisningen. När det exempelvis gäller effekten av införandet av diverse förändringar och reformer inom skolan, så är det avgörande att ha förståelse för vad lärarna har för förväntningar och tro på förändringen (ibid). Man bör även vara medveten om att lärare kan ha en uppfattning om vad som skall genomföras i ett moment, men att det inte stämmer överens med det praktiska handlandet (ibid).

Vilka förväntningar har lärarna i denna studie på sina elever? Inom matematikdidaktiken är det många forskare som sysslar med det man kallar beliefs, Cobb & Yackel (1996) utvecklade en modell (tabellen nedan) användbar för matematikdidaktiker vid studier av förväntningar i matematikklassrummet ur socialt och psykologiskt perspektiv (Skott, 2008). Då jag inte gör någon undersökning i klassrummen, utan endast intervjuar lärarna om hur de gör passar inte modellen helt. Men med den som utgångspunkt kan jag dela in de svar jag får på individnivå och gruppnivå ur både lärarens och elevens/elevernas perspektiv.

Det sociala perspektivet Det psykologiska perspektivet

1. Sociala normer i klassrummet. 2. Föreställningar om ens egen och andras roll i klassrummet och om den generella karaktären av matematisk aktivitet.

3. Sociomatematiska normer. 4. Föreställningar och värderingar som är knutna till matematisk aktivitet.

5. Matematisk klassrumspraxis. 6. Matematiska begrepp och aktiviteter.

3.5 Sätt att ta reda på var eleverna befinner sig

Antingen vi får information om elevers matematiska kunskaper genom tidigare lärare eller genom egna undersökningar så har informationen framkommit ur någon form av bedömning. Sätten att bedöma elevers kunskaper bör varieras (Löwing, 2006; Pettersson, 2010; Wiliam, 2007). Då får läraren en mer likvärdig och rättvis bedömning, man säkerställer att det är matematikkunskaper som bedöms och inte annat exempelvis skriv- och läsförmåga. Vad finns det då för sätt att bedöma kunskaperna på? Skriftliga prov, muntliga prov, redovisning i grupp eller enskilt, muntliga diskussioner, löpande bedömningar är några sätt. Förutom olika sätt att genomföra bedömning finns det olika syften med bedömningen. Man kan bedöma för att ta reda på vad eleverna lärt sig inom ett visst bearbetat område eller bedöma för att främja lärandet eller bedöma för att kunna sätta betyg i ämnet. Det är viktigt att läraren själv vet syftet med bedömningen och anpassar de metoder att bedöma till syftet (Wiliam, 2007). Pettersson poängterar att lärare aldrig kan veta fullt ut vad eleven kan då det bara går att bedöma det eleven visar läraren (Pettersson, 2010). Läraren måste skapa tillfällen för eleven att visa sin kunskap och Pettersson menar att eleven inte alltid vill visa eller förstår vad som bör visas eller vet vad som efterfrågas (ibid). När man talar om bedömning brukar man tala om summativ eller formativ bedömning. Ett annat syfte med bedömning kan vara att man vill utvärdera en kurs eller annan undervisning, men utvärdering anser jag inte vara relevant att orda mer om i denna studie.

3.5.1 Summativ bedömning

Om syftet med bedömningen är att komma fram till vad eleven har uppnått för kunskaper inom ett område till exempel vid betygssättande eller med ett prov som inte sedan användes vidare i undervisningen, då är det en summativ bedömning som sker (Wiliam, 2007). Man summerar helt enkelt vilka kunskaper eleven/eleverna besitter just i den aktuella stunden.

3.5.2 Formativ bedömning

Formativ bedömning kan förklaras med sådan bedömning som sker kontinuerligt så att eleven vet vad den behöver lära och läraren kan anpassa undervisningen till eleverna.

”Lärande, bedömning och undervisning bildar en triad, som växelverkar med varandra”

säger Astrid Pettersson (2010) och menar att den bedömning vi som lärare gör har betydelse för lärandet då vi vid bedömningstillfällen lyfter fram vad eleven tolkar som att läraren anser vara det viktiga ur innehållet, bedömningen har betydelse för undervisningen då den kan användas som lärtillfälle men även till att ge eleverna rätt nivå på undervisningen (Pettersson, 2010).

Undersökningar av hur elever arbetar med uppgifter i matematik har visat att elever i matematiksvårigheter i större utsträckning än övriga elever visar

 Brister i begreppsförståelse

 Felaktiga lösningsstrategier

 Brister i taluppfattning, exempelvis svårt att handskas med små och stora tal

 Svårigheter att hantera ovidkommande information (distraktioner)

 Svårigheter att generalisera sina strategier

Bedömning har ofta stort inflytande på elevens fortsatta kunskapsutveckling, men också på elevens motivation och självuppfattning. (ibid)

Petterssons (2010) resonemang stämmer väl överens med Wiliam (2007) som menar att för att få stark inverkan på inlärningen av matematik skall man ha löpande formativ bedömning i undervisningen, ”day-to-day formative assessment” (Wiliam, 2007). Hur denna formativa bedömning ser ut måste varje lärare själv avgöra för att den skall bli så effektiv som möjligt (ibid).

3.6 Regler att förhålla sig till vid överlämningar

Nedan redogörs för bestämmelserna kring överlämningar.

3.6.1. Skollagen

1 kap 1§ Utbildningen skall inom varje skolform vara likvärdig /…/

(SFS, 1985:1100)

1kap 1§ /…/ skolan skall utformas i överensstämmelse med grundläggande demokratiska värderingar. (ibid)

2 kap 2§ /…/ Rektorn skall hålla sig förtrogen med det dagliga arbetet i skolan. Det åligger rektorn att särskilt verka för att utbildningen utvecklas /…/ (ibid) Det har att göra med överlämningar på så vis att det uppkommit frågetecken kring tillvägagångsättet och att man inte vet vad som måste ske vid dem samma. Rektorn skall ha ”insikt i vad lärargärningen innebär” (kommentarer till paragrafen, 1998), om det skulle visa sig att det tillvägagångsätt en skola har vid överlämningar inte gagnar undervisningen tolkar jag det som att det är rektorns ansvar att se till att ändring sker.

2 kap 7§ Varje kommun och landsting skall se till att fortbildning anordnas för den personal som har hand om utbildningen. Kommuner och landsting skall vinnlägga sig om en planering av personalens kompetensutveckling. (ibid) 2 kap 8 § I alla kommuner skall det finnas en av kommunfullmäktige antagen skolplan

som visar hur kommunens skolväsende skall gestaltas och utvecklas. Av skolplanen skall särskilt framgå de åtgärder som kommunen avser vidta för att uppnå de nationella mål som har satts upp för skolan.

Kommunen skall kontinuerligt följa upp samt utvärdera skolplanen. (ibid) 4 kap 3 § 3 Eleverna i grundskolan skall ha en i huvudsak gemensam studiegång, om

inte annat följer av föreskrifter som meddelas av regeringen eller den myndighet som regeringen bestämmer. Lag (1993:1679). (ibid)

4 kap 3 a § Vissa bestämmelser om utbildningens omfattning i grundskolan (timplan) framgår av bilaga 3 [denna bilaga är ej med i detta arbete men där anges timplan för matematik 900 timmar á 60 minuter genom hela grundskolan].

Regeringen eller den myndighet som regeringen bestämmer får

1. meddela de närmare föreskrifter angående tillämpning av timplanen som behövs,

2. för särskilda utbildningar meddela föreskrifter om avvikelser från timplanen, och

3. i övrigt göra begränsade avvikelser från timplanen, om det finns särskilda skäl. Lag (1998:1829). (ibid)

3.6.2. Läroplanen för det obligatoriska skolväsendet, Lpo94

Det ingår i lärarens uppdrag att anpassa undervisningen till eleverna och att ha kunskap om vad som förelegat tidigare:

Undervisningen skall anpassas till varje elevs förutsättningar och behov.

Den skall med utgångspunkt i elevernas bakgrund, tidigare erfarenheter, språk och kunskaper främja elevernas fortsatta lärande och kunskapsutveckling. (Lpo94, 1994, s.4)

För att säkerställa likvärdig utbildning för alla finns det i läroplanen inte skrivet hur skolorna uppnår detta:

Skollagen föreskriver att utbildningen inom varje skolform skall vara likvärdig, oavsett var i landet den anordnas (1 kap. 2 §). Normerna för likvärdigheten anges genom de nationella målen. En likvärdig utbildning innebär inte att undervisningen skall utformas på samma sätt överallt eller att skolans resurser skall fördelas lika. Hänsyn skall tas till elevernas olika förutsättningar och behov. Det finns också olika vägar att nå målet. (ibid, s.4)

Endast vad som skall uppnås, alltså vad eleverna ska få med sig efter avslutad grundskola (årskurs nio), står skrivet i läroplanen. Hur ”hänsyn skall tas till elevernas olika förutsättningar och behov” står vidare inte. När eleverna börjar årskurs sju har lärare inte i läroplanen nedskrivet vad eleverna borde ha med sig. Lokala mål för varje skola, ämne och årskurs skall finnas, men en gemensam rikstäckande målsättning för vad eleverna förväntas ha med sig när de lämnar årskurs sex finns inte i läroplanen för grundskolan:

Skolan skall klargöra för elever och föräldrar vilka mål utbildningen har, vilka krav skolan ställer och vilka rättigheter och skyldigheter elever och deras vårdnadshavare har. Att den enskilda skolan är tydlig i fråga om mål, innehåll och arbetsformer är en förutsättning för elevers och vårdnadshavares rätt till inflytande och påverkan. (ibid, s.5)

Rättigheten att som elev och förälder veta vilka mål eleven bör ha uppnått i varje ämne när eleven lämnar årskurs sex finns alltså reglerat i läroplanen. Men dessa mål skiljer sig alltså från skola till skola. Hur lärare och skolan skall ta emot nya elever står det ingenting om i läroplanen. I avsnittet Övergång och samverkan står det vidare:

För att stödja elevernas utveckling och lärande i ett långsiktigt perspektiv skall skolan också sträva efter att nå ett förtroendefullt samarbete med

förskolan samt med de gymnasiala utbildningar som eleverna fortsätter till.

(ibid, s.14)

Den samverkan man syftar på är alltså mellan olika skolformer, inte samverkan inom varje skolform. I läroplanen trycker man relativt starkt på denna samverkan och visar på vad lärare och rektor har för ansvar här, men det är uttryckt på ett sådant sätt som om hela grundskolan var en och samma skola för varje elev (ibid).

3.6.3. Kursplanen i matematik

Kursplanens innehåll är kortfattat indelat som följer:

 Ämnets syfte

 Mål att sträva mot

 Ämnets karaktär och uppbyggnad

 Mål att uppnå i årskurs 3, årskurs 5 och årskurs 9

 Bedömning (Skolverket, 2008)

Kursplanen är generellt sett inte skriven så att läraren skall bli instruerad i hur den skall genomföra eller planera sin undervisning. Därför går det inte heller att i kursplanen för matematik läsa hur man ska genomföra och lägga upp överlämningar. Men indirekt kan man utläsa vissa riktlinjer. Med formuleringar som:

Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven […]

utvecklar intresse för matematik samt tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik […] utvecklar sin förmåga att […]

utvecklar sin förmåga att[…] Strävan skall också vara att eleven utvecklar sin tal- och rumsuppfattning samt sin förmåga att förstå och använda[…].

(ibid, s.26-27)

Indikeras att man i strävansmålen skall anpassa innehåll och undervisning till vad eleven redan kan och förmår. I avsnittet om matematikämnets karaktär och uppbyggnad står det:

För att framgångsrikt kunna utöva matematik krävs en balans mellan kreativa, problemlösande aktiviteter och kunskaper om matematikens begrepp, metoder och uttrycksformer. (ibid, s.28)

Vilket jag tolkar som en styrning mot att läraren skall se till att eleven i sin undervisning skall få utöva matematiken med olika arbetssätt, men inte hur mycket variation eleven skall möta och när i grundskolan variationen skall ske för att uppnå denna balans.

I målen att uppnå årskurs 3, årskurs 5 och årskurs 9 beskrivs vad eleven skall ha förvärvat för kunskaper för att uppnå ”en lägsta godtagbar kunskapsnivå” (ibid, s.28). Vid överlämningar där det står i överlämnade papper att eleven har uppnått målen för årskurs fem vet mottagande lärare att eleven fått med sig de bestämda matematikkunskaper angivna, men inte hur det kommit eleven till del och inte heller om eleven kan mycket mer än så. Vilka kunskapsmål eleverna i svensk skola skall uppnå i årskurs sex står inte angivna i kursplanen (ibid).

3.6.4. Övriga bestämmelser

Grundskoleförordningen (1994:1194)

I grundskoleförordningen behandlas vad som gäller för just grundskolan och det framgår att man ser på densamma som en enhet. Det som berör övergångar är endast från en paragraf:

3 kap 2§ Formerna för samverkan mellan olika intressegrupper inom en rektors arbetsområde skall utvecklas med beaktande av de lokala förhållandena.

Detta gäller om det inte i författning eller kollektivavtal finns särskilda bestämmelser för behandling av en viss fråga.

Här tydliggörs att de rutiner som finns vid överlämningar inom grundskolan är lokalt bestämda. Jag hittar ingenting om samverkan mellan andra skolor kring olika rutiner.

Allmäna råd

De allmänna råden utgår från en författning och ”bör således följas såvida skolan inte kan visa att man handlar på andra sätt som leder till att kraven i bestämmelserna uppnås”

(Skolverket, 2005).

Bedömning handlar således idag om något mer än att rangordna elever /…/

Den syftar till att identifiera enskilda elevers kunskapskvaliteter /…/

Bedömningen syftar vidare till att så tydligt som möjligt kunna informera elev och vårdnadshavare om hur det går för eleven i skolan och till att ge ett bra underlag för att planera för elevens fortsatta utveckling. (ibid)

4. Metod

Denna studie är en kvalitativ fallstudie, där fallet är lärare i den specifika situationen att de tar emot en ny grupp elever i årskurs sju och skall undervisa dem i ämnet matematik.

För att ta reda på lärares syn på vad de behöver veta om eleverna både kunskapsmässigt och annat för att kunna planera och bedriva bra undervisning, har jag använt mig av avgränsningar och metoder som anges här nedan.

4.1 Analysmetod

Metod att analysera resultatet är att genom att först ta fram en deskriptiv del i resultatet beskriva det som kom fram i intervjuerna med lärarna så sakligt som möjligt utan att väga in annan forskning eller värderingar. Då anser jag att jag får ett empiriskt material om vad respondenterna har berättat i intervjuerna. Det empiriska materialet kommer sedan i analysen att tolkas och värderas, därefter att jämföras med övrigt som lyfts fram i denna studie. Genom en riklig redogörelse av intervjuerna i resultatdelen kan läsaren själv ställa sig kritisk till resonemangen förda och kanske se mönster som jag inte ser. De begrepp och teorier som resonemangen i analysen och syntesen kräver, finns i teoriavsnittet.

Dessa har utvecklats under hela studiens arbetsgång. De underbygger de resonemang denna studie vilar på och då behov har funnits av att söka mer vetenskaplig kunskap att bära undersökningen vidare har teoriavsnittet vuxit.

Jämförelser i denna studie genomförs:

 mellan det lärarna säger och vad forskning och bestämmelser säger.

 mellan lärarnas egen bild av hur man gör idag kontra vad man önskar att man gjorde.

 mellan alla fyra lärarna för att hitta vilka likheter och olikheter i deras beskrivningar som går att finna.

Likt Erika Stadler (2009) i hennes avhandling handlar denna uppsats om stadieövergångar och Stadler valde att göra en longitudinell studie då dessa övergångar sker över tid. Jag har i denna studie valt att ha två till tre intervjuer per lärare med flera veckor emellan tillfällena, för att få med så långt tidsspann som möjligt inom ramarna för detta arbete. I Stadlers avhandling skapade hon en egen analysmetod med grund i grounded theory (se nedan) och intensionell analys. Det gav mig stöd i mitt beslut att ur det som framkommer ur intervjuerna söka bärande begrepp och därefter göra en kvalitativ analys med inspiration av grounded theory. Jag har dock inte kodifierat resultaten så grundligt som är brukligt enligt GT (Bryman, 2002). Däremot har jag i den transkriberade intervjun och genom att återkommande lyssna och samtidigt notera typiska svar och kommentarer hittat återkommande begrepp eller fraser, dessa lyfts fram i analysdelen och används för att söka svar på forskningsfråga 2 och 3 (se kapitel 2).

4.2 Med inspiration av GT-Grounded theory (eller grundad teori)

Jag har använt mig av en form av grundad teori (GT) på så vis att jag har haft ambitionen att låta min empiri utgöra resultatet av djupintervjuer och under intervjuerna låta informanterna tala så fritt som möjligt kring mitt forskningsfokus. Om denna studie endast varit en studie med forskningsmetoden GT då hade gången i arbetet varit sådant att egna studier och iakttagelser skulle lägga grunden till den kunskap som genererar användbara begrepp (Bryman, 2002). Dessa begrepp genererar hypoteser (induktion) som kan användas i djupare eller mer omfattande studier. De senare resultaten jämförs med kända teorier och hypoteser och deducerar fram nya slutsatser. Metoden har beskrivits som en forskningsmetod att ge teorier baserade på sannolikheter ur verkligheten (ibid).

I denna studie är inte forskningsmetoden helt enligt GT då intervjufrågorna har grund i kända teorier om vad som är bra och viktigt enligt forskningen att utgå ifrån som matematiklärare. Exempelvis att ha vetskap om förkunskaper hos sina elever och att anpassa undervisningen till eleverna, att främja lusten att lära och samtidigt arbeta ur devisen att ha en likvärdig skola (Kilborn & Löwing, 2002; Skolverket, 2003;). Även teorier kring vikten av lärarens förväntningar för elevernas resultat är delvis kända och beaktade av författaren innan intervjuerna. Det som mer skiljer från GT i denna studie är att det inte genomförts några förintervjuer i avsikt att kodifiera transkriptioner och därur generera de rika begrepp studien då skulle kretsa kring. Anledningen till att detta inte genomförts är både av tidsmässiga skäl, då de första intervjuerna behövde genomföras i nära anslutning till händelsen som studeras och för att det behövdes flera intervjuer inom kursens (examenskursens) tidsramar för att få ett adekvat resultat.

Det som liknar GT i denna studie är att jag efter intervjuerna fyller på med teorier att använda vid analysen av intervjuerna för att hitta de begrepp som motsvarar det informanterna verkligen vill säga är av betydelse för att det skall bli en bra, effektiv, meningsfull övergång från matematikundervisningen i årskurs sex till årskurs sju. Det är också den likheten i att det inte är en färdig teori som skall prövas utan att med hjälp av begreppen söka en ny teori. Teoriavsnittet kommer därför att fyllas på tills det råder teoretisk mättnad för argumenten i analysen.

4.2.1 Hitta kategorier

In i denna studie hade jag med mig vissa begrepp som jag med hjälp av studie av matematikdidaktisk litteratur och forskning på olika nivåer i området kommit fram till var av betydelse för min studie. Dessa begrepp var förkunskaper, den röda tråden, likvärdig utbildning och individualisering. Genom att transkribera intervjuerna, därefter lyssna igenom dem för att notera vad som varit utmärkande och sedan gå tillbaka till