5A1247, Inlämningsuppgift 2
Godkänd uppgift inlämnad senast den 2007-03-16 ger 2 poäng på tentamen i kursen under 2007.
Uppgiften består av två deluppgifter, vardera ger 1 tentapoäng.
Samarbete är tillåtet men problemen ska lösas och presenteras individuellt.
1. Tvådimensionell harmonisk oscillator
Vi har funnit att en endimensionell harmonisk oscillator har energiegenvärden som ges av En =(n+1/2)hω,n=0,1,2,... Studera nu en partikel i en tvådimensionell harmonisk oscillator vars energi klassiskt ges av
) 2 (
1 2
2 2 2 2
2
y x m m
p
H px + y + +
= ω
Använd lösningen av det endimensionella problemet för att:
(a) Vad blir den kvantmekaniska Hamiltonoperatorn för systemet? (Ledning: byt de klassiska dynamiska variablerna x,y,px,py mot de motsvarande kvantmekaniska operatorerna.)
(b) Bestäm de stationära energinivåerna för den tvådimensionella oscillatorn.
(c) Konstruera vågfunktioner för grundtillståndet och första exciterade tillståndet.
Plotta!
(d) Antag att det till oscillatorns Hamiltonian ovan adderas ytterligare en potential som ges av
axy V1 =
där a är en konstant. Hitta de nya energinivåerna! (Ledning: Problemet kan lösas med ett enkelt variabelbyte.)
(e) Ett problem är inte löst förrän svarets rimlighet är kontrollerad. Kontrollera att termerna i svaret i (d) hänger ihop dimensionsmässigt, och att gränsfallet a =0 fungerar som det ska, osv. Diskutera!
2. Väteliknande tvåpartikelsystem
(a) Vad är den effektiva Bohr-radien och grundtillståndsenergin för följande väteliknande tvåpartikelsystem:
(1) H2, en deutron och en elektron (tungt väte).
(2) He+, en heliumjon där en elektron joniserats.
(3) Positronium, ett bundet tillstånd av en positron och en elektron.
(4) Mesonium, en proton och en negativt laddad μ meson. Massan hos mesonen är 207m , och har livstid ~e 10−6 s.
(5) Två neutroner som binds tillsammans av sitt gravitationsfält.
(b) Bestäm frekvenserna hos (n=2)→(n=1) övergångarna för samtliga system ovan.
