“När du förstår begreppen förstår du matematik”

Vt 2017

“När du förstår begreppen förstår du matematik”

Ida Sandberg

Sammanfattning

Syftet med arbetet var att få mer kunskap om hur matematiklärare på mellanstadiet arbetar för att elever ska få utveckla sin begreppsförmåga inom geometri. Vikten av begreppsförmåga betonas både i Lgr11 samt i tidigare forskning. Syftet bröts ned i två frågeställningar, hur uppfattar matematiklärare geometriska begrepp i matematikundervisningen och hur beskriver matematiklärare sin undervisning för att elever ska utveckla sin begreppsförmåga inom geometri. För att göra datainsamlingen genomfördes strukturerade kvalitativa intervjuer. I resultatet framgick det att matematiklärare uppfattade geometriska begrepp på tre olika sätt.

Matematiklärarna beskrev även olika arbetssätt som de använde för att elever ska få utveckla sin begreppsförmåga inom geometri.

Nyckelord

Begreppsförmåga, geometri, undervisning.

English title: “When you understand the concepts you understand mathematics”

Innehållsförteckning

1. Inledning ________________________________________________________________ 1 1.1. Syfte och forskningsfrågor ________________________________________________ 2 2. Bakgrund ________________________________________________________________ 3 2.1 Begreppsförmåga ________________________________________________________ 3 2.1.1Användning av korrekta matematiska begrepp i undervisningen ________________ 4 2.2 Geometri i skolan ________________________________________________________ 4 2.3 Hur kan undervisningen i geometri utvecklas? ________________________________ 5 2.4 Hur kan undervisningen i geometri utformas? _________________________________ 5 3. Teori ___________________________________________________________________ 7 4. Metod _________________________________________________________________ 10 4.1 Intervju _______________________________________________________________ 10 4.2 Urval _________________________________________________________________ 10 4.3 Genomförande _________________________________________________________ 11 4.4 Analys ________________________________________________________________ 12 4.5 Etiska aspekter _________________________________________________________ 16 5. Resultat ________________________________________________________________ 17 5.1 Hur uppfattar matematiklärare geometriska begrepp i matematikundervisningen? _ 17 5.1.1 Hur beskriver matematiklärare vanliga missuppfattningar av geometriska begrepp?

_________________________________________________________________________ 18 5.2 Hur beskriver matematiklärare sin undervisning för att elever ska träna och utveckla sin begreppsförmåga inom geometri? _________________________________________ 19 5.2.1 Hur används artefakter i undervisningen? _________________________________ 19 5.2.2 Hur genomförs undervisningen? _________________________________________ 21 6. Diskussion ______________________________________________________________ 23 6.1 Metoddiskussion _______________________________________________________ 23 6.1.1 Validitet och reliabilitet ________________________________________________ 24 6.2 Resultatdiskussion ______________________________________________________ 24 6.2.1 Geometrins betydelse __________________________________________________ 24 6.2.2 Begrepp i geometriundervisningen _______________________________________ 25 6.2.3 Att utveckla begreppsförmåga inom geometri ______________________________ 25 6.2.4 Användningen av korrekta geometriska begrepp ____________________________ 26 6.3 Slutsatser _____________________________________________________________ 26 6.4 Vidare forskning ________________________________________________________ 27

Referenslista ______________________________________________________________ 28 Bilaga 1, intervjuguide ______________________________________________________ 31

1. Inledning

Geometri är ett av de områden inom matematik där svenska elever i både årskurs fyra och årskurs åtta presterade under genomsnittet för EU och OECD¹-länder enligt TIMSS 2007 (Skolverket, 2008). Syftet med TIMSS² är att pröva vilka kunskaper som elever i årskurs fyra och åtta har i naturvetenskap och matematik i olika länder. Enligt resultatet från TIMSS 2015 hade de svenska eleverna förbättrat sina kunskaper i matematik jämfört med resultatet från TIMSS 2007, men både i årskurs fyra och årskurs åtta är elevernas resultat i matematik fortfarande under genomsnittet för EU och OECD-länder (Skolverket, 2016b). Både i skolans värld och i vardagslivet kommer elever komma i kontakt med geometriska svårigheter vilket kräver kunskap om bland annat matematiska begrepp. Därför är det viktigt att skolans undervisning syftar till att ge elever möjlighet att utveckla sina kunskaper om matematiska begrepp samt de egenskaper som geometriska objekt har (Löwing, 2011). Även om elever kan se skillnad mellan olika geometriska objekt är det inte säkert att de kan använda korrekta matematiska begrepp för att förklara de geometriska objekten, och om så är fallet behöver de alltså utveckla sin begreppsförmåga (Renne, 2004).

Begreppsförmågan är en av de fem delar som en persons matematiska kunskaper består av (Kilpatrick, Swafford & Findell 2001). Kilpatrick et al. (2001) menar att de fem delarna motsvaras av begreppsförmåga, procedurell förmåga, strategisk kompetens, logisk förmåga samt förmågan att se nyttan med matematik. Att ha kunskap om matematiska begrepp har stor betydelse, det spelar ingen roll om anledningen till att lära sig matematik är möjligheten till fortsatta studier eller om det är av andra personliga skäl. För att kunna lära sig nya begrepp är det nödvändigt att ha kännedom om begrepp som har presenterats i ett tidigare skede. Att ha god begreppsförståelse³ i ett tidigt skede främjar alltså ett gott resultat i vidare studier inom matematik (Palm, Bergqvist & Eriksson, 2004).

Inledningen har beskrivit de svårigheter elever i årskurs fyra och åtta har med matematik och matematiska begrepp. Elever i årskurs åtta har fått grunden för sina matematiska kunskaper i tidigare årskurser och därför är det viktigt att elever redan på mellanstadiet får möjlighet att

1 Organisation for Economic Co-operation and Development

2 Trends in International Mathematics and Science Study

3 Palm, Bergqvist & Eriksson (2004) använder ordet begreppsförståelse, eftersom det är väldigt likt begreppsförmåga har jag valt att använda ordet begreppsförmåga i mitt arbete för att underlätta för läsaren.

utveckla sin begreppsförmåga (Palm et al. 2004). Under min verksamhetsförlagda utbildning (VFU) på grundlärarprogrammet har yrkesverksamma lärare berättat att det är många elever i årskurs 4–6 som saknar förståelse för matematiska begrepp. Eleverna behöver alltså utveckla sin begreppsförmåga inom matematik. Jag har försökt lära mig mer om hur matematiklärare kan undervisa för att elever ska få möjlighet att utveckla sin begreppsförmåga men

informationen jag har hittat har varit bristfällig. Informationen har till exempel fokuserat på elever i årskurs 1–3 eller andra förmågor inom matematik. Geometri är ett område inom matematiken med många begrepp som eleverna behöver förstå för att hänga med i undervisningen. Exempel på sådana begrepp är olika geometriska figurer och dess kännetecken (Skolverket, 2016a). Geometri är också ett av de områden där elever i både årskurs fyra och åtta hade låga resultat i TIMSS 2007 (Skolverket, 2008). Av dessa

anledningar har jag valt att fokusera på begreppsförmåga inom geometri. Min förhoppning är att detta arbete ska leda till att andra lärare tillägnar sig ökade kunskaper om olika sätt att arbeta för att elever ska få möjlighet att utveckla sin begreppsförmåga.

1.1. Syfte och forskningsfrågor

Syftet med arbetet är att få mer kunskap om hur matematiklärare på mellanstadiet arbetar för att elever ska utveckla sin begreppsförmåga inom geometri.

Forskningsfrågorna är följande:

1. Hur uppfattar matematiklärare geometriska begrepp i matematikundervisningen?

a) Hur beskriver matematiklärare vanliga missuppfattningar av geometriska begrepp?

2. Hur beskriver matematiklärare sin undervisning för att elever ska träna och utveckla sin begreppsförmåga inom geometri?

a) Hur används artefakter⁴ i undervisningen?

b) Hur genomförs undervisningen?

4 Med artefakter menas föremål som skapats av människor (Säljö, 2000).

2. Bakgrund

I denna del kommer först definitionen av begreppsförmåga som används i detta arbete att förklaras. Därefter kommer den valda definitionen av geometri, delområdet geometri inom matematikämnet enligt Lgr11 och undervisningen i geometri att redogöras för.

2.1 Begreppsförmåga

I läroplanen för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet 2011 står det att matematikundervisningen ska ge eleverna möjlighet att bland annat utveckla följande förmåga: ”använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp”

(Skolverket, 2011c, s. 56). Skolverket (2011a) beskriver begreppsförmåga inom matematik på följande sätt:

Begreppsförmåga innebär att kunna använda begrepp och veta varför begreppen är viktiga, i vilka situationer de är användbara och hur olika representationer kan vara användbara för olika syften.

Sambanden mellan begreppen gör att matematiken formar en helhet och nya begrepp knyts till och fördjupar kunskapen om redan bekanta begrepp (Skolverket, 2011a, s.1).

Det är omöjligt att ha en konversation eller diskussion angående vilket ämne som helst utan att använda de begrepp som hör till ämnet. “Vad vore till exempel matematik utan begrepp som volym, area, procent och tallinjer?” (Svanelid, 2014, s.63). Begreppsförståelse⁵ innebär att ha förmåga att kunna se samband mellan idéer och procedurer i matematiken (Ryve, 2006). Fördelen med att ha begreppsförståelse är att det blir lättare att förstå hur

matematikens delar hänger ihop på ett meningsfullt vis och inte används godtyckligt enligt Ryve. Det uttryck som kommer att användas i detta arbete är begreppsförmåga. Angående vikten av begreppsförmåga är det en av de fem delar en persons matematiska kunskaper består av. De fem delarna är beroende av varandra för att de matematiska kunskaperna ska utvecklas, därför måste alla fem delar tas i beaktning i undervisningen (Kilpatrick et al. 2001).

För att utveckla begreppsförmåga inom matematik kan undervisningen handla om

diskussioner, till exempel likheter och skillnader mellan olika strategier samt samband mellan matematiska idéer (Hiebert & Grouws, 2007). När elever får lösa problem som är tillräckligt svåra för att det ska bli en utmaning men inte upplevas som hopplöst utvecklas även deras begreppsförmåga, eftersom eleverna får möjlighet att utveckla en större förståelse jämfört

5 Ryve (2006) använder ordet begreppsförståelse men för att underlätta för läsaren har jag valt att använda ordet begreppsförmåga i mitt arbete eftersom orden är väldigt lika varandra.

med en undervisning där eleverna ska kunna svara snabbt på frågor som ställs (Hiebert &

Grouws, 2007).

2.1.1Användning av korrekta matematiska begrepp i undervisningen

Löwing (2004) har i sin avhandling undersökt kommunikationen mellan lärare och elever under matematiklektioner. Löwing har därför observerat nio lärare inom grundskolan, varje lärare observerades under en matematiklektion. När begrepp inom matematik ska definieras synliggörs begreppen ofta genom att eleverna får arbeta med laborationer, men de

laborationer som Löwing observerade hade ingen tydlig koppling till de begrepp som de skulle synliggöra. Laborationernas syfte verkade vara aktivering av eleverna istället för att de skulle lära sig nya begrepp menar Löwing. Både läraren och eleverna måste vara eniga om betydelsen av termer och begrepp i matematikundervisningen för att kunna kommunicera på ett givande sätt anser Löwing. Många av lärarna som observerades använde sig inte av ett korrekt matematiskt språk, till exempel var det flera lärare som aldrig tog upp att en fyrhörning och en kvadrat inte nödvändigtvis avser samma sak. Detta kan skapa framtida problem för eleverna när de behöver behärska ett exakt matematiskt språk enligt Löwing.

Under sina observationer noterade Löwing att många elever inte förstod instruktionerna i sin matematikbok. En anledning till detta skulle kunna vara att i matematikboken används ett korrekt matematiskt språk samtidigt som läraren inte använder ett korrekt matematiskt språk i kommunikationen med eleverna (Löwing 2004).

2.2 Geometri i skolan

Geometri definieras enligt Erlandsson (u.å.) som ”det område av matematiken i vilket man studerar figurers egenskaper i ett rum genom att utgå från en uppsättning grundläggande geometriska objekt, axiom och definitioner”. Geometri är viktigt inom matematiken och dess betydelse poängteras av Dindyal (2015). Dindyal påpekar även att elever redan innan de börjar i skolan känner till geometriska objekt. Därför är det viktigt att skapa ett samband mellan elevernas vardag och undervisningen. ”Kunskapsområdet ’Geometri’ handlar om hur man kan mäta och beskriva sin omgivning. Inom geometri arbetar man med att känna igen, mäta, tolka och beskriva omvärlden utifrån olika rumsliga perspektiv med hjälp av olika uttrycksformer” (Skolverket, 2011b, s.18). Något som förekommer som en röd tråd genom alla årskurser inom geometri är geometriska objekt och det som utmärker dessa. I årskurs 1–3 ska eleverna komma i kontakt med föremål som är kopplade till deras vardag, till exempel en konservburk och en låda (Skolverket, 2011b). Genom att diskutera likheter och skillnader mellan objekten får eleverna bekanta sig med de matematiska begreppen som används. När

eleverna får kännedom om benämningarna cylinder och rätblock lär de sig de korrekta

matematiska begreppen (Skolverket, 2011b). I årskurs 4–6 tillkommer fler geometriska objekt i det centrala innehållet i kursplanen i matematik. Det som tas upp där är följande:

”Grundläggande geometriska objekt däribland polygoner, cirklar, klot, koner, cylindrar, pyramider och rätblock samt deras inbördes relationer. Grundläggande geometriska

egenskaper hos dessa objekt” (Skolverket 2011c, s.58). En målsättning inom undervisningen i matematik är att elevernas förmåga att använda och analysera matematiska begrepp ska förbättras. Eleverna kan förbättra sina kunskaper gällande både matematiska begrepp och geometriska objekt genom att de ges tillfällen då de får beskriva geometriska objekt med matematiska begrepp som höjd, längd och bredd (Skolverket, 2011b).

2.3 Hur kan undervisningen i geometri utvecklas?

Geometri är ett område inom matematiken som har fått en minskad betydelse enligt Sinclair, Bartolini Bussi, Villiers, Jones, Kortenkamp, Leung, och Owens (2016). Anledningen till detta är att andra områden till exempel algebra, har betonats istället. Detta gäller många länder och motiveras med tidigare forskning (Sinclair et al. 2016).

I TIMSS- rapporten från 2007 (Skolverket, 2008) riktas kritik mot geometriundervisningen i den svenska skolan med anledning av elevernas resultat. Begrepp som eleverna i både årskurs fyra och åtta blandade ihop var area och omkrets. En orsak till detta anses vara att

undervisningen har en procedurell inriktning vilken enbart i undantagsfall kan skapa kunskap om begrepp. Procedurell inriktning innebär att eleverna ska lära sig formler för matematiska beräkningar och kunna dessa utantill. När undervisningen har en procedurell inriktning får eleverna inte möjlighet att skapa större förståelse för till exempel begreppet area.

Undervisning som är inriktad på kunskap om begrepp kan däremot bilda procedurell kunskap.

Av denna anledning bör undervisningen i geometri bli mer inriktad på begrepp. Elevernas kunskaper om begrepp som är korrekta bör bekräftas för att de kunskaper som är felaktiga ska upphöra (Skolverket, 2008).

2.4 Hur kan undervisningen i geometri utformas?

För att skapa en förståelse för geometri är det nödvändigt med en mängd begrepp. För att kunna använda samt samtala kring dessa begrepp finns det ett behov av termer för begreppen.

Begreppen för en individ är dock föränderliga. Barn kan uppfatta en kvadrat som en form och när barnet får ökade kunskaper utvecklas uppfattningen av begreppet till en parallellogram som har fyra symmetrilinjer (Löwing, 2011). Det är viktigt att läraren förstår att eleven

behöver vissa förkunskaper för att kunna lära sig nya begrepp. Det krävs då att läraren kan förenkla begreppens definitioner för att eleven ska kunna förstå dem. De förklaringar eleven får är dock inte felaktiga, snarare ofullständiga och förändras eftersom till att bli mer abstrakta (Löwing, 2011). Emanuelsson (1992) hävdar att laborativt arbete kan hjälpa eleverna att skapa förståelse för geometriska begrepp. Om eleverna övar på att rita cirklar med passare kan även andra begrepp behandlas, till exempel radie och diameter. Efter detta kan begreppet cirkel förklaras med dess formella definition. En studie genomfördes i USA där elever i årskurs tre arbetade med att kombinera geometriska begrepp och dans för att utveckla sin förståelse för geometriska begrepp. De fick en lista med geometriska begrepp som de skulle gestalta i en dans som de övade på för att till sist visa upp för sina klasskamrater och lärare.

Under projektets gång arbetade de även med begreppen inom den vanliga

matematikundervisningen och eleverna fick reflektera över hur olika begrepp kan gestaltas.

Elevernas danslärare och matematiklärare bedömde eleverna och både lärare och elever fick reflektera över arbetet. Elevernas reflektioner efter projektet visade att de hade fått en ökad förståelse för geometriska former samt att de uppskattade undervisningens upplägg. För eleverna var det en fördel att repetera geometriska begrepp vilket de gjorde när de dansade (Moore & Linder, 2012).

Elever kan utveckla sin begreppsförmåga genom att använda ett papper som viks på olika sätt anser Duatepe-Paksu (2017). Denna aktivitet har flera fördelar. Aktiviteten synliggör

matematiska begrepp, det blir lättare för eleverna att diskutera med varandra och det enda materialet som behövs är ett vanligt papper. Duatepe-Paksu beskriver hur eleverna kan arbeta med att skapa en romb och lära sig om dess egenskaper. Även Wares (2013) anser att origami kan användas för att lära sig mer om geometriska begrepp, han beskriver i sin artikel hur förståelsen för begreppet ”area” kan utvecklas genom detta arbetssätt. Med origami menas

”konsten att vika papper för att forma figurer och dekorativa föremål” (NE, 2017). Duatepe- Paksu (2017) menar att läraren och eleverna i samband med detta kan diskutera geometriska begrepp med anpassning till elevernas kunskaper.

3. Teori

Den teori som kommer att användas i denna studie är den sociokulturella teorin. Vygotskij (2001) är starkt förknippad med den sociokulturella teorin men det finns även andra som har skrivit om denna teori. Jag kommer börja med att redogöra för Vygotskijs tankar, därefter kommer jag ta upp Säljös (2000) åsikter. Till sist kommer jag att ta upp Sjöbergs (2006) åsikter om inlärning och tester av elevers matematiska kunskaper utifrån ett sociokulturellt perspektiv.

Vygotskij (2001) fokuserade mycket på det som han kallar för högre psykologiska processer.

Exempel på sådana är språk, skrivande, selektiv uppmärksamhet och begreppsbildning. Till lägre psykologiska processer räknar Vygotskij minne och uppmärksamhet. Det som skiljer högre psykologiska processer från lägre är att de skapas som en följd av socialt samspel. Barn kommer i kontakt med dessa processer i sin omvärld genom samspel med andra och efter hand för barnen över detta tankesätt till sig själva enligt Vygotskij. Högre psykologiska processer kan även överföras genom olika tecken och symboler. Detta på grund av att tecken och symboler är en del av det sociala samspel som en person deltar i. När de tecken och symboler som används blir en del av personens psykologiska processer når dessa en högre nivå. När barn utvecklar begrepp sker detta i en process som påverkas utifrån vilket kan ses som en social konstruktion ansåg Vygotskij (2001). Det finns olika sorters begrepp enligt Vygotskij, de begrepp som används i skolan är vetenskapliga och de begrepp som barn använder i sin vardag är spontana. Det är nödvändigt att barn känner till spontana begrepp som de kan utgå från när de ska tillägna sig mer kunskaper om vetenskapliga begrepp. Det som sker när barn lär sig vetenskapliga begrepp är att de kommer påverkas genom en ökad ordning, medvetenhet och rangordning i deras tänkande ansåg Vygotskij.

Ett uttryck som har sitt ursprung i Vygotskijs (2001) idéer är ”den närmaste

utvecklingszonen” som är skillnaden mellan de uppgifter ett barn kan hantera själv inom det kognitiva området och de uppgifter där de behöver hjälp av en vuxen. Vygotskij menade att inlärning och utveckling hör ihop men är olika företeelser. Inlärning behöver ske före

utveckling för att barnet ska kunna tillgodogöra sig den, vid inlärning påverkas de funktioner som finns inom den närmaste utvecklingszonen. Ett exempel när det gäller detta är

undervisningen i skolan. Barn får börja lära sig skriva innan de behärskar alla nödvändiga funktioner som ett skriftspråk kräver. Inlärningen påverkar de nödvändiga funktionerna som till följd av detta utvecklas. Undervisningen i skolan måste ske inom den närmaste

utvecklingszonen, om så inte sker, oavsett åt vilket håll kommer utvecklingen att fördröjas. I en skolklass kommer det barn som inte är läs- och skrivkunnigt att hamna efter i sin

utveckling om övriga elever i klassen kan läsa och skriva. Detta fungerar även tvärtom, om alla elever i en klass inte är läs- och skrivkunniga förutom en, kommer den eleven att hindras i sin utveckling av detta. I det förstnämnda exemplet är undervisningen för svår, i det andra exemplet är undervisningen för lätt. Undervisningen sker alltså inte inom den närmaste utvecklingszonen för någon av eleverna.

Säljö (2000) skriver om lärande utifrån ett sociokulturellt perspektiv och menar att det som skiljer oss människor från andra arter är att vi använder olika redskap som kan vara både fysiska och språkliga. Människors samverkan med dessa redskap spelar en stor roll i ett sociokulturellt perspektiv på lärande. Enligt Säljö är exempel på sådana redskap pennor, telefoner, bilar, anteckningsblock m.m. Alla är exempel på redskap även kallat artefakter som skapats av människor för att vi bland annat ska kunna kommunicera, resa samt skicka och ta emot meddelanden. Människors handlingar är nära kopplade till olika redskap trots att redskapen i fråga inte är en del av en människas tänkande menar Säljö. Redskapen ska heller inte endast ses som döda objekt eftersom kunskaper och insikter från människor har blivit en del av redskapen och blir det som människor samverkar med, exempel på detta är kompassen samt miniräknaren hävdar Säljö. I ett sociokulturellt perspektiv på lärande är en central del att redskap förmedlar verkligheten för människor i konkreta situationer, för att ge ett exempel på detta skriver Säljö om hur en käpp kan användas som ett redskap av en blind person för att samverka med omgivningen.

Förmedling av verkligheten kan förutom via redskap även ske med hjälp av vårt språk enligt Säljö (2000). Språk kan ha tre olika funktioner som är relevanta när det handlar om att få förståelse för lärande i ett sociokulturellt perspektiv enligt Säljö. Han påpekar dock att detta är en förenkling eftersom diskussionen om förståelsen av språk och dess funktioner är betydligt mer invecklad. De funktioner som beskrivs är den utpekande funktionen, den semantiska funktionen och den retoriska funktionen. Säljö anser att det är tydligt att uttryck och ord kan användas för att namnge föremål i vår omgivning, till exempel hus, bil och väg. Detta kan liknas vid att bokstavligt talat peka på saker, men tack vare språket kan människor använda mer exakta uttryck samt tala om saker som inte finns inom synhåll just då eller som inte syns rent fysiskt men ändå spelar stor roll, som exempel på detta nämns bl.a. tid och rättvisa. Med språkets semantiska funktion menar Säljö att uttryck inte bara hänvisar till föremål, de visar

även på en innebörd. Som exempel nämner Säljö hur en person kan beskrivas på många olika sätt. Även fast uttrycken som används är korrekta skiljer sig beskrivningen av personen åt beroende på vem som säger det och vad den personen vill förmedla samt många andra

faktorer. Detta visar på hur språket kan skapa innebörd och inte är neutralt. Språkets retoriska funktion handlar enligt Säljö om att det kan ses som ett sätt att skapa mening mellan

människor.

Sjöberg (2006) anser att kommunikationen mellan människor i klassrummet är grundläggande för elevers inlärning. Med utgångspunkt i ett sociokulturellt perspektiv på lärande belyser Sjöberg därför nackdelarna med de tester som används i dagens skola för att pröva elevers kunskaper i matematik. Vid en typisk provsituation får matematikläraren endast veta vad eleven skriver och inte vad eleven egentligen tänker. Sjöberg menar även att skrivande är en form av kommunikation som är ansträngande för elever. Dessa sätt att utvärdera elevers kunskaper i matematik skiljer sig från andra undervisningssituationer där eleven kan ta hjälp

av till exempel läraren och diskutera problemet för att på så sätt lära sig mer (Sjöberg, 2006).

4. Metod

Syftet med min studie är att få mer kunskap om hur matematiklärare på mellanstadiet arbetar för att elever ska utveckla sin begreppsförmåga inom geometri. För att uppnå mitt syfte valde jag att göra strukturerade kvalitativa intervjuer vilket motiveras i följande avsnitt. Jag kommer även beskriva samt motivera urval av informanter, analysmetod samt de etiska aspekter jag tagit hänsyn till vid datainsamlingen.

4.1 Intervju

Angående intervjuer som datainsamlingsmetod skriver Denscombe (2016) att om intervjuer ska användas som datainsamlingsmetod finns det flera saker som måste tas i beaktning först, möjligheten att komma i kontakt med personer att intervjua, kostnader för att genomföra intervjuer samt vilken sorts data som behövs. Författaren fortsätter med att beskriva hur intervjuer är den metod som ger bäst utdelning om syftet är att få mer kunskap om åsikter och erfarenheter eller komplicerade frågor vilka kräver en förståelse av hur faktorer hänger ihop.

Därför är intervju en passande metod eftersom detta arbete handlar om lärares åsikter och erfarenheter. De intervjuer som har använts i detta arbete var strukturerade. Med detta menas att intervjuerna handlade om ett område samt att intervjufrågorna var så kallade öppna frågor (Trost, 2010). Intervjufrågorna (se bilaga 1) har konstruerats för att kunna besvara

forskningsfrågorna samt med utgångspunkt i delområdet Geometri i det centrala innehållet för årskurs 4–6 i kursplanen för Matematik i Lgr11 (Skolverket, 2011c). Jag valde att ställa frågor om informanternas undervisning som kunde kopplas till den sociokulturella teorin. Exempel på detta är hur de diskuterar med varandra eftersom en del av den sociokulturella teorin är att elever lär i samspel med andra samt kan utvecklas med hjälp av läraren (Vygotskij, 2001). Jag valde även att inleda varje intervju med några uppvärmningsfrågor bland annat om hur länge de hade jobbat som matematiklärare. Hur länge de hade jobbat som matematiklärare spelade inte någon roll för resultatet eftersom syftet med dessa frågor var att komma igång med intervjun och få informanterna att förstå att jag var intresserad av deras tankar och åsikter om sin undervisning.

4.2 Urval

Urvalet som gjordes i denna studie var att utesluta lärare som undervisar elever i årskurserna 4–5 i matematik. Detta på grund av att det inte går att veta om lärare som undervisar i årskurs fyra och fem har hunnit arbeta med området Geometri. I Lgr11 beskrivs i det centrala

innehållet för Matematik vad undervisningen ska behandla inom respektive område, det står dock inte när eleverna ska arbeta med detta (Skolverket, 2011c). Därför bedömer jag att det är

större chans att en lärare som undervisar i årskurs sex har hunnit arbeta med området

Geometri och även kan besvara mina frågor på ett bättre sätt än en lärare som kanske inte har arbetat med området Geometri. För att hitta informanter kontaktades rektorer för grundskolor i två kommuner i norra Sverige. Anledningen till att detta gjordes i två kommuner var för att öka chanserna att hitta informanter. De matematiklärare på skolorna som undervisade i årskurs sex kontaktades och de som tackade ja bokades in för en intervju. Åtta informanter intervjuades och intervjuerna varade i 25–45 minuter. Informanterna i studien var både män och kvinnor med olika lång erfarenhet av läraryrket. I tabellen nedan presenteras information om informanterna grundat på den första frågan (och den frågans följdfrågor) i intervjuguiden.

Med antal år som matematiklärare menas det antal år som lärarna undervisat i matematik.

Anledningen till denna del i tabellen var att några av lärarna hade haft tjänster i början av sitt yrkesliv där matematik inte ingick. Eftersom jag letar mönster som är större än på individnivå har informanternas kön inte haft någon betydelse i detta arbete.

Tabell 1 Information om informanterna i denna studie

Informant Längd på intervju Behörighet Examensår Antal år som

matematiklärare

Informant 1 45:31 1–7 2002 10

Informant 2 33:19 7–9 2007 10

Informant 3 29:38 7–9 2008 3

Informant 4 28:51 4–6 1983 34

Informant 5 27:47 1–7 1992 25

Informant 6 26:27 1–7 1993 24

Informant 7 28:21 4–9 2002 15

Informant 8 25:52 1–7 1992 20

4.3 Genomförande

När intervjuguiden var klar genomfördes en testintervju med en lärare som arbetar i årskurs 7 för att se om frågorna stämde överens med det jag ville undersöka. Jag ville även kontrollera om frågorna var tillräckligt tydliga och att den intervjuade förstod mina frågor. Efter

testintervjun gjordes mindre justeringar i intervjuguiden. Bland annat bytte några frågor plats eftersom jag under testintervjun upptäckte att ordningen på frågorna inte var den bästa. När jag bytte plats på några av frågorna gjorde det att samtalet under intervjun fick bättre flyt. För att förtydliga syftet med testintervjun var den alltså inte en del av datainsamlingen. När tidigare nämnda justeringar var gjorda påbörjades arbetet att intervjua informanter.

Informanterna fick själva välja tid för intervjuerna som genomfördes under deras

planeringstid. De intervjuades i sina arbetsrum alternativt andra tillgängliga lokaler som

grupprum och klassrum. Innan intervjun började blev informanterna påminda om att deras deltagande är frivilligt samt att inga uppgifter om namn eller arbetsplats kommer att finnas med i sammanställningen av undersökningen. Under intervjuerna var jag noga med att inte nämna informanternas namn eller skola för att vara ännu mer säker på deras anonymitet.

Informanterna gav samtycke till att deras intervju spelades in, de informerades även om att ingen utomstående kommer få ta del av det inspelade materialet. Varje intervju

transkriberades ordagrant direkt efter intervjutillfället. Även pauser och suckar togs med i transkriberingen. Exempel på ljud som inte togs med i transkriberingen var skrapljud från stolar och hostningar. Det finns flera anledningar till att intervjuerna spelades in. För det första kan den som intervjuar få med informantens tonfall och exakta uttalanden samt lyssna på det efteråt. För det andra behöver intervjuaren inte koncentrera sig på att anteckna under intervjun vilket är en fördel eftersom det kan upplevas som störande (Trost, 2010). För att underlätta presentationen av resultatet senare i arbetet valde jag att renskriva de utvalda citaten. Detta gjordes dock utan att ändra innebörden i citatet. Nedan presenteras ett exempel.

”Jaa, man fick ehh... backa och nöta grunder, mycke begrepp”

Det citatet såg ut som nedan efter renskrivning.

”Man fick backa och nöta grunder, mycket begrepp”.

4.4 Analys

För att analysera min insamlade data har jag utgått från den sociokulturella teorin (Vygotskij, 2001; Säljö, 2000). När transkriberingen av alla intervjuer var klar läste jag genom alla transkriberingar flera gånger för att leta efter mönster i intervjuerna som kunde kopplas till den sociokulturella teorin. Eftersom jag letade mönster som är större än på individnivå hade det ingen betydelse vem som sagt vad. Efter detta delade jag in informanternas utsagor i tre kategorier: Hur uppfattar lärare geometriska begrepp, vilka artefakter används i

undervisningen i geometri och hur elever lär av varandra. Jag valde dessa kategorier för att det var något som alla informanter tog upp när de intervjuades. Jag har även utgått från tre områden i den sociokulturella teorin som var viktiga för min studie när jag delade in informanternas utsagor i kategorier. Dessa områden var begrepp, artefakter samt lärande genom socialt samspel.

I den förstnämnda kategorin, hur uppfattar matematiklärare geometriska begrepp, kunde fyra huvuddrag urskiljas och lärarnas utsagor delades in i underkategorier utifrån detta. Dessa var följande: grundläggande, förståelse, vikten av korrekta begrepp och svåra begrepp. I den andra kategorin, vilka artefakter används i undervisningen i geometri, delades lärarnas

uttalanden in i fem underkategorier utifrån vilka artefakter de berättade om. De fem

kategorierna var: praktiskt material, språk, mätverktyg, tekniska föremål och kommunikativa redskap. Informanternas utsagor som hörde till den tredje kategorin, hur elever lär av

varandra, delades in i två kategorier med grund i vilket arbetssätt de beskrev. Den första kategorin var arbetssättet EPA som står för enskilt, par och alla. EPA innebär att eleverna tänker själva på en uppgift eller ett problem, sedan diskuterar de med en klasskamrat för att till sist diskutera det i helklass (Skolverket, 2016c). Den andra kategorin var övriga

diskussionsuppgifter som inte hör till arbetssättet EPA. Detta presenteras i tabellen nedan.

Tabell 2. Kategorier

Kategorier Underkategori 1

Underkategori 2

Underkategori 3

Underkategori 4

Underkategori 5 Hur uppfattar

matematiklärare geometriska

begrepp?

Grundläggande Förståelse Vikten av korrekta begrepp

Svåra begrepp

Vilka artefakter används i undervisningen i

geometri?

Praktiskt material

Språk Mätverktyg Tekniska

föremål

Kommunikativa redskap

Hur lär elever av varandra?

EPA Övriga

arbetssätt

Efter detta delade jag in informanternas utsagor i de underkategorier som nämnts tidigare. För att vara säker på att utsagorna placerades i rätt underkategori läste jag transkriberingarna noga flera gånger. Detta presenteras nedan, citaten i tabellerna är exempel och illustrerar flera informanters utsagor.

Tabell 3. Hur uppfattar matematiklärare geometriska begrepp?

Underkategorier Exempelcitat Exempelcitat Exempelcitat

Grundläggande ”Begrepp är ju en viktig grundläggande sak att

förstå.”

”Man fick backa och nöta grunder, mycket begrepp.”

”Förstår man inte vad orden betyder då kan man inte använda dom. Har man inte

språket då är det svårt att ens komma till något

räknande.”

Förståelse ”Man måste hela tiden använda begreppen för att

sen skapa förståelse.”

”Det är att förstå begreppen alltså, vi jobbar

mycket med begreppen”

”Man behöver ha koll på begreppen. [...] Att veta vad

man menar när man använder ett visst begrepp,

att man har förståelse”

Vikten av korrekta begrepp

” De flesta kan många begrepp när de kommer till mellanstadiet, vi har nämligen börjat fokusera

mer på begreppen redan där, sluta säga fyrkant till

exempel.”

”Jag tycker det är viktigt att jag använder de korrekta begreppen. Då får

de höra dom mycket och det blir naturligt att använda begreppen.”

”De måste kunna använda korrekta begrepp och beskriva förhållanden mellan olika figurer.”

Svåra begrepp ”Omkrets är lättare att förstå än area. [...] Area blir svårare att förstå att det är yta och vad är det egentligen vi mäter?”

”Alltså, skilja mellan area och omkrets. Det blandar

de ofta ihop, vad är omkretsen, vad är area?”

”Omkrets och area, att de blandar ihop vad är vad. [...]

Vad är det som gör att det ändå fortfarande blandas

ihop?

Tabell 4.Vilka artefakter används i undervisningen i geometri?

Underkategorier Exempelcitat Exempelcitat Exempelcitat

Praktiskt material ”Vi arbetar med det så mycket som möjligt, vi har plockmaterial, till exempel kon och rätblock i plast som går att veckla ut på bordet. De kan bli helt platta och går även att vika ihop till en kub eller ett rätblock”

Jag använder mycket bilder, som de kan se och ta på själva, det fungerar”

”Jag brukar säga att lösningen finns i figuren, har man en bild så kan man liksom se lösningen där.

Jag försöker uppmana dom till att rita mycket, jag ritar väldigt mycket eller använder visuella material.”

Språk ”Ibland kan man jobba med

att man får söka en figur, man beskriver och ibland får man ställa motfrågor, har den två parallella sidor, ja den har två parallella sidor”

”Vi diskuterar alltid likheter och skillnader, att kunna beskriva. Vi jobbar mycket med att kunna beskriva, ja hur beskriver du en kub och då ska de kunna dom här begreppen.”

”Ja, vi jobbar mycket beskrivande med ord, alltså beskriva dom, skillnader och likheter.”

Mätverktyg ”Area är det som är ytan av ett område, vi jobbar praktiskt, mäter runt om och använder papper som vi lägger för att räkna ut ytan på en del av golvet, till exempel”

”Omkrets runt om och vi har trådar som vi lägger och vi går runt och vi ritar.

”Från början är det väldigt praktiskt. Vi mäter väldigt mycket och ja, omkrets är ju lätt så att säga, det brukar gå. Vi brukar mäta både stort och smått.”

Tekniska föremål ”Vi använder även Ladybug, en slags dokumentkamera där man kan lägga fram sina lösningar så kan man se på projektorn också får de förklara och visa.”

”Genom att vi har en activeboard, storbildsskärm i varje klassrum så finns det verktyg där, man kan ta upp geometriska figurer och namnge dom.”

”Jag använder ibland videoklipp som man kan visa i klassrummet med en projektor.”

Kommunikativa redskap ”Jag jobbar mycket med små Whiteboard-tavlor som varje elev har. Så att, jag ger dom frågor också får dom hålla upp och kan dom inte så lämnar dom tomt.”

”Jag har små

whiteboardtavlor, då kan jag be dom rita en kvadrat och sen får de hålla upp den samtidigt, då ser jag om alla ritar en kvadrat då ser jag att de har förstått.”

”Vi har köpt in några såna här mini Whiteboards och där ser man ju jätteenkelt om dom förstår, dom håller upp dom och sen kan man kolla”

Tabell 5. Hur lär elever av varandra?

Underkategorier Exempelcitat Exempelcitat Exempelcitat

EPA ”Vi brukar arbeta enligt

EPA också, då får de lära av varandra och det fungerar väldigt bra. Alla får tänka själva och fundera först innan vi arbetar tillsammans.”

”Dom brukar få uppdrag som de ska lösa

tillsammans i par och sådär. Har jobbat ganska mycket med EPA-

uppgifter, alltså enskilt, par och alla.

”Det är ett arbetssätt som vi brukar använda, EPA, enskilt, par och alla. Det älskar dom ju, att man har en problemställning som alla först då får tänka enskilt på, börja lösa.

Övriga arbetssätt Jag brukar göra så att eleverna får diskutera med varandra i grupp om olika begrepp samtidigt som jag går runt och lyssnar, vi kan även göra det i helklass”

”Vi arbetar i grupper, grupparbeten.”

”Vi har försökt ha halvklasstimmar i matematik för problemlösning och diskussion.”

4.5 Etiska aspekter

De forskningsetiska principer som är aktuella för denna studie är Informationskravet, Samtyckeskravet, Nyttjandekravet och Konfidentialitetskravet (Vetenskapsrådet, 2002).

Deltagande informanter kommer att vara anonyma och kommer inte att kunna identifieras.

Material som ljudinspelningar och anteckningar kommer inte utomstående få ta del av.

Information om studiens syfte kommer att delges informanterna samt att deras medverkan är frivillig och att de kan avbryta sin medverkan när de vill.

5. Resultat

Resultatet presenteras utifrån forskningsfrågorna som är följande:

1. Hur uppfattar matematiklärare geometriska begrepp i matematikundervisningen?

a) Hur beskriver matematiklärare vanliga missuppfattningar av geometriska begrepp?

2. Hur beskriver matematiklärare sin undervisning för att elever ska träna och utveckla sin begreppsförmåga inom geometri?

a) Hur används artefakter i undervisningen?

b) Hur genomförs undervisningen?

Hela resultatavsnittet kommer till stor del handla om så kallade geometriska begrepp samt geometriska figurer. Med detta menas de geometriska begrepp och figurer som informanterna berättade om när de intervjuades: Area, längd, sträcka, kub, rätblock, kvadrat, parallellogram, parallelltrapets, triangel, rektangel, kon, cylinder, romb, omkrets, cirkel, vinkel, volym, sida, hörn, kant, bas och höjd.

5.1 Hur uppfattar matematiklärare geometriska begrepp i matematikundervisningen?

Det finns tre huvuddrag för hur informanterna uppfattar geometriska begrepp som kan urskiljas i min insamlade data: Geometriska begrepp kan uppfattas som grundläggande, som något eleverna behöver förstå samt som det enda korrekta jämfört med det vardagliga språket som används.

Geometriska begrepp kan uppfattas som grundläggande och flera informanter betonar hur viktigt och grundläggande begrepp är. En informant jämför det med orden i ett språk och menar att om eleverna inte kan språket är det svårt att göra olika uträkningar. En annan informant började undervisa i en ny klass men insåg att nivån på undervisningen var för hög i förhållande till elevernas kunskaper. Detta kan beskrivas med följande citat: ”Man fick backa och nöta grunder, mycket begrepp”.

Ett annat sätt att uppfatta geometriska begrepp är som något eleverna behöver förstå. Eleverna behöver förstå och även använda begreppen för att skapa förståelse för matematik. Förstår inte eleverna vad de gör tycker de inte att matematik är roligt. Förståelse anses även vara viktigare för eleverna än att de lär sig en metod som de glömmer bort. Informanterna

beskriver hur de arbetar med begreppen, om de arbetar med ett specifikt begrepp är målet att eleverna ska förstå det begreppet. Detta tydliggörs genom följande citat från en informant:

Jag brukar jämföra med glosor i engelska ungefär, det spelar ingen roll om man kan många ord och man kan stava dom men inte kan använda dom. Det är ju samma sak med begrepp i alla andra ämnen, de måste ju betyda något, om man lär sig hörn men inte kan använda det eller förstå det så är det ju onödigt vetande.

Ett tredje sätt att uppfatta geometriska begrepp är som det som är korrekt jämfört med det vardagliga språket. Detta var något som alla informanter tog upp när de intervjuades. En informant som har 30 års erfarenhet berättar om sina upplevelser av hur lärare arbetar idag jämfört med tidigare. Hon menar att geometrin är mycket tidigare, i alla fall begreppen.

Lärare är noggrannare och använder geometriska begrepp som kub och rätblock mycket tidigare och då blir det lättare. Det blir inga felinlärningar som lärarna behöver jobba bort, till exempel användningen av ordet fyrkant. Hon upplever att eleverna kan fler begrepp nu jämfört med tidigare och tror att lärare blivit mer medvetna om detta på grund av Lgr11. En annan informant tillägger att om en elev kan lära sig ordet kvadrat istället för fyrkant i årskurs fyra kan de lära sig det ännu tidigare, redan i årskurs ett eller i förskolan. Citatet nedan

illustrerar de missuppfattningar som trots detta kan uppstå.

Fyrkant tycker dom är en kvadrat. Men är inte den här fyrkanten då en rektangel? Men den har ju inte alla sidor lika långa tycker dom. Det är sådana där missuppfattningar man också måste ta upp. Sen när de börjar högstadiet blir det att en kvadrat egentligen är en rektangel, bara att den kallas för kvadrat.

Alla informanter uttrycker samma åsikter om vikten av korrekta begrepp men några medger att de själva ibland säger fel trots att de försöker använda korrekta begrepp. Informanterna understryker hur viktigt det är att de själva använder korrekta begrepp, särskilt när de ska introducera nya begrepp för eleverna. Några informanter använder då bilder och när de visar upp en bild av en kvadrat säger eleverna att det är en fyrkant. Då är de noga med att poängtera att det heter kvadrat och inte fyrkant bara för att den har fyra kanter.

5.1.1 Hur beskriver matematiklärare vanliga missuppfattningar av geometriska begrepp?

Vanliga missuppfattningar som en betydande del av informanterna berättar om är area och omkrets. De flesta informanter menar att omkrets och area är geometriska begrepp som elever missförstår eller blandar ihop. Det går inte att få svar på varför det är på det viset men det

finns några tankar om varför. Några åsikter är att eleverna har större förkunskaper om omkrets som är väldigt konkret och att area blir för abstrakt. Något som många informanter beskriver är hur eleverna verkar förstå när de arbetar praktiskt med omkrets och area. Det kan till exempel vara att de mäter föremål och lägger ut papper för att beräkna area. När de ska beräkna area genom multiplikation som är själva målet verkar det bli för abstrakt för många elever och de förstår inte vad de gör. Informanterna beskriver hur de arbetar på olika sätt för att eleverna ska förstå omkrets och area. Följande citat visar hur informanterna tänker kring detta.

Det är fascinerande och jag känner att jag måste rannsaka mig själv, hur kan jag liksom slå knut på mig själv en gång till för att nå fram, liksom verkligen. För det är ju när de har förstått det som det sitter, innantill inlärning det är ju liksom inget värde alls i det utan de ska inte behöva komma ihåg vad det var de skulle minnas för att de ska förstå.

Det som framgår är att eleverna kan arbeta med area och omkrets och läraren uppfattar det som att alla har förstått. När de efter ett tag kommer tillbaka till samma arbetsområde märks det att eleverna inte är säkra på vad omkrets och area är. Eleverna blandar ihop begreppen eller har inte riktigt förstått oavsett hur många olika sätt de har arbetat på. När det handlar om area blir det ännu svårare att förstå när de ska beräkna olika geometriska figurers area. Som exempel kan nämnas triangel, även om de har förstått hur de beräknar arean blir det svårare eftersom de behöver förstå att en triangel är en halv rektangel. Även här beskriver

informanterna att de arbetar på olika sätt men de märker att många elever ändå har svårt att förstå.

5.2 Hur beskriver matematiklärare sin undervisning för att elever ska träna och utveckla sin begreppsförmåga inom geometri?

Resultatet på denna fråga är uppdelat i två delar och därför presenteras resultatet genom två underrubriker. De är följande: Hur används artefakter i undervisningen samt hur genomförs undervisningen.

5.2.1 Hur används artefakter i undervisningen?

Denna del kommer att ta upp de artefakter som används i undervisningen i geometri. Med artefakter menas föremål som skapats av människor (Säljö, 2000).

Något som är gemensamt för alla informanter är att de berättar om hur viktigt det är att arbeta praktiskt, det är även något som de tycker fungerar bra. Exempel på material som används är

kortlekar, spel, memory, bilder samt modeller av geometriska figurer. Informanterna beskriver hur de använder olika geometriska figurer i plast som både går att veckla ut så de blir helt platta och även kan vikas ihop igen. De används för att skapa förståelse för hur figurerna är uppbyggda. Eleverna kan även få arbeta med att konstruera geometriska figurer.

De klipper och klistrar, viker papper och skapar olika geometriska figurer. Följande citat beskriver fördelarna med detta: ”Jag brukar säga att lösningen finns i figuren, har man en bild så kan man liksom se lösningen där”.

Även språket används eftersom det har en utpekande funktion (Säljö, 2000). Eleverna får i uppgift att beskriva olika geometriska figurer för varandra. Till exempel kan de säga att figuren har två parallella sidor eller åtta hörn. Den elev som får figuren beskriven för sig ska räkna ut vilken geometrisk figur det är. Informanterna beskriver olika sorters övningar, eleverna kan både få ställa motfrågor och räkna ut vilken figur de tror det är som beskrivs eller rita den figur de tror att det är. Andra uppgifter kan vara att eleverna får öva på att beskriva geometriska figurer och diskutera likheter och skillnader mellan dessa.

Andra artefakter som används är olika redskap för att mäta föremål. Informanterna beskriver hur de arbetar väldigt mycket praktiskt och mäter väldigt mycket. När det handlar om omkrets mäter de olika föremål med linjal eller måttband, några brukar även gå runt ett område för att mäta omkretsen. När de arbetar med area har de papper eller plastsjok som de lägger ut för att göra det mer praktiskt. En informant brukar hänga upp ett papper som är en kvadratmeter stort på väggen i klassrummet. Eleverna får då rita kvadratcentimeter inuti för att få ökad förståelse för hur man räknar ut area. Informanterna poängterar även att det krävs praktiskt material för att eleverna ska utveckla sin förståelse för area och omkrets.

Även dokumentkameror, projektor och activeboard används. Informanterna beskriver

fördelarna med dokumentkameror, dels kan eleverna visa de andra hur de har löst en uppgift.

Dessutom anses det vara bättre att använda dokumentkameran istället för att rita på tavlan.

Detta på grund av att det blir tydligare samt att de inte behöver rita varje lektion.

Projektorerna brukar användas i samband med dokumentkameran samt för att visa videoklipp som används i undervisningen. Activeboarden används för att rita och visa geometriska figurer. Via activeboarden finns det även verktyg där det är möjligt att visa olika geometriska figurer och namnge dom tillsammans med eleverna.

Flera informanter använder små whiteboardtavlor i sin undervisning. Whiteboardtavlorna underlättar planeringen av undervisningen eftersom det blir tydligt om eleverna har förstått.

De flesta informanter använder whiteboardtavlorna i samband med diagnoser. De kan be eleverna rita olika geometriska figurer på sin tavla som de sedan håller upp mot läraren. Om någon har ritat fel figur eller lämnat tavlan tom märks det att den eleven inte har förstått. Det kan även vara att de får svara på olika frågor som deras lärare ställer, skriva ned svaret och hålla upp tavlan. Informanterna beskrev hur de tillsammans med eleverna hade bestämt att eleverna inte fick titta på någon annans tavla när de visade sina svar. En fördel med detta är att då ser ingen annan elev om någon har svarat rätt eller fel ansåg flera informanter. Då blir det lättare för eleverna att våga skriva det de tror är rätt svar eftersom de vet att ingen annan ser förutom läraren. En annan fördel är att det märks direkt om en eller flera elever har missförstått något och då behöver detta repeteras.

5.2.2 Hur genomförs undervisningen?

Detta avsnitt kommer att handla om hur undervisningen genomförs. Först presenteras arbetssättet EPA som står för enskilt, par och alla. Därefter redogörs för andra arbetssätt.

Alla informanter berättar att eleverna arbetar i grupp, hur ofta detta sker varierar men ett arbetssätt som majoriteten av informanterna använder är EPA. För att beskriva detta arbetssätt handlar det om att eleverna får en uppgift eller ett problem som ska lösas, först får de fundera själva, sedan med en annan elev och till sist diskuterar de uppgiften och hur de har tänkt i helklass. Fördelen med detta arbetssätt är att elever får fundera över problemet själva först.

Om de börjar jobba i par direkt finns risken att en elev tar över och den andra bara hänger med. När alla har fått sätta sig in i problemet kan de jämföra hur de har tänkt, det kan vara att de har tänkt liknande men visat det på olika sätt. Några informanter betonar att eleverna såklart kan ha hunnit olika långt i sina lösningar men då har alla fått en chans att tänka själva.

Informanterna berättar hur de brukar gå runt i klassrummet och se vilka olika sätt eleverna har löst uppgiften på. Eleverna får sedan visa för varandra hur de har tänkt och diskutera

uppgiften tillsammans. Detta beskrivs av följande citat:

De vill jättegärna visa men det är ändå bra att inte ta alla för det är inte det man är ute efter, utan olika sätt att tänka. Så får de visa för varandra, och där handlar det liksom inte om att briljera utan det handlar om att titta på hur har ni tänkt, hur visar ni det, ställa frågor till varandra, hjälpa att komma vidare, använda begrepp. Det blir en kommunikation både skriftligt och muntligt och med bilder.

Även andra sätt att arbeta finns, eleverna arbetar i sina matematikböcker och då arbetar de ofta med en annan elev. Om det är någon som vill arbeta själv får de också göra det. Flera informanter menar att det är viktigt att de kombinerar olika sätt att arbeta på. Ett arbetssätt som också används är att eleverna får arbeta med problemlösning och resonera tillsammans.

Flera informanter berättar att de har satsat på att ha grupptimmar i matte då eleverna är uppdelade så att halva klassen har matematik samtidigt som de andra har en annan lektion.

Detta fungerar bra enligt informanterna eftersom alla blir engagerade och får tid att resonera.

Hur väl det fungerar beror dock på gruppen. I vissa elevgrupper fungerar det jättebra och alla är engagerade men i vissa grupper har de svårare att lyssna på varandra alternativt svårt att uttrycka sina åsikter.Enligt informanterna fungerar EPA bra eftersom alla elever får tänka själva innan de pratar med en klasskamrat för att till sist diskutera med resten av klassen.

6. Diskussion

I följande del kommer studiens metod, analys samt validitet och reliabilitet att diskuteras.

Även studiens resultat kommer att diskuteras med grund i den forskning som redovisats i detta arbete. Avslutningsvis redogörs för slutsatser och förslag på vidare forskning.

6.1 Metoddiskussion

När jag gjorde denna studie utgick jag från att kvalitativa intervjuer är det bästa sättet att få kunskaper om lärares arbete. Detta på grund av att intervju är den bästa metoden när syftet är att få ökad kunskap om åsikter och erfarenheter enligt Denscombe (2016). En annan tänkbar metod för denna studie hade varit observationer. På sätt och vis hade en observationsstudie varit bättre eftersom jag hade kunnat se hur informanterna undervisade i verkligheten. Även fast de berättade om sin undervisning när de intervjuades är det inte säkert att de undervisar på det sätt de beskriver i verkligheten. Ett exempel är att många informanter berättade om vikten av att använda korrekta begrepp, men det var även några som nämnde att de själva säger fel ibland. Detta kan såklart hända av misstag men hade jag gjort observationer hade jag sett det med egna ögon istället. Även fast observationer hade varit en fördel hade det även medfört nackdelar. För det första hade jag behövt filma i klassrummet vilket hade krävt utrustning och om jag hade filmat elever hade jag behövt vårdnadshavarnas tillstånd

(Vetenskapsrådet, 2002). Jag hade kunnat lösa detta genom att endast filma läraren och tavlan men det hade uppstått problem eftersom flera informanter beskriver hur eleverna ritar och visar på tavlan. Då hade jag som tidigare nämnt behövt tillstånd från elevernas

vårdnadshavare. Många uppgifter gick även ut på att eleverna satt på sina platser och diskuterade med varandra och det hade krävt inspelning eller anteckningar av elevernas diskussioner. Det hade blivit väldigt svårt, i princip omöjligt att få med alla elevers

diskussioner när alla eleverna diskuterade samtidigt i mindre grupper. En observationsstudie hade även blivit svår att planera eftersom det hade krävt att läraren arbetade med geometri just då. När jag gjorde min studie märkte jag att många lärare hade svårt att få till tid för en intervju på grund av olika orsaker därför tror jag det hade varit svårt att begära att få observera en lektion i geometri.

En annan alternativ metod hade varit att göra en enkätstudie. De svar jag hade fått med denna metod hade dock blivit kortfattade samt att det hade varit svårt att utforma enkätfrågor. Jag hade även haft mindre möjlighet att följa upp informanternas svar jämfört med intervjuer där jag kunde ställa följdfrågor. Min analys utgick från den sociokulturella teorin vilket jag anser

var lämpligt för studien. Om en annan teori hade använts är det möjligt att analysen hade blivit annorlunda. När jag gjorde analysen letade jag efter mönster med koppling till den sociokulturella teorin. Hade jag haft en annan teori hade jag kanske fått ett resultat som visat på något annat. Om jag istället hade valt en teori om ramfaktorer och vad som påverkar lärarnas undervisning hade jag kanske dragit andra slutsatser och fått fram ett annat resultat.

Just olika faktorer som påverkar undervisningen var något som många informanter själva tog upp när de blev intervjuade. Det jag hade kunnat göra annorlunda hade varit att välja en teori med starkare koppling till matematik eftersom det hade underlättat tillvägagångssättet.

6.1.1 Validitet och reliabilitet

Jag anser att undersökningen mäter det den ska mäta, vilket gör att den har bra validitet. Det ska dock påpekas att denna undersökning inte är tillräckligt omfattande för att den ska anses gälla för alla lärare i Sverige eller ens alla lärare i de två kommuner som undersökningen genomfördes i. För att uppnå detta krävs det undersökningar med fler informanter samt att urvalet är representativt för lärare. Gällande reliabiliteten är den god eftersom jag har beskrivit hur jag har gått till väga. Dock kan olika personer göra olika tolkningar när det handlar om analys och resultat vilket gör att reliabiliteten minskar.

6.2 Resultatdiskussion

I detta avsnitt diskuteras resultatet med grund i den forskning som presenterats i detta arbete.

Diskussionen presenteras genom följande underrubriker: Geometrins betydelse, begrepp i geometriundervisningen, att utveckla begreppsförmåga inom geometri och användningen av korrekta geometriska begrepp.

6.2.1 Geometrins betydelse

Resultatet av min undersökning visar på att geometrin har stor betydelse i skolan eftersom informanterna berättade mycket om detta och hade en genomtänkt undervisning. Enligt en del av den forskning jag har presenterat i denna studie verkar geometrin dock ha fått en minskad betydelse (Sinclair et al 2016) men mitt resultat visar på motsatsen. Det kan bero på att denna forskning handlar om undervisningen i många länder och inte just i Sverige, dock går det inte att dra några generella slutsatser utifrån detta eftersom det skulle kräva vidare studier. Mitt resultat stämmer överens med Dindyals (2015) åsikter om geometri eftersom informanterna berättar att eleverna redan kan många begrepp när de möter dem. Informanterna anser att geometri är viktigt precis som Dindyal, de har bland annat många tankar och åsikter, prövar olika arbetssätt och vill få alla elever engagerade.

6.2.2 Begrepp i geometriundervisningen

Undervisningen bör bli mer inriktad på begrepp enligt TIMSS 2007 (Skolverket, 2008). Min studie tyder på att lärarna är medvetna om detta och fokuserar på begrepp i sin undervisning.

Flera informanter berättar till exempel hur de har blivit mer noggranna med att använda korrekta begrepp numera jämfört med tidigare. Jag drar slutsatsen att det kan vara på grund av resultatet i TIMSS men det kan även bero på Lgr11 (Skolverket, 2011c) vilken enligt några informanter har påverkat undervisningen. Det som är intressant är att min studie precis som resultatet i TIMSS 2007 visar på att elever blandar ihop omkrets och area. Informanterna menar att de fokuserar på begrepp i sin undervisning men trots detta blandar eleverna ihop begreppen. Det går inte att svara på varför det är så och det är inte heller möjligt att dra några slutsatser för alla elever baserat på min studie eftersom det krävs mer omfattande studier. Det jag kan konstatera är dock att för just de här matematiklärarna som deltog i min studie och deras elever stämmer mitt resultat överens med resultatet i TIMSS 2007 (Skolverket, 2008).

Precis som eleverna som deltog i den undersökningen har informanternas elever svårt för begreppen omkrets och area och blandar ihop begreppen.

6.2.3 Att utveckla begreppsförmåga inom geometri

Vikten av god begreppsförmåga (Kilpatrick et al. 2001) visar sig även i resultatet av min studie. Informanterna poängterar hur viktigt det är att förstå begrepp även inom andra ämnen.

Detta stämmer överens med Svanelid (2014) som anser att begrepp är viktigt inom alla områden. Enligt Lgr11 (Skolverket, 2011c) kan eleverna förbättra sin begreppsförmåga genom att beskriva geometriska figurer. Flera av de informanter jag har intervjuat berättar att eleverna får göra just detta, de tränar på att beskriva figurer för varandra och lär sig samtidigt fler begrepp menar informanterna. För att elever ska utveckla sin begreppsförmåga kan undervisningen handla om flera begrepp och deras kopplingar till varandra tycker Emanuelsson (1992). Det här arbetssättet används av några informanter, till exempel när eleverna diskuterar likheter och skillnader mellan geometriska begrepp. Många informanter beskriver material där eleverna kan vika ihop och vika ut geometriska figurer samt klippa och klistra med papper för att få ökad förståelse för hur de geometriska figurerna är uppbyggda.

Detta stämmer överens med Duatepe-Paksu (2017) och Wares (2013) som menar att elever kan utveckla sin begreppsförmåga genom att vika papper och skapa geometriska figurer.

Många informanter understryker att eleverna får arbeta praktiskt, vilket är viktigt för att de ska få ökad förståelse. Praktiskt arbete betonas även av Moore och Linder (2012).

Arbetssätten är lite olika eftersom informanterna inte arbetar med dans men däremot arbetar