Faktorsatsen (Bevis) Antag polynom

Faktorsatsen (Bevis) Antag ^p

( )

^x polynom

r är då en rot till ^p

( )

^{x = 0⇔ p}

( ) (

^{x = x−r}

) ( )

^{k x}

⇐Utgår ifrån att ^p

( ) (

^{x = x−r}

) ( )

^{k x} är sann, och vill med hjälp av detta visa ^p

( )

^{x =0}

( ) (

x = x−r

) ( )

*k x ⇒⁼ p

( ) (

r = r−r

) ( )

*k r =0*k

( )

r =0⇒

p

F x

Division av ^p

( )

^x med

(

^{x− ger: r}

)

( ) ( ) ( ) ( )

^p

( ) (

^{x x r}

) ( ) ( )

^{k x r x}

r x

x x r

r k x

x

p ⇒ = − +

+ −

− = *

( )

^x

x är av grad ty 0 x− är av grad 1 r Sätt ^r

( )

^{x =c}

( ) (

^{x x r}

) ( )

^{k x c}

p = − * +

Vi vill nu visa att c=0 då vi använder oss av förutsättningarna i satser, nämligen att ^p

( )

^{r =0}

( ) ( ) ( ) ( )

( ) (

^{x x r}

) ( )

^{k r}

p

c c

c r k c

r k r x x p

*

0 0

0 0

* 0 0

*

−

=

=

⇔

= +

⇔

= +

⇔

= +

−

=

⇒

Komplexa tal

p q z p

p z p

p z p

q pz z

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

± ⎛

−

=

⇔

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

=

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

⇔

= + +

2 2 2

2 2

2

2 2

2 1 2

0 2 1

2

0

Om 0

2

2

<

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

=⎛ p q

d saknar ekvationen reella lösningar.

Inför j² =−1 Ex.

Lös ekvationen z²+ z4 +5=0 Lösning:

( )

( )

j z

j z

j z

j z

j z

z z

z

−

−

= +

−

=

±

−

=

⇔

±

= +

⇔

−

−

= +

⇔

= +

− +

⇔

= + +

2 2

2 2

1 2

0 5 2 2 0

5 4

2 1

2 2

2 2 2

z Im

z Re

Z

Im står för Imaginära Z-axeln Z

Re står för Reella Z-axeln

z Im

z 3 Re

2 3+2j

jy x z= +

jy x z= −

2 Im

3 Re

2 3

=

=

=

= +

=

Z y

Z x

j z

jy x

z= + dess konjugat är z=x− jy

Ex.

Antag z₁ =1+ j och z₂ =−2+4j Beräkna:

a) ^z1+^z2 =¹+ ^j+

(

−²+^4j

)

=−¹+^5j b) z₁−z₂ =

(

1+ j

) (

− z₂−4j

)

=3−3j

c) z z

(

1 j

)(

2 4j

)

2 4j 2j 4_{j 6 2j

1 2 2

1 = + − + =− + − + =− +

−

d)

( )( )

(

^{j j}

)(

^{j j}

) ( )

^{j j j}

j j z

z

10

* 3 10

1 20

6 2 4

2

4 2 4 2 4

2 4 2

4 2 1

4 2 1

2 2 2

1 = − −

+

−

+

−

−

=−

−

− +

−

−

−

= + +

−

= +

e) z₁z₁=

(

1+ j

)(

1+ j

)

=1²− j+ j+ j² =1−

( )

−1 =2 f) Rez₂ =Re

(

−2+4j

)

=−2

g) Imz₂ =Im

(

−2+4j

)

=4

i)

( )( )

( )( )

( )( )

10 7 10

7 10 Im 4 40 28 40 Im 16 40

28 Im 16

2 6

10 30 2 Im 6

2 6 2 6

2 6 5 Im 1

2 6

5 Im 1

4 2 1

1 4 Im 2

4 2

1 1

Im 1 1

Im 1

2 2 2 1

−

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +

− +

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

−

− +

−

−

− +

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

− +

−

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+

− +

+ + +

= −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

+ +−

= +

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

j j

j j

j j

j j

j j

j j j

j z

z

Sats:

z

z * är reellt Bevis:

Sätt z?x+ jy⇒z=x− jy Vi får då:

(

^{x jy}

)(

^{x jy}

)

^{x2 jxy jxy}

( )

^{jy 2 x2 j2*y2 x2}

( )

^{1*y2 x2 y2}

z

z = + + = − + − = − = − − = +

Reellt ty x, är reella y