delB (TMA975), 2006-03-10, kl. 8.30-12.30 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa
Telefon: Johan Jansson, tel. 0762-721860
OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.
Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.
================================================================
1. Låt f
(
x,y)
=x4+ y4−4xy−6.a) Ange en ekvation för tangentplanet till ytan z= f
(
x,y)
i punkten(
1,2,3)
. b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten( )
1,2 i riktningen( )
2,1 . c) Bestäm alla stationära punkter till f och deras karaktär.(5p) (3p) (7p)
2. Scandinavium K i Göteborg definieras (i lämpligt koordinatsystem) av olikheterna 0≤z≤15+500x2 , x2 +y2 ≤2500.
a) Beräkna volymen av K. SCANSCANDSCANSCANDDINAVIUMDINAVIUMINAVIUMINAVIUM
b) Beräkna arean av Scandinaviums yttervägg
[Scandinaviums yttervägg är ytan
{
(x,y,z):x2+y2=2500,0≤ z≤15+500x2}
].
c) Beräkna flödet av v=(x,y,2z) ut ur Scandinavium genom tak och yttervägg [Scandinaviums tak är ytan
{
(x,y,z):x2+ y2≤2500,z=15+500x2}
].'
d) Klockan 12 en vacker vårdag var temperaturen på och kring Scandinaviums tak
(
x y z) (
y xy z)
T , , =10−3 2− +500 [o Celsius].
Mellan vilka värden varierade temperaturen på K:s tak då?
(6p)
(6p)
(5p)
(7p)
3. Låt
( ) ( ) ( ) ( )
=
+ +
+
−
− + + +
+
−
+ 2 2 1 1 2
1 1
1
1 , 2 ,
z y
z y y
x z
y z y y
x
F
I .
Visa att I är konservativt i F IR3 och beräkna det arbete som I uträttar längs F
kurvan C:r =r
( )
t =(ecos2t,esin2t,−cost), 0→t π. (8p)4. a) Definiera differentialen av ett fält IF: IRm → IRn i en punkt a . b) Formulera Stokes' sats.
(3p) (3p)
5. Formulera och bevisa en formel för derivering av en sammansatt funktion f
(
x( ) ( )
t ,y t)
. (7p)Betygsgränser: 24p – 35p ger betyget 3, 36p – 47p ger betyget 4, 48p eller mer ger betyget 5 BB
(TMA975), 2006-08-30, kl. 14.00-18.00 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa
Telefon: Jonatan Vasilis, tel. 0762-721860
OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.
Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.
================================================================
1. Funktionen f :IR2 → IR är C . Visa att funktionen 1
( )
z y zzf x
z y x
h( , , )= , satisfierar differentialekvationen xhx′ + yh′y +zhz′ =h. (7p)
2. Låt f
(
x,y)
=(x−x2)(y−y2).a) Bestäm alla stationära punkter till f och deras karaktär.
b) Vilka värden antar f
(
x,y)
på D={ (
x,y)
:0≤x≤1,0≤ y≤1}
?(8p) (3p)
3. Beräkna arean av ytan , 0 2,0 1
2 2 :
2 2
≤
≤
≤
≤
=
=
=
v u
v z
uv y
u x
Y ; (7p)
ange även en ekvation för tangentplanet till ytan Y i punkten
(
1,1,21)
. (2p) (9p)4. En vas definieras av olikheterna 0≤3ex2+y2 −4≤2z≤2ex2+y2. a) Hur mycket vatten ryms i vasen?
b) Beräkna vasens totala massa då dess densitet är ρ
(
x,y,z)
=1.
(4p) (4p)
5. Låt IF =
(
yecosx, xesinz,y(
z+1)
ecosxsinx)
. a) Har FI en potential i IR3?b) Har FI en vektorpotential IR3?
c) Beräkna flödet av FI uppåt genom ytan z= f
(
x,y) (
, x,y)
∈D i uppgift 2.(3p) (3p) (6p)
6. a) Formulera och bevisa Green's sats.
b) Låt FI vara ett virvelfritt C1-fält i IR3. Visa IF dr
C
∫
• är oberoende av vägen.(8p) (5p)
Betygsgränser:
24p – 35p ger betyget 3, 36p – 47p ger betyget 4, 48p eller mer ger betyget 5 BB
(TMA975), 2007-01-19, kl. 8.30-12.30 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa
Telefon: Micke Persson, tel. 0762-721860; Lennart Falk, tel. 0760-721861
OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.
Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.
================================================================
1. Låt f
( )
x,y =x2+ y2−2y.a) Ange en ekvation för tangentplanet till ytan z= f
(
x,y)
i punkten(
1,2,1)
.b) Beräkna riktningsderivatan av f i punkten
( )
1,2 i riktningen( )
2,1 .c) Beräkna arean av ytan Y:z= f
( )
x,y , x2+(
y−1)
2 ≤2.(4p) (3p)
(7p)
2. Låt u=2x3−3y2,v=3x2 +2y3 och Ω =
{ (
x,y)
: x>0,y>0}
. Visa att tillordningen(
x,y) ( )
֏ u,v är bijektiv lokalt i varje punkt i Ω (2p) och lös problemet( ( )
x y)
v f ux f
y x y
, d
,
2 ′− ′= d , f
( )
x,x =24x3,(
x,y)
∈Ω (6p). [tips: använd u,v som nya variabler] (8p)3. Beräkna massan av kroppen
+ ≤ ≤ − −
= (x,y,z): x2 y2 z 8 x2 y2
K ,
då dess densitet är
ρ
(x,y,z)= xyz . (7p)4. Vilka värden antar potentialen Φ
(
x,y,z)
=6xy−z3 på sfären x2 +y2+z2 =5? (8p)5. Låt IF =
(
3x2y2+1sin+xx2, 2y(
x3+e−y4) )
.a) Är FI konservativt i IR2?
b) Beräkna det arbete som FI uträttar då en partikel förflyttas från
(
−2,2)
till(
2,−2)
medurs längs ellipsen 2x2 +3y2 =20.(2p)
(5p)
6. a) Formulera och bevisa Gauss' sats.
b) Beräkna
∫
∞∞
−
− dx e x2 .
c) Visa att ett konservativt fält som är C1 i IR3 är virvelfritt i IR3.
(8p)
(4p)
(4p)
Betygsgränser: 24p – 35p ger betyget 3, 36p – 47p ger betyget 4, 48p eller mer ger betyget 5 BB
(TMA975), 2007-03-16, kl. 8.30-12.30 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa
Telefon: Karin Kraft, tel. 0762-721860
OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.
Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.
================================================================
1. Låt F
(
x,y,z)
=(
ln( )
x +xz)
cos(y)arctan(
y+z)
.a) Visa att nivåytan F
(
x,y,z)
=π4 lokalt kring punkten(
1,0,1)
är en C1-funktionsyta z= f(
x,y)
och bestäm fx′( )
1,0 och fy′( )
1,0 .b) Ange en ekvation för tangentplanet till nivåytan F
(
x,y,z)
=π4 i punkten(
1,0,1)
. c) I vilken riktning växer funktionsvärdena F(
x,y,z)
snabbast i punkten(
1,0,1)
?(4p)
(4p) (2p)
2. Beräkna arean av ytan Y:r =r
( )
u,v =(
u2,2vsin( )
u ,2vcos( )
u)
, v≥0, u2+v2≤1. (7p)3. Bestäm de högsta och de lägsta punkterna på skärningskurvan mellan cylindern x2 +y2 =1 och funktionsytan z=xy2.
(7p)
4. Kroppen K =
{ (
x,y,z)
:z≥ x2+ y2}
har densiteten ρ(
x,y,z)
= z2(
1+x21+y2+z2)
.Bestäm K:s totala massa. (7p)
5. Låt IF =
(
ex2+y2 cos( ) (
z , x+y)
ez2,exyz)
och f(
x,y)
= e−ex2+y2 cosh(
cos(
x+2y) )
.a) Beräkna flödet av rotIF uppåt genom funktionsytan z= f
(
x,y)
,(
x,y)
∈Dfa1) med Stokes' sats a2) med Gauss' sats (6p var).
b) Är FI konservativt i IR3?
(12p) (2p)
6. a) Formulera och bevisa Greens sats.
b) Definiera enkel kurva och enkelt sammanhängande mängd i IR2.
c) Visa att ett fält som är C 1 och har en vektorpotential i IR3 är källfritt i IR3.
(8p) (3p) (4p)
Betygsgränser: 24p – 35p ger betyget 3, 36p – 47p ger betyget 4, 48p eller mer ger betyget 5 BB
(TMA975), 2007-08-28, kl. 14.00-18.00 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa
Telefon: Bernhard Behrens, tel. 0768-681630
OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.
Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.
================================================================
1. Låt F
(
x,y)
=8x3+6xy+y3.a) Bestäm alla stationära punkter till F och deras karaktär.
b) Visa att nivåkurvan F
( )
x,y =1 lokalt kring punkten(
1,−1)
är en funktionskurva( )
xf
y= och bestäm f′
( )
1 .(6p)
(3p)
2. Låt IF =
(
cos( ) ( )
x cos y ,−sin( ) ( )
x sin y)
och C: =
(
−cos( )
t cosh( )
t ,sin( )
t sinh( )
t)
, 0→t π.a) Är FI konservativt i IR2? Om ja, bestäm en potential till FI i IR2. b) Beräkna
∫
•C
d F
I .
c) Beräkna arean av området mellan C och x-axeln.
(4p)
(3p)
(4p)
3. Låt f
( )
x,y =1− xy och D:x2+ y2≤1.a) Beräkna volymen av kroppen K =
{ (
x,y,z) ( )
: x,y ∈D,0≤z≤ f( )
x,y}
.b) Beräkna arean av ytan Y:z= f
( ) ( )
x,y , x,y ∈D. c) Är f differentierbar i origo?
(5p) (5p) (5p)
4. Låt IF(x,y,z)=
(
cosx, x2ycosz+(y+z)sinx,−x2sinz)
vara hastighetsvektorn för en stationär strömning av en inkompressibel vätska.a) Visa att FI är källfritt (2p) och bestäm en vektorpotential A för I F (5p) (ledn.: ansätt A(x,y,z)=
(
p(x,y,z),0, q(x,y,z))
).b) Bestäm volymen av den vätskemängd som per tidsenhet strömmar nedåt genom
ytan
( )
22 cos 2
2
2 ,
:
2 2 4
1 π
π
− + + ≤= x y e− + x y
z
Y x y .
(7p)
(6p)
5. a) Visa att om f : IRn →IR är deriverbar i en punkt a och antar i a ett extremvärde så är a en stationär punkt.
b) Formulera och bevisa en sats om derivering av en sammansatt funktion f
(
x( ) ( )
t ,y t)
.(5p) (7p)
(TMA975), 2008-01-17, kl. 8.30-12.30 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa
Telefon:, tel. 0762-721860
OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.
Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.
================================================================
1. Låt f x y
(
,)
=xy+ex4−y3sin(
x2+y2)
.a) Bestäm Taylorpolynomet av ordningen 5 i origo till f . b) Visa att origo är en stationär punkt till f och bestäm dess typ.
c) Visa att ekvationen z= f x y
(
,)
lokalt kring punkten(
1, 0, sin1e)
definierar y som en differentierbar funktion av(
x z . ,)
(4p) (4p)
(2p)
2. Betrakta kraftfältet
( ) ( )
2 22 2 2
1
, ln 1 , x y
y
IF x y x y x y
+
= + + +
och kurvorna
1 2
1: 2 2, 2 x 2
C y= x − − → och C2: y=cos
( )
π4x , 2x→−2. a) Är IF konservativt i IR2?b) Beräkna det arbete som IF uträttar då en partikel förflyttas längs kurvan
2
1 C
C
C= + .
(3p)
(6p)
3. Lös differentialekvationen
(
x− +y xy z2 2)
dx+(
y− +x x yz2 2)
dy+ +(
z x y z dz2 2)
=0. (7p)4. Vilka värden kan x 1−y2 + y 1−x2 anta? (7p)
5. Låt f x y
(
,)
= −ln x2 +y2, D={ (
x y,)
∈ IR2: 0< x2+y2 ≤1}
.a) Beräkna volymen av kroppen K =
{ (
x y z, ,) (
: x y,)
∈D, 0≤ ≤z f x y(
,) }
. b) Beräkna arean av ytan Y ={ (
x y z, ,) (
: x y,)
∈D z, = f x y(
,) }
.(6p) (6p)
6. a) Vad menas med att ett fält IF IR: m → IRn är differentierbar i en punkt a∈ IRm? b) Formulera Stokes sats.
c) Låt :f IRn → IR vara differentierbar i en punkt a med grad f
( )
a ≠0. Visa att gradf a( )
är den riktning i vilken f växer snabbast då man rör sig från punkten a. d) Visa att ett C1–fält i IR3 som har en vektorpotential i IR3 är källfritt i IR3.
(3p) (3p)
(5p) (4p)
Betygsgränser: 24p – 35p ger betyget 3, 36p – 47p ger betyget 4, 48p eller mer ger betyget 5 BB
06-03-10: 1a) 4x−28y+z+49=0 b) 4 5 c) ( )0,0 (sadelpunkt), ±( )1,1 (lok. minimipunkter) 2a) 40625π b) 1750π c) 162500π d) VT =
[
7.5o,11.25o]
3) ln 506-08-30: 2a) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 , 1,0 , 0,1, 1,1 sadelpunkter,
( )
,2 str.lok.maximipunkt 12
1 b)
[ ]
16,1
= 0 Vf
3) arean är 16, tangentplan: x−2y+2z=0 4a) π(8ln2−3) b) π(2ln3−1)
5a) nej b) ja c) 2
(
cos1)
1 e−e
07-01-19: 1a) 2x+2y−z=5 b) 65 c) 133π 2) f(x,y)=12
(
x3+ y3) (
+18 x2−y2)
3) 323 4) [−15,15] 5a) ja b) 64
07-03-16: 1a) fx′( )1, 0 = 2−2+ππ, fy′( )1, 0 = 2−+2π b) 2πx+2y+(π +2)z= +2 3π c) (2 , 2, 2π +π) 2) 43π 3)
(
−13,± 23,3 3−2)
resp.(
13,± 23,3 32)
4)(
2 1−)
π2 5a) π b) nej
07-08-28: 1a) (0, 0 (sadelpunkt), ) (−21, 1− ) (lok. maximipunkt) b) f′( )1 = −2
2a) ja, potential Φ(x y, )=sin cosx y b) sin1 sin cosh+ ( π) c)
(
sinh2)
2π
3a) π−12 b) 2 2 2 1( 3−)π c) ja 4a)
(
x y2 sin , 0,z (y+z)cosx)
b) 645 π
08-01-17: 1a) x2+ +xy y2−x y2 3−y5 b) lok. minimipunkt 2a) nej b) 9815 3) (x−y)2+ +z2 (xyz)2 =c 4) [−1,1] 5a) π2 b)
(
2+ln 1(
+ 2) )
π
Variation på uppgift 4 (08-01-17):
Bestäm värdemängden till f x y
(
,)
=xy−x 1−y2 −y 1−x2 .svar: Vf = − 2,φ där φ= 5 12+ (gyllene snittet: det största värde som f antar är φ)
Cylindern och funktionsytan i uppgift 3 (07-03-16):