• No results found

i punkten ( 1,2,3). b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten ( 1,2) ut ur Scandinavium genom tak och yttervägg [Scandinaviums tak är ytan ( x, y,

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "i punkten ( 1,2,3). b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten ( 1,2) ut ur Scandinavium genom tak och yttervägg [Scandinaviums tak är ytan ( x, y,"

Copied!
7
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

delB (TMA975), 2006-03-10, kl. 8.30-12.30 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa

Telefon: Johan Jansson, tel. 0762-721860

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.

Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.

================================================================

1. Låt f

(

x,y

)

=x4+ y4−4xy−6.

a) Ange en ekvation för tangentplanet till ytan z= f

(

x,y

)

i punkten

(

1,2,3

)

. b) Bestäm riktningsderivatan av f i punkten

( )

1,2 i riktningen

( )

2,1 . c) Bestäm alla stationära punkter till f och deras karaktär.

(5p) (3p) (7p)

2. Scandinavium K i Göteborg definieras (i lämpligt koordinatsystem) av olikheterna 0≤z≤15+500x2 , x2 +y2 ≤2500.

a) Beräkna volymen av K. SCANSCANDSCANSCANDDINAVIUMDINAVIUMINAVIUMINAVIUM

b) Beräkna arean av Scandinaviums yttervägg

[Scandinaviums yttervägg är ytan

{

(x,y,z):x2+y2=2500,0 z15+500x2

}

].

c) Beräkna flödet av v=(x,y,2z) ut ur Scandinavium genom tak och yttervägg [Scandinaviums tak är ytan

{

(x,y,z):x2+ y22500,z=15+500x2

}

].

'

d) Klockan 12 en vacker vårdag var temperaturen på och kring Scandinaviums tak

(

x y z

) (

y xy z

)

T , , =103 2− +500 [o Celsius].

Mellan vilka värden varierade temperaturen på K:s tak då?

(6p)

(6p)

(5p)

(7p)

3. Låt

( ) ( ) ( ) ( )





=

+ +

+

+ + +

+

+ 2 2 1 1 2

1 1

1

1 , 2 ,

z y

z y y

x z

y z y y

x

F

I .

Visa att I är konservativt i F IR3 och beräkna det arbete som I uträttar längs F

kurvan C:r =r

( )

t =(ecos2t,esin2t,−cost), 0→t π. (8p)

4. a) Definiera differentialen av ett fält IF: IRm → IRn i en punkt a . b) Formulera Stokes' sats.

(3p) (3p)

5. Formulera och bevisa en formel för derivering av en sammansatt funktion f

(

x

( ) ( )

t ,y t

)

. (7p)

Betygsgränser: 24p – 35p ger betyget 3, 36p – 47p ger betyget 4, 48p eller mer ger betyget 5 BB

(2)

(TMA975), 2006-08-30, kl. 14.00-18.00 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa

Telefon: Jonatan Vasilis, tel. 0762-721860

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.

Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.

================================================================

1. Funktionen f :IR2 → IR är C . Visa att funktionen 1

( )

z y z

zf x

z y x

h( , , )= , satisfierar differentialekvationen xhx′ + yh′y +zhz′ =h. (7p)

2. Låt f

(

x,y

)

=(x−x2)(y−y2).

a) Bestäm alla stationära punkter till f och deras karaktär.

b) Vilka värden antar f

(

x,y

)

D=

{ (

x,y

)

:0≤x≤1,0≤ y≤1

}

?

(8p) (3p)

3. Beräkna arean av ytan , 0 2,0 1

2 2 :

2 2

 ≤



=

=

=

v u

v z

uv y

u x

Y ; (7p)

ange även en ekvation för tangentplanet till ytan Y i punkten

(

1,1,21

)

. (2p) (9p)

4. En vas definieras av olikheterna 0≤3ex2+y2 −4≤2z≤2ex2+y2. a) Hur mycket vatten ryms i vasen?

b) Beräkna vasens totala massa då dess densitet är ρ

(

x,y,z

)

=1.

(4p) (4p)

5. Låt IF =

(

yecosx, xesinz,y

(

z+1

)

ecosxsinx

)

. a) Har FI en potential i IR3?

b) Har FI en vektorpotential IR3?

c) Beräkna flödet av FI uppåt genom ytan z= f

(

x,y

) (

, x,y

)

D i uppgift 2.

(3p) (3p) (6p)

6. a) Formulera och bevisa Green's sats.

b) Låt FI vara ett virvelfritt C1-fält i IR3. Visa IF dr

C

• är oberoende av vägen.

(8p) (5p)

Betygsgränser:

24p – 35p ger betyget 3, 36p – 47p ger betyget 4, 48p eller mer ger betyget 5 BB

(3)

(TMA975), 2007-01-19, kl. 8.30-12.30 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa

Telefon: Micke Persson, tel. 0762-721860; Lennart Falk, tel. 0760-721861

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.

Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.

================================================================

1. Låt f

( )

x,y =x2+ y22y.

a) Ange en ekvation för tangentplanet till ytan z= f

(

x,y

)

i punkten

(

1,2,1

)

.

b) Beräkna riktningsderivatan av f i punkten

( )

1,2 i riktningen

( )

2,1 .

c) Beräkna arean av ytan Y:z= f

( )

x,y , x2+

(

y−1

)

22.

(4p) (3p)

(7p)

2. Låt u=2x3−3y2,v=3x2 +2y3 och Ω =

{ (

x,y

)

: x>0,y>0

}

. Visa att tillordningen

(

x,y

) ( )

֏ u,v är bijektiv lokalt i varje punkt i Ω (2p) och lös problemet

( ( )

x y

)

v f u

x f

y x y

, d

,

2 ′− ′= d , f

( )

x,x =24x3,

(

x,y

)

∈Ω (6p). [tips: använd u,v som nya variabler] (8p)

3. Beräkna massan av kroppen





 + ≤ ≤ − −

= (x,y,z): x2 y2 z 8 x2 y2

K ,

då dess densitet är

ρ

(x,y,z)= xyz . (7p)

4. Vilka värden antar potentialen Φ

(

x,y,z

)

=6xyz3 på sfären x2 +y2+z2 =5? (8p)

5. Låt IF =

(

3x2y2+1sin+xx2, 2y

(

x3+ey4

) )

.

a) Är FI konservativt i IR2?

b) Beräkna det arbete som FI uträttar då en partikel förflyttas från

(

−2,2

)

till

(

2,2

)

medurs längs ellipsen 2x2 +3y2 =20.

(2p)

(5p)

6. a) Formulera och bevisa Gauss' sats.

b) Beräkna

dx e x2 .

c) Visa att ett konservativt fält som är C1 i IR3 är virvelfritt i IR3.

(8p)

(4p)

(4p)

Betygsgränser: 24p – 35p ger betyget 3, 36p – 47p ger betyget 4, 48p eller mer ger betyget 5 BB

(4)

(TMA975), 2007-03-16, kl. 8.30-12.30 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa

Telefon: Karin Kraft, tel. 0762-721860

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.

Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.

================================================================

1. Låt F

(

x,y,z

)

=

(

ln

( )

x +xz

)

cos(y)arctan

(

y+z

)

.

a) Visa att nivåytan F

(

x,y,z

)

=π4 lokalt kring punkten

(

1,0,1

)

är en C1-funktionsyta z= f

(

x,y

)

och bestäm fx

( )

1,0 och fy

( )

1,0 .

b) Ange en ekvation för tangentplanet till nivåytan F

(

x,y,z

)

=π4 i punkten

(

1,0,1

)

. c) I vilken riktning växer funktionsvärdena F

(

x,y,z

)

snabbast i punkten

(

1,0,1

)

?

(4p)

(4p) (2p)

2. Beräkna arean av ytan Y:r =r

( )

u,v =

(

u2,2vsin

( )

u ,2vcos

( )

u

)

, v0, u2+v21. (7p)

3. Bestäm de högsta och de lägsta punkterna på skärningskurvan mellan cylindern x2 +y2 =1 och funktionsytan z=xy2.

(7p)

4. Kroppen K =

{ (

x,y,z

)

:z x2+ y2

}

har densiteten ρ

(

x,y,z

)

= z2

(

1+x21+y2+z2

)

.

Bestäm K:s totala massa. (7p)

5. Låt IF =

(

ex2+y2 cos

( ) (

z , x+y

)

ez2,exyz

)

och f

(

x,y

)

= eex2+y2 cosh

(

cos

(

x+2y

) )

.

a) Beräkna flödet av rotIF uppåt genom funktionsytan z= f

(

x,y

)

,

(

x,y

)

∈Df

a1) med Stokes' sats a2) med Gauss' sats (6p var).

b) Är FI konservativt i IR3?

(12p) (2p)

6. a) Formulera och bevisa Greens sats.

b) Definiera enkel kurva och enkelt sammanhängande mängd i IR2.

c) Visa att ett fält som är C 1 och har en vektorpotential i IR3 är källfritt i IR3.

(8p) (3p) (4p)

Betygsgränser: 24p – 35p ger betyget 3, 36p – 47p ger betyget 4, 48p eller mer ger betyget 5 BB

(5)

(TMA975), 2007-08-28, kl. 14.00-18.00 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa

Telefon: Bernhard Behrens, tel. 0768-681630

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.

Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.

================================================================

1. Låt F

(

x,y

)

=8x3+6xy+y3.

a) Bestäm alla stationära punkter till F och deras karaktär.

b) Visa att nivåkurvan F

( )

x,y =1 lokalt kring punkten

(

1,1

)

är en funktionskurva

( )

x

f

y= och bestäm f

( )

1 .

(6p)

(3p)

2. Låt IF =

(

cos

( ) ( )

x cos y ,sin

( ) ( )

x sin y

)

och C: =

(

−cos

( )

t cosh

( )

t ,sin

( )

t sinh

( )

t

)

, 0→t π.

a) Är FI konservativt i IR2? Om ja, bestäm en potential till FI i IR2. b) Beräkna

C

d F

I  .

c) Beräkna arean av området mellan C och x-axeln.

(4p)

(3p)

(4p)

3. Låt f

( )

x,y =1− xy och D:x2+ y2≤1.

a) Beräkna volymen av kroppen K =

{ (

x,y,z

) ( )

: x,yD,0zf

( )

x,y

}

.

b) Beräkna arean av ytan Y:z= f

( ) ( )

x,y , x,yD. c) Är f differentierbar i origo?

(5p) (5p) (5p)

4. Låt IF(x,y,z)=

(

cosx, x2ycosz+(y+z)sinx,x2sinz

)

vara hastighetsvektorn för en stationär strömning av en inkompressibel vätska.

a) Visa att FI är källfritt (2p) och bestäm en vektorpotential A för I F (5p) (ledn.: ansätt A(x,y,z)=

(

p(x,y,z),0, q(x,y,z)

)

).

b) Bestäm volymen av den vätskemängd som per tidsenhet strömmar nedåt genom

ytan

( )

2

2 cos 2

2

2 ,

:

2 2 4

1 π

π

− + + ≤

= x y e + x y

z

Y x y .

(7p)

(6p)

5. a) Visa att om f : IRn →IR är deriverbar i en punkt a och antar i a ett extremvärde så är a en stationär punkt.

b) Formulera och bevisa en sats om derivering av en sammansatt funktion f

(

x

( ) ( )

t ,y t

)

.

(5p) (7p)

(6)

(TMA975), 2008-01-17, kl. 8.30-12.30 i V Hjälpmedel: Inga, ej heller räknedosa

Telefon:, tel. 0762-721860

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget.

Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat.

================================================================

1. Låt f x y

(

,

)

=xy+ex4y3sin

(

x2+y2

)

.

a) Bestäm Taylorpolynomet av ordningen 5 i origo till f . b) Visa att origo är en stationär punkt till f och bestäm dess typ.

c) Visa att ekvationen z= f x y

(

,

)

lokalt kring punkten

(

1, 0, sin1e

)

definierar y som en differentierbar funktion av

(

x z . ,

)

(4p) (4p)

(2p)

2. Betrakta kraftfältet

( ) ( )

2 2

2 2 2

1

, ln 1 , x y

y

IF x y x y x y

+

 

= + + + 

  och kurvorna

1 2

1: 2 2, 2 x 2

C y= x − − → och C2: y=cos

( )

π4x , 2x→−2. a) Är IF konservativt i IR2?

b) Beräkna det arbete som IF uträttar då en partikel förflyttas längs kurvan

2

1 C

C

C= + .

(3p)

(6p)

3. Lös differentialekvationen

(

x− +y xy z2 2

)

dx+

(

y− +x x yz2 2

)

dy+ +

(

z x y z dz2 2

)

=0. (7p)

4. Vilka värden kan x 1−y2 + y 1−x2 anta? (7p)

5. Låt f x y

(

,

)

= −ln x2 +y2, D=

{ (

x y,

)

IR2: 0< x2+y2 1

}

.

a) Beräkna volymen av kroppen K =

{ (

x y z, ,

) (

: x y,

)

D, 0≤ ≤z f x y

(

,

) }

. b) Beräkna arean av ytan Y =

{ (

x y z, ,

) (

: x y,

)

D z, = f x y

(

,

) }

.

(6p) (6p)

6. a) Vad menas med att ett fält IF IR: m → IRn är differentierbar i en punkt a∈ IRm? b) Formulera Stokes sats.

c) Låt :f IRn → IR vara differentierbar i en punkt a med grad f

( )

a ≠0. Visa att gradf a

( )

är den riktning i vilken f växer snabbast då man rör sig från punkten a. d) Visa att ett C1–fält i IR3 som har en vektorpotential i IR3 är källfritt i IR3.

(3p) (3p)

(5p) (4p)

Betygsgränser: 24p – 35p ger betyget 3, 36p – 47p ger betyget 4, 48p eller mer ger betyget 5 BB

(7)

06-03-10: 1a) 4x−28y+z+49=0 b) 4 5 c) ( )0,0 (sadelpunkt), ±( )1,1 (lok. minimipunkter) 2a) 40625π b) 1750π c) 162500π d) VT =

[

7.5o,11.25o

]

3) ln 5

06-08-30: 2a) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 , 1,0 , 0,1, 1,1 sadelpunkter,

( )

,2 str.lok.maximipunkt 1

2

1 b)

[ ]

16

,1

= 0 Vf

3) arean är 16, tangentplan: x2y+2z=0 4a) π(8ln23) b) π(2ln31)

5a) nej b) ja c) 2

(

cos1

)

1 ee

07-01-19: 1a) 2x+2yz=5 b) 65 c) 133π 2) f(x,y)=12

(

x3+ y3

) (

+18 x2y2

)

3) 323 4) [15,15] 5a) ja b) 64

07-03-16: 1a) fx( )1, 0 = 22+ππ, fy( )1, 0 = 2+2π b) 2πx+2y++2)z= +2 3π c) (2 , 2, 2π +π) 2) 43π 3)

(

13,± 23,3 32

)

resp.

(

13,± 23,3 32

)

4)

(

2 1

)

π2 5a) π b) nej

07-08-28: 1a) (0, 0 (sadelpunkt), ) (21, 1 ) (lok. maximipunkt) b) f( )1 = −2

2a) ja, potential Φ(x y, )=sin cosx y b) sin1 sin cosh+ ( π) c)

(

sinh2

)

2

π

3a) π12 b) 2 2 2 1( 3)π c) ja 4a)

(

x y2 sin , 0,z (y+z)cosx

)

b) 645 π

08-01-17: 1a) x2+ +xy y2x y2 3y5 b) lok. minimipunkt 2a) nej b) 9815 3) (xy)2+ +z2 (xyz)2 =c 4) [1,1] 5a) π2 b)

(

2+ln 1

(

+ 2

) )

π

Variation på uppgift 4 (08-01-17):

Bestäm värdemängden till f x y

(

,

)

=xyx 1y2y 1x2 .

svar: Vf = − 2,φ där φ= 5 12+ (gyllene snittet: det största värde som f antar är φ)

Cylindern och funktionsytan i uppgift 3 (07-03-16):

References

Related documents

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget. Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat. b) Visa att origo är

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget. Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat. a) Bestäm alla

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget. Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat. a) Formulera och

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget. Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat. Bestäm K:s totala massa. a)

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget. Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat. a) Bestäm alla

OBS: Ange linje och inskrivningsår samt namn och personnummer på skrivningsomslaget. Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat. b) Visa att origo är

Ange namn och personnummer på varje inlämnat blad du vill ha rättat. Beräkna divergensen och rotationen av

Då varje punkt på cirkeln är en inre punkt till snittet mellan definitionsmängderna till f och de båda bivillkorsfunktio- nerna som ges, så vet vi att största och minsta värdena