1 . den rent spekulativa geometrin ( g e o m e t r i n som abs- t r a k t v e t e n s k a p ) i n n e f a t t a n d e de g e o m e t r i s k a begreppens d e f i n i t i o n e r , v i d a r e de s. k . a x i o m e n , d . v . s. de såsom själv-

GEOMETRIUNDER V I S N I N G E N .

A L L M Ä N N A S Y N P U N K T E R .

D c förslå m a t e m a t i k e r n a f i n n e r m a n b l a n d g a m l a t i d e r s filosofer. A t t de båda t i l l synes v i t t s k i l d a g r e n a r n a av mänsklig a n d l i g v e r k s a m h e t , m a t e m a t i k e n och f i l o s o f i n , dock äro så i n t i m t förbundna med v a r a n d r a , a t t de spon- t a n t uppstått hos och i d k a t s av s a m m a personer v i d det mänskliga i n t e l l e k t e t s u p p v a k n a n d e , torde h a s i n g r a n d däri, a t t människoanden v i d b e h a n d l i n g a v p r o b l e m i n o m såväl det ena som det a n d r a området är v e r k s a m p å ett och s a m m a sätt: a t t p å g r u n d v a l av vissa p å förhand så- som r i k t i g a , ansedda f a k t a , a x i o m , förutsättningar, erfa- renhetsrön, genom e t t strängt genoinfört l o g i s k t tänkande härleda de slutsatser, som därigenom framställa s i g såsom följder av dessa g r a n d f a k t a . D e t t a tillvägagångssätt är för oss lätt igenkännligt såsom i h ö g g r a d k a r a k t e r i s e - rande d i s c i p l i n e n g e o m e t r i , och sålunda är det ej under- l i g t , a t t även g e o m e t r i n i äldre t i d e r u t v e c k l a t s och be- arbetats av f i l o s o f e r n a . D å e m e l l e r t i d de begrepp och stor- heter, som utgöra föremål för g e o m e t r i n , äro a v sådan beskaffenhet, a t t de k u n n a b l i föremål för u p p m ä t n i n g och sålunda u n d e r k a s t a s en r e n t n u m e r i s k b e h a n d l i n g , torde m a n häri h a a t t söka en av orsakerna t i l l a t t g e o m e t r i n sedan u r m i n n e s t i d u t g j o r t en g r e n av m a t e m a t i k e n . P å a l l a u n d e r v i s n i n g s s t a d i c r i n g å r g e o m e t r i n i m a t e m a t i k e n , båda dessa ämnen behandlas i våra s k o l o r p å s a m m a vecko- t i m m a r och av s a m m a lärare.

1 7 9

F r u n elementar ståndpunkt k a n m a n i n d e l a g e o m e t r i n i två h u v u d a v d e l n i n g a r :

1 . den rent spekulativa geometrin ( g e o m e t r i n som abs- t r a k t v e t e n s k a p ) i n n e f a t t a n d e de g e o m e t r i s k a begreppens d e f i n i t i o n e r , v i d a r e de s. k . a x i o m e n , d . v . s. de såsom själv- k l a r a ansedda, obevisade satser, på v i l k a de g e o m e t r i s k a teorenien y t t e r s t v i l a , samt s l u t l i g e n härledningar av be- visen för de senare;

2. den tillämpade geometrin o m f a t t a n d e dels lösning av

v i s s a

k o n s t r u k t i o n s u p p g i f t e r med användning a v föregå- ende a v d e l n i n g s teorem, dels uppmätning av g e o m e t r i s k a storheter och användning av a r i t m e t i k e n s och algebrans räknelagar på de g e o m e t r i s k a begreppen ( b e r ä k n i n g a v v i n k l a r , längder, y t o r och r y m d e r ) .

M a n k a n n u uppställa frågan: u r v i l k a områden av geo- m e t r i n bör s t o f f hämtas v i d u n d e r v i s n i n g e n i f o l k s k o l a n i d e t t a läroämne? S v a r e t härpå måste t y d l i g e n anpassas efter det avsedda r e s u l t a t e t av g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n på ifrågavarande s t a d i u m . H ä r o m säger u n d e r v i s n i n g s p l a n e n för r i k e t s f o l k s k o l o r ( i det följande k o r t e l i g e n betecknad med U P ) : undervisningen i räkning och geometri i f o l k - s k o l a n har till uppgift att bibringa barnen en efter deras ålder och u t v e c k l i n g avpassad i n s i k t och färdighet i räk- n i n g med särskild hänsyn t i l l v a d som e r f o r d r a s i det dag- l i g a l i v e t ävensom någon förtrogenhet med geometriska

D e t är här särskilt tvenne u t t r y c k , som v i s s e r l i g e n av sin p l a t s i u t t a l a n d e t o v a n a t t döma synas avse endast, u n d e r v i s n i n g e n i räkning men som i m i n s t l i k a h ö g g r a d måste anses tillämpliga v i d g e o m o t r i u n d e r v i s n i n g e n , och v i l - k a noga måste beaktas v i d uppgörandet av f o l k s k o l a n s läro- k u r s i g e o m e t r i . Dessa äro: »efter deras ( b a r n e n s ) ålder och u t v e c k l i n g avpassad» och »med särskild hänsyn t i l l vad som e r f o r d r a s i det d a g l i g a livet».

T det senare u t t r y c k e t utsäges sålunda, a t t g e o m e t r i u n -

d e r v i s n i n g e n i f o l k s k o l a n s k a l l o m f a t t a b l . a. sådant läro- stoff, för v i l k e t eleverna k u n n a f i n n a användning i s i n b l i v a n d e samhälleliga v e r k s a m h e t . D å e m e l l e r t i d långt ifrån a l l a elever i f o l k s k o l a n i s i n f r a m t i d a yrkesutövning t o r d e få direkt p r a k t i s k användning för de k u n s k a p e r i g e o m e t r i , de u n d e r skolåren inhämtat, torde m a n få t i l l - l ä g g a g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n även e t t allmänbildande samt, då s k o l a n h a r t i l l u p p g i f t a t t så a l l s i d i g t som m ö j - l i g t befrämja barnens u t v e c k l i n g , dessutom e t t i n t e l l i g e n s - odlande, tankeövandc m o m e n t .

V i d uppgörandet av k u r s p l a n för g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n i f o l k s k o l a n bör läraren således se t i l l a t t däri få m e d så m y c k e t som det för ämnet anslagna antalet lärotimmar m e d g i v e r av u p p g i f t e r , som besitta någon eller några av egenskaperna praktiskt användbara, allmänbildande och

och u t v e c k l i n g .

Närmaste u p p g i f t e n b l i r då a t t avgöra., u r v i l k a av de nämnda, tvenne a v d e l n i n g a r n a i n o m g e o m e t r i n lärostoffet bör hämtas, och självklart är, a t t m a n då b l i r ställd inför cn g a l l r i n g s p r o c e s s .

Med hänsyn t i l l det k ä n d a f a k t u m , a t t förmågan a v a b s t r a k t l o g i s k t tänkande, förmågan a t t f ö g a länk t i l l länk i en sammanhängande t a n k e k e d j a , uppstått först p å e t t jämförelsevis sent s t a d i u m i människosläktets u t v e c k l i n g och även hos den e n s k i l d a människan framträder först v i d m o g n a r e år, k a n m a n m e d bestämdhet förvisa u r f o l k s k o - lans lärokurs i g e o m e t r i bevisen för g e o m e t r i s k a teorem.

Ävenledes är det cn m y c k e t v a n s k l i g u p p g i f t , som för s i t t utförande förutsätter j u s t den l o g i s k a tankeskärpan, a t t f a t t a innebörden i en a b s t r a k t d e f i n i t i o n och framför a l l t a t t uppställa en d y l i k . Sålunda är det k l a r t , a t t de stränga definitionerna, på de g e o m e t r i s k a begreppen ej k u n n a äga hemortsrätt i f o l k s k o l a n s g e o m e t r i k u r s .

E n ä r v i d a r e de g e o m e t r i s k a a x i o m e n utgöra den g r u n d - v a l , på v i l k e n de g e o m e t r i s k a lärosatserna, teoremen, det

1 8 1

ena på det a n d r a , u p p b y g g a s , och p å v i l k e n sålunda h e l a den geometriska l ä r o b y g g n a d e n y t t e r s t v i l a r , så är det av det nyss sagda u t a n v i d a r e k l a r t , a t t , även o m m a n bortser från axiomens a b s t r a k t a n a t u r och därmed s a m m a n - hängande r e l a t i v a svårfatllighct, ej h e l l e r dessa böra göras t i l l föremål för b e h a n d l i n g i f o l k s k o l a n .

H ä r i g e n o m synes således h e l a den r e n t s p e k u l a t i v a geo- m e t r i n v a r a utmönstrad u r åtminstone den s e x k l a s s i g a f o l k - skolans lärokurs. F o l k s k o l a n s lärostoff i detta u n d e r v i s - ningsämne k o m m e r alltså a t t så g o t t som u t e s l u t a n d e hämtas u r den tillämpade g e o m e t r i n .

G e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n i f o l k s k o l a n s k u l l e sålunda be- stå i b l . a. lösning av vissa k o n s t r u k t i o n s p r o b l e m . Sådana äro e x e m p e l v i s : att dela cn rät l i n j e m i t t i t u , a t t g ö r a en t r i a n g e l av t r e räta l i n j e r , a t t g ö r a c n v i n k e l l i k a stor som en g i v e n v i n k e l , a t t draga en rät l i n j e vinkelrätt m o t en a n n a n d y l i k , o. s. v . L ö s n i n g a r n a t i l l a l l a p r o b l e m av d e t t a slag g r u n d a s i g j u som b e k a n t y t t e r s t p å vissa speciella g e o m e t r i s k a teorem, alltså p å lärostoff tillhörande den u r f o l k s k o l a n s lärokurs u t e s l u t n a s p e k u l a t i v a g e o m e t r i n . N o g a

dast bevisen för dessas r i k t i g h e t , som h a s i n rot i teore- men. v i l k a s kännedom e m e l l e r t i d även k a n b i d r a g a t i l l a t t ge goda u p p s l a g t i l l de uppställda problemens b e h a n d l i n g och lösning. D å n u e m e l l e r t i d den g e o m e t r i s k a bevisfö- r i n g e n och de geometriska t c o r c i n c n cj ingå i f o l k s k o l e k u r - sen, k u n n a g i v e t v i s lösningarna på förekommande u p p g i f - ter av ifrågavarande s l a g ej finnas av barnen a n n a t än ge- nom upprepade försök, e t t tillvägagångssätt, som t y d l i g e n är i f u l l s a m k l a n g m e d självverksamhetens p e d a g o g i s k a p r i n c i p . D e n n a a v d e l n i n g av g e o m e t r i n är i själva v e r k e t i n g e n t i n g a n n a t än g e o m e t r i s k r i t n i n g , l i n e a r r i l n i n g . Lös- n i n g a r n a t i l l dc små enkla p r o b l e m , som här förekomma, f i n n a under l e k t i o n e r behandlande g e o m e t r i s k a räkneupp- g i f t e r oupphörlig användning, t . ex. v i d tecknande på t a v l a n av för problemens lösning behövliga f i g u r e r .

182

D e n del av g e o m e t r i n , v i d v i l k e n f o l k s k o l e u n d e r v i s - n i n g e n l a g t och lägger h u v u d v i k t e n , är den s i s t a : uppmät- n i n g a r av g e o m e t r i s k a storheter och användning av a r i t - metikens och algebrans räknelagar på de g e o m e t r i s k a be- greppen, d . v . s. beräkning a v längder och v i n k l a r s a m t •—

h u v u d s a k l i g e n — y t o r och r y m d e r .

F ö r a t t överhuvudtaget f i n n a lösningen t i l l där före- k o m m a n d e p r o b l e m eller för a t t f i n n a de regler, »formler», som v i d dessa beräkningar äro användbara •— v i l k e t bar- nen i överensstämmelse med självverksamhetsprincipen böra själva g ö r a med l e d n i n g a v u p p r e p a d e mätningar — ,

fordras o f t a en t e c k n i n g av den g e o m e t r i s k a f i g u r , frågan gäller, v i l k e n , o m den är noggrann, i h ö g g r a d underlättar arbetet, i det a t t metoden för lösningen t a c k vare densam- m a lättare skönjes. P å g r a n d härav är färdighet i l i n e a r - r i t n i n g en v i k t i g förutsättning för en framgångsrik be- h a n d l i n g av de g e o m e t r i s k a räkneproblemen. D o c k böra l i n e a r r i t n i n g e n och problemlösningen i c k e behandlas v a r för s i g , u t a n de s k o l a vävas i n i v a r a n d r a , b r i n g a s a t t sam- mansmälta med v a r a n d r a , därigenom a t t k o n s t r u k t i o n s - problemen genomgås endast i den mån, de e r f o r d r a s för t e c k n i n g av de g e o m e t r i s k a f i g u r e r , v i l k a de närmast föl- j a n d e räkneexemplen äro avsedda a t t beröra.

D e n tillämpade g e o m e t r i n , v i l k e n sålunda e n l i g t det fö- regående ensam b ö r lämna s t o f f för f o l k s k o l a n s g e o m e t r i - u n d e r v i s n i n g , i n r y m m e r som synes i c k e något a n g i v a n d e av de g e o m e t r i s k a g r u n d b e g r e p p e n och storheterna. Själv- k l a r t är e m e l l e r t i d , a t t ett d y l i k t är oundgängligen nödvän- d i g t — för b a r n e n måste de begrepp, som de geometriska räkneexemplen röra s i g med, h a en r e e l l b a k g r u n d och ej utgöra endast t o m m a o r d . D e t ser sålunda u t , som om f o l k - skolans g e o m e t r i k u r s ändock s k u l l e nödgas medtaga e t t o m - råde av den r e n t s p e k u l a t i v a g e o m e t r i n , nämligen de geo- m e t r i s k a begreppens och storheternas d e f i n i t i o n e r . Så är också förhållandet: lärostoffet i denna d e l av g e o m e t r i n

•»tåste meddelas barnen, dock k a n d e t t a av skäl, som ovan

183

a n g i v i t s , ej ske u n d e r f o r m e n av a b s t r a k t a , stränga d e f i n i - tioner, v i l k a för barnen, om de k u n n a lära s i g dem, endast b l i död k u n s k a p . D e g e o m e t r i s k a begreppens innebörd och betydelse inses och läras av barnen endast genom påvi- sande av deras f a k t i s k a existens — låt v a r a i förgrovad f o r m — hos föremål i barnens v a n l i g a miljö, alltså medelst exempel u r deras egen o m g i v n i n g och erfarenhet. Härige- n o m b l i r åtminstone d e l v i s införandet av de g e o m e t r i s k a begreppen i barnens medvetande h e l t e n k e l t endast inlä- randet av n y a benämningar p å av d e m förut k ä n d a »saker».

D e t är e m e l l e r t i d av v i k t a t t härvidlag i c k e låta b a r n e n få kännedom o m e t t större a n t a l g e o m e t r i s k a begrepp i en följd, såsom sker i en stor del för f o l k s k o l a n avsedda läro- böcker i ämnet, där o f t a k r o p p , y t a , l i n j e , p u n k t behand- las i e t t s a m m a n h a n g . F ö r u n d v i k a n d e av en härigenom lätt u p p k o m m a n d e begreppsförvirring är det n a t u r l i g e n bäst a t t medelst mätningar, k o n s t r u k t i o n s - oeh räknepro- b l e m g r u n d l i g t genomarbeta de geometriska, begreppen e t t för ett, därvid följande p r i n c i p e n : en sak i sänder.

Resultatet, av det o v a n anförda k a n summeras sålunda:

lärostoffet t i l l f o l k s k o l a n s g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g bör häm- tas h u v u d s a k l i g e n u r den tillämpade g e o m e t r i n , och denna u n d e r v i s n i n g bör ge b a r n e n

1. kännedom o m g e o m e t r i s k a begrepp och storheter,

2. i n s i k t i l i n e a r r i t n i n g e n s element,

3. färdighet i mätning och beräkning a v g e o m e t r i s k a storheter.

K o m m e r då en efter dessa l i n j e r l a g d u n d e r v i s n i n g a t t i s i g i n n e f a t t a de ovannämnda t r e m o m e n t e n : det p r a k - t i s k t användbara, det allmänbildandc, det tankeövande?

D e t torde v a r a k l a r t , a t t den k u n s k a p , som eleverna tillägna s i g v i d u n d e r v i s n i n g e n i l i n e a r r i t n i n g och lösning av geometriska räkneproblem, är a v sådan a r t , a t t dc kunna

få d i r e k t användning och n y t t a därav i s i n f r a m t i d a v e r k - samhet, beroende på y r k e s v a l e t . D å v i d a r e kännedomen o m dc g e o m e t r i s k a begreppen är cn nödvändig förutsätt-

184

n i n g för kunskapstillägnelsen i n o m såväl l i n e a r r i t n i n g e n som problemlösningen, är det u p p e n b a r t , a t t v i l l k o r e t , a t t f o l k s k o l a n s g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g s k a l l meddela p r a k t i s k t användbar k u n s k a p , är u p p f y l l t , o m ovannämnda t r e gre- n a r ingå i lärokursen.

D e t allmänbildande momentet tillgodoses därigenom, a t t barnen få lära känna de i deras o m g i v n i n g förekommande g e o m e t r i s k a begreppen, f i g u r e r n a och k r o p p a r n a , a t t de genom u n d e r v i s n i n g e n i l i n e a r r i t n i n g b l i v a förtrogna ined de enklaste sambanden m e l l a n dessa begrepp och lära s i g a t t för vissa ändamål k o m b i n e r a dem m e d v a r a n d r a , a t t de s l u t l i g e n genom lösning av g e o m e t r i s k a räkneuppgifter få lära s i g p r a k t i s k t använda måttsystemen och u r g j o r d a mätningar t a g a reda p å de enklaste g e o m e t r i s k a f i g u r e r - nas 5'tor och r y m d e r .

D å kännedomen o m de g e o m e t r i s k a g r u n d b e g r e p p e n och storheterna är r e n m i n n e s k u n s k a p , k a n u p p e n b a r l i g e n något tankeövande m o m e n t ej häri v a r a t i l l finnandes. D e t t a är däremot i h ö g g r a d f a l l e t beträffande u n d e r v i s n i n g e n i l i n e a r r i t n i n g och b e h a n d l i n g e n av hithörande räknepro- b l e m . T första f a l l e t ställas p å barnen k r a v på a t t själv- ständigt f u n d e r a u t , pröva s i g f r a m t i l l , något sätt a t t f i n n a lösning t i l l vissa k o n s t r u k t i o n s u p p g i f t e r . V i d b e h a n d l i n g e n av de g e o m e t r i s k a räkneproblemen övas i n t e l l e k t e t , dels genom försök a t t u r e t t a n t a l mätningar f i n n a r eglern a,

»formlerna», för vissa g e o m e t r i s k a storheters beräkning, dels v i d arbetet m e d de något m e r a k o m p l i c e r a d e beräk- n i n g a r , som med t i d e n k u n n a föreläggas b a r n e n .

Det återstår n u a t t se t i l l , i v a d mån en såsom o v a n skisserad g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g k a n väntas k o m m a a t t u p p -

f y l l a . U P : s föreskrifter: a t t ge b a r n e n förtrogenhet m e d de g e o m e t r i s k a storheternas u p p r i t n i n g , b e s k r i v n i n g , mätning och beräkning.

D e t l i g g e r i öppen dag, a t t b a r n e n g e n o m u n d e r v i s n i n g e n i l i n e a r r i t n i n g , genom färdighet i uppmätning och p r o b l e m - lösning b l i förtrogna m e d de g e o m e t r i s k a storheternas u p p -

1 8 5

r i t n i n g , mätning och beräkning. H a cle därjämte genom ständigt återkommande n y a exempel på de g e o m e t r i s k a be- greppens förekomst i o m g i v n i n g e n fått g r u n d l i g kännedom om dessas innebörd och betydelse, k o m m e r förmågan a t t b e s k r i v a en g e o m e t r i s k storhet eller f i g u r av s i g själv. O m sålunda f o l k s k o l a n s lärokurs i g e o m e t r i uppgöres e n l i g t de här a n g i v n a g r u n d l i n j e r n a , t o r d e u n d e r v i s n i n g e n i ämnet b l i i f u l l överensstämmelse med U P : s föreskrifter.

Sedan härigenom f o l k s k o l a n s g e o m e t r i k u r s fått en för a l l a p a r t e r någorlunda tillfredsställande begränsning, b l i r det en n y u p p g i f t för läraren a t t fastställa den o r d n i n g , i v i l - k e n lärostoffet s k a l l meddelas, m . a. o. a t t u t a r b e t a en l ä m p l i g lärogång. F ö r a t t r a t i o n e l l t lösa en d y l i k u p p g i f t bör m a n g i v e t v i s c j g å f r a m på måfå, u t a n m a n måste där- v i d h a något rättesnöre, någon ledande p r i n c i p , a t t följa.

D e n i föreliggande f a l l bästa och e n l i g t vår m e n i n g enda användbara, då fråga är o m b a r n u n d e r v i s n i n g e n , är föl- j a n d e : från det enkla till det mera komplicerade. Så själv- k l a r denna p r i n c i p måhända synes för de flesta av d e m , som läsa detta, är det dock påfallande, h u r ofta, i c k e m i n s t i n o m g e o m e t r i u n d c r v i s n i n g e n , det medvetet e l l e r omedvetet b r u t i t s och b r y t e s m o t densamma.

D e n del a v den tillämpade g e o m e t r i n , som o m f a t t a r mät- n i n g och beräkning av g e o m e t r i s k a storheter, består som bekant i s i n t u r av tvenne u n d e r a v d e l n i n g a r :

A . läran o m y t o r och deras beräkning, p l a n i m e t r i , B . läran o m r y m d e r och deras beräkning, stereometri.

I b e t r a k t a n d e härav b l i r n a t u r l i g e n den första fråga, som framställer k r a v på e t t a v g ö r a n d e : v i l k e n av dessa båda delar, p l a n i n i e t r i n eller stereometrin, är från f o l k - skol eundervisningens s y n p u n k t a t t anse såsom den enklaste och lättast t i l l g ä n g l i g a ?

A t t det är lättare a t t räkna u t e t t ytinnehåll än en r y m d

anses väl i allmänhet såsom självklart. D å e m e l l e r t i d de

flesta läroböcker i g e o m e t r i för f o l k s k o l a n i n m ä n g a s t o f f

u r stereometrin i p l a n i n i e t r i n , t o r d e det i c k e v a r a onödigt

a t t få k l a r g j o r t o r s a k e r n a t i l l a t t p l a n i m e t r i n v e r k l i g e n måste k a r a k t e r i s e r a s såsom e n k l a r e än s t e r e o m e t r i n . Sett u t e s l u t a n d e från e l e m e n t a r u n d e r v i s n i n g e n s ståndpunkt k u n - na åtskilliga skäl härför anföras. Sålunda är det obestrid- l i g e n e n k l a r e a t t u p p m ä t a och räkna med två storheter, så- som sker i n o m p l a n i m e t r i n , än a t t uppmäta och räkna med tre, v i l k e t a l l t i d ifrågakommer i n o m s t e r e o m e t r i n . D e t är v i d a r e lättare a t t m i n n a s räkneregler innehållande endast två än sådana innehållande t r e storheter. S l u t l i g e n : det torde icke v a r a sällsynt, a t t v i d u n d e r v i s n i n g e n i stereometri en p e r s p e k t i v i s k t e c k n i n g p å t a v l a n får ersätta en solid f i g u r , som saknas i skolans m a t e r i e l s a m l i n g . H ä r v i d stäl- las e m e l l e r t i d jämförelsevis stora k r a v p å elevernas förmåga a v p e r s p e k t i v i s k u p p f a t t n i n g , en förmåga, v i l k e n som b e k a n t ej är medfödd u t a n t . o. m . då fråga är o m v e r k l i g a , f r i - stående föremål f o r d r a r v ä l ett års t i d efter födseln för a t t framträda f u l l t u t v e c k l a d och beträffande p e r s p e k t i v i s k a t e c k n i n g a r o f t a saknas eller är rudimentär även hos äldre personer.

T i l l dessa skäl, som m e d a l l skärpa synas ge v i d handen, a t t stereometrin som undervisningsämne i f o l k s k o l a n är e t t svårare g e b i t , står l i k s o m e t t t r a p p s t e g högre än p l a n i - m e t r i n , m å även anföras ett, som framträder v i d b e t r a k - tande a v dessa b å d a geometrins delar u r v e t e n s k a p l i g s y n - p u n k t , och som o t v e t y d i g t säger ifrån, a t t de äro från g r u n d e n två h e l t o l i k a områden, nämligen följande: y t o r äro tvådimensionella g e o m e t r i s k a storheter (»kännetecknas av längd och b r e d d » ) , r y m d e r äro tredimensionella sådana

(»kännetecknas av längd, b r e d d och h ö j d » ) . D e n n a omstän- d i g h e t medför i själva v e r k e t , a t t stereométrins vetenskap- l i g a b e h a n d l i n g b l i r b e t y d l i g t svårare och v i d l y f t i g a r e än p l a n i m e t r i n s . O l i k h e t e n i svårighetsgrad m e l l a n ifrågava- rande d i s c i p l i n e r är sålunda framträdande både i den lägre och i den högre u n d e r v i s n i n g e n , och det t o r d e därför i en- l i g h e t med den nämnda p r i n c i p e n v a r a s y n n e r l i g e n välbe- tänkt a t t genomarbeta h e l a p l a n i m e t r i n , i n n a n m a n övergår

187

t i l l s t e r e o m e t r i n . D e t t a tillvägagångssätt står då också i s a m k l a n g med den s i d . 184 omnämnda p r i n c i p e n : en sak i sänder.

Y t t e r l i g a r e e t t skäl för a t t p l a n i n i e t r i n som h e l h e t bör läsas före stereometrin är följande. H u v u d u p p g i f t e n v i d u n d e r v i s n i n g i stereometrin på f o l k s k o l e s t a d i e t är j u beräk- n i n g av de e n k l a r e s o l i d a f i g u r e r n a s r y m d . E m e l l e r t i d t a l a s där även o m de ifrågavarande k r o p p a r n a s ytnät, och u p p - g i f t e r k u n n a och böra i b l a n d förekomma, där beräkning av d y l i k a ytnäts s t o r l e k begäres såsom b i u p p g i f t t i l l h u v u d - problemet, rymdberäkningen. H ä r i g e n o m få b a r n e n en re- p e t i t i o n i uträkning av ytinnehåll av de mest s k i l d a for- mer, som är så m y c k e t värdefullare, s o m den k o m m e r först någon t i d efter den första kunskapsmeddelelsen. D e n n a re- p e t i t i o n k o m m e r j u cj t i l l stånd, i f a l l en sådan samman- b l a n d n i n g av p l a n i m e t r i och stereometri görcs, v i d v i l k e n vissa solida f i g u r e r behandlas i omedelbart s a m m a n h a n g med de slags y t o r , som begränsa desamma ( t . ex. rätvink- l i g p a r a l l e l l i p i p e d i samband med k v a d r a t och r e k t a n g e l ) . D e n förlust av tillfälle t i l l r e p e t i t i o n , som i sistnämnda f a l l inträffar, k a n ej v a r a a n n a t än t i l l förfång för u n d e r v i s - n i n g s r e s u l t a t e t , enär det som b e k a n t är h u v u d s a k l i g e n genom e t t återupptagande — i s y n n e r h e t o m detta k o m - m e r m e d en viss l ä m p l i g t i d s i n t e r v a l l efter den första be- h a n d l i n g e n a v ämnet, u n d e r v i l k e n dc då inhämtade k u n - s k a p e r n a h i n n a så a t t säga »ligga t i l l sig» —- som det en g å n g inlärda befästes i m i n n e t .

D e t förefaller därjämte, som om en ständig samman-

b l a n d n i n g på e t t t i d i g t s t a d i u m a v g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n

av u p p g i f t e r u r p l a n i m e t r i och stereometri vore s y n n e r l i g e n

ägnad a t t hos b a r n e n åstadkomma oreda i och b r i s t på sam-

m a n h a n g m e l l a n de geometriska begreppen och deras n u -

m e r i s k a b e h a n d l i n g . D e n n a t u r l i g a s t e , mest l o g i s k a och mest

p e d a g o g i s k a metoden v i d geometri u n d e r v i s n i n g e n synes där-

för v a r a den, som b e h a n d l a r hela p l a n i n i e t r i n i e t t sam-

m a n h a n g u t a n i n b l a n d n i n g av stereometriska u p p g i f t e r och

u p p f r i s k a r de inhämtade p l a n i m e t r i s k a k u n s k a p e r n a v i d u n d e r v i s n i n g e n i s t e r e o m e t r i .

D e n s a m m a n b l a n d n i n g av p l a n i m e t r i och stereometri, som dock härvid k o m m e r a t t äga r u m , t o r d e v a r a f u l l t försvar- l i g . E n l i g t de gängse läroböckernas metod k o m m a u p p g i f - ter u r två för b a r n e n fullständigt nya och främmande k u n - skapsgebit a t t behandlas jämsides med v a r a n d r a , E n h e l t a n n a n sak är e m e l l e r t i d a t t som apropå t i l l u p p g i f t e r häm- tade från e t t n y t t undervisningsområde t a u p p t i l l b e h a n d - l i n g p r o b l e m från e t t a n n a t , lättare, förut g r u n d l i g t genom- a r b e t a t fält, v i l k a osökt t i d efter annan e r b j u d a s i g .

G E O M E T R I U N D E R V I S N I N G E N S M E T O D .

Den lärogång, som här nedan k o m m e r a t t framläggas, gör i c k e anspråk p å a t t v a r a den enda användbara; den är endast e t t förslag, som e m e l l e r t i d åtskilliga g å n g e r prövats och b e f u n n i t s l e d a t i l l e t t jämförelsevis g o t t r e s u l t a t .

D e t är u p p e n b a r t , a t t med de m å n g a moment, som läro- p l a n e n o m f a t t a r , måste a n t a l e t o l i k a sammanställningar därav b l i oöverskådligt. B l a n d dessa är g i v e t v i s endast e t t

r i n g a a n t a l användbart, och b l a n d dessa finnas bättre och sämre. A t t avgeöra h a l t e n av dessa är d e l v i s en r e n t subjek- t i v f r å g a ; det a n k o m m e r p å den enskilde läraren a t t med hänsyn t i l l de i U . P . g i v n a a n v i s n i n g a r n a själv avgöra, v i l k e n som är lämpligast för den s k o l f o r m , m e d v i l k e n h a n arbetar, v a r v i d l a n d s s k o l a n s och stadsskolans o l i k a k r a v jämväl böra beaktas. V i d uppställandet av lärogången h a

v i låtit oss angeläget v a r a a t t i görligaste mån följa de i det föregående g i v n a p r i n c i p e r n a :

1) från det e n k l a t i l l det m e r a sammansatta, 2 ) en sak i sänder, 3 ) a l l t i d b y g g a p å det, som l i g g e r i n o m barnens intresse- och erfarenhetsområde. I de f a l l , då k o n f l i k t e r mel- l a n desamma inställt s i g , h a v i låtit den första p r i n c i p e n d o m i n e r a .

1 8 9

Nedanstående p l a n l i g g e r t i l l g r u n d för u t a r b e t a n d e t av de följande m e t o d i s k a a n v i s n i n g a r n a :

I . Om linjer:

L ä n g d m ä t n i n g ; s k a l a ; v i n k e l räta, p a r a l l e l l a , vågräta-, l o d - räta, sneda c l . l u t a n d e l i n j e r .

I I . Om ytor:

1) R e k t a n g e l . 2 ) K v a d r a t .

3 ) T r i a n g e l ( r ä t v i n k l i g ) .

4 ) V i n k l a r ( m e d c i r k e l n som u t g å n g s f i g u r ) . 5 ) S n e d v i n k l i g a p a r a l l e l l o g r a m m e r .

6) S n e d v i n k l i g a t r i a n g l a r . 7) T r a p e t s e r .

8 ) O r e g e l b u n d n a månghörningar.

9 ) R e g e l b u n d n a månghörningar.

1 0 ) C i r k e l n s o m k r e t s . 1 1 ) C i r k e l n s y t a . I B ) C i r k e l s e k t o r . 13) E l l i p s .

I I I . Om rymder:

1) K u b .

2 ) P a r a l l e l l i p i p e d . 3 ) T r e s i d i g pelare.

4 ) M å n g s i d i g pelare.

5) C y l i n d e r . G) P y r a m i d . 7 ) K o n . 8 ) K l o t .

V i d u n d e r v i s n i n g e n i g e o m e t r i förekomma följande mo- m e n t : mätning, u p p r i t n i n g , u r k l i p p n i n g och m o d e l l e r i n g , b e s k r i v n i n g och beräkning.

A l l a mätningar måste utföras med största möjliga nog-

g r a n n h e t , och redan p å e t t g a n s k a t i d i g t s t a d i u m f å b a r n e n lära s i g a t t beräkna medelvärden.

U p p r i t n i n g a r n a utföras i r u t a d e böcker med b l y e r t s och med tillhjälp av g r a d e r a d l i n j a l , v i n k e l h a k e , passare och g r a d s k i v a .

S a m t l i g a p l a n a f i g u r e r u r k l i p p a s och i n k l i s t r a s i » b a r - nens egen g e o m e t r i b o k » , arbetsbok. D ä r v i d användes lämp- l i g e n kulört, på b a k s i d a n g u n i m e r a t p a p p e r av s a m m a slag, som b a r n e n använda v i d de i h e m b y g d s u n d e r v i s n i n g e n förekommande arbetsövningarna.

D e s o l i d a f i g u r e r n a s ytnät u p p r i t a s p å l ä m p l i g t p a p p e r av t j o c k t m a t e r i a l (de t i l l r i t b l o c k e n hörande p a p p s k i v o r - na, som eljest bortkastas, äro m y c k e t l ä m p l i g a för detta ä n d a m å l ) , v i k a s och h o p k l i s t r a s ined p a p p e r s l i s t e r ( t . e x .

tätningslister, som äro g u m m e r a d e p å b a k s i d a n ) ; i vissa f a l l bör även m o d c l l e r i n g förekomma.

T i l l v a r j e g e o m e t r i s k storhet, som sålunda behandlats, böra b a r n e n u n d e r lärarens l e d n i n g u t a r b e t a en enkel be- s k r i v n i n g .

V i d de p r a k t i s k a övningarna, mätningar o. d-, är det fördelaktigt a t t låta b a r n e n arbeta t i l l s a m m a n i g r u p p e r med o l i k a u p p g i f t e r avpassade efter barnens u t v e c k l i n g s - ståndpunkt och begåvning.

F ö r vai"je u p p g i f t u t a r b e t a b a r n e n u n d e r lärarens l e d - n i n g en a r b e t s p l a n , som sedan n o g g r a n t följes, och då ar- betet är slutfört, s k r i v e s av varje deltagare en k o r t redo- görelse, som innehåller u p p g i f t e n s a r t , den m a t e r i e l , som använts, den därvid tillämpade metoden, det v u n n a arbets- r e s u l t a t e t och den slutsats, som därav möjligen k a n dragas.

De s k r i f t l i g a redogörelserna, som även stå i modersmåls- u n d e r v i s n i n g e n s tjänst, k u n n a lämpligen som s. k . t y s t a u p p g i f t e r förläggas t i l l modersmålstirnmar eller g i v a s t i l l hemarbete för a t t sedan k o n t r o l l e r a s av läraren. B a r n e n tillhållas a t t u t t r y c k a s i g k o r t , k l a r t och r e d i g t .

H ä r nedan följa n u a n v i s n i n g a r t i l l den å s i d . 190 skisserade läroplanen.

1 9 1

M o m . I . L ä n g d m ä t n i n g a r börja redan på e t t m y c k e t t i - d i g t s t a d i u m i f o r m a v jämförelser m e l l a n längder hos o l i k a

S n a r t inställer s i g behovet av a t t använda bestämda mätt. .Lärjungen får t i l l cn början själv t i l l v e r k a ett sådant av en pappersremsa, som v i k e s och graderas i c e n t i m e t e r . Med d e t t a e n k l a mått reder m a n s i g en t i d framåt. När förtrogenheten med längdmåtten och t a l b e g r e p p e n ökats., s k a f f a eleverna s i g själva v a r s i t t måttband, sådant som användes i flickslöjden. P å e t t m e r a f r a m s k r i d e t s t a d i u m använda gossarna v i d s i n a mätningar hopfällbar mått- stock, s. k . » t u m s t o c k » , av s a m m a s l a g som allmänt an- vändes av yrkesmän i det p r a k t i s k a l i v e t . T de klasser, där m a n s y s s l a r m e d fältmätning, användes för d e t t a ändamål lantmätarkedja. Eleverna g ö r a s i g själva, en sådan genom a t t efter skolans k e d j a m e d k n u t a r g r a d e r a ett s t a r k t och tillräckligt långt snöre. I de klasser, där träslöjd förekom- mer, k u n n a gossarna lämpligen förfärdiga e t t för s a m m a ändamål användbart mått av det utseende, som vidstående f i g . 1 v i s a r .

G a n s k a t i d i g t , dock ej förrän b a r n e n något s y s s l a t m e d bråkbegreppet, inläres och övas begreppet s k a l a , i d e t t a f a l l längdskala. B a r n e n uppmäta o c h a v b i l d a l i n j e r i

/

, V:,,

k a n m a n p å e t t senare s t a d i u m låta b a r n e n mäta avstånd p å k a r t a n och m e d hjälp av den s k a l a , som där finnes a n - g i v e n , beräkna de v e r k l i g a avstånden. T i l l en början mäter m a n då endast räta l i n j e r , t . ex. fågelvägen m e l l a n o l i k a o r t e r . A v s t å n d e t m e l l a n dessa uppmätes p å k a r t a n m e d måttbandet eller t u m s t o c k e n eller tages i passaren, och med l e d n i n g av s k a l a n beräknas d e t t a avstånd i v e r k l i g - h e t e n . D å det gäller a t t e n l i g t d e n n a metod beräkna läng- den av böjda, l i n j e r , floder, gränser, järnvägars längd m . m . , använder m a n s i g av en s. k . kartmätare. E n sådan k u n n a b a r n e n själva förfärdiga åt s i g genom a t t utskära en c i r k e l - f o r m i g k o r k s k i v a , s t i c k a en knappnål genom dennas m i t t -

1 9 2

rätt skärande d i a m e t r a r ( f i g . 2 ) . E n rät l i n j e u p p r i t a s , p å denna utsattes en p u n k t , och från denna får s k i v a n r u l l a e t t v a r v , v a r e f t e r d e t t a avstånd uppmätes och s k i v a n s o m k r e t s bestämmes. Kartmätaren användes på så sätt, a t t m a n låter s k i v a n r u l l a u t e f t e r den l i n j e p å k a r t a n , som s k a l l u p p - mätas, räknar v a r v t a l e n och beräknar med l e d n i n g därav l i n j e n s l ä n g d . M e d längdskalans hjälp beräknas därefter den v e r k l i g a längden.

G e n o m s t e g n i n g få b a r n e n ö v a s i g i a t t uppmäta v i s s a längder, skolvägens längd, våglängden t i l l k y r k a n , h a n - delsboden m . m . , såvida dessa avstånd l ä m p a s i g härför, d. v . s. ej äro alltför stora. Beräkning av m e d e l t a l k o m m e r därvid t i l l f l i t i g användning. E n v i k t i g sak, som ej får försummas v i d sysslandet m e d längd mätningar, är avstånds- bedömning. E l e v e r n a övas i a t t bedöma större och m i n d r e avstånd, längden av l i n j e r , som r i t a s på t a v l a n , avstånd i s k o l r u m m e t , p å skolgården och u t o m skolans område.

Det är av v i k t , a t t b a r n e n få k l a r a och t 3 ' d l i g a . begrepp om sådana längder som m i l och k i l o m e t e r . D e t t a k a n åskådliggöras p å följande sätt. Lärjungarna få veta, a t t det från s k o l a n t i l l en viss p l a t s , som är b e k a n t för a l l a , är 1 k m . Genom egna försök få de sedan beräkna, h u r lång t i d det t a r a t t g å e l l e r c y k l a d e t t a avstånd. M e d l e d n i n g härav beräknas avståndet m i l .

"Mom. I I : 1.

V i d b e h a n d l i n g av begreppet y t a g ö r m a n först b a r n e n

uppmärksamma på a t t de o f t a hört och k a n s k e själva a n -

vänt d e t t a o r d i något s a m m a n h a n g . D e få i u p p g i f t a t t

s k r i v a u p p n a m n e n p å så m å n g a y t o r , de redan känna t i l l .

D e t b l i r g o l v y t a , v ä g g y t a , t a k y t a m . m . Sedan utgår m a n

e x e m p e l v i s från t a v e l y t a n . D e n första u p p g i f t e n b l i r a t t

efter ögonmått rita en b i l d av s v a r t a t a v l a n . B a r n e n få n u

som a l l t i d jämföra och k o n t r o l l e r a s i n a a r b e t s r e s u l t a t med

v a r a n d r a . D e upptäcka därvid, a t t t e c k n i n g a r n a äro m y c k e t

o l i k a . S o m l i g a h a ritat f i g u r e n för s m a l i förhållande t i l l

längden, a n d r a åter tvärtom, och några f i g u r e r äro sneda.

N u d i s k u t e r a r läraren m e d b a r n e n den metod, som bör k o m m a t i l l användning lör a t t få b i l d e n överensstämman- de med det v e r k l i g a föremålet. M a n k o m m e r överens o m a t t uppmäta längd oeli bredd, och sedan d e t t a är g j o r t , bestämmes den s k a l a , i v i l k e n r i t n i n g e n s k a l l utföras.

Lärjungarna göras u p p m ä r k s a m m a p å a t t de o l i k a k a n t - l i n j e r n a g å i bestämda riktningar i förhållande t i l l v a r - a n d r a . F ö r första gången införas begreppen lodrät, vågrät, sned eller l u t a n d e , vinkelrät och p a r a l l e l l . A l l a d e f i n i t i o - ner u n d v i k a s , o c h u t t r y c k e n f o r m u l e r a s så, a t t de anpassas efter barnens uppfattningsförmåga. B a r n e n få ge många exempel p å k a n t l i n j e r , som g å i o l i k a r i k t n i n g a r , föremål,

Fig. 3.

som g å p a r a l l e l l t , järnvägs- och spårvägsspåren, t r o t t o a r e r - na och h u s r a d e r n a v i d s a m m a gata, gator, som g å p a r a l l e l l t med v a r a n d r a , gångbanorna p å vägen m . m . Sedan dessa begrepp k l a r g j o r t s och u p p f a t t a t s , r i t a s lodräta, vågräta, sneda och p a r a l l e l l a l i n j e r . F ö r a t t p å d e t t a s t a d i u m k l a r - g ö r a begreppet vinkelrät använder m a n v i n k e l h a k e n . E n sådan få b a r n e n själva förfärdiga åt s i g g e n o m v i k n i n g av e t t p a p p e r e n l i g t ovanstående f i g . 3. M e d denna v i n - k e l h a k e hjälper m a n s i g en l å n g t i d framåt, undersöker rätvinkliga hörn och r i t a r sådana. R ä t v i n k l i g t är det hörn, som passar t i l l v i n k e l h a k e n .

T d e t t a s a m m a n h a n g m å y t t e r l i g a r e påpekas v i k t e n av a t t endast s y s s l a m e d en sak i sänder och a t t ge b a r n e n god t i d t i l l inövning, i n n a n m a n övergår t i l l någonting

195

n y t t . E f t e r dessa övningar äro barnen färdiga a t t återgå t i l l den u r s p r u n g l i g a u p p g i f t e n , u p p r i t n i n g e n av en b i l d av s v a r t a t a v l a n .

F i g u r e n r i t a s n u p å b a k s i d a n av e t t s v a r t p a p p e r , sådant som allmänt användes v i d t i d i g a r e arbetsövningår. E f t e r u p p r i t n i n g e n , och sedan denna k o n t r o l l e r a t s och godkänts av läraren, sker u t k l i p p n i n g av f i g u r e n . B a r n e n få n u den stora glädjen a t t se, a t t a l l a dessa f i g u r e r , o m de äro r i k - t i g t r i t a d e och n o g g r a n t u t k l i p p t a , passa fullständigt t i l l v a r a n d r a både t i l l f o r m och s t o r l e k . D e n u r k l i p p t a f i g u r e n i n k l i s t r a s i barnens egen » g e o m e t r i b o k » . F i g u r e n får e t t n a m n , r e k t a n g e l , som s k r i v e s som r u b r i k över b i l d e n jämte a n g i v a n d e av det föremål, som är a v b i l d a t , och den skala, som använts. H ä r t i l l fogas dessutom en k o r t s k r i f t l i g redogörelse över den i detta f a l l tillämpade arbetsmetoden jämte en b e s k r i v n i n g av r e k t a n g e l n .

F l e r a l i k n a n d e u p p g i f t e r föreläggas b a r n e n för inövning.

F ö r s t sedan begreppen äro k l a r a , övergår m a n t i l l beräk- n i n g av r e k t a n g e l n s y t a .

E n m i n d r e r e k t a n g e l u p p r i t a s och u p p r u t a s i k v e m . Ge- nom f l e r a försök ledas b a r n e n t i l l den slutsatsen, a t t r e k t - angelns y t a a l l t i d är p r o d u k t e n av dess längd och b r e d d . N u följer för i n ö v n i n g av ytberäkning b e h a n d l i n g av r e k t - angel f o r m i g a y t o r och deras o m k r e t s m e d exempel från s k o l a n och h e m m e t .

D e n n a metod, som a v v i k e r från gängse läroböckers, h a r den fördelen, a t t den är e x p e r i m e n t e l l och b y g g e r p å den d i r e k t a åskådningen, s a m t a t t b a r n e n u r egna d i r e k t a mät- n i n g a r få d r a g a den r i k t i g a slutsatsen.

D e t k a n måhända invändas, a t t en d y l i k metod är a l l t - för omständlig och tidsödande, m e n v a d m a n här förlorar i t i d , v i n n e r m a n i k l a r h e t .

B a r n e n , som lätt förväxla längd och y t a , längdmått och ytmått, beroende därpå, a t t de hos en t e c k n a d f i g u r mera.

fästa s i g v i d de i ögonen f a l l a n d e gränslinjerna än v i d

det ytområde, som l i g g e r därinnanför, få g e n o m denna i en a n n a n färg u r k l i p p t a f i g u r e t t k r a f t i g a r e i n t r y c k av y t a n som tvådimensionell storhet.

M o m . I I : 2 . K v a d r a t e n behandlas efter s a m m a metod som r e k t a n g e l n .

M o m . I I : 3 . Från k v a d r a t e n och r e k t a n g e l n övergår m a n t i l l de r ä t v i n k l i g a t r i a n g l a r , som u p p k o m m a g e n o m d e l - n i n g m e d d i a g o n a l e n a v k v a d r a t e n och r e k t a n g e l n . B a r n e n inse u t a n svårighet metoden för den rätvinkliga t r i a n g e l n s ytberäkning.

M o m . 1 1 : 4 . E f t e r b e h a n d l i n g e n a v rätvinkliga t r i a n g l a r är det l ä m p l i g t a t t övergå t i l l begreppet v i n k l a r . D e n rät- v i n k l i g a t r i a n g e l n h a r tvenne sneda hörn. A n d r a sådana uppsökas och a v b i l d a s . Hörnen, v i n k l a r n a , k u n n a v a r a m e r eller m i n d r e sneda. M a n använder l ä m p l i g e n c i r k e l n som utgångsfigur för a t t närmare s t u d e r a v i n k e l b e g r e p p e t . U r t a v l a n s m i n u t - och t i m v i s a r e b i l d a v i d o l i k a tillfällen o l i k a l u t n i n g m o t v a r a n d r a . Sedan m a n inlärt och inövat begreppen spetsig och t r u b b i g v i n k e l , övergår m a n t i l l v i n k - l a r s k o n s t r u k t i o n och uppmätning. B a r n e n få lära s i g a t t m e d passarens och l i n j a l e n s hjälp u p p r i t a räta v i n k l a r , a t t dela en rät v i n k e l m i t t i t u , a t t u p p r i t a en v i n k e l , som är l i k a stor som en g i v e n v i n k e l . Därefter övergår m a n t i l l g r a d s k i v a n s u p p r i t n i n g , i n d e l n i n g och användning.

B a r n e n förfärdiga v a r s i n g r a d s k i v a , m e n då dessa ej b l i v a tillräckligt n o g g r a n n a f ö r användning u t o m i vissa enstaka f a l l , förordas inköp av g r a d s k i v o r åt b a r n e n . D y - l i k a , e n k l a m e n f u l l t användbara, köpas i pappersaffä- r e r n a för en b i l l i g p e n n i n g . G r a d s k i v a n s användning måste noga inövas dels g e n o m uppmätning, dels g e n o m k o n s t r u k - t i o n av v i n k l a r .

M o m . I I : 5. S n e d v i n k l i g a p a r a l l e l l o g r a m m e r , r o m b och r o m b o i d , studeras, u p p r i t a s , u r k l i p p a s och i n k l i s t r a s i »geo- metriboken». G e n o m k l i p p n i n g och o m f l y t t n i n g e n l i g t f i g . 4 förvandlas den s n e d v i n k l i g a p a r a l l e l l o g r a m m e n t i l l en rät-

197

v i n k l i g sådan. B e g r e p p e n bas och höjd inövas, och metoden för ytberäkningar a v dessa f i g u r e r k l a r l ä g g e s .

M o m . I I : 6. G e n o m d i a g o n a l d e l n i n g k o m m e r m a n från s n e d v i n k l i g a p a r a l l e l l o g r a i n m e r över t i l l s n e d v i n k l i g a t r i - a n g l a r .

T r i a n g l a r n a måste behandlas g r u n d l i g t och utförligt.

N å g o n större svårighet a t t lära b a r n förstå och tillämpa metoden f o r beräkning av t r i a n g e l n s y t a föreligger sällan, men m a n måste ge s i g god t i d för den p r a k t i s k a tillämp- n i n g e n och inövningen och i n t e b a r a nöja s i g m e d a t t u p p - r i t a t r i a n g l a r av o l i k a slag p å s v a r t a t a v l a n och i barnens böcker och beräkna dessa t r i a n g l a r s y t o r u t a n även u t s t a k a

Fig. 4.

sådana p å skolgården och p å fältet. M e d passarens och g r a d s k i v a n s hjälp böra lärjungarna övas i a t t k o n s t r u e r a t r i a n g l a r av o l i k a s l a g . G e n o m egna mätningar m e d g r a d - s k i v a n få b a r n e n övertyga s i g om a t t g r a d t a l e t i en t r i a n g e l a l l t i d är 1 8 0 ° .

M o m . 1 1 : 7 . O r e g e l b u n d n a månghörningar uppdelas i t r i a n g l a r . Beräkningen av deras y t o r övas f l i t i g t m e d p r a k t i s k a tillämpningar. P a r a l l c l l t r a p e t s behandlas som e t t s p e c i a l f a l l av de o r e g e l b u n d n a f y r s i d i n g a r n a , och först se- d a n b a r n e n lärt s i g dess y t b e r ä k n i n g genom triangelmät- n i n g , leder m a n d e m t i l l a t t g e n o m egna försök i e t t f l e r - t a l f a l l f i n n a genvägen, ytberäkning g e n o m a t t t a g a de

1

Då dessa figurer ganska sällan förekomma i det praktiska livet,

kan man med barnens hjälp utstaka sådana på fältet och beräkna fle-

ras ytor. Måhända gör man klokt i att icke ägna dem alltför mycken

tid och intresse utan endast betrakta dem som hjälpmedel för förstå-

elsen av de snedvinkliga trianglarnas uppkomst och ytberäkning.

p a r a l l e l l a sidornas m e d e l t a l , e t t begrepp, som b a r n e n äro v a n a v i d a t t handskas med, gånger höjden.

M o m . I I : 8. O r e g e l b u n d n a månghörningar behandlas ef- t e r s a m m a m e t o d som föregående g e n o m u p p d e l n i n g i t r i a n g l a r och med åskådningsmaterial hämtat från v e r k - l i g h e t e n .

M o m . I I : 9. A v l i k s i d i g a t r i a n g l a r hopfogas och i n - k l i s t r a s den r e g e l b u n d n a sexhörningen, dess y t a beräknas på g r u n d v a l av metoden för t r i a n g e l n s y t b e r ä k n i n g . Där- efter behandlas i d e t t a s a m m a n h a n g r e g e l b u n d n a månghör- n i n g a r m e d a n n a t s i d a n t a l . D å dessa f i g u r e r äro tämligen sällsynta och ej spela s y n n e r l i g e n stor r o l l i det p r a k t i s k a l i v e t , behöver ej m y c k e n t i d o f f r a s p å d e m . V i d u p p r i t - n i n g av den r e g e l b u n d n a sexhörningen få b a r n e n lära sig, a t t d e t t a sker e n k l a s t genom a t t u p p r i t a en c i r k e l och av- sätta r a d i e n p å o m k r e t s e n .

M o m . I I : 1 0 . F r å n de o r e g e l b u n d n a månghörningarna k o m m e r m a n osökt över t i l l e t t närmare s t u d i u m av c i r - k e l n . C i r k e l n u p p k o m m e r p å följande sätt: Från en g i v e n p u n k t dragés e t t v i s s t a n t a l g a n s k a tätt l i g g a n d e räta l i n j e r , som a l l a göras l i k a långa, t , ex. 5 c m , och v i l k a s y t t e r s t a ändpunkter l i g g a på ungefärligen l i k a avstånd från v a r a n d r a . Dessa ändpunkter förenas först genom räta l i n j e r , v a r v i d en månghörning m e d s t o r t s i d a n t a l u p p k o m - mer, därutanför dragas sedan böjda l i n j e r , v a r v i d en c i r k e l uppstår.

Som åskådningsmateriel använder m a n c i r k e l f o r m i g a p a p p s k i v o r , brädspelsbrickor o. d .

som utdelas t i l l b a r n e n . B e g r e p p e n m e d e l p u n k t , o m k r e t s , r a d i e och d i a m e t e r inövas.

O m k r e t s e n mätes m e d måttbandet e l l e r m e d en pappers- remsa, som lägges r u n t o m k r i n g föremålet och genomstickes med c n nål, v a r e f t e r den bredes u t , och avståndet m e l l a n de u p p k o m n a hålen uppmätes.

D i a m e t e r n uppmätes a n t i n g e n d i r e k t e l l e r p å så sätt,

1

Läraren vädjar t i l l barnens erfarenhet. Alla barn ha sett cirklar och cirkclytor.

1 9 9

a t t föremålet placeras m e l l a n tvennc p a r a l l e l l a träklotsar, och avståndet m e l l a n dessa uppmätes. D e arbetande g r u p - p e r n a sammanföra r e s u l t a t e t i en t a b e l l på s v a r t a t a v l a n .

Tabell över mätningar angående förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter.

G r u p p O m k r e t s 1 D i a m e t e r O m k r e t s d i a m e t e r

I . . . .

I I . . . .

XII . . . .

— a

I V . . . . — > — >

M e d e l t a l 3.14

Ä r o mätningarna g j o r d a med tillbörlig n o g g r a n n h e t , b l i r medeltalet 3,14 eller e t t t a l , som l i g g e r d e t t a g a n s k a nära.

Sedan t a l e t 3,14 f u n n i t s , tillämpas och inövas dess använd- n i n g på större och m i n d r e c i r k l a r . O m k r e t s e n beräknas, då endast d i a m e t e r n är uppmätt, och tvärtom. V i d a l l a dessa övningar företagas k o n t r o l l e r a n d e mätningar.

D i a m e t e r n av ett c i r k e l f o r m i g t föremål uppmätes, s k a l a n bestämmes, f i g u r e n u p p r i t a s , u t k l i p p e s och i n k l i s t r a s i g e o m e t r i b o k e n . B å d a f i g u r e r n a s o m k r e t s beräknas.

M o m . T I : 1 1 . Beräkningen a v c i r k e l n s y t a åskådliggöres

på följande sätt, E n c i r k e l u p p r i t a s och indelas i sektorer,

lämpligen åtta., a l l a av l i k a s t o r l e k . D e många småscktorerna

u r k l i p p a s , ordnas och i n k l i s t r a s i g e o m e t r i b o k e n , v a r a n n a n

med spetsen nedåt, v a r a n n a n m e d spetsen uppåt, en av sekto-

r e r n a delas m i t t i t u på längden. E o g a d c t i l l s a m m a n s b i l d a

de en p a r a l l e l l o g r a m l i k n a n d e f i g u r , v a r s y t a beräknas ( f i g .

5 ) . D e n n a y t a b l i r ungefär l i k a med c i r k e l y t a n . P a r a l l e l l o -

g r a m m e n s b r e d d är c i r k e l n s radie och dess längd l i k a

med h a l v a omkretsen = r a d i e n . 3,1.4. E n c i r k e l y t a är

alltså = r a d i e n . r a d i e n . 3,14.

e l l e r där någon e l l e r några a v eleverna v i s a utpräglade a n l a g och intresse för g e o m e t r i . V i d inlärande av metoden för beräkning av c i r k e l s e k t o r n s y t a utgår m a n från den sektor, vars m e d e l p u n k t s v i n k e l är 9 0 ° . D e n n a s y t a äro

= \ av h e l a c i r k e l y t a n . E n c i r k e l mecl en viss g i v e n r a d i e u p p r i t a s och u r k l i p p e s . På denna u p p r i t a s e n sektor, vars g r a d t a l är 45. S e k t o r n u r k l i p p e s ; det v i s a r s i g n u , a t t 8 st, l i k a stora sektorer k u n n a k l i p p a s av den u r -

2 0 1

s p r a n g l i g a c i r k e l y t a n . Sektorns y t a är

% = £ a v h e l a c i r k e l n s . G e n o m några l i k n a n d e övningar, v i l k a h e l t na- t u r l i g t utföras av eleverna själva, d r a g a de s n a r t den s l u t - satsen, a t t s t o r l e k e n a v sektorns y t a a l l t i d är beroende a v m e d e l p u n k t v i n k e l n s g r a d t a l ( g ) , och a t t v i d beräkningen i n a n t a r g / 3 6 0 av c i r k e l y t a n m e d s a m m a r a d i e . E f t e r l i k - nande m e t o d behandlas sektorns båglängd.

M o m . I I : 1 3 . V i d b e h a n d l i n g a v e l l i p s e n är det åtmins- tone för de m i n d r e l y c k l i g t l o t t a d e skolornas v i d k o m - mande alldeles tillräckligt, om b a r n e n p å e t t p r a k t i s k t sätt lära s i g u p p r i t a f i g u r e n . Dess y t b e r ä k n i n g torele i m å n g a f a l l k u n n a u t e s l u t a s .

D e t t o r d e v a r a nödvändigt, a t t f l i c k o r n a n o g g r a n t övas i u p p r i t n i n g av denna f i g u r , då d e n o f t a förekommer i slöjdföremål; d u k a r m . m . h a s t u n d o m e l l i p s f o r m .

Metoden för u p p r i t n i n g av e l l i p s e n är som b e k a n t g a n s k a enkel. E t t l i t p a p p c r fästes p å s k o l b o r d e t e l l e r p å ett rit- bräde. E n rät l i n j e , s t o r a x e l n , som anger ellipsens längd- riktning, u p p r i t a s , och på denna fästas tvenne s t i f t e l l e r knappnålar i p u n k t e r , som l i g g a p å ett bestämt avstånd från v a r a n d r a och m e d l i k a stora avstånd t i l l storaxelns ändpunkter. E n tråd lägges o m den ena nålen och går d u b b e l f r a m t i l l storaxelns m o t s a t t a ändpunkt, där trådens b ä g g e ändar h o p k n y t a s . M e d b l y e r t s p e n n a n , som stickes innanför tråden och spänner denna, u p p r i t a s f i g u r e n .

P å l i k n a n d e sätt u p p r i t a s med tillhjälp a v ett p a r k ä p p a r och e t t snöre en stor e l l i p s p å skolgården. B a r n e n göras u p p m ä r k s a m m a p å a t t gräsplaner, b l o m s t e r g r u p p e r m . m . i trädgården o f t a h a e l l i p s f o r m , och a t t trädgårdsmästaren j u s t använder s i g av ovanstående metod v i d u p p r i t n i n g av dessa. — V i d b e h a n d l i n g av ellipsens y t b e r ä k n i n g gör m a n jämförelse m e d c i r k e l n . E t t c i r k e l f o r m i g t järn- e l . stålband, som h o p t r y c k e s , får e l l i p s f o r m . B a r n e n inse, a t t ellipsens båda. a x l a r m o t s v a r a tvenne av c i r k e l n s m o t v a r a n d r a v i n - kelräta d i a m e t r a r , och a t t därför p r o d u k t e n av h a l v a stor- a x e l n och h a l v a l i l l a x e l n gånger 3,14 är ellipsens y t a .

2 0 2

M o m . I I I : 1 . V i d inlärande av r y m d b e g r e p p e t är det l ä m p l i g t a t t som e x e m p e l t a g a s k o l r u m m e t . D e t t a h a r längd, b r e d d och höjd. E l e v e r n a ge e x e m p e l p å m å n g a f ö - remål, som h a v a längd, b r e d d och höjd, och upprätta en förteckning på sådana. A l l a dessa föremål u p p t a g a e t t r u m , äro r y m d e r eller k r o p p a r .

E t t föremål, som h a r k u b i s k f o r m , en låda e l . d y l . , före- visas för klassen. Sidor, k a n t e r och hörn räknas och an- tecknas. V i n k l a r n a undersökas. V a r j e b a r n får t i l l u p p g i f t a t t m o d e l l e r a en l i t e n k u b a v l e r a .

Ytnätet t i l l en k u b u p p r i t a s p å l a g o m t j o c k t p a p p e r . D e t u r k l i p p t a ytnätet v i k e s och h o p k l i s t r a s . Därefter s k r i v e s en redogörelse för arbetsmetoden och kubens v i k t i g a s t e egenskaper. B e s k r i v n i n g e n förses med en t e c k n i n g a v k u - ben medelst p a r a l l e l l p r o j e k t i o n , som u n d e r lärarens l e d - n i n g först ritas p å t a v l a n och därefter i förminskad s k a l a utföres i barnens geometriböcker.

I skolans m a t e r i e l s a m l i n g bör f i n n a s e t t s t o r t a n t a l k u - ber, lämpl. k b e m . ; f i n n a s de i c k e , k u n n a b a r n e n förfärdiga l ä m p l i g t a n t a l sådana av l e r a . D å metoden för kubens r y m d b e r ä k n i n g förekommer, utdelas d e n n a m a t e r i e l t i l l

barnen, ooh a v d e m b y g g a de sedan först en k u b , som är s a m m a n s a t t a v 8 st. sådana små k u b e r , sedan, o m m a t e r i e l därtill finnes, en sådan s a m m a n s a t t av 27 små k u b e r ; bar- n e n k u n n a i senare f a l l e t arbeta g r u p p v i s e l l e r h e l a k l a s - sen t i l l s a m m a n s .

D e n u p p b y g g d a kubens k a n t mätes. Ä r den 2 c m , inne- håller den större k u b e n 8 k b c m ; är den 3 c m , b l i r s t o r k u - bens r y m d 27 k b c m . B a r n e n få n u r e f l e k t e r a över h u r u inånga små k u b e r , som s k u l l e behövas, o m m a n v i l l e b y g g a u p p en k u b , v a r s k a n t vore t . ex. 5 e l . 1 0 c m . Småningom ledas de f r a m t i l l den slutsatsen, a t t k u b e n s r y m d k a n be- räknas genom en d u b b e l m u l t i p l i k a t i o n , i v i l k e n längden av kubens k a n t ingår som f a k t o r : B , — s.s.s. E t t g o t t stöd för barnens m i n n e , ' då det gäller a t t u t t r y c k a sorten av p r o - d u k t e n , är a t t låta d e m t e c k n a t . ex. 5 c m . 5 cm . 5 c m ==

2 0 3

125 c m

, c m

i st. för k b c m . Metoden är m y c k e t p r a k t i s k , l i k s o m o m m a n v i d y t b c r ä k n i n g a r låter dem i l i k h e t här- med teckna t . ex. Y = 5 c m . 5 c m = 25 c m

.

Som en r e p e t i t i o n p å p l a n i m e t r i c n beräknas k u b e n s y t - nät och i överensstämmelse därmed ytnätet av a l l a i f o r t - sättningen förekommande s o l i d a f i g u r e r .

M o m . I I I : 2. E f t e r samma m e t o d och genom l i k n a n d e b y g g ö v n i n g a r , som m y c k e t intressera barnen, behandlas p a r a l l e l l i p i p eden.

M o m . 1 1 1 : 3 , 4 . V i d b e h a n d l i n g av t r e s i d i g a och mång- hörniga pelare stöcles metoden för r y m d b e r ä k n i n g a r n a på förut g j o r d a slutsatser och i a k t t a g e l s e r .

M o m . I T T : 5. Föremål a v c y l i n d e r f o r m känna a l l a b a r n t i l l . P å en i förväg t i l l v e r k a d p a p p c y l i n d e r lösgöras b o t t e n - y t o r n a och utbredes m a n t e l n . B a r n e n känna i g e n både c i r - k e l n och p a r a l l e l l o g r a m m e n och få n u själva u p p r i t a y t - nätet s a m t så g o t t s i g g ö r a låter t i l l v e r k a en c y l i n d e r .

D e t möter i n g e n svårighet a t t lära dem förstå, a t t me- toden för c y l i n d e r n s r y m d b e r ä k n i n g är densamma, som t i l l - lämpats i föregående f a l l .

M o m . I T T : 6, 7. P y r a m i d f o r m i g a och k e m i s k t formade föremål h a några b a r n sett. M a n undersöker och s a m l a r den erfarenhet, de r e d a n k u n n a h a härom. I s k o l a n s m a - t e i i e l s a m l i n g böra f i n n a s en pelare och en p y r a m i d a v s a m m a höjd och m e d b a s y t o r av l i k a f o r m och s t o r l e k , dessutom en c y l i n d e r och en k o n , hos v i l k a förhållandet är likartät. K r o p p a r n a måste v a r a t i l l v e r k a d e a v s a m m a m a t e r i a l med l i k a spec. v i k t .

I s o m l i g a m a t e r i c l s a m l i n g a r förekomma d y l i k a föremål i f o r m av bleckkärl.

B a r n e n få i l i k h e t med föregående u p p r i t a ytnätet och

t i l l v e r k a v a r s i n k o n och p y r a m i d . G e n o m v ä g n i n g a r eller,

om föremålen äro t i l l v e r k a d e av b l e c k , g e n o m i f y l l n i n g

med sand eller v a t t e n övertygas lärjungarna o m a t t p y -

ramidens r y m d är Vs av p a r a l l c l l i p i p e d e n s , och a t t könens

r y m d utgör % av c y l i n d e r n s . Övning på p r a k t i s k a exempel.

M o m . I I I : 8. Det, k a n ifrågasättas, h u r u v i d a b e h a n d l i n - gen av k l o t e t som g e o m e t r i s k storhet bör förekomma på f o l k - skolestadiet. Anses d e t t a v a r a f a l l e t , bör saken tagas så e n k e l t som möjligt. F o t b o l l e n t o r d e utgöra l ä m p l i g åskåd- n i n g s m a t e r i e l för gossarna oeh bör k u n n a påräkna s t o r t intresse.

V i d beräkningen av k l o t e t s y t a och r y m d måste i n a n h a tillgång t i l l e t t k l o t a v trä e l l e r bleck, s k u r e t i två h a l v o r , s a m t en c y l i n d e r och en k o n av s a m m a m a t e r i a l , v a r d e r a med s a m m a b o t t e n d i a m e t e r och höjd som k l o t e t s diameter.

V i d en jämförelse m e l l a n k l o t e t s s t o r c i r k e l y t a och h a l v k l o - tets b u k t i g a y t a inses u t a n svårighet, a t t den senare är större än d e n förra; a t t den är d u b b e l t så stor bör väl b l i cn m i n n e s s a k ; a v denna jämförelse följer, a t t h e l a k l o t - y t a n är 4 gånger s t o r c i r k e l n s y t a . V i k t e r n a a v h a l v k l o t e t och könen jämföras, och då de v ä g a l i k a m y c k e t , dragés därav den slutsatsen, a t t r y m d e r n a äro l i k a stora, H a r man tillgång t i l l åskådningsmateriel, t i l l v e r k a t a v b l e c k i f o r m a v kärl, k a n m a n genom p å f y l l n i n g av sand eller v a t t e n v i s a d e t t a d i r e k t . H e l a k l o t e t s r y m d är sålunda d u b b e l t så stor som könens, och då denna utgör en tredjedel av c y l i n d e r n s , följer därav, a t t k l o t e t s r y m d är % a v den c y l i n d e r s , v a r s b o t t e n d i a m e t e r och höjd äro l i k a m e d k l o - tets d i a m e t e r .

Uppmätningen av k l o t e t s d i a m e t e r sker efter s a m m a metod, som förut omnämnts angående c i r k e l n . Föremå- let placeras m e l l a n t v e n n e p a r a l l e l l a , rätvinkliga k l o t s a r , och avståndet m e l l a n dessa uppmätes.

T i l l v a d som i det föregående är sagt o m de mätningar, som böra förekomma i g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n , må ännu en sak tilläggas.

D e t är s y n n e r l i g e n p r a k t i s k t och n y t t i g t , o m gossarna i översta klassen av f o l k s k o l a n få någon ö v n i n g i använ- dandet av skjutmått e l . s. k . kalibermått. D ä r metallslöjd

förekommer i s k o l a n , är användandet av d e t t a redskap alldeles ofrånkomligt. D e t är en g a n s k a b i l l i g sak, som

2 0 5

k a n inköpas för skolans räkning i närmaste järnbod och k o s t a r endast en eller ett p a r k r o n o r . M e d hänsyn t i l l den betydelse, dess användning h a r i det p r a k t i s k a l i v e t ej b l o t t för yrkesmän u t a n även för allmänheten, böra gos- sarna g ö r a dess b e k a n t s k a p redan i f o l k s k o l a n .

D å det p r a k t i s k a s y f t e t v i d g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n ställes i förgrunden, är det g i v e t , a t t k u r s e n b ö r läggas något o l i k a för goss- och f l i c k k l a s s e r , o l i k a för lands- b y g d e n s s k o l o r och för s k o l o r n a i våra städer och större i ndustiisamhällen.

Den u n d e r v i s n i n g i g e o m e t r i , som f l i c k o r n a behöva, k a n begränsas åtskilligt och bör m e r a än förut v a r i t f a l - let t a g a hänsyn t i l l de i n o m h e m m e t förekommande u p p - g i f t e r n a s a m t i största möjliga utsträckning v i d de p r a k - t i s k a tillämpningsövningarna t a g a hänsyn t i l l ämnena k v i n n l i g slöjd och hushållsgöromål. Sålunda böra, för a t t nämna några exempel, f l i c k o r n a övas i a t t använda r i t - i n s t r n m e n t e n m e d t a n k e på k o m m a n d e mönsterritning och dessutom f å en a n i n g o m h u r o f t a g e o m e t r i s k a f i g u r e r ingå som l e d m o t i v i mönsterkompositioner o. cl. V i d a r e t o r d e f l i c k o r n a h a både p r a k t i s k n y t t a o c h intresse a v a t t be- räkna g o l v y t o r för mattbeläggning, fönsterlufter för g a r - dinuppsättningar o. d . D e t t o r d e också l i g g a i sakens na- t u r , a t t de böra intressera s i g för mätningar i trädgården.

I l a n d s b y g d e n s skolor behövs för gossarnas v i d k o m - mande en större och g r u n d l i g a r e k u r s i p l a n i m e t r i än för m o t s v a r a n d e gossklasser i stadsskolor och större i n d u s t r i - samhällen. I de förra bör h u v u d v i k t e n v i d g e o m e t r i u n d e r - v i s n i n g e n läggas v i d uppmätningar, kartläggning och be- räkning av ytområden s a m t fältmätningsövningar.

I städernas s k o l o r bör måhända r y m d g e o m e t r i e n b l i något bättre t i l l g o d o s e d d och ämnet sättas i s a m b a n d med l i n e a r r i t n i n g och slöjd.

D e t torde v a r a lämpligt a t t för det »utearbete», som

åtminstone v a d l a n d s b y g d e n s s k o l o r beträffar bör åtfölja

g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n , förlägga denna u n d e r v i s n i n g t i l l

höstterminens början, då fälten efter skördearbetets s l u t äro t i l l g ä n g l i g a . S a m t l i g a räkiietimmar förvandlas då t i l l g e o m e t r i t i m m a r , och den därunder inhämtade k u r s e n får sedan v i d l ä m p l i g a tillfällen g å i g e n i räkneundervis- n i n g e n under h e l a läsåret.

E n l i g t U . P : s k u r s p l a n e r börjar den e g e n t l i g a geome- t r i k u r s e n i femte k l a s s m e n h a r b l i v i t förberedd p å e t t m y c k e t t i d i g a r e s t a d i u m både u n d e r l e k t i o n e r n a i räk- n i n g och v i d h e m b y g d s u n d e r v i s n i n g e n s a m t u n d e r de i s a m b a n d med denna ställda arbetsövningarna.

U n d e r v i s n i n g e n i g e o m e t r i får ej h e l l e r i fortsättningen släppa k o n t a k t e n med dessa ämnen. D e arbetsövningar, m o d e l l e r i n g , u t k l i p p n i n g , v i k n i n g m . m . , som förekommit i den t i d i g a r e u n d e r v i s n i n g e n , böra förekomma såsom geo- m e t r i s k a tillämpningsövningar.

K a r t l ä g g n i n g a v skolgård, trädgård, t o m t e r , fält och m i n d r e egendomar ävensom s t u d i u m och k o p i e r i n g av t o m t - k a r t o r , e v e n t u e l l t även av b y k a r t a n , utgöra n y t t i g a och l ä m p l i g a u p p g i f t e r v i d g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n i de högre k l a s s e r n a av l a n d s b y g d e n s skolor.

F o l k s k o l a n s g e o i n e t r i u n d e r v i s n i n g b l i r sålunda e t t sär- s k i l t s l a g a v h e m b y g d s u n d e r v i s n i n g med sträng tillämp- n i n g a v a r b e t s p r i n c i p e n och m e d p r a k t i s k a s y n p u n k t e r .

I de skolor, där slöjd för gossar förekommer, k u n n a u p p - r i t n i n g a r , mätningar och beräkningar av v i s s a slöjdmo- d e l l e r förläggas t i l l g e o m e t r i l e k t i o n e r n a .

D e t k a n även ifrågasättas, h u r u v i d a ej l i n e a r r i t n i n g c n för a t t b l i mera p r a k t i s k och fruktbärande a l l t i d borde stå i e t t i n t i m t s a m b a n d med g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n . R ö r a n d e sambandet m e l l a n g e o m e t r i och l i n e a r r i t n i n g hän- visas t i l l en uppsats av O . E n e r o t h i Pedagogisk T i d s k r i f t , 4 0 :e årg., 1904, s i d . 6 2 .

V i d u n d e r v i s n i n g e n i detta ämne är åskådligheten a v u t o m o r d e n t l i g t stor betydelse. G e o m e t r i är åskådningslära.

D e t s l a g av åskådningsmaleriel, som h i t t i l l s använts v i d g e o m e t r i u n d e r v i s n i n g e n , k l o t s a r o. d., ter s i g dock ofta

2 0 7