UPPSALA UNIVERSITET 2007-01-18 Företagsekonomiska Institutionen
Examensarbete D-nivå HT-2006
Leder en dynamisk prissäkringsstrategi till en mer stabil volatilitet i inköpspriser än en statisk strategi?
– En fallstudie av ett svenskt industriföretag
Handledare: Robert Joachimsson Författare: Johan Lundberg
Markus Navander
Sammandrag
På kort tid har priset på kopparmarknaden stigit kraftigt de senaste åren. Industriföretag med stora kopparinköp men fasta försäljningspriser på sina produkter kan i dessa fall få
försämrade marginaler om de inte säkrar priset på sina inköp av koppar. I ett svenskt industriföretag säkras idag 80 procent av kopparinköpen, kvartalsvis. Syftet med denna undersökning är att studera om en dynamisk prissäkringsstrategi, där andelen som prissäkras bestäms utifrån prognostiserad volatilitet, ger en mer stabil volatilitet av inköpspriser än den statiska strategin som idag används av industriföretaget.
Resultatet av undersökningen visar att en dynamisk prissäkringsstrategi, där volatiliteten prognostiseras med hjälp av GARCH-modeller, inte ger en mer stabil varians än den statiska strategi som idag används. Detta har sin grund i att GARCH-modellerna inte lyckas
prognostisera volatiliteten tillräckligt bra. I denna undersökning har även samma utvärdering utförts men där prissäkringen utförts månadsvis. I detta fall leder den dynamiska strategin till en mer stabil volatilitet i inköpspriser.
Innehållsförteckning
1 Inledning________________________________________________________________ 5 1.1 Problem vid förändring av inköpspriser _________________________________________ 5 1.2 Syfte _______________________________________________________________________ 7 2 Teori ___________________________________________________________________ 8
2.1 Bör företag prissäkra? ________________________________________________________ 8 2.2 Minskad osäkerhet genom prissäkring___________________________________________ 8 2.3 Introduktion till prognostisering________________________________________________ 9 2.4 Prognostisering med ARCH och GARCH-modeller_______________________________ 10 2.4.1 ARCH-modeller ________________________________________________________________ 11 2.4.2 GARCH-modeller_______________________________________________________________ 12 2.5 Problem vid estimering av en ARCH/GARCH-regressionsmodell ___________________ 13 2.5.1 Test om enhetsrot existerar med Dickey-Fuller test _____________________________________ 14 2.5.2 Lösning av enhetsrotproblem med differentiering ______________________________________ 14 2.6 Estimering av ARCH/GARCH-parametrar _____________________________________ 15 2.6.1 Utvärdering av genererad ARCH/GARCH-modell _____________________________________ 15 2.6.2 Tidsaggregering av en ARCH/GARCH-modell ________________________________________ 16 2.7 Egen reflektion över ARCH/GARCH-modeller __________________________________ 17 3 Metod _________________________________________________________________ 18
3.1 Insamling av sekundärdata ___________________________________________________ 18 3.2 Insamling av primärdata _____________________________________________________ 19 3.2.1 Motivering till val av intervjupersoner _______________________________________________ 20 3.3 Insamling av finansiell data___________________________________________________ 20 3.4 Källkritik__________________________________________________________________ 20 3.5 Motivering till val av ARCH/GARCH-modell för estimering av volatilitet ____________ 21 3.6 Tillvägagångssätt vid empirisk undersökning ____________________________________ 22 3.6.1 Användning av statistiskt datorprogram______________________________________________ 22 3.7 Reflektion över tillvägagångssätt ______________________________________________ 22
4 Empiri _________________________________________________________________ 24 4.1 Karakteristika i kopparprisets tidsserie_________________________________________ 24
4.1.1 Test om ickestationaritet och enhetsrot ______________________________________________ 24 4.1.2 Förekomst av heteroskedasticitet ___________________________________________________ 26 4.2 Estimering av GARCH-modeller ______________________________________________ 26 4.2.1 Aggregering ___________________________________________________________________ 28 4.3 Prognostisering av varians med GARCH _______________________________________ 29 4.4 Bestämmande av mål för varians av kopparpriser ________________________________ 30 4.4.1 Beräkning av inköpsandel som ska prissäkras _________________________________________ 31 4.5 Resultat och jämförelser av prissäkringsstrategier________________________________ 32
5 Analys _________________________________________________________________ 34 5.1 Utvärdering av modellernas resultat ___________________________________________ 34 5.2 Analys av faktorer som inverkat på resultatet ___________________________________ 35
5.2.1 Variansprognosernas inverkan _____________________________________________________ 35 5.2.2 Kopparprisets inverkan___________________________________________________________ 36 5.2.3 GARCH-modellens inverkan ______________________________________________________ 36 5.2.4 Tillvägagångssätt _______________________________________________________________ 37
6 Slutsatser_______________________________________________________________ 38 6.1 Förslag till framtida forskning ________________________________________________ 38
7 Litteraturlista ___________________________________________________________ 39 Appendix 1 Maximum likelihoodmetoden ______________________________________ 41 Appendix 2 Beräkningar i Matlab ____________________________________________ 43 Appendix 3 Presentation av erhållna resultat ___________________________________ 45
1 Inledning
Detta inledande kapitel ger en bakgrund samt introduktion till ämnet. Vidare ger det en beskrivning av de problem som utgör en grund för denna undersöknings uppkomst samt arbetets syfte.
1.1 Problem vid förändring av inköpspriser
De senaste åren har priset på kopparmarknaden förändrats betydligt. Från att ha handlats mellan cirka 1000 och 3000 dollar per ton mellan år 1993 och 2004 är priset idag cirka 7000
$/ton. Under loppet av tre månader under 2006 steg priset med cirka 50 procent1, vilket kan utläsas i Graf 1 nedan.
Utvecklingen av spot-priset på koppar
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
1993 1995
1997 1999
2001 2003
2005
Tid
$/ton
Graf 1 Illustrering av prisutvecklingen på koppar, plottad med hjälp av data från DataStream
I råvaruintensiva bolag skiljer sig ofta tidpunkten från kundens beställning till den faktiska tillverkningen av den beställda produkten. Om företagens produktpriser inte är indexerade, dvs. kopplade till råvarupriser, är de utsatta för risk från prisförändringar. Detta eftersom försäljningspriset är fastlagt medan inköpspriserna varierar. Ju längre tid mellan beställning och tillverkning, samt högre volatilitet på råvarupriserna, desto högre risk för
prisförändringar. Då priset på exempelvis koppar ökat med 50 procent under endast ett fåtal månader kan detta därför ge påverkan på företagets lönsamhet.
1Orsaker till prisförändring:
Strejk i Escondidagruvan i Chile (står för 8 procent av världsproduktionen), presidentval i Peru med risk för förstatligande av gruvor, ökad efterfrågan i Kina samt övriga världen, producenter nära eller vid maximal produktionskapacitet. Källor: SGU, ipsnews.net, Prymetall, Norddeutsche Affinerie AG
En lösning med problemet av prisrisk, där varorna inte är indexerade, är att prissäkra sig genom hedging. Hedging innebär att en investerare, eller företag, tar en position i ett finansiellt instrument vilket har negativ korrelation med varan som ska prissäkras. På detta sätt kommer en ökad kostnad, genom prisökning i den underliggande varan, motverkas av en intäkt från det finansiella instrumentet. Finansiella instrument som företagen har till
förfogande är bland annat optioner, futures och swaps, där optioner och futures är
standardiserade kontrakt medan swaps är ett skräddarsytt avtal mellan två investerare att i framtiden, till ett förutbestämt pris, utbyta kassaflöden. Genom användning av dessa instrument kan ett företag på förhand veta dess råvarukostnader och därmed utföra sin prissättning på ett bättre sätt.
Prissäkring är på intet sätt något nytt inom den finansiella världen vilket lett till att mycket forskning finns tillgänglig. Vad mycket av tidigare forskning dock fokuserat på är varför företag ska prissäkra, inte hur mycket de bör prissäkra, vilket belyses av Brown & Toft (2002). Intuitivt bör ett företag prissäkra 100 procent av sina inköp om priset stiger i
framtiden. Men om ett företag är prissäkrat till fullo och priset sjunker kommer det indirekt få betala en alternativkostnad i form av högre inköpspriser än om de inte var prissäkrade. Om företagets konkurrenter inte prissäkrar i detta fall kan det leda till en konkurrensfördel för dessa. Hur mycket ett företag bör prissäkra beror därför bland annat på dess konkurrenter samt vilken volatilitet på inköpspriserna de är beredda att acceptera.
I ett svenskt industriföretag säkras idag 80 procent av det kortsiktiga, framtida, behovet av koppar oavsett hur volatiliteten på kopparmarknaden utvecklas. I detta fall kommer
volatiliteten på inköpskostnaderna öka då volatiliteten på kopparmarknaden ökar. Företaget är med andra ord exponerat mot volatilitetsrisk på kopparpriset. En fråga som då uppkommer är om det finns ett mer optimalt sätt att bestämma andelen av kopparbehovet som bör prissäkras?
Givet att företaget kan tänka sig exempelvis 5 procents variation på inköpskostnaderna under en viss period, går det då att estimera den framtida volatiliteten på råvarupriset och på så sätt optimera företagets andel som ska prissäkras? Blir en sådan modell bättre än den kvartalsvisa passiva hedgingstrategi som idag används? I uppdrag av det svenska industriföretaget har denna undersökning som mål att svara på dessa frågor.
1.2 Syfte
Syftet med denna undersökning är att utvärdera om en kvartalsvis dynamisk
prissäkringsstrategi, bestämd utifrån prognoser på framtida volatiliteten i kopparpriset ger en mer stabil variation i inköpskostnader än en kvartalsvis statisk prissäkringsstrategi. En del i denna utredning är även att se om en månadsvis dynamisk prissäkringsstrategi ger ett förändrat resultat. Undersökningen är tänkt att ligga till grund för en utvärdering av ett svenskt industriföretags hedgestrategier och är ämnad för dess finansavdelning samt andra intressenter med goda finansiella kunskaper.
2 Teori
I detta kapitel beskrivs teorier samt modeller som ligger till grund för undersökningen.
Kapitlet börjar med att definiera prissäkring och prognostisering, vilket ger en kort
introduktion till det påföljande avsnittet om ARCH/GARCH-modeller. Därefter presenteras förloppet att estimera en GARCH-prognostiseringsmodell.
2.1 Bör företag prissäkra?
Riskmanagement anses idag vara en viktig del av ett företags strategier. Stulz (1996) menar att det primära målet för riskmanagement är att minimera sannolikheten av kostsamma utfall, utfall som kan leda till finansiell distress eller bidra till att ett företag inte kan fortsätta med sin investeringsstrategi. Vid sidan av Stulz (1996) har ett flertal argument presenterats varför företag bör prissäkra sig. Ross (1996) menar att icke diversifierade intressenter, såsom
anställda, kunder och leverantörer, kommer att ställa högre krav på ersättning vid affärer med ett riskfyllt företag. Genom att prissäkra kan företag sänka sin risk och därmed få ner
kostnaderna för de tidigare nämnda intressenterna i företaget. Detta ökar i sin tur
avkastningen och minskar även risken för finansiell distress. En annan anledning som Ross (1996) nämner är eventuella skattefördelar ett företag kan erhålla genom prissäkring. Då kassaflödena i företaget blir mer förutsägbara minskar risken i företaget vilket leder till att de kan höja sin belåningsgrad. En högre låningsgrad kan leda till en lägre kapitalkostnad då företaget kan dra av räntekostnaden, vilket bidrar till en lägre betalad skatt och därmed ett högre värde på företaget.
2.2 Minskad osäkerhet genom prissäkring
Även om ett flertal argument för prissäkring presenterats bygger de alla på den gemensamma grunden att minska volatiliteten i framtida kassaflöden. Volatilitet mäts som varians eller standardavvikelse, där standardavvikelsen är kvadratroten av variansen. Figur 1 nedan visar hur prissäkring kan minska volatiliteten i den underliggande variabeln.
Unde rliggande variabe l
Frekvens
3 2
1 0
-1 -2
-3 160 140 120 100 80 60 40 20 0
Normalfördelning
Figur 1 Illustration hur hedging minskar variansen av framtida kassaflöden.
Normalfördelade variabler med varians ett, respektive 0,5, plottade med hjälp av programmet Minitab
Kurvorna i Figur 1 visar hur sannolikhetsfördelningen ser ut för två normalfördelade
variabler, där den heldragna kurvan innefattar en större varians än den streckade. Detta ger att ju större volatilitet fördelningen har, desto större är osäkerheten hur det framtida värdet på variabeln kommer att vara. Genom att prissäkra sina inköp kan ett företag minska denna varians vilket alltså leder till en minskad osäkerhet om vad kostnaden i framtiden kommer att vara. I de fall ett företag prissäkrar 100 procent av sina inköp kommer denna varians att vara lika med noll. Risken att företagets inköpskostnader skall öka under prissäkringsperioden är därför eliminerad, samtidigt är även möjligheterna att priset ska sjunka eliminerad.
Ett centralt problem vid prissäkring är att det är den framtida volatiliteten i den underliggande varan som ska reduceras. Då den framtida volatiliteten är okänd måste den därför
prognostiseras. Hur detta kan utföras presenteras i följande avsnitt.
2.3 Introduktion till prognostisering
En prognostisering kan definieras som ett kvantitativt estimat av en framtida händelse, baserat på tidigare kända data. Detta moment utförs genom extrapolering av en given modell. Med detta menas att modellen estimerar data som ligger längre fram i tiden än vad som idag finns tillgängligt.
För att lättare förstå prognostisering är det fördelaktigt att ha förståelse för begreppen ex post och ex ante. Dessa uttryck illustreras i nedanstående figur.
Figur 2 Illustrering av prognosperioder (Pindyck & Rubinfeld 1998:203)
Att utföra en prognostisering ex post menas att modellen utgör en prognos på variabler under en viss tidsperiod vilka i förväg är kända. Med andra ord kan dessa data användas för att utvärdera modellens träffsäkerhet. En ex ante prognos estimerar variabler för tidsperioder som för tillfället inte med säkerhet är kända. (Pindyck & Rubinfeld 1998:203)
Två andra centrala begrepp inom prognostiseringsteorin är betingade och ickebetingade prognoser. I en ickebetingad prognos är samtliga förklarande variabler kända. Prognoser utförda ex post är vanligtvis ickebetingade, då de förklarande variabler är kända. Ex ante prognoser kan däremot vara både betingade och ickebetingade, eftersom framtida variabler då kan vara okända. (Lutkepohl 1993) Detta kan illustreras med nedanstående modell där den betingade variabeln Xt+1 (en tidsperiod framåt) bestäms utifrån tidigare värden på innevarande tidsperiods värde Xt, samt föregående tidsperiods värde Xt-1. Variablerna αi, där0<i<2, är konstanter.
Xt+1 = α0 + α1Xt + α2Xt-1 (1)
Vid prognostisering av variabeln X två perioder framåt i tiden erhålls följande modell.
Xt+2 = α0 + α1Xt+1 + α2Xt (2)
Eftersom värdet på variabeln Xt+1 idag är okänd måste denna variabel prognostiseras med ekvation (1). Prognosen av Xt+2 sägs därmed vara betingad på prognosen av Xt+1.
2.4 Prognostisering med ARCH och GARCH-modeller
Som ovan nämnts är variablers förändringar i tiden en central del vid framställningen av prognostiseringsmodeller. Något som kanske är ännu viktigare är att prognostisera och
analysera storleken på residualerna, dvs. avvikelsen i uppmätt värde jämfört med modellens värde. Detta då variationer i residualerna (feltermerna) är ett bra mått hur tillförlitlig en modell är. Minstakvadratmetoden är en vanligt förekommande metod för att hitta en funktion som bäst approximerar underliggande data. Ett grovt antagande i en enkel
minstakvadratmetod är att det förväntade värdet av alla feltermer, när kvadrerade, är samma vid alla tidpunkter. Antagandet kallas för homoskedasticitet.(Engle 2001) Clive Granger (1981) framlade bevis för att homoskedasticitet ofta är ett orealistiskt antagande för
finansiella tidsserier där heteroskedasticitet råder, dvs. där storleken på residualerna varierar för olika tidpunkter. I de fall heteroskedasticitet är närvarande blir minstakvadratmetodens estimat felaktiga.
2.4.1 ARCH-modeller
För att hantera problemen med heteroskedasticitet utvecklade Robert F. Engle (1982) ARCH- modellen, där ARCH står för autoregressiv betingad heteroskedasticitet. Målet med ARCH är att ge ett volatilitetsmått, liknande standardavvikelse, för en prognostiserad modell. ARCH- modeller är
- autoregressiva då de grundar sig i en återkoppling av gamla värden för att kunna beskriva ett oregelbundet, nästan periodiskt förlopp
- betingade då det förväntade värdet av variansen i framtiden beror på tidigare perioders varians
- heteroskedastiska då de slumpvisa feltermerna yt tillåts ha olika varianser
Mandelbrot (1963) framhävde att modellering av finansiella variabler ofta påvisar en hopbuntning av stora och små fel, även känt som volatilitetskluster. Detta då finansiella tidsserier visar att perioder med stor volatilitet (och stora fel) ofta följs av perioder med låg volatilitet (och mindre fel), och vice versa. Med andra ord innebär det att det existerar en speciell typ av heteroskedasticitet där variansen av regressionsfelet yt beror på volatiliteten av felen i det förgångna (Englund et al 2003). Detta kallas för autokorrelation och är idén bakom ARCH-modeller. Genom att utnyttja att variationen i residualerna beror av tidigare
residualernas variation kan nästkommande variation prognostiseras. Med detta som bakgrund lade Engle (1982) fram sin ARCH-modell med kvadrerade residualer för att kunna
prognostisera variationen i residualerna (se ekvation (4) nästa sida) och därmed förbättra noggrannheten i den prognostiserade modellen (ekvation (3) nästa sida). Ett exempel på
prognostiseringsmodell är att en variabel Pt beror av två oberoende variabler X2t, X3t, vilket illustreras i regressionsekvationen (3) nedan.
t t t
t X X y
P =β1 +β2 2 +β3 3 + (3)
Vidare ställs en ARCH-modell upp, där variansen i feltermen yt relateras till mängden volatilitet som observerades i föregående perioder, vilket visas nedan.
2 1 1 2
+ −
= t
t ω α y
σ (4)
Ekvation (4) ger att variansenσt2avy2t ges av två komponenter: en konstant ω och förra periodens volatilitet, vilket ges av den förra periodens kvadrerade residualy2t-1. α1 är en vikt mellan noll och ett, vilken ger hur mycketyt2−1 bidrar till variansenσt2avy2t . (Engle 1982) I ARCH-modellen är yt heteroskedastisk och betingad, vilket beskrivits ovan, med avseende på yt-1. Eftersom variansen av yt endast beror på förra periodens volatilitet benämnde Engle denna modell som ARCH(1). Mer generellt kan variansen bero på ett oändligt antal
eftersläpande volatiliteter, vilket leder till att en ARCH(p) modell kan definieras enligt ekvation (5) nedan.
2 2
2 2 2
1 1 2
p t p t
t
t =ω+α y− +α y− + +α y−
σ K (5)
2.4.2 GARCH-modeller
Engle (1983) visade på att variansen avy2t beror på volatiliteter ett flertal perioder tillbaka i tiden. Detta medför att ett stort antal parametrar måste estimeras vilket gör att ARCH-
modellerna behöver utvecklas till en mer flexibel eftersläpande struktur, där andra parametrar kan ingå. Denna tanke utvecklades av Tim Bollerslev (1986) i en generaliserad ARCH-modell (GARCH) genom att inkludera eftersläpande varianser i modellen. Genom att utföra detta kan många eftersläpande värden avyi2 ersättas med endast en eller två värden avσi2. Den enklaste GARCH-modellen är GARCH(1,1), vilken är definierad i ekvation (6) nedan.
2 1 2
1 2
−
− + +
= t t
t ω αy βσ
σ (6)
Modellen ger att variansen av feltermeny2t beror av tre komponenter: en konstant ω, förra periodens volatilitety2t-1 samt förra periodens variansσt2−1. Denna GARCH(1,1) kan utvidgas till en generell GARCH(p,q)-modell, vilken illustreras nedan.
2 2
1 1 2 2
1 1 2
q t q t
p t p t
t =ω+α y− + +α y− +βσ − + +β σ −
σ K K (7)
I ekvation (7) beror variansen i period t på samtliga volatiliteter tillbaka i tiden. I modellen påverkas variansen i period t till största del av volatiliteten i närmast föregående period och är därefter avtagande tillbaka i tiden. De tidigare periodernas inverkan på dagens varians
bestäms med andra ord av de geometriskt avtagande vikterna α >K>αp β >K>βq
1
1 , , där
1 ,
0≤αi βi ≤ . (Diebold 2004)
2.5 Problem vid estimering av en ARCH/GARCH-regressionsmodell
Statistisk teori som ekonomer har följt fram till 1980-talet förutsatte att tidsserier för makroekonomiska variabler var stationära, dvs. att de har en tendens att fluktuera kring ett konstant värde eller linjär trend (trendstationäritet). Detta antagande tillämpades av statistiker även på ickestationära slumpvandrande tidsserier och utan full insikt gav detta ett missvisande resultat.(Englund et al 2003) Slumpvandring är som det låter, en vandring där tidsseriens steg till storlek och riktning bestäms av slumpen (Mandelbrot & Taylor 1967). Existerar
slumpvandring i en tidsserie kan inga slutsatser dras angående framtida utveckling. Enhetsrot, som slumpvandring även kallas, karakteriseras av
- en ickestationär process
- ingen benägenhet att återvända till en långsiktig tendens
- variansen är tidsberoende och går mot oändligheten då tiden går mot oändligheten
- en slumpmässig chock resulterar i bestående resultat (Phillips & Perron 1988)
Att undersöka om tidsserien karaktäriseras av enhetsrot är det första steget i utvecklingen av en ARCH/GARCH-modell.
2.5.1 Test om enhetsrot existerar med Dickey-Fuller test
För att undersöka om en autoregressiv modell har enhetsrot eller inte kan ett utökat Dickey- Fuller test användas. Dickey & Fuller (1979) visade att en enhetsrot är närvarande om koefficienten ρ =|1| i den autoregressiva modellen Pt =ρPt−1 +yt, där Pt är variabeln av intresse och yt är feltermen. Regressionsmodellen kan skrivas om till
t t t t
t P y P y
P = − + = +
∆ (ρ 1) −1 δ −1 där ∆ är den första differensoperatorn. Att testa modellen för enhetsrot är ekvivalent med att testa omδ =0.
2.5.2 Lösning av enhetsrotproblem med differentiering
Om tidsserien innefattar enhetsrot kan som ovan nämnts inga slutsatser dras angående
framtida utveckling. Problemet kan lösas genom att differentiera tidsserien till stationäritet då en logaritmerad-differentierad tidsserie innehar liknande egenskaper som den ursprungliga serien. (Eriksson 2005:3) Differentiering används vid regression av ickestationära tidsserier då det medför stationäritet även om inte de underliggande nivåvariablerna inte är det.
(Leybourne et al 1996) Låt exempelvis Pt och Pt-1 vara kopparpriset i period t och t-1. En logaritmering och differentiering ger då
) ln(
) 1
ln(
) ln(
) ln(
ln ln
1 1 1
1 1
1 1 1
1
−
−
−
−
−
−
−
− −
≈ − + −
− =
= +
=
−
=
t t t
t t t
t t t t
t t t
t
t P
P P P
P P P
P P P P
P P P
y
där yt är avkastningen (residualen), eller den relativa prisförändringen mellan period t och t-1.
-.12 -.08 -.04 .00 .04 .08
93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06
Figur 3 Ickedifferentierad samt differentierad och logaritmerad tidsserie
När tidsserien har differentierats genomförs ett nytt Dickey-Fuller test för att kontrollera om enhetsrot kvarstår. Om så är fallet upprepas differentieringen, om inte, är nästa steg att estimera en ARCH/GARCH-modell som bäst motsvarar den underliggande tidsserien.
2.6 Estimering av ARCH/GARCH-parametrar
Tidsserieanalys involverar både modellidentifiering och parameteridentifiering. När den funktionella formen på modellen är bestämd, är identifiering av modellens parametrar
vanligtvis enkelt. (Koehler & Murphree 1988) Detta utförs med Maximum likelihoodmetoden (se Appendix 1 för vidare förklaring). Modellidentifieringen, dvs. hur många eftersläpande residualer och varianser som ska inkluderas i en ARCH/GARCH-modell är något som måste prövas fram. Om för många parametrar tas med kan de förstöra modellens noggrannhet genom brusgenerering och om de är för få representeras fördelningen dåligt av modellen (Akaike 1978).
2.6.1 Utvärdering av genererad ARCH/GARCH-modell
När parameteridentifiering har utförts i GARCH-modellen är nästa steg modellidentifiering, dvs. hur väl modellen passar mot underliggande data. Det utförs genom att studera
parametrarnas signifikans, Akaikes information kriterium (AIC)(Akaike 1974) samt Schwarz informations kriterium (Schwarz 1978). AIC ges av
k L
AIC =−2log (θˆ)+2
där L(θˆ)är den maximerade likelihoodfunktionen (se Appendix 1) och k är antalet parametrar i modellen. Den modell som minimerar AIC-värdet väljs då den bäst motsvarar underliggande data. (Bozdogan 2000)
Schwarz informations kriterium (SIC) skiljer sig inte så mycket från AIC utan ges av
n k L
SIC =−2log (θˆ)+ log
där n är antalet observationer i underliggande data. Den andra logaritmen i SIC medför att Schwarzkriteriet kommer favorisera modeller av lägre dimension än AIC då n≥8.(Koehler
& Murphree 1988) Om två olika modeller ger lägsta värde på SIC respektive AIC måste
ytterligare metoder användas för att urskilja vilken modell som bäst representerar underliggande data.
2.6.2 Tidsaggregering av en ARCH/GARCH-modell
När exempelvis en GARCH(1,1)-modell har skattats kommer den följa underliggande data, dvs. om dagsdata har använts för skapandet av modellen kommer modellen ge en ”dag-för- dag”-prognostisering. Detta medför att om prognostiseringen ska utföras för fem dagar framåt i tiden kommer endast den första prognostiserade dagen vara baserad på verkliga data. Dag två baseras på dag etts prognostiserade värde, och dag tre på dag två och så vidare. Denna prognos på prognos prognostisering medför en kraftig noggrannhetsförsämring då prognoser aldrig är perfekta. Problemet med att skatta mycket längre tidsperioder än underliggande dataserie kan lösas med hjälp av en transformering av ARCH/GARCH-modellen. Metoden har utarbetats av Drost & Nijman (1993) och innebär att frekvensen i modellen transformeras.
Exempelvis kan en modell med hög frekvens (dagsprognostisering), transformeras till en modell med låg frekvens (månadsprognostisering). Drost & Nijman (1993) visade att om en GARCH(1,1) är baserad på dagliga avkastningar {y(1)t}Tt=1, följer även en transformering till h dagars avkastning {y(h)t}Tt=/1hden underliggande serien. Frekvensbytet utförs genom att
parametrarna α,β,ω i ekvation (6) transformeras till α(h),β(h),ω(h) enligt följande formler.
2 1 ) ( ) ( 2
1 ) ( ) ( ) ( 2
)
(ht =ωh +α h yh t− +β hσ ht−
σ (9)
där,
) ( 1
) ( 1
)
( ω ββ αα
ωh = −− ++ h (10)
) ( )
(h (β α)h βh
α = + − (11)
och |β(h) |<1är lösningen till den kvadratiska ekvationen nedan.
) , , ( 2 } ) ( 1 ){
, , , (
) , , ( ) )(
, , , (
1 (2) 2
) (
h b
h a
h b
h a
h y
h y
h h
α β α
β κ
α β
α β α
β κ α β β
β
− +
+
−
= +
+ (12)
Där, + +
−
−
−
−
−
− − +
−
= ( 1){1 ( ) }
) 2 1
( ) 1
)( 1 ( 2 ) 1 ( ) , , ,
( 2
2 2
2
α β κ
βα β
α β β
κ β α
y
y h h h h
a
)2
( 1
)}
( }{
) ( ) ( 1 4{
α
β α α βα β α β
α β
+
−
+
− +
+ +
−
+ h− h h
(13)
med, 2 2
2
) 1 ( ) ( 1
) ( 1
α κ α β
α κ β
κ
ξ
ξ − + − −
+
= −
y och κξ är kurtosis i den estimerade GARCH-
modellen.
2 2
) ( 1
) ( )}1 (
{ ) , ,
(β α α βα β α ββ αα
+
− + + −
−
= h
h
b (14)
Om h exempelvis sätts till 20, antalet handelsdagar en månad, kommer ekvation (9) ge den prognostiserade variansen för den månaden.
2.7 Egen reflektion över ARCH/GARCH-modeller
Sammanfattningsvis kan sägas att ARCH/GARCH-modeller erbjuder en metod för att
prognostisera variationen i feltermerna i en regressionsmodell. Styrkan med modellerna är att även om heteroskedasticitet existerar i tidsserien kan ett mått på regressionsmodellens
noggrannhet utvinnas. En svaghet med modellerna är att de är tämligen komplexa och att flera icketriviala kriterier måste kontrolleras för att modellerna ska kunna användas. Detta medför att modellerna kan uppfattas som krångliga vid låga kunskaper inom ämnet statistik. Som hjälp vid estimering av dessa modeller har ett flertal statistikprogram utvecklats för att utvecklandet av ARCH/GARCH lättare ska kunna genomföras. Dock måste användaren sätta sig in i dessa program för att på ett korrekt sätt ställa upp modellerna. Slutligen kan sägas att finansiella problem är så starkt sammanbundna med statistik vilket medför att det är
ofrånkomligt att genomföra en finansiell utredning av denna karaktär utan att använda statistiska modeller.
3 Metod
I detta kapitel presenteras undersökningens tillvägagångssätt. Val av ARCH/GARCH-modell beskrivs och motiveras under rubrik 3.5. Detta kapitel presenterar även hur insamlingen av sekundär-, primär- och finansiell data genomförts, samt hur den valda modellen har testats.
3.1 Insamling av sekundärdata
Litteraturinsamlingen för denna undersökning har i huvudsak skett genom sökningar i
databaser vid Uppsala Universitet. Googlescholar har kopplats till databaser vid Uppsala samt Stockholms Universitet. Business Source Premier, Emeralds samt JSTOR är några av de databaser som använts. Då det kan ta upp till ett par år innan en artikel blir publicerad i en tidskrift har vi, för att få tillgång till så kallade working papers, sökt i Social Science Research Network. Vad som framkommit vid dessa sökningar är att ARCH/GARCH modellerna blivit frekvent testade och använda på finansiella tidsserier såsom aktiepriser, futures av
råvarupriser och räntenivåer. Exempelvis använder sig Lypny & Powalla (1998) av GARCH vid studier av hedgingeffektivitet för futures på tyska DAX-index. Vad gäller hedging av futures visar Lypny & Powalla (1998) att genom att dynamiskt ändra sin prissäkrade kvantitet erhålls en lägre risk än en passiv hedgingstrategi. Myers (1991) utför ett liknande test fast på spot- och futurespriser på vete. Till skillnad från Lypny & Powalla (1998) menar Myers (1991) att en dynamisk prissäkring, dvs. där den hedgade kvantiteten kontinuerligt förändras när spot-priset ändras, endast ger en något större fördel jämfört med en statisk prissäkring.
Myers (1991) menar att kostnaderna i bl.a. tid för att kontinuerligt ändra hedgen kan vara så stora att en statisk prissäkring kan anses som en tillräckligt bra approximation. Liknande test utförs även på bl.a. guldfutures av Baillie & Myers (1991) där de använder GARCH för estimering av volatiliteten. I deras artikel menar Baillie & Myers att GARCH ger en bra beskrivning av förändringen i priset på guld samt att en dynamisk hedgingstrategi av futures ger ett bättre resultat en den statiska prissäkringen.
Även om GARCH-modeller blivit frekvent testade på finansiella tidsserier och kopparfutures har vi inte lyckats finna litteratur som testar om prognostisering med GARCH på spotprisets volatilitet är fördelaktigare än att alltid prissäkra en fastställd procentuell del av
inköpsvolymerna. Som beskrivits ovan undersöker den huvudsakliga litteraturen
hedgeförhållanden, dvs. hur många futures kontrakt som ska användas för att optimera den
förhållanden ändras kontinuerligt, kan förbättra prissäkringsresultatet jämfört med ett statiskt hedgeförhållande. Med andra ord behandlar litteraturen hur priset på kopparfutures korrelerar med spotpriset på koppar och hur investerare utifrån dessa data bör bestämma sin kvantitet av futures för att prissäkra hela sin exponering mot prisändringar. Då företaget i vår
undersökning använder sig av swaps vid prissäkring av koppar elimineras problemen med bestämning av hedgeförhållanden. Detta eftersom swaps är skräddarsydda kontrakt vilket medför att företagets önskade kvantitet alltid blir fullt prissäkrat. På grund av detta kommer denna undersökning endast fokusera på spotprisets volatilitet. Eftersom tidigare studier inte haft denna fokus fann vi det motiverat att fortsätta undersökningen.
3.2 Insamling av primärdata
Syftet med att genomföra samtal med anställda vid industriföretaget har varit att få en förståelse för företagets prissäkringsstrategi samt att erhålla en bild av nuvarande
tillvägagångssätt. Informationen som erhållits vid dessa samtal har bidragit till att vi kan uppfylla vårt syfte att utvärdera och jämföra om en dynamisk prissäkringsnivå ger en mer stabil variation i inköpskostnader än en statisk prissäkringsnivå. Detta då vi fått en
uppfattning om hur strategin ser ut idag samt idéer hur en alternativ strategi skulle kunna utformas. Då innehållet i dessa samtal är av känslig karaktär och därmed sekretessbelagd redovisas inte samtalens innehåll.
För att få en övergripande förståelse för hur företaget prissäkrar sina inköp har samtalen haft en semistrukturerad utgångspunkt. Med det menas att inledningen av samtalen har bestått av generella frågor angående tillvägagångssätt vid prissäkring. I de fall respondenten givit en bristfällig förklaring av specifika delar av tillvägagångssättet vid prissäkringen, har spontana och mer specifika frågor ställts för att kunna erhålla en god förståelse. Genom detta utförande har vi lyckats ställa övergripande frågor om delar av företagets tillvägagångssätt samtidigt som respondenten styrts in på mer detaljerade frågor. Detta förfarande har medfört en god struktur av samtalen vilket givit oss en god förståelse för företagets tillvägagångssätt vid prissäkring av råvaror.
Två av samtalen har utförts genom personligt möte medan ett skett över telefon. Personliga möten har utförts då vi funnit det fördelaktigare eftersom respondenten avsatt tid för mötet och därmed varit fokuserad på våra frågor. Då en av respondenterna är placerad utomlands har mötet av förklarliga skäl genomförts över telefon.
3.2.1 Motivering till val av intervjupersoner
För att få en förståelse för strategin vid prissäkring har samtal genomförts med involverade personer vid företaget. Personer som utfrågats är en inköpschef, en treasuryanalytiker samt en administratör av företagets prissäkringsprogram. Dessa personer har valts utifrån
rekommendationer av vår kontaktperson på företaget. Valet grundar sig i att de dagligen är involverade vid inköp samt uppföljning av företagets prissäkringsprogram.
Då denna utredning oundvikligen har innefattats av statistiska modeller och beräkningar på en icketrivial nivå har vi funnit det lämpligt att stämma av våra tankar och resultat med forskare inom ämnet. Det har genomförts med professor Anders Ågren och doktor Anders Eriksson vid institutionen för informationsvetenskap vid Uppsala Universitet.
3.3 Insamling av finansiell data
Vid insamling av historiska data över kopparpriser finns ett flertal källor till förfogande. Data kan till exempel hämtas från London Metal Exchange (LME) eller företaget Bloomberg. Då dessa två databaser kräver betallicens för tidsperioder utöver år 2006 har vi hämtat data från programmet DataStream i Ekonomikums bibliotek vid Uppsala Universitet. Med hjälp av DataStream fås kopparpriserna listade på ett enkelt sätt i Microsoft Excel, vilket underlättar analysarbetet av dessa. För att validera de hämtade priserna har slumpmässiga dagar valts ut under 2006 och jämförts med tillgängliga data från LME. Dessa jämförelser har visat på god överensstämmelse vilket har medfört att vi bedömt priserna från DataStream vara korrekta.
De koppardata som hämtats från DataStream har varit på månadsbasis samt dagsbasis vilka är kvoterade i amerikanska dollar per ton. Tidsperioden som legat till grund för estimeringen av ARCH/GARCH är juli 1993 till november 2006. Denna tidsperiod sträcker sig över flera konjunkturcykler vilket innebär att den bör vara representativ oavsett vilket läge
världsekonomin befinner sig i.
3.4 Källkritik
Litteraturkällorna är av hög vetenskaplig karaktär vilket gör att de anses vara tillförlitliga.
Vad gäller insamlingen av finansiella data har dessa jämförts med tillgängliga data från LME, där majoriteten av världens kopparhandel sker. Data över kopparpriser från LME har endast varit tillgängliga för år 2006. Då vi på grund av detta endast kunnat validera data från
korrekta. Dock finner vi sannolikheten att de inte skulle stämma för tidigare tidsperioder som liten, varför vi anser att våra finansiella data bör vara tillförlitliga.
Insamlingen av primärdata har skett genom samtal med anställda vid företaget. Då prissäkringsstrategin kan vara en känslig process finns en risk att vi ej fått ta del av all
information. Detta har troligen undvikits då vi skrivit under en tystnadspliktsförbindelse. Om informationen är aktuell och sann kan dock alltid diskuteras. Eftersom vi även haft tillgång till finansiella data har informationen som personerna lämnat kunnat kontrolleras mot de data som redovisats i företaget. I samtalen finns det en risk att vi missuppfattat respondenten och att vi därför utfört något moment fel. Denna risk har eliminerats genom att kompletterande frågor ställts till respondenten då oklarheter kring förklaringar funnits.
3.5 Motivering till val av ARCH/GARCH-modell för estimering av volatilitet
Sedan Engle (1982) presenterade ARCH och hans efterföljare Bollerslev (1986) introducerade GARCH har andra akademiker presenterat en rad varianter av GARCH. Exempelvis
introducerade Nelson (1991) EGARCH, där E står för exponentiell, varpå Koutmos & Booth (1995) i sin tur utvecklade Nelsons modell till en bivariat EGARCH modell. Andra varianter av GARCH är GJR-GARCH presenterad av Glosten et al (1993) och AGARCH presenterad av Barone-Adesi et al (2004). Förenklat kan sägas att fördelen med dessa varianter är att de kan hantera asymmetriska effekter på variansen från positiva och negativa avkastningar, av exempelvis aktiepriser (Beelders & Massey 2002). Även om ett flertal varianter av GARCH presenterats behöver det inte betyda att de är nämnvärt bättre än den ursprungliga modellen.
Smith & Bracker (2003) utvärderar de ovan presenterade modellerna på kopparfutures, med asymmetrisk avkastning, vilket innebär att de modifierade GARCH modellerna bör vara att föredra. Dock visar resultaten på studien att den ursprungliga GARCH modellen står sig bra i jämförelsen. Studien kan inte dra den generella slutsatsen att någon av de modifierade
modellerna överlag är bättre än ursprungliga GARCH, vad gäller estimeringen av volatiliteten på koppar futures. Då vår undersökning utförs på spotpriserna på koppar finns risken att denna slutsats inte överrensstämmer med vår studie. Bowman & Husain (2004) visar dock att spot- och 3-månaders futurespriset för koppar mellan 1991 och 2003 har en korrelation på 93,15 procent. Detta innebär att dessa två priser rör sig i stort sett likadant. Med detta som
bakgrund, och då vi inte har möjlighet att utföra samma test på spotpriset, antar vi därför att den ursprungliga GARCH-modellen även bör vara motiverad att använda i vår undersökning.
Ovanstående resonemang, att den ursprungliga GARCH-modellen ska användas i denna undersökning leder snabbt fram till nästa fråga, att fastställa hur många eftersläpande perioder p och q (GARCH(p,q)) som skall användas i modellen. Smith & Brackers (2003) utvärdering på kopparfutures visade att en GARCH(1,1) mycket väl representerade underliggande
dataserie. Även Bowman & Husain (2004) förespråkade modellen i sin studie av spot- och 3- månaders futurespriset för koppar. Efter diskussioner med Anders Eriksson vid Uppsala Universitet fann vi GARCH(1,1) vara en lämplig kandidat för vår fortsatta utredning.
3.6 Tillvägagångssätt vid empirisk undersökning
Även om GARCH(1,1)-modellen använts tidigare måste den kontrolleras mot underliggande data. Innan detta kan utföras måste karakteristika i kopparprisets tidsserie (underliggande data) bestämmas. Test som då utförs är bl.a. om enhetsrot, ickestationäritet och
heteroskedasticitet förekommer. Efter dessa genomförda test kan GARCH-modellen estimeras enligt kapitel 2.6. När modellen är utvunnen är nästa steg att undersöka dess exakthet med hjälp av en ex post prognostisering. Detta genomförs genom att jämföra modellens skattade varians med den verkliga variansen. För att kunna beräkna hur väl GARCH-modellens dynamiska prissäkringsstrategi står sig mot företagets statiska strategi måste företagets mål för variansen i kopparpriset fastställas. När målet är bestämt kan strategiernas resultat presenteras vilka ligger till grund för analysens utvärdering.
3.6.1 Användning av statistiskt datorprogram
Vid estimering samt utvecklande av GARCH-modell har statistikprogrammet Eviews använts.
Vidare beräkningar av koppardata utförts i Microsoft Excel. Samtliga beräkningar och grafer har realiserats i dessa program. Anledningen till att vi använt Eviews är att det möjliggör användandet av komplicerade statistiska test på ett enkelt sätt samtidigt som det enkelt utför beräkningar av exempelvis maximum likelihoodmetoden.
3.7 Reflektion över tillvägagångssätt
Det finns en uppsjö av olika GARCH-modeller att välja bland vid estimering av volatiliteten på tidsserier. Som nämnts ovan finns exempelvis GARCH, AGARCH, EGARCH och GJR- GARCH. Dessa varianter kan i sin tur vara exempelvis AGARCH(1,1) eller AGARCH(2,2)
och så vidare. För att utröna vilken av dessa modeller som bäst beskriver variansen på kopparserien skulle samtliga modeller estimeras för att sedan prognostiseras och testas. Då detta av förklarliga skäl inte funnits möjlighet att utföra inom ramen för denna undersökning antar vi att eftersom GARCH(1,1) är en frekvent använd modell bör den vara godtagbar för estimering av volatiliteten i kopparserien. Dock kvarstår risken att en annan GARCH-modell skulle ge ett bättre resultat av de testade hedgestrategier än den modell som ligger till grund för denna undersökning.
Som visats i inledningen i Graf 1 har kopparpriset exploderat under en kort period, vilket kan anses vara en ickenormal utveckling. När parametrarna i GARCH-modellen ska estimeras finns en risk att ickenormala marknadsförhållanden kan ge en negativ inverkan på erhållna resultat. Detta problem diskuteras vidare i analysavsnitt 5.2.2.
4 Empiri
I följande kapitel presenteras resultaten utifrån teorikapitlet och tillvägagångssätt enligt metodkapitlet ovan. Teorikapitlets upplägg har följts för att underlätta för läsaren att följa undersökningens delmoment. Då undersökningen består av omfattande data visas delresultat i detta kapitel medan resterande data samt uträkningar återfås i Appendix 2 samt 3.
4.1 Karakteristika i kopparprisets tidsserie
Ett ofta förekommande problem vid arbete med finansiella tidsserier är som tidigare nämnts existens av ickestationäritet, enhetsrot och heteroskedasticitet.
4.1.1 Test om ickestationaritet och enhetsrot
För att undersöka förekomsten av ickestationäritet illustreras kopparprisets utveckling nedan.
Utvecklingen av spot-priset på koppar
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000
1993 1995
1997 1999
2001 2003
2005
Tid
$/ton
Graf 1 Illustrering av prisutvecklingen på koppar, plottad med hjälp av data från DataStream
Som kan ses i Graf 1 har priset på koppar ändrats kraftigt under den studerade tidsperioden.
Från perioden i mitten av 1990-talet till år 2003 hade kopparpriset en negativ trend med fallande priser, medan trenden från år 2003 och framåt varit kraftigt positiv. Att kopparpriset innehåller trender och därmed är ickestationär är därför tämligen uppenbart.
Vad gäller förekomsten av enhetsrot har detta undersökts genom ett utökat Dickey-Fuller test.
Resultatet från detta test, där nollhypotesen är att ingen enhetsrot föreligger, presenteras nedan.
Dickey-Fuller test för enhetsrot
Kritiska värden p-värde
Teststatistika 0.679579 0.9914
Signifikansnivå 1% -3.471454
5% -2.879494
10% -2.576422
Tabell 1 Resultat av test om enhetsrot existerar i kopparprisserien
Tabell 1 visar de kritiska värdena då nollhypotesen förkastas för olika signifikansnivåer.
Teststatistikan som i detta fall blev ca 0,679 är större än de kritiska värdena för
signifikansnivåerna samtidigt som p-värdet är större än förkastelsegränsen 0,05 på fem procents signifikansnivå. Detta innebär att nollhypotesen inte kan förkastas, vilket medför att problemet med enhetsrot föreligger. För att undgå detta problem differentieras serien på det sätt som beskrivits i teorikapitel 2.5.2. Resultatet av den differentierade serien illustreras i Graf 3 nedan.
Avkastningen på kopparpriset
-0,15 -0,1 -0,05 0 0,05 0,1
Tid
Avkastning
Graf 3 Illustrering av avkastningen på kopparpriset mellan 1993 och 2006
Efter differentiering av kopparpriset erhålls avkastningen, dvs. förändringen i priset mellan två tidpunkter, på tidsserien. Som kan ses i Graf 3 fluktuerar tidsserien kring medelvärdet noll vilket innebär att trenden i den tidigare serien är eliminerad och serien är stationär. För att undersöka om enhetsrot existerar efter differentieringen utförs ännu ett Dickey-Fuller test.
Resultatet av detta presenteras nedan.
Dickey-Fuller test för enhetsrot
Kritiska värden p-värde
Teststatistika -12.41238 0.0000
Signifikansnivå 1% -3.471454
5% -2.879494
10% -2.576422
Tabell 2 Test om enhetsrot för differentierad serie
Resultatet av testet visar ett p-värde på 0,0000 vilket är mindre än förkastelsegränsen 0,05 vid fem procents signifikansnivå och ett signifikant resultat erhålls därmed. Hypotesen att
enhetsrot förekommer kan därför förkastas. Problemen med ickestationäritet och enhetsrot är därmed eliminerade vilket innebär att proceduren för estimering av GARCH kan fortsätta.
4.1.2 Förekomst av heteroskedasticitet
Som tidigare beskrivits i teoriavsnittet skapar heteroskedasticitet (oregelbunden varians i residualerna/avkastningen) problem vid estimering av grundläggande statistiska modeller. Vid val av statistisk modell är det därför viktigt att undersöka huruvida heteroskedasticitet i den studerade tidsserien förekommer eller ej. Graf 3 ovan visar avkastningen på kopparpriset för den studerade perioden. För att undersöka om heteroskedasticitet föreligger kan antingen statistiska test, såsom Whites eller Breusch-Pagan test, utföras eller genom studie av
residualerna, dvs. avkastningen, på tidsserien utföras (Pindyck & Rubinfeld 1998:153). Som kan ses i Graf 3 skiljer sig storleken på avkastningen markant mellan olika tidsperioder.
Förekomsten av så kallade volatilitetskluster, där variansen är stor vissa perioder är tydlig, vilket visar att heteroskedasticitet existerar. Att testa detta statistiskt har därför inte utförts.
Förutsättningarna som krävs för GARCH är därför uppfyllda vilket innebär att estimering av GARCH-modellen kan utföras.
4.2 Estimering av GARCH-modeller
Estimering av GARCH-modellerna utförs med hjälp av statistikprogrammet Eviews. De data som ligger till grund för estimeringen är de logaritmerade och differentierade dagspriserna på koppar för perioden 1993 till och med 2005. Två GARCH-modeller har estimerats, detta på grund av att expostprognoser för 2005 och 2006 utförs. För att utföra prognoser för 2005 har estimeringen av GARCH utförts på data till och med år 2004. Estimering av GARCH- modellen som ligger till grund för prognoser utförda för år 2006 har utförts på dagsdata till och med 2005. Genom detta förfarande förbättras prognosmodellerna eftersom en större informationsmängd om avkastningen tas med i modellen. Följande resultat av GARCH- modellen vilken ligger till grund för 2005 års expostprognoser erhölls.
Estimering av GARCH(1,1)
Koefficient Värde Std. Avv. z-statistika p-värde
ω 7,79*10-6 2,10∗10-6 3.708981 0.0002
α 0.068547 0.011623 5.897609 0.0000
β 0.893609 0.018282 48.88027 0.0000
κξ (kurtosis) 7.149824
Akaike kriterium -5.781938 Schwarz kriterium -5.773635
Tabell 3 Resultat av GARCH-estimering för tidsperiod 1993-2004
Estimeringen av GARCH som ligger till grund för 2006 års prognoser av volatiliteten gav följande resultat.
Estimering av GARCH(1,1)
Koefficient Värde Std. Avv z-statistika p-värde
ω 8,01*10-6 2,11*10-6 3.796095 0.0001
α 0.067005 0.011175 5.996183 0.0000
β 0.893873 0.018054 49.51212 0.0000
κξ (kurtosis) 6.954170
Akaike kriterium -5.777777 Schwarz kriterium -5.770037
Tabell 4 Resultat av GARCH-estimering för tidsperiod 1993-2005
I Tabell 3 och 4 ovan visas skattningarna för konstanterna ω, α och β i GARCH-modellerna.
Samtliga p-värden i tabellerna är mindre än 0,05 vilket innebär att skattningarna för parametrarna är signifikanta, dvs. att de är statistiskt säkerställda. Akaike och Schwarz utvärderingskriterium är i båda fallen cirka -5,77. Som beskrivits tidigare i uppsatsen skattas GARCH-modellerna på dagsdata och transformeras sedan för att användas vid prognoser på månadsdata. Anledningen till att GARCH inte estimeras på månadsdata illustreras i Tabell 5 nedan.
Estimering av GARCH(1,1), månadsdata
Koefficient Värde Std. Avv z-statistika p-värde
ω 0.003111 0.001904 1.633948 0.1023
α 0.218586 0.188261 1.161079 0.2456
β 0.131869 0.461171 0.285943 0.7749
Akaike kriterium -2.570022 Schwarz kriterium -2.493143
Tabell 5 Resultat av GARCH-estimering för tidsperiod 1993-2005, månadsdata
Skattningen av GARCH på månadsdata visar på en försämring av modellen. Samtliga p-värden för modellens parametrar är större än 0,05 vilket innebär att de är ickesignifikanta.
Samtidigt är Akaike- samt Schwarzkriterierna större än för modellerna estimerade på
dagsdata, vilket även det visar på en försämring av modellen. Att modellen är sämre kan även ses på standardavvikelserna för parametrarna. Vid månadsdataestimeringen är dessa kraftigt större jämfört med dagsdata. Anledningen till detta är att månadsdata bygger på medelvärden av dagspriserna under respektive månad. På så sätt förloras viktig information om
kopparprisets utveckling och därmed avkastningens förändring vilket leder till en försämring av modellen.
4.2.1 Aggregering
Som beskrivits tidigare ger GARCH-modeller inte möjligheten att utföra precisa prognoser mer en ett fåtal perioder framåt i tiden. Då uppgiften i denna undersökning kräver prognoser för tre månader framåt i tiden, samtidigt som GARCH-estimeringen på månadsdata ger ett dåligt resultat, utförs en aggregering av GARCH-modellen. På så sätt kan fördelarna från estimering på dagsdata tas tillvara medan nackdelarna med prognos på prognos
prognostisering undvikas. Resultaten av aggregeringen visas i Tabell 6 nedan medan uträkningarna i beräkningsprogrammet Matlab illustreras i Appendix 2.
Aggregering av GARCH-modeller
Tidsperiod Parametrar
1993- 2004 ω α β
h(20) (1 månad) 1,1069∗10-4 0,1154 0,3469 h(40) (2 månader) 1,6185∗10-4 0,0740 0,1397 h(60) (3 månader) 1,8551∗10-4 0,0485 0,0503
1993-2005
h(20) (1 månad) 1,1258∗10-4 0,1074 0,3427 h(40) (2 månader) 1,6325∗10-4 0,0672 0,1354 h(60) (3 månader) 1,8607∗10-4 0,0433 0,0479
Tabell 6 Resultat av aggregering från dagsdata till månadsdata
Tabellen ovan visar resultaten för respektive parameter för respektive tidsperiod. Den övre delen i tabellen visar GARCH-modellen som används för prognoser under 2005 medan den undre delen visar parametrarna som används för 2006 års prognoser. Eftersom prissäkringen och därmed prognostiseringen sker kvartalsvis, tre månader fram i tiden, används tre olika
aggregeringar för respektive GARCH-modell. h(20) visar därför parametrarnas värde för prognoser en månad fram i tiden medan h(40) och h(60) visar värden för två respektive tre månaders prognoser. Vid jämförelse med de ickeaggregerade GARCH-modellerna ses att ω ökar medan α och β minskar, vilket är i enlighet med Drost & Nijmans (1993) resultat.
4.3 Prognostisering av varians med GARCH
När aggregeringen av GARCH-modellerna är utförda kan prognostiseringen av volatiliteten utföras. Prognostiseringen sker kvartalsvis, en, två och tre månader framåt. För att jämföra om en månadsvis estimering ger ett förbättrat resultat för prissäkringsstrategin utförs även detta.
Prognoserna utförs ex-post vilket innebär att de kan utvärderas med hjälp av befintlig data. Ett utdrag av prognosernas resultat samt beräkning av den verkliga variansen presenteras nedan.
Samtliga data återges i Appendix 3.
Avkastningens volatilitet
Period Månadsvisa prognoser Verklig volatilitet
h(20) h(40) h(60)
q1 2005
feb 0,000203664 0,000203664 0,000119671
mars 0,000272364 0,000316408 0,000100510
april 0,000250436 0,000140428 0,000133659
q3 2006
aug 0,000312366 0,000312366 0,000189821
sep 0,000243482 0,000223005 0,000294481
okt 0,000276691 0,000225621 0,000257204
Kvartalsvisa prognoser
Utdrag ur Tabell 7 Resultat av beräknad och prognostiserad volatilitet
h(x) kolumnerna i Tabell 7 visar prognoserna en, två och tre månader fram i tiden. Den månadsvisa kolumnen visar prognoserna en månad framåt medan kolumnen längst till höger visar i sin tur de verkliga värdena för variansen under samma tidsperioder. Prognosernas träffsäkerhet illustreras i Graf 4 nedan.
Prognos kontra utfall av varians
0,00000000 0,00100000 0,00200000 0,00300000 0,00400000 0,00500000 0,00600000
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 Månad
Varians
Verklig varians
GARCH-prognos kvartalsvis GARCH-prognos månadsvis
Graf 4 Illustration av prognosernas avvikelse mot verkligt värde på volatiliteten
Som illustreras i Graf 4 är ingen av prognoserna 100 procent korrekt jämfört med den verkliga volatiliteten. I början av tidsperioden följer prognoserna det verkliga värdet relativt väl medan skillnad ökar markant för månad 14 till och med månad 16. Hur dessa prognoser påverkar utfallet av prissäkringsresultaten visas i kommande avsnitt.
4.4 Bestämmande av mål för varians av kopparpriser
Den statiska prissäkringsstrategin som utvärderas i denna undersökning innebär att 80 procent av kopparinköpen prissäkras. Enligt den moderna finansiella portföljteorin beräknas den totala variansen på en portfölj innehållande två aktier enligt formeln.
σp2 = vA σA2
+ vB σB2
+ 2 vA vB σAB (10)
där σp2 är portföljens totala varians, σA2 är aktie As varians,v är vikten för respektive aktie och σAB är kovariansen mellan aktiepriset på aktie A och aktie B. (Markowitz 1952) På samma sätt kan denna formel användas för att beräkna volatiliteten för den prissäkrade ”portföljen”. I detta fall är A den del av kopparinköpen som ej är prissäkrad medan B är den del som är prissäkrad. Eftersom variansen i den del som är prissäkrad är lika med noll kommer uttrycket vBσB2 vara noll. Då denna del av portföljen inte varierar kommer även kovariansen med den ickeprissäkrade delen också vara noll. Variansen på portföljen kommer då endast bestämmas av vAσA2, dvs. delen ickeprissäkrade inköp samt volatiliteten i avkastningen på koppar.
