Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokes sats
1 av 3 STOKES’ SATS
Y N
Låt , , vara ett vektorfält definierad i ett öppet område Ω. Låt Y vara ett orienterad ytstycke i Ω med randen ∂Y som består av en eller flera kurvor .
Då gäller
(*) ) ˆ
∫∫ (
∫ = ⋅
∂Y Y
dS n F rot r
d
F r r r
där
|
| ˆ
N n Nr r
= är ytans enhetsnormalvektor orienterad i enlighet med randkurvans orientation
och ( ) ( , , )
y P x Q x R z P z Q y R R
Q P
z y x
k j i F F
rot ∂
−∂
∂
∂
∂
−∂
∂
∂
∂
−∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
×
∇
=
r r r r r
Alternativ beteckning för Stokes formel (*) : I några böcker betecknas nˆdS som dSr och därmed
(**) )
∫∫ (
∫ = ⋅
∂Y Y
S d F rot r
d
F r r r r
Anmärkning: Med hjälp av Stokes formel ka vi beräkna en kurvintegral med hjälp av en flödesintegral. I de flesta fall är det enklastatt beräkna kurvintegralen
∫
C
r d Fr r
direkt genom att parametrisera kurvan C. Stokes formel kan vara användbar om kurvan definieras som skärningskurvan mellan två ytor och dessutom rot(Fr)⋅nˆdS
ger ett enkelt uttryck, som i nedanstående exempel.
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokes sats
2 av 3
Uppgift 1. Låt C vara skärningskurvan mellan planet z = 10−x−yoch cylindern x2 + y2 =1 orienterad så att kurvans projektion i xy-planet är positivt orienterade. Bestäm det arbete som kraftfältet )Fr =(x,x3,z3
uträttar vid cirkulation runt kurvan C.
Lösning: Vi ska använda Stokes formel
∫
=∫∫
⋅∂Y Y
dS n F rot r
d
Fr r (r) ˆ .
Först beräknar vi rotationen av fältet Fr .
k x x
k j
i z x x
z y x
k j i
R Q P
z y x
k j i F F
rot r r r r
r r r r
r r r
r 2 2
3 3
3 ) 0 3 ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( )
( = − − − + − =
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
×
∇
=
Alltså rot(Fr)=(0,0,3x2) .
Eftersom kurvan ligger på ytan z= 10−x− y som är given på explicit form beräknar vi
) 1 , 1 , 1 ( ) 1 , ,
(− ′ − ′ =
= zx zy
Nr
. (Vi riktar Nr
uppåt som enhetsvektorn kr
för att få samma orientation för slutna kurvor på ytan Y och kurvor i xy planet)
Eftersom, för ytor på explicit form gäller
N dxdy Ndxdy
N dS N
n r r
r r
=
= | |
|
|
ˆ , har vi att
dxdy N F rot dS n F
rot r r r
⋅
=
⋅ˆ ( )
)
( .
Vi beräknar rot(Fr)⋅Nr =3x2
och därefter
∫∫
∫
= ⋅Y C
dS n F rot r
d
Fr r (r) ˆ
( flödesintegral)
∫∫
⋅ ==
D
dxdy N F rot r r
)
( ( vanlig dubbelintegral, där domän D är cirkeln x2 + y2 ≤1)
π π
θ θ θ
θ π
π
4 3 4 3 3
2 2 cos cos 1
3 3
1
0 3 2
0 2
1
0 2 2
0
2 =
∫
⋅ =∫
+∫
= =∫∫
x dxdy∫
d r rdr d r drD
Svar: π 4
3 joule (joule = newtonmeter = wattsekund om kraftfält är given i N och längden i m) k
Y N
D
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Stokes sats
3 av 3
Uppgift 2. Låt C vara skärningskurvan mellan planet z =5och cylindern x2 + y2 =4 orienterad så att kurvans projektion i xy-planet är positivt orienterade. Bestäm det arbete som kraftfältet
) ,
3 ,
(x4 x y2 z3 x2 y5
Fr = + + +
uträttar vid cirkulation runt kurvan C.
Lösning:
Först beräknar vi rotationen av fältet Fr .
k j x i y y x z y x x
z y
x
k j
i
R Q P
z y x
k j i F F
rot r r r
r r r r
r r r
r 5 2 3
3 )
( 4
5 2 3 2 4
+
−
= + +
+ ∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
×
∇
=
Alltså rot(Fr)=(5y4,−2x,3) .
Vi beräknar Nr =(−z′x,−z′y,1)=(0,0,1)
. (Vi riktar Nr
uppåt som enhetsvektorn kr
för att få samma orientation för slutna kurvor på ytan Y och kurvor i xy planet)
Eftersom, för ytor på explicit form gäller
N dxdy Ndxdy
N dS N
n r r
r r
=
= | |
|
|
ˆ , har vi att
dxdy N F rot dS n F
rot r r r
⋅
=
⋅ˆ ( )
)
( .
Vi beräknar skalärprodukten rot(Fr)⋅ Nr =3
och därefter
∫∫
∫
= ⋅Y C
dS n F rot r
d
Fr r (r) ˆ
( flödesintegral)
∫∫
⋅ ==
D
dxdy N F rot r r
)
( ( vanlig dubbelintegral, där domän D är cirkeln x2 + y2 ≤1) π
π 12 2
3 arean(D) 3
3 = = ⋅ 2 =
∫∫
D
dxdy
Svar: 12π joule (joule = newtonmeter = wattsekund om kraftfält är given i N och längden i m) Uppgift 3. Låt C vara skärningskurvan mellan planet z =5+x2 +2y2och cylindern x2 + y2 =4 orienterad så att kurvans projektion i xy-planet är positivt orienterade. Bestäm det arbete som kraftfältet )Fr =(x4,y2,z3
uträttar vid cirkulation runt kurvan C.
Svar 0 ( eftersom rot(Fr)=(0,0,0) )
