edi
i ede ik
ae
aik

Daie

Propedeutisk matematik II

Daniel Djupsjöba ka

Bearbetat av Malin Hägg

Matematiska institutionen

Åbo Akademi

1 Inledning 3

2 Integraler 4

2.1 Derivata o h primitivfunktion . . . 4

2.2 Primitiv funktion till intervallfunktioner . . . 5

2.3 Primitiv funktion till polynomfunktioner . . . 7

2.4 Primitiv funktion till trans endenta funktioner . . . 10

2.5 Primitiv funktion till sammansattafunktioner . . . 13

2.6 Sammanfattningöver regler . . . 20

2.7 Denition påintegral . . . 21

2.8 Geometrisktolkning av integralen . . . 25

2.9 Integralens egenskaper . . . 32

2.10 Integralfunktionen . . . 35

2.11 Integralräkningmed hjälp av primitiv funktion . . . 37

2.12 Areaberäkning,en funktion . . . 41

2.13 Areaberäkning,två funktioner . . . 45

2.14 Volymberäkning . . . 49

2.15 Generaliserade integraler . . . 57

2.16 Variabelbyte . . . 61

2.17 Partialbråksuppdelning . . . 65

2.18 Partiell integration . . . 70

3 Komplexa tal 73 3.1 Denition påkomplexa tal . . . 73

3.2 Komplexa talpå formen

a + ib

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . 76}

3.3 Konjugatet, division med komplexa tal . . . 80

3.4 Det komplexatalplanet . . . 83

3.5 Komplexa talo hreella tal . . . 87

3.6 Andragradsekvationer. . . 88

4 Sannolikhetslära 91

4.1 Kombinatorik . . . 91

4.2 Empirisk sannolikhet . . . 97

4.3 Det klassiskasannolikhetsbegreppet . . . 98

4.4 Räkneregler . . . 102

4.5 Oberoende händelser . . . 105

4.6 Oberoende försök . . . 106

4.7 Additiono hmultiplikationav sannolikheter . . . 108

4.8 Binomialsannolikhet . . . 111

4.9 Stokastiskvariabel . . . 114

4.10 Diskreta sannolikhetsfördelningar . . . 117

4.11 En fördelningskarakteristikor . . . 118

4.12 Kontinuerliga fördelningar . . . 122

4.13 Normalfördelningen . . . 125

5 Summor o h talföljder 129 5.1 Talföljder . . . 129

5.2 Monotonao h begränsade talföljder . . . 132

5.3 Gränsvärde av en talföljd . . . 133

5.4 Serier. . . 135

5.5 Konvergenta serier . . . 136

Inledning

Detta kompendium är i huvudsak skrivet av Daniel Djupsjöba ka. Jag har

gjorten del korrigeringar,satt till någraexempel samtritat gurer.

Det som tas upp är integraler (kapitel 2), komplexa tal (kapitel 3), sanno-

likhetslära (kapitel 4) samt summor o h talföljder (kapitel 5). Kompendiet

baserarsigpåbö kernaGymnasiematematikFIIo hFIII,skrivnaavOinas-

Kukkonen m..

Sådant som tagits upp i kompendiet för Propedeutisk matematik I (skrivet

av DanielDjupsjöba ka, bearbetat av MikaelKurula)antas vara bekant.

Åbo29.9.2007, MalinHägg

Integraler

2.1 Derivata o h primitiv funktion

IkursenPropedeutiskmatematikI bestämdeviderivatantillenvissfunktion.

Exempel 2.1

Dlnx = 1 x

D 1

4 x ⁴ = 1

4 · 4x ³ = x ³ .

Vi skall nu gå baklänges. Vi skall bestämma en funktion vars derivata är

given.

Exempel 2.2

Om det ärgivetatt

f ^′ (x) = 3x ²

^{, hur ser då}

f (x)

^ut?

Denition 2.1 Funktionen

f

^{är denierad i} intervallet

I

^{. Då är}

F

^{en pri-}

mitiv funktion till

f

^om

F ^′ (x) = f (x),

^{för alla}

x ∈ I.

Exempel 2.3

F (x) = ^x ₃ ³ + ^x ₂ ²

^{o h}

G(x) = ^x ₃ ³ + ^x ₂ ² + 1

^{är primitiva funktioner}

till

f (x) = x ² + x

^{, ty:}

F ^′ (x) = G ^′ (x) = x ² + x = f (x).

Tillen funktion nns det alltsåmånga primitivafunktioner.

Exempel 2.4

Visa att

F (x) = √

x ² + 1

^{är en primitiv funktion till}

f (x) =

√ x x ² +1

^.

Från PropedeutiskmatematikIvetvi att

Df ⁿ = nf ⁿ⁻¹ · f ^′

^{. Med}

hjälp av detta fås att derivatan av

F (x)

^blir

D( √

x ² + 1) = D(x ² + 1) ^{1 2} = 1

2 (x ² + 1) ^{− 1 2} · 2x = x

√ x ² + 1 .

Sats 2.2 Om

F

^{är en primitiv funktion till}

f

^{, är alla funktioner av typen}

F + C

^(där

C

^{är en konstant) o h endast dessa,primitiva funktioner till}

f

ⁱ

det intervall där

f

^{är denierad.}

Dettabetyderalltsåattomviharhittatenprimitivfunktion,såharvihittat

alla!Dessa är av formen

F + C

^.

2.2 Primitiv funktion till intervallfunktioner

Vadkrävs av en primitivfunktion?

•

^Enligt denitionenbörden vara deriverbar påhela sinde- nitionsmängd,o hdärför kontinuerlig.

•

^Förpolynomfunktionerärdettaingetproblem,menmedin- tervallfunktionermåstevivaraförsiktiga,spe ielltidepunk-

ter där funktionen kan vara diskontinuerlig.

Exempel 2.5

Bestäm alla primitivafunktioner till

f (x) =

 x + 1, x ≤ 1 2, x > 1.

Hurser

F (x)

^{ut?(Vigår närmareinpåhurmanräknarutdenna}

i nästa avsnitt.)

F (x) =

 ₁

2 x ² + x + C 1 , x ≤ 1

2x + C 2 , x > 1.

1. Är

F (x)

kontinuerlig?

Krav:

x→1 lim ⁺ F (x) = lim

x→1 ⁻ F (x) = F (1).

Härgäller:

lim

x→1 ⁺ F (x) = lim

x→1 ⁺ (2x + C ₂ ) = 2 + C ₂

x→1 lim ⁻ F (x) = lim

x→1 ⁻

 1

2 x ² + x + C 1



= 3 2 + C 1

Nu måste det gälla att

2 + C 2 = ³ ₂ + C 1

^{. Detta ger att}

C ₁ = C ₂ + ¹ ₂ .

∴ F (x) =

 ₁

2 x ² + x + ¹ ₂ + C 2 , x ≤ 1 2x + C ₂ , x > 1.

2. Är

F (x)

deriverbar?

Krav:

x→1 lim ⁺ F ^′ (x) = lim

x→1 ⁻ F ^′ (x).

Härfås:

x→1 lim ⁺ F ^′ (x) = lim

x→1 ⁺ 2 = 2

x→1 lim ⁻ F ^′ (x) = lim

x→1 ⁻ (x + 1) = 2.

F (x)

^{är alltså deriverbaro h ges av}

F (x) =

 ₁

2 x ² + x + ¹ ₂ + C 2 , x ≤ 1 2x + C 2 , x > 1.

Exempel 2.6

Undersök om det nns primitivafunktioner till

f (x) =

 x, x ≤ 1 0, x > 1.

Här är

F (x) =

 ₁

2 x ² + C 1 , x ≤ 1

C 2 , x > 1.

Kontinuitetskravetger att

x→1 lim ⁺ F (x) = lim

x→1 ⁻ F (x) ⇔ C ² = 1 2 + C 1 .

∴ F (x) =

 ₁

2 x ² + C 1 , x ≤ 1

1

2 + C 1 , x > 1.

Är denna deriverbar?

Nej, ty

x→1 lim ⁺ F ^′ (x) = lim

x→1 ⁺ 0 = 0 6= lim

x→1 ⁻ F ^′ (x) = lim

x→1 ⁻ x = 1.

I detförstaexempletexisteradedet enprimitivfunktion, meninteidetand-

ra. I det förstaexemplet var funktionen kontinuerlig, men inte idet andra.

Följande sats gäller, men bevisas inte:

Sats 2.3 Om

f

^är kontinuerlig på intervallet

I

^{existerar primitiva funktio-}

ner.

Anmärkning 2.4 Detkan nnasprimitivafunktionerävenom

f

^ärdiskon-

tinuerlig.

2.3 Primitiv funktion till polynomfunktione r

Attderiveraäroftamekaniskt.Vihar klarareglersomdet ärlättattanvän-

da. Föratt hitta primitivafunktioner krävs oftauppnningsrikedom.

Vi har do k en hel del reglersom hjälpeross o hi nästanallade exempelvi

går igenompåkursen klararvi oss med dessa.

Mankanej uttry ka elementäraprimitivafunktionertillexempelvisföljande

funktioner:

√ x ³ + 1, sin x x .

Atthitta en primitiv funktion kallasatt integrera .I Propedeutiska matema-

Derivataoperatorn:

D

Nu använder vi:

Integrationsoperatorn:

D ⁻¹

Det gälleratt

Df (x) = f ^′ (x), D ⁻¹ f (x) = F (x) + C.

Integrationsoperatorn o h derivataoperatornär varandras inverser, ty

D(D ⁻¹ f (x)) = f (x), D ⁻¹ (Df (x)) = f (x) + C.

Vi presenterar nunågra regler som vi kananvända vidintegration:

1.

D ⁻¹ [cf (x)] = cD ⁻¹ f (x),

d.v.s. en konstant kan yttas utanför operatorn.

2.

D ⁻¹ [f (x) + g(x)] = D ⁻¹ f (x) + D ⁻¹ g(x).

3.

D ⁻¹ x ^a = ^x _a+1 ^a+1 + C, a 6= −1.

Jag presenterar ett bevisför påstående

3

^:

Bevis:

D ^x _a+1 ^a+1 = _a+1 ¹ Dx ^a+1 = _a+1 ¹ (a + 1)x ^a = x ^a .

^{Observera att detta gäller}

då

a 6= −1

^.

De regler vi har gör nu att vi kan bestämma primitiva funktioner till alla

polynomfunktioner.

Exempel 2.7

D ⁻¹ (3x ⁴ ) ⁽¹⁾ = 3D ⁻¹ x ^{4 (3)} = ³ ₅ x ⁵ + C.

Exempel 2.8

D ⁻¹ (x ² + 5x + 1) ⁽²⁾ = D ⁻¹ x ² + D ⁻¹ 5x + D ⁻¹ 1 = ¹ ₃ x ³ + ⁵ ₂ x ² + x + C.

Exempel 2.9

D ⁻¹ √

x = D ⁻¹ x

1 2 = ¹ 3

2

x

3

2 + C = ² ₃ x √ x + C.

Exempel 2.10

D ^{−1 1} _x 2 = D ⁻¹ x ⁻² = ₋₁ ¹ x ⁻¹ + C = − ¹ _x + C

Ovanstående resultat gäller om denitionsmängden är samman-

hängande. Om vi har

D f =

^R

\ {0}

^{så leder detta tillatt}

D ⁻¹ 1

x ² =  − ¹ _x + C 1 , x > 0

− ¹ _x + C 2 , x < 0.

Här är konstanterna

C 1

^,

C 2

^{oberoende av varandra, ty vi kan}

ändå inte göra funktionen kontinuerlig för

x = 0

^.

Exempel 2.11

Sök primitivafunktioner till

f (x) = 1 + x ²

x ⁵ , x > 0.

Vi skriverom

f (x)

^{o h får}

f (x) = 1 + x ²

x ⁵ = 1 x ⁵ + 1

x ³ = x ⁻⁵ + x ⁻³ .

Detta ger

F (x) = D ⁻¹ f (x) = D ⁻¹ (x ⁻⁵ + x ⁻³ ) =

− 1

4 x ⁻⁴ + 

− 1 2 x ⁻² 

+ C = − 1

4x ⁴ − 1 2x ² + C.

Om vi här antar att

D f =

^R

\ {0}

^{skullevi få följande primitiva}

funktion:

F (x) =

( − _4x ^{1 4} − _2x ^{1 2} + C ₁ , x > 0

− _4x ^{1 4} − _2x ^{1 2} + C 2 , x < 0.

2.4 Primitiv funktion till trans endenta funk-

tioner

Vadär trans endenta funktioner?

•

^{Detärfunktionersomejkandenierasmed}

+

^,

−

^,

∗

^,

/

^ellerrotdragning.

•

^{Exempel är}

log x

^,

e ^x

^,

sin x

^o.s.v.

Exempel 2.12

D ln x = 1

x , x > 0, D ln( −x) = 1

x , x < 0.

∴ D ⁻¹ 1

x = ln x + C, x > 0, D ⁻¹ 1

x = ln( −x) + C, x < 0.

Vi har följande regler för trans endenta funktioner:

1.

D ^{−1 1} _x = ln |x| + C

^{,i ett intervall som inte innehåller}

x = 0

^.

2.

D ⁻¹ e ^x = e ^x + C

^,

3.

D ⁻¹ a ^x = _{ln a} ^{a x} + C

^,

4.

D ⁻¹ sin x = − cos x + C

^,

5.

D ⁻¹ cos x = sin x + C

^,

6.

D ⁻¹ _cos ¹ 2 x = D ⁻¹ (1 + tan ² x) = tan x + C

^,

för alla intervall som inte innehåller

x = ^π ₂ + nπ

^,

n ∈

^{Z, d.v.s. där}

cos x = 0

^,

7.

D ⁻¹ _sin ¹ 2 x = D ⁻¹ (1 + cot ² x) = cot x + C

^,

förallaintervallsominte innehåller

x = nπ

^,

n ∈

^Z,d.v.s.där

sin x = 0

^.

Exempel 2.13

Bestäm de primitivafunktionerna

F (x)

^då

a)

f (x) = 3 x − 4 .

Vi skriver om

f (x)

^som

f (x) = 3 · _x−4 ¹

^{. Med hjälp av regel}

1

^fås

då att

F (x) = 3 ln |x − 4| + C.

b)

f (x) = 3 ^2x 3 ^x .

Här fås att

f (x) = ³ ₃ ^2x x = 3 ^x

^{o h dåfås med hjälpav regel}

3

^att

F (x) = 3 ^x

ln 3 + C.

)

f (x) = sin ² x + 1 sin ² x .

Nu gälleratt

f (x) = ^sin _sin ^{2 x+1} 2 x = 1 + _sin ¹ 2 x

^{. Då fås enligtregel}

7

^att

F (x) = x + cot x + C.

d)

f (x) = tan ² x.

Omskrivning ger

f (x) = tan ² x = (1 + tan ² ) − 1

^{. Enligt regel}

6

fås

F (x) = tan x − x + C.

Exempel 2.14

Bestäm primitivafunktioner till

f (x) = 1 − √ x + √

x ³

x .

Vi börjar med att dela upp

f (x)

^{o h får}

f (x) = 1 − √

x + √ x ³

x = 1

x − x ⁻

1 2 + x

1 2 .

Vi drar oss tillminnes att

D ⁻¹ x ^a = ^x _a+1 ^a+1 + C

^.

Då fås

F (x) = ln |x| − 2x

1 2 + 2

3 x

3 2 + C.

Det måste gällaatt

x > 0

^{för att uttry ket skallvara denierat.}

Detta ger att

F (x) = ln x − 2 √ x + 2

3 x √ x + C.

Exempel 2.15

Bestäm

f (x)

^då

f ^′′ (x) = − sin x

^.

Vi använder oss av reglerna

4

^{o h}

5

^{o h får}

f ^′′ (x) = − sin x,

f ^′ (x) = cos x + C,

f (x) = sin x + Cx + C 1 .

2.5 Primitiv funktion till sammansatta funk-

tioner

Dettaärett viktigto h my ketgrundläggandeavsnitt.I tidigareavsnitt har

vi sett på en del grundregler, men på enbart dessa klarar man sig inte. Vi

skall se påett exempelsom belyser detta:

Exempel 2.16

D ⁻¹ sin 2x 6= − cos 2x + C,

ty

D( − cos 2x) = 2 sin 2x

p.g.a. inre derivatan.

Vi drar oss tillminnes deriveringsregelnför sammansatta funktioner:

D(g(f (x)) = g ^′ (f (x))f ^′ (x),

där

f ^′ (x)

^{ärdet vi kallarinre derivata.}

Ovanstående regel ger oss integreringsregeln

D ⁻¹ (g ^′ (f (x))f ^′ (x)) = g(f (x)) + C.

Den inre derivatan äts alltsåupp vid integrering.

Exempel 2.17

D ⁻¹ sin 2x

För att kunna använda ovanstående regel bör

f ^′ (x)

^{nnas med i}

uttry ket. I detta fallär inre derivatan

2

⁽

D2x = 2

^{). Vi kaninte}

bara sätta till 2, ty då ändrar vi den ursprungliga funktionen.

Därför sätter vi in

1

2 · 2

^framför

sin 2x

^{.Då fås}

D ⁻¹ sin 2x = D ⁻¹  1

2 · 2 · sin 2x 

= 1

2 D ⁻¹ (2 sin 2x) = 1

2 · (− cos 2x) + C = − 1

2 cos 2x + C.

Spe iellt gällerföljanderegel:

D ⁻¹ (f ^′ (x)(f (x)) ^a ) = 1

a + 1 (f (x)) ^a+1 + C, a 6= −1.

Exempel 2.18

Bestäm primitivafunktioner till

a)

g(x) = (4x + 3) ³

Här ärinre derivatan

4

^,ty

D(4x + 3) = 4

^.

Detta ger:

G(x) = D ⁻¹ g(x) = D ⁻¹ (4x + 3) ³ = D ⁻¹ 1

4 · 4 · (4x + 3) ³ = 1

4 D ⁻¹ 4(4x + 3) ³ = 1 4 · 1

4 (4x + 3) ⁴ + C = 1

16 (4x + 3) ⁴ + C.

b)

g(x) = √ 1 − 4x

Vi skriverom

g(x)

^som

g(x) = √

1 − 4x = (1 − 4x)

1 2

.

Inre derivatan är

−4

^{, ty}

D(1 − 4x) = −4

^{o hvi får:}

G(x) = − 1 4 D ⁻¹ 

( −4)(1 − 4x)

1 2 

=

− 1 4 · 2

3 (1 − 4x)

3

2 + C = − 1

6 (1 − 4x)

3 2 + C.

)

g(x) = (3x + 3)(x ² + 2x − 1) ³

Inre derivatan fås som

D(x ² + 2x − 1) = 2x + 2

^{. Denna nns}

För att ändra om

3x + 3

^till

2x + 2

multipli erar vi med

2 3

^{. Kor-}

rigeringstermen bliralltså

3 2

^.

Då kan

g(x)

^skrivassom:

g(x) = (3x + 3)(x ² + 2x − 1) ³ = 3

2 · (2x + 2)(x ² + 2x − 1) ³ .

Nu kan regelnovananvändaso h vi får

G(x) = 3 2 · 1

4 (x ² + 2x − 1) ⁴ + C = 3

8 (x ² + 2x − 1) ⁴ + C.

d)

g(x) = 1 p _x

2 − 1

Vibörjarmedattskrivaom

g(x)

^{.Detgälleratt}

g(x) = ( ^x ₂ −1) ⁻

1 2

.

Inre derivatan är

1

2

^{.Detta ger}

G(x) = D ⁻¹  2 · 1

2

 x

2 − 1  ^{− 1 2} 

= 2 · 2  x

2 − 1  ^{1 2}

+ C = 4 r x

2 − 1 + C.

e)

g(x) = 2x − 1

√ x ² − x + 1

Skriverom

g(x)

^:

g(x) = √ 2x − 1

x ² − x + 1 = (2x − 1)(x ² − x + 1) ⁻

1 2 .

Deriverar

x ² −x+1

^{o hfårattinrederivatanär}

2x −1

^.Dennanns

redan i

g(x)

^{, vi behöveralltsåintesätta tillnågon inre derivata.}

∴ G(x) = 2(x ² − x + 1)

1

2 + C = 2 √

x ² − x + 1 + C.

f)

g(x) = x ² sin x ³

Inre derivatan är

3x ²

^{.Vi sätter till}

¹ ₃ · 3

^{. Dettager}

G(x) = 1

3 D ⁻¹ (3x ² )(sin x ³ ) = 1

3 · (− cos x ³ ) + C = − 1

3 cos x ³ + C.

g)

g(x) = cot x sin x

Vi börjar änen gångmed att skriva om

g(x)

^{.Vi vetatt}

cot x = 1

tan x = cos x sin x .

Detta ger

g(x) = cot x

sin x = cos x

sin ² x = cos x(sin x) ² .

Inre derivatan av

sin ² x

^är

cos x

^.

Då fås

G(x) = D ⁻¹ cos x(sin x) ² = (sin x) ⁻¹

−1 + C = − 1

sin x + C.

Vi sa att regeln för

D ⁻¹ (f ^′ (x)(f (x)) ^a )

^{inte gäller för}

a = −1

^{. Vad händer}

ifall

a = −1

^?

Vid derivering av

ln f (x)

^fås:

f (x) > 0 : D ln f (x) = f ^′ (x) f (x) f (x) < 0 : D ln( −f(x)) = f ^′ (x)

f (x)

Detta ger upphov till regeln

D ⁻¹ f ^′ (x)

f (x) = ln |f(x)| + C,

^{i allaintervalldär}

f (x) 6= 0.

Exempel 2.19

Bestäm alla primitivafunktioner till

a)

f (x) = x ²

1 − x ³ , x > 1.

Derivatan av

1 − x ³

^är

−3x ²

^{.Då fås}

f (x) = x ²

1 − x ³ = − 1

3 · −3x ² 1 − x ³ .

Detta ger

F (x) = − 1

3 ln |1 − x ³ | + C.

Det vargivetatt

x > 1

^{.Dettaleder tillatt}

1 − x ³ < 0

^{, vilketger}

att

F (x) = 1

3 ln(1 − x ³ ) + C.

b)

f (x) = tan x.

Vi vetatt

tan x = _{cos x} ^{sin x}

^samtatt

D cos x = − sin x

^{.Det enda som}

saknas äralltsåminuste knet. Vi får

F (x) = D ⁻¹ 

− − sin x cos x

 = − ln | cos x| + C.

Härvetviingetomvärdetpå

cos x

^{,därförmåste}absolutbeloppet vara kvar.

)

f (x) = sin 2x 1 + cos ² x .

Inre derivatan fås som

D(1 + cos ² x) = 2 cos ·(− sin x) = −2 sin x cos x.

Vi vetatt

sin 2x = 2 sin x cos x

^{så därför får vi}

f (x) = sin 2x

1 + cos ² x = − −2 sin x cos x 1 + cos ² x ,

vilketger

F (x) = − ln |1 + cos ² x | + C = − ln(1 + cos ² x) + C,

ty

1 + cos ² x > 0

^.

d)

f (x) = x ² + 2x x − 1 .

Härhartäljarenhögregradtalännämnaren.Dåkanmandividera

de rationella polynomen. (Detta görs t.ex med trappstegsmeto-

den.) När dettagjortserhåller vi att

f (x) = x ² + 2x

x − 1 = x + 3 + 3 x − 1 .

Nu använder vi kända metoder o hfår

F (x) = 1

2 x ² + 3x + 3 ln |x − 1| + C.

Om man deriverar funktionen

e ^f(x)

^{såfår man}

f ^′ (x)e ^{f (x)}

^{.Detta ger regeln}

D ⁻¹ e ^f(x) f ^′ (x) = e ^{f (x)} + C.

Exempel 2.20

Bestäm alla primitivafunktioner till

a)

f (x) = e ^2x + 1 e ^2x .

Vi börjar med att skriva om

f (x)

^{en aning:}

f (x) = e ^2x + 1

e ^2x = 1 + 1

e ^2x = 1 + e ^−2x .

Inre derivatan är

−2

^{o h dåfår vi}

F (x) = D ⁻¹ 1 + D ⁻¹ 

− 1

2 · (−2)e ^−2x 

= x − 1

2 e ^−2x + C.

b)

f (x) = 1 e ^2x+1 .

Denna funktion kanskrivassom

f (x) = e ^−2x−1

^{. Inrederivatan är}

−2

^{o h vi får}

F (x) = D ⁻¹ 

− 1 2

 · (−2)e ^−2x−1 = − 1

2 e ^−2x−1 + C = − 1

2e ^2x+1 + C.

)

f (x) = sin xe ^{cos x} .

Eftersom

D cos x = − sin x

^såfås

f (x) = ( −1) · (− sin x)e ^{cos x}

^.

De primitivafunktionernages nuav

F (x) = −e ^{cos x} + C.

2.6 Sammanfattning över regl er

1.

D ⁻¹ [cf (x)] = cD ⁻¹ f (x),

d.v.s. en konstant kan yttas utanför operatorn

2.

D ⁻¹ [f (x) + g(x)] = D ⁻¹ f (x) + D ⁻¹ g(x)

3.

D ⁻¹ x ^a = ^x _a+1 ^a+1 + C, a 6= −1

4.

D ^{−1 1} _x = ln |x| + C

^{,i ett intervall som inte innehåller}

x = 0

5.

D ⁻¹ e ^x = e ^x + C

6.

D ⁻¹ a ^x = _{ln a} ^{a x} + C

7.

D ⁻¹ sin x = − cos x + C

8.

D ⁻¹ cos x = sin x + C

9.

D ⁻¹ _cos ¹ 2 x = D ⁻¹ (1 + tan ² x) = tan x + C

^,

för alla intervall som inte innehåller

x = ^π ₂ + nπ

^,

n ∈

^{Z, d.v.s. där}

cos x = 0

10.

D ⁻¹ _sin ^{1 2} _x = D ⁻¹ (1 + cot ² x) = cot x + C

^,

förallaintervallsominte innehåller

x = nπ

^,

n ∈

^{Z,d.v.s. där}

sin x = 0

11.

D ⁻¹ (g ^′ (f (x))f ^′ (x)) = g(f (x)) + C

12.

D ⁻¹ (f ^′ (x)(f (x)) ^a ) = 1

a + 1 (f (x)) ^a+1 + C, a 6= −1

13.

D ⁻¹ f ^′ (x)

f (x) = ln |f(x)| + C,

^{iallaintervall där}

f (x) 6= 0

14.

D ⁻¹ e ^f(x) f ^′ (x) = e ^{f (x)} + C

2.7 Denition på integral

Vi skall i detta avsnitt deniera begreppet integral. För att göra det börjar

vi med ett exempel.

Exempel 2.21

Uppskatta storleken av det område som begränsas av parabeln

y = x ²

^, koordinataxlarnao h linjen

x = 1

^{. (Se gur}

2.1

^).

1 x

y

y=x ² 1

Figur 2.1:

Vi bete knar areanmed

A

^{.Vikaninteberäknaarean exaktmed}

de metoder vi hittills har lärt oss, för den begränsas inte av ra-

kalinjer.Grafenav

y = x ²

^{ärjuinteenrätlinje!Hurskallvigöra?}

Mankantänkasigattpåolikasättuppskattadetbegränsadeom-

rådet. Om vi drar en linje mellan punkterna

(0, 0)

^{o h}

(1, 1)

^ser

vi att grafen ligger under denna. Arean måste alltså vara under

1

2

^{. (Se gur}

2.2

^).

Arkimedes hade ett förslag. Hanbestämde arean genom att dels

underskatta o h dels överskatta arean. Detta gjorde han genom

att dela in

x

^{-axeln i ett antal lika stora bitar o hmed olikarek-}

tanglar skatta ytan.

Videlarinintervallet

[0, 1]

^{ifyralikastoradelar,såatt vifårfyra}

delintervallmedändpunkterna

0, ¹ ₄ , ² ₄ , ³ ₄ , 1

^{.Viritarsedanrektang-}

larvars ena punkt liggerpågrafen. (se gurerna

2.3

^{o h}

2.4

^).Vi

1 x y

1

y=x ² y=x

Figur 2.2:

får nu två gurer, där gur

2.3

^{säkert är en underskattning av}

arean för

x ²

^{o h gur}

2.4

^{med säkerhet är en överskattning av}

arean för

x ²

^.

1/4 1/2 3/4 1 x

y

y=x ²

Figur 2.3:

Genom att räkna ut arean av rektanglarna kan vi skatta arean

under grafen med ganskastor noggrannhet.

Denmindreareankallasen undersumma medandenstörrekallas

en översumma .

Undersumman bete knas med ett ett litet

s

^{, där ett index talar}

omhurmångarektanglarviarbetarmed.Denberäknasfördetta

1/4 1/2 3/4 1 x y

y=x ²

Figur 2.4:

s 4 = 1

4 · 0 ² + 1 4 ·  1

4

 2

+ 1 4 ·  2

4

 2

+ 1 4 ·  3

4

 2

= 1

4 ³ · (1 ² + 2 ² + 3 ² ) = 14

64 = 0, 21875.

Översumman bete knas på motsvarande sätt med stort

S

^där

indexet anger hurmånga rektanglar man använder. Vi beräknar

den i detta fall som:

S 4 = 1 4 ·  1

4

 2

+ 1 4 ·  2

4

 2

+ 1 4 ·  3

4

 2

+ 1 4 ·  4

4

 2

= 1

4 ³ · (1 ² + 2 ² + 3 ² + 4 ² ) = 30

64 = 0, 46875.

Vi har nu fått ett intervall,

]0.21875, 0.46875[

^{, inom vilketarean}

med säkerhet ligger. Som vi ser har vi ett ganska stort intervall.

För att minska detta intervall krävs det att vi ökar antalet rek-

tanglar.Genom att indela intervalleti åtta delar fåsatt arean

A

liggeriintervallet

]0.273, 0.398[

^{. Dettaärett bättre resultatmen}

ännu är intervallet rätt stort. För att få ett bättre värde bör vi

dela in intervalletiännu er rektanglar.

Denna metodsom vinuhar settpåskallvianvändaföratt denierabegrep-

petintegral. Vi skall utgå från en kontinuerlig funktion

f

^{som är denierad}

på ett slutet intervall

[a, b]

^{. Vi indelar detta intervall i}

n

^{sty ke n lika stora}

delar o h bildar

n

^{sty ken} delintervall. Deras ändpunkter kallar vi

a = x 0

^,

x 1 , . . . , x _n−1

^,

x n = b

^{o h det gälleratt}

a = x 0 < x 1 < . . . < x _n−1 < x n = b

^.

Detta att funktionen är kontinuerlig innebär även att alla delintervall är

kontinuerliga.ViminnsfrånförstadeleniPropedeutiskmatematikattdetta

medföratt detivarjedelintervall

[x _k−1 , x k ]

^{nns ettminstavärde}

m k

^{o hett}

största värde

M k

^.

Vi kallarnu mängden av intervalländpunkter

D = {x ⁰ , x 1 , . . . , x _n−1 , x n }

^in-

delningen D . Med en indelning

D

^{kan vi med hjälp av minsta o h största}

värdenai varje delintervallräkna utunder- o h översummorna:

s(D) = m 1 (x 1 − x 0 ) + m 2 (x 2 − x 1 ) + . . . + m _n−1 (x _n−1 − x n−2 ) + m n (x n − x n−1 ) =

X n k=1

m k (x k − x k−1 ).

S(D) = M 1 (x 1 − x 0 ) + M 2 (x 2 − x 1 ) + . . . + M _n−1 (x _n−1 − x n−2 ) + M n (x n − x n−1 ) =

X n k=1

M k (x k − x k−1 ).

Spe ielltförsituationenatt

f (x) ≥ 0

^{ihelaintervallet}

[a, b]

^{kanmangeomet-}

riskt tolkaunder- o h översummorna som summorav rektangelareor.

Vi skall sepå några egenskapersom utmärker under-o höversummor.

1. Undersumman kan intevara störreän översumman, alltså

s(D) ≤ S(D)

^föralla indelningar

D.

2. Med en nare indelning (d.v.s. er intervall)får vi även en bättre ap-

proximationavarean.Dettabetyder attundersummanväxero höver-

summan avtar. Om vi antar att vi har två indelningar,

D

^{o h}

D ^′

^{, där}

D ^′

^{är en nare indelning, sågällerdet att:}

s(D) ≤ s(D ^′ ) ≤ S(D ^′ ) ≤ S(D).

3. Oberoendeavhurviindelarintervallet,såärvarje undersumma

s(D 1 )

mindre äneller lika med varje översumma

S(D 2 )

^.

Hurskallvinugåvidarehärifrån?Jo,medstörrenoggrannhetiindelningav

intervallo hgenomatt tillämparegelnummertvåkanvi tänkaoss att nns

exaktett tal

A

^{,såatt taletärstörreänellerlikamedvarjeundersummao h}

mindre än eller lika med varje översumma. Detta tal är lika stort som den

sökta arean

A

^{.Detta utgör grunden för begreppet integral.}

Denition 2.5 Antag att funktionen

f

^är kontinuerlig pådet slutna inter- vallet

[a, b]

^{(detta betyder samtidigt att den är} begränsad). Låt

s(D)

^{o h}

S(D)

^{bete kna under-respektiveöversumman fören godty kligindelning}

D

av intervallet. Det går då att bevisa att det existerar ett o h endast ett tal

I

^{, så att:}

s(D) ≤ I ≤ S(D).

Vi kallarfunktionen

f integrerbar

^{o h talet}

I

^kallarvi

integralen

^{av funk-}

tionen

f

^över intervallet

[a, b]

^{. Vi bete knarintegralen med:}

I = Z b

a

f (x)dx

^eller

Z b a

f.

Bete kningen

R b

a f (x)dx

^utläses "integralen av f(x) från a till b" . Talen

a

o h

b

^{kallas den undre respektive den övre} integrationsgränsen,

f (x)

^kallas

integrand o h

x

integrationsvariabel.

2.8 Geometrisk tolkning av integralen

I förra avsnittet denierade vi begreppet integral o h såg på sambanden

mellanareanunderen funktion o hintegralen.Viskallnufortsättapådetta

tema o hse påintegralensom en geometrisk tolkningav arean.

Exempel 2.22

Visa att den konstanta funktionen

f : f (x) = C

^är integrerbar i ett godty kligt intervall

[a, b]

^{o hatt}

Z b a

Cdx = C(b − a).

Funktionen ärkontinuerlig påett slutetintervallo hdärför inte-

grerbar.

Vid uträkningav integralenskall vi minnasatt oberoende av in-

delning

D

^{i intervallet}

[a, b]

^{så är} funktionens minsta värde

m k

lika stort som största värdet

M k

^{som är likamed}

C

^{, ty}

C

^{är här}

en konstant.Det gälleralltsåatt

s(D) = S(D) = X n

k=1

C(x k − x k−1 ) =

C(x 1 − x 0 ) + C(x 2 − x 1 ) + . . . + C(x n − x n−1 ) =

−Cx 0 + Cx 1 − Cx 1 + Cx 2 − . . . − Cx n−1 + Cx n = Cx n − Cx ⁰ = C(x n − x ⁰ ) = C(b − a).

Vi har alltså hittat ett värde för integralen genom att vi kunde

låsa in det mellanunder-o h översummorna.Svaret är alltså:

Z b a

Cdx = C(b − a).

Geometriskt kan man tolka denna integral som arean av en rek-

tangel.

Exempel 2.23

Bestäm

Z 3 1

(4 − x)dx.

Geometriskt kanmanräkna utintegralensom areanunderlinjen

y = 4 − x

^{(se gur}

2.5

^{). Denna blir}

4

^{, ty arean för rektangeln är}

2 · 1 = 2

^{o harean för triangelnär}

^2·2 ₂ = 2

^.

y

x y=4−x

1 3

4

Figur 2.5:

Vi skall ändå använda den metodvi lärtoss:

Vi tänker oss att vi delar inintervalleti

n

^{lika stora} delintervall.

Längden fördelintervallen ärdå

3−1 n = _n ²

^.

Ändpunkterna för delintervallen ges av

x 0 = 1 x 1 = 1 + _n ² x ₂ = 1 + 2 · _n ² x 3 = 1 + 3 · _n ²

.

.

.

x _n−1 = 1 + (n − 1) · _n ² x n = 1 + n · _n ² = 3

^.

Funktionen ärsträngtavtagande.Dettabetyder att denförvarje

delintervall

[x _k−1 , x k ]

^{antar sitt största värde i}

f (x _k−1 )

^{o h sitt}

minsta värde i

f (x k )

^.

Undersumman

s(D)

^{varju denierad som}

P n

k=1 m k (x k − x k−1 )

^.

I summan är

m k = f (x k ) = 4 − x ^k = 4 − (1 + k · ² _n ) = 3 − k · _n ²

^.

Dierensen

x k −x k−1

^gesav

x k −x k−1 = 1+k · n ² −(1+(k−1)· n ² ) =

2 n

^.

Närvinuskaberäknaundersummorna

s n

^{fårviföljandeuttry k:}

s n = X n

k=1

m k (x k − x k−1 ) = X n k=1



3 − k · 2 n

 ·  2 n



= 2

n

h 3 − 1 · 2 n

 + 

3 − 2 · 2 n

 + . . . + 

3 − n · 2 n

i = 2

n

h 3n − 2

n (1 + 2 + . . . + n) i

= 6n n − 4

n ² (1 + 2 + . . . + n).

Här använder vi sedan regeln för summan av den aritmetiska

serien: (tas upp i kapitel

5

⁾

1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)

2 = n ² + n 2 .

Detta gör att

s n

^{kanskrivassom}

s n = 6 − 4 n ²

 n ² + n 2



= 6 − 2  n ² + n n ²



= 6 − 2  n ²

n ² + n n ²

 = 6 − 2 − 2

n = 4 − 2 n .

Vi skall fortsätta med att beräkna översumman. Översumman

S(D)

^{var ju denierad som}

P n

k=1 M k (x k − x k−1 )

^{. Funktionen är}

strängtavtagandevilketledertillatt iintervallet

[x _k−1 , x k ]

^antar

funktionen sittmaximivärde

M k

^{i punkten}

f (x _k−1 )

^.

Härfås

M k

^som

M k = f (x _k−1 ) = 4 −x k−1 = 4 −(1+(k −1)· n ² ) = 3 + (k − 1) · _n ²

^{. Dierensen}

x k − x k−1

^ges fortfarande av

2 n

^.

Vi räknar ut översumman:

S n = X n

k=1

M k (x k − x k−1 ) = X n k=1

(3 − (k − 1) · 2 n ) ·  2

n

 =

2 n

h 3 − 2 n · 0 

+  3 − 2

n · 1 

+ . . . +  3 − 2

n · (n − 1) i

= 2

n

h 3n − 2

n (1 + 2 + . . . + (n − 1)) i

= 6n

n − 4

n ² (1 + 2 + . . . + (n − 1)).

Summan för den aritmetiska serien

1 + 2 + 3 + . . . + (n − 1)

^är

(n−1)((n−1)+1)

2 = ^{n 2} ₂ ⁻ⁿ

^{. Vi får nu att}

S n = 6 − 4

n ²

 n ² − n 2

 = 6 − 2  n ² − n n ²

 =

6 − 2  n ² n ² − n

n ²



= 6 − 2 + 2

n = 4 + 2

n .

Vi har nu ett uttry k för såväl under- som översummorna som

varierar beroende på hur många intervall vi valt att indela

[1, 3]

i. Genom att öka antalet intervall så att deras antal går mot

oändligheten kan vi undersöka gränsvärden för

s n

^{o h}

S n

^{. Dessa}

blir

n→∞ lim s n = lim

n→∞ S n = 4.

Det enda tal

I

^{som kan uppfyllavillkoret}

s n ≤ I ≤ S ⁿ

^{för varje}

n

^är

4

^.

Funktionen är alltsåintegrerbar (kontinuerlig påett slutet inter-

vall) o h

Z 3 1

(4 − x)dx = 4.

Vad vi sett här om förhållandet mellan storleken på integralen o h arean

under grafen kan sammanfattas ien sats:

Sats 2.6 Antag att funktionen

f

^är kontinuerlig i intervallet

[a, b]

^{o h i ke-}

negativ. Då är arean av det område som begränsas av kurvan

y = f (x)

^,

x

^{-axeln o h linjerna}

x = a

^{o h}

x = b

A = Z b

a

f (x)dx.

Exempel 2.24

Beräkna

Z 1

−1

√ 1 − x ² dx.

Vi börjar med att rita upp grafen (se gur

2.6

^{) av funktionen}

√ 1 − x ²

^{. Grafen är}halv irkeln

x ² + y ² = 1

^{där vi ser på}

y ≥ 0

^.

Funktionen är kontinuerlig på

[ −1, 1]

^{o h} i ke-negativ,alltsåkan vi använda ovanstående sats.

R 1

−1

√ 1 − x ² dx

^{är lika med arean}

under funktionen

√ 1 − x ²

^{. Denna är}

^π·r ₂ ² = ^π·1 ₂ = ^π ₂ .

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2

Figur 2.6:

Vi kano kså deniera begreppet integralför vissa typer av diskontinuerliga

funktioner. Om vi tänker oss integralen som arean under grafen kan man

tänka sig att addera ihop olika areor mellan diskontinuitetspunkterna. Vi

skall utvidga vår denition påbegreppet integrerbar .

Denition 2.7 Antag att en funktion

f

^{är begränsad o h har ett ändligt}

antaldiskontinuitetsställen

x 1 , x 2 , . . . x n

ⁱintervallet

[a, b]

^.Dåär

f

integrerbar o h

Z b a

f (x)dx = Z x 1

a

f (x)dx + Z x 2

x 1

f (x)dx + . . . + Z x n

x _n−1

f (x)dx + Z b

x n

f (x)dx.

Exempel 2.25

Bestäm

Z 2

−3

f (x)dx,

^då

f (x) =







1,

^för

− 3 ≤ x < −1 3,

^för

− 1 ≤ x < 1 2,

^för

1 ≤ x ≤ 2

Vi inser att i intervallet

[ −3, 2]

^nns

2

diskontinuitetspunkter, nämligen

−1

^{o h}

1

^.Enligtovanståendedenitionkanvidåskriva

f (x)

^som

Z 2

−3

f (x)dx = Z ₋₁

−3

f (x)dx + Z 1

−1

f (x)dx + Z 2

1

f (x)dx.

Värden på

f (x)

^inomdelintervallenvar givnao h iexempel

2.22

visade vi att då

C

^{ärkonstant gällerdet att}

R b

a Cdx = C(b − a)

^.

Därför fås

Z 2

−3

f (x)dx = Z ₋₁

−3

1dx + Z 1

−1

3dx + Z 2

1

2dx = 1( −1 − (−3)) + 3(1 − (−1)) + 2(2 − 1) = 2 + 6 + 2 = 10.

Exempel 2.26

Bestäm

Z 1

−1

f (x)dx,

^då

f (x) =  −2,

^för

x > 0 2,

^för

x ≤ 0

Funktionen

f

^ärdiskontinuerlig,men begränsad o h harett änd- ligt antal diskontinuitetspunkter på

[ −1, 1]

^{, närmare bestämt en}

(i

x = 0

^{). Funktionen är alltså}integrerbar o h

Z 1

−1

f (x)dx = Z 0

−1

2dx + Z 1

0

( −2)dx = 2(0 − (−1)) + (−2)(1 − 0) = 2 − 2 = 0.

Grafen till

f (x)

^{nns uppritad i gur}

2.7

^.

Anmärkning 2.8 Iexempleträknade vimed att areanblevnegativ.Detta

brukarviintegörao hdet kännskanskeliteovanligt.Areanäralltidpositiv,

men integralen kan vara negativ. Om funktionen ligger under

x

^{-axeln blir}

värdet på integralen negativt. I föregående exempel subtraherade vi alltså

arean som ligger under

x

^{-axeln från den som ligger ovanför. I o h med att}

areorna ärlika stora blirsvaret

0

^.

1 x

−1

−2 2 y

Figur 2.7:

Fråga: Vad betyder bete kningen

dx

^?

Svar:

dx

^{angermedavseendepåvilkenvariabelvi}integrerar.Påsammasätt som

x

^{:et i}

f (x)

^{angeratt vihar en funktion som varierarmedavseendepå}

x

så betyder

dx

^{att vi integrerar m.a.p.}

x

^.

2.9 Integralens egenskaper

När vi börjarräkna litemer med integralerbehöver vinågra regler såatt vi

kanhantera dem. Genom att tänka på integralens geometriskatolkning kan

man förstå att de är riktiga. Vi kommer inte att analytiskt bevisa dem.

Regler:

Antagattfunktionerna

f

^,

g

^ärkontinuerligapå

[a, b]

^{o h}

c

^{ärenkonstant.}

Då gäller:

1.

Z b

a

(f (x) + g(x))dx = Z b

a

f (x)dx + Z b

a

g(x)dx.

2.

Z b

a

cf (x)dx = c Z b

a

f (x)dx.

3.

Z a

a

f (x)dx = 0.

Om funktionen ärkontinuerlig i ett intervall som innehåller

a

^,

b

^{o h}

c

gäller

4.

Z b

a

f (x)dx = − Z a

b

f (x)dx

5.

Z c

a

f (x)dx + Z b

c

f (x)dx = Z b

a

f (x)dx,

oberoende av storleksordningen på

a, b

^{o h}

c.

6.

Z b

a

f (x)dx ≥ 0,

^om

f (x) ≥ 0

^{på hela} intervallet

[a, b].

7.

Z b a

f (x)dx ≤ Z b

a

g(x)dx,

^om

f (x) ≤ g(x)

^{på hela} intervallet

[a, b].

Exempel 2.27

Bestäm ett reellt tal

a

^{så att}

Z a

1

(x + 1)dx − Z a

2a

(x + 1)dx = 6.

Med hjälpav regel

4

^{kan vi skriva}

− Z a

2a

(x + 1)dx = Z 2a

a

(x + 1)dx.

Sedan använder vi regel

5

^{o h får att}

Z a

1

(x + 1)dx + Z 2a

a

(x + 1)dx = 6 ⇔ Z 2a

1

(x + 1)dx = 6.

Vi ritar upp funktionen

f (x) = x + 1

^{(se gur}

2.8

^).

y

1 2a x

y=x+1

Figur 2.8:

Funktionen skallintegreras i intevallet

[1, 2a]

^.

I punkten

1

^är funktionsvärdet

f (1) = 1 + 1 = 2

^{o h i}

2a

^är

f (2a) = 2a + 1

^.

Utgående från grafen kan vi dela upp arean i två delar; en rek-

tangel o h en triangel.

Arean för rektangeln är

A R = b · h = (2a − 1) · 2 = 4a − 2

^.

Motsvarande area för triangelnär

A T = b · h

2 = (2a − 1)((2a + 1) − 2)

2 = (2a − 1) ²

2 .

Nugällerdetattlösaekvationen

A R +A T = 6

^{.Dettaärekvivalent}

med

4a − 2 + (2a − 1) ²

2 = 6 ⇔ 8a − 4 + (4a ² − 4a + 1)

2 = 6 ⇔

4a − 3 + 4a ² = 12 ⇔ 4a ² + 4a − 15 = 0.

Detta ger, enligt lösningsformelnför andragradsekvationer, att

a = −4 ± p

16 − 4 · 4 · (−15)

2 · 4 = −4 ± √

256

8 = −4 ± 16 8

⇒

 a 1 = ³ ₂

a 2 = − ⁵ ₂

2.10 Integralfunktionen

Vi har nu försökt oss på två metoder att beräkna integraler, geometriskt

(graskt) o h med över- o h undersummor. Det har varit arbetsdrygt även

för enkla integralero hännu vet vi intet.ex. lösningen till

Z 1 0

x ² dx.

Vi skallifortsättningense påsambandetmellanintegralfunktioneno hdess

primitivafunktion. Integralfunktionendenieras som:

Denition 2.9 Antag att funktionen

f

^ärintegrerbar iintervallet

[a, b]

^.In-

tegralenavfunktionen

f

^från

a

^till

x

^{ärdåenfunktion}

F

^,somärkontinuerlig i intervallet

[a, b]

^{. (Här är alltså}

a ≤ x ≤ b

^{.) Funktionen}

F

^{benämns i inte-}

gralfunktion o hvi skriver

F (x) = Z x

a

f (t)dt.

Vi använder här

t

^{som variabelför}

f

^{o h}

x

^{som variabel för}

F

^{.Dettaför att}

de intei onödan skall bindastill varandra.

Exempel 2.28

Se på funktionen

f (t) = t

^{. Om vi ritar upp den får vi följande}

gur (se gur

2.9

^).

y y=t

t x

x

Om vi undersöker arean under kurvan i intervallet

[0, x]

^{kan vi}

räkna ut den som:

A = x · x 2 = x ²

2 .

Detta ger alltså att (om funktionen

F (x)

^{beskriver arean under}

linjen):

F (x) = Z x

0

tdt = x ² 2 .

Observera här att

F (x)

^{ären primitiv funktion till}

f (x) = x

^{, ty}

F ^′ (x) = x

^.

Senare kommervi att se att detta samband inte ärslumpmässigt.

Sats 2.10 (Analysens huvudsat s)Antagattfunktionen

f

^ärkontinuerlig i intervallet

[a, b]

^{. Då är} integralfunktionen

F

^,

F (x) = Z x

a

f (t)dt,

deriverbar i intervallet

[a, b]

^{o h för alla}

x ∈ [a, b]

^{gäller att}

F ^′ (x) = f (x).

Anmärkning 2.11 I satsen är alltså

f (x)

^{samma funktion som}

f (t)

^{, men}

med en annanvariabel.

Korollarium 2.12 Tillvarjekontinuerligfunktion

f

^{existerardet(åtminsto-}

ne) en primitiv funktion, nämligen integralfunktionen

Z x a

f (t)dt.

Exempel 2.29

D Z x

a

(t ² + ct)dt = x ² + cx,

ty om

F (x) = Z x

a

(t ² + ct)dt

så gäller det att

F ^′ (x) = f (x) = x ² + cx.

Exempel 2.30

Är

F (x) = Z x

1

e ^{t 2} dt

strängt monoton?

Vi vet att om derivatan för en funktion är strängt positiv eller

negativ så ärfunktionen strängt monoton.

F ^′ (x) = e ^{x 2}

^{är strängt positiv. Detta betyder att}

F

^{är strängt}

växande, alltsåsträngt monoton.

Graskt kan man o kså tänka sig detta resultat. Det är ju na-

turligt att arean under grafen växer när

x

^{blir större (}

e ^{t 2}

^{är ju}

positiv).

2.11 Integralräkning med hjälp av primitiv funk-

tion

Idettaavsnittkommerviattbestämmaintegralermedhjälpavdenprimitiva

funktionen. Den sats som nuföljer brukar kallasinsättningsformeln.

Sats 2.13 Antag att funktionen

f

^är kontinuerlig i intervallet

[a, b]

^{. Om}

F

är en primitiv funktion till

f

^{, gäller}

Z b

a

f (x)dx = F (b) − F (a).

Närmanbestämmerenintegral,subtraherarmanalltsåvärdetavdenprimiti-

va funktionenförden undreintegrationsgränsenfrånvärdetav denprimitiva

funktionen för övre integrationsgränsen.

Bete kningar:

F (b) − F (a) = h

F (x) i b a =

. b a

F (x).

Begreppetintegraldenierades som gränsvärden av över-o h undersummor

när antalet intervall gi k mot oändligheten. Det denierades utgående från

att man ville ha ett mått på arean under en graf. Primitiva funktionen är

Exempel 2.31

Beräkna

Z 2

−1

(6x ² − 2x + 1)dx.

Z 2

−1

(6x ² − 2x + 1)dx = h 6

3 x ³ − 2

2 x ² + x i 2

−1

= h

2x ³ − x ² + x i 2

−1

= (2 · 2 ³ − 2 ² + 2) − (2 · (−1) ³ − (−1) ² + ( −1)) = 14 − (−4) = 18.

Fråga: Varför har vi ingen konstant med nu, när vi bestämmer primitiv

funktion?

Svar: Det är onödigt. Vid subtraktionen skulle ändå två konstanter ta ut

varandra.

Exempel 2.32

Beräkna

Z ^π ₂

−π

sin 2x cos ² 2xdx.

Här använder vi oss av regeln

D ⁻¹ f ^′ (x)(f (x)) ^a = (f (x)) ^a+1

a + 1 + C, a 6= −1,

ty

cos ² 2x

^{ärju ett annatsätt att skriva}

(cos 2x) ²

^.

Inre derivatan för

cos ² 2x

^är

− sin 2x · 2

^{. Då fås}

Z ^π ₂

−π

sin 2x cos ² 2xdx = Z ^π ₂

−π

 − 1 2

 ( −2 sin 2x) cos ² 2xdx =

 − 1 2

 Z ^{π 2}

−π

( −2 sin 2x) cos ² 2xdx = 

− 1 2

h 1

3 cos ³ 2x i ^π ₂

−π

=

 − 1 2

h 1 3 cos ³ 

2 · π 2

 − 1 3 cos ³ 

2 · (−π) i ₍₁₎

=

 − 1 2

h 1

3 · (−1) ³ − 1 3 · 1 ³ i

= 

− 1 2

h − 1 3 − 1

3 i = 2

6 = 1 3 ,

där

(1)

^{fås ty}

cos π = −1

^{o h}

cos( −2π) = cos 2π = 1

^.

Exempel 2.33

Beräkna

Z 2

−1

|1 − x|dx.

Enligt denitionen vet vi att

|1 − x| =

 1 − x,

^om

x ≤ 1 x − 1,

^om

x > 1

Detta ger

Z 2

−1

|1 − x|dx = Z 1

−1

(1 − x)dx + Z 2

1

(x − 1)dx = h x − x ²

2 i 1

−1

+ h x ² 2 − x i 2

1 = h

1 − 1 2

 − 

−1 − 1 2

i + h

(2 − 2) −  1

2 − 1 i

= h 1

2 + 3 2 i

+ h 0 + 1

2 i

= 2 + 1 2 = 5

2 .

Exempel 2.34

Bestäm största o hminsta värdet för funktionen

f (x) = Z 2

1

   1

t − 1 x   dt

i intervallet

1 ≤ x ≤ 2

^.

Observeraattviintegrerarm.a.p

t

^{o hinte}

x

^{somviärvanamed.}

Vibörjarmed attreda utabsolutbeloppet. Enligtdenitionenär

|f(t)| =

 f (t),

^om

f (t) ≥ 0

−f(t),

^om

f (t) < 0

Detta betyder att

   1 t − 1

x    =







1

t − x ¹ ,

^om

¹ _t − x ¹ ≥ 0,

^{d.v.s. om}

¹ t ≥ ¹ x ⇒ t ≤ x

1

x − ¹ _t ,

^om

¹ _t − _x ¹ < 0,

^{d.v.s. om}

¹ _t < _x ¹ ⇒ t > x

Notera att

t

^{behandlas som variabelmedan}

x

^{behandlas som en}

konstant.

Vi skriverom funktionen

f (x)

^{o h beräknar sedan} integralen:

f (x) = Z 2

1

   1 t − 1

x   dt =

Z x 1

 1 t − 1

x

 dt +

Z 2 x

 1 x − 1

t

 dt = h

ln |t| − t x

i x 1 + h t

x − ln |t| i 2 x

t>0

= h

ln t − t x

i x 1 + h t

x − ln t i 2 x = h

ln x − x x

 − 

ln 1 − 1 x

i

+ h 2

x − ln 2 

−  x

x − ln x i

= ln x − 1 − 0 + 1

x + 2

x − ln 2 − 1 + ln x = 2 ln x − 2 + 3

x − ln 2.

Vi draross tillminnes att maximi-o hminimivärdenkanhittas:

1. i derivatans nollställen,

2. i

f

^:s diskontinuitetspunkter, 3. för

x

^{-värden där derivata saknas,}

4. i denitionsintervallets ändpunkter.

Vi undersöker dessa punkter en i gången:

1. Härbörjarvi med att derivera

f (x)

^{o h får}

f ^′ (x) = 2

x − 3

x ² = 2x − 3 x ² .

Vi räknar sedan ut för vilka värden på

x

^som

f ^′ (x) = 0

^.

Dettager att

2x − 3 = 0 ⇔ x = ³ ₂

^.

Eftersom

3

2 ∈ [1, 2]

^{duger denna som en kandidat till var}