KONTROLLSKRIVNING 1
Kurs: HF1012 Matematisk statistik Lärare: Armin Halilovic Datum: Måndag 8 apr 2013 Skrivtid: 10:15-12:00
Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare av vilken typ som helst.
Förbjudna hjälpmedel: Telefon, laptop och alla elektroniska medel som kan kopplas till internet.
Inga toabesök eller andra raster.
Denna tentamenslapp får ej behållas efter tentamenstillfället utan lämnas in tillsammans med lösningar. Fullständiga lösningar skall presenteras till alla uppgifter. För godkänt krävs 4 av max 8 poäng.
Uppgift 1. (2p)
För de två händelserna A och B gäller att
P ( A ∪ B ) = 0 . 8
,P ( A ∩ B
C) = 0 . 4
och3
. 0 ) ( A ∩ B = P
Ca) Rita mängddiagram och bestäm
P ( A ∩ B )
.b) Bestäm ( och förklara) om A och B är oberoende händelser .
Uppgift 2. (2p)
En kortlek med 52 kort innehåller 13 spader 13 ruter 13 hjärter och 13 klöver. Bestäm sannolikheten att vid dragning utan återläggning av 10 kort ur en kortlek (med 52 kort) få
a) 8 spader och 2 ruter
b) 3 spader 2 ruter 4 hjärter och 1 klöver Du svarar med binomiska koefficienter!
Uppgift 3. (2p)
Meddelanden kodade i binära tecken 0 och 1 överförs i ett nätverk. I genomsnitt innehåller meddelandena 55% nollor och 45% ettor. På grund av störningar i systemet förekommer felaktiga överföringar:
Ett utsänt 0 mottags felaktigt som 1 med sannolikheten 0.02 ( alltså mottags som 0 med sannolikheten 0.98).
Ett utsänt 1 mottags felaktigt som 0 med sannolikheten 0.03 ( mottags korrekt som 1 med sannolikheten 0.97).
Om 0 mottags vad är sannolikheten att 0 har sänts?
Var god vänd!
1 av 2
Uppgift 4. (2p) Komponenter K1, K2, K3 och K4 fungerar (oberoende av varandra) med följande sannolikheter 0.9, 0.8,0.6 och 0.4. Vilket av följande system fungerar bättre, system I eller system II
? ( Vi anser att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan punkterna A och B)
---
Lycka till!
2 av 2
FACIT
Uppgift 1. (2p)
För de två händelserna A och B gäller att
P ( A ∪ B ) = 0 . 8
,P ( A ∩ B
C) = 0 . 4
och3
. 0 ) ( A ∩ B = P
Ca) Rita mängddiagram och bestäm
P ( A ∩ B )
.b) Bestäm ( och förklara) om A och B är oberoende händelser . Lösning:
a)
´ Från
) (
) (
) (
)
( A B P A B P A B P A B
P ∪ = ∩
C+ ∩ +
C∩
har vi
0 . 8 = 0 . 4 + P ( A ∩ B ) + 0 . 3 ⇒ P ( A ∩ B ) = 0 . 1
. b) Vi säger att A och B är oberoende händelser om) ( ) ( )
( A B P A P B
P ∩ = ⋅
Först finner vi att P( A)= P(A∩BC)+P(A∩B)=0.4+0.1=0.5 och P(B)= P(A∩B)+
P ( A
C∩ B ) = 0 . 3 + 0 . 1 = 0 . 4
Eftersom
P ( A ∩ B ) = 0 . 1
och 20 . 0 4 . 0 5 . 0 ) ( )(A ⋅ BP = ⋅ = P
ser vi att A och B är INTE oberoende händelser ( dvs de är beroende händelser).
3 av 2
Svar. a)
P ( A ∩ B ) = 0 . 1
b) A och B är INTE oberoende händelser Uppgift 2. (2p)En kortlek med 52 kort innehåller 13 spader 13 ruter 13 hjärter och 13 klöver. Bestäm sannolikheten att vid dragning utan återläggning av 10 kort ur en kortlek (med 52 kort) få
a) 8 spader och 2 ruter
b) 3 spader 2 ruter 4 hjärter och 1 klöver Du svarar med binomiska koefficienter!
Svar:
a)
= 10 52 2 13 8 13
Pa
b)
=
10 52
1 13 4 13 2 13 3 13
Pb
Uppgift 3. (2p)
Meddelanden kodade i binära tecken 0 och 1 överförs i ett nätverk. I genomsnitt innehåller meddelandena 55% nollor och 45% ettor. På grund av störningar i systemet förekommer felaktiga överföringar:
Ett utsänt 0 mottags felaktigt som 1 med sannolikheten 0.02 ( alltså mottags som 0 med sannolikheten 0.98).
Ett utsänt 1 mottags felaktigt som 0 med sannolikheten 0.03 ( mottags korrekt som 1 med sannolikheten 0.97).
Om 0 mottags vad är sannolikheten att 0 har sänts?
Svar:
a) P(0 mottags) = 0.55*0.98+ 0.45*0.03= 0.5525 b) P(0 har sänts|0 mottagits) =
0.9755656 0.5525
0.5390 0.5525
0.98
* 0.55 )
mottags 0
(
) mottags 0
sänts har 0
( ∩ = = =
P P
Uppgift 4. (2p) Komponenter K1, K2, K3 och K4 fungerar (oberoende av varandra) med följande sannolikheter 0.9, 0.8,0.6 och 0.4. Vilket av följande system fungerar bättre, system I eller system II
? ( Vi anser att systemet fungerar om det finns minst en fungerande väg mellan punkterna A och B)
4 av 2
Lösning:
SYSTEM I:
”Väg 1”fungerar med sannolikheten v1= K1*K2= 0.72, Väg 2 fungerar med sannolikheten v2 = K3*K4=0.24 System I fungerar om minst en av vägarna fungerar:
P(System I fungerar)= v1+v2-v1*v2= 0.7872 SYSTEM II
Bock 1 (Första blocket), fungerar med sannolikheten b1= K1+K3-K1*K3= 0.96 Bock 2 fungerar med sannolikheten b2= K2+K4-K2*K4= 0.88
System II fungerar med sannolikheten = b1*b2= 0.8448
Slutsats: System II fungerar bäst ( dvs med större sannolikheten än system I).
5 av 2
