Diferenˇcn´ı rovnice a jejich aplikace

(1)

Diferenˇ cn´ı rovnice a jejich aplikace

Bakal´ aˇ rsk´ a pr´ ace

Studijn´ı program: B1101 – Matematika

Studijn´ı obory: 7504R015 – Matematika se zamˇeˇren´ım na vzdˇeláván´ı 7507R036 – Anglický jazyk se zamˇeˇren´ım na vzdˇeláván´ı Autor práce: Nikola Prousková

Vedouc´ı pr´ace: RNDr. Jiˇr´ı Hozman, Ph.D.

(2)

Difference Equations and Their Applications

Bachelor thesis

Study programme: B1101 – Mathematics

Study branches: 7504R015 – Mathematics for Education 7507R036 – English for Education Author: Nikola Prouskov´a

Supervisor: RNDr. Jiˇr´ı Hozman, Ph.D.

(3)

(4)

(5)

Prohl´ aˇ sen´ı

Byla jsem seznámena s t´ım, ˇze na mou bakaláˇrskou práci se plnˇe vztahuje zákon ˇc. 121/2000 Sb., o právu autorském, zejména § 60 – ˇskoln´ı d´ılo.

Beru na vˇedom´ı, ˇze Technická univerzita v Liberci (TUL) neza- sahuje do mých autorských práv uˇzit´ım mé bakaláˇrské práce pro vnitˇrn´ı potˇrebu TUL.

Uˇziji-li bakaláˇrskou práci nebo poskytnu-li licenci k jej´ımu vyuˇzit´ı, jsem si vˇedoma povinnosti informovat o této skuteˇcnosti TUL;

v tomto pˇr´ıpadˇe má TUL právo ode mne poˇzadovat úhradu náklad˚u, které vynaloˇzila na vytvoˇren´ı d´ıla, aˇz do jejich skuteˇcné výˇse.

Bakaláˇrskou práci jsem vypracovala samostatnˇe s pouˇzit´ım uvedené literatury a na základˇe konzultac´ı s vedouc´ım mé bakaláˇrské práce a konzultantem.

Souˇcasnˇe ˇcestnˇe prohlaˇsuji, ˇze tiˇstˇen´a verze pr´ace se shoduje s elek- tronickou verz´ı, vloˇzenou do IS STAG.

Datum:

Podpis:

(6)

Anotace

Tato bakaláˇrská práce se zabývá problematikou diferenˇcn´ıch rovnic, pˇredevˇs´ım lineár- n´ıch diferenˇcn´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty. Prvn´ı, teoretická ˇcást této práce je vˇenována základ˚um diferenc´ı a sumac´ı, klasifikaci diferenˇcn´ıch rovnic a obecnému zp˚usobu ˇreˇsen´ı lineárn´ıch diferenˇcn´ıch rovnic. Nejprve se zamˇeˇr´ıme na konstrukci fundamentáln´ıho systému ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice. Následnˇe v pˇr´ıpadˇe nehomogenn´ı rovnice jsou pˇredstaveny dva zp˚usoby ˇreˇsen´ı - metoda odhadu partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı a metoda variace konstant. Druhá ˇcást práce se pak zabývá konkrétn´ımi apli- kacemi, které lze popsat právˇe pomoc´ı lineárn´ıch diferenˇcn´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty. Naˇse pozornost je zamˇeˇrena pˇredevˇs´ım na aplikace v ekonomii, jako napˇr´ıklad souˇcasná a budouc´ı hodnota penˇez, spoˇren´ı na d˚uchod, umoˇrován´ı splátky ˇci vytváˇren´ı rovnováhy na trhu. V bakaláˇrské práci je pak prakticky ilustrováno, ˇze aˇckoliv jsou pro vˇetˇsinu populace diferenˇcn´ı rovnice nepˇr´ıliˇs známé, setkávaj´ı se s nimi relativnˇe bˇeˇznˇe a pˇr´ıpadnˇe je i pouˇz´ıvaj´ı.

Kl´ıˇ cov´ a slova:

diference; sumace; line´arn´ı diferenˇcn´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty; aplikace v ekonomii

(7)

Abstract

This bachelor thesis deals with the problem of difference equations, especially linear difference equations with constant coefficients. The theoretical part of this work is devoted to the basics of differences and antidifferences, classifications of difference equations and the general way of solving linear difference equations. First, we deal with the construction of a fundamental system for solving a homogeneous equation.

Subsequently, in the case of nonhomogeneous equation two methods of its solving are introduced – the method of undetermined coefficients and the method of variation of constants. The second part of the thesis deals with specific applications that can be described using linear difference equations with constant coefficients. Our attention focuses on applications in economics, such as the present and future value of money, retirement saving, amortization installments or creating a balance in the market. In the bachelor thesis it is practically illustrated that although for most of the population the difference equations are not very familiar, they encounter them relatively commonly, or even use them.

Key words:

difference; antidifference; linear differential equations with constant coefficients; ap- plication in economics

(8)

Podˇ ekov´ an´ı

T´ımto bych chtˇela podˇekovat svému vedouc´ımu bakaláˇrské práce, panu RNDr. Jiˇr´ımu Hozmanovi, Ph.D. za odborné veden´ı práce, cenné rady, vˇecné pˇripom´ınky, trpˇelivost, ochotu a vstˇr´ıcnost pˇri konzultac´ıch a v pr˚ubˇehu zpracováván´ı bakaláˇrské práce.

(9)

Obsah

Anotace 5

Abstract 6

Seznam obr´azk˚u 9

Seznam tabulek 10

Pouˇzit´e znaˇcen´ı a jeho v´yznam 11

Uvod´ 12

1 Uvod do teorie diferenc´ı´ 13

1.1 Term´ın diference . . . 13

1.2 Geometrick´e zobrazen´ı diference . . . 14

1.3 Vztah diference a derivace . . . 14

1.4 Diference vyˇsˇs´ıch ˇr´ad˚u . . . 16

1.5 Diference element´arn´ıch funkc´ı. . . 17

1.6 Sumace . . . 19

2 Diferenˇcn´ı rovnice 21 2.1 Typy diferenˇcn´ıch rovnic a jejich ˇreˇsen´ı . . . 21

2.2 Vz´ajemn´e pˇrevody rovnic a rekurentn´ı vzorce . . . 24

3 Line´arn´ı diferenˇcn´ı rovnice 26 3.1 Postup ˇreˇsen´ı homogenn´ıch line´arn´ıch diferenˇcn´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty . . . 28

3.2 Postup ˇreˇsen´ı nehomogenn´ıch line´arn´ıch diferenˇcn´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty . . . 30

4 Aplikace 36 4.1 Sloˇzené úroˇcen´ı, budouc´ı a souˇcasná hodnota penˇez. . . 36

4.2 Souˇcasn´a hodnota polh˚utn´ıho d˚uchodu . . . 39

4.3 Uspory na d˚´ uchod . . . 41

4.4 Umoˇrov´an´ı dluhu . . . 43

4.5 Pavuˇcinový model utváˇren´ı trˇzn´ı rovnováhy . . . 45

(10)

4.6 Ruinov´an´ı hr´aˇce . . . 49 4.7 Cournot˚uv model duopolu . . . 51

Z´avˇer 56

Reference 57

(11)

Seznam obr´ azk˚ u

1.1 Geometrick´y v´yznam diference . . . 15

1.2 Vztah diference a derivace . . . 16

4.1 Pavuˇcinov´y model – konvergentn´ı pˇr´ıpad . . . 47

4.2 Pavuˇcinov´y model – oscilace . . . 48

4.3 Pavuˇcinov´y model – divergentn´ı pˇr´ıpad . . . 48

4.4 Cournot˚uv model – fázové portréty . . . 54

(12)

Seznam tabulek

1.1 Diference line´arn´ı a kvadratick´e funkce . . . 14 1.2 Vztah mezi pomˇernou diferenc´ı a derivac´ı funkce . . . 15

(13)

Pouˇ zit´ e znaˇ cen´ı a jeho v´ yznam

x nezávisle promˇenná, argument funkce R mnoˇzina reálných ˇc´ısel

f , F , g, G funkce

h diferenˇcn´ı krok

∆f (x) diference funkce f

∆⁻¹f (x) sumace funkce f m, n index posloupnosti

N0 mnoˇzina pˇrirozen´ych ˇc´ısel vˇcetnˇe 0 ϕ(n) funkce na mnoˇzinˇe N0

y_m, y_n posloupnost, ˇcleny posloupnosti P_k polynom stupnˇe nejv´yˇse k C mnoˇzina komplexn´ıch ˇc´ısel

λ, λ_j koˇren charakteristick´eho polynomu

(14)

Uvod ´

Ustˇredn´ım pojmem t´´ eto bakaláˇrské práce je diferenˇcn´ı rovnice. Jedná se o oblast matematiky, se kterou se relativnˇe ˇcasto setkávaj´ı ekonomové, aˇckoliv nevˇedomky se objevuje jiˇz ve stˇredoˇskolské látce, konkrétnˇe v oblasti finanˇcn´ı matematiky, jak pozdˇeji ilustrujeme na vybraných pˇr´ıkladech.

Diferenˇcn´ı rovnice pˇredstavuj´ı vhodnou alternativu v pˇr´ıpadech, kdy jiˇz nen´ı moˇzné vyuˇz´ıt klasických metod, vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch limitu funkce a diferenciáln´ı poˇcet.

V tomto pˇr´ıpadˇe definiˇcn´ım oborem, na kterém dané rovnice ˇreˇs´ıme, je mnoˇzina bod˚u (obvykle ekvidistantn´ıch). M´ısto derivac´ı se pouˇz´ıvaj´ı diference, m´ısto integrál˚u sumace a m´ısto diferenciáln´ıch rovnic pak rovnice diferenˇcn´ı.

Ohlédneme-li se do historie, myˇslenka poˇc´ıtán´ı pomoc´ı rekurzivn´ıch vzorc˚u se objevuje v jednoduché formˇe jiˇz kolem roku 2000 pˇr. n. l. Kolem roku 450 pˇr. n. l.

tuto myˇslenku dále rozv´ıjej´ı Pythagorejci, pozdˇeji se problematikou zabývalo mnoho dalˇs´ıch slavných matematik˚u. Koˇreny základn´ı teorie lineárn´ıch diferenˇcn´ıch rovnic sahaj´ı do 18. stolet´ı, kdy se j´ı zabývali de Moivre, Euler, Lagrange, Laplace a dalˇs´ı. Z dneˇsn´ıho pohledu se diferenˇcn´ı rovnice, jak jiˇz bylo zm´ınˇeno, hojnˇe vyuˇz´ıvaj´ı v ekonomii. Své m´ısto vˇsak nalézaj´ı i ve statistice, napˇr. pro sledován´ı r˚ustu populace.

Velmi známá je Fibonacciho posloupnost pouˇzitá uˇz v roce 1202 na modelován´ı r˚ustu populace král´ık˚u, nicménˇe poprvé popsána aˇz v 17. stolet´ı a vyˇreˇsena v 18.

stolet´ı (de Moivre). Dále se vyuˇz´ıvaj´ı také v kvantové fyzice ˇci atomistice.

Právˇe jiˇz zm´ınˇená aplikace v ekonomii byla mou hlavn´ı motivac´ı ke zpracován´ı tohoto tématu, nebot’ z vlastn´ı zkuˇsenosti v´ım, ˇze daná problematika je ˇcasto vysvˇetlo- vána pouze z pohledu ekonomického, tedy bez hlubˇs´ı vazby na matematickou teorii.

Samotná bakaláˇrská práce je uspoˇrádána následovnˇe. Nejprve jsou pˇredstaveny a definovány dva d˚uleˇzité pojmy. Stejnˇe, jako u diferenciáln´ıch rovnic se neobejdeme bez znalosti derivac´ı a integrál˚u, v pˇr´ıpadˇe diferenˇcn´ıch rovnic to je diference a sumace. Následnˇe m˚uˇzeme zavést diferenˇcn´ı rovnice, které klasifikujeme na jednotlivé typy a ilustrujeme jejich vzájemný vztah. Jádrem bakaláˇrské práce jsou lineárn´ı di- ferenˇcn´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty, pro které pˇredstav´ıme návod, jak nalézt jejich ˇreˇsen´ı (obecné i partikulárn´ı). V posledn´ı kapitole tyto znalosti vyuˇzijeme na ˇreˇsen´ı konkrétn´ıch pˇr´ıklad˚u, se kterými se m˚uˇzeme setkat v praxi.

(15)

1 Uvod do teorie diferenc´ı ´

Neˇz si pˇredstav´ıme samotné diferenˇcn´ı rovnice, je potˇreba zavést dva d˚uleˇzité pojmy.

Jedn´ım z nich je diference, t´ım druhým pojmem je potom sumace. Bez znalosti obou tˇechto term´ın˚u nen´ı moˇzné se posunout dále. V této kapitole si tedy nejprve zavedeme samotný pojem diference, ukáˇzeme si diferenci 1. ˇrádu, jej´ı grafické znázornˇen´ı a diferenci vyˇsˇs´ıch ˇrád˚u. Následuj´ı diference nˇekterých elementárn´ıch funkc´ı, z nichˇz d˚uleˇzité jsou pro nás zejména polynomy. Posledn´ı sekci vˇenujeme sumac´ım. Definice daných pojm˚u jsou pˇrevzaty z knihy [5].

1.1 Term´ın diference

Pokud v matematice hovoˇr´ıme o diferenci, máme na mysli, jak jiˇz název napov´ıdá, rozd´ıl, konkrétnˇe rozd´ıl dvou funkˇcn´ıch hodnot.

Definice 1. Je dán bod x₀ a ˇc´ıslo h > 0. Necht’ funkce f (x) je definována v bodech x₀ a x₀ + h. Diferenc´ı funkce f (x) v bodˇe x₀ nazýváme rozd´ıl f (x₀ + h) − f (x₀) a znaˇc´ıme ji ∆f (x₀).

Pro názornost si ukáˇzeme diferenci na pˇr´ıkladech lineárn´ı a kvadratické funkce.

Pˇr´ıklad 1. Vypoˇc´ıtejte diferenci funkc´ı f₁(x) = 2x − 1 a f₂(x) = 3x²+ 1 v obecn´em bodˇe x₀ pro obecn´y diferenˇcn´ı krok h.

R e ˇs e n´ı: Uˇˇ zit´ım definice diference, m˚uˇzeme ps´at

∆f₁(x₀) = f₁(x₀+ h) − f₁(x₀) = [2(x₀+ h) − 1] − [2x₀− 1] = 2h,

∆f₂(x₀) = f₂(x₀+ h) − f₂(x₀) = [3(x₀+ h)²+ 1] − [3x²₀ + 1] = 6x₀h + 3h². Na prvn´ım pˇr´ıkladu si m˚uˇzeme vˇsimnout, ˇze diferenc´ı dané lineárn´ı funkce je konstanta 2h, zat´ımco v pˇr´ıpadˇe kvadratické (tj. nelineárn´ı) funkce jiˇz hodnota diference záleˇz´ı i na bodu x₀. Lze ukázat, ˇze tato vlastnost plat´ı vˇzdy pro lineárn´ı funkce, nebot’ poˇc´ıtáme-li diferenci funkce f (x) = ax + b v obecném kroku h v bodˇe x₀, m˚uˇzeme to zapsat následovnˇe

∆f (x₀) = f (x₀+ h) − f (x₀) = [a(x₀+ h) + b] − [ax₀+ b] = ah.

Z výˇse uvedeného vyplývá, ˇze diference lineárn´ı funkce je za pˇredpokladu konstantn´ıho diferenˇcn´ıho kroku také konstantn´ı. Tuto vlastnost si pozdˇeji znovu uká- ˇzeme v Sekci1.6 vˇenované diferenc´ım nˇekterých elementárn´ıch funkc´ı.

(16)

Budeme-li nam´ısto jednoho konkrétn´ıho bodu x₀uvaˇzovat body nˇejaké neprázdné mnoˇziny M, m˚uˇzeme pojem diference rozˇs´ıˇrit ve smyslu funkce. Mnoˇzina M bývá v aplikaˇcn´ıch úlohách nejˇcastˇeji reprezentována jako mnoˇzina ekvidistantn´ıch bod˚u, tj.

M = {x₀; x₀+ h; x₀+ 2h, . . .}.

Definice 2. Necht’ funkce f (x) je definov´ana ve vˇsech bodech x ∈ M, kde M 6= ∅.

Potom ∆f (x) je funkce promˇenné x, která kaˇzdému bodu x ∈ M pˇriˇrazuje hodnotu

∆f (x). Tuto funkci naz´yv´ame diferenc´ı funkce f (x) a znaˇc´ıme ji

∆f (x) = f (x + h) − f (x), x ∈ M.

1.2 Geometrick´ e zobrazen´ı diference

Diference lze také snadno graficky zobrazit. Pro názornost uvaˇzujme dvojici lineárn´ı, resp. kvadratické funkce z pˇredchoz´ıho Pˇr´ıkladu 1, resp. Pˇr´ıkladu 2, tj. f₁(x) = 2x−1 a f₂(x) = 3x²+ 1, viz Obrázek 1.1. Zvol´ıme jednotkový diferenˇcn´ı krok a spoˇc´ıtáme diference v bodech {0; 1; 2; 3}, viz Tabulka 1.1, která koresponduje s grafickými výstupy.

Tabulka 1.1: Diference line´arn´ı a kvadratick´e funkce.

x₀ ∆f₁(x₀) ∆f₂(x₀)

0,0 2,0 3,0

1,0 2,0 9,0

2,0 2,0 15,0

3,0 2,0 21,0

Na grafu je zˇretelné (znázornˇeno pˇreruˇsovanou ˇcarou), ˇze v pˇr´ıpadˇe lineárn´ı funkce je diference konstantn´ı, jak jsme si ukázali v pˇredchoz´ı sekci. V pˇr´ıpadˇe polynomu druhého stupnˇe jiˇz diference na dané mnoˇzinˇe bod˚u roste.

1.3 Vztah diference a derivace

Ten, kdo se jiˇz sezn´amil s pojmem derivace, tak se setkal i s diferenc´ı, a aˇckoliv si tento pojem bl´ıˇze nedefinoval, bˇeˇznˇe ho pouˇz´ıval. Uk´aˇzeme si tedy nyn´ı vztah mezi diferenc´ı a derivac´ı funkce a budeme ilustrovat, jak jsou tyto dva term´ıny spolu velmi

´

uzce spjaty.

Pˇripomeˇnme si, jak vypad´a vztah pro v´ypoˇcet derivace funkce (v bodˇe x₀), a to f⁰(x₀) = lim

h→0

f (x₀+ h) − f (x₀)

h = lim

h→0

∆f (x₀)

h = lim

∆x→0

∆y

∆x,

kde ∆x znaˇc´ı pˇr´ır˚ustek v argumentu, tj. ∆x = h. Uvˇedomme si, ˇze v ˇcitateli tohoto zlomku vyuˇz´ıváme vztahu pro výpoˇcet diference funkce f . Pod´ıl ∆y/∆x, který nazveme pomˇerná diference, nám znaˇc´ı velikost pˇr´ır˚ustku funkce na jednotku pˇr´ır˚ustku argumentu.

(17)

Obrázek 1.1: Geometrický význam diference

D´ıky tomuto úzkému vztahu m˚uˇzeme derivaci pomˇernou diferenc´ı aproximovat, ˇcehoˇz lze ˇcasto vyuˇz´ıt v pˇr´ıpadech, kdy neznáme analytický pˇredpis funkce, a nejsme tak schopni urˇcit derivaci dle známých pravidel. Vztah mezi diferenc´ı a derivac´ı ilustrujeme na následuj´ıc´ım pˇr´ıkladˇe.

Pˇr´ıklad 2. Vypoˇc´ıtejte pˇresnou a pˇribliˇznou hodnotu derivace funkce f (x) = 3x²+ 1 v bodˇe x0 = 1 s diferenˇcn´ım krokem h ∈ {1,0; 0,5; 0,25; 0,125; 0,01; 0,001}.

R e ˇs e n´ı: Derivace funkce v obecn´ˇ em bodˇe je f⁰(x₀) = 6x₀, resp. v bodˇe x₀ = 1 je f⁰(1) = 6. Pˇribliˇznou hodnotu derivace vyjádˇr´ıme pomoc´ı pomˇerných diferenc´ı pro jednotlivé diferenˇcn´ı kroky, viz Tabulka 1.2, která ilustruje konvergenci pomˇerných diferenc´ı k derivaci pro h → 0+. Pro lepˇs´ı ilustraci pˇrikládáme také Obrázek1.2.

Tabulka 1.2: Vztah mezi pomˇernou diferenc´ı a derivac´ı funkce.

h x0+ h f (x0+ h) ∆f (x0) ^{∆f (x}_h ⁰⁾

1,000 2,000 13,00000 9,000000 9,000

0,500 1,500 7,750000 3,750000 7,500

0,250 1,250 5,687500 1,687500 6,750

0,125 1,125 4,796875 0,796875 6,375

0,010 1,010 4,060300 0,060300 6,030

0,001 1,001 4,006003 0,006003 6,003

analytick´a hodnota f⁰(x₀) 6,0

(18)

Obr´azek 1.2: Vztah diference a derivace

1.4 Diference vyˇ sˇ s´ıch ˇ r´ ad˚ u

Analogicky, jako pro derivace vyˇsˇs´ıch ˇrád˚u, um´ıme pojmenovat a definovat i diference vyˇsˇs´ıch ˇrád˚u, které se zavádˇej´ı obdobnˇe, a to rekurentn´ım postupem.

Pro n´azornost mˇejme ∆f (x) jako funkci promˇenn´e x a oznaˇcme ∆f (x) = g(x).

Je-li funkce g(x) definována v bodech x a x + h, m˚uˇzeme spoˇc´ıtat diferenci i této funkce g(x) jako ∆g(x) = g(x + h) − g(x). Po dosazen´ı za g(x) z´ıskáme

∆g(x) = [f (x + 2h) − f (x + h)] − [f (x + h) − f (x)]

= f (x + 2h) − 2f (x + h) + f (x).

Vztah výˇse je diference druhého ˇrádu a lze tedy ˇr´ıci, ˇze funkce ∆g(x) = ∆(∆f (x)) je druhou diferenc´ı funkce f (x).

Pojd’me se ale obecnˇe pod´ıvat na diferenci vyˇsˇs´ıho, respektive n-tého ˇrádu. Di- ferenci n-tého ˇrádu lze z´ıskat dvˇema zp˚usoby. Nejprve si ukáˇzeme prvn´ı moˇznost, kdy postupnˇe poˇc´ıtáme diference vˇsech niˇzˇs´ıch ˇrád˚u, coˇz ˇcasto nen´ı efektivn´ı zp˚usob ˇreˇsen´ı.

Definice 3. Necht’ pro x ∈ M jsou definovány hodnoty f (x), f (x + h), f (x + 2h), . . . , f (x + nh), kde h je dané kladné ˇc´ıslo a n je pˇrirozené ˇc´ıslo. Potom n-tou diferenci funkce f (x), kterou znaˇc´ıme ∆ⁿf (x), definujeme rekurentnˇe vzorcem

∆ⁿf (x) = ∆(∆ⁿ⁻¹f (x)), pro n ≥ 2, kde klademe ∆¹f (x) = ∆f (x), x ∈ M.

(19)

Poznámka 1. Pokud bychom do ∆ⁿf (x) dosadili za x konkrétn´ı ˇc´ıslo x₀, hovoˇrili bychom o n-té diferenci funkce f v bodˇe x₀. Je d˚uleˇzité si uvˇedomit, ˇze v takovém pˇr´ıpadˇe diference se nejedná o funkci, ale diferenc´ı je jiˇz konkrétn´ı hodnota této funkce.

Pˇr´ıklad 3. Pro funkci f (x) = 3x²+ 1 vypoˇc´ıtejte vˇsechny diference aˇz do tˇret´ıho ˇr´adu vˇcetnˇe v bodech mnoˇziny {0; 1; 2; 3} pro jednotkov´y diferenˇcn´ı krok.

R e ˇs e n´ı: Nejprve si spoˇˇ c´ıtáme jednotlivé diference v obecném bodˇe x₀ a následnˇe dosad´ıme pˇr´ısluˇsné hodnoty, tj.

∆f (x₀) = [3(x₀+ 1)²+ 1] − [3x²₀+ 1] = 6x₀+ 3,

∆²f (x0) = [6(x0+ 1) + 3] − [6x0+ 3] = 6,

∆³f (x₀) = [6] − [6] = 0.

Potom ∆f (0) = 3, ∆f (1) = 9, ∆f (2) = 15 a ∆f (3) = 21. Druhá diference zadané funkce je ve vˇsech bodech mnoˇziny rovna 6. Jelikoˇz diference konstantn´ı funkce je ve vˇsech bodech mnoˇziny rovna 0, tedy i v naˇsem pˇr´ıpadˇe je tˇret´ı diference dané

funkce nulov´a na cel´e mnoˇzinˇe.

Druhým zp˚usobem výpoˇctu diference n-tého ˇrádu je pouˇzit´ı pˇr´ımo (n + 1) fun- kˇcn´ıch hodnot podle n´ıˇze uvedené vˇety [5, Vˇeta I,1].

Vˇeta 1. Necht’ funkce f (x) je definov´ana v bodech x, x + h, . . . , x + nh. Potom

∆ⁿf (x) =n 0

f (x + nh) −n 1

f (x + (n − 1)h) + . . . + (−1)ⁿn n

f (x).

Pˇr´ıklad 4. Pro funkci f (x) = cos(x) vypoˇc´ıtejte ∆³(0) pro diferenˇcn´ı krok h = ^π₃. R e ˇs e n´ı: Pro v´ˇ ypoˇcet pouˇzijeme vzorec z Vˇety 1 pro n = 3, tj.

∆³f (0) = 3 0

cos

0 + 3π 3

−3 1

cos

0 + 2π 3

+ 3 2

cos

0 + π 3

−3 3

cos(0)

= cos(π) − 3 cos 2π 3

+ 3 cosπ 3

− cos(0) = 1.

1.5 Diference element´ arn´ıch funkc´ı

Pro pouˇzit´ı diferenc´ı je dobré pamatovat si v obecném tvaru diference nˇekterých elementárn´ıch funkc´ı. Z tohoto d˚uvodu definujeme n´ıˇze polynom stupnˇe n jako

P_n(x) = a_nxⁿ+ a_n−1xⁿ⁻¹+ . . . + a₁x + a₀, a_n6= 0.

Nenulovou konstantu P₀(x) = a₀ povaˇzujeme za polynom nult´eho stupnˇe.

Nyn´ı se seznám´ıme s diferencemi mocninných, exponenciáln´ıch a vybraných go- niometrických funkc´ı v obecném tvaru podle [5, Vˇeta I,2].

(20)

Vˇeta 2. Pro vˇsechna x ∈ R a pro libovoln´y diferenˇcn´ı krok h plat´ı:

1) Je-li k konstanta, potom ∆k = 0.

2) Pro n = 1, 2, . . . je ∆xⁿ= P_n−1(x), kde P_n−1(x) je jist´y polynom stupnˇe n − 1.

3) Pro q > 0 a q 6= 1 je ∆q^x = cq^x, kde c je jist´a konstanta.

4) Pro libovoln´e ˇc´ıslo k je ∆ sin(kx) = a sin(kx) + b cos(kx), kde a a b jsou jist´e konstanty.

5) Pro libovoln´e ˇc´ıslo k je ∆ cos(kx) = c sin(kx) + d cos(kx), kde c a d jsou jist´e konstanty.

V dalˇs´ım si pˇripomene (bez d˚ukazu) pravidla pro výpoˇcet diferenc´ı obecných funkc´ı v urˇcitém tvaru, viz [5, Vˇeta I,3].

Vˇeta 3. Pro libovoln´e h > 0 a pro vˇsechna x, pro nˇeˇz jsou souˇcasnˇe definov´any

∆f (x) a ∆g(x), plat´ı:

1) Diference souˇctu (resp. rozd´ılu) funkc´ı je rovna souˇctu (resp. rozd´ılu) jejich diferenc´ı, tj.

∆[f (x) ± g(x)] = ∆f (x) ± ∆g(x) 2) Multiplikaˇcn´ı konstantu k lze vytknout pˇred diferenci, tj.

∆[kf (x)] = k∆f (x).

3) Diference souˇcinu funkc´ı splˇnuje vztah

∆[f (x)g(x)] = g(x)∆f (x) + f (x)∆g(x) + ∆f (x)∆g(x).

Pro n´azornost si shrneme, jak je to s diferenc´ı polynom˚u stupnˇe n. Aplikac´ı Vˇety2a Vˇety 3dostaneme, ˇze diferenc´ı funkce P_n(x) je opˇet polynom, avˇsak stupnˇe nejv´yˇse n − 1.

Vˇeta 4. Pro vˇsechna x ∈ R a libovoln´e h > 0 plat´ı

∆P_n(x) = Q_n−1(x), kde Q_n−1(x) je jist´y polynom stupnˇe n − 1.

Pˇr´ıklad 5. Pro funkci f (x) = (x²+ 1)2^x vypoˇc´ıtejte diferenci s jednotkov´ym dife- renˇcn´ım krokem.

R e ˇs e n´ı: Funkce f (x) je utvoˇrena souˇˇ cinem dvou funkc´ı, konkr´etnˇe f₁(x) = (x²+ 1) a f₂(x) = 2^x. Vyuˇzijeme tedy vztah pro v´ypoˇcet diference souˇcinu funkc´ı, kdy

∆f (x) = ∆[f₁(x)f₂(x)] = ∆[(x²+ 1)2^x]

= 2^x∆(x²+ 1) + (x² + 1)∆2^x+ ∆(x²+ 1)∆2^x.

Po dosazen´ı d´ılˇc´ıch diferenc´ı a ´upravˇe z´ısk´ame poˇzadovanou diferenci funkce f (x)

∆f (x) = ∆[(x²+ 1)2^x] = (2x + 1)2^x+ (x²+ 1)2^x+ (2x + 1)2^x

= 2^x(x²+ 4x + 3).

(21)

1.6 Sumace

S pojmem diference je velice úzce spjat term´ın sumace. Analogicky jak spolu souvis´ı pojmy derivace a integrál, tak spolu souvis´ı diference a sumace. Lze totiˇz ˇr´ıci, ˇze sumace je komplementárn´ı operace k diferenci, kdy k dané diferenci funkce hledáme urˇcitou funkci, jej´ıˇz diference je právˇe tato daná funkce. Aˇckoliv um´ıme vypoˇc´ıtat diferenci kaˇzdé funkce (existuj´ı-li funkˇcn´ı hodnoty v bodech x a x + h), sumaci neum´ıme vˇzdy obecnˇe ˇreˇsit. M˚uˇzeme tak sledovat analogii s integráln´ım poˇctem, kde situace, kdy neum´ıme nalézt integrál kaˇzdé elementárn´ı funkce, zat´ımco derivo- vat ji um´ıme, nastává také.

Definice 4. Je dána funkce f (x) definovaná na mnoˇzinˇe M. Necht’ funkce F (x) je taková, ˇze pro x ∈ M je ∆F (x) = f (x). Funkci F (x) nazýváme sumac´ı funkce f (x) v M a znaˇc´ıme

F (x) = ∆⁻¹f (x).

Základn´ı vlastnosti sumace shrnuje následuj´ıc´ı vˇeta pˇrevzatá z [5, Vˇeta II,5].

Vˇeta 5. Necht’ jsou F (x) a G(x) dvˇe funkce, které maj´ı pro x ∈ M stejnou diferenci, tj. ∆F (x) = ∆G(x). Potom F (x) = G(x) + p(x), kde p(x) je libovolná periodická funkce s periodou h.

Speci´alnˇe, bude-li G(x) = 0, je ∆G(x) = 0, plyne z Vˇety 5, ˇze vztahu

∆F (x) = 0 vyhovuje libovolná periodická funkce p(x) s periodou h. Napˇr´ıklad lze psát, ˇze F (x) = k, kde k je libovolná konstanta, tud´ıˇz z vˇety vyplývá, ˇze sumac´ı existuje nekoneˇcnˇe mnoho.

Poznámka 2. Bez újmy na obecnosti se pro snaˇzˇs´ı zápis ve zbylém textu pˇri výpoˇctu sumace omez´ıme pouze na speciáln´ı typ periodické funkce, a to na funkci konstantn´ı.

Analogicky jako u diferenc´ı si v dalˇs´ım pˇripomene (bez d˚ukazu) pravidla pro v´ypo- ˇcet sumac´ı obecn´ych funkc´ı, viz [5, Vˇeta II,6].

Vˇeta 6. Necht’ ∆⁻¹f (x) je sumace funkce f (x) a ∆⁻¹g(x) je sumace funkce g(x), pak plat´ı:

1) Sumace souˇctu (resp. rozd´ılu) funkc´ı je rovna souˇctu (resp. rozd´ılu) jejich sumac´ı, tj.

∆⁻¹[f (x) ± g(x)] = ∆⁻¹f (x) ± ∆⁻¹g(x) 2) Multiplikaˇcn´ı konstantu k lze vytknout pˇred sumaci, tj.

∆⁻¹[kf (x)] = k∆⁻¹f (x).

V prvn´ım pˇr´ıpadˇe (Vˇeta 6, bod 1) hovoˇr´ıme o aditivitˇe a v druhém pˇr´ıpadˇe (Vˇeta6, bod 2) o homogenitˇe operátoru sumace ∆⁻¹, opˇet snadno nalezneme jistou podobnost s vlastnostmi integrálu.

V následuj´ıc´ıch dvou vˇetách pop´ıˇseme sumaci pro polynomy a exponenciáln´ı funkce v obecném tvaru, porovnej s Vˇetou 2, body 2) a 3). D˚ukazy tˇechto vˇet neuvád´ıme, lze je odvodit stejným postupem jako v n´ıˇze uvedených pˇr´ıkladech pro konkrétn´ı funkce.

(22)

Vˇeta 7. Necht’ je dán polynom P_n(x) stupnˇe n. Potom existuje polynom Q_n+1(x) stupnˇe n + 1 takový, ˇze ∆Q_n+1(x) = P_n(x), tj. ∆⁻¹P_n(x) = Q_n+1(x) pro daný libovolný diferenˇcn´ı krok h.

Pˇr´ıklad 6. Urˇcete vˇsechny funkce F (x), x ∈ R, pro neˇz plat´ı F (x) = ∆⁻¹(2x − 1) s krokem h = 0,5.

R e ˇs e n´ı: Jelikoˇˇ z F (x) = ∆⁻¹(2x − 1), m˚uˇzeme ps´at ∆F (x) = 2x − 1, potom F (x + 0,5) − F (x) = 2x − 1.

Z Vˇety 7 a z vlastnost´ı diference v´ıme, ˇze hledaná funkce bude polynom druhého stupnˇe, který m˚uˇzeme zapsat ve tvaru kvadratické funkce ax²+ bx + c. Tedy

[a(x + 0,5)²+ b(x + 0,5) + c] − [ax²+ bx + c] = 2x − 1 a po úpravˇe z´ıskáváme rovnici

ax + 0,25a + 0,5b = 2x − 1.

Metodou neurˇcitých koeficient˚u, tj. porovnán´ım koeficient˚u u pˇr´ısluˇsných mocnin, obdrˇz´ıme a = 2 a 0,25a + 0,5b = −1, tj. b = −3. Výsledkem jsou tedy funkce

F (x) = 2x²− 3x + c,

kde c je jist´a libovoln´a konstanta.

Vˇeta 8. Necht’ q > 0 a q 6= 1, pak pro vˇsechna x ∈ R a pro libovoln´y diferenˇcn´ı krok h plat´ı

∆⁻¹q^x = 1 cq^x, kde c je jist´a nenulov´a konstanta.

Pˇr´ıklad 7. Urˇcete vˇsechny funkce F (x), x ∈ R, pro neˇz plat´ı F (x) = ∆⁻¹2^x s krokem h = 2.

R e ˇs e n´ı: V´ıme, ˇˇ ze F (x) = ∆⁻¹2^x, proto ∆F (x) = 2^x. Dle vlastnost´ı diference m˚uˇzeme ps´at

F (x + 2) − F (x) = 2^x.

Podle Vˇety 8 v´ıme, ˇze hledan´a funkce bude m´ıt tvar ¹_c2^x, proto lze ps´at 1

c2^x+2− 1

c2^x = 2^x,

a z této rovnice vyjádˇrit neznámou c = 3. Nakonec podle Vˇety 5 vˇsechny hledané funkce maj´ı tvar

F (x) = 1

32^x+ K,

kde K je jist´a libovoln´a konstanta.

(23)

2 Diferenˇ cn´ı rovnice

V následuj´ıc´ı kapitole si pˇredstav´ıme jiˇz hlavn´ı téma této práce – diferenˇcn´ı rovnice – a pop´ıˇseme jejich klasifikaci. Nejprve si ukáˇzeme diferenˇcn´ı rovnice 1. a 2. typu a jak je lze mezi sebou pˇrevádˇet. U diferenˇcn´ıch rovnic 2. typu si dále uvedeme rovnice prvn´ıho a vyˇsˇs´ıho, resp. k-tého ˇrádu. Následnˇe pˇredvedeme jejich pˇrevody na rekurentn´ı vzorce. Seznám´ıme se také s pojmem ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ı rovnice, které lze reprezentovat vzorcem pro n-tý ˇclen posloupnosti, jeˇz splˇnuje pˇredem daný vztah.

2.1 Typy diferenˇ cn´ıch rovnic a jejich ˇ reˇ sen´ı

Nejprve pˇredstav´ıme definici diferenˇcn´ı rovnice, jeˇz je analogická definici diferenciáln´ı rovnice, jestliˇze derivace nahrad´ıme diferencemi pˇr´ısluˇsného ˇrádu. Definice jsou pˇre- vzaty z knihy [5].

Definice 5. Necht’ pro vˇsechna x ∈ M je definov´ana funkce f (x, y, ∆y, ∆²y, . . . , ∆^ky).

Rovnici tvaru

f (x, y, ∆y, ∆²y, . . . , ∆^ky) = 0,

ve které je neznámou funkce y(x), nazýváme diferenˇcn´ı rovnic´ı k-tého ˇrádu 1. typu.

Partikulárn´ım ˇreˇsen´ım této rovnice nazýváme kaˇzdou funkci y(x), která pro vˇsechna x ∈ M splˇnuje danou rovnici. Obecným ˇreˇsen´ım nazýváme vzorec zahrnuj´ıc´ı vˇsechna partikulárn´ı ˇreˇsen´ı.

Speciáln´ım pˇr´ıpadem diferenˇcn´ı rovnice 1.typu je rovnice ve tvaru ∆y = f (x), se kterou jsme se jiˇz setkali v úlohách na sumaci, viz Sekce 1.6. Obecné ˇreˇsen´ı této rovnice je tedy

y(x) = F (x) + p(x),

kde p(x) je libovolná periodická funkce s periodou h, resp. jistá libovolná konstanta.

Poznámka 3. Ve zbytku práce se bez újmy na obecnosti omez´ıme na diferenˇcn´ı krok h = 1 a budeme poˇzadovat, aby bod x₀ odpov´ıdal poˇcátku. Tohoto pˇredpokladu lze snadno dosáhnout substituc´ı x = hn + x₀, d´ıky které p˚uvodn´ı definiˇcn´ı obor M = {x₀, x₀+ h, x₀ + 2h, . . . } pˇrejde na mnoˇzinu N0 = {0, 1, 2, . . . }. M˚uˇzeme tak ztotoˇznit y(x) = ϕ(n) a zavést obvyklejˇs´ı znaˇcen´ı ϕ(n + j) = y_n+j, j = 0, 1, 2, . . . , k.

Funkce ϕ(n) definovan´e v mnoˇzinˇe N0 tak odpov´ıdaj´ı posloupnostem y_n.

Uvedenou transformaci nezávislé promˇenné v diferenˇcn´ı rovnici si bl´ıˇze pop´ıˇseme na n´ıˇze uvedeném pˇr´ıkladu.

(24)

Pˇr´ıklad 8. Diferenˇcn´ı rovnici ∆y = xy definovanou pro x ∈ {1,5; 2,0; 2,5; . . .}

pˇreved’te na rovnici s definiˇcn´ım oborem N0.

R e ˇs e n´ı: Pro pˇrevod se hled´ˇ a taková transformace, která pˇrevád´ı dané definiˇcn´ı obory, a to podle vzorce

n = x − x₀ h ,

kde h = 0,5 a x0 = 1,5. Po dosazen´ı tˇechto hodnot m˚uˇzeme vyj´adˇrit promˇennou x jako x = 0,5n + 1,5. Nyn´ı se tento v´yraz dosad´ı do p˚uvodn´ı rovnice, ˇc´ımˇz se pˇrevede tato rovnice na diferenˇcn´ı rovnici s definiˇcn´ım oborem N0, tj.

∆y = (0,5n + 1,5)y.

V dalˇs´ım se budeme zabývat alternativn´ım vyjádˇren´ım diferenˇcn´ı rovnice na mno- ˇzinˇe N0 jakoˇzto rovnice 2. typu. Vyjádˇr´ıme-li v diferenˇcn´ı rovnici 1. typu vˇsechny diference podle Vˇety 1, tj.

∆y = ϕ(n + 1) − ϕ(n) = y_n+1− y_n

∆²y = ϕ(n + 2) − 2ϕ(n + 1) + ϕ(n) = y_n+2− 2y_n+1+ y_n ...

∆^ky = ϕ(n + k) − kϕ(n + k − 1) +k 2

ϕ(n + k − 2) − . . . + (−1)^kϕ(n)

= y_n+k− ky_n+k−1+k 2

y_n+k−2− . . . + (−1)^ky_n

a slouˇc´ıme-li ve funkci f (x, y, ∆y, ∆²y, . . . , ∆^ky) ˇcleny se stejnými indexy, z´ıskáme novou funkci g(n, y_n, y_n+1, y_n+2, . . . , y_n+k). T´ımto postupem z´ıskáme nové vyjádˇren´ı p˚uvodn´ı diferenˇcn´ı rovnice, viz definice n´ıˇze.

Definice 6. Necht’ funkce g(n, yn, yn+1, yn+2, . . . , yn+k), kde yn+j = ϕ(n + j), je definov´ana pro vˇsechna n ∈ N0. Rovnice tvaru

g(n, y_n, y_n+1, y_n+2, . . . , y_n+k) = 0,

ve které je neznámou funkce (posloupnost) y_n = ϕ(n), nazýváme diferenˇcn´ı rovnic´ı 2. typu. Jestliˇze jsou v této rovnici koeficienty u y_n a y_n+k pro vˇsechna n ∈ N0

nenulové, ˇr´ıkáme, ˇze rovnice je k-tého ˇrádu.

Obecným ˇreˇsen´ım diferenˇcn´ı rovnice 2. typu k-tého ˇrádu budeme nazývat takové ˇreˇsen´ı y_n = ϕ(n), které obsahuje k libovolných nezávislých konstant C₁, C₂, . . . , C_k, které se nedaj´ı nahradit menˇs´ım poˇctem obecných konstant.

Partikulárn´ı ˇreˇsen´ı je zvláˇstn´ı pˇr´ıpad obecného ˇreˇsen´ı, ve kterém za obecné konstanty dosad´ıme urˇcité ˇc´ıselné hodnoty.

Pˇri sestavován´ı partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı je tedy potˇreba urˇcit hodnoty konstant C₁, C₂, . . . , C_k. Tyto hodnoty se stanov´ı z poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek, které tvoˇr´ı prvn´ıch k ˇclen˚u posloupnosti y0, y1, . . . , yk−1.

V definici obecného ˇreˇsen´ı se setkáváme s pojmem nezávislých konstant, který je

´

uzce spjat s definic´ı tzv. lineárnˇe nezávislých funkc´ı. Vzájemný vztah ilustrujeme také na pˇriloˇzeném pˇr´ıkladˇe.

(25)

Definice 7. ˇR´ık´ame, ˇze funkce ϕ₁(n), ϕ₂(n), . . . , ϕ_k(n), spoleˇcnˇe definovan´e na N0

jsou lineárnˇe závislé v mnoˇzinˇe N0, jestliˇze existuje aspoˇn jedna konstanta C_j 6= 0, j = 1, 2, . . . , k, tak, aby pro vˇsechna n ∈ N0 platila rovnice

C₁ϕ₁(n) + C₂ϕ₂(n) + . . . + C_kϕ_k(n) = 0.

Nen´ı-li tomu tak, pak ˇr´ıkáme, ˇze funkce ϕ₁(n), ϕ₂(n), . . . , ϕ_k(n) jsou lineárnˇe nezá- vislé.

Pˇr´ıklad 9. Dokaˇzte, ˇze funkce 9ⁿ a 3²ⁿ⁺¹ jsou lineárnˇe závislé v mnoˇzinˇe N0. R e ˇs e n´ı: Podle definice hled´ˇ ame konstanty C₁ a C₂ takové, ˇze plat´ı

C1 · 9ⁿ+ C2· 3²ⁿ⁺¹ = 0.

Výˇse uvedenou rovnici uprav´ıme a vydˇel´ıme ˇclenem 9ⁿ, ˇc´ımˇz z´ıskáme novou rovnici o dvou neznámých, tj.

C₁+ 3C₂ = 0.

Jednoduchou úpravou zjist´ıme, ˇze C₁ = −3C₂, kde C₂ klademe libovolné nenulové.

Protoˇze existuje alespoˇn jedno netriviáln´ı ˇreˇsen´ı rovnice C₁ · 9ⁿ+ C₂· 3²ⁿ⁺¹ = 0, jsou funkce 9ⁿ a 3²ⁿ⁺¹ lineárnˇe závislé.

Pro ovˇeˇren´ı lineárn´ı nezávislosti funkc´ı v mnoˇzinˇe N0 se v teorii diferenˇcn´ıch rovnic pouˇz´ıvá následuj´ıc´ı vlastnosti vycházej´ıc´ı z ˇreˇsitelnosti soustav lineárn´ıch al- gebraických rovnic. Pro detailnˇejˇs´ı výklad odkáˇzeme ˇctenáˇre na [5, Vˇety III,1-2]

a uvedeme zde pouze postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky pro line´arn´ı nez´avislost.

Vˇeta 9. K tomu, aby funkce ϕ1(n), ϕ2(n), . . . , ϕk(n) byly lineárnˇe nezávislé v mno- ˇzinˇe N0 staˇc´ı, aby byl aspoˇn pro jedno n ∈ N0 determinant

ϕ1(n) · · · ϕk(n)

∆ϕ₁(n) · · · ∆ϕ_k(n) ... . .. ...

∆^k−1ϕ₁(n) · · · ∆^k−1ϕ_k(n)

6= 0,

resp. determinant

ϕ₁(n) · · · ϕ_k(n) ϕ₁(n + 1) · · · ϕ_k(n + 1)

... . .. ...

ϕ₁(n + k − 1) · · · ϕ_k(n + k − 1)

6= 0.

(26)

2.2 Vz´ ajemn´ e pˇ revody rovnic a rekurentn´ı vzorce

V literatuˇre se obvykle setkáme s definic´ı diferenˇcn´ı rovnice 2. typu vˇcetnˇe definice jej´ıho ˇrádu. Na následuj´ıc´ıch pˇr´ıkladech si ukáˇzeme vzájemné pˇrevody mezi dife- renˇcn´ımi rovnicemi 1. a 2. typu, a ˇze ˇrád rovnice nemus´ı být pˇri pˇrevodu zachován.

Pˇr´ıklad 10. Rovnici 1. typu ∆²y−2∆y−3y = x s krokem h = 1 pˇreved’te na rovnici 2. typu a urˇcete ˇr´ad rovnice.

R e ˇs e n´ı: Zavedeme-li pˇrirozen´ˇ e znaˇcen´ı x = n a y = y_n, pak z vlastnost´ı diference v´ıme, ˇze

∆y = y_n+1− y_n, ∆²y = y_n+2− 2y_n+1+ y_n. Po dosazen´ı do zad´an´ı z´ısk´ame

y_n+2− 2y_n+1+ y_n− 2(y_n+1− y_n) − 3y_n= n, a n´aslednou ´upravou

y_n+2− 4y_n+1 = n.

Hledan´a rovnice 2. typu vˇsak nen´ı rovnic´ı 2. ˇr´adu, nebot’ substituc´ı m = n + 1 pˇrejde na rovnici

y_m+1− 4y_m = m − 1,

která je pouze 1. ˇrádu. M˚uˇzeme si vˇsimnout, ˇze pˇri pˇrevodu rovnice nez˚ustal jej´ı ˇrád

zachov´an.

Pˇr´ıklad 11. Rovnici y_n+2+ y_n+1− y_n= 0 pˇreved’te na rovnici 1. typu s definiˇcn´ım oborem N⁰ a urˇcete ˇr´ad rovnice.

R e ˇs e n´ı: Opˇˇ et vych´az´ıme z vlastnost´ı diference, kdy

∆y = y_n+1− y_n, ∆²y = y_n+2− 2y_n+1+ y_n. Oznaˇc´ıme-li y_n= y, pak snadno vyj´adˇr´ıme ˇcleny

y_n+1 = ∆y + y

y_n+2 = ∆²y + 2(∆y + y) − y = ∆²y + 2∆y + y.

Po dosazen´ı do p˚uvodn´ı rovnice 2. typu máme rovnici (∆²y + 2∆y + y) + (∆y + y) − y = 0, kterou dále uprav´ıme a z´ıskáme rovnici 1. typu, jej´ıˇz ˇrád je 2, tj.

∆²y + 3∆y + y = 0.

V závˇeru této kapitoly ukáˇzeme, ˇze ve speciáln´ım pˇr´ıpadˇe m˚uˇzeme diferenˇcn´ı rovnici 2. typu reprezentovat pomoc´ı rekurentn´ıch vzorc˚u pro posloupnosti, nebot’

(27)

pracujeme na mnoˇzinˇe N0. Uvaˇzujeme tedy obecn´y tvar diferenˇcn´ı rovnice 2. typu s definiˇcn´ım oborem N0, tj.

g(n, y_n, y_n+1, y_n+2, . . . , y_n+k) = 0, kde y_n znaˇc´ı n-t´y ˇclen posloupnosti.

Podaˇr´ı-li se nám z této rovnice explicitnˇe vyjádˇrit nejvyˇsˇs´ı ˇclen dané posloupnosti, tj. nalezneme-li funkci G tak, ˇze plat´ı

y_n+k = G(n, y_n, y_n+1, y_n+2, . . . , y_n+k−1),

z´ıskáme obecný rekurentn´ı vzorec pro posloupnost y_n. V tomto rekurentn´ım vzorci je hodnota (n+k)-tého ˇclenu posloupnosti vyjádˇrena pomoc´ı jej´ıch k pˇredcházej´ıc´ıch ˇclen˚u a nezávislé promˇenné n.

Pˇr´ıklad 12. Odvod’te rekurentn´ı vzorec pro partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ı rovnice y_n+2− y_n+1− y_n = 0

s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y₀ = 0 a y₁ = 1. Vypoˇc´ıtejte prvn´ıch 10 ˇclen˚u.

R e ˇs e n´ı: Z poˇˇ cáteˇcn´ıch podm´ınek známe hodnoty y₀ = 0 a y₁ = 1. Vyjádˇr´ıme-li ze zadán´ı nejvyˇsˇs´ı ˇclen

y_n+2 = y_n+1+ y_n,

zjist´ıme, ˇze nová hodnota se vypoˇc´ıtá jako souˇcet dvou pˇredchoz´ıch hodnot. Tato vlastnost je charakteristická pro tzv. Fibonacciho posloupnost, kterou se nazývá nekoneˇcná posloupnost pˇrirozených ˇc´ısel prvnˇe popsaná italským matematikem Leo- nardem Pisánským na pˇr´ıkladu o r˚ustu populace král´ık˚u.

Prvn´ıch 10 ˇclen˚u této posloupnosti nabývá následuj´ıc´ıch hodnot y₀ = 0, y₁ = 1, y₂ = 1, y₃ = 2, y₄ = 3, y₅ = 5, y₆ = 8, y₇ = 13, y₈ = 21 a y₉ = 34.

(28)

3 Line´ arn´ı diferenˇ cn´ı rovnice

Nyn´ı se pozastav´ıme nad problematikou lineárn´ıch diferenˇcn´ıch rovnic – speciáln´ı tˇr´ıdou diferenˇcn´ıch rovnic – jeˇz zavedeme pomoc´ı diferenˇcn´ı rovnice 2. typu defino- vané v mnoˇzinˇe N0, viz [5].

Definice 8. Diferenˇcn´ı rovnice tvaru

a₀(n)y_n+ a₁(n)y_n+1+ a₂(n)y_n+2+ . . . + a_k(n)y_n+k = b(n),

kde b(n), a0(n), a1(n), . . . , ak(n) jsou libovolné posloupnosti definované v N⁰, pˇriˇcemˇz a₀(n) 6= 0 a a_k(n) 6= 0 pro n ∈ N0, nazýváme lineárn´ımi diferenˇcn´ımi rovnicemi k-tého ˇrádu s nekonstantn´ımi koeficienty a pravou stranou. Posloupnosti a₀(n), a1(n), a2(n), . . . , ak(n) nazýváme koeficienty a b(n) pravou stranou.

Tato práce vˇsak bude zamˇeˇrena na ˇreˇsen´ı lineárn´ıch diferenˇcn´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty, tud´ıˇz vˇsechny posloupnosti a₀(n), a₁(n), . . . , a_k(n) budou konstantn´ı, tj. a0(n) = a0, a1(n) = a1, . . . , ak(n) = ak, kde aj ∈ R, 0 ≤ j ≤ k. Opˇet pˇredpokládáme, ˇze a₀ 6= 0 a a_n 6= 0. Pokud bude b(n) = 0 (nulová posloupnost), ˇr´ıkáme, ˇze se jedná o lineárn´ı diferenˇcn´ı rovnici bez pravé strany, nazývanou také homogenn´ı lineárn´ı diferenˇcn´ı rovnice, tedy

k

X

j=0

a_jy_n+j = 0. (HLDR)

V opaˇcném pˇr´ıpadˇe, je-li b(n) 6= 0, se jedná o lineárn´ı diferenˇcn´ı rovnici s pravou stranou, nazývanou také nehomogenn´ı lineárn´ı diferenˇcn´ı rovnice, tedy

k

X

j=0

a_jy_n+j = b(n). (NLDR)

Neˇz si ukáˇzeme postup ˇreˇsen´ı lineárn´ıch diferenˇcn´ıch rovnic, at’ uˇz homogenn´ıch nebo nehomogenn´ıch, uvedeme si existenˇcn´ı vˇetu pro lineárn´ı diferenˇcn´ı rovnici, jej´ıˇz formulace je pˇrevzata z [5, Vˇeta IV,1].

Vˇeta 10. Necht’ je dáno k hodnot: y_c, y_c+1, . . . , y_c+k−1 v k po sobˇe jdouc´ıch bodech z definiˇcn´ıho oboru N0 lineárn´ı diferenˇcn´ı rovnice (NLDR) k-tého ˇrádu. Potom existuje v N0 jediné ˇreˇsen´ı rovnice (NLDR), které nabývá pˇredepsaných hodnot y_c, y_c+1, . . . , y_c+k−1 v daných bodech c, c + 1, . . . , c + k − 1.

(29)

Nutno podotknout, ˇze tvrzen´ı Vˇety10, aˇckoliv to nen´ı pˇr´ımo zm´ınˇeno, plat´ı i pro homogenn´ı lineárn´ı diferenˇcn´ı rovnici, poloˇz´ıme-li b(n) = 0. V dalˇs´ım se budeme zabývat otázkou, jakého tvaru jsou ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR).

Vˇeta 11. Necht’ ϕ₁(n) a ϕ₂(n) jsou dvˇe r˚uzn´a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR).

Potom posloupnost

y_n = C₁ϕ₁(n) + C₂ϕ₂(n), C₁, C₂ ∈ R, je tak´e ˇreˇsen´ım rovnice (HLDR).

Známe-li tedy partikulárn´ı ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR), potom jsme schopni naj´ıt nekoneˇcnˇe mnoho dalˇs´ıch ˇreˇsen´ı jako lineárn´ı kombinaci tˇechto partikulárn´ıch ˇreˇsen´ı.

Z Vˇety 11plyne d˚usledek, a sice pokud dosad´ıme za konstanty C₁ = C₂ = 0, potom je ˇreˇsen´ım rovnice (HLDR) y_n = 0 · ϕ₁(n) + 0 · ϕ₂(n) = 0 pro n ∈ N0. Tomuto ˇreˇsen´ı ˇr´ıkáme triviáln´ı ˇreˇsen´ı. Kaˇzdá rovnice (HLDR) má tedy triviáln´ı ˇreˇsen´ı y_n = 0.

Pro dalˇs´ı studium dané problematiky se seznám´ıme s pojmem fundamentáln´ıho systému ˇreˇsen´ı.

Definice 9. ˇR´ıkáme, ˇze posloupnosti ϕ₁(n), ϕ₂(n), . . . , ϕ_k(n), které jsou partikulár- n´ım ˇreˇsen´ım (HLDR) v mnoˇzinˇe N0, tvoˇr´ı tzv. fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı, jestliˇze jsou posloupnosti ϕ₁(n), ϕ₂(n), . . . , ϕ_k(n) lineárnˇe nezávislé.

V praktických úlohách tak lineárn´ı nezávislost pˇr´ısluˇsné mnoˇziny funkc´ı ovˇeˇruje- me podle Vˇety9. Následuj´ıc´ı vˇeta z [5, Vˇeta IV,5] popisuje vztah mezi partikulárn´ım ˇreˇsen´ım rovnice (HLDR) a jej´ım pˇr´ısluˇsným fundamentáln´ım systémem.

Vˇeta 12. Necht’ funkce ϕ₁(n), ϕ₂(n), . . . , ϕ_k(n) tvoˇr´ı fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR) v N⁰. Necht’ ϕ(n) je libovolné partikulárn´ı ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR) v N0. Potom existuj´ı konstanty C₁, C₂, . . . , C_k tak, ˇze

ϕ(n) =

k

X

j=1

C_jϕ_j(n).

Známe-li fundamentáln´ı systém ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR), tak jako d˚usledek Vˇety12 lze odvodit tvar obecného ˇreˇsen´ı této rovnice, tj.

y_n^H = C₁ϕ₁(n) + C₂ϕ₂(n) + · · · + C_kϕ_k(n) kde C₁, C₂, . . . , C_k jsou libovoln´e konstanty.

Pro sestaven´ı obecn´eho ˇreˇsen´ı rovnice (NLDR) se pak pouˇzije n´asleduj´ıc´ı vˇeta, viz [5, Vˇeta IV,6].

Vˇeta 13. Necht’ y^H_n = Pk

j=1C_jϕ_j(n) je obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR) a necht’

y_n^P = ψ(n) je partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı rovnice (NLDR). Potom obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice (NLDR) je funkce

y_n= y^H_n + y_n^P.

V následuj´ıc´ıch ˇcástech se podrobnˇeji pod´ıváme na postup hledán´ı ˇreˇsen´ı lineár- n´ıch diferenˇcn´ıch rovnic, a to jak homogenn´ıch, tak tˇech nehomogenn´ıch. Daná látka je koncipována pouze jako návod, jak nalézt ˇreˇsen´ı, doplnˇená komentáˇrem bez d˚ukaz˚u jednotlivých tvrzen´ı. Pro detailn´ı výklad vˇcetnˇe d˚ukaz˚u odkáˇzeme ˇctenáˇre na zdroje [2] a [5].

(30)

3.1 Postup ˇ reˇ sen´ı homogenn´ıch line´ arn´ıch

diferenˇ cn´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty

Nejprve budeme hledat netrivi´aln´ı ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR), tj. rovnice tvaru a0yn+ a1yn+1+ · · · + akyn+k = 0,

kde a₀, a₁, . . . , a_k ∈ R jsou dan´e konstanty, pˇriˇcemˇz a0 6= 0 a a_k 6= 0. Potom rovnici a₀+ a₁λ + · · · + a_kλ^k = 0,

nazveme charakteristickou rovnic´ı diferenˇcn´ı rovnice. Tuto rovnici z´ıskáme dosazen´ım partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı y_n = λⁿdo rovnice, kde λ ∈ C je konstanta, a následným vydˇelen´ım celé rovnice λⁿ. Vzhledem k tomu, ˇze hledáme netriviáln´ı ˇreˇsen´ı, tud´ıˇz pˇredpokládáme y_n 6= 0, resp. λ 6= 0, m˚uˇzeme tento krok provést. Tento pˇredpoklad je splnˇen, protoˇze a₀ 6= 0, a tak charakteristická rovnice nemá nulový koˇren.

M˚uˇzeme si vˇsimnout, ˇze tato charakteristická rovnice neobsahuje promˇennou n, ale pouze jednu neznámou λ. Pˇrecház´ıme tedy z diferenˇcn´ı rovnice na algebraickou rovnici k-tého stupnˇe s neznámou λ. Tato rovnice má nejvýˇse k r˚uzných koˇren˚u, které urˇcuj´ı dalˇs´ı postup. Koˇreny charakteristické rovnice mohou být reálné i kom- plexnˇe sdruˇzené, kladné i záporné, r˚uzné i v´ıcenásobné. V následuj´ıc´ıch ˇcástech si rozebereme jednotlivé moˇznosti.

A) Koˇreny charakteristické rovnice jsou jednonásobné reálné r˚uzné.

Pokud má charakteristická rovnice k r˚uzných reálných kladných koˇren˚u λ₁, . . . , λ_k, obecné ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné rovnice (HLDR) m˚uˇzeme zapsat ve tvaru

y_n^H = C₁λⁿ₁ + C₂λⁿ₂ + · · · + C_kλⁿ_k, kde C₁, C₂, . . . , C_k jsou libovoln´e konstanty.

Situace je ponˇekud komplikovanˇejˇs´ı v pˇr´ıpadˇe záporných reálných koˇren˚u, jelikoˇz hodnota λⁿ, je-li n ∈ R, leˇz´ı obecnˇe v oboru komplexn´ıch ˇc´ısel. Tato situace vˇsak nenastane pro n ∈ N0, kdy z´ıskáme pˇr´ımo reálné ˇreˇsen´ı y_n, proto tuto moˇznost nebereme v potaz a výˇse uvedený vzorec pro y_n^H plat´ı i pro pˇr´ıpad λ_j < 0.

B) Charakteristická rovnice má komplexnˇe sdruˇzené jednonásobné koˇreny.

Má-li charakteristická rovnice komplexn´ı koˇreny λ_1,2 = r(cos(ω) ± i sin(ω)), potom partikulárn´ı ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR) m˚uˇzeme zapsat jako dvojici reálných ˇreˇsen´ı

ϕ₁(n) = rⁿcos(ωn), ϕ₂(n) = rⁿsin(ωn),

která jsou lineárnˇe nezávislá. Tedy za ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR) m˚uˇzeme pak povaˇzovat i funkci

ϕ_1,2(n) = rⁿ(C₁cos(ωn) + C₂sin(ωn)) ,

(31)

kde C₁ a C₂ jsou opˇet libovoln´e konstanty.

C) Charakteristická rovnice má v´ıcenásobný (s-násobný) koˇren.

V tomto pˇr´ıpadˇe lze charakteristickou rovnici zapsat ve tvaru souˇcinu (λ − λ₁)^sP_k−s(λ) = 0,

kde P_k−s(λ) je nenulov´y polynom stupnˇe k − s.

Pˇredpokládejme nejprve, ˇze daná charakteristická rovnice má s-násobný reálný koˇren λ₁, pˇriˇcemˇz 1 < s ≤ k. Pak lze sestrojit s lineárnˇe nezávislých partikulárn´ıch ˇreˇsen´ı pˇr´ısluˇsné diferenˇcn´ı rovnice, která maj´ı následuj´ıc´ı tvar

ϕ₁(n) = λⁿ₁, ϕ₂(n) = nλⁿ₁, . . . , ϕ_s(n) = n^s−1λⁿ₁.

Tedy funkci pˇredstavuj´ıc´ı ˇreˇsen´ı rovnice (HLDR) lze pak zapsat souhrnnˇe jako ϕ_1,2,...s(n) = C₁ϕ₁(n) + C₂ϕ₂(n) + · · · + C_sϕ_s(n) = (C₁ + C₂n + · · · + C_sn^s−1)λⁿ₁

= P_s−1(n)λⁿ₁,

kde P_s−1(n) je libovoln´y polynom stupnˇe s − 1 s koeficienty C₁, . . . , C_s.

Aˇckoliv se pˇredchoz´ı pˇr´ıpad týkal reálných v´ıcenásobných koˇren˚u, lze jej s drob- nou úpravou uplatnit i v situaci, kdy charakteristická rovnice má komplexnˇe sdruˇzené koˇreny λ_1,2 = r (cos(ω) ± i sin(ω)). V tomto pˇr´ıpadˇe jsou partikulárn´ımi ˇreˇsen´ımi rovnice (HLDR) funkce

ϕ₁(n) = rⁿcos(ωn), ϕ₃(n) = nrⁿcos(ωn), . . . , ϕ_2s−1(n) = n^s−1rⁿcos(ωn), ϕ₂(n) = rⁿsin(ωn), ϕ₄(n) = nrⁿsin(ωn), . . . , ϕ_2s(n) = n^s−1rⁿsin(ωn), resp. ˇreˇsen´ım (HLDR) je jejich libovolná (netriviáln´ı) lineárn´ı kombinace.

Nyn´ı jsme si rozebrali, jaké mohou nastat situace pˇri ˇreˇsen´ı homogenn´ıch dife- renˇcn´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty. V následuj´ıc´ı ˇcásti si pˇredchoz´ı pˇr´ıpady ilustrujeme na tˇrech konkrétn´ıch pˇr´ıkladech. Jedna úloha bude m´ıt za ˇreˇsen´ı charakte- ristické rovnice reálné r˚uzné koˇreny, druhá úloha reálný v´ıcenásobný koˇren a posledn´ı

´

uloha komplexnˇe sdruˇzen´e koˇreny.

Pˇr´ıklad 13. Naleznˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y_n+2+ 4y_n+1+ 3y_n = 0.

R e ˇs e n´ı: Charakteristick´ˇ a rovnice m´a tvar

λ²+ 4λ + 3 = 0

a koˇreny jsou reálná ˇc´ısla λ₁ = −3 a λ₂ = −1. Potom obecné ˇreˇsen´ı rovnice má tvar y_n = C₁(−3)ⁿ+ C₂(−1)ⁿ, C₁, C₂ ∈ R.

(32)

Pˇr´ıklad 14. Naleznˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y_n+2− 6y_n+1+ 9y_n= 0.

R e ˇs e n´ı: Charakteristick´ˇ a rovnice je tvaru

λ²− 6λ + 9 = 0

a má pouze dvojnásobný reálný koˇren λ_1,2 = 3. Obecné ˇreˇsen´ı dané rovnice pak je y_n= C₁3ⁿ+ C₂n3ⁿ = 3ⁿ(C₁+ C₂n), C₁, C₂ ∈ R.

Pˇr´ıklad 15. Naleznˇete obecn´e ˇreˇsen´ı rovnice y_n+2+ 4y_n= 0.

R e ˇs e n´ı: Koˇreny pˇr´ısluˇsn´ˇ e charakteristick´e rovnice λ²+ 4 = 0

jsou komplexnˇe sdruˇzená ˇc´ısla λ_1,2 = ±2i. Následnˇe tento algebraický tvar komplexn´ıho ˇc´ısla pˇrevedeme na goniometrický tvar, tj. λ_1,2 = 2 cos ^π₂ ± i sin ^π₂.

Potom obecn´e ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ı rovnice lze ps´at jako yn = 2ⁿ

C1cos

πn 2

+ C2sin

πn 2

, C1, C2 ∈ R.

3.2 Postup ˇ reˇ sen´ı nehomogenn´ıch line´ arn´ıch

diferenˇ cn´ıch rovnic s konstantn´ımi koeficienty

Castˇˇ eji neˇz s homogenn´ımi lineárn´ımi diferenˇcn´ımi rovnicemi se setkáváme s nehomogenn´ımi rovnicemi, tedy s rovnicemi s pravou stranou, které maj´ı následuj´ıc´ı tvar

a₀y_n+ a₁y_n+1+ . . . + a_ky_n+k = b(n),

kde a0, a1, ..., ak jsou, stejnˇe jako v pˇredchoz´ı sekci, dané reálné konstanty, pˇriˇcemˇz a₀ 6= 0 a a_k 6= 0.

V závislosti na tvaru pravé strany m˚uˇzeme k ˇreˇsen´ı pouˇz´ıt r˚uzné metody. Má- li pravá strana speciáln´ı tvar, lze pouˇz´ıt metodu odhadu partikulárn´ıho ˇreˇsen´ı, v obecném pˇr´ıpadˇe m˚uˇzeme vˇzdy pouˇz´ıt metodu variace konstant. Obˇe tyto metody si podrobnˇe pop´ıˇseme v této sekci. Poznamenejme na úvod, at’ zvol´ıme jakoukoliv metodu, mus´ıme nejprve naj´ıt obecné ˇreˇsen´ı pˇridruˇzené homogenn´ı rovnice

a₀y_n+ a₁y_n+1+ . . . + a_ky_n+k = 0,

coˇz je podle Vˇety 12, resp. jej´ıho d˚usledku, lineárn´ı kombinace funkc´ı z funda- mentáln´ıho systému ˇreˇsen´ı, tj. y_n^H =Pk

j=1C_jϕ_j(n).

(33)

A) Metoda odhadu partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı

Tuto metodu lze pouˇz´ıt pouze pˇri ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ıch rovnic, kdy na pravé stranˇe jsou speciáln´ı funkce. Pˇresnˇeji jde o funkce, které lze sestavit ze souˇctu, rozd´ılu a souˇcinu funkc´ı k, n^s, qⁿ, sin(αn), cos(αn). Tyto funkce maj´ı tu vlastnost, ˇze jejich diference patˇr´ı opˇet do stejné tˇr´ıdy funkc´ı. Této vlastnosti m˚uˇzeme vyuˇz´ıt i obrácenˇe, tzn. pokud známe výslednou funkci b(n), jeˇz je dána pˇr´ısluˇsnou kombinac´ı výˇse uvedených funkc´ı, bude hledané partikulárn´ı ˇreˇsen´ı také funkce stejného typu. Toto ˇreˇsen´ı urˇc´ıme tak, ˇze do p˚uvodn´ı diferenˇcn´ı rovnice dosad´ıme odhadnutou funkci v obecném tvaru, který pozdˇeji specifikujeme metodou neurˇcitých koeficient˚u.

Zadaná nehomogenn´ı rovnice má tedy poˇzadovaný tvar

k

X

j=0

ajyn+j = qⁿ(Pu(n) cos(αn) + Qv(n) sin(αn)) .

kde P_u(n), resp Q_v(n), je polynom stupnˇe u ≥ 0, resp. v ≥ 0, pˇriˇcemˇz m˚uˇze nastat i q = 1 nebo α = 0.

Má-li charakteristická rovnice koˇreny λ_j 6= q(cos(α) ± i sin(α)), potom parti- kulárn´ı ˇreˇsen´ı hledáme ve tvaru

y_n^P = qⁿ(R_t(n) cos(αn) + S_t(n) sin(αn)) , kde Rt(n) a St(n) jsou polynomy stupnˇe t = max(u, v).

Oproti tomu, plat´ı-li pro nˇekterý koˇren charakteristické rovnice λ_j = q(cos(α) ± i sin(α)), potom partikulárn´ı ˇreˇsen´ı hledáme ve tvaru

y^P_n = n^sqⁿ(Rt(n) cos(αn) + St(n) sin(αn)) , kde s ≥ 1 je násobnost daného koˇrene charakteristické rovnice.

Nakonec výsledné obecné ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı diferenˇcn´ı rovnice zap´ıˇseme ve tvaru yn = y^H_n + y_n^P. Výˇse uvedný postup si nyn´ı uvedeme na dvou konkrétn´ıch pˇr´ıkladech.

Pˇr´ıklad 16. Vyˇreˇste metodou odhadu partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ı rovnici y_n+2− 4y_n= (n − 1)2ⁿ.

R e ˇs e n´ı: Charakteristick´ˇ a rovnice pˇridruˇzen´e homogenn´ı diferenˇcn´ı rovnice m´a tvar λ² − 4 = 0

a jej´ı koˇreny jsou λ₁ = 2 a λ₂ = −2. Tedy obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice je y_n^H = C₁2ⁿ+ C₂(−2)ⁿ, C₁, C₂ ∈ R.

Pravá strana diferenˇcn´ı rovnice je ve tvaru P1(n)qⁿ, kde q = 2 = λ1. Jelikoˇz násobnost tohoto koˇrene charakteristické rovnice je s = 1, hledáme partikulárn´ı ˇreˇsen´ı ve tvaru

y_n^P = n¹qⁿ(an + b) = 2ⁿ(an²+ bn).

(34)

Neurˇcit´e koeficienty a, b ∈ R se z´ıskaj´ı dosazen´ım tohoto odhadu do p˚uvodn´ıho zad´an´ı za y_n a y_n+2, tj.

[2ⁿ⁺²(a(n + 2)²+ b(n + 2)] − 4[2ⁿ(an²+ bn)] = (n − 1)2ⁿ.

Vydˇelen´ım celé rovnice ˇclenem 2ⁿ, roznásoben´ım a upraven´ım výraz˚u se z´ıská rovnice 16an + 16a + 8b = n − 1,

ze které lze pˇrej´ıt k porovnán´ı koeficient˚u u pˇr´ısluˇsných mocnin, tj.

16a = 1 16a + 8b = −1

Tedy a = ₁₆¹ a b = −¹₄, potom hledan´ym partikul´arn´ım ˇreˇsen´ım je y_n^P = n²

16− n 4

2ⁿ.

Nakonec obecn´e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı diferenˇcn´ı rovnice zap´ıˇseme ve tvaru souˇctu y_n= y_n^H + y_n^P = n²

16− n 4 + C₁

2ⁿ+ C₂(−2)ⁿ, C₁, C₂ ∈ R.

Pˇr´ıklad 17. Vyˇreˇste metodou odhadu partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı diferenˇcn´ı rovnici yn+2− 4yn= cos(2n) + 2 sin(2n).

R e ˇs e n´ı: Postup ˇreˇsen´ı tohoto pˇr´ıkladu je stejn´ˇ y jako u pˇr´ıkladu pˇredchoz´ıho. Nej- prve se stanov´ı obecné ˇreˇsen´ı pˇridruˇzené homogenn´ı rovnice, analogicky k pˇredcho- z´ımu Pˇr´ıkladu16m˚uˇzeme psát

y_n^H = C₁2ⁿ+ C₂(−2)ⁿ, C₁, C₂ ∈ R.

Pravá strana diferenˇcn´ı rovnice je nyn´ı tvaru 1ⁿ(P0(n) cos(2n) + Q0(n) sin(2n)). Je- likoˇz ˇc´ıslo ±2i nen´ı koˇrenem charakteristické rovnice, hledáme tak partikulárn´ıˇreˇsen´ı ve tvaru

y^P_n = a cos(2n) + b sin(2n), a, b ∈ R.

Dosazen´ım tohoto odhadu do p˚uvodn´ı diferenˇcn´ı rovnice obdrˇz´ıme

[a cos(2n + 4) + b sin(2n + 4)] − 4[a cos(2n) + b sin(2n)] = cos(2n) + 2 sin(2n), a uˇzit´ım souˇctov´ych vzorc˚u pro goniometrick´e funkce

sin(2n + 4) = sin(2n) cos(4) + cos(2n) sin(4), cos(2n + 4) = cos(2n) cos(4) − sin(2n) sin(4) uprav´ıme na tvar

[a cos(4)−4a+b sin(4)] cos(2n)+[−a sin(4)+b cos(4)−4b] sin(2n) = cos(2n)+2 sin(2n).