(b) Visa att om

TATA79/TEN3 Inledande matematisk analys Tentamen, 2017-04-21

Instruktioner: Svara p˚ a alla uppgifter. Det finns sju uppgifter och varje uppgift kan ge maximalt 3 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant betyg r¨ acker 9 po¨ ang. En tentand som f˚ att f¨ arre ¨ an 9 skrivningspo¨ ang f˚ ar addera intj¨ anade bonuspo¨ ang till sin skrivningspo¨ ang s˚ a l¨ ange summan av bonuspo¨ ang och skrivningspo¨ ang inte ¨ overstiger 9. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och ordentligt skrivna. Inga h¨ alpmedel till˚ atna. Lycka till!

(1) (a) Ge negationen av p˚ ast˚ aendet:

”Alla hundar kan sk¨ alla.”

(b) Visa att om

• n

delat med 7 har rest 2, och

• n

delat med 7 har rest 2, d˚ a har n

n

delat med 7 rest 4.

(2) Visa att

n

X

k=1

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4) 5

f¨ or alla positiva heltal n.

(3) Hitta alla m¨ ojliga par av ickenegativa reella tal a och b s˚ a att √

a + b = √ a + √

b.

(4) (a) Bevisa att

cos(θ) cos(φ) = cos(θ + φ) + cos(θ − φ) 2

f¨ or alla θ, φ ∈ R.

(b) Skriv om sin(θ) cos(φ) p˚ a ett liknande s¨ att, det vill s¨ aga skriv om det till ett uttryck som inneh˚ aller bara trigonometriska funktioner av θ + φ och θ − φ.

Sida 1 av 2 [V¨ and!]

TATA79/TEN3 Inledande matematisk analys Tentamen, 2017-04-21

(5) Kom ih˚ ag att

exp

(x) =  0 om n ≤ |x|, 1 +

om n > |x|, f¨ or positiva heltal n och x ∈ R.

(a) Definiera exponentialfunktionen exp : R → R och talel e.

(b) Visa att

exp

(x) ≤ exp(x) ≤ 1 exp

(−x) om n > |x|.

(c) Anv¨ and (b) f¨ or att visa

 n + 1 n



≤ e ≤  n + 1 n



f¨ or alla n ≥ 3.

(6) (a) Definiera a

f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) Visa att a

= (a

)

f¨ or a > 0 och x, y ∈ R.

(7) Kom ih˚ ag att absolutbeloppet av ett reelt tal x ¨ ar

|x| =  x om x ≥ 0;

−x om x < 0.

(a) Definiera absolutbeloppet |z| av ett komplext tal z och visa att den st¨ ammer

¨ overens med definitionen f¨ or reella tal i fallet imagin¨ ardelen av z ¨ ar noll.

(b) Visa att |zw| = |z||w| for alla komplexa tal z och w.

Sida 2 av 2