INOM
EXAMENSARBETE BYGGTEKNIK OCH DESIGN,
GRUNDNIVÅ, 15 HP ,
STOCKHOLM SVERIGE 2020
Vibrationer i KL-träbjälklag
En granskning av normer & standarder
EMMA BERGHEM
LISETTE SVENSSON
KTH
Sammanfattning
I denna rapport undersöks hur ett KL-träbjälklag dimensioneras med hänsyn till vibrationer. Vibrationerna som beaktas är vibrationer från steg på bjälklaget. Rapporten är uppdelad i två delar. Del 1 är en litteraturstudie av normer och standarder. Del 2 är en beräkningsdel. Beräkningarna som utförs är handberäkningar från två av normerna, en beräkning med hjälp av Calculatis samt beräkningar med FEM-programmet RFEM. Alla beräkningar jämförs med varandra för att undersöka likheter och skillnader i resultaten.
Slutsatsen från litteraturstudien är att det i dagens svenska dimensioneringsstandard (Eurokod 5) saknas bestämmelser för hur KL-trä ska dimensioneras, alla regler är anpassade för träregelbjälklag. Det kommer en uppdatering på Eurokod 5 om några år, ett slutgiltigt utkast på vibrationsdelen har studerats. Utkastet har regler som är anpassade för både KL-träbjälklag och träregelbjälklag.
I beräkningsdelen är resultatet att det finns både skillnader och likheter mellan de olika
beräkningsmetoderna. Egenfrekvenserna är relativt lika mellan de olika
beräkningsmetoderna. Störst skillnad blir det för accelerationerna. Detta eftersom modalmassorna skiljer sig mellan de olika beräkningarna och accelerationsberäkningarna bygger på modalmassan. I Eurokod 5 final draft och RFEM är det tydligt hur modalmassan beräknas medan det är svårt att förstå hur den beräknas i Calculatis.
Abstract
The report aims to investigate norms, standards, guidelines and experience within the industry for how to design CLT (cross-laminated timber) regarding vibrations induced from humans. The following is being researched, ISO137, KL-trähandboken, Eurocode 5 and a new unpublished working draft of Eurocode 5 final working draft, Canadian CLT handbook and Cross-laminated timber structural design according to Eurocode from Austria. The conclusion is that the literature for CLT is non-existent in the current Eurocode 5 which only addresses timber floors with joists, however the new Eurocode draft suggests an update to include CLT which is similar to the norm CLT from Austria.
The report contains a calculation part in which an analysis is conducted for a real project with calculations based on Eurocode 5 and the Eurocode 5 final working draft, the design tool Calculatis and FEM program RFEM. The calculations are compiled and evaluated. The calculation results show differences between the different standards. The natural frequencies are typically the same. The biggest difference is between the accelerations which is in direct relation to the modal mass, and the modal mass differs a lot between the calculations. It is understandable how Eurocode 5 final draft and RFEM calculate the modal mass, but not so for Calculatis as it doesn’t show any calculations in the technical documentation.
Förord
Detta examensarbete har skrivits i samarbete med Byggnadstekniska byrån. Vi vill börja med att tacka våra handledare Jean-Marc Battini från KTH och Anders Hällgren från BTB för all hjälp och inspiration under våra möten. Vi vill även tacka Nicolas Jacquier för tips i modellering i RFEM samt för svar på alla våra olika frågor. Vi vill även tacka alla som har varit med och bidragit till vårt arbete direkt eller indirekt.
Under hela arbetets gång har pandemin (COVID-19) gjort det svårt för oss att ses, arbeta tillsammans och ha fysiska möten. Det vi har saknat mest med att arbeta från olika platser är att de spontana diskussioner som vi tror hade kunnat uppstå hade gett detta arbete ett extra djup.
Innehåll
Sammanfattning ... i
Abstract ... ii
Förord ... iii
Symboler och förkortningar ... 1
1 Introduktion ... 2 1.1 Bakgrund ... 2 1.2 Allmänt om vibrationer ... 2 1.3 Korslimmat trä ... 2 1.4 Syfte ... 3 1.5 Frågeställning... 3 1.6 Avgränsningar ... 3 2 Litteraturstudie ... 4 2.1 Eurokod 5 ... 4 2.1.1 Krav ... 4 2.1.2 Handberäkningar ... 5
2.2 Eurokod 5 ’’final working draft’’ ... 6
2.2.1 Krav ... 6 2.2.2 Dämpning ... 8 2.2.3 Vibrationer från fotsteg ... 8 2.2.4 Styvhetskrav ... 9 2.2.5 Handberäkningar ... 9 2.3 ISO 10137 ... 15
2.3.1 Balkar och bjälklag ... 15
2.3.2 Dynamiska egenskaper för bjälklag ... 15
2.4 KL-trähandboken ... 16
2.5 Canadian CLT handbook (2019) ... 17
2.5.1 Handberäkningar ... 17
2.6 CLT structural Design according to Eurocode (2014) ... 19
2.6.1 Krav ... 19
2.6.2 Dämpning ... 20
2.6.3 Verifikation av vibrationer... 20
2.7 Sammanfattning ... 25
3 Tillämpning projekt ... 25
4 Intervjuver ... 28
4.1 Metod ... 28
4.2 Hur dimensioneras vibrationer i KL-trä i branschen? ... 28
5 Resultat ... 29
5.1 Eurokod 5 ... 29
5.2 Eurokod 5 ’’final working draft’’ ... 31
Symboler och förkortningar
Konstanter:
𝑔 gravitationsonsaccelerationen 9,82 [m/s2]
𝜋 förhållandet mellan cirkelns omkrets och diameter 3,141592 …
𝑒 naturliga logaritmen 2,7182…
Förkortningar:
FEM finita elementmetoden (Finite Element Method) RMS kvadratiskt medelvärd (Root Mean Square) SDOF en frihetsgrad (Single Degree Of Freedom) MDOF flera frihetsgrader (Mulitiple Degrees Of Freedom) KLT korslimmat trä (Cross Laminated Timber)
EK5 Eurokod 5
Symboler:
ζ dämpningskoefficient [% eller decimal] 𝑓1 egenfrekvensen (naturlig frekvens] [Hz]
(EI)l,app styvhet längsgående spännvidden [Nm2/m] (EI)T styvhet tvärgående spännvidden [Nm2/m]
𝐿 spännvidd [m] 𝐵 bredd [m] 𝑣 hastighetsrespons [m/s2] 𝑤 nedböjning [mm] 𝑤1𝑘𝑁 nedböjning av 1kN punktlast [mm] Bef effektiva bredden [m]
𝑎𝑟𝑚𝑠 kvadratiskt medelvärde för accelerationen [m/s2]
F statisk last [N] 𝑀∗ modalmassa [kg] 𝛼 Fouriers koefficient 𝐹0 kraft från gång av person [N] M massa [kg] 𝐼m medelvärde impuls [Ns] 𝑓w gångfrekvens [Hz] 𝑣1.peak topphastighetsrespons [m/s]
𝑣tot.peak total hastighetsrespons [m/s]
𝜌 densitet [kg/m3]
𝐴 area [Nm2]
Ordista:
Kapitel 1
1 Introduktion
1.1 Bakgrund
Byggnader i trä ökar stadigt i Sverige. Först 1994 var det tillåtet att bygga trähus högre än två våningar. Det var nya normer som möjliggjorde högre träbyggnader eftersom brandkraven ändrades (Höynä 2019). Enligt Sveriges träbyggnadskansli (2020) är idag 10% av alla flervåningshus byggda i trä. Intresset för träbyggnader är fortsatt starkt, vilket kommer att leda till en fortsatt ökning av träbyggnader i framtiden.
I början av 1990-talet påbörjades forskning om korslimmat trä (KL-trä) i Österrike. Med hjälp av den forskningen och utvecklingen kan trä idag utmana betong och stål som stommaterial i många olika konstruktioner (Schickhofer, 2019). År 2006 byggdes ett större projekt i KL-trä i Sundsvall. Det räknas som ett av de första KL-trähusen i Sverige (Svenskt Trä). Trots att KL-trä har använts som konstruktionsmaterial i över 10 år i Sverige finns det fortfarande oklarheter i branschen för hur man ska dimensionera KL-trästommar med hänsyn till vibrationer. Studier visar att KL-trä och lätta träbjälklag beter sig olika i fråga om vibrationer (FPInnovations), och skiljer sig från reglat bjälklag.
1.2 Allmänt om vibrationer
Vibrationer och svängningar beaktas i bruksgränstillstånd som orsakar obehag för människor eller som begränsar bärverkets funktion (Eurokod, 2014). Verifiering av de dynamiska laster eller frekvenser som orsakar vibrationer ska utföras ifall brukbarhetskraven kan överstigas. Dynamiska laster är rörliga laster som varierar snabbt med tiden, och kan kategoriseras som harmoniska-, periodiska-, impuls- och slumpvisa laster. Rapporten tar upp vibrationer inducerade av gång från människor. Vid dimensionering av träbyggnader med långa spännvidder brukar bruksgränstillståndet vara dimensionerande. Beroende på byggnadens användning och utformning blir antingen statisk deformation eller vibrationer dimensionerande. Nuvarande normer har mer information för bestämning av statisk deformation än dimensionering av dynamiska egenskaper (Jacquier, 2020).
Vertikala krafter från människor ger upphov till vibrationer i bjälklag och uppmätt frekvens för gång är inom intervallet 1,7–2,5 Hz (Bachmann et al, 1995). Vibrationskällor kan vara från mänsklig aktivitet som gång, springande, hoppande, dansande, maskinvibrationer, fläktar, och externa krafter som trafik och vind. Mänsklig uppfattning av vibrationer beror på om människan är aktiv eller icke aktiv. Det beror också på om det är personen själv som är källan till vibrationerna eller inte, och även hur människan är positionerad, alltså om hen ligger ned, står eller sitter. (ISO 10137).
1.3 Korslimmat trä
plattorna görs i ojämnt antal lager är att det ska vara förutsägbart hur skivan kommer att deformeras. Trä är ett kraftigt ortotropt material med störst bärförmåga längs med fiberriktningen. Det är därför smart att använda sig av korslimning för att utnyttja den starkaste bärriktningen av träet i båda riktningarna av plattan (Svenskt Trä, 2017).
Figur 1.1 sektion av CLT 240 L7s
1.4 Syfte
Syftet med den här rapporten är att genom en litteraturstudie sammanställa normer och standarder gällande dimensionering av vibrationer i KL-trästommar. Samt applicera normer i beräkningar för att undersöka hur kraven nås för att uppnå en byggnad med goda vibrationsegenskaper.
Mål:
1. Kartlägga och sammanställa normer, standarder och branscherfarenhet.
2. Upprätta en FE-modell i R-FEM med underlag från ett verkligt projekt och utföra analys.
3. Analysera och beräkna egenfrekvenser och svängningar enligt normer.
1.5 Frågeställningar
• Vilka normer och rekommendationer finns det för dimensionering av
vibrationer i KL-träbjälklag, är de tillräckliga och vad säger de?
• Vilka är de kritiska faktorerna i vibrationsberäkningarna?
• Hur beaktas vibrationer vid dimensionering i verkliga projekt?
• Hur ska KL-träbjälklag modelleras i FEM för att få ett tillförlitligt resultat?
1.6 Avgränsningar
Kapitel 2
2 Litteraturstudie
Detta kapitel består av en litteraturstudie som syftar till att sammanfatta de viktigaste aspekterna för dimensionering av vibrationer för KL-trä. Kapitlet avslutas med en jämförelse och reflektion mellan de olika normerna. Normer som undersökts är:
1. Eurokod 5
2. Eurokod 5 working ’’final draft’’ för en kommande upplaga av Eurokod 5 3. Standarden ISO 10137
4. KL-trähandboken
5. CLT Handbook från Canadian
6. CLT Structrual design- Basic design and engineering principles according to Eurocode, från Österrike (Pro:Holz)
2.1 Eurokod 5
Eurokod består av 10 stycken olika delar med konstruktionsregler för byggnadsverk, anläggningar och grundläggning. Det är obligatoriskt för alla EU:s medlemsländer att följa konstruktionsreglerna men intresset att följa eurokoderna sträcker sig utanför EU:s gränser (Eurocodes, 2020). Den eurokod som används i det här arbetet är SS-EN 1995-1-1:2004 Eurokod 5: Dimensionering av träkonstruktioner. Den fastställdes 2004 och publicerades 2009. Sektion 2.1 är direkta delar tagna från nämnd norm.
2.1.1 Krav
Dämpning
För bjälklag bör, såvida inte andra värden visas lämpligare, antas en relativ dämpning ζ = 0,01 (d.v.s. 1%).
Egenfrekvens
För bjälklag i bostäder med en egenfrekvens f1 ≤ 8Hz bör en särskild utredning göras.
För bjälklag i bostäder med en egenfrekvens f1 > 8Hz bör följande villkor uppfyllas:
𝑤
𝐹 ≤ 𝑎 mm/kN (2.1)
och
𝑣 ≤ 𝑏(𝑓1𝜁−1) m/Ns2 (2.2)
där:
w är den maximala vertikala omedelbara utböjningen av en vertikal
v är bjälklagets impulshastighetsrespons, dvs den maximala vertikala
initialhastigheten i m/s till följd av en ideal stöt med storleken 1 Ns
anbringad där den ger störst verkan. Från vibrationskomponenter över 40 Hz får bortses;
ζ är relativ dämpning.
Nationella val för Sverige är: a = 1,5 mm/kN, b =100m/Ns2 (Boverket, 2019).
Följande bör beaktas:
1. Det ska påvisas att förväntade laster på bärverk, komponent eller bärverksdel inte ger upphov till vibrationer som skadar konstruktionens funktion eller ger
oacceptabelt obehag för användarna.
2. Nivån på vibrationerna bör bedömas genom mätningar eller genom beräkningar som tar hänsyn till förväntad styvhet och relativ dämpning hos bärverket.
3. Beräkningar på bjälklaget bör göras med antagandet att bjälklaget är obelastat dvs med massan av enbart egentyngden och eventuella andra permanenta laster.
2.1.2 Handberäkningar
För ett rektangulärt bjälklag med måtten b x l fritt upplagt längs sina fyra sidor med
träbjälkar med spännvidden l, får egenfrekvensen f1 beräknas approximativt enligt:
𝑓1 = 𝜋
2𝑙2√ (𝐸𝐼)𝑙
𝑚 Hz (2.3)
där:
m är bjälklagets massa per ytenhet, i kg/m2;
l är bjälklagets spännvidd, i m;
(EI)l är bjälklagets ekvivalenta planböjstyvhet vid böjning kring en axel vinkelrätt
mot bjälkarnas riktning, i Nm2/m.
För ett rektangulärt bjälklag med måtten b x l, fritt upplagt längs sina fyra sidor får v skattas till: 𝑣 =4(0,4 + 0,6𝑛40) 𝑚𝑏𝑙 + 200 m/Ns 2 (2.4) där: v är impulshastighetsresponsen, i m/Ns2;
b är bjälklagets bredd, i m;
l är bjälklagets spännvidd, i m;
m är bjälklagets massa per ytenhet i kg/m2.
Värdet på n40 får beräknas ur:
𝑛40= {((40 𝑓1) 2 − 1) (𝑏 𝑙) 4 (𝐸𝐼) 𝑙 (𝐸𝐼)𝑏} 0,25 (2.5)
där (EI)b bjälklagets ekvivalenta plattböjstyvhet vid böjning kring en axel parallellt
bjälkarnas riktning i Nm2/m; där (EI)b<(EI)l.
2.2 Eurokod 5 ’’final working draft’’
Det här är det slutgiltiga utkastet som kommer bli ett kapitel i Eurokod 5 när den uppdateras. CEN/TC250/SC5/N1241 – SC5.T3 final draft prEN1995-1-1, subtask 7. Beakta att detta inte är publicerade dokument och kan komma att ändras. Originalspråk är engelska och nedan sektion 2.2 är översatt direkt från delar från nämnd norm.
2.2.1 Krav
Transitoriskt bjälklag: f1 > 8 Hz, styvhetskrav (w1kN nedböjning) och hastighetskrav.
Resonant bjälklag: 4,5 Hz< f1< 8 Hz, styvhetskrav (w1kN nedböjning) och accelerationskrav.
Prestanda golvbjälklag
Kriterier Nivå 1 Nivå 2 Nivå 3 Nivå 4 Nivå 5 Nivå 6 Styvhetskrav för alla bjälklag w1kN [mm] ≤ 0,25 0,5 0,8 1,2 1,6 Responsfaktor R 4 8 12 20 30 40 Frekvenskrav för alla f1 [Hz] ≥ 4,5 Accelerationskrav för resonansvibrationer (f1 < 8 [Hz]) designsituationer arms [m/s2] ≤ 0,005 R Hastighetskrav för transienta vibrationer (f1 ≥ 8 [Hz]) designsituationer vrms [m/s] ≤ 0,0001 R
Tabell 2.1. Prestanda golvbjälklag.
Rekommenderade val av nivå beroende på kategori för prestanda för golvbjälklag i kontor och bostäder, visas i tabell 2.2 nedan.
Kategori Kvalitetsval Basval Ekonomiskt val
A (bostad) flerfamiljshus enfamiljshus nivå 1, 2, 3 nivå 1,2, 3, 4 nivå 4 nivå 5 nivå 5 nivå 6
B (kontor) nivå 1, 2, 3 nivå 4 nivå 5
Tabell 2.2. Kategori beroende på golvbjälklagsprestanda.
De scenarion/reaktioner som kan förväntas för en byggnadsdel, komponent eller struktur ska säkerställa att de inte skapar vibrationer som kan försämra funktionen hos strukturen eller orsaka oacceptabelt obehag för användarna.
2.2.2 Dämpning
För golv, såvida inte andra värden har bevisats lämpligare antas modal dämpningskoefficienten till:
- ζ = 0,02 för reglat bjälklag
- ζ = 0,025 för komposit- (trä-betong) och plattbjälklag t.ex. KL-trä-, fanerträ- eller limträbjälklag.
- ζ = 0,03 för reglat bjälklag med flytande golv.
- ζ = 0,04 för komposit- (trä-betong) och plattbjälklag t.ex. KL-trä-, fanerträ- eller limträbjälklag med flytande golv.
Dämpningskoefficienterna kan alternativt fås från testning på plats enligt [EN 16929].
2.2.3 Vibrationer från fotsteg
Massan på bjälklaget bör vara ett unikt värde som inkluderar summan av massan från permanenta laster, egentyngden av bjälklaget samt egentyngden av stödjande eller
upphängda horisontella strukturer, skiljeväggar och en extra massa som motsvarar 10% av den totala pålagda lasten.
I fall av ett kontinuerligt upplagt bjälklag antas den extra massan angripa simultant i alla spann.
Notering 1: Den pålagda massan inkluderar flyttbara objekt (såsom möbler) och även last från människorna i byggnaden.
Notering 2: Skiljeväggar kan skapa fasta golvstöd och på det sättet påverka den första modens utseende och modalmassan.
Alla verifikationer av vibrationer ska ske med samma bjälklagsmassa.
Bjälklagets böjstyvhet bör vara styvheten i den starkaste riktningen i och med att hänsyn tas till skjuvdeformation och skarvar där det är applicerbart t.ex. vid mekaniska
infästningar av balkar eller fackverk.
Böjstyvheten hos det flytande golvet kan tas med i beräkningen av bjälklagets totala böjstyvhet, samtidigt som man försummar all påverkan av sammansatta delar. Flexibiliteten hos bärande balkar eller liknande bör beaktas i beräkningarna.
För golv med öppningar, t.ex. trappor kan golvets vibrationsprestanda approximeras genom att försumma öppningen och genomföra beräkningarna för hela golvytan, förutsatt att arean för öppningen inte överstiger 15% av den totala arean av golvet och att ingen individuell öppningsdimension är större än 40% (d.v.s. i samma riktning) av
Notering: Anledning till förenklingen är för att öppningar oftast förstärks med balkar i kanterna.
2.2.4 Styvhetskrav
Den maximala nedböjningen w1kN från en kraft F=1 kN placerad på den mest ogynnsamma
platsen. Ska vid maximal amplitud från korresponderande vibrationensmod, för en fritt
upplagd strimla med effektiva bredden Bef uppnå kraven från tabell 2.1.
Ett kontinuerligt bjälklag kan konservativt approximeras som en fritt upplagd balk med ett spann, med det maximala spannet från bjälklaget.
Notering: Kontinuerligt upplagda bjälklag kan överföra vibrationer över spannen.
2.2.5 Handberäkningar
Egenfrekvens
För fritt upplagda och kontinuerliga bjälklag, som är approximativt rektangulära i plan och i en eller två riktningar upplagda på fasta stöd, samt till största del belastade av en jämn
last kan egenfrekvensen f1 för bjälklaget bestämmas med ekvation 2.6,
Notering: Ett icke styvt stöd är t.ex. bjälklag som spänner över och bärs av primärbalkar eller spikplattor.
𝑓1 = 𝑘𝑒,1𝑘𝑒,2 𝜋 2𝐿2√ (𝐸𝐼)𝑙,𝑎𝑝𝑝 𝑚 (2.6) där: f1 är bjälklagets egenfrekvens, i Hz;
ke,1 är en multiplikator för frekvensen, i fall av dubbelspann på styvt stöd, tagen
från [Tabell 2.3]. Vid endast ett spann används ke,1 =1,0;
ke,2 är en multiplikator för frekvensen, med hänsyn till transversella styvhets
effekter från [Tabell 2.1]. Vid enkelspänt bjälklag används ke,2=1,0;
L är bjälklagets spännvidd, i m;
m är bjälklagets massa per kvadratmeter, i kg/m2;
(EI)l,app är bjälklagets starkaste styvhet längsgående spännvidden per meter bredd, i
där:
ke,2 är en multiplikator för frekvensen, i fall av dubbelspann på styvt stöd, tagen
från [Tabell 2.3]. Vid endast ett spann används ke,1 =1,0;
B är bjälklagets bredd, i m;
L är bjälklagets spännvidd, i m;
(EI)l,app är bjälklagets styvhet längsgående spännvidden per meter bredd, i Nm2/m;
(EI)T är bjälklagets styvhet tvärgående spännvidden per meter bredd, i Nm2/m;
Ekvation 2.6 kan ersättas med ekvation 2.8 där alla faktorer som berör nedböjningen beaktas, tex när bjälklaget spänner över en eller fler icke styva stöd eller när bjälklaget inte endast är utsatt för en jämnt utbredd last.
𝑓1 = 𝑘𝑒,1𝑘𝑒,2 18
√𝑤𝑠𝑦𝑠 (2.8)
där:
f1 är bjälklagets egenfrekvens, i Hz
ke,1 är en multiplikator för frekvensen, i fall av dubbelspann på styvt stöd, tagen
från [Tabell 2.3]. Vid endast ett spann används ke,1 =1,0;
ke,2 är en multiplikator för frekvensen, med hänsyn till transversella styvhets
effekter från [Tabell 2.1]. Vid enkelspänt bjälklag används ke,2=1,0;
wsys är nedböjningen för bjälklaget (inkluderat effekter från eventuella balkar,
skjuvning och kopplingar i kompositstrukturer) under lasten av
bjälklagsmassan m, applicerad på en fritt upplagd balk med ett spann L, i mm.
Om wsys beräknas med antagna flexibla stöd, då är ke,1 =1.0
Om wsys beräknas med beaktning av den transversella effekten av
böjstyvheten, är ke,2 = 1,0.
Faktor ke,1 för att beräkna egenfrekvensen vid ett kontinuerligt bjälklag givet i tabell 2.3.
l2/L a) 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2
ke,1 1,00 1,09 1,16 1,21 1,25 1,28 1,32 1,36 1,41
a) L är det längsta spannet använt i formel 2.6 och 2.8 och l2 det kortaste spannet i ett
flerspanns-bjälklag. Tabell 2.3. Faktor ke,1.
För bjälklag upplagda på elastiska balkar på en eller båda sidor kan frekvensen f1 beräknas
𝑓1 = √ 1 1 𝑓1,𝑟𝑖𝑔𝑖𝑑2 + 1 3𝑓1,𝑏𝑒𝑎𝑚,12 + 1 3𝑓1,𝑏𝑒𝑎𝑚,22 (2.9) där:
f1,rigid är bjälklagets fundamentala frekvens upplagt på styva stöd, i Hz;
f1,beam,1 är den fundamentala frekvensen av balken på vänstra sidan, i Hz;
f1,beam,3 är den fundamentala frekvensen av balken på högra sidan, i Hz.
Styvhet
Den maximala nedböjningen w1kN i mitten av spännvidden för ett fritt upplagt bjälklag
med ett spann, kan beräknas med ekvation 2.10:
𝑤1𝑘𝑁 =
𝐹𝐿3 48(𝐸𝐼)𝐿,𝑎𝑝𝑝𝐵𝑒𝑓
(2.10)
där:
w1kN är den maximala nedböjningen av en vertikal punktlast F =1 kN, i mm;
F är en statisk last av 1 kN placerad på den mest ogynnsammaste platsen, i N;
L är spännvidden, i m;
Bef är den effektiva bredden, i m;
(EI)L,app är böjstyvheten längsgående spännvidden per en meter bredd, i Nm2/m
Den effektiva bredden Bef för ett bjälklag med jämnt utbredd transversal böjstyvhet över
hela bredden kan beräknas med ekvation 2.11
𝐵𝑒𝑓 = 𝑚𝑖𝑛 {0,95𝐿 ( (𝐸𝐼)𝑇 (𝐸𝐼)𝐿,𝑎𝑝𝑝 ) 0,25 𝐵 (2.11) där:
Bef är den effektiva bredden, i m;
L är spännvidden, i m;
(EI)T är bjälklagets styvhet tvärgående spännvidden per meter bredd, i Nm2/m;
(EI)L,app är böjstyvheten längsgående spännvidden per en meter bredd, i Nm2/m;
Acceleration
För verifiering av accelerationen på grund av vibrationer orsakade av en gående person, beräknas RMS-värdet för accelerationen som bör uppfylla kravet från tabell 2.1.
Notering: RMS-värdet (kvadratiskt medelvärde) är vanligtvis ett integrerat värde över perioden 1 sekund, vilket är längre än lastcykelns varaktighet med tanke på gående frekvensen
För situationer med resonanta bjälklagsvibrationer, ska accelerationen beräknas med ekvation 2.14 Fritt upplagt bjälklag i enkelspann antas.
𝑎𝑟𝑚𝑠 = 𝛼 𝐹0
7 𝜉 𝑀∗ (2.12)
där:
𝑎𝑟𝑚𝑠 är kvadratiskt medelvärde för acceleration, i m/s2;
𝛼 är Fourieers koefficient beroende på den fundamentala frekvensen som
𝛼 = 𝑒−0,4𝑓1;
𝐹0 är den vertikala kraften från en gående person, sätts vanligtvis till
𝐹0 = 700 N;
𝜉 är modaldämpningens ratio;
𝑀∗ är modalmassan, ges i ekvation 2.15, i kg.
Notering 1: Faktor 1
7 i ekvation 2.14 kommer från multiplikation av
konstanterna 0,4 2∙√2
Notering 2: Faktorn 0,4 appliceras i ekvation 2.14 (notering 1) för att full resonans kanske inte inträffar och faktum är att personen som går sällan går i mitten av bjälklagspannet. I fall där personen som går, går i mitten av
bjälklagsspannet t.ex. i en lång korridor och full resonans inträffar så kan det leda till högre värden av faktorn.
Modalmassan kan beräknas med ekvation 2.15
𝑀∗ =𝑚 𝐿 𝐵
4 (2.13)
där:
𝑀∗ är modalmassan, i kg;
m är bjälklagets massa per kvadratmeter, i kg/m2;
L är bjälklagets spännviddslängd, i m;
Hastighet
Medelvärde av modalens impuls beräknas med ekvation 2.16
𝐼m =42𝑓w 1.43 𝑓11.3
(2.14)
där:
𝐼m är medelvärdet av modal impulsen, i Ns;
𝑓w är gångfrekvensen, vilken kan antas till 1,5 [Hz] för bjälklag i bostäder och
2,0 [Hz] för bjälklag i övriga kategorier, i Hz;
𝑓1 är bjälklagets fundamentala frekvens, i Hz.
Topphastighetsresponsen i den fundamentala moden beräknas med ekvation 2.17
𝑣1.peak= 𝑘red 𝐼m
(𝑀∗+ 70) (2.15)
där
𝑣1.peak är topp hastighetsresponsen, i m/s;
𝑘red är en reduktionsfaktor på 0,7, för att korrigera om det finns ett avstånd
mellan excitationskällan och den kännande personen;
𝐼m är medelvärdet av modal impulsen, given i [ekvation 2.16], i Ns;
𝑀∗ är modalmassan, beräknad med [ekvation 2.15] i kg;
För att beakta effekten från högre vibrationsmoder på bjälklagsresponsen, förutom den
egenmoden, ska topphastighetesresponsen multipliceras med faktorn 𝑘imp. 𝑘imp beräknas
med ekvation 2.18. 𝑘imp = 𝑚𝑎𝑥 {0,48 ( 𝐵 𝐿) ((𝐸𝐼)L,𝑎𝑝𝑝 (𝐸𝐼)T ) 1,0 0,25 (2.16) där:
𝑘imp är en multiplikator för att korrigera för dom höga moderna vid kortvarig
respons;
L är bjälklagets spännvidd, i m;
B är bjälklagets bredd, i m;
(EI)L,app är böjstyvheten längsgående spännvidden per en meter bredd, i Nm2/m;
Den totala tophastighetsresponsen beräknas med ekvation 2.19
𝑣tot.peak= 𝑘imp𝑣1.peak (2.17)
där:
𝑣tot.peak är den totala hastighetsresponsen, i m/s;
𝑘imp är en multiplikator för att korrigera för dom höga moderna vid kortvarig
respons;
𝑣1.peak är topphastighetsresponsen, i m/s.
RMS hastigheten beräknas med ekvation 2.15
𝑣rms = 𝑣tot.peak(0,65 − 0,01𝑓1)(1,22 − 11,0𝜉)𝜂 (2.18) där:
𝑣rms är medelvärdes roten för hastighets responsen, i m/s;
𝑘imp är en multiplikator för att korrigera för dom höga moderna vid kortvarig
respons;
𝑣tot.peak är topp hastighetsresponsen, i m/s.
𝑓1 är den fundamentala frekvensen, i Hz;
𝜉 är modal dämpningen.
𝜂 = 1,52 − 0,55𝑘impnär 1,0 ≤ 𝑘imp≤1,5 annars 𝜂 = 0,69 (2.19)
där:
𝑘imp är en multiplikator för att korrigera för dom höga moderna vid kortvarig
2.3 ISO 10137
ISO är en förkortning för International Organization of Standardization, som är en
internationell icke statlig organisation som jobbar för att skapa internationella standarder. SIS (Svenska institutet för standarder) är det svenska organet för ISO (SIS 2020).
Originalspråk är på engelska och sektion 2.3 är direktöversatta delar från nämnd norm. Kategorier golvbjälklag:
• lågfrekventa golv med naturlig frekvens f0 < 8 till 10 Hz
• högfrekventa golv med naturlig frekvens f0 > 8 till 10 Hz.
Dämpningskoefficienten beror på typ av konstruktion, material, närvaro av icke strukturella element, ålder, kvalitet av konstruktion och amplituden och frekvensen av vibrationen. För alla typer av konstruktioner spelar typ av led och randvillkor stor roll för dämpningen. För bjälklag kan närvaro av ytskikt och mellanväggar öka dämpningen nämnvärt. Se tabell 2.4 nedan för reglat trägolv vilket är det enda trägolv som ISO presenterar. Typ av bjälklag Spännvidd (m) Dämpningskoefficient ξ % av kritiskt Typiskt intervall Extremt intervall
Värde för preliminär design av bart golv
Reglat
trägolv 2 till 9 1,5 till 4,0 1,0 till 5,5 2
Tabell 2.4. Dämpningskoefficient för typ av bjälklag.
2.3.1 Balkar och bjälklag
En byggnadsdels respons på personer som går eller springer beror på de strukturella egenskaperna och på den kraft som produceras av personen eller personerna. Möjliga och irriterande golvvibrationer har varit observerade huvudsakligen i golv med mellanstora spannlängder, dvs från cirka 3 m till 20 m. För kortare spännvidder förhindrar vanligtvis dämpning och styvhetsegenskaper märkbara vibrationer och för längre spann blir den totala massan så stor att responsen blir mindre. Ändå kan irriterande vibrationer
fortfarande genereras när resonans uppstår mellan steg och golv. Vibrationer kan också överföras till intilliggande golv eller våningar, beroende på intensiteten och strukturens dynamiska egenskaper. Metoder av analys för design och bedömning av golv ges i Allen et al. (1999), Murray et al. (1997), Wyatt (1989) och Ohlsson (1988).
2.3.2 Dynamiska egenskaper för bjälklag
För att förutsäga vibrationer av balkar och golv krävs vibrationsmoder, tillhörande
2.4 KL-trähandboken
KL-trähandboken är en handbok för dimensionering av KL-träkonstruktioner. Den gavs ut 2017 av Svenskt trä och bygger till största del på Eurokod och europeiska
konstruktionsstandarder. Författarna för KL-trähandboken har kompletterat med
information där de ansett att det saknas information eller att informationen från Eurokod är kontroversiell (Svenskt Trä, 2017).
I Eurokod 5 antas relativ dämpning för träbjälklag till 1%, därför kan relativ dämpning för träbjälklag antas till 1%. Det finns få undersökningar på vad dämpning för
KL-träbjälklag egentligen är, men erfarenheter visar att dämpningen troligtvis är högre för KL-träbjälklag än vad som anges i Eurokod. Se tabell 2.5 nedan för förslag på dämpning för olika typer av träbjälklag (Svenskt Trä, 2017).
Material och uppbyggnad Relativ dämpning
Träbjälklag utan flytande pågjutning 1,0%
Limmat brädstapelbjälklag med flytande pågjutning 2,0%
Träbjälklag och spikat brädstapelbjälklag med flytande pågjutning 3,0% KL-träbjälklag med eller utan lättare överbyggnad, tvåsidigt upplagt 2,5% KL-träbjälklag med tung pågjutning, tvåsidigt upplagt eller upplagt på stålbalkar
eller punktvis 2,5%
KL-träbjälklag med flytande pågjutning, fyrsidigt upplagt 3,5%
2.5 Canadian CLT handbook (2019)
Kanadensisk KL-trähandbok som bygger på kanadensiska nationella val (CSA). KL-trä kom till Nordamerika 2010. Bakom denna handbok finns studier (FPInnovations) som visar att KL-trä och lätta träbjälklag beter sig olika i fråga om vibrationer och därför har en ny metod för dimensionering av KL-trä anskaffats. Första utgåvan kom ut år 2011, andra 2016, och den nyaste 2019. Sektion 2.5 innehåller delar direkt översatta från nämnd norm.
2.5.1 Handberäkningar
Egenfrekvensen genom balkteori
𝑓 =3,142
2𝐿2 √
(𝐸𝐼)𝑎𝑝𝑝
𝜌𝐴 (2.22)
där:
𝑓 är egenfrekvensen hos en meter bred KL-träpanel, fritt upplagd, i Hz;
𝐿 är KL-träbjälklagets vibrationskontrollerade spännvidd, i m;
(𝐸𝐼)𝑎𝑝𝑝 är böjstyvheten i den starkaste riktningen (längsgående spännvidden) per en
meter bredd, i Nm2/m;
𝜌 är densiteten hos KL-träpanelen, i kg/m3;
𝐴 är tvärsnittsarean hos en meter bred KL-träpanel, dsv. tjockleken
multiplicerat med en meter bred panel, i Nm2.
Statisk nedböjningen av 1 kN
𝑑 = 1000𝑝𝐿
3
48(𝐸𝐼)𝑎𝑝𝑝 (2.23)
där:
𝑑 är den statiska nedböjningen i mitten av spannet av en meter bred
KL-träpanel, som utsätts för 1 kN punktlast, i mm;
𝑝 är 1000 N;
(𝐸𝐼)𝑎𝑝𝑝 är 0,9(𝐸𝐼)𝑒𝑓𝑓;
(𝐸𝐼)𝑒𝑓𝑓 är den effektiva böjstyvheten i huvudriktningen (längs spännvidden) för en
meter bred panel, i Nm2.
Vibrationskontrollerad spännvidd
Spännvidd L för ett bjälklag som är fast inspänt i ändarna och bärs av lastbärande
𝐿 ≤ 0,11 ((𝐸𝐼)eff 106 ) 0,29 𝑚0,12 (2.24) där:
𝐿 är KL-träbjälklagets vibrationskontrollerade spännvidd, i m;
𝑚 är den linjära massan för KL-trä för en meter bred panel, i kg/m;
(𝐸𝐼)eff är den effektiva böjstyvheten i huvudriktningen (längs spännvidden) för en
meter bred panel, i Nm2.
Stöden för bjälklag bör alltid vara icke flexibla alltså styva, för att uppfylla antagandet om fritt upplagd. Det är viktigt att detta antagande stämmer då det leder till att egenfrekvensen hos bjälklaget reduceras. Annars förstärks amplituden och bjälklaget utsätts för resonans. Ekvationen 2.24 överensstämmer då dåligt med de verkliga förhållandena, oavsett om KL-träbjälklaget har god styvhet och massa.
2.6 CLT structural Design according to Eurocode (2014)
Denna norm är gjord av Pro Holz i Österrike och bygger på Eurokod 5 och är utgiven 2014.
2.6.1 Krav
Vibrationsklass 1 Vibrationsklass 2 Vibrations klass 3
Typiska applikationer
Bjälklag mellan olika användningsområden, som
lägenhetsavskiljande, kontinuerliga bjälklag,
kontor etc.
Bjälklag inom samma användningsområde, som enfamiljshus. Bjälklag under oinredda vindar, bjälklag utan vibrationskr av Utförande
Våta avjämnings- och beläggningsmassor (cement etc), flytande golv på lätta eller tunga massor.
Våta avjämnings- och beläggningsmassor (cement etc), flytande
golv på lätta, tunga massor eller ingen
massa.
-
Torra avjämnings- och beläggningsmassor (gipsskivor) på tunga massor (mer än 60 kg/m2)
Frekvenskrav
f1≥ [Hz] 8 6
Styvhetskrav
w1kN≤ [mm] 0,25
0,50
lägre accepterat värde: 1,0
Accelerationskrav
arms≤ [m/s2]
Hamn och Richter 2009 eller
Kreuzinger och Mohr 1999
0,05 0,10
vid överföring av vibration
2.6.2 Dämpning
Bjälklagstruktur Dämpning ξ
Med eller utan lätt golv 0,01
Med flytande pågjutning 0,02
KLT med eller utan lätt golv 0,025
Träbalkar och mekaniskt anslutna skivor med flytande pågjutning 0,03
KLT med flytande pågjutning och tunga bjälklag 0,035
Tabell 2.7. Dämpning för olika bjälklagstrukturer.
2.6.3 Verifikation av vibrationer
För att verifiera vilken vibrationsklass bjälklaget tillhör måste den första naturliga frekvensen och styvheten (nedböjning av en last) bestämmas.
Om den första naturliga frekvensen är under den godtagbara gränsen (8 Hz), för tunga bjälklag kan komfort nås om accelerationen möter minimigränsen se figur.2.1.
Figur 2.1. Klassspecifikation förhållande till vibrationsprestanda.
sekund alltså 2,0 Hz. Gång inducerar därav excitation med dubbla frekvensen runt 4,0 Hz. För att tillgodose tillräcklig skillnad enligt Eurokod, bör den första naturliga frekvensen vara minst 8 Hz. Om den minsta frekvensen på 8 Hz inte kan uppfyllas, kan verifikation av vibrationerna erhållas via vibrationernas acceleration.
För bjälklag som är benägna att vibrera kan stöd användas för att korta av spännvidderna eller förstärka bjälklagets styvhet. Lastfördelning transversalt mot spännvidden och hög dämpning har goda effekter på komforten.
2.6.4 Handberäkningar
Frekvenskriterium - naturliga frekvensen
Den första naturliga frekvensen kan bestämma enligt föregående ekvation (2.25). För den vibrerande massan m, är den permanenta lasten applicerad.
𝑓1 = 1 2 𝜋√ 𝑐 𝑀 (2.25) där: 𝑀 är modalmassan, i kg; 𝑐 är styvheten i fjädern, i N/m. 𝑚 = 𝑔1.𝑘+ 𝑔2.𝑘 (2.26)
Max nedböjning till den respektive naturliga frekvensen i tabell 2.8 nedan.
Vibrationsklass 1 vibrationsklass 2 lägsta frekvensen för verifikation av acceleration Frekvens kriterier f1≥ 8 Hz 6 Hz 4,5 Hz
Respektive nedböjning som en konsekvens av
g=g1,k+g2,k
wm≤
5 mm 9 mm 16 mm
Styvhetskriterium - nedböjning
Nedböjningen av en punktlast ( F=1 kN) vid den mest ogynnsamma punkt för en fritt upplagd balk utan transversell fördelning, kan beräknas med följande ekvation:
wstat =
1kN 𝑙3
48𝐸𝑙ef1,0 ≤ wgräns
(2.27)
där:
𝑙 är spännvidden för fritt upplagd balk, i m;
𝐸𝑙ef är den effektiva böjstyvheten, i kN/m2.
Den transversella fördelningen kan appliceras:
w1kN = 1kN 𝑙3 48𝐸𝑙ef,0 1 𝑏𝐹1,0 ≤ wgräns (2.28) 𝑏𝐹 = 𝑚𝑖𝑛 { 𝑙 1,14√ 𝐸𝐼transverse 𝐸𝐼0.ef 𝑏 ≥ 1 (2.29) där:
𝑏𝐹 är effektiv bredd av bjälklagets spännvidd, i m;
𝑙 är spännvidden;
𝑏 är bredden av spannet tvärgående huvudriktningen av lastbärande
kapaciteten, i m;
𝐸𝐼0.ef är böjstyvheten i rikyning med spännvidden, i kNm2;
𝐸𝐼transverse är böjstyvheten tvärgående spännvidden, i kNm2;
Låg styvhet i den transversella riktningen ger redan en god förbättring. Med kvoten av 𝐸𝐼transverse
𝐸𝐼0.ef = 3
Gränsvärde för acceleration
Om minimumfrekvensen på 8 Hz inte kan nås, kan man för tunga bjälklag tillgodose komforten om en minsta acceleration nås samt en minsta frekvens om 4,5 Hz. Acceleration uppstår som respons hos bjälklaget när en person går på det.
𝑎rms = 0,4 𝛼 𝐹0
𝑀∗2 𝐷 =
280 𝑎
𝑀∗ 2 𝐷 ≤ 𝛼gräns (2.30)
Där:
𝐹0 är tyngden av en gående person 𝐹0 = 700𝑁;
𝑀∗ är modalmassan, i kg;
D är modaldämpningen (Lehr’s dampnings ratio), enhetslös;
𝛼 𝛼 = 𝑒−0,47𝑓1 och är en koefficient för att beakta influensen från den naturliga
vibrationen på acceleration, enhetslös;
Påverkan av den första naturliga frekvensen visas i figur 2.2.
Figur 2.2 Acceleration
Hur hög accelerationen är beror på hur långt det är mellan den naturliga frekvensen och excitationens frekvens, där accelerationen antar högsta möjliga värde om resonans sker. Acceleration kan förbättras genom att öka bjälklagets styvhet och i förlängningen den första naturliga frekvensen, och genom att öka den medvibrerande massan.
Relation naturliga frekvensen och nedböjning
Jämförelsen mellan naturliga frekvensen och en fritt upplagd balk enligt ekvation 2.31,
med nedböjningen i mitten av balken 𝑤m= 5 𝑚 𝑙
4
384 𝐸 𝐼0 , kan härledas till följande:
𝑓1 = 18
√w𝑚 (2.31)
där:
Modalmassa
Delen av massan på ett element som aktiveras vid en särskild mod av vibrationen, kan beskrivas som modalmassa eller generaliserad massa.
För en känd mod av vibrationen, kan den effektiva massan i varje mod multipliceras med roten ur nodens förflyttning. Den naturliga moden måste innan ha standardiserats till maxvärdet 1,0.
𝑀 = ∑ 𝑤𝑖.𝑛𝑎𝑡𝑟𝑢𝑎𝑙2 𝑀𝑖
𝑖≥1 (2.32)
där:
𝑖 är antal noder.
Förhållandet mellan den faktiska massan och modalmassan kan beskrivas med en faktor. Modalmassan är då:
𝑀∗ = 𝑘𝑀∗ 𝑀
(2.33) För fritt upplagde balkar kan modalmassan approximeras genom:
𝑘𝑀∗ ≈ 8
15, 𝑘𝑀∗ ≈ 0,5 resp. (2.34)
För kontinuerliga balkar ökar modalmassan eftersom närliggande spann också vibrerar. Modalmassan för en kontinuerlig balk med två spann med samma längd är dubbla massan än för en fritt upplagd balk med ett spann över ett av de två spannen.
Tabell 2.9. Faktorer för att bestämma modalmassan för 2-facksbalkar, beroende på relationen av facken.
𝑙2/𝑙 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3
𝑘𝑀∗ 1,0 0,7 0,575 0,525 0,5 0,485 0,475 0,476
Tabell 2.9. Modalmassa
För plattor upplagda på alla fyra sidor, kan man använda en approximativ matematisk sekvens för den naturliga vibrationen i moder för att fastställa noggrannheten i
2.6.5 Sammanfattning
Vibrationer i stommar är komplicerat då det handlar om komfort. Eurokoderna har inga krav på just komforten. Detta är något som oftast bestäms i enskilda projekt från beställaren. Det finns många krav på ett bjälklag som måste beaktas; nedböjning, transmissioner, stegljud, stomljud, vibrationer som skapar resonans, samt komfort för brukaren
I den befintliga Eurokoden och ISO är alla vibrationsberäkningar anpassade för reglade träbjälklag och enklare geometrier som villor och enfamiljshus. Det saknas information om hur större, högre och mer komplexa träbyggnader ska dimensioneras. KL-trähandboken och CLT Österrike bygger på EK5 men där finns också mer djupgående information om KL-trä, baserat på erfarenhet inom branschen och Österrikes nationella val. Canada CLT Handbook är den norm som inte bygger på EK5 utan bygger på kanadensiska standarder och nationella val, den är också väldigt annorlunda. Man har valt att ta fram ett verktyg för att dimensionera spännvidden med hänsyn till vibrationer.
CLT Canadian tillåter en ökning av upp till 20% av längden om strukturen har icke bärande element, som mellanväggar som då ökar styvheten. Detta är inget som EK5 tillåter antagligen med grunden att dessa ses som tillfälliga och kan komma att ändras, och då kan man plötsligt vara på den osäkra sidan. Dock så tillåter EK5 ‘’final draft’’ en ökning av massan med hänsyn till väggar och möbler, på 10%.
Den kritiska dämpningen i EK5 för träbjälklag antas vara 1% där ingen distinktion görs mellan olika typer. I KL-trähandboken finns däremot en utveckling av rekommendationerna i EK5 för dämpning. Värden mellan 2,5%-4,0% har presenterats, vilka även finns i EK5 final draft. CLT Österrike har värden mellan 1%-3,5%, men gemensamt för KL-trähandboken CLT Österrike och EK5 draft är att 2,5% är valt för KL-träbjälklag med eller utan lätt golv.
För bjälklag med egenfrekvens mindre än 8 Hz bör en särskild utredning göras, men EK5 nämner inte vad denna består av. I EK5 final draft ska kontroll för nedböjning av 1kN punktlast och acceleration kontrolleras om egenfrekvensen är mellan 4,5–8 Hz. I CLT Österrike har man också valt att 4,5 Hz är godtagbart om man kan verifiera att
accelerationen är över minimikravet på 0,10 m/s2. För bjälklag över 8 Hz krävs en kontroll
av nedböjning och en hastighetskontroll enligt EK5 final draft, EK5 kontrollerar en impulshastighet istället. CLT Österrike kontrollerar inte hastigheten.
Kapitel 3
3 Tillämpning projekt
till Eurokod 5 för KL-trä. I den befintliga eurokoden så finns det enbart uppgifter för träregelbjälklag (Andersen, 2020).
Figur 3.1. Plan av bjälklaget som studeras.
KL-träbjälklaget är uppbyggt i prefabricerade element som spänner över del 1 och över del 2 i en förenklad planbild i figur 3.2. De vertikala linjerna i bilden visar KL-träelementen. KL-träelementen som har använts i projektet är CLT 240 L7s-2 och är från Stora Enso, sett i figur 1.1.
Beräkningarna är gjorde efter de olika delarna och olika spännvidder, träbalkar finns vid
uppdelning av spannen, se figur 3.3. I alla beräkningar används egentyngden 1,2 kN/m2 för
KL-träelementen och vid beräkning av egenfrekvensen så används en extra massa på 1,5
kN/m2 från det verkliga projektet (Andersen 2020).
Kapitel 4
4 Intervjuver
4.1 Metod
I rapporten har två intervjuer utförts via email för att ta reda på mer om projektet som studeras samt hur KL-Träbjälklag dimensioneras i branschen. Personerna som har
intervjuvats är Nicolas Jacquier, teknisk doktor i träbyggnad och konstruktör på BTB och Kristine Andersen, träkonstruktör för projektet som har använts som grund i detta
examensarbete. Fullständiga intervjuer finns publicerade i bilaga 5 och 6.
4.2 Hur dimensioneras vibrationer i KL-trä i branschen?
Dimensionering av vibrationer i KL-träbjälklag bör i första hand ske enligt Eurokod 5. Vissa typer av KL-träbjälklag kan vara relativt tunga. Har dessa en lång spännvidd får de ofta en egenfrekvens under 8 Hz, vilket enligt eurokoden innebär att en särskild undersökning måste göras. I de svenska national valen för Eurokod 5 specificeras det inte hur den undersökningen ska genomföras. En del KL-träleverantörer hänvisar till Österrikes nationella val. Dessa ger en metod för kontroll av bjälklag med egenfrekvens under 8 Hz. Österrikes nationells val för Eurokod 5 kan i vissa fall användas som en särskild utredning för att uppskatta bjälklagets prestanda (Jacquier, 2020).
Vid modellering av KL-trä i RFEM modelleras infästningar och anslutningar generellt som ledade (Jacquier, 2020).
Enligt intervju med Andersen brukar hon och företaget hon jobbar på inte använda FE-modeller för beräkningar av vibrationer. När de använder sig av en FE-modell är det för att ta fram statiska laster. För dimensionering av element använder de sig av antingen Calculatis eller Bemessung. Bemessung är ett excelbaserat program som bygger på österrikiska national val för Eurokod och Calculatis är ett webbaserat program från Stora Enso (Andersen, 2020).
Kapitel 5
5 Resultat
I denna studie har vibrationerna i ett bjälklag undersökts med formler från Eurokod 5, Eurokod 5 ‘’final draft’’, beräkningsprogrammet Calculatis som används i branschen samt analyser i FEM programmet RFEM. Samtliga beräkningar har gjorts för egenfrekvens, acceleration, hastighet och nedböjning där det har funnits underlag i normerna.
5.1 Eurokod 5
Handberäkningarna görs för de tre spannen som finns beskrivna i figur 4.2. Alla formler förutom den för nedböjning kommer från SS-EN 1995-1-1:2004 Eurokod 5. Formeln för nedböjning kommer från KL-trähandboken. Beräkningen har utförts i Mathcad Prime 6 och fullständig beräkning finns publicerad i bilaga 2.
Formlerna enligt EK5 är anpassade för rektangulärt träregelbjälklag med ett spann, fritt upplagt på alla fyra sidor, vilket inte är fallet för bjälklaget som undersöks. Det är inte rektangulärt, det är fritt upplagt på fyra sidor men det finns även bärande balkar placerade under bjälklaget. Det är inte heller ett träregelbjälklag utan uppbyggt av KL-träplattor. För att bjälklaget ska vara möjligt att beräkna med hjälp av det angivna formlerna har det delats upp i tre span. Del 1 är ett spann och del 3 delas upp i två spann, se figur 3.2 och 3.3 för uppdelning av spannen. Fullständig beräkning finns i bilaga 2. Resultaten för handberäkningen av Eurokod 5 presenteras i tabell 5.1.
Beräkning av del 1, spann 1
𝑚 =𝐸𝐺 + 𝐸𝐺𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎 𝑔 = 1,2 + 1,5 9,82 ≈ 274,949 kg/m 2 (5.1) Effektiv bredd 𝑏𝑒𝑓 = 𝐿 1,1√ 𝐸𝐼𝑇 𝐸𝐼𝐿 = 6,35 1,1 √ 448 ∙ 103 13376 ∙ 103 ≈ 1,056 m (5.2)
Formel för nedböjnig enligt träguiden
𝑤 = 𝐹𝐿 3 48𝐸𝐼𝐿𝑏𝑒𝑓= 1 ∙ 103∙ 6,353 48 ∙ 13376 ∙ 103 ∙ 1,056≈ 0,377 mm (5.3) Egenfrekvensen 𝑓1 = 𝜋 2 ∙ 𝐿2√ 𝐸𝐼𝐿 𝑚 = 𝜋 2 ∙ 6,352√ 13376 274,949≈ 8,592 Hz (5.4) 𝑛40= [((40 Hz 𝑓1 ) 2 − 1) ∙ (𝐵 𝐿) 4 ∙𝐸𝐼𝐿 𝐸𝐼𝑇] 0,25 = [((40 Hz 8,592) 2 − 1) ∙ ( 40 6,35) 4 ∙13376 448 ] 0,25 ≈ 31,397 (5.5) Impulshastighetsrespons 𝑣 =4 ∙ (0,4 + 0,6 ∙ 𝑛40) 𝑚 ∙ 𝐵 ∙ 𝐿 + 200 kg = 4 ∙ (0,4 + 0,6 ∙ 31,397) 274,949 ∙ 40 ∙ 6,35 + 200 kg≈ 0,00109 (5.6)
Nationella val (Boverket 2020) 𝑎 = 1,5 mm/kN
𝑏 = 100 m/N𝑠2
Kontroll
𝑤
𝐹 < 𝑎 → 0,377
1 = 0,377 < 1,5 ok! (5.8)
Kontrollen är godkänd och klarar kraven, beräkning för spann 2 finns i bilaga 2. Spann 3 får samma resultat som spann 1.
Sammanfattning handberäkning Eurokod 5
Spann 1 Spann 2 Spann 3
Nedböjning [mm] 0,337 0,31 0,337
Frekvens [Hz] 8,592 10,479 8,592
Impulshastighetsrespons [m/(Ns2)] 0,002 0,003 0,002
w/f<a ok ok ok
v<bf1*ξ-1 ok ok ok
Tabell 5.1. Resultat av handberäkning för Eurokod 5.
5.2 Eurokod 5 ’’final working draft’’
Handberäkningarna görs för de tre spannen som finns beskrivna i figur 4.2. För del 2 finns även en beräkning för en kontinuerlig balk. Alla formler kommer från EN 1995-1-1 Project team SC5.T3 sub-task 7 Vibrations Final draft 30.04.2020. Beräkningen har utförts i Mathcad Prime 6 och fullständig beräkning finns publicerad i bilaga 3.
Modaldämpningen är 2,5%, och taget ur tabell 8 för KL-träbjälklag med eller utan lätt golv. Takten för gång sätts till 2.0 Hz för kontorsbyggnad enligt EK5 ‘’final draft’’. Vikt från en gående person sätts till 700 kN.
Beräkning av del 1, spann 1
Indata 𝐿 = 6,35 m 𝐵 = 40 m 𝐹 = 1 kN 𝑔 = 9,82 m/s2 𝐸𝐺 = 1,2 kN/m2 𝐸𝐺𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎 = 1,5 kN/m2
𝐸𝐼𝐿 = 13376 kNm2/m längsgående riktning böjstyvhet
𝑘𝑒.1 = 1,0 flexibla stöd
𝑓𝑤 = 2,0 Hz stegfrekvens för kontor 𝜉 = 0,025 dämpning enligt tabell 3.X 𝐹0 = 7 kN gångvikt av en person Massa 𝑚 =𝐸𝐺 + 𝐸𝐺𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎 𝑔 = 1,2 + 1,5 9,82 ≈ 274,949 kg/m 2 (5.9) Egenfrekvensen 𝑓1 = 𝑘𝑒,1𝑘𝑒,2 𝜋 2𝐿2√ (𝐸𝐼)𝐿,𝑎𝑝𝑝 𝑚 = 1 ∙ 1 ∙ 𝜋 2 ∙ 6,352√ 13376 ∙ 103 274,67 ≈ 8,597 Hz (5.10)
Effektiv bredd, minsta värdet av B och Bef väljs
𝑎𝑟𝑚𝑠 = 𝛼 ∙ 𝐹0 7 ∙ 𝜉 ∙ 𝑀∗= 0,32 ∙ 700 7 ∙ 0,025 ∙ 17440≈ 0,007361 m/s 2 (5.15) Hastighet
𝑘𝑟𝑒𝑑 = 0,7 reduktionsfaktor för skillnad mellan gång och den kännande personen.
𝐼𝑚 =42 ∙ 𝑓𝑤 1,43
𝑓11,3 =
42 ∙ 21,43
8,5971,3 ≈ 6,904 N/s (5.16)
För beaktandet av högre vibrationsmoder än den första egenmoden väljs maxvärde av:
En responsfaktor på under 8 ligger på gränsen mellan nivå 1 och 2, och i detta fall är bjälklaget nivå 1.
Kontroll av accelerationen
𝑎𝑟𝑚𝑠 = 0,007 ≤ 0,005 ∙ 𝑅 = 0,036 (5.23)
I tabell 5.2 är första kolumnen spann 1 för del 1, andra kolumnen är spann 2 för del 2, tredje kolumnen är för spann 2 och 3 kontinuerligt över del 2. Observera att massan av bjälklaget och en extramassa har tagits med för både frekvensen och accelerationen.
Eurokod 5 ''final draft''
Spann 1 Spann 2 Kontinuerligt spann 2 & 3
Del 2 w1kN [mm] 0,1545 0,1267 0,1545 f1 [Hz] 8,597 10,489 9,377 arms [m/s2] 0,007361 0,0109 0,0054 vrms [m/s] 0,000717 0,000657 0,000633 R 7,17 6,47 6,27
Tabell 5.2. Resultat av handberäkningar från Eurokod final draft.
Egenfrekvensen är över 4,5 Hz och även över 8 Hz. Det betyder att bjälklaget är transitoriskt och krav för nedböjning, w1kN och hastighet, vrms behöver kontrolleras. Bjälklagsprestandan blir nivå 1 eller nivå 2 enligt tabell 3.1 och klarar kravet på mindre än 0,25 mm. Responsfaktorn blir strax under 8 och resulterar då i bjälklagsnivå 2. Enligt tabell 3.2 når nivå 2 för kontorshus den högsta kategorin av bjälklagsprestanda.
5.3 Calculatis
Calculatis är ett gratis webbaserat program för dimensioneringshjälp av bland annat KL-trä, och används inom branschen. Calculatis erbjuder ett enkelt sätt att dimensionera och kontrollera krav på dem prefabricerade element som Stora Enso tillverkar. Dock tycks KLT-elementen vara av standarddimensioner jämfört med Martinsons (Martinsons, 2020). Det gör att programmet till stor del kan användas även för andra tillverkare än Stora Enso. Det finns inga givna ekvationer eller formler bakom hur programmet gör beräkningar, mer än att det bygger på Eurokoden och Österrikes nationella val (Stora Enso 2020). Resultaten från beräkningarna sammanställs i slutet i tabell 5.3 nedan.
För alla beräkningar:
𝐵 = 40 m 𝐵𝑝𝑎𝑛𝑒𝑙 = 1,0 m 𝐵𝑒𝑓 = 2,47 m
𝐸𝐼𝐿 = 13376 kNm2/m längsgående riktning böjstyvhet, givet av Calculatis
𝐸𝐼𝑇 = 448 kNm2/m tvärgående riktning böjstyvhet, givet av Calculatis
𝜉 = 0,025 dämpning
𝐹0 = 7 kN gångvikt av en person givet av Calculatis
Del 1 - Spann 1
Figur 5.1 Del 1 spann 1
Beräknat enligt Calculatis:
𝑚 = 69,9 ton total massa 𝛼 = 0,032
𝑀∗ = 2155,78 kg Modalmassa
Del 2 - Spann 1 och 2
Figur 5.2 Del 2 spann 1 och 2. Beräknat enligt Calculatis:
𝑚 = 133,21 ton total massa 𝛼 = 0,024
Hela bjälklaget
Figur 5.3 Hela bjälklaget.
Beräknat enligt Calculatis:
𝑚 = 203,2 ton total massa 𝛼 = 0,026
𝑀∗ = 5475,72 kg Modalmassa
5.3.1 Resultat Calculatis
Det längsta spannen är spann 1 och spann 3 och det är också där den största nedböjningen för bjälklaget blir. Se tabell 5.3
Calculatis
Spann 1 & 3 (6,35 m)
Spann 2 (5,75 m)
Del 2 Spann 2 och 3 kontinuerlig (5,75+6,35) Hela bjälklaget (6,36+5,75+6,35) w1kN [mm] 0,161 0,132 0,161 0,161 f1 [Hz] 8,590 10,476 9,324 9,087 arms [m/s2] 0,084 0,048 0,044 0,027 Tabell 5.3 resultat beräkningar Calculatis.
5.4 RFEM
Modellering
I RFEM väljs standarden Eurokod 5 med svenskt index. Strukturen modelleras upp. De lasterna som verkar på bjälklaget är egentyngden samt en extramassa. Extramassan är på
152,75 kg/m2 (1,5 kN/m2) och motsvarar tyngden från bland annat icke bärande innerväggar
och innergolv. Egenfrekvens och egenmod beräknas med hjälp av tilläggsmodulen RF-dynam pro.
Nedböjning
En punktlast på 1 kN placeras i mitten av första egenmoden, på största stället. Nedböjning i z-led beräknas direkt i RFEM.
Acceleration
En gånglinje för en korridor ritas ut på bjälklaget. På linjen definieras punktlaster som representerar steg med hjälp av RF-move surface. RF-dynam pro, forced vibrations öppnas och time-diagrams väljs. I time-diagrams väljs funktion, där funktionen för steg (ekvation 5.24) definieras för varje steg. Frekvensen på stegen är 2 Hz och vikten på människorna antas till 0,7 kN. Varje time-funktion kombineras med motsvarande punktlast för det steget. Dämpningen sätts till 2,5% och beräkningen genomförs. Accelerationen i bjälklaget från stegen avläses i noder på strukturen.
Funktion för steg enligt (Bachmann et al, 1995):
𝐹(𝑡) = √𝑁 ∙ 𝐺 (1 + ∑ 𝛼𝑗∙ sin (2𝜋 ∙ 𝑗 ∙ 𝑓𝑠 ∙ 𝑡 − 𝜑𝑗
3
𝑗=1
) (5.24)
Där:
G Massan av en gående person (0,7 kN) N Antal gående
αj Faktor för jth harmoniska fraktionen, se tabell x φj Del av varje harmonisk funktion
fs Stegfrekvens
j αj φj
1 04+0,1x(fs-2)/0,4 0,0
2 0,1 π/2
Tabell 5.4 Fourier konstanter för gångfunktionen.
Vid val av CLT 240 L7-s2 från Stora Enso definierar RFEM materialegenskaperna och de karakteristiska värdena på bärförmågan, som ses i tabell 5.5 och 5.6, automatiskt.
Materialegenskaper
Elasticitetsmodul [N/mm^2]
Skjuvmodul [N/mm^2]
Lager Hållfasthetsklass Tjocklek t [mm]
Ortotropisk
riktning β [०] Ex Ey Gxz Gyz Gxy
Karakteristiska värden på bärförmågan
Styvhet för böjning/drag/tryck [N/mm^2] Skjuvstyvhet [N/mm^2] Vridning [N/mm^2] Lager Hållfasthetsklassfb,0,k fb,90,kft,0,k ft9,0,k fc,0,k fc,90,k fxy,k fv,k fR,k fv,tor,k
1 C24 24,0 0,0 14,0 0,4 21,0 2,5 3,5 4,0 1,0 2,5 2 C24 24,0 0,0 14,0 0,4 21,0 2,5 3,5 4,0 1,0 2,5 3 C24 24,0 0,0 14,0 0,4 21,0 2,5 3,5 4,0 1,0 2,5 4 C24 24,0 0,0 14,0 0,4 21,0 2,5 3,5 4,0 1,0 2,5 5 C24 24,0 0,0 14,0 0,4 21,0 2,5 3,5 4,0 1,0 2,5 6 C24 24,0 0,0 14,0 0,4 21,0 2,5 3,5 4,0 1,0 2,5 7 C24 24,0 0,0 14,0 0,4 21,0 2,5 3,5 4,0 1,0 2,5
Tabell 5.6 Karakteristiska värden på bärförmågan Förklaring av termer från RFEM:
Ledat mellan plattor: ingen momentöverföring mellan KL-träplattorna. Line hinge används och moment för plattorna väljs som rotational release (rotations frigivning). Momentstyvt mellan plattor: momentöverföring sker mellan KL-träplattorna.
Momentstyvt mellan balk: innebär att balkarna tar upp moment från KL-träplattorna. Ledat mellan balk: innebär att balkarna inte tar upp moment från KL-träplattorna. För att uppnå detta används kommandot line release.
Utan balkar: innebär att balkarna som finns under bjälklaget har blivit ersatta med line supports.
5.4.1 Egenmoder
Vid modellering av de olika bjälklagen har det upptäckts en liten oklarhet, hypotesen var att det inte skulle bli så stor skillnad mellan egenmoderna i del 1, vilket det absolut blev. För att kontrollera eventuellt fel i modelleringen ökades styvheten på balkarna i figur 5.19 för att förhoppningsvis få en egenmod som liknade den i figur 5.17 för figur 5.19. Detta blev dock inte resultatet för undersökningen, den ökade styvheten skapade en egenmod liknande den i figur 5.22. Balken med den största spännvidden byttes ut mot en line support och egenmoden betedde sig som förväntat (blev som i figur 5.17). Från denna undersökning konstateras att balkarna har stor påverkan på egenmodens storlek.
Del 1
Figur 5.4 Figur 5.5
Fritt upplagd på alla fyra sidor, momentstyvt mellan plattor Fritt upplagd på alla fyra sidor, ledat mellan plattor Egenfrekvens: 8,387 Hz Egenfrekvens:8,381 Hz
Figur 5.6 Figur 5.7
Med balkar, ledat mellan balk, momentstyvt mellan plattor Med balkar, ledat mellan balk, ledat mellan plattor Egenfrekvens: 8,149 Hz Egenfrekvens: 8,099 Hz
Del 2
Figur 5.8 Figur 5.9
Med balkar, ledat mellan balk, momentstyvt mellan plattor Med balkar, ledat mellan balk ledat mellan plattor Egenfrekvens: 7,025 Egenfrekvens: 6,491
Figur 5.10 Figur 5.11
Med balkar, ledat mellan balk, momentstyvt mellan plattor Med balkar, ledat mellan balk, ledat mellan plattor Egenfrekvens: 8,491 Hz Egenfrekvens: 8,476 Hz
Figur 5.12 Figur 5.13
Med balkar, momentstyvt mellan balk, momentstyvt mellan plattor Med balkar, momentstyvt mellan balk, ledat mellan plattor Egenfrekvens: 8,497 Hz Egenfrekvens: 8,009 Hz
Figur 5.14 Figur 5.15
Utan balkar, momentstyvt mellan plattor Utan balkar, ledat mellan plattor Egenfrekvens: 8,487 Hz Egenfrekvens: 8,382 Hz
5.4.2 Resultat
Resultaten för de genomförda RFEM beräkningarna visas nedan i tabellerna 5.7–5.9 Del 1 visas i tabell 5.6, del 2 visas i 5.7 och resultaten för beräkningarna av hela bjälklaget visas i tabell 5.8. Del 1 f1 [Hz] nedböjning [mm] a [m/s2] arms [m/s2]
Line support runt hela, momentstyva plattor 8,387 0,182 - -
Line support runt hela, ledat mellan plattor 8,381 0,186 0,1281 0,0295
balkar, med, line release, ledat mellan plattor 8,099 0,184 - -
Tabell 5.7 Resultat beräkning RFEM del 1.
Del 2 f1 [Hz] nedböjning
[mm]
med balk, med line release momentstyvt mellan plattor 7,025 0,198 med balk, med line relaese, ledat mellan plattor 6,491 0,254 Tabell 5.8 Resultat beräkning RFEM del 2.
Hela bjälklaget f1 [Hz] nedböjning [mm] a [m/s2] arms [m/s2] Med balkar, med line release, momentstyvt mellan
plattor 8,491 0,183 - -
Med balkar, med line release, ledat mellan plattor 8,476 0,183 0,111 0,0339 Med balkar, utan line release, momentstyvt mellan
plattor 8,497 0,183 - -
Med balkar, utan line release, ledat mellan plattor 8,009 0,187 - -
Utan balkar, med line supports, momentstyvt mellan
plattor 8,487 0,179 - -
Utan balkar, med line supports, ledat mellan plattor 8,382 0,277 - -
Tabell 5.9 Resultat beräkning RFEM hela bjälklaget.
Accelerationen
Accelerationen har beräknats i alla modellernas noder, noderna som är markerade med röda pilar i figur 5.16 och 5.17 är noderna med de största accelerationerna, de är dem som redovisas i tabell 5.6 och 5.8. Det har beräknats både en maximal acceleration och en rms-acceleration i de båda noderna.
Figur 5.16 Placering av den största beräknade accelerationen i del 1 simply supported ledad mellan plattorna.
Figur 5.17 Placering av den största beräknade accelerationen för hela bjälklaget, ledat mellan plattor, med line
release.
Figur 5.18 Förklaring av gånglinje på bjälklaget i figur 5.17 är placerad (den röda linjen).
5.5 Sammanfattning resultat 5.5.1 Egenfrekvensen
Egenfrekvensen för hela bjälklaget i RFEM får en frekvens strax över 8 Hz. Egenfrekvensen för Calcualtis är 9 Hz och båda varianterna klarar därmed kravet på 8 Hz.
Egenfrekvens [Hz]
EK5 EK5 ''draft'' Calculatis RFEM Del 1 8,592 8,597 8,590
Line support fig 5.5 8,381
Balk, line release fig 5.7 8,099
Del 2 - 9,377 9,324 Balk, line release fig 5.9 6,491
Spann 2 endast 10,479 10,489 10,476 -
-Hela bjälklaget - - 9,087
Balk, line release fig 5.11 8,476 Balk, utan line release 5.13 8,009 Tabell 5.10 Egenfrekvens för samtliga beräkningar.
5.5.2 Nedböjning
EK 5 ‘’final draft’’ använder sig av en högre effektiv bredd än Calcualtis 𝐵𝑒𝑓=2,581 mm
och EK 5 Bef = 2,470 mm med anledning av omfattande tester (Bilaga 6, sida 7), därför fås
en lägre nedböjning i tabell 5.10 (w1kN = 0,1545 mm än w1kN = 0,161 mm) som bör vara mer
korrekt än den i Calculatis som då spekulativt bygger på EK5. Detta resulterar i att det blir enklare att nå styvhetskravet för nedböjning med nya EK 5 draft.
Nedböjning w1kN [mm]
EK5 EK5 ''draft'' Calculatis RFEM Del 1 0,337 0,155 0,161
Line support fig 5.5 0,186
Balk, line release fig 5.7 0,184
Del 2 - 0,155 0,161 Balk, line release fig 5.9 0,254
Spann 2 endast 0,310 0,127 0,132 -
-Hela bjälklaget - - 0,161
Balk, line release fig 5.11 0,183 Balk, utan line release 5.13 0,187 Tabell 5.11 Nedböjning för samtliga beräkningar.
