11 Vanliga talsystem Det binära talsystemet Det decimala talsystemet Det oktala talsystemet Talsystem Talsystem

11 Talsystem

Positionssystem. Ända sedan romarrikets fall har positionssystemet använts för att beskriva tal. Man har en begränsad mängd siffror vars värde dels beror på vilken siffra det är, dels vilken position i talet det har.

Exempel på positionssystem: Det decimala talsystemet med tio siffror (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

Exempel på talsystem som inte är ett positionssystem:

Det romerska talsystemet (I, V, X, L, C, D, M, ...).

Talsystem

Positionssystemet gör det enkelt att utföra aritmetik som addition och subtraktion på tal. Siffrorna på varje position adderas för sig och bara om summan blir större än värdet på siffran med högst värde påverkar det närmast högre siffer- position.

Exempel: 1234 1 + 18

1252

Det decimala talsystemet

Tio siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Basen 10

En siffra som står till vänster om en annan har ett värde som är tio gånger mer.

Enkelt med aritmetik 1

Exempel: 1234 + 18

1252

Exempel:222 = 2— 100 + 2— 10 + 2 = 2— 10²+ 2— 10¹+ 2— 10⁰

Det oktala talsystemet

Åtta siffror: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Basen 8

En siffra som står till vänster om en annan har ett värde som är åtta gånger mer.

Enkelt med aritmetik 1

Exempel: 1234₈

+ 15₈ 1251₈

Exempel:2228= 2— 8²+ 2— 8¹+ 2— 8⁰ = 14610

Vanliga talsystem

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 10

8 2 16 Decimala Oktala Binära Hexadecimala

Siffror Bas Talsystem

Det binära talsystemet

Två siffror: 0, 1

Basen 2

En siffra som står till vänster om en annan har ett värde som är två gånger mer.

Enkelt med aritmetik 111

Exempel: ¹⁰¹⁰2

+ 111₂ 10001₂

Exempel:1012= 1— 2²+ 0— 2¹+ 1— 2⁰ = 510

22 Det binära talsystemet

De tjugo första heltalen i decimal och binär representation.

1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 10001 10010 10011 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19

Binärt Decimalt 0

1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Binärt Decimalt

Det binära talsystemet Fler exempel:

110₂= 1— 2²+ 1— 2¹+ 0— 2⁰= 1— 4 + 1— 2 = 6₁₀

101012= 1— 2⁴+ 0— 2³+ 1— 2²+ 0— 2¹+ 1— 2⁰= 1— 16 + 1— 4 + 1 = 2110

1111₂= 1— 2³+ 1— 2²+ 1— 2¹+ 1— 2⁰= 8 + 4 + 2 + 1 = 15₁₀ 11110₂= 1— 2⁴+ 1— 2³+ 1— 2²+ 1— 2¹= 16 + 8 + 4 + 2 = 30₁₀ 111100₂ = 1— 2⁵+ 1— 2⁴+ 1— 2³+ 1— 2²= 32 + 16 + 8 + 4 = 60₁₀

1 1 1 1 1 0 0 1

256 64 32 16 8 4 2 1 7 6 5 4 3 2 1 0 binärt tal

bitposition

vikter 10011111₂= 256₁₀+ 16₁₀+ 8₁₀+ 4₁₀+ 2₁₀+ 1₁₀= 287₁₀

Det hexadecimala talsystemet

16 ”siffror”: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Basen 16

En siffra som står till vänster om en annan har ett värde som är 16 gånger mer.

Enkelt med aritmetik

Exempel: 1234₁₆

+ 18₁₆ 124C₁₆

Exempel:D7B16= 13— 16²+ 7— 16¹+ 11— 16⁰ = 345110

Det hexadecimala talsystemet

0 1 2 3 4 5 6 7 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 0 1 2 3 4 5 6 7

Hexadeci malt Binärt Decimalt

8 9 A B C D E F 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 8 9 10 11 12 13 14 15

Hexadeci malt Binärt Decimalt

Omvandling mellan talsystem

Det är alltså enkelt att ta reda på det decimala värdet av ett givet tal i ett annat talsystem. Men hur gör man för att göra det omvända: föra över ett decimalt tal i ett annat talsystem.

Exempel: 2228= 2— 8²+ 2— 8¹+ 2— 8⁰= 14610

Men hur gör vi för att göra det omvända: 14610= 2228 ? Ledning:2228= 2— 8²+ 2— 8¹+ 2— 8⁰=

(2— 8 + 2)— 8 + 2 = 14610

Omvandling mellan talsystem Divisionsalgoritmen: För varje par av positiva heltal taloch basfinns två unika heltal q(kvoten) och r (resten) sådana att

tal= q— bas+ r och 0 ≤ r≤ bas- 1 Divisionsalgoritmen beskriver det man brukar kalla för heltalsdivision:

q= tal/bas(heltalsdivision) r= tal mod bas= tal -q— bas Exempel: 146tal q bas r10= (2— 8 + 2)— 8 + 2

33 Omvandling mellan talsystem

Hur omvandlar man ett decimalt tal till ett annat talsystem? Jo, genom att tillämpa divisionsalgoritmen om och om igen.

Exempel: Omvandla 14610till basen 8.

2 - 0·8 = 2 2/8 = 0

2

18 - 2·8 = 2 18/8 = 2

18

146 - 18·8 = 2 146/8 = 18

146

r = tal – q·bas q = tal/bas

tal

Svaret syns i sista kolumnen. Läs nerifrån och upp! 2228

Omvandling mellan talsystem Exempel: Omvandla 2110till basen 2.

5 - 2·2 = 1 5/2 = 2

5

2 - 1·2 = 0 2/2 = 1

2

1 - 0·2 = 1 1/2 = 0

1

10 - 5·2 = 0 10/2 = 5

10

21 - 10·2 = 1 21/2 = 10

21

r = tal – q·bas q = tal/bas

tal

Svaret syns i sista kolumnen. Läs nerifrån och upp! 101012

Omvandling mellan talsystem Exempel: Omvandla 345110till basen 16.

13 - 0·16 = 13₁₀= D 13/16 = 0

13

215 -13·16 = 7 215/16 = 13

215

3451 - 215·16 = 11₁₀ = B 3451/16 = 215

3451

r = tal – q·bas q = tal/bas

tal

Svaret syns i sista kolumnen. Läs nerifrån och upp! D7B16

Ur tabellen får vi också att 21510= D716.

Omvandling mellan talsystem

Låt oss göra en funktion som omvandlar ett decimaltal tal till ett annat talsystem med basen bas. Kalla funktionen

convert(tal, bas).

Funktionen ska returnera en sträng med det omvandlade talet.

Som vi sett tidigare kan funktionen definieras rekursivt:

convert(tal, bas) = ^”” , om tal= 0

convert(tal, bas) = convert(q, bas) +r , om tal≠ 0

{

där, som tidigare, ^q= ^tal/^basoch ^r = ^tal-^q— ^bas. Då^r≥ 10 får man tänka på att ersätta ^rmed lämplig symbol.

Omvandling mellan talsystem

Hur omvandlar man ett tal från ett godtyckligt talsystem till ett annat?

bas1 bas2

10 Svar: Omvandla först

till det decimala tal- systemet.

Omvandling mellan talsystem

Om bägge baserna är tvåpotenser går det snabbare att först omvandla till basen 2.

bas1=2ⁿ¹ bas2=2ⁿ²

2