• No results found

1. Vi börjar med sidan S 1 : 0 ≤ x, y ≤ 2, z = 0. Denna sida kan parametriseras genom

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "1. Vi börjar med sidan S 1 : 0 ≤ x, y ≤ 2, z = 0. Denna sida kan parametriseras genom"

Copied!
2
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Egmont Porten Höst 2013/2014 Mittuniversitetet

DMA

Lösning till övning 7 Flervariabelanalys

1. Vi börjar med sidan S 1 : 0 ≤ x, y ≤ 2, z = 0. Denna sida kan parametriseras genom

~ r(x, y) = x~ı + y~ , 0 ≤ x, y ≤ 2 och vi får ∂~ r

∂x = ~ı, ∂~ r

∂y = ~  och ~ n = ∂~ r

∂x × ∂~ r

∂y = ~ı × ~  = ~ k. Eftersom ~ n pekar in i T blir flödet genom S 1

− Z Z

S

1

~  · ~ k dx dy = 0.

På samma sätt får man flödet noll genom sidorna

0 ≤ x, y ≤ 2, z = 2, 0 ≤ y, z ≤ 2, x = 0, 0 ≤ y, z ≤ 2, x = 2.

Vi parametriserar nu S 2 : 0 ≤ x, z ≤ 2, y = 0 genom ~ r(x, z) = x~ı + z~ k, 0 ≤ x, z ≤ 2.

Flödet blir

− Z 2

0

dx Z 2

0

~

 · ~  dy = −4.

För S 3 : 0 ≤ x, z ≤ 2, y = 2 får vi flödet 4. Alltså är det totala flödet 0.

2. Vi börjar med den vertikala delen S V parametriserad genom

~

r(θ, u) = 4 cos(θ)~ı + sin(θ)~  + u~k, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ u ≤ 5.

~ r θ = 4 − sin(θ)~ı + cos(θ)~ , ~r u = ~ k och ~ n = ~ r θ × ~r u = 4 cos(θ)~ı + sin(θ)~ . ~n visar ut ur D och flödet blir

Z 5 0

du Z 2π

0



4u cos(θ) + 16 sin(θ) cos(θ)

 dθ

= 4 Z 5

0

u du Z 2π

0

cos(θ) dθ + 16 Z 5

0

du Z 2π

0

1

2 sin(2θ) dθ

= 4 Z 5

0

u du h

sin(θ) i θ=2π

θ=0 + 8 Z 5

0

du h

− 1

2 cos(2θ) i θ=2π

θ=0

= 0.

(2)

Om vi parametriserar den undre sidan S u : x 2 + y 2 ≤ 16, z = 0 genom ~r(x, y) = x~ı + y~ är

~

n = ~ k (som pekar inåt) och flödet blir

− Z Z

x

2

+y

2

≤16

(−3y 2 z)dx dy z=0 = 0.

S o : x 2 + y 2 ≤ 16, z = 5 parametriserar vi genom ~r(x, y) = x~ı + y~ + 5~k. Nu pekar ~ n = ~ k utåt och flödet blir

Z Z

x

2

+y

2

≤16

(−3)5y 2 dx dy = −15 Z 4

0

r 3 dr Z 2π

0

sin 2 (θ) dθ

= −15 Z 4

0

r 3 dr Z

0

1

2 1 − cos(2θ) dθ

= − 15 2

 r 4 4

 r=4 r=0

 2π −

h 1

2 sin(2θ) i θ=2π

θ=0



= −960π.

3. ∇f =



~ı ∂

∂x + ~  ∂

∂y + ~ k ∂

∂z



f = ∂f

∂x ~ı + ∂f

∂y ~  + ∂f

∂z

~ k

=⇒ ∇ × (∇f ) =



~ı ∂

∂x + ~  ∂

∂y + ~ k ∂

∂z



×  ∂f

∂x ~ı + ∂f

∂y ~  + ∂f

∂z

~ k



=  ∂ 2 f

∂y∂z − ∂ 2 f

∂z∂y



~ı +  ∂ 2 f

∂z∂x − ∂ 2 f

∂x∂z



~  +  ∂ 2 f

∂x∂y − ∂ 2 f

∂y∂x



~ k

Eftersom f är glatt gäller ∂ 2 f

∂y∂z = ∂ 2 f

∂z∂y , ∂ 2 f

∂x∂z = ∂ 2 f

∂z∂x , ∂ 2 f

∂x∂y = ∂ 2 f

∂y∂x och vi får

∇ × (∇f ) = ~0.

References

Related documents

[r]

[r]

Egmont Porten Höst 2013/2014

Egmont Porten Höst 2013/2014

Gissa en potential om det är möjligt (Senare ska vi lära känna en

Egmont Porten Höst 2013/2014

2845.. Ett av nedanstående alternativ är det rätta värdet. a) Ange en följd av 10 konsekutiva positiva heltal som inte inne- håller något primtal... b) Visa att för varje

Fundera inte för länge över dina svar; din spontana reaktion inför varje påstående är förmodligen mer korrekt än ett svar som du tänkt på länge... Jag känner mig spänd