Joakim Edsj¨o

Joakim Edsj¨o

Fysikum, Stockholms Universitet Tel: 08-55 37 87 26

Tentamen i Analytisk Mekanik, 5p

24 augusti 2001 9–15 5 problem p˚ a 6 timmar. Varje problem ger 5 po¨ang.

Skriv namn p˚ a alla blad!

Om du vill ha resultatet skickat till dig per e-post, ange din e-postadress p˚ a f¨orsta sidan.

Hj¨ alpmedel: Physics Handbook och bifogad formelsamling.

1. Betrakta en stel kropp.

a) Visa att vinkelfrekvensvektorn ω ¨ar entydig, dvs oberoende av vilken referenspunkt som

v¨aljs i en roterande stel kropp. (3p)

b) Visa att f¨or tr¨oghetstensorns komponenter g¨aller att I zz ≤ I _xx + I yy . F¨or vilka kroppar

g¨aller likhet? (2p)

2. Om du ¨ ar godk¨ and p˚ a inl¨ amningsuppgifterna beh¨ over du ej g¨ ora denna uppgift utan f˚ ar tillgodor¨ akna dig den ¨ and˚ a.

En dubbel Atwood-maskin (se figur) best˚ ar av tre massor m ¹ , m ² och m 3 f¨orbundna med massl¨osa tr˚ adar. Tr˚ adarna l¨oper i sin tur ¨over tv˚ a massl¨osa trissor som kan rotera friktionsfritt runt sina symmetriaxlar.

Massorna p˚ averkas av gravitationskraften ned˚ at i figuren.

S¨att upp r¨orelseekvationerna f¨or systemet och l¨os dessa. R¨orelsen f¨or de tre massorna kan antas ske helt vertikalt. (5p)

m 1

m ₂

m ₃

3. a) Definiera Poissonparenteser och beskriv hur de kan anv¨andas f¨or att unders¨oka om en transformation (q

e

, p

e

) → (Q

e

, P

e ) ¨ar kanonisk. (3p)

b) Hamiltonianen f¨or ett partikelsystem med tv˚ a frihetsgrader ges av

H = p ² 1

2m + p ² 2

2m + a ¹ q ² ₁ + a ² q ² ₂

Best¨am ett villkor p˚ a a 1 och a 2 s˚ a att q 1 p 2 − q 2 p 1 ¨ ar en r¨orelsekonstant. (2p)

1

4. Betrakta en plan matematisk pendel med l¨angden l och mas- san m. Sn¨oret g˚ ar genom ett h˚ al och dras igenom detta med konstant hastighet α. L¨angden p˚ a pendeln minskar s˚ aledes med tiden och kan skrivas som l(t) = l 0 − αt.

Best¨am Hamiltonianen samt energin f¨or systemet.

Ar Hamiltonianen en r¨orelsekonstant? ¨ ¨ Ar energin en r¨orelsekonstant? Diskutera dina resultat. (5p)

m ϕ

l=l 0 -αt

5. En frisbee kastas iv¨ag med en rotationshastighet p˚ a ν varv/sekund. Rotationsaxeln bildar vinkeln α med symmetriaxeln som ¨ar vinkelr¨at mot frisbeens plan.

a) Visa att symmetriaxeln, r¨orelsem¨angdsmoments- vektorn och vinkelhastighetsvektorn ligger i sam-

ma plan. (3p)

b) Best¨am med vilken vinkelhastighet som sym- metriaxlen roterar kring r¨orelsem¨angdsmoments-

vektorn. (2p)

Frisbeen kan approximeras med en tunn homogen cir- kul¨ar skiva med massan m och radien r.

α r z

m

ω ₀

Lycka till!

L¨ osningar kommer att finnas anslagna efter tentamen. De kommer ¨ aven att finnas tillg¨ angliga p˚ a http://www.physto.se/~edsjo/teaching/am/index.html.

2