• No results found

(1) Visa att l¨ osningar x ∈ R till ekvationen x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "(1) Visa att l¨ osningar x ∈ R till ekvationen x"

Copied!
2
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

TATA79/TEN2 Inledande matematisk analys Provdugga 2, 2015-12-14

Instruktioner: Svara p˚ a alla uppgifter. Det finns sju uppgifter och varje uppgift kan ge maximalt 3 po¨ ang. F¨ or godk¨ ant betyg r¨ acker 9 po¨ ang. Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och ordentligt skrivna. Inga h¨ alpmedel till˚ atna. Lycka till!

(1) Visa att l¨ osningar x ∈ R till ekvationen x

2

= 3 ¨ ar irrationella.

(2) (a) Med hj¨ alp av en bild definiera trigonometriska funktioner cosinus och sinus.

Skissa graphen av sin : R → R.

(b) Med hj¨ alp av en bild bevisa att

cos(θ + ϕ) = cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ f¨ or θ och ϕ som uppfyller θ ≥ 0, ϕ ≥ 0 och θ + ϕ ≤ π/2.

(3) Kom ih˚ ag cosinussatsen:

c

2

= a

2

+ b

2

− 2ab cos θ d¨ ar a, b, c och θ ges i figuren nedan.

Anv¨ ander cosinussatsen eller en annan metod f¨ or att visa

cos  π 8



=

p 2 + √ 2

2 .

(4) Bevisa Bernoullis olikheten: F¨ or alla reella tal x ≥ −1 och alla n ∈ N f˚ ar man att (1 + x)

n

≥ 1 + nx.

Sida 1 av 2 [V¨ and!]

(2)

TATA79/TEN2 Inledande matematisk analys Provdugga 2, 2015-12-14

(5) Kom ih˚ ag att

exp

n

(x) =  0 om n ≤ |x|, 1 +

xn



n

om n > |x|.

(a) Definiera funktionen exp : R → (0, ∞).

(b) Visa att exp(x) ≥ 1 + x f¨ or alla x ∈ R.

(6) (a) Definiera funktionen ln : (0, ∞) → R.

(b) Kom ih˚ ag att exp(x + y) = exp(x) exp(y). Visa att ln(ab) = ln(a) + ln(b) f¨ or alla a, b ∈ (0, ∞).

(c) F¨ or vilka x ∈ R ¨ ar

ln  x

2

− x − 12 x + 1



+ ln (x + 3) (♦)

definierat? Skriva om (♦) s˚ a att det inh˚ aller h¨ ogst en logaritm. F¨ or vilka x ∈ R

¨ ar din omskrivning definierad?

(7) L¨ os ekvationen z

2

− 6z − 3 − 4i = 0 f¨or z ∈ C.

Sida 2 av 2

References

Related documents

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och

Formeln bevisas genom att observera att l¨ angden av rektangels ovansidan i figuren ¨ ar lika med nedansidans l¨

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och