Klarar elever att lösa icke rutinmässiga uppgifter i matematik?

37  Download (0)

Full text

(1)

Institutionen för ingenjörsvetenskap, fysik och matematik Matematik

Per Eklund

Klarar elever att lösa icke rutinmässiga uppgifter i matematik?

Are Students Able to Solve Non Routine Tasks in Mathematics?

Examensarbete 15 högskolepoäng Lärarprogrammet

(2)

Sammanfattning

Syftet med uppsatsen är att undersöka hur elever klarar att lösa problem som inte kan lösas rutinmässigt och där de inte har tillgång till hjälpmedel. Dessutom vill jag undersöka hur elevens betyg och antal matematikkurser eleven har läst påverkar resultatet. För att få svar på detta lät jag eleverna i två klasser ifrån det naturvetenskapliga programmet, en ifrån årskurs ett och en ifrån årskurs tre, svara på ett frågeformulär bestående av uppgifter som inte går att lösa rutinmässigt.

Resultatet visar på att eleverna i årskurs tre klarade testet poängmässigt klart bättre än vad eleverna i årskurs ett gjorde och i båda klasserna visade elever med höga betyg ett bättre resultat än elever med lägre betyg. Det mest överraskande var att båda klasserna trots höga matematikbetyg visade på vissa brister i taluppfattning.

Nyckelord: Naturprogrammet, icke rutinmässiga, betyg, problemlösning

(3)

Abstract

The purpose of the paper is to examine how students are capable of solving problems that can not be solved routinely and where they do not have access to facilities. In addition, I want to examine how the student's grades and number of Mathematic courses pupils have read affect the result. In order to get the answers I let students in two classes from the natural sciences programme, one from grade one and one from grades three, respond to a questionnaire consisting of problems that can not be solved routinely.

The result shows that students in grade three passed the exam clearly better than students in grade one did, and in both classes’ students with higher grades performed better than students with lower grades. The most surprising was that both classes despite high grades in

Mathematic revealed some shortcomings in number sense.

Keywords: Scientific programme, non routine, grades, problem solving

(4)

Innehållsförteckning

1 Inledning ...1

1.1 Bakgrund ...1

1.2 Syfte...1

1.3 Metod...1

2 Litteraturgenomgång ...2

2.1 Problemlösning? ...2

2.2 Nationella prov jämfört med lärargjorda prov...2

2.3 Får eleverna rätt betyg? ...2

2.4 Kursplaner ...3

3 Problemformulering...3

4 Metod...3

4.1 Urval ...3

4.2 Val av metod...4

4.3 Val av uppgifter ...4

4.4 Genomförande ...4

5 Resultat ...5

5.1 Hur klarar elever att lösa icke rutinmässiga problem och förbättras problemlösningsförmågan med antalet matematikkurser som lästs? ...5

5.1.1 Taluppfattning ...5

5.1.2 Diagram ...7

5.1.3 Problemlösning...7

5.1.4 Bråkräkning ...10

5.1.5 Sammanfattning...11

5.2 Har elevens betyg någon betydelse för förmågan att lösa matematiska problem?...11

5.2.1 Taluppfattning ...12

5.2.2 Diagram ...14

5.2.3 Funktioner (endast NV3) ...15

5.2.4 Problemlösning...16

5.2.5 Bråkräkning ...17

5.2.6 Sammanfattning...17

6 Diskussion ...21

6.1 Tillförlitlighet ...21

6.2 Slutord ...21

7 Litteraturlista ...23

Bilaga 1. Test för NV1 ...1

Bilaga 2 Test för NV3 ...1

Bilaga 3 NV1s resultat...1

Bilaga 4 NV3s resultat...1

(5)

1 Inledning

1.1 Bakgrund

Min verksamhetsförlagda utbildning (vfu) spenderade jag främst med en klass i

naturvetenskapliga programmets tredje årskurs. Jag upptäckte att om en uppgift i läroboken byggde på något som eleverna skulle ha lärt sig i ett föregående kapitel så hade de väldigt svårt att komma ihåg denna kunskap. Eleverna var annars väldigt skickliga på att anamma en metod för att lösa en viss sorts uppgift och sedan använda metoden på ett antal uppgifter.

Eftersom matematikundervisningen utgår väldigt mycket ifrån kurslitteraturen, som består av en stor del rutinuppgifter, undrade jag hur eleverna skulle klara problem som inte kan lösas rutinmässigt.

En annan sak som jag uppmärksammade var att eleverna var väldigt beroende av sina

miniräknare och formelsamlingar som de alltid hade tillgång till på så väl lektioner som prov.

Många elever använde även facit för att lösa uppgifter genom att först titta i facit för att sedan pröva sig fram med hjälp av miniräknaren. Hur skulle eleverna klara sig utan sina miniräknare och formelsamlingar egentligen?

1.2 Syfte

Enligt Skolverket (2000:1) skall bedömning i grundskolan av elevernas kunnande i matematik gälla bl.a. kvaliteter som förmåga att använda, utveckla och uttrycka kunskaper i matematik.

Dessa kvaliteter bör rimligen även gälla gymnasiet. Ett strävansmål i matematikämnet på gymnasiet är att eleverna ”utvecklar sin tilltro till den egna förmågan att lära sig mera matematik, att tänka matematiskt och att använda matematik i olika situationer.” (Skolverket 2000:2, sid. 73)

Mitt syfte är att undersöka hur elever klarar att lösa problem som inte kan lösas rutinmässigt och där de inte har tillgång till hjälpmedel. Dessutom vill jag undersöka hur elevens betyg och antal matematikkurser eleven har läst påverkar utfallet.

1.3 Metod

Underlaget för min uppsats är en kvantitativ enkätundersökning i form av ett test samt litteraturstudier.

(6)

2 Litteraturgenomgång

2.1 Problemlösning?

Enligt Boesen (2006) visar flera undersökningar att elever försöker använda sig av ”imitative reasoning” för att lösa problem. För att lösa ett problem söker man efter ett närbesläktat redan känt problem som man sedan antingen kan kopiera hela eller delar av lösningen ifrån. Detta resonemang fungerar ofta väldigt bra då lärare många gånger låter elever arbeta med uppgifter som de förväntas klara av om de använder lösningsmetoder som imiteras ifrån tidigare

uppgifter. Faran med detta är att eleverna knappast blir några problemlösningsexperter.

Boesen menar att detta imiterande resonemang (egen översättning) inte kan utgöra grunden eller fungera som hjälpmedel för att lösa obekanta uppgifter.

En undersökning vid Umeås Universitet av Eklund & Sundström (2006) visar att man kan klara sig relativt bra med detta imiterande resonemang. Deras undersökning av en lärobok på gymnasiet visade att 73 % av uppgifterna gick att lösa genom att på ytliga grunder identifiera liknande exempel, definitioner eller text i boken och imitera den där givna

lösningsproceduren.

2.2 Nationella prov jämfört med lärargjorda prov

Boesen (2006) menar att de nationella proven i matematik och de lärargjorda proven skiljer sig väldigt mycket åt. Medan de nationella proven till stor del testar elevernas förmåga till nya resonemang gör de lärargjorda proven detta till en mycket liten del. Kraven på matematiskt resonemang i de lärargjorda proven bygger till stor del på ett algoritmiskt eller memorerat resonemang. Boesen menar vidare att detta mest bidrar till ett ganska ytligt matematiskt resonemang.

2.3 Får eleverna rätt betyg?

Både skolverket och utbildningsdepartementet har använt de nationella proven som ett

mätinstrument på likvärdig bedömning. Fastän de nationella proven inte prövar alla mål enligt kursplanerna eller aldrig kan spegla en elevs alla kunskaper så bör variationen i skolors relation mellan kursbetyg och provbetyg indikera i vilken grad betygsättningen är likvärdig.

Även om de nationella proven inte är avsedda som examensprov skulle stora variationer i relation mellan provbetyg och kursbetyg visa på bristande likvärdighet när det gäller

bedömning och betygsättning. Skolverket (2007:2): ”Skolverket har även gjort jämförelser av betygen och resultaten på nationella prov. Dessa jämförelser visar att vissa skolor eller lärare tenderar att sätta betyg som ligger betydligt högre eller lägre än vad som borde vara rimligt i förhållande till provresultaten. Sådana skillnader kan vara helt förklarliga när det gäller enskilda elever, men knappast när det gäller betygen i ett visst ämne i en hel skola.

Jämförelserna indikerar att det finns en bristande likvärdighet i betygsättningen.” (sid. 13).

I en analys av Skolverket, (2007:1): sägs att lärarna ska kunna få stöd för sin betygsättning genom de nationella proven, därför är jämförelsen mellan provbetyg och kursbetyg intressant.

Resultatredovisningen visar att ca 20 % av eleverna som når G och VG i de matematiska nationella proven får ett högre kursbetyg än sitt provbetyg. För de som får provbetyget IG på dessa prov är det ca 40 % som får ett högre kursbetyg. Enligt Skolverket skall läraren vid betygsättningen ”utnyttja all tillgänglig information om elevens kunskaper i förhållande till

(7)

kraven i kursplanen” (Skolverket 2004, sid. 47). Så kan läraren enligt Boesen (2006)

motivera ett högre kursbetyg än det provbetyg eleven når upp till på de nationella proven med att eleven har klarat de lärargjorda proven bättre. Eleven kan alltså få ett högre betyg genom att vara duktig på att memorera algoritmer utan någon djupare matematisk förståelse.

2.4 Kursplaner

Matematikämnets syfte är bland annat att eleverna ska uppleva glädje i att utveckla sin matematiska kreativitet och förmåga att lösa problem. För att eleverna ska kunna uppleva denna glädje vid problemlösning bör elevernas egen förmåga och tilltro till denna förmåga utvecklas. Om eleverna själva tolkar och formulerar en problemsituation med matematiska begrepp och symboler samt själva väljer metod för att lösa problemet kommer deras problemlösningsförmåga att öka vilket leder till att eleverna får uppleva en del av matematikens skönhet och logik. (Skolverket 2000:2)

Att kunna använda, utveckla och uttrycka kunskaper i matematik är kvaliteter som bedöms i grundskolan. Dessa kvaliteter slutar inte att vara viktiga på gymnasiet. Kursen Matematik A bygger vidare på matematikutbildningen i grundskolan. Ett av målen där handlar om att eleven skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem. Varje efterföljande kurs bygger vidare på den tidigare bl.a. nämns problemlösning, vilket gör att eleven skall få en djupare matematisk kunskap. (Skolverket 2000:2)

3 Problemformulering

• Hur klarar elever att lösa matematiska problem som inte kan lösas rutinmässigt?

• Förbättras förmågan att lösa icke rutinmässiga matematiska problem med antalet matematikkurser som lästs?

• Har elevens betyg någon betydelse för förmågan att lösa icke rutinmässiga problem?

4 Metod

För att kunna få svar på mina frågor har jag använt mig av en kvantitativ strategisk undersökningsmetod i form av en enkät, med ca 7st testfrågor. Frågorna är hämtade ifrån gamla nationella matematikprov (Institutionen för beteendevetenskapliga mätningar, 2008), gamla känguruuppgifter* (Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM, 2008) och uppgifter från ett taluppfattningstest (Elevers lärande i matematik, taluppfattningstest, 2007).

* Kangourou sans Frontières är en internationell rörelse som årligen genomför en matematiktävling med inriktning på alla elever, det är alltså inte en elittävling

4.1 Urval

De utvalda klasserna är två klasser ifrån det naturvetenskapliga programmet, en ifrån årskurs ett (NV1) och en ifrån årskurs tre (NV3). Båda klasserna består av drygt 20 elever och

(8)

4.2 Val av metod

För att kunna göra mina jämförelser får eleverna besvara ett antal frågor. De flesta är lika för de båda klasserna. Testets gemensamma frågor är utformade så att de passar ettorna som endast har läst Matematik A.

På enkäten kommer ettorna att få fylla i sitt preliminära/troliga betyg i Matematik A och treorna kommer att få fylla i sina betyg i Matematik A, B, C och preliminära/troliga betyg för Matematik D. Detta görs för att kunna jämföra resultatet på provet med elevens betyg.

4.3 Val av uppgifter

Eftersom jag vill undersöka elevernas förmåga att lösa uppgifter som inte kan lösas

rutinmässigt har jag jämfört mina uppgifter med elevernas kurslitteratur (Björk et al, 1999) för att säkerställa att uppgifterna inte kan kallas rutinuppgifter.

Uppgifterna 1a-1e (Bilaga 1 & 2) och uppgift 2 är taluppfattningsuppgifter. Dessa uppgifter blir väldigt intressanta då eleverna är vana vid att använda sig utav miniräknare vilket de inte är tillåtna att göra på detta test. Klasserna fick olika uppgifter som uppgift 2. Detta beror på att jag vill undersöka treornas taluppfattning rörande logaritmer och det naturliga talet e,

områden som inte ettorna behandlat ännu.

Uppgifterna 3a och 3b (Bilaga 1 & 2) är uppgifter som prövar förmågan att läsa av diagram.

Diagramuppgifter i kurslitteraturen är oftast konstruerade så att eleven endast behöver läsa av ett specifikt värde som uppgiften frågar efter. Diagramuppgifterna på detta test kräver lite mer förståelse av diagram.

Uppgift 4 (Bilaga 2) för NV3 handlar om att para ihop en beskrivning av en funktion med en bild av en graf som stämmer in på beskrivningen.

Uppgift 5 och 7 (Bilaga 2) för NV3 är uppgift 4 och 6 (Bilaga 1) för NV1 (NV1 hade en uppgift mindre än NV3). Dessa uppgifter behandlar problemlösning där eleverna själva måste inse matematiska samband samt att eventuellt införa egna beteckningar eller rita egna figurer.

Uppgift 6 (Bilaga 2) för NV3 (uppgift 5 (Bilaga 1) för NV1) prövar elevernas kunnande och vilja att använda sig utav bråkräkning. Liksom de tidigare taluppfattningsuppgifterna blir denna uppgift extra intressant med tanke på att miniräknaren inte är ett tillåtet hjälpmedel.

Se bilaga 1 och bilaga 2 för de båda klassernas test.

4.4 Genomförande

Testet genomfördes samma dag med de två klasserna. På förmiddagen med NV3 där bortfallet var 3 stycken eller 13 %. Klassen hade 45 minuter till sitt förfogande för att genomföra testet.

Samtliga var klara efter 35 minuter. De flesta var klara efter 25 minuter. NV1 gjorde sitt test på eftermiddagen där var bortfallet 1 stycken eller 4 %. Även denna klass hade 45 minuter till sitt förfogande. Två stycken satt tiden ut. Båda klasserna gjorde testet utan hjälpmedel dvs.

eleverna fick klara sig utan miniräknare och formelsamling.

(9)

5 Resultat

I detta avsnitt presenterar jag resultatet av min undersökning. Resultatet redovisas i två delar.

I den första delen redovisas hur eleverna har klarat testet samt en jämförelse mellan de båda klasserna. I den andra delen görs en jämförelse mellan elevernas resultat och deras betyg.

Testets uppgifter har jag grupperat på följande sätt.

Uppgift Kategori

1a-1e Taluppfattning

2 NV3 2 NV1 Taluppfattning Taluppfattning

3a-3b Diagram

4 NV3 Funktioner

5, 7 NV3 4, 6 NV1 Problemlösning

6 NV3 5 NV1 Bråkräkning

Tabell 5-1 Uppgiftsgruppering

5.1 Hur klarar elever att lösa icke rutinmässiga problem och förbättras problemlösningsförmågan med antalet

matematikkurser som lästs?

I den här delen redogörs för resultatet av min undersökning om hur elever klarar att lösa problem som inte kan lösas rutinmässigt och om förmågan att lösa problem förbättras med antalet matematikkurser som lästs.

En förutsättning för att kunna göra denna undersökning är att klasserna betygsmässigt är ganska likvärdiga. En jämförelse mellan de båda klassernas betyg eller förväntade betyg i Matematik A visar att klasserna har ganska likvärdiga betyg för denna matematikkurs.

Betyg Matematik A NV1 (23st) NV3 (20st)

MVG 11 (48 %) 12 (60 %)

VG 11 (48 %) 7 (35 %)

G 1 (4 %) 1 (5 %)

Tabell 5-2 Betyg i Matematik A

5.1.1 Taluppfattning

Uppgifterna 1a-1e klarades i genomsnitt av 72 % i NV1 och av 87 % i NV3. NV1 visar på ganska så stora brister i taluppfattning medan NV3 ligger på en högre nivå på samtliga uppgifter. Skillnaden mellan klasserna är ganska lika på samtliga uppgifter. Med tanke på elevernas höga betyg i båda klasserna är resultatet på taluppfattningsuppgifterna

förvånansvärt lågt. Speciellt uppgiften där eleverna ska ange en täljare som är något större än nämnaren hade båda klasser problem med.

(10)

1.a) Ange ett tal som ligger någonstans mellan 5103 och 5102. (Endast svar) Uppgift 1a klarade 74 % av NV1 och 95 % av NV3. Det blir en skillnad mellan klasserna på 21 procentenheter vilket gör denna uppgift till den uppgift med den största skillnaden mellan klasserna på frågor som rör taluppfattning.

1.b) Ange två tal som har produkten 10 . 5 (Endast svar)

På uppgift 1b svarade 70 % av NV1 rätt jämfört med 80 % av NV3. Samtliga elever utom en som svarade fel på denna uppgift har även svarat fel på ytterligare minst en till

taluppfattningsuppgift. Värt att notera är att den elev i NV1 som klarade testet sämst endast hade ett rätt hade sitt enda rätt på denna uppgift. En del av felen kan bero på räknefel men vissa svar visar att en del elever inte vet hur 105 ser ut utskrivet. Somliga vet inte vad en produkt är, då man har adderat istället för multiplicerat.

1.c) Ange två bråk som har summan 6

1. (Endast svar) Uppgift 1c klarade 78 % av NV1 och 90 % av NV3.

1.d) Hur mycket är 29 0,8? Uppskatta svaret utan beräkningar. (Endast svar) A. Mindre än 29 B. Lika med 29 C. Större än 29 Uppgift 1d var den uppgift som båda klasserna klarade bäst, 87 % av NV1 och 100 % av NV3 klarade denna uppgift.

1.e) Vilken pil pekar på ett bråk där täljaren är något större än nämnaren?

A B C D E F G (Endast svar)

Uppgift 1e var tydligen betydligt svårare då båda klasserna hade stora problem med denna, endast 52 % av NV1 och 70 % av NV3 svarade rätt här. Anmärkningsvärt är att sex stycken i NV1 inte svarade på denna uppgift. Att man inte svarar på en uppgift som man åtminstone kan chansa på är väldigt underligt. De nio som klarade minst uppgifter i NV1 har inte klarat denna uppgift. Det vanligaste felalternativet i NV3 (3st) var F. Alltså en täljare som är lite drygt dubbelt så stor som nämnaren.

(11)

5.1.2 Diagram

Diagramuppgifterna 3a och 3b var uppgifter som inte vållade några större problem. Det var 87

% i NV1 och 95 % i NV3 som klarade dessa uppgifter. I båda klasserna var det samma elever som inte klarade uppgifterna 3a och 3b. I NV1 var det samma tre elever som klarade minst antal uppgifter på testet som inte klarade dessa uppgifter De fyra som svarade fel har samtliga svarat att det är fem stycken som duschar på morgonen. Förklaringen som ges är att det är vid diagrammets toppar som någon duschar.

3. Hos familjen Johansson har man en varmvattenberedare, där kallt vatten värms till temperaturen 60 . Diagrammet visar hur temperaturen i °

varmvattenberedaren varierar en vanlig vardagsmorgon.

Man använder varmvattnet endast till att duscha.

5.1.3 Problemlösning

Uppgifterna 5 och 7 klarades i genomsnitt av 26 % i NV1 och av 60 % i NV3. Främst uppgift 7 vållade stora problem, speciellt i NV1 där endast två stycken elever lyckats svara rätt. Det vanligaste felet på uppgift 5 var att ange grusgångens bredd som 2 meter. På uppgift 7 så har en stor del av eleverna uppskattat svaret eller räknat med att det är en kvadrat istället för en rektangel.

(12)

5. Runt en rektangulär trädgård finns en grusgång som är lika bred överallt. Om man går längs gångens ytterkanter blir det 8m längre än om man går längs innerkanterna.

Hur bred är grusgången?

Uppgift 5 klarades av 43 % i NV1 och av 80 % i NV3. Uppgiften har lösts på två olika sätt som båda förekommer i båda klasser.

1. Grafisk lösning

De som har löst uppgiften grafiskt har gjort en skiss, som samtliga ser ungefär likadana ut.

Figur 5-1 Grafisk lösning av uppgift 5

Eleverna har helt enkelt ritat de sträckor som är extra för ytterkanten jämfört med innerkanten. Då ytterkanten var 8 meter längre än innerkanten så har dessa 8 meter dividerats med de 8 extra sträckorna.

2. Lösning med endast beräkningar

De som har löst uppgiften med endast beräkningar har resonerat på ungefär följande sätt.

Beräkningstyp 1

(m) 1 8

4 8

4x+ y= x+ y=

Beräkningarna illustreras inte med någon figur. Men tanken bör vara så här att VL är ytterkanten och HL är innerkanten med x som längden av en sida i

trädgården och y som grusgångens bredd.

Beräkningstyp 2

(m) 1 2 / 2 2 4 /

8 = =

Dessa beräkningar har inte heller illustrerats med någon figur. Men tanken bör ändå vara att de 8 extra metrarna som ytterkanten är jämfört med innerkanten divideras med 4 sidor. Detta ger 2 meter på varje sida. Dessa 2 meter divideras sedan med 2 vilket ger 1 meter i vardera ända på sidan vilket är det samma som grusgångens bredd alltså 1 meter.

(13)

Det vanligaste felsvaret i de båda klasserna (7st i NV1 och 4st i NV3) är 2 m. De flesta som har svarat fel har använt sig utav följande beräkning.

2 4 /

8 =

Det troliga är dessa elever har räknat fram att varje yttersida blir 2 meter längre än dess innersida och tänkt att detta blir då grusgångens bredd. Men det de har glömt eller inte tänkt på är att dessa 2 extra metrar blir jämt fördelade på var sin ända vilket i sin tur ger grusgångens bredd. Detta är ett fel som många kunde ha undvikit om de bara gjort en egen figur, vilket väldigt få har gjort.

7. Rektangeln på bilden är indelad i 7 kvadrater.

De tre grå kvadraterna till höger har sidlängden 8 cm.

Vilken sidlängd har den stora vita kvadraten?

Uppgift 7 var den svåraste frågan. På denna svarade 9 % i NV1 rätt jämfört med 40 % i NV3.

Precis som på uppgift 5 så har eleverna i båda klasserna använt sig utav två olika lösningsmetoder: en grafisk och en med endast beräkningar.

1. Grafisk lösning

Eleverna som har löst den grafiskt har insett att den stora vita kvadraten har bredden tre små kvadrater så är även höjden tre små kvadrater, vilket ger att rektangelns höjd är fyra små kvadrater. Detta resonemang ger följande uträkning.

cm 18 : svar 18 3 6

4 6 24

24 3 8

=

=

=

2. Lösning med endast beräkningar

cm 18 : svar 18 3 6

6 24

4

3 24

24 3 8

=

=

=

=

=

x x

x x

(14)

jag har valt att inte godkänna dessa svar. Det andra är då eleverna inte tagit med i beräkningen att en rektangel inte har samma höjd som bredd. Då har man gjort följande beräkning.

) ( 16 8 24 24 3

8 = = cm

Man har räknat ut höjden till 24, vilket stämmer, men att sedan ta detta subtraherat med 8 (en grå kvadrat) och tro att man får bredden på den stora vita kvadraten är fel.

Jag strök under ordet rektangel i frågan för att undvika detta.

5.1.4 Bråkräkning

Bråkräkningsuppgiften uppgift 6 klarades av 17 % i NV1 och av 60 % i NV3.

Bråkräkningsuppgiften är den uppgift som visar på den största skillnaden mellan eleverna i NV1 och NV3.

6. En flaska rymmer 13 liter och den är fylld till 3 4.

Hur mycket kommer den att innehålla efter det att man har hällt ut 20 cl?

En korrekt lösning ska se ut på ett liknande sätt.

cl 5 cl 20 cl 25 cl 25 4l 1 4 1 12

3 4 3 3

1 = = = =

Den i särklass vanligaste (16st i NV1 och 4st i NV3) icke godkända lösningen är då eleven använder sig av att

33 . 3 0 1 =

Standardlösningen för ett sådant resonemang ser ut på följande sätt.

(cl) 75 . 4 20 75 . 24

75 . 24 75 . 0 33 . 75 . 24 3 25 . 8 25 . 4 8 33

cl 33 cl 3 . 33 3l 1

=

=

=

=

=

alt

Eleverna väljer alltså hellre att arbeta med division och multiplikation med decimaltal vilket medför uppställningar och beräkningar istället för att arbeta med bråk. Att många elever inte känner sig bekväma med bråkräkning tydliggörs även på ett annat felsvar som förekom i NV3. Där har eleven påbörjat en bråkräkning men inte klarat av detta och således gett upp.

(15)

5.1.5 Sammanfattning

Det sammanlagda resultatet av jämförelsen mellan NV1 och NV3 visar att NV3 har klarat samtliga uppgifter poängmässigt bättre än NV1.

Uppgift

NV1 23st

NV3 20st

Skillnad i Procentenheter

Antal rätt % Antal rätt %

1a 17 74 19 95 21

1b 16 70 16 80 10

1c 18 78 18 90 12

1d 20 87 20 100 13

1e 12 52 14 70 18

3a 20 87 19 95 8

3b 20 87 19 95 8

5 10 43 16 80 37

6 4 17 12 60 43

7 2 9 8 40 31

Tabell 5-3 Uppgifter klarade av antal elever

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Procentuellt antal godkända uppgifter

Taluppfattning Diagram Problemlösning Bråkräkning Uppgiftstyp

Jämförelse mellan NV1 och NV3

NV1 NV3

Figur 5-2 Procentuellt antal godkända uppgifter jämfört mellan klasserna

5.2 Har elevens betyg någon betydelse för förmågan att lösa matematiska problem?

I detta avsnitt redogörs för resultatet av min undersökning om elevens betyg har någon betydelse för förmåga att lösa problem.

I NV1 gör jag jämförelsen mellan elever med ett förmodat MVG i Matematik A jämfört med de förmodade betygen VG och G (endast en med G) i Matematik A.

NV3 har fyra matematikbetyg. Därför har jag har blivit tvungen att gruppera klassen. Jag har valt att göra grupperingen efter matematikbetygens meritvärde. Ett MVG är värt 20p, ett VG

(16)

Kurs Antal poäng Matematik A 100p

Matematik B 50p Matematik C 100p Matematik D 100p

Tabell 5-4 Storlek av kurser

Alltså ett MVG i Matematik A ger 2000p medan ett MVG i Matematik B ger 1000p.

Jag har sedan delat in NV3 i tre grupper efter meritpoäng och antalet MVG, grupp 1 har tre eller fyra stycken MVG, grupp 2 har 2 stycken MVG och grupp 3 har ett eller inget MVG- betyg. Detta ger följande indelning.

Gruppnamn Meritpoäng Antal

1 6500-7000 6st

2 6000-6250 6st

3 3500-6000 8st

Tabell 5-5 Indelning av meritpoäng

5.2.1 Taluppfattning

Uppgifterna 1a-1e och uppgift 2 klarades av 83 % av NV1s elever med MVG jämfört med 57

% för de med VG eller G i betyg. Det är alltså en skillnad på 26 procentenheter mellan de två grupperna. Fem stycken elever klarade samtliga taluppfattningsuppgifter. Samtliga har MVG i betyg dessutom var det dessa fem som klarade flest uppgifter på testet. I NV3 svarade 92 % av grupp 1 rätt och 86 % av grupp 2. Den stora skillnaden ligger mellan dessa grupper och grupp 3 där endast 65 % svarade rätt. Medianvärdet för antal klarade uppgifter är i grupp 1 och 2 på 5.5 medan medianen i grupp 3 är 4. Ingen av eleverna i grupp 3 klarade samtliga taluppfattningsuppgifter.

Uppgift 1.a)

Ange ett tal som ligger någonstans mellan 5103 och 5102.

NV1 NV3

MVG 100% Grupp 1 100%

VG & G 50% Grupp 2 100%

Grupp 3 88%

NV1 har en anmärkningsvärd stor differens mellan MVG-elever och elever med VG eller G.

Samtliga elever i NV1 med MVG har svarat rätt medan endast hälften av de övriga svarade rätt.

I NV3 svarade samtliga utom en rätt, denna enda elev återfinns i grupp 3.

Uppgift 1.b)

Ange två tal som har produkten 10 . 5

NV1 NV3

MVG 82% Grupp 1 100%

VG & G 58% Grupp 2 83%

Grupp 3 63%

(17)

Uppgift 1.c)

Ange två bråk som har summan 6 1.

NV1 NV3

MVG 91% Grupp 1 83%

VG & G 67% Grupp 2 100%

Grupp 3 88%

Detta är den enda uppgift som grupp 1 i NV3 har den lägsta lösningsprocenten av de tre grupperna. Men skillnaden är ändå ganska liten eftersom det endast är en elev i både grupp 1 och 3 som inte klarat denna uppgift.

Uppgift 1.d)

Hur mycket är 29 0,8? Uppskatta svaret utan beräkningar.

A. Mindre än 29 B. Lika med 29 C. Större än 29

NV1 NV3

MVG 82% Grupp 1 100%

VG & G 92% Grupp 2 100%

Grupp 3 100%

I NV1 är detta den enda uppgiften som elever med VG eller G klarat bättre än de som har MVG.

I NV3 klarade samtliga elever denna uppgift.

Uppgift 1.e)

Vilken pil pekar på ett bråk där täljaren är något större än nämnaren?

A B C D E F G

NV1 NV3

MVG 73% Grupp 1 100%

VG & G 33% Grupp 2 83%

Grupp 3 38%

Denna uppgift var tydligen betydligt svårare speciellt för elever med lägre betyg i både NV1 och NV3.

Anmärkningsvärt är att fem stycken av eleverna i NV1 med VG eller G inte svarade.

Uppgift 2

(NV1) Ange två olika tal, ett decimaltal och ett tal i bråkform, som båda ligger mellan

4 1 och

3 1.

(NV3) Ordna följande tal i storleksordning. Börja med det minsta.

(18)

Grupp 3 13%

I NV1 är det tio stycken elever som svarar fel. Det anmärkningsvärda är att åtta av dessa tio har lyckats att ange ett decimaltal inom det önskade området. Men eftersom området var angivet i bråkform så har eleverna alltså lyckats att omvandla tal i bråkform till tal i decimalform.

Man har gjort omskrivningen 0.3333..

3 och1 25 . 4 0

1 = = men sedan har de alltså inte klarat att

ange ett tal i bråkform mellan 4 1 och

3

1. Detta visar på att eleverna har stora problem eller är väldigt ovana med att arbeta med tal i bråkform.

I NV3 var detta den svåraste taluppfattningsuppgiften. Utav de tolv felsvaren förkom alla olika varianter, dock ingen mer än tre gånger. Om det är logaritmer, det naturliga talet e eller överslagsräkning eleverna har problem med är omöjligt att säga.

5.2.2 Diagram Uppgift 3.

Hos familjen Johansson har man en varmvattenberedare, där kallt vatten värms till temperaturen 60 . Diagrammet visar hur temperaturen i varmvattenberedaren varierar en ° vanlig vardagsmorgon.

Man använder varmvattnet endast till att duscha.

NV1 NV3

MVG 100% Grupp 1 100%

VG & G 75% Grupp 2 100%

Grupp 3 88%

I NV3 var det endast en som inte klarade dessa uppgifter.

(19)

5.2.3 Funktioner (endast NV3) Uppgift 4.

(20)

NV3

Grupp 1 100%

Grupp 2 100%

Grupp 3 50%

Funktionsuppgiften visar på ett väldigt stort samband mellan elevernas betyg och deras förmåga att lösa denna uppgift. Grupp 1 och 2 hade inte några som helst problem med denna uppgift. I båda grupperna klarade samtliga den, medan endast hälften i grupp 3 svarade rätt.

Tre utav de fyra som inte klarade denna uppgift klarade inte av beskrivningarna för graferna f och g. De klarade däremot av grafen h.

5.2.4 Problemlösning Problemlösning

Uppgifterna 5 och 7 klarade 41 % av NV1s elever med MVG och 13 % av elever med VG eller G. Om inte skillnaden varit så stor tidigare mellan grupp 1 och 2 så blir den det nu. Det visar sig att grupp 2 nu istället ligger närmre grupp 3 än grupp 1. I Grupp 1 klarade 75 % av problemlösningsuppgifterna medan grupp 2 och 3 klarade 58 % respektive 50 % av eleverna dessa uppgifter.

Uppgift 5.

Runt en rektangulär trädgård finns en grusgång som är lika bred överallt. Om man går längs gångens ytterkanter blir det 8m längre än om man går längs innerkanterna.

Hur bred är grusgången?

NV1 NV3

MVG 64% Grupp 1 100%

VG & G 25% Grupp 2 67%

Grupp 3 75%

I NV3 klarade samtliga elever i grupp 1 uppgiften medan grupp 3 klarade sig bättre än grupp 2.

(21)

Uppgift 7.

Rektangeln på bilden är indelad i 7 kvadrater.

De tre grå kvadraterna till höger har sidlängden 8 cm.

Vilken sidlängd har den stora vita kvadraten?

NV1 NV3

MVG 18% Grupp 1 50%

VG & G 0% Grupp 2 50%

Grupp 3 25%

I NV1 var det ingen av eleverna med de lägre betygen som klarade denna uppgift.

I NV3 klarade eleverna i grupp 1 och 2 uppgiften lika bra.

5.2.5 Bråkräkning Uppgift 6.

En flaska rymmer 13 liter och den är fylld till 3 4.

Hur mycket kommer den att innehålla efter det att man har hällt ut 20 cl?

NV1 NV3

MVG 36% Grupp 1 83%

VG & G 0% Grupp 2 67%

Grupp 3 38%

I NV1 var det ingen av eleverna med de lägre betygen som klarade denna uppgift.

I NV3 blev skillnaderna mellan de olika grupperna stora.

5.2.6 Sammanfattning

I NV1 klarade eleverna med MVG som betyg i Matematik A sig bättre än eleverna med VG eller G på samtliga uppgifter förutom en taluppfattningsuppgift. Sett över de fyra olika områdena taluppfattning, diagram, problemlösning och bråkräkning är den procentuella skillnaden på antal lösta uppgifter mellan elever med MVG och elever med VG eller G ca 30 procentenheter.

(22)

Uppgift Antal rätt % Antal rätt % Antal rätt % Antal rätt % Antal rätt %

1a 11 100 6 50 6 100 6 100 7 88

1b 9 82 7 58 6 100 5 83 5 63

1c 10 91 8 67 5 83 6 100 7 88

1d 9 82 11 92 6 100 6 100 8 100

1e 8 73 4 33 6 100 5 83 3 38

2 8 73 5 42 4 67 3 50 1 13

3a 11 100 9 75 6 100 6 100 7 88

3b 11 100 9 75 6 100 6 100 7 88

4 6 100 6 100 4 50

5 7 64 3 25 6 100 4 67 6 75

6 4 36 0 0 5 83 4 67 3 38

7 2 18 0 0 3 50 3 50 2 25

NV1 NV3

MVG (11st) VG & G (12st) Grupp 1 (6st) Grupp 2 (6st) Grupp 3 (8st)

Tabell 5-6 Antal godkända uppgifter med betygsindelning

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Taluppfattning Diagram Problemlösning Bråkräkning

MVG VG & G

Figur 5-3 Procentuellt antal godkända uppgifter jämfört med betyg i NV1

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Taluppfattning Diagram Funktioner Problemlösning Bråkräkning

Grupp 1 Grupp 2 Grupp 3

Figur 5-4 Procentuellt antal godkända uppgifter jämfört med betyg i NV3

(23)

-1 1 3 5 7 9 11

MVG MVG MVG MVG MVG MVG MVG MVG MVG MVG MVG VG VG VG VG VG VG VG VG VG VG VG G

Betyg

Antal godkända uppgifter

Elev

Figur 5-5 Jämförelse mellan betyg och antal godkända uppgifter i NV1

Anmärkningsvärt är att två stycken med MVG endast har klarat fem stycken uppgifter. Men de åtta bästa resultaten kommer ifrån elever med MVG.

Grupp 1 och 2 är likvärdiga på områdena taluppfattning, diagram och funktioner medan grupp 3 ligger lägre på samtliga områden. Anmärkningsvärt är att endast drygt hälften i grupp 3 klarade funktionsuppgiften jämfört med att samtliga i grupp 1 och 2 klarade denna uppgift. På de övriga områdena problemlösning och bråkräkning är de olika grupperna mer utspridda.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Elev nr

Merit

0 2 4 6 8 10 12

Antal tt

Meritvärde

Antal uppgifter klarade

(24)

betygen MVG i kurserna A, C och D och VG i B-kursen, eleven med 5000p har betygen MVG i B-kursen, VG i A och D kurserna samt G i C-kursen. Eleverna har inte bara lyckats att klara lika många uppgifter utan även exakt samma uppgifter. Uppgifterna 2, 6 och 7 har inte klarats av.

Båda diagrammen visar på ett tydligt samband mellan elevernas betyg och deras förmåga att lösa icke rutinuppgifter.

(25)

6 Diskussion

Om elever har bra betyg borde det givetvis inte innebära att de endast är duktiga på

rutinuppgifter och enbart använder sig utav som Boesen kallar det ”imitative reasoning”. Det skulle kunna vara på detta sätt, men min undersökning visar på att de elever som har bra betyg även är de som har klarat de icke rutinmässiga uppgifterna bäst. Att det alltid skulle vara på detta sätt att ett högre betyg visar på ett bättre resultat är inte alltid säkert. En studie rörande gymnasieelevers grundläggande begreppsförståelse i kemi relaterat till deras betyg i A-kursen, gjord vid Högskolan i Karlstad (Kronlund, 1996), visar att det inte finns något samband mellan elevernas betyg och deras grundläggande begreppsförståelse.

Elever ägnar en stor del av lektionerna åt att självständigt lösa uppgifter ifrån kurslitteraturen.

Då den största delen av uppgifterna är uppgifter som går att lösa rutinmässigt, skulle man kunna tro att skillnaden mellan elevers förmåga att lösa icke rutinmässiga uppgifter inte skulle vara så stor mellan elever i årskurs ett och tre.

Min undersökning visar däremot på en ganska stor skillnad mellan elever i årskurs ett och tre.

Eleverna i årskurs tre visar på en betydligt större skicklighet i att lösa dessa uppgifter, fast de egentligen inte haft någon större träning på detta då den mesta tiden ägnas åt uppgifter som går att lösa rutinmässigt.

6.1 Tillförlitlighet

Jag var själv närvarande vid båda tillfällena då de båda klasserna gjorde testet och mitt intryck är att eleverna gjorde sitt bästa för att svara så pass bra som möjligt på uppgifterna. Betygen som eleverna själva fick uppge på de anonyma testformulären stämde väl överens med de betyg som de båda lärarna informerat mig om att eleverna hade eller skulle få.

Att bedöma elevernas förmåga att lösa uppgifter som inte kan lösas rutinmässigt är givetvis mycket svårt. För att göra detta ordentligt skulle det förmodligen krävas många fler uppgifter över flera områden än de som jag har valt i min undersökning, vilket skulle betyda ett mycket större arbete för mig och mer utav elevernas lektionstid. Jag ser två svagheter med min undersökning. En är att det inte är särskilt många uppgifter på testet, så resultat är väldigt beroende av dessa frågor och den andra är att det endast är två klasser som jämförs.

6.2 Slutord

Båda resultaten, att de med bra betyg klarade uppgifterna bättre än de med lägre betyg och att eleverna i årskurs tre klarade uppgifterna bättre än eleverna i årskurs ett var inte någon större överraskning. Mina förväntningar var att de elever som hade de höga betygen skulle visa på en högre problemlösningsförmåga än de med lägre betygen, samt att eftersom eleverna i årskurs tre har läst fler matematikkurser än eleverna i årskurs ett borde de ha en bättre förståelse för matematikämnet. Att sedan skillnaden mellan de båda klasserna blev så stor hade jag inte förväntat mig. Det som överraskade mig mest var att de båda klasserna inte klarade taluppfattningsuppgifterna bättre, speciellt då de har mycket höga matematikbetyg.

Om man gör en jämförelse av resultaten av taluppfattningsuppgifterna 1a-1e som var

(26)

lästs gör. På övriga områden klarar sig NV3s samtliga grupper bättre än någon av NV1s grupper.

Att NV3 hade stora problem med logaritmer och det naturliga talet e, bekräftas av ett samtal jag hade med deras matematiklärare där denna menade på att eleverna haft problem med både logaritmer och e. Min undersökning visar på att de fortfarande har dessa problem och de är inte ensamma.

I en undersökning vid KTH med titeln ”Lärares och studenters syn på KTH:s

introduktionskurs i matematik” (Thunberg & Filipsson, 2006) skulle studenter och lärare klassificera olika avsnitt ifrån matematiken på gymnasiet. Avsnittet Logaritmer hamnade nästan entydigt i kategori C (den näst svåraste). Slutsatsen som Thunberg & Filipsson gör är att ”alla studenter har hört talas om logaritmer, och lärt sig några enkla räknegrepp. Men de allra flesta saknar såväl uppövad räknefärdighet som förståelse för logaritmer som begrepp”.

Diagramuppgifterna hade eleverna inte några större problem med.

Uppgiften rörande funktioner hade endast de eleverna med lägst betyg problem med. De verkade dock ha klart för sig att derivatan för en extrempunkt är noll.

Problemlösningsuppgifterna visade på skillnader mellan dels de som hade de högre betygen och de som hade lägre betygen samt mellan de båda årskurserna. De som hade de högre betygen visade på ett poängmässigt bättre resultat än de med lägre betygen och de som gick i årskurs tre klarade sig bättre än de som gick i årskurs ett.

Att bråkuppgiften skulle visa på stora skillnader mellan de båda klasserna var överraskande då bråkräkning inte utgör någon större del i någon av B-, C- eller D-kurserna.

Elevernas problem med bråkuppgiften tror jag kan bero på att eleverna hellre väljer att arbeta med decimaltal, även om detta innebär mer uppställningar, beräkningar och avrundning än vad bråkräkning medför. En kanske troligare orsak är att eleverna inte ens tänker tanken att man kan arbeta med bråk. Jag tror att man ser bråk som något man slår på miniräknaren och därmed får ett decimaltal som är bekvämare att arbeta med.

Att man är van vid att använda miniräknaren i så stor utsträckning kan också vara en bidragande orsak till resultatet på taluppfattningsuppgifterna. Jag tror att elever kan få problem med potenser och bråktal om de i alla lägen använder sig utav miniräknare eftersom miniräknaren alltid generar ett svar i decimalform. Däremot om miniräknaren inte alltid används, den får t.ex. inte ersätta huvudräkning, kan den vara till hjälp vid problemlösning då eleverna inte behöver ägna tid och koncentration åt algoritmer utan kan ägna mer tid åt själva problemlösningen.

(27)

7 Litteraturlista

Björk, Lars-Eric, Borg, Kenneth, Brolin, Hans, Ekstig, Kerstin, Heikne, Hans & Larsson, Krister, (1999). Matematik 3000. Matematik tretusen, kurs A grundbok. Stockholm: Natur och Kultur.

Boesen, Jesper (2006). ASSESSING MATHEMATICAL CREATIVITY. Comparing national and teacher-made tests, explaining differences and examining impact. Umeå Universitet, Institutionen för Matematik och Matematisk statistik, Umeå

Eklund, Rebecka & Sundström, Martin (2006). Matematiskt resonemang - en studie av uppgifterna i en lärobok på gymnasiet. Umeå Universitet, Institutionen för Matematik och Matematisk statistik, Umeå.

Hagland, Kerstin, Hedrén, Rolf, Taflin, Eva (2005). Rika matematiska problem: Inspiration till variation. Stockholm: Liber.

Johansson, Bo & Svedner, Per Olov (2006). Examensarbetet i lärarutbildningen.

Undersökningsmetoder och språklig utformning. Uppsala: Kunskapsföretaget Kronlund, Anette (1996). Begreppsförståelse i kemi relaterat till betyg i A-kursen.

Examensarbete i lärarutbildningen. Högskolan i Karlstad, Institutionen för utbildningsvetenskap och psykologi, Karlstad

Skolverket (2000:1). Grundskolans kursplaner och betygskriterier. Västerås: Grahium Västra Aros.

Skolverket (2000:2). Naturvetenskapsprogrammet. Programmål, kursplaner, betygskriterier och kommentarer. Borås: Skolverket/Fritzes.

Skolverket (2004). Allmänna råd och kommentarer. Likvärdig bedömning och betygsättning.

Stockholm: Skolverket/Fritzes.

Skolverket (2007:1). Gymnasieskolans kursprov vt 2007. En resultatredovisning. Stockholm:

Skolverket (2007:2). Provbetyg – Slutbetyg-Likvärdig bedömning? En statistisk analys av sambandet mellan nationella prov och slutbetyg i grundskolans årskurs 9, 1998-2006.

Rapport 300. Stockholm:

Thunberg, Hans & Filipsson, Lars (2005). Lärares och studenters syn på KTHs Introduktionskurs i Matematik.

Tillgänglig: http://www.math.kth.se/gmhf/gylararenkat.pdf. 2008-05-04 Internetadresser

Elevers lärande i matematik, taluppfattningstest (2007)

(28)

Nationellt Centrum för Matematikutbildning, NCM (2008) Tillgänglig: http://ncm.gu.se/kanguru. (2008-05-02).

(29)

Bilaga 1. Test för NV1

Hej!

Börja med att skriva vilket ditt preliminära/nuvarande betyg i Matematik A är.

Din medverkan är anonym och påverkar därför inte ditt betyg, men den betyder mycket för mig och min undersökning, som jag gör som en del av min utbildning till lärare.

Tack på förhand för din medverkan och lycka till! Per.

1.a) Ange ett tal som ligger någonstans mellan 5103 och 5102. (Endast svar)

1.b) Ange två tal som har produkten 10 . 5 (Endast svar)

1.c) Ange två bråk som har summan 6

1. (Endast svar)

1.d) Hur mycket är 29 0,8? Uppskatta svaret utan beräkningar. (Endast svar) A. Mindre än 29 B. Lika med 29 C. Större än 29

1.e) Vilken pil pekar på ett bråk där täljaren är något större än nämnaren?

A B C D E F G (Endast svar)

2. Ange två olika tal ett decimaltal och ett tal i bråkform som båda ligger mellan

4 1 och

3

1. (Endast svar)

(30)

3. Hos familjen Johansson har man en varmvattenberedare, där kallt vatten värms till temperaturen 60 . Diagrammet visar hur temperaturen i °

varmvattenberedaren varierar en vanlig vardagsmorgon.

Man använder varmvattnet endast till att duscha.

4. Runt en rektangulär trädgård finns en grusgång som är lika bred överallt. Om man går längs gångens ytterkanter blir det 8m längre än om man går längs innerkanterna.

Hur bred är grusgången?

(31)

5. En flaska rymmer 13 liter och den är fylld till 3 4.

Hur mycket kommer den att innehålla efter det att man har hällt ut 20 cl?

6. Rektangeln på bilden är indelad i 7 kvadrater.

De tre grå kvadraterna till höger har sidlängden 8 cm.

Vilken sidlängd har den stora vita kvadraten?

(32)

Bilaga 2 Test för NV3

Hej!

Börja med att skriva dina betyg för Matematik A, B, C och vilket ditt preliminära/nuvarande betyg i Matematik D är.

Din medverkan är anonym och påverkar därför inte ditt betyg, men den betyder mycket för mig och min undersökning, som jag gör som en del av min utbildning till lärare.

Tack på förhand för din medverkan och lycka till! Per.

1.a) Ange ett tal som ligger någonstans mellan 5103 och 5102. (Endast svar)

1.b) Ange två tal som har produkten 10 . 5 (Endast svar)

1.c) Ange två bråk som har summan 6

1. (Endast svar)

1.d) Hur mycket är 29 0,8? Uppskatta svaret utan beräkningar. (Endast svar) A. Mindre än 29 B. Lika med 29 C. Större än 29

1.e) Vilken pil pekar på ett bråk där täljaren är något större än nämnaren?

A B C D E F G (Endast svar)

2. Ordna följande tal i storleksordning. Börja med det minsta. (Endast svar)

e 5 102,5 lg10000

(33)

3. Hos familjen Johansson har man en varmvattenberedare, där kallt vatten värms till temperaturen 60 . Diagrammet visar hur temperaturen i °

varmvattenberedaren varierar en vanlig vardagsmorgon.

Man använder varmvattnet endast till att duscha.

(34)

4.

(35)

5. Runt en rektangulär trädgård finns en grusgång som är lika bred överallt. Om man går längs gångens ytterkanter blir det 8m längre än om man går längs innerkanterna.

Hur bred är grusgången?

6. En flaska rymmer 13 liter och den är fylld till 3 4.

Hur mycket kommer den att innehålla efter det att man har hällt ut 20 cl?

7. Rektangeln på bilden är indelad i 7 kvadrater.

De tre grå kvadraterna till höger har sidlängden 8 cm.

Vilken sidlängd har den stora vita kvadraten?

Figure

Updating...

References

Related subjects :