FORMLER TILL NATIONELLT PROV I MATEMATIK KURS D
ALGEBRA
Regler
⎭⎬
⎫ +
−
=
−
+ +
= +
2 2
2
2 2
2
2 )
(
2 )
(
b ab a
b a
b ab a
b
a (kvadreringsregler)
2
) 2
)(
(a+b a−b =a −b (konjugatregeln)
3 2 2
3
3 3 3
)
(a+b =a + a b+ ab +b
3 2 2
3
3 3 3
)
(a−b =a − a b+ ab −b ) )(
( 2 2
3
3 b a b a ab b
a + = + − +
) )(
( 2 2
3
3 b a b a ab b
a − = − + +
Andragrads- ekvationer
Ekvationen har rötterna
=
x2 +px+ =q 0
x1 p p q
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
−
2
2
2 och x2 = p p q
⎟ −
⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
−
2
2 2
där x1 +x2 = − p och x1⋅x2 =q
ARITMETIK
Prefix T G M k h d c m μ n p
tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano piko 1012 109 106 103 102 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 Potenser För reella tal x och y och positiva tal a och b gäller
a ax y =ax y+ a
a a
x y
= x y−
( )
ax y =axya bx x = ( ) ab x
x x
x
b a b
a ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛ an n a
1
=
a a
x x
− = 1
a0 = 1
Logaritmer För positiva tal y gäller:
y x
x y
lg
10 = ⇔ = ex = y ⇔ x=lny
För positiva tal x och y gäller:
lgxy=lgx+lgy lgx lg lg y = x− y lgxp = ⋅ x p lg
Geometrisk
summa där 1
1 ) 1 ... 1 (
2 ≠
−
= − +
+ +
+ − k
k k ak a
ak ak a
n n
DIFFERENTIAL- OCH INTEGRALKALKYL
Derivatans
definition x a
a f x f h
a f h a a f
f h x a −
= −
−
= +
′ → →
) ( ) lim ( ) ( ) lim (
)
( 0
Deriveringsregler Funktion Derivata
xa där a är ett reellt tal axa−1 ax (a > 0) axlna
x
ln (x>0)
x 1
ex ex
ekx k e⋅ kx
x
1 − 1
x2
x
sin cos x
x
cos −sinx
x
tan 2x 2x
cos tan 1
1+ =
f x( )+g x( ) f ′( )x + ′g x( ) )
( ) (x g x
f ⋅ f(x)⋅g′(x)+ f′(x)⋅g(x) )
( ) (
x g
x
f (g(x)≠0)
(
( ))
2) ( ) ( ) ( ) (
x g
x g x f x g x
f′ ⋅ − ⋅ ′
Kedjeregeln Om y= f(z) och z=g(x) är två deriverbara funktioner så gäller för den sammansatta funktionen y= f(g(x)) att
) ( )) (
(g x g x f
y′= ′ ⋅ ′ eller
x z z y x y
d d d d d
d = ⋅
Några primitiva funktioner
) ( x
f F( x)
(C är en reell konstant)
k kx+ C
) 1 (n≠−
xn C
n xn
+ +
+
1
1
) 0 1(x≠
x lnx +C
ex ex +C
) 1 , 0 (a> a≠
ax C
a ax ln +
FUNKTIONSLÄRA
Räta linjen
k y y
x x
= −
−
2 1
2 1
Riktningskoefficient för linje genom punkterna och
där ≠ ( ,x y1 1) (x2,y2) x1 x2
y=kx+m Linje genom punkten (0, m) med riktningskoefficienten k y−y1 =k x( −x1) Linje genom punkten
med riktningskoefficienten k ( ,x y1 1)
k1⋅k2 = −1 Villkor för vinkelräta linjer Exponential-
funktioner
ax
C
y= ⋅ C och a är konstanter
och
>0
a a≠1
Potensfunktioner y=C⋅xa C och a är konstanter
GEOMETRI
Pythagoras sats a2 +b2 =c2
a c
b
Triangel
area= bh 2
b
h
Parallellogram area= bh
b h
Parallelltrapets area = h a( +b) 2
b
h
a
Cirkel
= 4 area
2
2 d
r π
π = d r π π = 2
=
omkrets r
d
Cirkelsektor bågen b= α ⋅ πr 360 2 area = α π
360 2
⋅ r2 = br
r α b
Prisma volym = Bh
B
h
Cylinder Rak cirkulär cylinder volym =πr h2
mantelarea = 2πrh h
r
Pyramid volym =Bh
3 h
B
Kon Rak cirkulär kon
volym =πr h2 3 mantelarea = πrs
r
h s
Klot volym =4
3 πr3
area =4πr2
r
Likformighet För likformiga geometriska figurer gäller att motsvarande vinklar är lika stora och att förhållandet mellan
motsvarande sidor är lika.
Trianglarna ABC och DEF är likformiga.
A B
C
F a c b
e d
Skala Areaskalan = (Längdskalan)2 Volymskalan = (Längdskalan)3
Vinklar När två räta linjer skär var- andra är sidovinklarnas summa 180º (t.ex. u + v
=180º) och vertikalvinklar lika stora (t.ex. w = v).
u v
w
När en linje L1 skär två andra inbördes parallella linjer L2
och L3 så är likbelägna vinklar lika stora (t.ex. v = w) och alternatvinklar lika stora (t.ex.
w u= )
u v
w
L1
L2
L3
Omvänt gäller att om alternatvinklar eller likbelägna vinklar är lika stora så är linjerna L2 och L3 parallella.
Topptriangel- och transversalsatsen
Om DE är parallell med AB gäller BC
CE AC CD AB
DE = = och
BE CE ADCD =
A B
C
D E
Bisektrissatsen
BC AC AD =BD
A B
C
D
Kordasatsen ab=cd
c
a d
b
Randvinkelsatsen Medelpunktsvinkeln till en cirkelbåge är dubbelt så stor som randvinkeln till samma
cirkelbåge (u=2v) u
v
NUMERISKA METODER
Ekvationslösning Newton-Raphsons iterationsformel:
) (
) (
1
n n n
n f x
x x f
x + = − ′ Integraler Intervallet a0 ≤x≤an delas in i n delintervall.
Mittpunkten i varje delintervall betecknas x1, x2, ... , xn
Rektangelmetoden: ( )d 0
(
( 1) ( 2) ... ( ))
0
n n
a
a
x f x
f x n f
a x a
x f
n = − + + +
∫
Trapetsmetoden:
(
( ) 2 ( ) 2 ( ) ... 2 ( ) ( ))
d 2 )
( 0 0 1 2 1
0
n n
n a
a
a f a f a
f a f a n f
a x a
x f
n − + + + + +
= −
∫
TRIGONOMETRI
Definitioner ABC är en rätvinklig triangel.
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
= ⎛
katet e närliggand
katet motstående c
A a
n hypotenusa
katet e närliggand b
A c
n hypotenusa
katet motstående b
A a
tan cos sin
A
C
B a
c b
OP är radie i en enhetscirkel.
Koordinaterna för P är (x1,y1)
1 1 1 1
tan cos sin
x v y
x v
y v
=
=
=
x y
v o P(x1,y1)
Sinussatsen
c C b
B a
A sin sin
sin = =
Cosinussatsen a2 =b2 +c2 −2bccosA
sinC ab
A
C
B a
c b
Trigonometriska formler
1 cos sin2 a+ 2 a=
β α β
α β
α
β α β
α β
α
β α β
α β
α
β α β
α β
α
sin sin cos
cos ) cos(
sin sin cos
cos ) cos(
sin cos cos
sin ) sin(
sin cos cos
sin ) sin(
+
=
−
−
= +
−
=
−
+
= +
β α
β β α
α 1 tan tan tan ) tan
tan( −
= + +
α α
α α
α
α α α
2 2
2
2 sin 2cos 1 1 2sin
cos 2
cos
cos sin 2 2 sin
−
=
−
=
−
=
=
2 cos 1 cos 2
2 cos 1
sin2 α2 = − α 2α = + α )
sin(
cos
sinx b x c x v
a + = + där c= a2 +b2 och
a v=b tan
Vinkel v (grader) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°
Exakta värden
(radianer) 0
6 π
4 π
3 π
2 π
3 2π
4 3π
6 5π
π
v
sin 0
2 1
2 2
2 3 1
2 3
2 2
2
1 0
v
cos 1
2 3
2 2
2
1 0
2
−1
2
− 2
2
− 3 -1 v
tan 0
3
3 1 3 Ej
def. − 3 -1
3
− 3 0