Tentamen: M0018M. Linj¨ ar Analys
Datum: 2010-03-17 Skrivtid: 09:00–14:00
Antal uppgifter: 6 ( 30 po¨ang ).
Jourhavande l¨arare: Marianna Euler Telefon: 0920-492871
Till˚atna hj¨alpmedel: Beta, Mathematics Handbook.
Till alla uppgifterna skall fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas.
Resonemang och utr¨akningar ska vara tydligt presenterade.
Aven endast delvis l¨¨ osta problem kan ge po¨ang.
Enbart svar ger 0 po¨ang.
Betygsgr¨anser ¨ar: 14p–19p;20p–24p; 25p–30p.
Uppgift 1:
a) Avg¨or om f¨oljande serie ¨ar konvergent eller divergent. Motivera ditt svar!
∞
X
n=2
√n2+ 2n −√
n2− 2n n
b) Visa att teleskop summan
∞
X
n=1
1
(2n − 1)(2n + 1)
¨ar konvergent och ber¨akna serien summa
[5 po¨ang]
Uppgift 2:
Best¨am med h¨alp av Fourierserier en allm¨an l¨osning till differentialekvationen y′′(t) + 3y′(t) + 2y(t) = f (t), −∞ < t < ∞
d¨ar
f (t) =
( 0, −π < t ≤ 0 t, 0 ≤ t < π och f (t + 2π) = f (t) f¨or alla t.
[5 po¨ang]
Uppgift 3:
a) Visa att Fourier-transformen ¨ar definerad f¨or funktion f (t) = e−|t|
b) Anv¨and Fourier-transformen f¨or att best¨amma en partikul¨arl¨osning och ange ocks˚a den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen
y′′+ y = sin t + e−|t|
d¨ar y(t) ¨ar definerad f¨or −∞ < t < ∞. Svaret f˚ar ej inneh˚alla icke-utr¨aknade integraler.
[5 po¨ang]
Uppgift 4:
Finn den begr¨ansade l¨osningen till differentialekvationen y′′(t) − y(t) = δ′(t), −∞ < t < ∞ d¨ar δ(t) ¨ar Diracs delta funktion.
Redovisa varf¨or din l¨osning ¨ar begr¨ansad!
[5 po¨ang]
Uppgift 5:
L¨os begynnelsev¨ardesproblem
y′ + y = e3tcos t + H(t − 2), y(0) = 0, 0 ≤ t < ∞ med hj¨alp av Laplace-transform
[5 po¨ang]
Uppgift 6:
L¨os endast ett av de f¨oljande tre uppgifter:
6.1 Betrakta funktion
f (t) =
−t, −∞ < t < 0 sin t, 0 ≤ t < π/2 e−t, π/2 ≤ t < ∞
a) Skriv f (t) med hj¨alp av Heavisidefunktion H(t) som ett uttryckt och ber¨akna distributionsderivata av f (t), dvs f′(t). F¨orenkla s˚a l˚angt som m¨ojligt.
b) Ber¨akna f′(π)
Anm¨arkning: H(t) ¨ar Heavisidefunktionen med ekvivalent beteckning H(t) ≡ Θ(t).
6.2 Best¨am en allm¨an l¨osning till det homogena systemet av linj¨ara differen- tialekvationer
d~x
dt = A~x, A =
3 −1 1 2 −0 1 1 −1 2
, ~x =
x1(t) x2(t) x3(t)
.
6.3 L[f(t)](s) = ˜f(s) ¨ar Laplace-transform av f (t), 0 ≤ t < ∞
a) Visa med direkt anv¨andning av Laplace-transform definitionen att L[f′(t)](s) = sL[f(t)](s) − f(0)
L[f′′(t)](s) = s2L[f(t)](s) − sf(0) − f′(0).
b) Bevisa med h¨alp av Matematisk Induktion att L
"
dnf (t) dtn
#
= snf (s) − s˜ n−1f (0) − · · · −dn−1f (0) dtn−1 , d¨ar n = 1, 2, 3, . . . .
[5 po¨ang]
