P˚a den f¨orsta delen, som ¨ar obligatorisk f¨or att kunna bli godk¨and, ska enbart svar l¨amnas in, men l¨osningar f˚ar bifogas

Po¨ang totalt f¨or del 1: 25 (9 uppgifter) Tentamensdatum 2011-06-04 Po¨ang totalt f¨or del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 – 14.00 L¨arare: Adam Jonsson, Yacin Ameur

Jourhavande l¨arare: Adam Jonsson Till˚atna hj¨alpmedel: • R¨aknedosa,

• Kursboken V¨annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨osta exempel.

• Kompendium om flerdimensionella f¨ordelningar

• Formelblad

• Tabeller

Tentamen best˚ar av tv˚a delar. P˚a den f¨orsta delen, som ¨ar obligatorisk f¨or att kunna bli godk¨and, ska enbart svar l¨amnas in, men l¨osningar f˚ar bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bed¨omas utan enbart anv¨andas vid gr¨ansfall f¨or att avg¨ora om n˚agon uppgift kan ”r¨attas upp” p˚a grund av slarvfel. P˚a del 1 ges inga delpo¨ang p˚a uppgifterna.

Svaren f¨or del 1 ska fyllas i p˚a det blad som bifogas tentamen. Detta blad m˚aste l¨amnas in. L¨agg detta blad f¨orst bland l¨osningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har l¨amnats in s˚a bed¨oms tentamen som underk¨and. F¨or godk¨ant kr¨avs minst 17 po¨ang p˚a del 1. Med 2 extrapo¨ang fr˚an laborationerna och KGB s˚a r¨acker det allts˚a med 15 po¨ang av de 25 m¨ojliga f¨or godk¨ant.

P˚a den andra delen, som g¨aller tentamen f¨or ¨overbetyg, ska fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas in. T¨ank p˚a att redovisa dina l¨osningar p˚a ett klart och tydligt s¨att och motivera resonemangen. Vid bed¨omningen av l¨osningarna l¨aggs stor vikt vid hur l¨osningarna ¨ar motiverade och redovisade. F¨or betyg 4 kr¨avs godk¨ant p˚a den f¨orsta obligatoriska delen samt minst 13 po¨ang fr˚an den andra delen f¨or ¨overbetyg. F¨or betyg 5 kr¨avs godk¨ant p˚a den f¨orsta obligatoriska delen samt minst 23 po¨ang fr˚an den andra delen f¨or ¨overbetyg.

OBS! Det g˚ar inte att kompensera underk¨ant p˚a den f¨orsta korta delen av tentamen med po¨ang p˚a den andra delen.

Ange p˚a tentamensomslaget om du har l¨amnat in l¨osningar p˚a del 2 genom att kryssa f¨or de sista tre uppgifterna.

Om du plussar f¨or ¨overbetyg s˚a skriv detta p˚a tentamensomslaget.

LYCKA TILL!

1. Ett f¨oretag som k¨oper gr¨avmaskiner fr˚an en underleverant¨or vet av er- farenhet att en viss andel av maskinerna kommer att vara felaktiga. Tre olika feltyper f¨orekommer, som betcknas feltyp a, b respektive c. San- nolikheten att fel a f¨orekommer p˚a en slumpm¨assigt vald gr¨avmaskin

¨ar 6 %. Motsvarande sannolikhet f¨or fel b och c ¨ar 2 % respektive 5 %.

Felen uppkommer oberoende av varandra.

(a) Ber¨akna sannolikheten att en slumpm¨assigt vald gr¨avmaskin har

minst ett av de tre felen. (2p)

(b) Antag att en maskin visat sig ha felen a och b. Vad ¨ar sanno-

likheten att den ¨aven har fel c? (1p)

2. Trots att Victor ¨ar mycket duktig p˚a att skriva maskin s˚a h¨ander det att han g¨or feltryckningar. Antalet feltryckningar per sida ¨ar Pois- sonf¨ordelat. Det f¨orv¨antade antalet feltryckningar p˚a en sida ¨ar lika med 8. Ber¨akna sannolikheten att Victor g¨or minst 10 feltryckningar

p˚a en sida. (2p)

3. Den kontinuerliga slumpvaribeln ξ har frekvensfunktionen

f (x) =

(cx² om − 1 ≤ x ≤ 0, 0 annars,

d¨ar c ¨ar en viss konstant.

(a) Konstanten c m˚aste ha ett speciellt v¨arde f¨or att funktionen ovan skall vara en frekvensfunktion. Vilket ¨ar detta v¨arde? (1p) (b) Ber¨akna v¨antev¨ardet av ξ. (Konstanten c skall ej ing˚a i svaret.) (2p) 4. Antag att en befolknings vuxna m¨an har en normalf¨ordelad l¨angd med

v¨antev¨arde 180 cm och standardavvikelse 6 cm och att befolkningens vuxna kvinnor ocks˚a har normalf¨ordelad l¨angd, men med v¨antev¨arde 168 cm och standardavvikelse 5 cm.

(a) Vad ¨ar sannolikheten att en slumpm¨assigt vald kvinna ¨ar mellan 160 cm och 176 cm? Ange ditt svar i procent med tv˚a decimaler.

(1p) (b) Vad ¨ar sannolikheten att en slumpm¨assigt vald kvinna ¨ar l¨angre

¨an en slumpm¨assigt vald man? (2p)

5. I en dator avrundas vid addition varje tal till n¨armaste heltal. Antag att alla avrundningsfel ¨ar oberoende och rektangelf¨ordelade p˚a inter- vallet (−0.5, 0.5). Om 1000 tal adderas, hur stor ¨ar sannolikheten att absolutbeloppet av det totala felet ¨overstiger 5? (2p)

6. Johan ¨ar brottare. F¨or att kunna t¨avla i sin viktklass f˚ar han inte v¨aga mer ¨an 78 kg. Johans v˚ag ¨ar inte helt tillf¨orlitlig. Avvikelsen mellan hans faktiska vikt och den vikt som v˚agen visar ¨ar normalf¨ordelad med v¨antev¨arde noll. Den vikt som v˚agen visar kan d¨arf¨or ses som en observation fr˚an N (θ, σ) f¨ordelningen, d¨ar θ ¨ar Johans verkliga vikt och d¨ar σ ¨ar en ok¨and konstant.

(a) Johan v¨ager sig en g˚ang per dag den sista veckan innan t¨avlingen.

Den vikt som v˚agen visar p˚a dag i kan d˚a ses som en observation fr˚an N (θ_i, σ)-f¨ordelningen, d¨ar θ_i ¨ar Johans verkliga vikt dag i = 1, 2, . . . , 7 och d¨ar σ ¨ar en ok¨and konstant. Vad ¨ar sannolikheten att v˚agen visar en vikt som ¨ar h¨ogre ¨an Johans sanna vikt under

minst fyra av de 7 dagarna? (2p)

(b) P˚a morgonen en dag d˚a Johan skall t¨avla vill han avg¨ora om han beh¨over bada bastu (f¨or att p˚a s˚a vis bli av med ytterligare vikt).

Han beslutar sig f¨or att v¨aga sig 6 g˚anger direkt efter varandra och testa, p˚a 5 % signifikansniv˚a, om hans vikt ¨ar exakt 78 eller om den ¨ar st¨orre ¨an 78 kilo. Som testvariabel anv¨ander han kvoten

¯ x − 78

s/√ 6 ,

d¨ar ¯x ¨ar stickprovsmedelv¨ardet och d¨ar s ¨ar stickprovsstandard- avvikelsen. Vilket ¨ar det kritiska v¨ardet p˚a testvariabeln? (1p) (c) De sex m¨atningarna gav vikterna

1 2 3 4 5 6

77.78 78.22 77.85 78.05 77.96 78.21

Ber¨akna ett 99 % konfidensintervall f¨or Johans vikt. Svara med

den ¨ovre gr¨ansen. (2p)

7. Amanda jobbar p˚a ett f¨oretag som tillverkar elektriska komponenter.

Komponenternas vikter kan betrakas som slumpm¨assiga med v¨antev¨arde 0.35 kilo varians 0.0025 kilo. Amanda beh¨over f¨orklara detta f¨or n˚agra amerikanska kollegor som anv¨ander pounds (lbs) ist¨allet f¨or kilo, d¨ar 1 lb= 0.45359237 kg. M¨att i pounds, vad ¨ar v¨antev¨ardet och standar-

davvikelsen f¨or komponenternas vikter? (2p)

8. Antag att de tv˚a slumpvariablerna ξ och η har den simultana san- nolikhetsfunktionen p(x, y). Nedan ges p(x, y) f¨orutom v¨ardet p(1, 0), som medvetet har tagits bort.

x\y 0 1 2 3

0 0.21 0.16 0.04 0.04 1 ? 0.08 0.06 0.04 2 0.05 0.03 0.02 0.03 3 0.02 0 0.04 0.01

9. (a) Den tv˚adimensionella slumpvariabeln (ξ, η) ¨ar likformigt f¨ordelad p˚a kvadraten

K = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

L˚at ζ =p

ξ²+ η²vara avst˚andet mellan origo och punkten (ξ, η).

Ber¨akna P (ζ ≤ 1).

Observera att kvadraten K ovan inte ¨ar samma kvadrat som p˚a

Laboration 3. (1p)

(b) Den tredimensionella slumpvariabeln ξ = (ξ1, ξ2, ξ3) har en lik- formig f¨ordelning p˚a det klot som har sitt centrum i origo och vars radie ¨ar lika med 1. Ber¨akna sannolikheten att ξ hamnar i omr˚adet A som ges av

A = {(x₁, x₂, x₃) : 1/3 <

q

x²₁+ x²₂+ x²₃≤ 2/3}.

Du skall med andra ord ber¨akna P (1/3 < ζ ≤ 2/3), d¨ar ζ =

q

ξ₁²+ ξ₂²+ ξ₃².

(2p) Slut p˚a del 1. Gl¨om inte att bifoga svarsbladet med tentan!

Tabell f¨or svar till del 1

Riv ut och l¨agg svarsbladet f¨orst i tentamen

Namn: . . . . Personnummer: . . . .

Fr˚aga Svar Po¨ang

1 a Sannolikhet (procent, en decimal) 2

b Sannolikhet (procent, en decimal) 1

2 Sannolikhet (procent, en decimal) 2

3 a konstanten c (tre decimaler) 1

b V¨antev¨arde (tre decimaler) 2

4 a Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 1

b Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 2

5 Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 2

6 a Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 2

b Kritiskt v¨arde (tre decimaler) 1

c Ovre gr¨¨ ans (fyra decimaler) 2

7 V¨antev¨arde i lbs=pounds (tv˚a decimaler) 1

Standardavvikelse i lbs=pounds (tv˚a decimaler) 1

8 a p(1, 0) (tv˚a decimaler) 1

b Betingat v¨antev¨arde (tv˚a decimaler) 1

9 a Sannolikhet (tre decimaler) 1

b Sannolikhet (tre decimaler) 2

Totalt antal po¨ang 25

Vid bed¨omningen av l¨osningarna av uppgifterna i del 2 l¨aggs stor vikt vid hur l¨osningarna ¨ar motiverade och redovisade. T¨ank p˚a att noga redovisa inf¨orda beteckningar och eventuella antaganden.

10. I uppgift 2 antog vi att antalet feltryckningar har en Poissonf¨ordelning (med v¨antev¨arde 8). Diskutera med utg˚angspunkt i Binomialf¨ordelningen varf¨or antalet feltryckningar per sida (˚atminstone approximativt) kan antas ha en Poissonf¨ordelning. Varf¨or ¨ar normalf¨ordelningen inte en l¨amplig modell f¨or att beskriva antalet feltryckningar? Kom ih˚ag att

redovisa inf¨orda beteckningar och eventuella antaganden! (10p) 11. Differensen av det v¨arde som Johans v˚ag visar och den verkliga vikten

¨ar N (δ, σ)-f¨ordelad, d¨ar σ = 0.04 kilo. Johan misst¨anker att δ > 0, dvs han misst¨anker att v˚agen systematiskt visar en f¨or h¨og vikt. F¨or att testa H0 : δ = 0 mot H1 : δ > 0 g¨or Johan 18 v¨agningar av ett f¨orem˚al som v¨ager exakt 20 kg och noterar de 18 differenserna z_i = x_i− 20, d¨ar x_i =visad vikt p˚a m¨atning nummer i, i = 1, . . . , 18.

Johan v¨aljer mellan tv˚a olika test. Det f¨orsta testet skall baseras p˚a d =antal positiva differenser. Det andra testet baseras p˚a kvoten

z = z¯ 0.04/√

18.

(a) Best¨am l¨ampliga beslutsregler f¨or test baserade p˚a d respektive z s˚a att b˚ada testen f˚ar en signifikansniv˚a som ligger s˚a n¨ara 5 %

som m¨ojligt. (4p)

(b) Ber¨akna styrkan i 4 = 0.0336 f¨or de b˚ada testen i (a). (4p) (c) Kommentera resultatet i (b). Varf¨or tror du att styrkan skiljer

sig mellan de tv˚a testen p˚a detta s¨att? (2p) (d) Vilket test b¨or man f¨oredra och varf¨or? (3p) 12. De tre f¨orsta grenarna i tiokamp ¨ar (1) 100 meter, (2) l¨angdhopp och

(3) kula. Tiokamparen Thomas f¨orv¨antar sig i toppform ett resultat p˚a 950, 1025 respektive 890 po¨ang i dessa tre grenar. De faktiska re- sultaten beror p˚a faktorer som dagsform och v¨aderf¨orh˚allanden och kan d¨arf¨or betraktas som slumpm¨assiga. Antag att resultaten i de tre grenarerna ¨ar normalf¨ordelade med standardavvikelserna

σ₁= 120, σ₂ = 190, σ₃ = 145.

Antag ocks˚a att resultaten korrelerar med varandra, d¨ar ρ12= 0.8, ρ13= 0.4, ρ₂₃= 0.5.

Efter dom f¨orsta tv˚a grenarna har Thomas totalt 2075 po¨ang. Ber¨akna

v¨antev¨ardet av resultatet i kula. (7p)