OBSERVERA: DENNA TENTA- MEN G ¨ALLER STUDENTER P˚A H ¨OGSKOLEINGENJ ¨ORSPROGRAM
Tentamen i Matematik III Differentialekva- tioner, komplexa tal och transformteori
Kurskod M0039M
Tentamensdatum 2012-03-20 Totala antalet uppgifter: 6, max 30 p Skrivtid 09.00-14.00
Till˚atna hj¨alpmedel: Minir¨aknare. Bifogad tabell.
Till alla uppgifter ska fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas. Resonemang, inf¨orda beteck- ningar och utr¨akningar f˚ar inte vara s˚a knapph¨andigt presenterade att de blir sv˚ara att f¨olja. ¨Aven endast delvis l¨osta problem kan ge po¨ang.
Enbart svar ger 0 po¨ang.
Institutionen f¨or teknikvetenskap och matematik
1 (3)
Uppgift 1
(a) Best¨am |z| d˚a
z = 2 i3 2 + 1
i3
(2 p) (b) Best¨am p˚a pol¨ar form
w= 1 − i
(1 p) (c) Skriv p˚a rektangul¨ar form a + bi, a, b∈ R
(1 − i)10
Svaret f˚ar inte inneh˚alla trigonometriska uttryck. (1 p)
Uppgift 2
(a) Best¨am den allm¨anna l¨osningen till differentialekvationen d2y
dx2 + 4dy
dx + 4y = e3x
Laplacetransformer f˚ar ej anv¨andas. (3 p)
(b) L¨os begynnelsev¨ardeproblemet xdy
dx − y = 1, x >0, y(1) = 0.
Laplacetransformer f˚ar ej anv¨andas. (3 p)
Uppgift 3
(a) Avg¨or om serien X∞ n=0
2n+ 7
3n ¨ar konvergent eller divergent. Motivera tyd-
ligt. (2 p)
(b) Best¨am
x→0lim
1 − cos x 1 + x − ex
L’Hospitals regel f˚ar inte anv¨andas. (3 p)
2 (3)
Uppgift 4
(a) Best¨am en funktion f (t), t≥ 0, med Laplacetransformen s+ 2
s2+ 2s + 2
(3 p) (b) Laplacetransformera funktionen
g(t) = t (Θ(t) − Θ(t − 2)) .
(2 p)
Uppgift 5
L¨os med Laplacetransformation begynnelsev¨ardesproblemet y′′+ y = t, y(0) = 0, y′(0) = −2.
(5 p)
Uppgift 6
L¨os en och endast en av f¨oljande alternativa uppgifter.
Uppgift 6.1
(a) L¨os f¨or t ≥ 0 integro-differentialekvationen dy
dt + 2y(t) + Zt
0
y(x) dx = cos t, y(0) = 1
med hj¨alp av Laplacetransformation. (4 p)
(b) Best¨am d¨arefter funktionsv¨ardet y(2). Svaret anges som decimaltal, av-
rundat till 2 decimaler. (1 p)
Uppgift 6.2
En flaska r¨odvin h¨amtas upp fr˚an restaurangens vink¨allare, vilken h˚aller tem- peraturen 10◦. Man avser att lufta vinet och placerar d¨arf¨or buteljen i ett rum med temperaturen 23◦. Efter 10 minuter har vinets temperatur stigit till 15◦. Best¨am hur l˚ang tid det tar f¨or att vinet skall uppn˚a serveringstemperaturen 18◦.
Antag att temperaturf¨or¨andringen per tidsenhet ¨ar proportionell mot dif- ferensen mellan omgivningens temperatur och vinets temperatur.
Svaret avrundas till heltal. (5 p)
3 (3)
Svar, M0039M, 120320
Förbehåll för ev. fel.
Uppgift 1
(a) |z| = 2
√5
(b) √
2 · e−iπ/4 (c) −32i
Uppgift 2
(a) y(x) = (Ax + B)e−2x+ 1/25e3x (b) y = −1 + x
Uppgift 3
(a) Konvergent (enl kvotkriteriet) (b) −1
Uppgift 4
(a) f (t) = e−t(cos t + sin t)
(b) G(s) = e−2s
−1 s
2
− 2 s
Uppgift 5
y(t) = t − 3 sin t
Uppgift 6.1
(a) 1
2 cos t − e−t(1 − t) (b) y(2) ≈ −0.28
Uppgift 6.2
Cirka 20 minuter.
1
