STOCKHOLMS UNIVERSITET FYSIKUM
Tentamensskrivning i Experimentella metoder, 12 hp, f¨or kandidatprogrammet,
˚ ar 1
Onsdagen den 18 juni 2008 kl 9-15.
S.H./K.H./K.J.-A./B.S.
Inf¨orda beteckningar b¨or f¨orklaras och uppst¨allda ekvationer motiveras. Resonemang, ekvationsl¨os- ningar och utr¨akningar f˚ar inte vara s˚a knapph¨andiga att de blir sv˚ara att f¨olja. Figurer skall ritas stora och tydliga med linjal. Var noga med vektorbeteckningar. P˚a varje problem skall anges ett tydligt understruket eller inramat svar. N¨ar s˚a ¨ar m¨ojligt skall svaret best˚a av siffror med r¨att enheter. Antalet v¨ardesiffror skall st˚a i rimlig proportion till i texten angivna v¨ardesiffror.
F¨or godk¨anda betyg (A-E) kr¨avs minst 5 po¨ang p˚a del A. F¨or betyg E kr¨avs minst 15 po¨ang sammanlagt.
Hj¨alpmedel : PHYSICS HANDBOOK, R¨AKNEDOSA
Del A Begrepp och grundl¨ aggande f¨ orst˚ aelse.
(1) F¨ors¨oket d¨ar tyngdaccelerationen best¨ams genom att l˚ata en lerklump falla i Ljusg˚angen i AlbaNova har nu gjorts ett antal g˚anger. I tabellen nedan redovisas resultaten fr˚an ett antal laborationsgrupper. Anv¨and dessa resultat f¨or att erh˚alla den b¨asta m¨ojliga uppskattningen av g.
˚Ar g (ms−2 ) σg (ms−2 )
2006 10,2 0,4
2006 8,2 0,5
2006 9,1 0,14
2006 8,3 0,3
2003 9,2 0,3
2003 10,04 0,16
2003 8,6 0,2
(2p) F¨orslag till l¨osning: Vi ber¨aknar det viktade medelv¨ardet:
˚Ar g (ms−2 ) σg(ms−2 ) vikt vikt · g
2006 10,2 0,4 6.25 63.75
2006 8,2 0,5 4.00 32.80
2006 9,1 0,14 51.02 464.29
2006 8,3 0,3 11.11 92.22
2003 9,2 0,3 11.11 102.22
2003 10,04 0,16 39.06 392.19
2003 8,6 0,2 25.00 215.00
Summa 147.56 1362.47
Det viktade medelv¨ardet blir d˚a ˆg = 1362.47147.56 = 9.23 ms−2. Os¨akerheten f˚as ur σvmv =
√P1 wi
=12.1471 = 0, 08 ms−2.
(2) Till den k¨anda restaurangen Casa B´otin i Madrid kom en leverans med sp¨adgrisar. K¨okschefen v¨agde de fem f¨orsta grisarna med resultatet 5,6 kg, 4,8 kg, 5,2 kg, 5,1 kg och 4,7 kg. Om vi antar att sp¨adgrisarnas vikt ¨ar normalf¨ordelad, hur stor ¨ar d˚a sannolikheten att den sj¨atte
sp¨adgrisen v¨agde mer ¨an 5,2 kg. (2p)
F¨orslag till l¨osning: Om vi antar att vikterna ¨ar normalf¨ordelade s˚a ges b¨asta uppskat- tningen av µ av medelv¨ardet av vikterna, ˆµ = ¯x = 5,6+4,8+5,2+5,1+4,7
5 = 25,45 = 5, 08 kg.. F¨or att best¨amma sannolikheten att den sj¨atte grisen v¨agde mer ¨an 5,2 kg beh¨over vi ocks˚a en uppskattning av standardavvikeslen, som vi f˚ar fr˚an variansen:
1
vikt, v (v-¯v ) (v-¯v)2 5.6 0.52 0.2704 4.8 -0.28 0.0784 5.2 0.12 0.0144 5.1 0.02 0.0004 4.7 -0.38 0.1444
Summa 0.508
Vi f˚ar d˚a ˆσ =!P (v−¯v)2
N−1 = 0,5084 = 0, 36. En sp¨adgris som v¨ager 5,2 kg befinner sig allts˚a
5,2−5,08
0,36 = 0,120,36 = 0, 333σ ¨over medelv¨ardet. Enligt tabell B ¨ar denna sannolikhet 0,5 - 0,1306
= 37%.
(3) Effekten f¨or en gl¨odlampa kan m¨atas genom att m¨ata dess resistans och sp¨anningsfallet ¨over gl¨odlampan. Effekten f˚as d˚a ur P = UR2. Vid ett f¨ors¨ok m¨attes en gl¨odlampas resistens till 7, 5 ± 0, 3 Ω och sp¨anningsfallet till 4, 3 ± 0, 2 V. Ber¨akna ett v¨arde p˚a effekten hos gl¨odlampan vid denna sp¨anning, med angivande av os¨akerheten.
(2p) F¨orslag till l¨osning: Effekten ges av P = UR2 = 4,37,52 = 2,46 W. Os¨akerheten ges av felfortplantningsformeln: σP =!"dP
dU
#2
σU2 +"dP
dR
#2
σR2 =!"2U
R
#2
σ2U+"−U2
R2
#2
σ2R= 0, 25.
Effekten kan allts˚a uppskattas till 2,46 ± 0,25 W (2,5 ± 0,3 W).
(4) N¨ar kosmisk str˚alning tr¨affar jordens atmosf¨ar bildas myoner som n˚ar ned till jordytan. Varje kvadratcentimeter p˚a jordytan tr¨affas av ungef¨ar en s˚adan myon per minut. Det betyder att A4-arket framf¨or dig i genomsnitt genomborras av 10,4 myoner per sekund. Antag att antalet myoner som under en sekund g˚ar genom pappret ¨ar en Poissonf¨ordelad variabel, hur stor ¨ar d˚a sannolikheten att pappersarket under en sekund inte tr¨affas av n˚agon enda myon? (2 p)
F¨orslag till l¨osning: Vi s¨oker P(ν =0;µ =10,4) f¨or en Poissonf¨ordelad variabel, dvs
e−10,4·10,40
0! = e−10,4= 3.0 · 10−5.
(5) Ett forskningslaboratorium k¨opte en elektronisk f¨orst¨arkare som var specificerad s˚a att den f¨or en given insp¨anning Uinskulle leverera en utsp¨anning som ges av Uut = 1, 00 V + 3, 00 · 103· Uin. N¨ar f¨orst¨arkaren levererades testade man den genom att skicka in mycket v¨al definierade sp¨anningar, s˚a v¨al definierade att man kan bortse fr˚an os¨akerheten i dessa, och m¨ata utsp¨anningen efter f¨orst¨arkningen. Man erh¨oll f¨oljande v¨arden:
Uin (mV) Uut (V) σut
50 150,99 0,01 100 300,99 0,01 150 450,99 0,01 200 601,00 0,01 250 751,01 0,01 300 900,99 0,01 350 1051,01 0,01 400 1201,00 0,01
Ar dessa m¨atdata vad man kan f¨orv¨anta sig om f¨orst¨arkaren uppfyller kravspecifikationen?¨ F¨orslag till l¨osning: Vi ber¨aknar χ-kvadratsumman
Uin Observ. F¨orv. χ2 50 150.99 151.00 1.00 100 300.99 301.00 1.00 150 450.99 451.01 1.00 200 601.00 601.00 0.00 250 751.01 751.00 1.00 300 900.99 901.00 1.00 350 1051.01 1051.00 1.00 400 1201.00 1201.00 0.00
Summa 6.00
Vi f˚ar allts˚a en chi-kvadratsumma om 6,0 f¨or 8 frihetsgrader vilket ger en reducerad chi- kvadrat om 0,75. Enligt tabell D ¨ar sannolikheten att f˚a ett s˚a h¨ogt, eller h¨ogre, v¨arde ca 81%, det verkar allts˚a som om f¨orst¨arkaren uppfyller specifikationen.
(2p)
Del B: F¨ ordjupande uppgifter.
(6) I EM-slutspelet i fotboll 2004 slutade de 24 gruppspelsmatcherna p˚a f¨oljande s¨att:
Grupp A Grupp B
Portugal Grekland 1 - 2 Schweiz Kroatien 0 - 0 Spanien Ryssland 1 - 0 Frankrike England 2 - 1
Grekland Spanien 1 - 1 England Schweiz 3 - 0
Ryssland Portugal 0 - 2 Kroatien Frankrike 2 - 2 Spanien Portugal 0 - 1 Kroatien England 2 - 4 Ryssland Grekland 2 - 1 Schweiz Frankrike 1 - 3
Grupp C Grupp D
Danmark Italien 0 - 0 Tjeckien Lettland 2 - 1 Sverige Bulgarien 5 - 0 Tyskland Nederl¨anderna 1 - 1 Bulgarien Danmark 0 - 2 Lettland Tyskland 0 - 0 Italien Sverige 1 - 1 Nederl¨anderna Tjeckien 2 - 3 Italien Bulgarien 2 - 1 Nederl¨anderna Lettland 3 - 0 Danmark Sverige 2 - 2 Tyskland Tjeckien 1 - 2
Unders¨ok om antalet m˚al lagen gjorde i en match kan anses vara Poissonf¨ordelade.
Ledning: Varje match bidrar med tv˚a v¨arden.
(5p) F¨orslag till l¨osning: Vi g¨or en chi-kvadrat test f¨or antagandet att antal m˚al ¨ar Pois- sonf¨ordelat. Medelv¨ardet f˚as ur ¯x = PPknnk·xk
k , vi har x nk nk· xk
0 13 0
1 15 15
2 14 28
3 4 12
4 1 4
5 1 5
summa 48 64
s˚a medelv¨ardet blir 64/48 = 1,33. Det f¨orv¨antade antalet g˚anger ett lag har gjort ν m˚al, om detta antal ¨ar Poissonf¨ordelat, ges d˚a av 48 · P (ν; 1, 33). Vi binnar data s˚a att ingen bin har f¨arre ¨an 4 f¨orekomster och ber¨aknar f¨orv¨antat antal och chi-kvadrat:
Antal m˚al Obs. F¨orv. χ2 0 13 12,7 0,01 1 15 16,9 0,21 2 14 11,2 0,67
>2 6 7,2 0,21
summa 1,10
.
Detta ger en chi-kvadratsumma om 1,10 f¨or tv˚a frihetsgrader (vi har ber¨aknat N och ν fr˚an data), dvs reducerad chi-kvadrat om 0,55. Tabell D visar att sannolikheten att f˚a s˚a h¨og re- ducerad chi-kvadrat ¨ar ca 60%. Antalet gjorda m˚al verkar d¨arf¨or verkligen vara Poissonf¨ordelat.
(7) Ett radioaktivt material inneh˚aller tv˚a olika isotoper. Genom att m¨ata energin p˚a de fotoner som genereras vid s¨onderfallet kan man avg¨ora om ett s¨onderfall ¨ar orsakat av s¨onderfall av isotop ett eller tv˚a. Man m¨ater antalet s¨onderfall ν1respektive ν2under ett antal tiosekunders- intervall och finner att ν1¨ar Poissonf¨ordelad med medelv¨arde µ1 och att ν2¨ar Poissonf¨ordelad med medelv¨arde µ2. Vissa att det totala antalet s¨onderfall i en tiosekundersperiod, ν = ν1+ ν2
ocks˚a ¨ar Poissonf¨ordelat med ett medelv¨arde µ som uppfyller µ = µ1+ µ2. Ledning: Binomialsatsen s¨ager: (a + b)n= $nk=0"n
k
#akbn−k, d¨ar"n k
#=k!(n−k)!n! . (5p)
F¨orslag till l¨osning: vi ber¨aknar sannolikheten att observera ν = ν1+ν2s¨onderfall. Efter- som vi betraktar oberoende sannoliketer s˚a blir sannolikheten f¨or summan lika med produkten
av sannolikheterna f¨or ν1 resp ν2. Vi m˚aste ocks˚a ta h¨ansyn till att en given summa kan f˚as p˚a flera olika s¨att s˚a vi m˚aste summera alla m¨ojligheter. Vi f˚ar allts˚a:
P (ν) =$ν1
ν=0P (ν1) · P (ν2= ν − ν1). detta ger:
P (ν) =$ν ν1=0
e−µ1µν11 ν1! ·e−µ2µ
ν−ν1 2
(ν−ν1)! = e−(µ1+µ2)$ν ν1=0
µν11 ·µν2−ν1
ν1!(ν−ν1)! = (enligt ledning) =
$ν ν1=0
e−(µ1+µ2)(µ1+µ2)ν
ν! vilket ¨ar just Poissonf¨ordelningen f¨or en variable med medelv¨arde µ, vsv.
(8) ˚Ar 1971 hade Indien 548,2 miljoner inv˚anare, 1981 683,3 miljoner, 1991 843,9 miljoner och 1996 944,5 miljoner. Antag att folkm¨angden v¨axt exponentiellt och uppskatta, med angivande av os¨akerhet, hur stor Indiens befolkning var 1961. Samtliga v¨arden p˚a befolkningens storlek kan antas vara korrekt avrundade.
Ledning: Genom att v¨alja l¨ampliga variabler kan du g¨ora din uppskattning oberoende av eventuella korrelationer mellan anpassade parametrar.
(5p) F¨orslag till l¨osning: Vi kan uppskatta Indiens folkm¨angd 1961 genom att anpassa loga- ritmen av befolkningen som en funktion av antalet ˚ar efter 1961 till en r¨at linje. Genom att v¨alja ˚ar 1961 till “˚ar 0” s˚a kommer inte korrelationen mellan de anpassade parametrarna att bidrag till os¨akerheten i antalet inv˚anare 1961.
˚Ar 1971 1981 1991 1996
x = ˚ar - 1961 10 20 30 35
Befolkning (milj) 548,2 683,3 843,9 944,5
y = ln(Bef.) 6,307 6,527 6,738 6,851
w =σ12 y =Bσ22
B 120 209 296 186 759 556 284 866 884 356 832 100 wx 1 202 092 960 1 867 595 560 2 848 668 840 3 568 321 000 wy 758 116 777 1 218 967 296 1 919 442 751 2 444 533 855 wxy 7 581 167 766 24 379 345 924 57 583 282 532 85 558 684 930 wx2 12 020 929 600 74 703 822 400 256 380 195 600 437 119 322 500 Summerar vi och s¨atter in dessa v¨arden i standardformlerna f¨or en linj¨ar anpassning till y = A + Bx f˚ar vi A = 6,60919 och B = 0,0216658 samt σA = 0, 000109052. Indiens be- folkning ˚ar 1961 kan du uppskattas till Bef0 = eA = 441,9 miljoner. Os¨akerheten ges av σBef = eAσA= 0.05. V˚ar uppskattning av Indiens befolkning ˚ar 1961 blir allts˚a 441, 9 ± 0, 05 miljoner.
(9) I tabellen nedan anges den f¨orv¨antade medellivsl¨angden f¨or nyf¨odda m¨an i sju l¨ander, samt hur stor andel av BNP som i dessa l¨ander avs¨atts till sjukv˚ardssektorn (k¨alla: WHO). Ger dessa data st¨od f¨or p˚ast˚aendet att det finns ett samband mellan hur stor del av BNP som avs¨atts till sjukv˚ardssektorn och medellivsl¨angden f¨or nyf¨odda m¨an? Om svaret p˚a fr˚agan ¨ar “ja”, betyder det i s˚a fall att vi kan dra slutsatsen att alla l¨ander kan f¨orl¨anga medellivsl¨angden genom att satsa mer p˚a sjukv˚ard? (Denna delfr˚aga skall besvaras oavsett om du kommer fram till att svaret ¨ar “ja” eller “nej”).
Land f¨orv. medellivsl¨angd (˚ar) % av BNP
Albanien 69 6,7
Bolivia 63 6,8
Egypten 66 6,1
Finland 76 7,4
Japan 79 7,8
Kanada 78 9,8
Lesotho 42 6,5
(5p) F¨orslag till l¨osning: Vi ber¨aknar den linj¨ara korrelationskoefficienten, vi kallar den f¨orv¨antade medellivsl¨angden f¨or a och andelen av BNP f¨or b:
Land a (a -¯a) b (b - ¯b ) (a -¯a)2 (b -¯b)2 (a -¯a) (b - ¯b
Albanien 69 1.4 6.7 -0.6 2.0 0.36 -0.9
Bolivia 63 -4.6 6.8 -0.5 20.9 0.25 2.3
Egypten 66 -1.6 6.1 -1.2 2.5 1.44 1.9
Finland 76 8.4 7.4 0.1 71.0 0.01 0.8
Japan 79 11.4 7.8 0.5 130.6 0.25 5.7
Kanada 78 10.4 9.8 2.5 108.8 6.25 26.1
Lesotho 42 -25.6 6.5 -0.8 653.9 0.64 20.5
Summa 989.7 9.2 56.4
Vi kan nu ber¨akna korrelationskoefficienten: r = √989,756,4·9,2 = 0,591. Enligt tabell C ¨ar sannolikheten att 8 helt okorrelerade talpar skulle f˚a ett v¨arde p˚a r som ¨ar s˚a h¨ogt eller h¨ogre ungef¨ar lika med 13%. Det g˚ar allts˚a inte att s¨aga att det finns evidens f¨or en stark korrelation mellan dessa variabler.
Aven om vi hade f˚¨ att en mycket l¨agre sannolikhet, och d¨arf¨or hade kunnat anta att det verkligen fanns en korrelation mellan dessa variabler s˚a ¨ar det inte tillr¨ackligt f¨or att visa p˚a ett orsakssamband. Man skulle till och med kunna gissa att med en ˚aldrande befolkning s˚a blir det n¨odv¨andigt att satsa mer p˚a sjukv˚arden!
