1 2 k = 1. Hz och de två första övertonerna med frekvenserna 3 f

Institutionen för data- och elektroteknik

2000-02-09

CHALMERS LINDHOLMEN Sida 1

Digital signalbehandling

Linjär fas eller

Hur påverkar fasvridningen en signal bestående av flera deltoner?

Inledning

Vi skal se hur låg- och högpassfilter med ingen fasvridning, linjär fasvridning och olinjär fas- vridning påverkar en signal med flera deltoner.

Vi studerar en analog fyrkantvåg med frekvensen 1 Hz och amplituden 1. Signalen har en positiv flank vid t = 0. Signalen kan delas upp i sina fourierkomponenter enligt

( ) ∑

[ ( ) ]

=

−

⋅

⋅

⋅

− ⋅

⋅ ⋅

=

1

1 2 2 1 sin 2

2 1

k

k k t

x π

Signalen består alltså av en grundton med samma frekvens som fyrkantvågen och udda över- toner av denna där tonernas amplitud avtar med övertonernas frekvens. Värt att notera är att grundtonen har större amplitud ( 2 ) är fyrkantvågen.

Vi studerar signalens deltoner, där vi väljer att bara studera grundtonen med frekvens f = 1₀ Hz och de två första övertonerna med frekvenserna 3 f⋅ ₀ och 5 f⋅ ₀ (3 respektive 5 Hz).

Vi studerar också den hopsummerade signalen där vi använder grundtonen med frekvensen f = 1 Hz och de fyra första övertonerna med frekvenser 0 3 f⋅ ₀, 5 f⋅ ₀, 7 f⋅ ₀ och 9 f⋅ ₀. Vi använder fler deltoner här för att få en total signal som mer liknar den önskade fyrkantvågen.

Fyrkantvågens första tre toner ser ut enligt figur

Lägg märke till de sammanfallande nollgenomgångarna.

Adderar vi ihop de fem första av signalens deltoner så får vi

Lägg märke till symmetrin hos både positiv och negativ halvperiod.

Lågpassfiltrering

Vi filtrerar fyrkantvågen med ett första ordningens lågpassfilter med gränsfrekvens 1 Hz. Ett analogt filter med dessa egenskaper beskrivs av överföringsfunktionen

( )



















 +

=

⋅ +

=

⋅ +

=

g

g g

g

f f

f f f

j f j

H arctan

1 1 1

1 1

1

2

ω ω ω

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Tre toner ur fyrkan tvåg

Figur 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem toner

Figur 2

Figur 3

Filtret ger alltså både förändring av signalamplituder och fasvridning, där fasvridningen är olinjär. Om vi först antar att filtret bara påverkar beloppet men inte ger någon fasvridning så får vi

0 1 2 3 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Frekvens (Hz)

Belopp

Förstagradsfilter LP f0=1 Hz

Figur 3

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-15 -10 -5 0

Frekvens (Hz)

Belopp (dB)

Förstagrads LP f0=1Hz dB-skala

Figur 4

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

Frekvens (Hz)

Fasvinkel relativt pi

Förstagradsfilter LP f0=1 Hz

Figur 5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Tre toner ur fyrkan tvåg,ingen fasvridning LP fg=1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem ton er, ingen fasvridning LP fg=1

Ju högre frekvens tonen har ju mer dämpas den alltså. Lägg märke till de sammanfallande nollgenomgängarna och symmetrin hos signalen även om den förändrade storleken hos delto- nerna har förändrat den totala kurvformen.

Vi kan också tänka oss ett filter med linjär fasgång Θ=k⋅ω, även om detta inte kan realise- ras analogt. I de flesta fall är k negativt vilket innebär en fördröjning. Med k =−0,3 får vi t ex faskurvan

Vi väljer att använda en negativ fasvridning eftersom detta motsvarar en fördröjning av sig- nalen och det är just detta vi kommer att göra i samband med dimensionering av transversal- filter.

Vilket ger filtreringen

Lägg märke till att deltonerna alla blir fördröjda men att deras nollgenomgångar fortfarande sammanfaller. Detta innebär att alla deltoner fördröjs lika lång tid (0,3 sekunder) och därför behåller också den totala signalen sin form, men fördröjd.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

Frekvens (Hz)

Fasvinkel relativt pi

Linjär fas -0,3∙w

Figur 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Tre toner ur fyrkan tvåg,faslinjärt LP fg=1

Figur 9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem toner, faslinjärt LP fg=1

Figur 10

Tar vi nu och tittar på det verkliga analoga förstagrads lågpassfiltret så får vi

Vi ser på deltonerna att nollgenom- gångarna inte längre sammanfaller vilket betyder att deltonerna har för- dröjts olika långa tider och den totala signalen förändrar då sin form.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem toner, LP fg=1

ingen fasvridning

linjär fasvridning

Figur 11

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Tre toner ur fyrkantvåg,LP fg=1

Figur 12

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem ton er, LP fg=1

Figur 13

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem toner, LP fg=1

ingen fasvridning

olinjär fasvridning

Figur 14

Högpassfiltrering

Vi ser på motsvarande egenskaper om vi inför ett analogt högpassfilter med en gränsfrekvens på 5 Hz

( )









− 









 +

=

⋅ +

⋅

=

⋅ +

⋅

=

g

g g

g g

g g

f f

f f f

f

f j f

f j f

j j

H arctan

2 1 1

1 ²

π ω

ω ω

ω ω

Även här ger filtret både förändring av signalamplituden och fasvridning av signalen.

Här har vi en positiv fasvridning av signalen som dock är olinjär.

Vi får då om vi först antar att filtret saknar fasvridning

0 1 2 3 4 5 6

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Frekvens (Hz)

Belopp

Förstagradsfilter HP f0=5 Hz

Figur 15

0 1 2 3 4 5 6

-15 -10 -5 0

Frekvens (Hz)

Belopp (dB)

Förstagrads HP f0=5Hz dB-skala

Figur 16

1 2 3 4 5 6

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

Frekvens (Hz)

Fasvinkel relativt pi

Förstagradsfilter HP f0=5 Hz

Figur 17

Som väntat avtar dämpningen med frekvensen, dvs tonerna med lägre frekvens dämpas mest.

Lägg märke till de sammanfallande nollgenomgångarna och signalens symmetri.

Med linjär fasvridning ^Θ=k⋅ω

(

)

Vi väljer att även här använda en negativ fasvridning (fördröjning) trots att det analoga filtret har positiv fasvridning eftersom vi som gavt skall använda fördröjning i samband med dimen- sionering av transversalfilter.

Vilket ger filtreringen

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Tre ton er ur fyrkantvåg,ingen fasvrid ning HP fg=5

Figur 18

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem toner, ingen fasvridning HP fg=5

Figur 19

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0

Frekvens (Hz)

Fasvinkel relativt pi

Linjär fas -0,3∙w

Figur 20

Även här fördröjss deltonerna men nollgenomgångarna sammanfaller fortfarande, dvs deltonerna förskjuts lika lång tid och den totala signalen behåller sin form men blir tidsför- dröjd.

Med det verkliga analoga förstagradsfiltret av högpasstyp får vi

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Tre toner ur fyrkan tvåg,faslinjärt HP fg=5

Figur 21

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem toner, faslinjärt HP fg=5

Figur 22

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem toner, HP fg=5

ingen fasvridning

linjär fasvridning

Figur 23

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Tre toner ur fyrkantvåg,HP fg=5

Figur 24

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem toner, HP fg=5

Figur 25

Nollgenomgångarna sammanfaller inte längre, dvs deltonerna har olika lång tidsförskjutning och den totala signalens kurvform har ändrats. Lägg märke till att detta filter ger en positiv fasförskjutning.

Slutsats

Vår slutsats blir alltså att om en signal skall behålla sin grundform, även om olika deltoner dämpas olika mycket, då signalen passerar ett system så måste systemet ha linjär fasvridning, där ingen fasvridning är ett specialfall av linjär fasvridning.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

Fyrkantvåg av fem toner, HP fg=5

ingen fasvridning

olinjär fasvridning

Figur 26