Hur många pizzor äts i Sverige varje år?

Självständigt arbete 30hp

Hur många pizzor äts i Sverige varje år?

En studie om gymnasieelevers arbete i matematisk modellering med hjälp av Fermiproblem

Författare: Ola Persson Handledare: Oduor Olande Examinator: Torsten Lindström Termin: HT 2021

Ämne: Matematikdidaktik

Hur många pizzor äts i Sverige varje år?

En studie om gymnasieelevers arbete i matematisk modellering med hjälp av Fermiproblem

How Many Pizzas are Eaten in Sweden Each Year?

A study on how upper secondary pupils work with mathematical modelling by applying Fermi Problems.

Abstrakt

Syftet med studien är att undersöka hur gymnasieelevers deltagande i modelleringsprocessen ser ut när de genomför grupparbete med Fermiproblem. Detta har undersökts genom att nio elever uppdelade i tre grupper blivit filmade då de löst ett Fermiproblem, en inspelning som därefter transkriberats och kodats utifrån vilket modelleringssteg eleverna arbetat på. Genom att visualisera det kodade materialet som verksamhetsbytesgrafer har elevernas interaktioner på olika modelleringssteg och deras matematiska idéer och konkreta bidrag kunnat analyseras.

Studiens resultat visar på att eleverna löser uppgifterna gemensamt i sina grupper genom multipla modelleringscykler, cykler som initieras genom att grupperna både initierar nya faktorer som påverkar Fermiproblemet och genom kontrollräkning och förtydligande sina uträkningar. Analysen visar även på en låg grad av matematisering i elevernas arbete.

Nyckelord

Fermiproblem, matematisk modellering, matematikdidaktik, matematisering, modelleringscykel

Innehåll

1 Inledning ____________________________________________________________ 4 1.1 Syfte och frågeställningar ___________________________________________ 5 2 Bakgrund ___________________________________________________________ 5 2.1 Fermiproblem ____________________________________________________ 5 2.2 Matematisk modellering och matematiska modeller ______________________ 7 2.3 Tidigare forskning ________________________________________________ 8 2.3.1 Likheten mellan Fermiproblem och matematisk modellering ____________ 8 2.3.2 Forskning kring hur elever löser Fermiproblem _____________________ 10

3 Metod _____________________________________________________________ 12 3.1 Vald metod _____________________________________________________ 12 3.2 Urval och genomförande __________________________________________ 13 3.3 Databearbetning _________________________________________________ 14 3.3.1 Transkribering och kodning ____________________________________ 14 3.3.2 Tolkning av det kodade materialet _______________________________ 15 3.4 Reliabilitet _____________________________________________________ 17 3.5 Validitet _______________________________________________________ 17 3.6 Generaliserbarhet ________________________________________________ 18 3.7 Etiska överväganden ______________________________________________ 18 4 Resultat och analys __________________________________________________ 19 4.1 Övergripande resultat och analys från de tre gruppernas arbete ____________ 19 4.1.1 Grupp 1 ____________________________________________________ 19 4.1.2 Grupp 2 ____________________________________________________ 21 4.1.3 Grupp 3 ____________________________________________________ 22 4.2 Resultat och analys kopplat till hur eleverna rör sig i modelleringscykeln ____ 25 4.2.1 Rörelser mellan modelleringsstegen ______________________________ 25 4.2.2 Elevers individuella rörelser i modelleringscykeln ___________________ 29 4.3 Resultat kopplat till de enskilda elevernas matematiska idéer och konkreta bidrag i modelleringsprocessen ______________________________________________ 30 5 Diskussion __________________________________________________________ 34 5.1 Diskussion kopplat till hur eleverna rör sig i modelleringscykeln ___________ 34 5.2 Diskussion kopplat till de enskilda elevernas matematiska idéer och konkreta bidrag i modelleringsprocessen ________________________________________ 36 5.3 Sammanfattande diskussion ________________________________________ 38

Referenser ___________________________________________________________ 40

Bilagor _______________________________________________________________ I Bilaga A ____________________________________________________________ I Bilaga B ___________________________________________________________ II Bilaga C __________________________________________________________ III Bilaga D __________________________________________________________ IX Bilaga E __________________________________________________________ XX

1 Inledning

I den svenska gymnasieskolans matematikundervisning framhålls sex centrala förmågor (Skolverket, 2021, s. 1) där den fjärde förmågan av dessa är förmåga att tillämpa, formulera och utvärdera matematiska modeller. Förmågan specificeras i matematikkurserna Matematik 1 till 5:s centrala innehåll med att eleverna skall kunna tillämpa och formulera matematiska modeller i realistiska situationer samt utvärdera dessa modellers egenskaper och begränsningar (Skolverket, 2021). Att kunna ta fram och arbeta med matematiska modeller i realistiska situationer är med andra ord både en central förmåga i alla gymnasieskolans matematikkurser samt en av punkterna i det centrala innehållet i kurserna.¹

I sin avhandling Mathematical modelling in upper secondary mathematics education in Sweden² visar Ärlebäck att betoningen på matematisk modellering successivt har ökat i kursplanerna för gymnasieskolan, men att det finns en otydlighet hos lärare kring att arbeta med modellering och en bild hos elever att de inte har arbetat med modellering i sina matematikkurser (Ärlebäck J. B., 2009a). Ärlebäck undersöker därför bland annat om matematisk modellering skulle kunna introduceras genom att gymnasieeleverna arbetar med Fermiproblem. Idén är att om elever som löser Fermiproblem uppvisar problemlösningsbeteenden som motsvarar stegen i modelleringsprocessen, så kan denna erfarenhet fungera som en utgångspunkt för diskussioner kring matematisk modellering.

Genom att analysera hur sju gymnasieelever, vilka läser matematikkurserna C och D³ i en ettårig universitetsförberedande kurs, löser Fermiproblem som en gruppaktivitet visar Ärlebäck att grupperna inte enbart arbetar med samtliga steg i modelleringscykeln, utan under deras arbete genomför de flera varv i modelleringscykeln. Utifrån denna iakttagelse menar Ärlebäck att det troligtvis skulle vara möjligt att använda sig av Fermiproblem för att introducera matematiska modeller och modellering på gymnasiet i linje med ämnesplanen (Ärlebäck J. B., 2009a).

Ärlebäck (2009a; 2009b) undersöker inte djupare hur genomförandet ser ut på individnivå, någonting som är av betydelse då uppgiften är tänkt att fungera som ett sätt att introducera matematisk modellering för gymnasieelever. Ärlebäck konstaterar istället att det är diskussionerna och interaktionen i grupperna som driver modelleringsprocessen framåt. Genom att inte undersöka de enskilda deltagarna går det inte att säga någonting kring om det är en eller flera elever som är aktiva i gruppen. Om det skulle visa sig att det bara är en aktiv elev och övriga elever är passiva, hur bra är i så fall ett Fermiproblem som introduktion av matematisk modellering för gymnasieelever? Likaså går det inte att säga någonting om hur enskilda elever rör sig mellan de olika modelleringsstegen. Följs eleverna åt eller arbetar de enskilt? Om eleverna följs åt – hur går diskussionerna? Om eleverna i stället delar upp uppgiften mellan sig, vad går det att utläsa av elevernas diskussioner och ställningstaganden?

1 Den enda gymnasiekurs som inte explicit tar upp matematisk modellering som ett centralt innehåll är kursen Matematik – specialisering, 100p, en kurs med valbara matematikområden. Däremot omfattar kursen förmågan att tillämpa, formulera och utvärdera matematiska modeller.

2 Avhandlingen består av en kappa, en sammanfattning av fem studier som rör matematisk modellering samt en avslutande diskussion. Då jag använder mig av resultat som är kopplat till studien som rör Fermiproblem refereras direkt till denna studie, vilken i mitt arbete beskrivs som ”Ärlebäck (2009b)”. Då jag refererar till övergripande resultat och diskussioner från Ärlebäcks avhandling refereras till ”Ärlebäck (2009a)”.

3 Matematik C och Matematik D ingick som tredje och fjärde matematikkursen i Lpf94, vilket var läroplanen som föregick den nuvarande Gy 2011.

Om Fermiproblem skall användas som ett sätt att introducera elever i matematisk modellering är det rimligt att göra undersökningen på elever i den första kursen som innehåller matematisk modellering som ett centralt innehåll, det vill säga i Matematik 1.

Då eleverna på 14 av de 18 nationella programmen enbart läser Matematik 1 finns det anledning att närmare undersöka hur elever i denna kurs hanterar att arbeta med Fermiproblem, inte bara då det är första kursen som matematisk modellering anges som ett centralt innehåll, utan Matematik 1 är den högsta matematik som en stor del av gymnasieeleverna tar med sig då de lämnar skolan och fortsätter ut i arbetslivet.

1.1 Syfte och frågeställningar

Syftet med den här studien är att undersöka hur deltagandet i modelleringsprocessen ser ut hos elever då de genomför grupparbete med Fermiproblem.

För att uppnå arbetets syfte kommer följande frågeställningar att besvaras:

1. Hur rör sig eleverna i modelleringscykeln och vilka steg använder de sig av?

2. Vilka matematiska idéer och bidrag ger de enskilda eleverna för att uppnå gruppens slutresultat när de arbetar med ett realistiskt Fermiproblem?

2 Bakgrund

Då arbetet behandlar begreppen Fermiproblem, matematisk modellering och matematiska modeller, begrepp som används med olika definitioner inom olika forskningsområden och institutioner, kommer definitioner och användning av dessa begrepp att tydliggöras i detta avsnitt. Därefter kommer en genomgång av tidigare forskning om matematisk modellering genom Fermiproblem att presenteras.

2.1 Fermiproblem

Begreppet Fermiproblem härstammar från den italienske nobelpristagaren i fysik Enrico Fermi (1901-1954), vilken hade en förkärlek för att ställa upp och lösa problem av typen:

Hur många järnvägsvagnar finns det i USA eller Hur många pianostämmare finns det i USA? (Ärlebäck, 2009b). Genom att göra ett antal antaganden och uppskattningar, kunde han ge ett svar som låg inom en faktor tio från det korrekta svaret.

Denna typ av problem har traditionellt setts använts som intellektuella övningsuppgifter (Sriraman & Lesh, 2006). Det finns ingen enhetlig definition för Fermiproblem, utan de flesta studier som berör Fermiproblem utgår ofta ifrån ett karakteriserande exempel (Ärlebäck & Albarracín, 2017). Ett försök till att definiera Fermiproblem har gjorts av Fuglestads och Goodchild (2008), vilka menar att Fermiproblem är

en möjligt ‘uppskattningsuppgift’, vilken består av en eller två enkelt formulerade frågor vilka vid första anblick ser omöjligt ut att svara utan externt material, men vilka genom resonemang kan uppskattas genom att följa en serie enkla steg vilka består av sunt förnuft och siffror som är allmänt kända eller som är möjliga att uppskatta (min översättning av Fuglestad & Goodchild, 2008, s. 52).

Fuglestad och Goodchild definierar med andra ord ett Fermiproblem som en enkelt formulerad uppskattningsfråga. Problemet går att lösa genom att dela upp problemet i mindre delar vilka, går att lösa genom enkla resonemang och välkända uppskattningar.

I detta arbete kommer en viss typ av Fermiproblem användas vilka Ärlebäck (2009b) kallar realistiska Fermiproblem. Dessa bygger på följande fem karaktärer för Fermiproblemen (min sammanfattning av Ärlebäcks kriterier från Ärlebäck, 2009b):

• De skall vara tillgängliga. Detta innebär att uppgiften går att närma sig av alla elever oberoende om de arbetar individuellt eller i grupp. De skall även vara möjliga att lösa på olika utbildningsnivåer och på olika nivåer av komplexitet.

• Uppgifterna skall vara realistiska. Detta innebär att problemet är mer än bara en intellektuell övning, utan har en tydlig koppling med verkligheten.

• Att problemet är formulerat som ett öppet problem. Detta innebär att problemet är formulerat så att uppgifterna inte associeras direkt med en känd strategi eller procedur för att lösa det.

• Det saknas numerisk information, vilket innebär att det behövs göras uppskattningar. För att detta skall vara möjligt måste uppgiften vara välkänt, relevant och intressant för deltagarna att arbeta med.

• Det skall finnas en inre drivkraft för att locka fram diskussioner. Detta innebär att gruppaktiviteten bjuder in till diskussion kring olika områden såsom vad som är relevant för att lösa problemet.

Det finns ingen enhetlig lösningsmodell för hur ett Fermiproblem bör eller ska lösas. Ett försök till att utveckla en övergripande systematisk metod för att lösa Fermiproblem har utarbetats av Anderson och Sherman (2010). Enligt deras metod går det att dela upp ett Fermiproblem i ett antal faktorer⁴. Känner sig problemlösaren säker på vilket värde en faktor skall ha, så tilldelas denna faktor detta värde. Är det någon eller några av faktorerna som inte går att tilldela ett säkert uppskattat värde, bryts denna faktor ner i ytterligare faktorer. Denna process fortsätter till det går att göra uppskattningar på samtliga faktorer.

Dessa faktorer kallas då grundfaktorer.

Anderson och Sherman (2010) illustrerar lösningsmodellen genom följande exempel på Fermiproblemet kring ”Hur många korvar konsumeras årligen vid toppligan i baseboll i USA varje år?”. En tänkbar lösning på problemet, vilken används av Anderson och Sherman (2010) utgår ifrån att problemlösaren börjar med att bestämma två grundfaktorer, vilka enligt Anderson och Shermans exempel är hur många korvar varje person äter i genomsnitt på en match och multiplicera detta med hur många besökare som ligan har varje år.

Nästa steg blir att undersöka vilken eller vilka av de båda faktorerna som kan uppskattas genom resonemang och vilken eller vilka som inte kan det. Av de båda grundfaktorerna bedömer Anderson och Sherman att antalet korvar som konsumeras per person kan resoneras fram, något som inte antalet ligabesökare kan utan ytterligare information.

Därför behöver denna faktor brytas ner i delfaktorer. Dessa delfaktorer kan till exempel vara publikgenomsnitt per match och antal matcher per säsong, vilka nu ersätter grundfaktorn och problemet har nu tre grundfaktorer i stället för två.

Problemlösaren frågar sig på samma sätt som ovan vilken eller vilka av de nya grundfaktorerna som denne kan resonera sig fram till och vilken eller vilka faktorer som denne behöver dela upp ytterligare. I Anderson och Shermans fall behöver antalet matcher

4 I arbetet används ordet faktorer generellt för att beskriva de delar i omvärldsproblemet som påverkar Fermiproblemet. Ordet variabler används för att beskriva hur dessa faktorer används i den matematiska modellen.

per säsong delas upp i delfaktorerna antalet matcher som varje lag spelar per år och antalet lag som spelar i ligan.

Processen fortsätter enligt samma mönster till dess att problemlösaren kan göra en uppskattning av Fermiproblemet, vars första två uppdelningar i delproblem illustreras i Figur 1.

Figur 1. Exempel på faktorer, med utgångspunkt ifrån Anderson & Sherman (2010)

Då alla grundfaktorer är identifierade blir nästa steg i Anderson och Shermans lösningsmodell att en uppskattning görs av varje grundfaktor, vilket görs genom att problemlösaren gör en övre rimlighetsgräns och en undre rimlighetsgräns för vad som är rimligt för varje faktor. Genom att ta medelvärdet mellan dessa båda antaganden fås ett svar som är bättre än om personen som löser Fermiproblemet skulle gjort enbart en rimlig gissning (Anderson & Sherman, 2010). Rekommendationen att ta två gissningar bygger forskarna på Vul och Pashlers (2008) studie, där de båda forskarna visar att om en och samma person gör två gissningar på samma problem kommer medelvärdet av dessa båda gissningar att vara bättre än de båda gissningarna var för sig.

Då vissa av grundfaktorerna kommer att vara för höga och andra för låga, kommer den slutgiltiga produkten av samtliga grundfaktorer närmare det ”verkliga” resultatet. Detta innebär att även om inte varje antagande är helt korrekt, kommer små felaktigheter i antagandena att ta ut varandra (Anderson & Sherman, 2010).

2.2 Matematisk modellering och matematiska modeller

Precis som för Fermiproblem finns det ingen enhetlig definition för matematisk modellering eller för matematiska modeller. Edwards och Hamson (2001) beskriver att en matematisk modell är en beskrivning av verkligheten genom användning av matematiska begrepp såsom funktioner och ekvationer. Genom införandet av matematiska modeller övergår problemet från verkligheten till att vara en abstraktion som bygger på matematiska begrepp, i vilken matematiska eller statistiska metoder används.

Avslutningsvis omvandlas och tolkas den matematiska lösningen så att den går att tolka

på det ursprungliga verklighetsproblemet, d.v.s. modelleringsarbetet börjar och slutar i verkligheten (Edwards & Hamson, 2001), en arbetsprocess som inom matematikdidaktik (se t.ex. Blum & Leiß, 2007; Lesh & Doerr, 2003) kallas för en modelleringscykel.

Svårigheten ligger i hur verklighetskontexten skall omvandlas till en matematiskt lösningsbar modell (Edwards & Hamson, 2001), en svårighet som matematisk modellering delar med Fermiproblem (Ferrando & Albarracín, 2019) och som skiljer uppgifter inom matematisk modellering från traditionella läroböcker. I traditionella läromedelsuppgifter lär sig eleverna att arbeta med eller bearbeta matematiska modeller, i form av t.ex. uttryck eller ekvationer, d.v.s. eleverna arbetar inom den matematiska kontexten (Lesh & Doerr, 2003).

För att öva eleverna på hur de skall arbeta med matematisk modellering brukar ofta modelleringsarbeten genomföras som en sekvens av ett antal aktiviteter (Lesh, Cramer, Doerr, Post, & Zawojewski, 2003). Sekvensen består av först en uppvärmningsaktivitet, därefter genomförs själva modelleringsuppgiften, vilken brukar kallas för en modelleringsframkallande aktivitet (Model-eliciting Activity) och därefter avslutas sekvensen genom två aktiviteter där den skapade modellen förfinas och generaliseras.

I både modellframkallande aktiviteter och Fermiproblem ställs problemlösaren inför behovet av att göra en analys av problemet, vilken befinner sig i en verklighetskontext, göra en förenkling och uppdelning av problemet, varefter problemlösaren behöver utvärdera om resultatet ligger i linje med den givna problemställningen (Robinson, 2008).

2.3 Tidigare forskning

Forskningen kring Fermiproblem kopplat till matematisk modellering i skolmiljö är ett förhållandevis ungt forskningsområde. I en forskningsgenomgång som genomfördes av Ärlebäck och Albarracín (2019) fann de att det enbart fanns två vetenskapliga dokument⁵ som publicerats före år 2000 inom matematik, men att antalet dokument successivt ökat under framför allt det senaste decenniet. Förklaringen till ökningen beror på ett växande intresse för Fermiproblem kopplat till matematisk modellering (Ärlebäck & Albarracin, 2019).

Forskningsbakgrunden nedan är uppdelad i två delar. Den första delen fokuserar på den forskning som finns kopplat till de likheter som har setts mellan Fermiproblem och matematisk modellering då de har jämfört elevers sätt att lösa uppgifterna genom analysverktyget modelleringscykler. Den andra delen av forskningsbakgrunden fokuserar på hur elever löser Fermiproblem.

2.3.1 Likheten mellan Fermiproblem och matematisk modellering

Fermiproblem har traditionellt inte setts som modelleringsuppgifter, utan utvecklades som intellektuella övningsuppgifter där problemlösaren genom kvalificerade uppskattningar kunde resonera sig fram till en lösning (Sriraman & Lesh, 2006). Men då Fermiproblem i sin utformning liknar modelleringsuppgifter, men med fördelen att de är betydligt mindre än fullskaliga modelleringsuppgifter, har ett antal studier velat undersöka om problemlösaren som löser ett Fermiproblem beter sig som och utför samma resonemang som en modellerare. Dessa har genomförts på deltagare i olika åldrar, från låg- och mellanstadiet (Peter-Koop, 2004), högstadiet (Albarracín & Gorgorió, 2013;

Albarracín & Gorgorió, 2014; Albarracín, Ärlebäck, Civil, & Gorgorió, 2019), gymnasiet

5 Forskningsgenomgången innefattade vetenskapsartiklar, konferensrapporter, bokkapitel, avhandlingar och forskningsrapporter. För att beskriva underlagen så benämnde dessa för dokument.

(Ärlebäck, 2009b) och upp på universitetsnivå (Czocher, 2016; Czocher, 2018; Robinson, 2008). Gemensamt för dessa studier är att de visar att eleverna kan lösa Fermiproblem med godtagbara strategier och att lösningarna går bortom standardalgoritmer, samt att elever i många fall genomför hela modelleringscykeln flera⁶ gånger för att få fram en lösning (Czocher, 2016; Peter-Koop, 2004).

En av de tidigaste studierna som jämför Fermiproblem med modellering är Peter-Koop (2004), vilken analyserar hur elever i klass tre och fyra i Tyskland löser Fermiproblem.

Genom att analysera elevernas arbete utifrån steg två till fyra i Polyas (2014) problemlösningsprocess, visar Peter-Koop att eleverna går igenom de olika stegen i processen ett flertal gånger på ett liknande sätt som det som går att se i modelleringscykler, detta i motsats till traditionella problemlösningsuppgifter i läroböcker där eleverna bara genomför cykeln en gång (Peter-Koop, 2004). Peter-Koops slutsats ifrån studien är att tillvägagångssättet som eleverna använder sig av för att lösa Fermiproblem liknar en modelleringsframkallande verksamhet, vilka beskrivs utförligt av bland annat Lesh, Hoover, Hole, Kelly och Post (2000).

Även om Peter-Koop (2004) ser likheter mellan Fermiproblem och modelleringsuppgifter görs inga djupare analyser för att se hur likheterna ser ut, något som däremot analyseras av Ärlebäck (2009b), Albarracín, Ärlebäck, Civil och Gorgorió (2019) och Czocher (2016). För att analysera hur eleverna löser Fermiproblemet använder de tre studierna sig av Blum och Leißs (2007) begreppsmässiga ramverk för en modelleringscykel i sju steg:

(1) förstå problemet, (2) förenkla/strukturera, (3) matematisera,

(4) matematisk undersökning, (5) tolka resultatet,

(6) samt att utvärdera resultatet. Om modelleraren är nöjd med resultatet avslutas modelleringen genom att resultatet

(7) återkopplas. Skulle modelleraren däremot inte vara nöjd med sitt resultat, genomförs ytterligare en modelleringscykel för att förfina modellen och resultaten.

Genom att använda sig av Blum och Leißs (2007) ramverk, visar de tre studierna att elever som arbetar med Fermiproblem använder sig av samtliga steg i modelleringscykeln, vilket enligt forskarna tyder på att eleverna använder samma tillvägagångssätt som elever som löser modelleringsuppgift (Ärlebäck, 2009b; Albarracín, Ärlebäck, Civil, & Gorgorió, 2019; Czocher, 2016), ett resultat som ligger i linje med Peter-Koops (2004). Detta tyder på att Fermiproblem skulle kunna vara ett att introducera matematisk modellering för skolelever (Ärlebäck J. B., 2009a). Däremot diskuterar ingen av dessa den bakomliggande orsaken till att eleverna påbörjar en ny modelleringscykel, d.v.s. att de går från steg 6 i modelleringscykeln till steg 2 för att därifrån fortsätta sin förfining av sin modell.

En studie som närmar sig frågan är Albarracín, Ärlebäck, Civil och Gorgorió (2019).

Metoden som används i studien är att transkribera och koda elevernas kommunikation,

6 I studierna kallas detta för multiple modeling cycles. Jag kommer därför att använda mig av den försvenskade termen ”multipla” cykler eller ”flera” cykler, då jag refererar till att elever genomför hela modelleringscykeln upprepade gånger. Vilken term som användas när avgöras av sammanhanget.

vilken sedan visualiseras i ett verksamhetsdiagram. Ett verksamhetsdiagram är en slags tidslinje i stil med de som används i musik och filmredigering, där varje spår symboliseras av en horisontell tidslinje, vilken börjar när eleverna påbörjar sin interaktion och avslutas när eleverna avslutar sin interaktion. I sin studie beskriver Albarracín, Ärlebäck, Civil och Gorgorió (2019) att när faktorerna (se Anderson & Sherman, 2010) som identifieras i Fermiproblemet, vilka de kallar för delproblem, markeras ut i ett verksamhetsdiagram går det att se att eleverna löser Fermiproblemets delproblem efter varandra som sammanhängande block. Albarracín, Ärlebäck, Civil och Gorgorió (2019) menar att genom att även visualisera delproblemen i ett verksamhetsdiagram visualiseras inte bara var i modelleringscykeln eleverna arbetar, utan även var i Fermiproblemet som eleverna arbetar.

Även om ramverket i form av olika modelleringscykeln beskriver ett cykliskt arbetssätt (t.ex. Edwards & Hamson, 2001; Lesh & Doerr, 2003), så har flera studier betonat att denna bild är en idealiserad förenkling av verkligheten (bl.a. Czocher, 2016; Czocher, 2018; Kehle & Lester, 2003; Ärlebäck, 2009b). Dessa studier visar på att när elever löser en modelleringsuppgift (eller Fermiproblem) så rör sig eleverna snarare slumpmässigt än i det relationsbundna mönster som föreskrivs av modelleringscykeln. Därför föreslår Kehle & Lester (2003) att modelleringscykeln bör ses som ett verktyg för att tänka kring matematiskt modelleringsarbete, snarare än som en linjär modelleringsprocess.

2.3.2 Forskning kring hur elever löser Fermiproblem

När det gäller hur elever löser Fermiproblem i en modelleringskontext, finns det ett antal olika studier gjorda som belyser detta ur tre olika aspekter.

Den första aspekten handlar om vilka strategier som elever använder sig av då de för första gången ställs inför ett Fermiproblem. En sådan studie är genomförd av Albarracín och Gorgoriós (2014) på elever i åldersspannet tolv till sexton år, i vilken forskarna undersöker lösningsstrategier till olika Fermiproblem. Elevernas strategier analyseras och kategoriseras utifrån vilken strategi de använder sig av. Vad forskarna kunde se utifrån analysen av resultatet var att eleverna i hälften av fallen hade fungerande strategier för att lösa problem. Detta utan att de eleverna tidigare hade arbetat med Fermiproblem.

Den andra aspekten handlar om hur elever som får lösa Fermiproblem vid upprepade tillfällen löser problemet. Här finns det två studier som belyser detta på ett intressant sätt.

Den första är Albarracín och Gorgorió (2013), vilka undersöker vilka strategier som elever som fortlöpande får lösa Fermiproblem utvecklar. Eleverna i studien, vilka är 16 år gamla, får lösa fem Fermiproblem vid fem olika tillfällen, varefter uppgiftserien avslutas med en sjätte och avslutande aktivitet där resultaten jämförs och diskuteras.

Genom att analysera hur eleverna löser problemen kan forskarna se att eleverna återanvänder idéer och modeller som de använt sig av vid tidigare Fermiuppgifter och utvecklar dessa idéer för de nya problemen, vilka i många fall är mer avancerade än de ursprungliga. Dessa resultat har likheter med vad Lesh, Cramer, Doerr, Post och Zawojewski (2003) beskriver som att eleverna återanvände sina ”konceptuella verktyg”

som de utvecklat under en modellframkallande aktivitet, för att sedan kunna använda på andra och ofta svårare modelleringsproblem, vilka skulle vara svåra att hantera utan dessa konceptuella verktyg. Albarracín och Gorgorió ser även att eleverna delar upp problemen i delproblem, vilka eleverna sedan löser separat genom uträkning eller uppskattning.

Den andra studien som fokuserar på elever som återkommande arbetar med Fermiproblem är Robinson (2008). I motsats till Albarracín och Gorgorió (2013), vilka fokuserar på hur elever utvecklar sin förmåga att lösa Fermiproblem då de får arbeta med dessa typer av problem, fokuserar Robinson på vilka elever som lyckas lösa

Fermiproblem bättre i förhållande till andra elever. Robinsons studie utgår ifrån att han jämför andelen elever som lyckas lösa Fermiproblem i förhållande till traditionella fysikproblem bland universitetsstudenter i fysik, en jämförelse som Robinson gör dels vid mittentamen, dels vid sluttentamen. Robinson kan genom denna jämförelse se att oavsett hur bra eller dåligt studenterna klarar sig på de traditionella fysikuppgifterna, presterade eleverna sämre på Fermiuppgifterna vid mittententamen (Robinson, 2008).

Vid sluttentamen kan Robinson se att de elever som har höga poäng på de traditionella fysikuppgifterna klarar sig bättre på Fermiuppgifterna än vad de elever som presterar sämre på fysikuppgifterna gör. Slutsatsen som Robinson drar av sina resultat är att elever med resultat under medelsnittet har svårare att ta till sig Fermiproblem. Däremot kan Robinson se att genom att lösa Fermiproblem blir eleverna mer villiga att resonera kring uppskattningar och olika kvantiteter, resultat som även Czocher (2016) ser hos universitetsstudenter i hennes studie och Ärlebäck (2009a) ser hos gymnasieelever.

Svårigheten som elever har med att lösa Fermiproblem, vilken belyses av Robinson (2008) har jag ej funnit i någon av de andra studierna som behandlar Fermiproblem i ett modelleringsperspektiv. Däremot beskrivs elevers generella svårigheter att lösa Fermiproblem i två andra studier (Anderson & Sherman, 2010; Ärlebäck, 2009b).

Svårigheterna som beskrivs i dessa studier ligger inte i hur eleven klarar av att lösa problemet i jämförelse med andra uppgifter, utan beskriver hur en del elever, oavsett ålder, kan känna en stor frustration och osäkerhet kring hur de skall angripa ett Fermiproblem. Likaså skriver Anderson och Sherman (2010) att trots att elever lyckats lösa en Fermiuppgift framgångsrikt har eleverna svårt att överföra denna nyvunna kunskap på ett nytt Fermiproblem. Samma svårighet har uppmärksammats när elever ställs inför matematiska modelleringsproblem. För att eleverna skall komma igång med sitt modelleringsarbete föreslår därför Lesh, Cramer, Doerr, Post och Zawojewski (2003) att modelleringen inleds med en uppvärmningsaktivitet. Denna genomförs någon dag innan själva modelleringstillfället och fungerar som en introduktion till modelleringsuppgiften och ett sätt att få eleverna att börja tänka på den kommande matematikuppgiften.

Den tredje aspekten handlar om att analysera hur elever i olika åldrar löser samma Fermiproblem, vilken undersöks av Ferrando och Albarracín (2019). Vinsten med en sådan studie är att forskarna kan jämföra hur elever i olika åldrar, och därmed också med olika matematikkunskaper, angriper och löser samma uppgift.

Resultaten från studien, vilken genomfördes på elever i åldersspannet 8 till 16 år, visar att alla elevgrupper, oavsett ålder, kan lösa Fermiproblemet, men med olika strategier och lösningsmodeller. Äldre elever använder sig av mer avancerade strategier för att lösa problemet, medan yngre elever använder sig av enklare strategier. Då komplexiteten på lösningsmodeller ökar med elevers ålder kan Ferrando och Albarracín dra slutsatsen att Fermiproblem kan användas för att visa på en elevs förståelse för begrepp (Ferrando &

Albarracín, 2019). Likaså ser forskarna tydliga kopplingar mellan elevers lösningsstrategier från årskurs 6 och uppåt med lösningsstrategier för modellframkallande aktiviteter (Ferrando & Albarracín, 2019). Däremot gör de båda forskarna inte någon djupare analys kopplat till om matematiken i lösningsstrategierna ligger i linje med den matematik som eleverna lärt sig på den kunskapsnivå som eleverna studerar. Ärlebäck (2009b) kommenterar dock att matematiken som eleverna använder sig av i sitt arbete ligger på en elementär nivå och att det skriftliga underlaget som eleverna producerar är ringa, däremot specificeras inte vilket centralt innehåll i matematikkurserna som eleverna använder sig av eller vilket innehåll som de skulle kunna använda sig av för att lösa Fermiproblemen som använt sig av. Ärlebäck ser potential i att använda sig av

Fermiproblem för att komma vidare i elevers arbete med matematisk modellering i realistiska situationer, vilket är ett centralt innehåll i den svenska gymnasieskolan (Ärlebäck J. B., 2009a). Fermiproblem kan fungera som ett hur för eleverna då dessa skall introduceras och lära sig att arbeta med matematisk modellering. Genom att eleverna får testa på att lösa ett Fermiproblem, kan denna erfarenhet användas för att initiera eleverna i större modelleringsarbeten (Ärlebäck J. B., 2009a).

3 Metod

Metodavsnittet är indelat i sju olika delar. I första delen beskrivs metoden som används för detta arbete, följt av en beskrivning om hur datainsamlingen är genomförd. I den tredje delen ges en beskrivning av hur den insamlade datan har bearbetats. Metodavsnittet avslutas sedan med fyra delar vilka behandlar arbetets reliabilitet, validitet, generaliserbarhet och etiska överväganden.

3.1 Vald metod

För att besvara studiens frågeställningar används kvalitativa metoder utifrån en deduktiv ansats, med stöd av kvantitativa sammanställningar. Tre elevgrupper med vardera tre elever har genomfört ett Fermiproblem, vilket filmats. Det filmade materialet har därefter transkriberas och kodas utifrån ett kodningsschema som varit anpassat efter att undersöka vilket steg i modelleringscykeln som eleven befinner sig på (se Bilaga B).

Kodningsschemat har utarbetats av Czocher och har använts i en liknande studie (Czocher, 2016).

Det kodade materialet har därefter visualiseras i en verksamhetsbytesgraf (VBG), vilken utvecklats av Czocher (2016). En verksamhetsbytesgraf är en form av koordinatsystem där y-axeln utgörs av parametrarna som skall visualiseras, vilket i detta arbete är stegen i modelleringscykeln, och x-axeln utgörs av en tidslinje (se Figur 2 nedan). Ett alternativ till VBG, skulle vara att använda sig av ett verksamhetsdiagram, vilken används i liknande studier på Fermiproblem i modelleringssituationer (Albarracín, Ärlebäck, Civil,

& Gorgorió, 2019; Ärlebäck, 2009b). Fördelen med att presentera modelleringsprocessen som ett verksamhetsdiagram är att denna visualisering ger en kronologisk struktur för observationen. Men denna metod har en svaghet, vilken lyfts fram av Czocher (2016) och det är att om en elev sitter tyst är det svårt för en extern aktör att avgöra hur länge eleven är på modelleringssteget och när eleven börjar med ett annat steg. Genom att använda sig av VBG undanröjs denna svårighet, då VBG enbart registrerar då en elev aktivt påbörjar en aktiv handling på något av modelleringsstegen.

1 2 3 4 5 6 7

00:00:00 00:00:34 00:01:09 00:01:43 00:02:18 00:02:52 00:03:26

EXEMPEL PÅ VBG

Elev V₂ Elev C₂ Elev H₂

Figur 2. Exempel på VBG där vi kan observera enskilda elevernas interaktioner i modelleringsprocessen

3.2 Urval och genomförande

För att kunna dra så generella slutsatser som möjligt, trots ett ringa underlag, har intentionen varit att undersöka elever med genomsnittliga matematikkunskaper i en genomsnittlig klass. Därför tog jag kontakt med olika lärare som undervisade i Matematik 1-kurser på nationella program på en gymnasieskola i Småland. Utifrån de klasser som jag fick möjlighet att genomföra undersökningen i valde jag slumpmässigt en klass som läste Matematik 1b på Estetiska programmet. Eleverna höll på att avsluta det första av fyra kapitel i kursen, ett kapitel som behandlar aritmetik och algebra. Detta innebär att eleverna har gått igenom grunderna i att arbeta med algebra och att lösa olika problemlösningsuppgifter baserat på linjära ekvationer samt förändringsfaktorer. Delarna i kursen som eleverna ännu inte behandlat är potenser, funktioner, statistik och sannolikhet.

Jag träffade eleverna vid två tillfällen. Vid det första tillfället, vilken var på elevernas ordinarie måndagslektion, presenterades eleverna för den kommande undersökningen.

Eleverna fick en kort presentation kring Fermiproblem och hur matematik kan användas för att lösa olika former av problem som kräver uppskattningar. Tanken med denna första träff var dels att förbereda eleverna på den kommande uppgiften, i likhet med uppvärmningsaktiviteter inom modelleringssekvenser (Lesh, Cramer, Doerr, Post, &

Zawojewski, 2003), dels att skapa ett intresse för att lösa problemlösningsuppgifter (Polya, 2014).

Eleverna fick information om att vid det kommande lektionstillfället skulle hela klassen få arbeta med ett Fermiproblem. Klassen skulle vara uppdelade i grupper med tre elever i varje grupp. Tre av grupperna skulle bli filmade och delta i studien, medan de övriga grupperna skulle genomföra uppgiften som en helt vanlig gruppaktivitet i klassrummet.

Gruppindelningen gjordes utifrån hur eleverna satt i klassrummet.

De tre elevgrupper som valdes ut till att bli filmade gjorde detta av egen fri vilja. För att undvika störande ljud i filmupptagningen placerades de tre grupperna i tre enskilda rum där de fick arbeta helt självständigt under hela lektionen på en uppgift som handlade om att göra en uppskattning av hur många pizzor som äts i Sverige varje år (se Bilaga A). Jag gick emellan grupperna för att säkerställa att filmutrustningen fungerade och att det inte uppstått några praktiska frågor om själva genomförandet av uppgiften. Däremot interagerade jag inte med eleverna under deras arbete. Vid ett par tillfällen fick jag frågor av eleverna av typen: ”kommer vår lärare se det här”, vilka jag besvarade med att läraren

inte skulle ta del av deras arbete. Likaså påminde jag eleverna att de skulle beskriva hur de kommit fram till sin lösning, inte bara skriva en lösning. Vid ett tillfälle kom en resursperson på skolan in i grupp 3:s rum för att hämta material. Jag har markerat personen som R i det transkriberade materialet i Bilaga E.

3.3 Databearbetning

Avsnittet om databearbetning är uppdelat i två delar. Under den första delen kommer en beskrivning göra kring hur transkribering och kodning av videoinspelningarna har genomförts och sammanställts. Därefter beskrivs hur tolkningen av VBG:erna och transkriberingarna har gjorts för att kunna sammanställa och analysera resultaten i avsnitt 4.

3.3.1 Transkribering och kodning

Det insamlade materialet har transkriberats utifrån vilka interaktioner som eleverna uppvisar på videoinspelningarna. Med interaktioner menas i detta sammanhang: (i) vad eleverna säger; (ii) vad eleverna skriver ner och (iii) vilka ”ljud” som eleverna gör i syfte att hålla med eller inte hålla med någon som talat. Ett sådant ljud kan vara ”mmm”, vilket i sammanhanget kan tolkas som att eleven håller med personen som precis talat. Däremot har inte ansiktsuttryck eller kroppsspråk tolkats som en interaktion. I de fall en elev suttit tyst har inte detta noterats i transkriptionen, utan det som noterats har varit de interaktioner som har varit observerbara på videoinspelningen. Däremot har jag noterat om hela gruppen suttit tyst.

I det transkriberade materialet har det inte gjorts någon klar definition av hur lång en interaktion skall vara. I regel har det var en mening eller en fras beroende på sammanhanget, en uppdelning som bedöms rimlig i ett arbete såsom detta (Miles &

Huberman, 1994). Om en elev under en och samma monolog hoppat mellan olika modelleringssteg har denna monolog delats upp i en interaktion för varje modelleringssteg.

Efter transkribering har materialet förts in i ett kalkylblad bestående av tre kolumner: en kolumn för vilken elev som interagerade, en kolumn för vad eleven gjorde/sade och en kolumn för när eleven startade interaktionen, se Figur 3. Eleverna har döpts till (Vi)änster, (Ci)enter och (Hi)öger utifrån eleverna placering på filminspelningen. Genom att använda sig av dessa förkortningar gick det snabbt och smidigt att transkribera filmerna utan att behöva fundera på vilken elev som heter vad och därmed minskade risken för transkriberingsfel. Indexeringsbokstaven i som står efter bokstaven som utgör elevernas

”namn” beskriver vilken grupp respektive elev tillförde, t.ex. eleven C2 är eleven som satt i mitten i grupp 2. Gruppernas nummer bygger på den ordning utifrån vilken jag startade gruppernas arbete. Det fanns därför ingen inbyggd hierarkisk ordning kopplat till gruppnumret.

Figur 3. Kodning av elevernas modelleringsprocess där siffror står för modelleringssteget och bokstaven för vad eleven gör under modelleringssteget, i enlighet med kodningsschemat

Det transkriberade materialet kodades därefter enligt kodningsschemat i Bilaga B, ett kodningsschema som baserats på det Czochers (2016) använt sig av i sin studie, och fördes in i kalkylbladet. De rader i det transkriberade materialet som inte matchade någon av koderna i kodningsschemat, lämnades okodade. Med andra ord: varje rad i Figur 3 utgör en interaktion från en eller flera av eleverna med en efterföljande tidsangivelse och kod.

3.3.2 Tolkning av det kodade materialet

Vid identifiering och räkning av antalet förflyttningar som elever genomfört har den sista interaktionen på varje steg (se Figur 4 nedan) undersökts. Då denna interaktion identifierats, undersöktes vilket steg som nästa interaktion kodats till. Ett hopp mellan steg 2 och steg 4 har jag beskrivit som ”2-4”.

1 2 3 4 5 6 7

00:01:35 00:01:52 00:02:10 00:02:27 00:02:44 00:03:01 00:03:19 00:03:36 00:03:53

UTDRAG FRÅN GRUPP 3:S VGB

Elev V₃ Elev C₃ Elev H₃

Figur 4. Utdrag från grupp 3:s VBG för att visa på hur gruppen rör sig från steg 2. I figuren ovan ses fyra hopp från steg 2 till steg 4, samt ett hopp från steg 2 till steg 5.

Antalet hopp som eleverna genomförde i tre steg identifierades och räknades på sätt. I Figur 5 illustreras detta genom ett utdrag från Grupp 2:s VBG. I utdraget befinner sig gruppen först på steg 5, varefter de förflyttar sig till steg 4. Därefter lämnar elev H steget för att hoppa till steg 5. På detta steg är det enbart elev H som interagerar. Övriga elever fortsätter därefter interaktionen på steg 6 dit även elev H interagerar. Med andra ord så görs ett hopp från steg 4 till steg 5 och sedan vidare till steg 6. Noteringen för detta (vilket

2-4 2-4 2-4 2-4

2-5

används i bl.a. Figur 18) de tre modelleringsstegen med ett bindestreck emellan, t.ex. ”4- 5-6” i Figur 5.

1 2 3 4 5 6 7

00:07:55 00:08:04 00:08:12 00:08:21 00:08:30 00:08:38 00:08:47 00:08:56 00:09:04 00:09:13

EXEMPEL PÅ HOPP

Elev V₂ Elev C₂ Elev H₂

Figur 5. Exempel på elevers hopp

I VBG:er bildas ”kluster” med interaktioner då gruppen interagerar samlat på ett och samma steg (se blå elipser i Figur 6 nedan). Om en elev lämnar gruppen eller arbetar självständigt syns detta i VBG:n som en enskild koordinat (se röda cirklar i Figur 6 nedan), vilka i arbetet benämns som hopp. Genom att analysera dessa hopp går det att få en bild av hur stor del av arbetet som genomförs gemensamt på samma modelleringssteg och hur stor del av arbetet som sker enskilt.

1 2 3 4 5 6 7

00:02:53 00:03:36 00:04:19 00:05:02 00:05:46 00:06:29 00:07:12 00:07:55 00:08:38

INDIVIDUELLA OCH GEMENSAMMA HOPP

(UTDR AG FR ÅN GR UPP 3:S VBG)

Elev V₃ Elev C₃ Elev H₃

Figur 6. Exempel på individuella och gemensamma hopp, där de gemensamma hoppen bildar "klusterliknande"

formationer i VBG:n. Vid kartläggningen av hopp kommer dessa kluster räknas som ”en unik interaktion”

Exempel på individuella hopp är markerade i figuren med röda cirklar och exempel på gemensamma hopp är markerade med blåa elipser.

För att bestämma modelleringscykler lokaliseras potentiella cykler i de tre VBG:erna (se Figur 7). Därefter analyserades det transkriberade materialet för att tydliggöra vad det var som utlöste en ny modelleringscykel och vem det var som initierade den nya cykeln, samt vem som därefter tog initiativet för att driva arbetet i den nya cykeln framåt.

4 5

6

1 2 3 4 5 6 7

00:02:53 00:03:36 00:04:19 00:05:02 00:05:46 00:06:29 00:07:12 00:07:55 00:08:38

POTENTIELLA MODELLERINGSCYKLER/DELPROBLEM

(UTDR AG FR ÅN GR UPP 3:S VBG)

Elev V₃ Elev C₃ Elev H₃

Figur 7. Utdrag ur grupp 3:s VBG som visuellt (röda pilar) antyder att det kan finnas multipla modelleringscykler i gruppens arbete. De gröna elipserna indikerar elevinteraktionerna som initierar en ny modelleringscykel.

3.4 Reliabilitet

För att öka reliabiliteten har transkriberingen gjorts i två omgångar. Vid den första transkriberingsomgången gjordes en avskrift av vad eleverna sa och när eleven interagerade. Därefter lyssnades videoinspelningarna igenom en andra gång för att i första hand upptäcka feltranskriberingar, men även fel tidsangivelser. Anledningen till att fokus i första hand låg på transkriberingarna var att om dessa blivit felaktigt nedskrivna skulle detta kunna påverka den kvalitativa tolkningen av texten. Om en tidsangivelse noterats en eller två sekunder fel så skulle däremot inte detta påverka analysen mer än marginellt.

Kodningen och omkodning genomfördes vid tre tillfällen. Vid den första kodningen kodades samtliga tre gruppers transkriptioner. Därefter väntade jag någon timme för att därefter göra en första omkodning. Syftet med denna omkodning var att upptäcka felkodningar, som ett resultat av slarv eller att jag under den första kodningens gång

”förflyttat” min referensram för hur texten borde kodas, en risk som beskrivits av Miles och Huberman (1994). Därefter väntade jag ett par dagar innan jag gjorde en tredje omkodning för att ytterligare minimera risken för felkodning.

Under kodningens gång har jag vid några tillfällen ställts inför svårigheten att bedöma om en viss handling tillhört ett eller annat cykelsteg. Om jag till exempel tolkat en elev bokstavligen så har uttalandet till exempel hamnat på kod 5, men om uttalandet istället tolkats i sitt sammanhang så har uttalandet istället hamnat på kod 2. Denna svårighet, vilken även lyfts fram av Saldaña (2013), poängterar att de ”perspektivglasögon” som kodaren använder avgör hur denne tolkar texten och därmed också vilken kod som klistras på ett visst uttalande. I min kodning har jag utgått ifrån att tolka separata uttalanden utifrån det sammanhang som det uttalats i.

3.5 Validitet

Syftet med detta arbete är att undersöka hur eleverna rör sig mellan modelleringscykelns sju steg och undersöka vilka idéer som eleverna för fram. Detta går att undersöka genom den metod som valts, då detta blir synliggjort genom elevernas interaktioner och det kodningsschema, vilket tolkar elevernas interaktioner utifrån cykelns olika steg. Däremot går det inte utifrån vald metod och kodningsschema att analysera hur bra elevernas uppskattade resultat är.

3.6 Generaliserbarhet

Elevunderlaget för studien är begränsat till nio elever uppdelade på tre olika grupper.

Anledningen till att arbetet använt sig av enbart tre grupper beror till största del på arbetets begränsade tidsomfång.

Med anledning av underlagets ringa omfattning går det utifrån studien inte att dra några generella slutsatser utifrån arbetets resultat. Däremot kan arbetets resultat vara betydelsefullt då det ger en fingervisning kring hur elever arbetar med Fermiproblem i grupp, men också om arbetet kommer fram till samma eller motsatt resultat som större studier eller avhandlingar. I sådana fall kan arbetet vara med och förstärka eller nyansera bilden av tidigare forskning. Då det inte bland de forskningsstudier som varit tillgängliga för mig funnits några studier som närmare undersökt de enskilda elevernas agerande då de löser Fermiproblem i grupp, ger resultatet, även om underlaget varit ringa, en indikation på om parametrarna är värda att undersöka ytterligare i större studier.

Undersökningen är genomförd i kursen Matematik 1b (vilket är matematikspåret som Estetiska, Humanistiska, Samhällsvetenskapliga- och Ekonomiprogrammet läser) under vecka 40. Då Matematik 1 är obligatorisk för samtliga nationella gymnasieprogram ger undersökningen ett mer generellt resultat än om studien genomförts i Matematik 2 eller högre, då enbart 4 av 18 nationella gymnasieprogram läser dessa matematikkurser. Likaså ger detta mer generella resultat kopplat det centrala innehållet ”tillämpning och formulering av matematiska modeller i realistiska situationer. Utvärdering av matematiska modellers egenskaper och begränsningar” och Fermiproblem som ett sätt att introducera matematisk modellering.

Undersökningen har inte genomförts i en klassrumsmiljö, utan eleverna som observerats har utfört sina grupparbeten i stängda grupprum. Detta har inneburit att det har gått att minimera inverkan av yttre faktorer som kunnat påverka elevernas arbeten. Ur ett observationsperspektiv har detta varit bra, då det har inneburit mindre brus som påverkat resultaten. Däremot har det samtidigt inneburit att det inte går att ta resultaten från detta arbete och applicera direkt i en klassrumskontext och förvänta sig samma resultat, då det kan finnas faktorer i klassrummet som kan påverka elevernas vilja till resonemang och diskussion.

3.7 Etiska överväganden

Undersökningen har genomförts med utgångspunkt ifrån informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och nyttjandekravet i Vetenskapsrådets forskningsetiska principer (Vetenskapsrådet, 2002).

Vad gäller informationskravet och samtyckeskravet fick alla i klassen som eleverna gick i information om syftet och genomförandet vid första tillfället då jag träffade eleverna.

Eleverna blev även informerade om att deltagande i grupperna som skulle filmas var helt frivilligt och att varken deltagande eller icke deltagande i dessa grupper på något sätt påverkar deras betyg i kursen och att deras lärare ej skulle få ta del av inspelningar eller elevlösningar.

Vad gäller konfidentialitetskrav har elevernas namn anonymiserats. I arbetet har eleverna beskrivits som Vi, Ci och Hi. Dessa bokstäver utgår ifrån hur eleverna satt på filmen, där till exempel eleven som satt till vänster kallas V, eleven i mitten kallas C och eleven till höger kallas H och där i står för gruppens nummer. Detta innebär dels en klar förenkling av transkriberingen av materialet med en minimering av felkodning då det hela tiden går att visuellt identifiera vem som talar och koppla detta till en elevs kod. Dels gör

namnkodningen att eleverna anonymiserats samtidigt som eventuella genusaspekter fråntas om eleverna skulle ges flick- eller pojknamn. Nackdelen med att referera till en person som till exempel C2 är dock att personen kan kännas avpersonifierad på ett helt annat sätt än om personen ges ett personnamn som Carl.

För att ytterligare anonymisera deltagarna i studien, sattes de tre grupperna i avgränsande rum för att på detta sätt avskärma elevernas diskussioner från övriga klasskamrater och av betygsättande lärare. Likaså har skolans namn eller kommun inte nämnts i arbetet.

Vad gäller nyttjandekravet informerades eleverna om att materialet som samlades in enbart kommer att finnas tillgänglig för mig, men på begäran kan komma att lämnas ut till min opponent, handledare och examinator. Efter att arbetet slutförts kommer videoinspelningarna att förstöras, däremot kommer det anonymiserade transkriberade materialet och elevlösningarna att finnas med i det publicerade arbetet.

4 Resultat och analys

Avsnittet är uppdelat i tre olika delar. Första delen består av en sammanfattning över de tre gruppernas arbete, i vilken även de tre VBG:erna presenteras. Därefter presenteras resultat och analys som är specifikt kopplade till respektive frågeställning.

4.1 Övergripande resultat och analys från de tre gruppernas arbete

Utifrån transkriptionerna (se Bilaga C, Bilaga D och Bilaga E) från de tre gruppernas arbete med att lösa Fermiproblemet har det skapats tre olika VBG:er (Figur 8, Figur 12 och Figur 15), en för varje grupp. I dessa VBG:er synliggörs hur varje elev interagerar på modelleringscykelns olika steg. Genom att x-axeln i VBG:erna fungerar som tidsaxel visualiseras hur gruppernas arbete fortskrider sekund för sekund.

Avsnittet är uppdelat i tre underavsnitt, ett för varje grupp. I dessa avsnitt beskrivs kortfattat hur grupperna har arbetat med Fermiproblemet.

4.1.1 Grupp 1

I Figur 8 visualiseras den första gruppens arbete med Fermiproblemet i form av en VBG.

Gruppen börjar sitt arbete med att bekanta sig med problemet (steg 1), varefter gruppen börjar diskutera vilka faktorer som de anser påverkar problemet (steg 2).

1 2 3 4 5 6 7

0 0 :0 0:00 0 0 :0 2:53 0 0 :0 5:46 0 0 :0 8:38 0 0 :1 1:31 0 0 :1 4:24

VBG FÖR GRUPP 1

Elev V₁ Elev C₁ Elev H₁

Figur 8. VBG för grupp 1

De två faktorer som gruppen bedömer påverkar problemet är hur många pizzor varje person äter varje månad, samt Sveriges befolkning, vilket beskrivs i Figur 9 genom en lösningsmodell utan operander (vilket gruppen ännu inte diskuterat).

Figur 9. Faktorer för grupp 1:s lösningsmodell utan operander.

Efter att gruppen identifierat sina faktorer hoppar gruppen över matematiseringssteget (steg 3) och går direkt på steg 4 Matematisk undersökning, vilket i detta fall innebär att gruppen ger faktorn pizzor/månad värdet 2. Värdet tolkas därefter (steg 5) genom V1:s uttalande om att ”Jag tror att detta är en bra avrundning med tanke på att vissa kanske inte äter en pizza, utan delar med andra. Och vissa äter hur mycket som helst” (Bilaga C, 00:02:47). Grupp 1:s uträkning och modell består vid denna tidpunkt av en knapphändig beskrivning, vilken illustreras nedan i Figur 10.

Figur 10. Grupp 1:s uträkning kring hur många pizzor som äts i Sverige vid 00:03:03.

Efter påtryckningar från en elev om att gruppen måste skriva ner vad de tänker och hur de resonerar återgår gruppen till steg 1 (00:03:12). Gruppen arbetar sig därefter igenom varje steg i modelleringscykeln fram till steg 6 (mellan 00:03:12 och 00:04:54) och förtydligar sina tankegångar med att Sveriges befolkning uppgår till runt tio miljoner människor och genom att multiplicera detta med antalet pizzor som äts av varje person per månad, får eleverna fram antalet pizzor som konsumeras varje månad. Därefter delar gruppen upp antalet pizzor som äts per månad till antalet pizzor per vecka, vilket visualiserats genom lösningsmodellen i Figur 11.

Figur 11. Grupp 1:s slutgiltiga lösningsmodell

När gruppen vid 00:06:49 räknar ut totala antalet pizzor, använder gruppen dock inte sig av sin nya lösningsmodell (Figur 11), utan gruppen återgår till sin tidigare lösningsmodell där de multiplicerar antalet pizzor som Sveriges befolkning äter per månad med antalet pizzor per månad, en uträkning som ger gruppen att

20 000 000 ∙ 12 = 240 000 000.

När eleverna gjort sin uträkning börjar de vid 00:08:12 diskutera andra möjliga faktorer som kan påverka antalet pizzor, men efter en kort stund tappar gruppen fokus och börjar samtala om annat som ligger utanför ämnet och uppgiften (därav avsaknaden av interaktioner mellan 00:08:44 och 00:11:50). Vid 00:11:23 kommer jag in för att se om eleverna är färdiga och ber dem i så fall sammanfatta vad de kommit fram till, vilket resulterar i att eleverna börjar interagera på steg 7.

4.1.2 Grupp 2

I Figur 12 nedan synliggörs hur grupp 2 arbetar med Fermiproblemet i form av en VBG.

Gruppens arbete genomförs under mer än dubbelt så lång tid som den första gruppens, vilket innebär att det är fler interaktioner som visualiseras på en tidsaxel med grövre tidsindelning. Detta gör att VBG:n är något mer svåravläst än VBG:n från grupp 1. För att lättare kunna följa med i interaktionerna har en inzomning gjorts mellan 00:00:00 och 00:06:18 (se Figur 13 nedan).

1 2 3 4 5 6 7

00:00:00 00:03:53 00:07:46 00:11:39 00:15:32 00:19:25 00:23:18 00:27:11

VBG FÖR GRUPP 2

Elev V₂ Elev C₂ Elev H₂

Figur 12. VBG för grupp 2

I likhet med första gruppen börjar även grupp 2 med att bekanta sig med problemet (steg 1), varefter gruppen diskuterar vilka faktorer som de anser påverkar problemet (steg 2).

Gruppen kommer fram till att faktorerna som påverkar Fermiproblemet är de sju veckodagarna. Gruppen går igenom dag för dag och diskuterar hur många pizzor som äts på just denna dag (vilken visas i VBG:n i Figur 13 nedan genom de vertikala strecken).

1 2 3 4 5 6 7

00:00:00 00:00:34 00:01:09 00:01:43 00:02:18 00:02:52 00:03:26 00:04:01 00:04:35 00:05:09 00:05:44 00:06:18

DEL AV GRUPP 2:S VBG MED VECKODAGSINDELNING

Elev V₂ Elev C₂ Elev H₂ Måndag Tisdag Onsdag Torsdag Fredag Lördag Söndag Kontroll

Figur 13. Grupp 2:s arbete fram till 00:06:18, i vilken gruppen behandlar faktorn veckodagar, vilka är markerade med vertikala streck.

Metoden som gruppen använder för att göra uppskattningen för respektive dag utgår från hur stor andel av Sveriges befolkning som gruppen bedömer äter pizza på en viss dag.

För att få fram dessa siffror gör gruppen först en bedömning, till exempel att på måndagar äts det halv miljon pizzor. Därefter gör gruppen en rimlighetsbedömning genom att omvandla uppskattningen till andelar av Sveriges befolkning. Om till exempel en halv miljon pizzor äts på en måndag motsvarar detta att en tjugondel av befolkningen äter pizza på måndagar. I en lösningsmodell motsvarar detta att varje veckodag utgör en

”faktor” är en term som adderas samman (se Figur 14 nedan i vilken rimlighetskontrollen markerats med en enkelriktad pil).

När gruppen arbetat sig igenom de sju dagarna (vid 00:04:49) genomför de en kontrollräkning, varefter de beräknar hur många pizzor som äts på ett år genom att multiplicera med 52 och får en uppskattning på 74 miljoner pizzor.

Figur 14. Grupp 2:s lösningsmodell med rimlighetsbedömning

Från 00:08:57 börjar gruppen överväga om det finns andra faktorer som påverkar problemet, till exempel att vissa personer delar pizza, att åldern kan spela in eller att olika dagar på året äts det olika många pizzor. Trots långa diskussioner bedömer gruppen att alla dessa faktorer tar ut varandra och gruppen ändrar därför inte sin uppskattning.

Gruppen avslutar med att skriva ner sin uppskattning (i det interaktionslösa tidsspannet 00:13:44 och 00:18:53 i VBG:n skriver C2 ner hur gruppen gått till väga för att få fram sitt svar).

4.1.3 Grupp 3

I Figur 15 synliggörs hur grupp 3 arbetar med Fermiproblemet i form av en VBG.

Gruppens arbete är ungefär lika långt som grupp 2 om vi bortser från grupp 2:s långa summeringsfas på steg 7. Däremot använder sig gruppen av en lösningsmodell som liknar grupp 1:s.

1 2 3 4 5 6 7

00:00:00 00:03:41 00:07:21 00:11:02 00:14:42 00:18:23

VBG FÖR GRUPP 3

Elev V₃ Elev C₃ Elev H₃

Figur 15. VBG för grupp 3

Till skillnad från de båda andra grupperna börjar grupp 3 direkt med att matematisera (steg 3) problemet, vilket illustreras nedan med hjälp av utdraget ur det transkriberade materialet för gruppen.

Elev Vad eleven sa Tid Modellerings-

steg H [läser uppgiften högt för gruppen] 00:00:00 1 C Ja alltså hur många pizzor som äts är ju

x. Väl?

00:00:37 3

V Ja det är x. 00:00:41 3

C Det borde vara x för vi vet ju inte hur många som äts.

00:00:44 3 H [läser från instruktionen] Det finns ju

ingen statistik för exakt hur många pizzor som äts…er uppgift är att

…[sväljer meningarna när hon läser högt i instruktionen för sig själv]

00:00:46 1

C Måste vi ha med z och y och sånt då det finns så många olika?

00:00:51 3 H [läser innantill]…exakt hur många… 00:00:56 1

H nää. 00:00:57 3

(refererar till C 00:00:56) H Vi behöver bara skriva x gånger… 00:00:58 3

H …10 miljoner. Och det är ju… 00:00:59 4 C För att det är så många i Sverige menar

du

00:01:03 5

H Exakt 00:01:05 5

H Fast det blir kanske inte så många för att…

00:01:06 6 Tabell 1. Grupp 1 matematiserar

Genom utdraget illustreras hur gruppen påbörjar arbetet med en modell, vilken de skriver ner och refererar till under sitt arbete. Utdraget visar dock på att gruppen inte riktigt vet hur de skall matematisera eller på vilket sätt som olika variabler skall användas.

Efter dialogen som exemplifierats i Tabell 1 börjar gruppen göra uppskattningar på hur många pizzor varje person äter i genomsnitt per månad. Precis som grupp 1 utgår deltagarna i grupp 3 från vad de själva äter och vad de därmed anser vara en rimlig siffra,

en siffra som de sätter vid 4 pizzor per månad. Genom denna måttstock arbetar gruppen fram en första modell (se Figur 16), vilken bygger på att multiplicera antalet pizzor som varje person äter per år med antalet personer i Sverige, en lösningsmodell som liknar den som grupp 1 utarbetade. Däremot räknar inte gruppen ut vad antalet pizzor blir, utan nöjer sig med att konstatera att en person i genomsnitt äter 48 pizzor per år – en siffra som gör gruppen fundersam.

Figur 16. Grupp 3:s modell (00:04:25) beskriven både som lösningsmodell och med elevernas egna anteckningar

Äter verkligen alla människor i Sverige 48 pizzor om året? Finns det faktorer som påverkar hur många pizzor en person äter? Eleverna börjar diskutera om en persons ålder spelar in och kommer fram till att bäbisar och pensionärer troligtvis äter färre pizzor än vad de tre eleverna i gruppen gör. Men då det troligtvis finns individer som äter ännu fler pizzor än vad gruppdeltagarna gör bedömer gruppen att variationer i pizzakonsumtion mellan olika individer bör ta ut varandra, varför de håller fast vid sin uträkning som beskrivits i Figur 16.

En av faktorerna som gruppen diskuterar och som de bedömer påverkar antalet pizzor positivt är att det finns specifika dagar då det äts fler pizzor, som att det äts pizzor när någon flyttar, på nyår och vid Eurovision Song Contest. Dessa högtidsdagar anser gruppen bör innebära ett plus på tio tusen pizzor. När gruppen börjar beräkna sin modell glöms dock pizzadagarna bort. Eleverna fokuserar istället på varför deras uträkning visar på att det äts 48 pizzor per år, då det borde vara 52 pizzor per år med anledning av att det finns 52 veckor – det vill säga samma begreppsproblem som grupp 1 ställdes inför. För att lösa problemet enas gruppen om att istället använda sig av 𝑥 ≈ 50, och uträkningen blir då:

Vid 00:11:09 börjar gruppen bli självkritisk kring om det äts fyra pizzor per person och månad. Gruppen enas om att antalet bör halveras till 2 pizzor per månad, det vill säga 250 miljoner, ett beslut som inte motiveras med något resonemang varför 2 pizzor per månad borde vara mer rimligt än 4. Då gruppen tycker att 250 miljoner pizzor verkar lågt så höjer de antalet till 300 miljoner, även denna gång utan att motivera varför de anser att denna siffra är rimligare.

Då jag kommer in vid 00:17:51 berättar gruppen att de är klara och gör därefter en kort summering av hur de löst uppgiften.