HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI

Matematisk- naturvetenskapliga fakulteten Institutionen för matematik och statistik Axel Korsström

Universella familjer och hypercykliska operatorer Matematik

Pro gradu -avhandling Maj 2018 71

Universella familjer, universalitet, hypecykliska operatorer, hypercyklicitet, topologisk transitivitet I detta arbete kommer vi att undersöka ett relativt nytt och outforskat område inom den mate- matiska analysen kallat universalitet. Idén är att utgående från ett enda element och med hjälp av någon divergerande eller ”kaotisk” process approximera en hel klass med element.

Denna process kan mer formellt ses som en familj (Ti)i∈I av kontinuerliga avbildningar Ti

från ett rum X till ett rum Y och för någon indexmängd I. Om det för ett element x ∈ X gäller att mängden {Ti(x) : i ∈ I} är tät i rummet Y så kallar vi x för ett universellt objekt, eller ett universellt element, och familjen (Ti)_i∈Iför en universell familj för detta objekt. Det är dock viktigt att notera att vi enligt denna definition genom att lämpligt välja våra rum X och Y kan få vilket som helst element x ∈ X att vara universellt med avseende på familjen. Därför måste vi ställa fler krav på rummen för att undersöka universalitetens egenskaper. Det har visat sig att universalitet är ett allt annat än ovanligt fenomen, och att då universella objekt existerar för någon funktionsfamilj så kommer dessa ofta att vara täta i rummet X.

Första gången ett exempel på universalitet noterades torde vara då matematikern Michael Fekete år 1914 visade att det existerar en reell potensserie på intervallet [−1, 1] som dels divergerar för alla x 6= 0, och dels, beroende på valet av växande positiva heltal i indexföljden, kan fås att konvergera likformigt till vilken som helst kontinuerlig funktion f som satisfierar f (0) = 0 på intervallet [−1, 1]. Delsummorna till denna potensserie kan ses som en familj av kontinuerliga avbildningar mellan funktionsrum, och denna familj uppvisar därmed den ovannämnda universella egenskapen.

Under 1900-talet har listan på fenomen inom analysen som uppvisar universella egenskaper vuxit snabbt, och omfattar nu även så kallade universella primitiva funktioner, universella Blaschke- produkter, universella matriser och mycket mer. I detta arbete kommer vi att bekanta oss med en del av dessa exempel, och även med fenomenet hypercyklicitet, en form av universalitet som är betydligt lättare att hantera än de mer allmänna fallen. Hypercyklicitet behandlar familjer (Tⁿ)_n∈N0, där varje avbildning är en iteration av den kontinuerliga avbildningen T : X → X. Detta torde vara det mest undersökta och utforskade delområdet av universalitet, och är därmed även det område där teorin är som mest utvecklad.

Vi kommer även att undersöka hur hypercykliciteten via det från den topologiska dynami- ken kända fenomenet topologisk transitivitet är kopplat till de dynamiska systemens kaosteori, och hur universaliteten på sätt och vis därmed kan ses som en generalisering av en av kaosets mest grundläggande egenskaper.

Tiedekunta/Osasto — Fakultet/Sektion — Faculty Laitos — Institution — Department

Tekijä — Författare — Author

Työn nimi — Arbetets titel — Title

Oppiaine — Läroämne — Subject

Työn laji — Arbetets art — Level Aika — Datum — Month and year Sivumäärä — Sidoantal — Number of pages

Tiivistelmä — Referat — Abstract

Avainsanat — Nyckelord — Keywords

Säilytyspaikka — Förvaringsställe — Where deposited

HELSINGIN YLIOPISTO — HELSINGFORS UNIVERSITET — UNIVERSITY OF HELSINKI

Pro Gradu-Avhandling:

Universella familjer och hypercykliska operatorer

Axel Korsstr¨ om

Handledare: Hans-Olav Tylli

Institutionen f¨ or matematik och statistik Helsingfors universitet

21 maj 2018

Inneh˚ all

1 Inledning: Universalitet i en historisk tillbakablick 1

2 Universella familjer 3

3 Metriska rum, Fr´echetrum och topologisk transitivitet 11

3.1 Metriska rum och Fr´echetrum . . . 11

3.2 Topologisk transitivitet . . . 13

4 Exempel p˚a universella familjer 16 4.1 Universella potens- och Taylorserier . . . 16

4.2 Universella primitiva funktioner . . . 24

4.3 En universell Blaschke-produkt . . . 29

5 Hypercykliska operatorer 42 5.1 Hypercyklicitetskriteriet . . . 42

5.2 Exempel p˚a hypercykliska operatorer . . . 48

5.2.1 Birkhoffs operatorer . . . 48

5.2.2 MacLanes operator . . . 51

5.2.3 Rolewiczs operatorer . . . 52

6 Kaosteori 55 6.1 Fj¨arilseffekten . . . 55

6.2 Kaos . . . 56

6.2.1 Exempel . . . 59

6.3 Linj¨art kaos, hypercyklicitet och universalitet . . . 60

6.3.1 Exempel: Rolewiczs operatorer . . . 62

7 Avslutning 64

8 Bilaga: Definitioner och satser 65

1 Inledning: Universalitet i en historisk till- bakablick

Begreppet universalitet, i den betydelse som anv¨ands i denna avhandling, ¨ar f¨orknippat med ett relativt nytt och outforskat omr˚ade inom den matematiska analysen. Medan det har forskats en hel del inom vissa delomr˚aden av ¨amnet

˚aterst˚ar ¨annu m˚anga obesvarade fr˚agor, och en fullst¨andig teori saknas f¨or de mer allm¨anna fallen.

Den grundl¨aggande id´en ¨ar f¨oljande. Ett objekt kallas universellt om vi utg˚aende fr˚an detta element och med hj¨alp av n˚agon kaotisk process kan approximera en hel klass med objekt. Processen i fr˚aga kan mer formellt ses som en familj av avbildningar, och om det f¨or denna familj existerar ett universellt objekt kallas familjen f¨or en universell familj (se Definition 1).

˚Ar 1914 visade den israelisk-ungerske matematikern Michael Fekete att det existerar en reell potensserie p˚a intervallet [−1, 1] som dels divergerar f¨or alla x 6= 0, och dels uppvisar den ovann¨amnda universella egenskapen.

Beroende p˚a valet av v¨axande positiva heltal i indexf¨oljden kan serien f˚as att konvergera likformigt till vilken som helst kontinuerlig funktion f som satisfierar f (0) = 0 p˚a intervallet [−1, 1] (se Avsnitt 4.1). Detta intressanta exempel torde vara det f¨orsta observerade fallet av universalitet i modern matematik [9], men sedan dess har listan vuxit explosionsartat.

Universalitet har visat sig vara ett allt annat ¨an s¨allsynt fenomen, och sedan slutet av 1970-talet har intresset f¨or ¨amnet sakta men s¨akert vuxit sig allt st¨orre. Under 1900-talet har bland annat en form av universella primitiva funktioner (1935, se Avsnitt 4.2), universella ortogonala serier (1945) och universella matriser (1974) uppt¨ackts [9], men exemplen p˚a universalitet ¨ar m˚anga fler.

En viktig och intressant till¨ampning av universaliteten hittar vi d˚a vi be- gr¨ansar oss till linj¨ara topologiska rum och l˚ater v˚ar familj av operatorer bara vara iterationer av en och samma operator. I denna form kallas de universella objekten f¨or hypercykliska vektorer [10], och dessa och de motsvarande hyper- cykliska operatorerna h¨or till de mest studerade delomr˚adena av universalitet (se Avsnitt 5).

I denna uppsats kommer b˚ade universalitet och hypercyklicitet att be- handlas, ˚atminstone i det senare fallet i en n˚agot nedkortad version, och i samband med dessa bekantar vi oss med topologisk transitivitet, ett v¨al- k¨ant begrepp inom den topologiska dynamiken som ¨aven ¨ar n¨ara kopplat till

universalitet. Topologisk transitivitet sammanf¨or slutligen universalitetens divergerande processer med de dynamiska systemens kaosteori.

Vi kommer att b¨orja med att introducera teorin om universalitet som ett sj¨alvst¨andigt fenomen f¨or att d¨arefter sammanknyta det med mindre avan- cerade resultat. Som grund f¨or arbetet ligger artikeln ”Universal families and hypercyclic operators” av Karl-Goswin Grosse-Erdmann (se [9]), som ¨aven inspirerade till denna avhandling. Mycket av teorin grundar sig p˚a Grosse- Erdmanns omfattande arbete med unversalitet och hypercyklicitet.

Eftersom fenomenet universalitet dyker upp ¨overallt inom den matema- tiska analysen kommer vi att beh¨ova en stadig grund inom detta omr˚ade. Vi anv¨ander oss av k¨anda resultat inom den reella analysen, funktionalanalysen, den komplexa analysen och m˚atteorin, och vi r¨or oss till exempel i speciella linj¨ara topologiska rum som rummet C₀^∞(R) av o¨andligt m˚anga g˚anger deri- verbara funktioner som f¨orsvinner i origo, d¨ar vi inte kan definiera en norm i vanlig mening. Vi kommer att utg˚a ifr˚an att l¨asaren ¨ar bekant med ˚atminsto- ne de mest grundl¨aggande begreppen och resultaten. I Avsnitt 8 formulerar vi ¨aven en del av dessa resultat och h¨anvisar till litteraturen f¨or bevis.

2 Universella familjer

Vi b¨orjar v˚ar unders¨okning av universaliteten med att ge den mycket allm¨an- na definition som ¨aven anv¨ands i till exempel Grosse-Erdmanns ”Universal families and hypercyclic operators” (se [9]).

Definition 1. L˚at X och Y vara topologiska rum och (Ti)i∈I vara en familj av kontinuerliga avbildningar T_i : X → Y f¨or n˚agon indexm¨angd I. D˚a kallas ett element x ∈ X universellt f¨or denna familj om m¨angden

{T_ix : i ∈ I}

¨ar t¨at i m˚alm¨angden Y . Familjen (T_i)_i∈I ¨ar universell om det existerar ett universellt element f¨or den.

Om den icke-tomma m¨angden A ⊂ Y ¨ar sluten, och {T_ix : i ∈ I} ¨ar t¨at i A s˚a kallas x f¨or universellt med avseende p˚a A.

Den praktiska anv¨andningen av denna definition i sin mest allm¨anna form

¨ar liten, och Grosse-Erdmann konstaterar i [9] att vi genom att v¨alja l¨ampliga rum X och Y kan g¨ora vilket element som helst universellt med avseende p˚a v˚ar familj. F¨or att kunna studera universalitetens egenskaper b¨or vi d¨armed begr¨ansa rummen X och Y p˚a n˚agot vis. Vi ger f¨oljande definition (se [11], sidan 6):

Definition 2 (Bairerum). L˚at X vara ett topologiskt rum. En delm¨angd A ⊂ X kallas

1. ingenstans t¨at i X om intA = ∅;

2. av f¨orsta Baire-kategorin i X om A ¨ar en union av uppr¨akneligt m˚anga ingenstans t¨ata delm¨angder av X;

3. av andra Baire-kategorin i X om A inte ¨ar av Baire-f¨orsta kategorin.

Rummet X kallas ett Bairerum om snittet av varje uppr¨aknelig familj av t¨ata delm¨angder i X ¨ar t¨att i X.

Vi b¨orjar med att l˚ata X vara ett Bairerum och Y ett topologiskt rum med en uppr¨aknelig bas (eng: second-countable space) f¨or topologin i Y . Vi kan d˚a formulera det s˚a kallade Universalitetskriteriet, vilket ger oss ett verktyg f¨or att unders¨oka storleken p˚a m¨angden av universella objekt i X. Det har

n¨amligen visat sig att d˚a ett universellt element existerar f¨or n˚agon familj av avbildningar s˚a kommer m¨angden av universella element ofta att vara t¨at i definitionsm¨angden X. I kriteriet kommer vi ¨aven att anv¨anda begreppet residuell m¨angd, som grundar sig i teorin om Bairerum (se till exempel [26]):

Definition 3 (Magra och residuella m¨angder). L˚at X vara ett topologiskt rum. Om A ⊂ X ¨ar av f¨orsta Baire-kategorin kallar vi komplementet A^{ till A f¨or en residuell m¨angd (eng: comeager, residual):

A^{ =

∞

[

i=1

E_i

!{

=

∞

\

i=1

E_i^{,

d¨ar intEi = ∅ f¨or alla i ∈ N.

I litteraturen kallas m¨angder av f¨orsta Baire-kategorin ibland f¨or magra m¨angder (eng: meager sets).

Formuleringen av Universalitetskriteriet kommer fr˚an [9], och beviset grun- dar sig p˚a Grosse-Erdmanns ”Holomorphe Monster und Universelle Funktio- nen” (se [11]).

Sats 1 (Universalitetskriteriet). Anta att X ¨ar ett Bairerum och att Y ¨ar ett topologiskt rum med en uppr¨aknelig bas. Anta vidare att I ¨ar en indexm¨angd och att (T_i)_i∈I ¨ar en familj kontinuerliga avbildningar

Ti : X → Y.

D˚a ¨ar f¨oljande egenskaper ekvivalenta:

(I) M¨angden av universella element ¨ar residuell i X;

(II) M¨angden av universella element ¨ar t¨at i X;

(III) F¨or varje par (U, V ) av icke-tomma ¨oppna delm¨angder U av X och V av Y existerar ett i ∈ I s˚a att

T_i(U ) ∩ V 6= ∅.

Speciellt, om n˚agon av dessa egenskaper g¨aller s˚a ¨ar m¨angden av universella element f¨or familjen (T_i)_i∈I en t¨at G_δ-delm¨angd i X (se Avsnitt 8, Definition 15).

F¨or beviset beh¨over vi f¨oljande definition. L˚at X och Y vara som ovan och l˚at M ⊂ X × Y . Om x ∈ X och E ⊂ Y definierar vi

M_x := {y ∈ Y : (x, y) ∈ M } och

M⁻¹(E) := {x ∈ X : det existerar ett y ∈ E s˚adant att (x, y) ∈ M }.

Utg˚aende fr˚an dessa beteckningar kan vi formulera f¨oljande lemma som vi kommer att beh¨ova f¨or beviset:

Lemma 1. L˚at X och Y vara som ovan occh l˚at A ⊂ Y , A 6= ∅, vara en sluten m¨angd. Anta att M ⊂ X × Y ¨ar s˚adan att M⁻¹(Ω) ⊂ X ¨ar ¨oppen alltid d˚a Ω ⊂ Y ¨ar ¨oppen. D˚a ¨ar f¨oljande egenskaper ekvivalenta:

(i) M¨angden {x : M_x ¨ar t¨at i A} ¨ar residuell i X, (ii) M¨angden {x : M_x ¨ar t¨at i A} ¨ar t¨at i X, (iii) M ¨ar t¨at i X × A.

Bevis av lemmat. ”(i) ⇒ (ii)”: Vi vill visa att residualiteten implicerar t¨at- het, och vi g¨or detta f¨or godtyckliga residuella m¨angder B ⊂ X.

Anta d¨arf¨or att m¨angden B ¨ar en residuell delm¨angd i rummet X. D˚a g¨aller det att B^{ = ∪_nB_n, d¨ar B_n ¨ar ingenstans t¨ata delm¨angder i X. Vi m¨arker att det f¨or alla n g¨aller att B_n^{ ¨ar ¨oppen och t¨at, och eftersom B_n^{ ⊂ B_n^{ har vi att ¨aven B^{_n ¨ar t¨at i X. Nu har vi att

\

n

B_n^{ = [

n

B_n

!{

= B,

vilket ger att B ¨ar t¨at i X. Eftersom X ¨ar ett Baire-rum implicerar d¨armed

¨

aven egenskap (i) i lemmat egenskap (ii).

”(ii) ⇒ (iii)”: L˚at x ∈ X, a ∈ A och U ⊂ X och V ⊂ Y vara ¨oppna omgivningar till x respektive a. Eftersom m¨angden {x : M_x ¨ar t¨at i A} ¨ar t¨at i X s˚a finns ett ξ ∈ U s˚a att Mξ ¨ar t¨at i A, och fr˚an detta f¨oljer det att den ¨oppna m¨angden V d˚a m˚aste inneh˚alla ett η ∈ M_ξ. I varje omgivning av (x, a) finns allts˚a ett element (ξ, η) ur M . Eftersom x och a var godtyckliga f¨oljer det att M ¨ar t¨at i X × A.

”(iii) ⇒ (i)”: L˚at B = {Ω_n: n ∈ N} vara en uppr¨aknelig bas till topologin i Y . Vi definierar B^A := {Ω_n : Ω_n ∈ B och A ∩ Ω_n 6= ∅} och l˚ater x ∈ X.

M¨angden M_x ¨ar inte t¨at i A om det finns ett a ∈ A och en m¨angd Ω_n ∈ B s˚a att a ∈ Ω_n och M_x ⊂ Ω^{_n, eller helt enkelt, om det finns en m¨angd Ω_n ∈ B^A med Mx ⊂ Ω^{_n.

Vi l˚ater Ω_n, n ∈ N, vara m¨angder f¨or vilka g¨aller att Ωn ∈ B^A och M_x ⊂ Ω^{_n. Vi ¨ar intresserade av x ∈ X s˚adana att M_x ¨ar t¨at i A, och d˚a Mx ⊂ Ω^{_n och x /∈ M⁻¹(Ωn) f˚ar vi att

{x : M_x ¨ar t¨at i A} = [

Ωn∈B^A

(M⁻¹(Ω_n))^{.

Enligt antagandet har vi att M⁻¹(Ω_n) ¨ar ¨oppen f¨or Ω_n∈ B^A, och d¨armed ¨ar (M⁻¹(Ω_n))^{sluten. F¨or att visa att m¨angden {x : M_x ¨ar t¨at i A} ¨ar residuell i X vill vi visa att dess komplement ¨ar av f¨orsta kategorin, och f¨or detta r¨acker det att visa att (M⁻¹(Ω_n))^{ inte har n˚agra innerpunkter f¨or en godtycklig m¨angd Ω_n ∈ B^A.

Vi l˚ater d¨arf¨or Ω_n ∈ B^A vara godtycklig och betraktar ett x /∈ M⁻¹(Ω_n).

L˚at U vara en ¨oppen omgivning till x. Eftersom M ¨ar t¨at i X × A och Ω_n ¨ar en ¨oppen omgivning till n˚agon punkt a ∈ A s˚a har vi att det existerar n˚agot ξ ∈ U och n˚agot η ∈ Ω_n s˚adana att (ξ, η) ∈ M . Detta ger att ξ ∈ M⁻¹(Ω_n), allts˚a inneh˚aller varje ¨oppen omgivning till x n˚agot element ur M⁻¹(Ω_n), vilket betyder att x inte kan vara en innerpunkt i M⁻¹(Ω_n)^{. Eftersom x och Ω_n ¨ar godtyckliga har vi visat att (M⁻¹(Ω_n))^{ inte har innerpunkter f¨or n˚agon m¨angd Ω_n ∈ B^A, och allts˚a f¨oljer det ur resonemanget ovan att m¨angden {x : M_x ¨ar t¨at i A} m˚aste vara residuell i X.

Utg˚aende fr˚an detta resultat kan vi nu bevisa f¨oljande lemma:

Lemma 2. Anta att X och Y ¨ar som ovan, att (T_i)_i∈I ¨ar en f¨oljd kontinu- erliga avbildningar

T_i : X → A,

och att A ⊂ Y ¨ar icke-tom och sluten. D˚a ¨ar f¨oljande egenskaper ekvivalenta:

(i) M¨angden av universella element med avseende p˚a A ¨ar residuell i X, (ii) M¨angden av universella element med avseende p˚a A ¨ar t¨at i X, (iii) M¨angden {(x, T_ix) : x ∈ X, i ∈ I} ¨ar t¨at i X × A.

Bevis. L˚at M := {(x, T_ix) : x ∈ X, i ∈ I}. F¨or ¨oppna Ω ⊂ A g¨aller M⁻¹(Ω) = {x ∈ X : det existerar ett y ∈ Ω s˚a att (x, y) ∈ M }

= {x ∈ X : det existerar ett i ∈ I s˚a att T_ix ∈ Ω}

=[

i∈I

T_i⁻¹(Ω).

Kontinuiteten av avbildningarna T_i ger att M⁻¹(Ω) ¨ar ¨oppen. Vidare har vi att

M_x = {y ∈ Y : (x, y) ∈ M }

= {T_ix : x ∈ X, i ∈ I},

och eftersom M_x ¨ar t¨at i Y f¨or universella x kan vi anv¨anda oss av Lemma 1 till att slutf¨ora beviset.

Nu har vi allt vi beh¨over f¨or att bevisa Universalitetskriteriet.

Bevis av Universalitetskriteriet. Vi noterar att om vi i Lemma 2 v¨aljer A = Y s˚a ¨ar (I) ekvivalent med (i) och (II) med (ii). Vi vill ¨annu f¨ors¨akra oss om att (III) ¨ar ekvivalent med (iii). L˚at oss d˚a A = Y anta att (III) g¨aller. Vi har att f¨or alla par U och V , d¨ar U ⊂ X och V ⊂ Y ¨ar ¨oppna och icke-tomma, existerar ett i ∈ I s˚adant att

T_i(U ) ∩ V 6= ∅.

Detta ¨ar ekvivalent med att det m˚aste finnas ett i ∈ I och ett x ∈ U s˚adana att T_ix ∈ V , vilket i sin tur ¨ar ekvivalent med att (x, T_ix) ∈ U × V . Eftersom varje ¨oppen m¨angd i X × Y inneh˚aller en produktm¨angd U × V har vi att m¨angden

{(x, T_ix) : x ∈ X, i ∈ I}

m¨oter varje ¨oppen m¨angd i produktrummet, allts˚a m˚aste m¨angden vara t¨at i X × Y . Villkor (III) implicerar allts˚a villkor (iii) i lemmat, och omv¨ant f˚ar vi att (iii) implicerar (III).

Nu ˚aterst˚ar ¨annu att visa att m¨angden av universella element med egen- skaperna (I)-(III) ¨ar en G_δ-delm¨angd i X. I beviset av Lemma 2 noterade vi att vi f¨or ¨oppna Ω ⊂ Y kan skriva

M⁻¹(Ω) = {x ∈ X : det finns ett i ∈ I s˚a att T_ix ∈ Ω} =[

i∈I

T_i⁻¹(Ω).

I en s˚adan m¨angd finns m˚anga fler element ¨an bara de universella elementen, s˚a f¨or att begr¨ansa oss enbart till de universella vill vi sk¨ara bort alla de element som endast avbildas till enstaka ¨oppna m¨angder. Eftersom Y har en uppr¨aknelig bas kan vi d¨arf¨or skriva m¨angden U av universella element som

U =

∞

\

n=1

[

i∈I

T_i⁻¹(V_n),

d¨ar {V_n : n ∈ N} bildar en bas till topologin i Y . Detta ¨ar enligt definitionen en G_δ-m¨angd, och v˚art bevis ¨ar klart!

Universalitetskriteriet g¨aller i denna form f¨or alla Bairerum X och to- pologiska rum Y med uppr¨aknelig bas, men vad h¨ander om vi begr¨ansar klasserna av dessa rum? Om vi l˚ater X och Y dessutom vara metriska rum f˚ar vi f¨oljande korollarium:

Korollarium 1. L˚at X vara ett metriskt Bairerum och l˚at Y vara ett met- riskt rum med en uppr¨aknelig bas f¨or topologin i Y . L˚at (T_i)_i∈I vara som i Universalitetskriteriet. D˚a ¨ar villkor (III) i Universalitetskriteriet ekviva- lent med att det f¨or varje x ∈ X och f¨or varje y ∈ Y existerar en f¨oljd (x_n)_n∈N ⊂ X och en f¨oljd (j_n)_n∈N⊂ I s˚adana att

n→∞lim xn= x och lim

n→∞Tjnxn= y.

Bevis. Beviset f¨oljer direkt ur villkor (iii) i Lemma 2 med A = X.

D˚a vi senare begr¨ansar oss till linj¨ara operatorer och till topologiska vek- torrum kommer vi att ha nytta av det verktyg Korollarium 1 ger oss.

F¨oljande naturliga fr˚aga ¨ar denna: N¨ar kan vi d˚a f¨orv¨anta oss att hitta universella objekt? Det har visat sig att det i m˚anga fall g¨aller att m¨angden universella element i definitionsm¨angden antingen ¨ar tom eller residuell. Nu formulerar vi ett specialfall d¨ar detta g¨aller (se [9], s. 349-350).

Sats 2. L˚at X vara ett topologiskt rum. L˚at I vara en indexm¨angd och (Ti)i∈I

vara en familj av kontinuerliga avbildningar T_i : X → X. Anta att {T_iy : y ∈ X} ¨ar t¨at i X f¨or alla i ∈ I och att

T_j◦ T_k= T_k◦ T_j f¨or alla j, k ∈ I.

D˚a ¨ar m¨angden av universella element f¨or (Ti)i∈I antingen tom eller t¨at i X.

Om X ¨ar ett Bairerum med en uppr¨aknelig bas s˚a ger Universalitetskriteriet att m¨angden universella element i det t¨ata fallet ¨ar residuell i X.

Bevis. Anta att x ∈ X ¨ar ett universellt element. Enligt Definition 1 har vi att m¨angden {T_ix : i ∈ I} ¨ar t¨at i X. L˚at oss fixera ett j ∈ I och U ⊂ X vara ¨oppen och icke-tom. Eftersom m¨angden {Tjy : y ∈ X} enligt antagande

¨ar t¨at i X har vi att det existerar ett s˚adant k ∈ I att T_kx ∈ T_j⁻¹(U ), och allts˚a g¨aller det att T_k(T_jx) = (T_k◦ T_j)(x) = (T_j ◦ T_k)(x) = T_j(T_kx) ∈ U . Eftersom m¨angden U var godtycklig f¨oljer det att varje element yj := Tjx ocks˚a ¨ar universellt. D¨armed ¨ar m¨angden universella element t¨at i X.

I detta fall r¨acker det allts˚a att hitta ett enda universellt element f¨or att veta att m¨angden s˚adana element de facto ¨ar t¨at i X, d˚a existensen av ett enda universellt element implicerar att m¨angden av dessa i s˚a fall ¨ar t¨at i X.

Vi har nu gett de universella familjernas definition, samt n˚agra av de mest grundl¨aggande och allm¨anna resultaten. Nu begr¨ansar vi oss till familjer med kontinuerliga och linj¨ara operatorer T_i : X → Y , d¨ar X ¨ar ett topologiskt vektorrum av Bairetyp (allts˚a ¨aven ett Bairerum) och Y ¨ar ett separabelt och metriserbart topologiskt vektorrum om inte annat s¨ags. Med linj¨ara ope- ratorer T : X → Y menar vi s˚adana operatorer som f¨or x, y ∈ X och f¨or godtyckliga skal¨arer a och b satisfierar

T (ax + by) = aT (x) + bT (y),

d¨ar ax + by ∈ X utg˚aende fr˚an rummets linj¨ara struktur. Med begreppet topologiskt vektorrum avser vi ett par (X, τ ) av ett vektorrum X och en topologi τ f¨or vilken vektoraddition och skal¨ar multiplikation ¨ar kontinuerliga avbildningar.

Genom att begr¨ansa oss till operatorer och topologiska rum av denna form f˚ar vi tillg˚ang andra verktyg f¨or att unders¨oka universaliteten hos olika operatorfamiljer. Ett av dessa verktyg ges av f¨oljande sats (se [9], Theorem 2):

Sats 3. Anta att X ¨ar ett metriserbart topologiskt vektorrum av Bairetyp och att Y ¨ar ett separerbart och metriserbart topologiskt vektorrum, samt att (T_n)_n∈N ¨ar en familj kontinuerliga och linj¨ara operatorer. Anta vidare att det existerar s˚adana t¨ata delm¨angder A ⊂ X och B ⊂ Y och s˚adana avbildningar S_n : B → A, n ∈ N, att:

(i) F¨or varje x ∈ A g¨aller det att lim_k→∞T_nk = 0 f¨or n˚agon delf¨oljd (n_k)_k∈N till N;

(ii) F¨or varje y ∈ B konvergerar f¨oljden (S_ny)_n∈N;

(iii) F¨or varje y ∈ B g¨aller det att lim_n→∞(T_n◦ S_n)y = y.

D˚a har f¨oljden (T_n)_n∈N en residuell m¨angd av universella element i rummet X.

Notera att vi h¨ar beh¨over en fullst¨andigt translationsinvariant metrik i X och Y , eller med andra ord: Om d ¨ar metriken i v˚art rum s˚a g¨aller det f¨or alla x, y, z i detta rum att d(x + z, y + z) = d(x, y). F¨or mer information om hur en s˚adan metrik kan hittas och hur rummen i fr˚aga kan metriseras, se Avsnitt 3.1 om Fr´echetrum.

Vi ¨overg˚ar till att bevisa satsen.

Bevis. Satsen kan bevisas med hj¨alp av Universalitetskriteriet. Vi l˚ater U ⊂ X och V ⊂ Y vara ¨oppna och icke-tomma delm¨angder. Eftersom B ¨ar t¨at i Y kan vi v¨alja ett y ∈ V ∩ B, och utg˚aende fr˚an villkor (ii) f˚ar vi att

n→∞lim S_ny = a, d¨ar a ¨ar ett element i X.

Eftersom A ¨ar t¨at i X och a ∈ X kan vi ¨aven v¨alja ett x ∈ U ∩ (A + a).

Villkor (i) ger oss att vi kan v¨alja en s˚adan delf¨oljd (n_k)_k∈N att

k→∞lim T_nk(x − a) = 0.

L˚at oss definiera en f¨oljd av element (z_k)_k∈N i X, d¨ar z_k := S_nky − a + x.

Vi ser att lim_k→∞z_k = x, s˚a f¨or tillr¨ackligt stora k g¨aller det att z_k ∈ U , och d¨artill

T_nkz_k = (T_nk ◦ S_nk)y + T_nk(x − a) ∈ V.

Utg˚aende fr˚an villkor (III) i Universalitetskriteriet och det faktum att U och V var godtyckligt valda, f¨oljer det att m¨angden av universella element i X med avseende p˚a (Tn)_n∈N ¨ar residuell i X.

Satsen ovan ¨ar en generalisering av det s˚a kallade Hypercyklicitetskriteriet som vi kommer att diskutera mera ing˚aende i Avsnitt 5.

F¨or familjer av linj¨ara operatorer kan vi ¨annu n¨amna f¨oljande intressanta och anv¨andbara resultat: Om operatorf¨oljden (T_n)_n∈N konvergerar punktvis i en t¨at delm¨angd av rummet X s˚a kommer m¨angden av universella element f¨or operatorf¨oljden (T_n)_n∈Natt vara antingen tom eller residuell. Ett bevis av detta kan till exempel hittas i Grosse-Erdmanns ”Holomorphe Monster und universelle Funktionen” ([11], Satz 1.4.2 p˚a sidan 22).

3 Metriska rum, Fr´ echetrum och topologisk transitivitet

3.1 Metriska rum och Fr´ echetrum

I mycket av v˚art fortsatta resonemang kommer vi att vilja r¨ora oss i metriska eller metriserbara topologiska vektorrum, d¨ar vi kan anv¨anda oss av resultat som Korollarium 1 och Sats 3. F¨or detta ¨andam˚al kommer vi i detta korta avsnitt att ge definitioner och resultat som ger oss tillg˚ang till dessa egen- skaper. Vi p˚aminner f¨orst kort att ett metriskt rum ¨ar ett topologiskt rum X f¨orsett med en funktion d : X × X → [0, ∞) med f¨oljande egenskaper:

(i) d(x, y) = 0 om och endast om x = y;

(ii) d(x, y) = d(y, x);

(iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y),

f¨or alla x, y, z ∈ X. Vi kallar d f¨or rummets metrik. Ett rum ¨ar metriserbart om det existerar en metrik som inducerar topologin i rummet (se exempelvis [23]), och ett metriskt rum ¨ar fullst¨andigt om varje Cauchyf¨oljd i rummet konvergerar mot ett element i rummet.

I m˚anga fall ¨ar metriska rum n¨ara kopplade till normrum, och metriken

¨ar i dessa fall definierad utg˚aende fr˚an rummets norm || · ||. Fullst¨andiga normrum kallas Banachrum, och har flera anv¨andbara egenskaper. I m˚anga av v˚ara fortsatta exempel och till¨ampningar av universaliteten kommer vi dock att r¨ora oss i topologiska rum d¨ar det inte g˚ar att definiera en norm. F¨or dessa fall kommer vi nu att definiera ett slags generaliserade Banachrum som kallas Fr´echetrum, d¨opta efter den franske matematikern Maurice Fr´echet.

Vi p˚aminner f¨orst att en seminorm ¨ar en avbildning p : X → R+ p˚a ett linj¨art vektorrum X med egenskaperna att det f¨or alla x, y ∈ X g¨aller:

(i) p(x) ≥ 0 f¨or alla x ∈ X;

(ii) p(x + y) ≤ p(x) + p(y);

(iii) p(λx) = |λ|p(x), f¨or alla λ ∈ K, d¨ar K kan vara R eller C.

L˚at oss nu betraktar en f¨oljd (p_n)_n∈Nav seminormer med p_n(x) ≤ p_n+1(x) f¨or alla x ∈ X och n ∈ N, och med egenskapen att pn(x) = 0 ger x = 0 f¨or alla n ∈ N. D˚a kan vi f¨or x, y ∈ X definiera en metrik enligt

d(x, y) :=

∞

X

n=1

1

2ⁿmin(1, p_n(x − y)). (1) F¨or metriken g¨aller att d(x, y) = d(x + z, y + z) f¨or alla x, y, z ∈ X och vi noterar att d(x, y) ≤ 1 f¨or alla x, y ∈ X.

Utg˚aende fr˚an detta kan vi nu ge f¨oljande definition:

Definition 4 (Fr´echetrum). Ett Fr´echetrum, eller ett F-rum, ¨ar ett vektor- rum X f¨orsett med en v¨axande f¨oljd (p_n)_n∈N av seminormer som ovan, och som ¨ar fullst¨andigt med avseende p˚a metriken definierad i (1).

Vidare kan vi definiera en slags normliknande struktur utg˚aende fr˚an metriken i (1) genom att s¨atta

||x||F := d(x, 0)

f¨or x ∈ X. Vi kallar fr˚an och med nu detta avst˚and f¨or F-normen av x och noterar att vi utg˚aende fr˚an definitionen har att ||x||_F ≤ 1 f¨or alla x ∈ X.

Det ¨ar v¨art att notera att F-rum ¨aven kan definieras utg˚aende fr˚an en annan metrik, som kan visas vara ekvivalent med den vi gav i (1):

d(x, y) :=

∞

X

k=0

2^−k p_k(x − y)

1 + p_k(x − y), (2)

f¨or x, y ∈ X, d¨ar pk(x), x ∈ X, f¨or alla k ∈ N betecknar element i v˚ar f¨oljd av seminormer. Till exempel f¨or rummet C(R) av kontinuerliga funktioner p˚a hela R kan vi definiera seminormerna som

p_k(f ) := sup

x∈[−k,k]

|f (x)|

f¨or funktioner f ∈ C(R), och vi kan anv¨anda oss av metriken i (2) f¨or att metrisera rummet.

Andra F-rum som vi kommer att r¨ora oss i ¨ar bland annat rummet C^∞(R) av o¨andligt m˚anga g˚anger kontinuerligt deriverbara funktioner p˚a R och rum- met H(C) av analytiska funktioner i hela det komplexa planet. Det ¨ar ¨aven

v¨art att notera att alla Banachrum ¨ar F-rum, men i dessa fall motsvarar F-normen definierad som ovan inte normen i rummet. Om X ¨ar ett Banach- rum med normen || · || kan vi med den identiska homeomorfa avbildningen I_X : (X, || · ||) → (X, || · ||_F) visa att X ¨ar ett Fr´echetrum med F-normen

|| · ||_F, men || · || 6= || · ||_F.

Vi noterar att ett Fr´echetrum ¨ar ett fullst¨andigt metriserbart topologiskt vektorrum. Kontinuiteten f¨or operatorer p˚a detta rum definieras vanligtvis utg˚aende fr˚an den topologi som induceras av f¨oljden av seminormer, eller av metriken i (1). I Banachrum definierar vi dock kontinuiteten utg˚aende fr˚an rummets norm.

3.2 Topologisk transitivitet

Senare kommer vi att begr¨ansa oss till metriserbara topologiska vektorrum och ¨aven till familjer (T_i)_i∈N0, d¨ar T_i = Tⁱ f¨or alla i ∈ N0 ¨ar iterationer av en och samma kontinuerliga operator T : X → X, allts˚a

(T_i)_i∈I = (Tⁱ)_i∈N0 = T⁰, T, T², T³, . . . ,

d¨ar Tⁿ(x) = T (Tⁿ⁻¹(x)) f¨or n ≥ 2 och T⁰ ¨ar identitetsoperatorn. I och med detta kommer vi att tangera de dynamiska systemens teori. Vi kommer inte h¨ar att f¨ordjupa oss n¨armare i denna teori, men vi kan notera att d˚a rummet X ¨ar metriskt s˚a beskriver paret (X, T ) ett kontinuerligt dynamiskt system.

Den centrala id´en bakom denna teori ¨ar att unders¨oka operatorns bana o(T, x) := {Tⁱ(x) : i ∈ N0}

f¨or element x ∈ X. Mycket av den kommande teorin kunde behandlas ut- g˚aende fr˚an dynamiska system med hj¨alp av de begrepp som h¨or samman med detta omr˚ade inom matematiken. Vi n¨ojer oss dock f¨or det mesta med att notera detta faktum och sedan anv¨anda oss av mer allm¨anna begrepp.

Undantaget ¨ar Avsnitt 6, d¨ar vi bekantar oss med de dynamiska systemens kaosteori, och hur vi kan koppla denna till universaliteten.

Vi kommer nu att behandla en grundl¨aggande egenskap som ofta dyker upp d˚a vi unders¨oker till¨ampningar av universaliteten. Detta ¨ar ett begrepp bekant fr˚an den topologiska dynamiken (se till exempel [10], Definition 1.11, s. 8) som implicit redan f¨orekommer i villkor (III) i Universalitetskriteriet (Sats 1).

Definition 5 (Topologisk transitivitet). En familj (Tⁱ)_i∈N av iterationer Tⁱ av den kontinuerliga avbildningen T : X → X, d¨ar X ¨ar ett topologiskt rum, kallas topologiskt transitiv om det f¨or varje par U , V av icke-tomma delm¨angder i X existerar ett s˚adant n att

Tⁿ(U ) ∩ V 6= ∅.

Om X ¨ar ett Baire-rum med en uppr¨aknelig bas till rummets topologi har vi d¨armed enligt Universalitetskriteriet att m¨angden av universella element f¨or v˚ar familj av operatorer m˚aste vara t¨at i X. Vi kan vidare ge f¨oljande generaliserade definition f¨or att understryka kopplingen mellan universalitet och topologisk transitivitet:

Definition 6. L˚at X och Y vara metriska rum och T_n : X → Y kontinuerliga avbildningar mellan dessa. D˚a kallar vi familjen (T_n)_n∈N topologiskt transitiv om det f¨or varje par U ⊂ X och V ⊂ Y av icke-tomma delm¨angder existerar ett s˚adant n ∈ N att

T_n(U ) ∩ V 6= ∅.

Utg˚aende fr˚an denna definition kan vi omformulera Universalitetskriteriet f¨or metriska rum p˚a f¨oljande vis (se ¨aven [10], Sats 1.57):

Sats 4. L˚at X vara ett fullst¨andigt metriskt rum och Y ett separerbart metriskt rum, samt l˚at (T_n)_n∈N vara en familj kontinuerliga avbildningar Tn: X → Y . D˚a ¨ar f¨oljande villkor ekvivalenta:

(I) Familjen (T_n)_n∈N ¨ar topologiskt transitiv;

(II) M¨angden universella element ¨ar t¨at i X.

Bevis. (II) ⇒ (I): Om vi antar att (II) g¨aller s˚a betyder det att det i varje icke-tom delm¨angd U ⊂ X finns ett universellt element x ∈ U f¨or vilket det existerar ett s˚adant n ∈ N att Tⁿ(x) ∈ V . Detta visar att familjen ¨ar topologiskt transitiv.

(I) ⇒ (II): Anta att familjen ¨ar topologiskt transitiv och beteckna m¨ang- den av universella element i X med U . Vi betecknar metriken i X med dX

och metriken i Y med d_Y. Eftersom Y ¨ar separerbar betyder det enligt defi- nitionen att Y inneh˚aller en uppr¨aknelig t¨at m¨angd {y_j : j ∈ N}. Vi kan d˚a v¨alja s˚adana mj ∈ N att de ¨oppna kulorna B^j := {y ∈ Y : dY(yj, y) < 1/mj} bildar en uppr¨aknelig bas till topologin i Y . Vi f˚ar att x ∈ U om och endast om det f¨or varje j ∈ N existerar ett n ∈ N s˚adant att T_n(x) ∈ B_j.

Om vi fixerar en kula B_j s˚a har vi enligt den topologiska transitiviteten att det f¨or alla icke-tomma U ⊂ X existerar ett s˚adant n ∈ N att

T_n(U ) ∩ B_j 6= ∅.

Med andra ord har vi d¨armed att m¨angden av universella element kan skrivas som

U =

∞

\

j=1

∞

[

n=1

T_n⁻¹(Bj).

Kontinuiteten hos avbildningarna i familjen (T_n)_n∈N ger oss att m¨angderna

∞

[

n=1

T_n⁻¹(B_j)

¨ar ¨oppna, och vidare f˚ar vi utg˚aende fr˚an den topologiska transitiviteten och Baires kategorisats (se Sats 21 i Avsnitt 8) att U ¨ar t¨at. M¨angden U av universella element ¨ar allts˚a t¨at i X.

Detta avslutar avsnittet om Fr´echetrum och topologisk transitivitet, och med dessa nya begrepp kan vi nu ˚aterg˚a till att unders¨oka universaliteten som fenomen.

4 Exempel p˚ a universella familjer

Det f¨orefaller som om s˚a gott som varje divergerande eller oregelbunden pro- cess inom analysen i n˚agon bem¨arkelse uppvisar universella egenskaper [9].

D¨armed finns det en m¨angd exempel p˚a universella familjer- och objekt, men h¨ar kommer vi att fokusera p˚a n˚agra av de mest k¨anda och klassiska exemp- len.

4.1 Universella potens- och Taylorserier

Vi bekantar oss nu med universella potens- och Taylorserier. I detta avsnitt betraktar vi endast reella serier, ¨aven om teorin ¨aven kan utvidgas f¨or att g¨alla i det komplexa planet C.

I den historiska tillbakablicken n¨amndes matematikern Michael Fekete, som 1914 visade att det existerar en reell potensserie p˚a intervallet [−1, 1]

som uppvisar universella egenskaper. Detta ¨ar troligen det f¨orsta dokumen- terade exemplet p˚a universalitet och efter˚at har matematiker som Mazurki- ewicz, Sierpi´nski, Seleznev, Lorentz och Luh bidragit med ytterligare bevis och generaliseringar ber¨orande liknande Taylorserier [9].

I detta avsnitt bevisar vi existensen av en universell Taylorserie. B˚ade definitionen och satserna baserar sig p˚a Grosse-Erdmanns arbete (se [11]).

Vi b¨orjar med att definiera det universella objektet i fr˚aga.

Definition 7. L˚at f ∈ C^∞(R) och f (0) = 0. Taylorserien

∞

X

j=1

f^(j)(0) j! x^j

kallas universell om det g¨aller att det f¨or varje funktion g ∈ C(R) med g(0) = 0 existerar en f¨oljd (n_k)_k∈N av naturliga tal s˚adan att delsummorna

nk

X

j=1

f^(j)(0)

j! x^j −→ g(x)

lokalt likformigt p˚a varje kompakt delm¨angd i R d˚a k → ∞.

Vi kommer ih˚ag att C^∞(Ω), f¨or en ¨oppen m¨angd Ω ⊂ R, betecknar rum- met med o¨andligt m˚anga g˚anger deriverbara funktioner f : Ω → Ω. Topologin

i detta rum definieras som likformig konvergens av alla derivator p˚a kompak- ta delm¨angder i Ω, i enlighet med teorin om F-rum i Avsnitt 3. Mer exakt har vi att fj → f d˚a j → ∞ i C^∞(Ω) om

sup

x∈K

f_j⁽ⁿ⁾(x) − f⁽ⁿ⁾(x)  

→ 0, d˚a j → ∞, f¨or alla n = 0, 1, 2, . . . och p˚a alla kompakta delm¨angder K ⊂ Ω.

Nu definierar vi underrummet C₀^∞(Ω) := {f ∈ C^∞(Ω) : f (0) = 0} och rummet C₀(Ω) := {f ∈ C(Ω) : f (0) = 0}. Utg˚aende fr˚an dessa definitioner och fr˚an Defninition 7 formulerar vi f¨oljande sats:

Sats 5. Det existerar en universell Taylorserie i R, och {f ∈ C₀^∞(R) : f har en universell Taylorserie}

¨ar ett residuellt underrum i rummet C₀^∞(R).

F¨or att bevisa satsen beh¨over vi M¨untz-Szaszs approximationssats och tv˚a lemman.

Sats 6 (M¨untz-Szaszs Sats). Anta att 0 < λ₁ < λ₂ < λ₃ < · · · och l˚at X vara det slutna h¨oljet i C([0, 1]) av m¨angden av alla ¨andliga linj¨ara kombinationer av funktionerna

1, t^λ1, t^λ2, t^λ3, . . . D˚a g¨aller att

(a) om P

n1/λ_n= ∞ s˚a ¨ar X = C([0, 1]);

(b) om P

n1/λ_n< ∞ och om λ /∈ {λ_n: n ∈ N}, λ 6= 0, s˚a t^λ ∈ X./

F¨or det fullst¨andiga beviset av M¨untzs approximationssats, se exempelvis [20], Theorem 15.26, sidorna 313-315. Vi kommer bara att beh¨ova del (a) av satsen, och vi skisserar h¨ar kort id´en f¨or hur denna del kan bevisas.

Vi anv¨ander oss av ett korollarium till Hahn-Banachs sats (se Sats 24 i Avsnitt 8) som s¨ager f¨oljande:

Lemma 3. L˚at M vara ett linj¨art underrum i ett Banachrum X och l˚at x₀ ∈ X. D˚a g¨aller att x₀ ∈ M om och endast om det inte finns n˚agon begr¨ansad funktional f p˚a X s˚adan att f (x) = 0 f¨or alla x ∈ M , men f (x₀) 6= 0.

F¨or beviset, se [20], Theorem 5.19, s. 107, eller kursen i Funktionalanalys.

Vi anv¨ander detta resultat f¨or att bevisa M¨untzs approximationssats:

Bevisets id´e: Lemmat ovan ger oss att det f¨or ett element x g¨aller att x ∈ C([0, 1]) och x /∈ X om och endast om det existerar en s˚adan linj¨ar funktional F p˚a C([0, 1]) att F (x) 6= 0, men F (y) = 0 f¨or alla y ∈ X. Vidare ger Rieszs representationssats (se Sats 25 i Avsnitt 8) oss att varje begr¨ansad och linj¨ar funktional p˚a C([0, 1]) kan uttryckas med hj¨alp av integrering med avseende p˚a ett begr¨ansat Borelm˚att µ p˚a [0, 1], det vill s¨aga

f 7−→ (f, µ) :=

Z

[0,1]

f dµ.

Utg˚aende fr˚an allt detta f˚ar vi att vi f¨or att bevisa (a) endast beh¨over visa att om P

n1/λ_n = ∞ och µ ¨ar ett begr¨ansat Borelm˚att p˚a [0, 1] s˚adant

att Z

[0,1]

t^λndµ(t) = 0, f¨or n = 1, 2, 3, . . . och Z

[0,1]

1dµ(t) = 0, s˚a g¨aller att

Z

[0,1]

t^kdµ(t) = 0, f¨or k = 1, 2, 3, . . . .

Detta visar n¨amligen att X inneh˚aller alla funktioner med formen t^k, ur vilket f¨oljer att X inneh˚aller alla polynom. Detta betyder p˚a basen av Weierstrass approximationssats (se Sats 22 i Avsnitt 8) att X = C([0, 1]).

F¨or att visa p˚ast˚aendet observerar vi f¨orst med hj¨alp av Moreras sats (se Sats 26 i Avsnitt 8) att funktionen

f (z) :=

Z

[0,1]

t^zdµ(t)

¨ar analytisk f¨or alla z i omr˚adet {z ∈ C : Re(z) > 0} och d¨arefter visar vi att funktionen ¨aven ¨ar begr¨ansad i detta omr˚ade, d¨ar enligt v˚art antagande f (λ_n) = 0 f¨or alla n = 1, 2, 3, . . .

Utg˚aende fr˚an detta kan vi definiera en begr¨ansad analytisk funktion g : {z ∈ C : |z| < 1} → C genom

g(z) := f 1 + z 1 − z



, |z| < 1,

d¨ar g(α_n) = 0 f¨or α_n= (λ_n− 1)/(λ_n+ 1). H¨ar ¨ar avbildningen z 7−→ 1 + z

1 − z, |z| < 1,

analytisk och konform fr˚an den ¨oppna enhetscirkelskivan till m¨angden {z ∈ C : Rez > 0}, och den sammansatta funktionen g avbildar d¨armed element fr˚an enhetscirkelskivan till C.

Vi noterar f¨orst att f¨or λ_n> 1 g¨aller 1 − |α_n| = λ_n+ 1 − λ_n+ 1

λ_n+ 1 = 2

λ_n+ 1. (3)

Vi vet redan att (λ_n)_n∈N ¨ar en v¨axande f¨oljd och vi antar att vi har P

n1/λ_n = ∞. Om λ_n → ∞ d˚a n → ∞ f˚ar vi enligt utr¨akningen i (3) att vi har P

n(1 − |α_n|) = ∞. Om d¨aremot λn → β d˚a n → ∞ f¨or n˚agot β ∈ (0, ∞) s˚a betyder det att 1 − |α_n| inte konvergerar mot 0, vilket naturligtvis ger att serien P

n(1 − |α_n|) divergerar mot o¨andligheten ¨aven i detta fall.

Vi vill nu utnyttja detta i f¨oljande v¨alk¨anda resultat fr˚an den komplexa analysen (se exempelvis [20], Theorem 15.26 med korollarium, s. 313-314, eller kurserna i Komplex analys):

L˚at D beteckna den ¨oppna enhetscirkelskivan i C. Om f ¨ar begr¨ansad och analytisk i m¨angden D, med nollst¨allena α1, α₂, α₃, . . . i D, och om P

n(1 −

|α_n|) = ∞ s˚a ¨ar f (z) = 0 f¨or alla z ∈ D.

Detta resultat ger oss att v˚ar funktion satisfierar g(z) = 0 f¨or alla z ∈ U , vilket ger oss att f (k) = 0 f¨or alla k = 1, 2, 3, . . ., vilket var vad vi ville visa!

Vi ¨overg˚ar nu till de ¨ovriga hj¨alpsatser som beh¨ovs f¨or att bevisa Sats 5. Vi p˚aminner att rummet C([−a, a]) ¨ar ett Banachrum med maxnormen ||f ||∞= sup{|f (x)| : x ∈ [−a, a]} f¨or f ∈ C([−a, a]), och noterar att detta naturligvis

¨aven g¨aller underrummet C0([−a, a]). Vi formulerar f¨oljande lemma:

Lemma 4. L˚at a > 0 och N ∈ N0 vara givna. D˚a ¨ar m¨angden polynom av formen

P (x) =

m

X

j=N

a_jx^j,

d¨ar a_j ∈ R f¨or j = N, . . . , m och m ≥ N, t¨at i rummet C0([−a, a]).

Bevis av Lemma 4. Vi vill visa att vi f¨or varje funktion i C₀([−a, a]) kan hitta ett polynom av formen ovan som ¨ar godtyckligt n¨ara funktionen. Vi betraktar d¨arf¨or en godtycklig funktion f ∈ C0([−a, a]) och l˚ater ε > 0 vara godtyckligt. Eftersom f ¨ar kontinuerlig och reellv¨ard kan vi dela upp funktionen i f = f_j + f_u, d¨ar f_j ∈ C([−a, a]) ¨ar j¨amn och fu ∈ C([−a, a]) ¨ar udda:

f (x) = 1

2(f (x) + f (−x))

| {z }

fj(x)

+1

2(f (x) − f (−x))

| {z }

fu(x)

.

Vi vill nu anv¨anda M¨untz-Szaszs Sats f¨or att hitta l¨ampliga polynom.

L˚at oss d¨arf¨or betrakta delm¨angderna N_j := {n ∈ N : n > N, n j¨amn} och N_u := {n ∈ N : n > N, n udda}. Eftersom den harmoniska serien divergerar s˚a ¨ar det uppenbart att

X

n∈Nj

1

n = ∞, och X

n∈Nu

1 n = ∞.

Enligt del (a) i M¨untz-Szaszs Sats har vi d¨armed att det existerar ett polynom P_u med exponenter fr˚an N_j och ett polynom P_j med exponenter fr˚an N_u, s˚adana att

max

x∈[0,1]|f_j(ax) − P_j(x)| < ε

2, och max

x∈[0,1]|f_u(ax) − P_u(x)| < ε 2. Om vi nu kombinerar dessa f˚ar vi

max

x∈[−a,a]

f (x) − P_jx a

− P_ux a

 

≤ max

x∈[0,1]|f_j(ax) − P_j(x)|

+ max

x∈[0,1]|f_u(ax) − P_u(x)|

<ε 2+ ε

2 = ε.

D¨armed har polynomet P (x) = Pj x

a
+ Pu x

a
den s¨okta formen och lig- ger inom avst˚andet ε ifr˚an funktionen f i maxnormen. M¨angden av s˚adana polynom ¨ar allts˚a t¨at i m¨angden {f ∈ C([−a, a]) : f (0) = 0}.

I b¨orjan av detta avsnitt n¨amnde vi att topologin i rummet C^∞(Ω) f¨or n˚a- gon ¨oppen m¨angd Ω ⊂ R definieras som likformig konvergens av derivatorna p˚a kompakta delm¨angder till Ω. Vi noterar att detta ¨aven g¨aller specialfallet

C^∞(R), det vill s¨aga rummet av o¨andligt m˚anga g˚anger deriverbara funk- tioner p˚a hela R. Det ¨ar dock viktigt att notera att detta rum inte ¨ar ett normrum, och att vi d¨arf¨or m˚aste anv¨anda oss av teorin om F-rum.

Vi ¨overg˚ar nu till att betrakta underrummet C₀^∞(R) till detta rum, och noterar att b˚ade rummet C₀^∞(R) och rummet C0(R) ¨ar F-rum, till exempel med metriken

d(f, g) :=

∞

X

n=1

1

2ⁿ · p_n(f − g) 1 + p_n(f − g). H¨ar definieras seminormen p_n(f ) f¨or n ∈ N som

pn(f ) := max

j≤n max

x∈[−n,n]|f^(j)(x)|

f¨or j ∈ N0 och f ∈ C₀^∞(R), och som p_n(f ) := max

x∈[−n,n]|f (x)|

f¨or f ∈ C₀(R). Som vi s˚ag i Avsnitt 3 ¨ar F-rum fullst¨andigt metriserbara vektorrum, och vidare kan vi utg˚aende fr˚an Weierstrass approximationssats (Sats 22 i Avsnitt 8) notera att rummet C0(R) ¨ar separerbart.

Vi ¨overg˚ar nu till ett lemma som ber¨or underrummet C₀^∞(R):

Lemma 5. M¨angden av polynom med nollst¨alle i origo ¨ar t¨at i rummet C₀^∞(R).

Bevis av Lemma 5. Vi vill visa att det f¨or alla funktioner f ∈ C₀^∞(R) finns en f¨oljd av polynom (P_n)_n∈N, med P_n(0) = 0 f¨or alla n, s˚adan att P_n → f d˚a n → ∞. Vi l˚ater en funktion f ∈ C₀^∞(R) vara given.

Weierstrass approximationssats (se Sats 22 i Avsnitt 8) ger oss att det f¨or varje n ∈ N finns ett s˚adant polynom Q_n att

max

x∈[−n,n]

|f⁽ⁿ⁾(x) − Q_n(x)| < 1 nⁿ⁺¹.

Vidare f˚ar vi genom att integrera att det f¨or varje n ∈ N existerar ett polynom P_n med Pn^(m)(0) = f^(m)(0) f¨or m = 0, 1, 2, . . . , n − 1, och Pn⁽ⁿ⁾(x) = Q_n(x).

Det ¨ar uppenbart att P_n∈ C₀^∞(R), och dessutom g¨aller det att max

x∈[−n,n]|(f − P_n)⁽ⁿ⁾(x)| < 1

nⁿ⁺¹, d˚a n ∈ N.

Enligt Analysens Fundamentalsats och triangelolikheten vet vi att det f¨or funktioner h ∈ C₀^∞(R) g¨aller att

|h(x)| ≤ Z x

0

|h⁰(t)|dt.

Detta ger oss att

|(f − P_n)^(m)(x)| ≤ Z x

0

|(f − P_n)^(m+1)(x₁)|dx₁ ...

≤ Z x

0

· · ·

Z xn−m−1

0

|(f − P_n)⁽ⁿ⁾(x_n−m)|dx_n−m· · · dx₁, och d¨armed f˚ar vi

max

x∈[−n,n]|(f − P_n)^(m)(x)| ≤ 1

nⁿ⁺¹ · n^n−m≤ 1

n, f¨or alla m = 0, 1, . . . , n.

Vi ser nu att f¨oljden (P_n)_n∈N samt dess derivator konvergerar likformigt p˚a kompakta delm¨angder mot v˚ar godtyckligt valda funktion f , och d¨armed

¨aven konvergerar i rummets topologi. Det ger oss att m¨angden av polynom med nollst¨alle i origo m˚aste vara t¨at i rummet C₀^∞(R).

Nu kan vi ¨overg˚a till att bevisa Sats 5.

Bevis av Sats 5. L˚at oss betrakta den familj av avbildningar (Tn)_n∈N d¨ar avbildningarna T_n : C₀^∞(R) → C0(R) definieras enligt

(T_nf )(x) :=

n

X

j=1

f^(j)(0)

j! x^j, f¨or x ∈ R.

Enligt Definition 7 och Definition 1 har vi att det existerar en universell Taylorserie i C₀(R) om f ¨ar ett universellt element f¨or familjen (Tn)_n∈N. Korollarium 1 i Avsnitt 2 ger oss nu att vi bara beh¨over visa att det f¨or varje polynom Q ∈ C₀^∞(R) och f¨or varje funktion g ∈ C0(R) existerar en f¨oljd av polynom (f_n)_n∈N ⊂ C₀^∞(R) och en delf¨oljd (kn)_n∈N ⊂ N s˚adana att

n→∞lim f_n(x) = Q(x) och lim

n→∞(T_knf_n)(x) = g(x) i metriken i C₀(R).

L˚at oss nu betrakta ett godtyckligt polynom av formen Q(x) =Pk i=1a_ixⁱ och en godtycklig funktion g ∈ C₀(R). Vi l˚ater n ∈ N vara godtyckligt.

Eftersom funktionen g − Q ∈ C0(R) vet vi utg˚aende fr˚an Lemma 4 att det existerar ett polynom R_n(x) =Pm

j=1b_jx^j s˚adant att max

x∈[−n,n]|xⁿR_n(x) − (g(x) − Q(x))| < 1

n. (4)

Vi betecknar P_n(x) := xⁿR_n(x) = Pm

j=1b_jx^j+n och noterar att derivatan Pn⁽ⁿ⁾ ∈ C0(R). Om vi definierar kⁿ := max(k, m + n) har vi, igen utg˚aende fr˚an Lemma 4, att det existerar ett polynom S_n(x) =Pp

l=1c_lx^l s˚adant att max

x∈[−n,n]|x^kn−n+1S_n(x) − P_n⁽ⁿ⁾(x)| < 1 n + 1. Genom integrering hittar vi ett polynom L_n(x) s˚adant att

L⁽ⁿ⁾_n (x) = x^kn−n+1S_n(x) =

p

X

l=1

c_lx^l+kn−n+1,

och med egenskapen att det f¨or varje j = 0, 1, 2, . . . , n − 1 g¨aller att

L^(j)_n (0) = 0 = P_n^(j)(0). (5) Ur beviset f¨or Lemma 5 f¨oljer det att

max

x∈[−n,n]|L^(j)_n (x) − P_n^(j)(x)| < 1 n

f¨or j = 0, 1, 2, . . . , n. Om vi nu betraktar funktionen fn(x) = Q(x) + Pn(x) − L_n(x) s˚a m¨arker vi att f_n∈ C₀^∞(R) ¨ar ett polynom f¨or alla n ∈ N, och att

max

x∈[−n,n]|(f_n− Q)^(j)(x)| = max

x∈[−n,n]|(P_n− L_n)^(j)(x)| < 1 n,

f¨or alla j = 0, 1, 2, . . . , n. Detta ger att f_n konvergerar mot polynomet Q i metriken i C₀^∞(R).

Eftersom den l¨agsta exponenten f¨or x i polynomet L_n ¨ar minst k_n+ 1 f˚ar vi utg˚aende fr˚an likheten i (5) att de k_n+ 1 f¨orsta derivatorna av L_n i origo m˚aste vara 0. Detta ger oss att

(T_knL_n)(x) =

kn

X

j=1

L^(j)n (0)

j! x^j = 0.

Vi m¨arker ¨aven att eftersom den h¨ogsta exponenten f¨or x i polynomet Q(x) h¨ogst ¨ar k och den h¨ogsta exponenten f¨or x i P_n(x) ¨ar h¨ogst m + n s˚a

¨ar den h¨ogsta exponenten f¨or Q(x) + Pn(x) h¨ogst kn, vilket ger oss att (Tkn(Q + Pn))(x) =

kn

X

j=1

Q^(j)(0) j! x^j +

kn

X

j=1

Pn^(j)(0)

0! x^j = Q(x) + Pn(x).

Ur detta f˚ar vi att (T_knf_n)(x) = Q(x) + P_n(x), vilket i sin tur enligt olikheten i (4) ger oss att

max

x∈[−n,n]|(T_knf_n)(x) − g(x)| = max

x∈[−n,n]|Q(x) + P_n(x) − g(x)| < 1 n. Vi har allts˚a att T_knf_n konvergerar mot g i C₀(R).

Eftersom polynomet Q ∈ C₀^∞(R) och funktionen g ∈ C0(R) var godtyckli- ga s˚a har vi visat att det existerar en funktion f som ¨ar ett universellt element f¨or familjen (T_n)_n∈N. Detta visar samtidigt att m¨angden av universella funk- tioner ¨ar t¨at i C₀^∞(R), och eftersom ett fullst¨andigt metriskt vektorrum enligt Baires kategorisats (se Sats 21 i Avsnitt 8) ¨ar ett Bairerum har vi enligt Sats 1 att m¨angden av universella funktioner ¨ar residuell i C₀^∞(R). Detta avslutar beviset.

Vi noterar att resultatet i Sats 5 ¨ar starkare ¨an det Fekete formulerade

˚ar 1914. I st¨allet f¨or att visa att den universella Taylorserien existerar p˚a intervallet [−1, 1] har vi nu visat att en s˚adan de facto existerar p˚a hela R. F¨or att bevisa Feketes ursprungliga resultat kan vi i stort sett anv¨anda samma bevis som ovan, men vi begr¨ansar oss till Banachrummet C0([−1, 1]) med supremumnormen ||f ||∞= sup_x∈[−1,1]|f (x)| i Lemma 4, och vi beh¨over inte alls Lemma 5. Detta f¨orenklar beviset en hel del.

Det ¨ar m¨ojligt att utvidga teorin om universella Taylorserier till att g¨alla i hela C, men f¨or detta exempel n¨ojer vi oss med det reella fallet.

4.2 Universella primitiva funktioner

V˚art andra exempel behandlar s˚a kallade universella primitiva funktioner (eng: Universal primitives) f¨or m¨atbara, n¨asta ¨overallt ¨andliga funktioner i R.

˚Ar 1935 bevisade den polske matematikern J´osef Marcinkiewicz existensen av s˚adana funktioner. Vi ˚aterger h¨ar definitionen av universella primitiva funktioner och beviset f¨or att de existerar. B˚ade definitionen och satserna baserar sig p˚a Andrew Bruckners ”Differentiation of Real Functions” (se [4]).

Definition 8. L˚at funktionen f vara m¨atbar och ¨andlig n¨astan ¨overallt i R, och l˚at f¨oljden (h_n)_n∈N uppfylla kravet h_n → 0 d˚a n → ∞. Om det existerar en kontinuerlig funktion F och en delf¨oljd (hn_k)_k∈N till (hn)_n∈N s˚adana att

k→∞lim

F (x + hn_k) − F (x)

h_nk = f (x) n¨astan ¨overallt (6) s˚a kallas F f¨or en generaliserad primitiv funktion till f .

Om det f¨or alla m¨atbara och n¨astan ¨overallt ¨andliga funktioner f finns en s˚adan delf¨oljd (hn_k)_k∈N att (6) g¨aller, s˚a att den kontinuerliga funktionen F allts˚a ¨ar en generaliserad primitiv funktion till alla s˚adana funktioner f , s˚a kallas F f¨or en universell primitiv funktion.

Marcinkiewicz visade att s˚adana kontinuerliga och universella primitiva funktioner existerar f¨or alla reella intervall [a, b]. Vi kommer nu att formulera och bevisa detta resultat.

Sats 7. L˚at (h_n)_n∈N vara en f¨oljd med h_n → 0 d˚a n → ∞ och h_n 6= 0 f¨or alla n ∈ N. D˚a g¨aller f¨oljande: Om f ¨ar m¨atbar och ¨andlig n¨astan ¨overallt i [a, b] s˚a existerar en delf¨oljd (h_nk)_k∈N av (h_n)_n∈N s˚adan att

k→∞lim

F (x + h_nk) − F (x)

h_nk = f (x)

f¨or n¨astan alla x ∈ [a, b] och f¨or alla kontinuerliga F i n˚agon residuell del- m¨angd av C([a, b]).

Beviset av satsen baserar sig p˚a tv˚a hj¨alpsatser som vi nu kommer att formulera och skissera bevis f¨or.

Lemma 6. L˚at F₁ och F₂ vara kontinuerliga funktioner definierade p˚a in- tervallet [a, b], d¨ar F₂ ¨ar deriverbar n¨astan ¨overallt. F¨or varje ε > 0 existerar d˚a en kontinuerlig funktion G s˚adan att G⁰ = F₂⁰ n¨astan ¨overallt i intervallet, och |F₁(x) − G(x)| < ε f¨or alla x ∈ [a, b].

Bevisets id´e: Vi l˚ater ε > 0 vara godtyckligt. Vi s¨oker efter en kontinuerlig funktion G s˚adan att

G⁰(x) = F₂⁰(x) f¨or n¨astan alla x ∈ [a, b], och

|F₁(x) − G(x)| < ε f¨or alla x ∈ [a, b].