Totala antalet uppgifter: 7 Skrivtid 09.00 – 14.00

Tentamen i Numerik Amneskod ¨ MAM208 Tentamensdatum 2006-01-09

Totala antalet uppgifter: 7 Skrivtid 09.00 – 14.00

L¨ arare: Ove Edlund

Jourhavande l¨ arare: Ove Edlund Tel: 070-2828661 Resultatet meddelas: p˚ a studentportalen. P˚ a www.ltu.se/atorget ansl˚ as n¨ ar

den r¨ attade skrivningen kan h¨ amtas ut.

Till˚ atna hj¨ alpmedel: Minir¨ aknare, Beta

Till alla uppgifterna ska fullst¨ andiga l¨ osningar l¨ amnas. Resonemang, inf¨ orda beteckningar och utr¨ akningar f˚ ar inte vara s˚ a knapph¨ andigt presenterade att de blir sv˚ ara att f¨ olja. ¨ Aven endast delvis l¨ osta problem kan ge po¨ ang.

Enbart svar ger 0 po¨ ang.

Institutionen f¨ or matematik

1 (3)

1 St¨ orningsanalysen av linj¨ ara ekvationssystem Ax = b s¨ ager att

kδxk

kxk ≤ κ(A)

1 − ^kδAk _kAk κ(A)

 kδAk

kAk + kδbk kbk

 .

Beskriv de ing˚ aende storheterna och vad st¨ orningsanalysen s¨ ager (vad ”stoppas in”, vad

”kommer ut”...) (3 p)

Perturbation analysis of systems of linear equations Ax = b state that

kδxk

kxk ≤ κ(A)

1 − ^kδAk _kAk κ(A)

 kδAk

kAk + kδbk kbk

 .

Describe the parameters involved and what the per- turbation analysis tells (what is “put in”, and what

“comes out”...) (3 p)

2 LU-faktoriseringen av en matris A best˚ ar av ma- triserna P, L och U. (a) Vilka egenskaper har matriserna i faktoriseringen? (b) Hur anv¨ ands LU- faktoriseriseringen f¨ or att l¨ osa ett linj¨ art ekvationssy-

stem Ax = b? (3 p)

LU-factorization of a matrix A consists of the ma- trices P, L and U. (a) What are the properties of the matrices in the factorization? (b) How is the LU- factorization utilized when solving a system of linear

equations Ax = b? (3 p)

3 Matrisen A har QR-faktorisering

Q = 1 2









1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1









R =





2 4 −1 0 2 −1 0 0 2





Anv¨ and QR-faktoriseringen f¨ or att finna det x som l¨ oser

min x kb − Axk 2

givet att b =  7 9 2 4  ^T . (4 p)

The matrix A has QR-factorization

Q = 1 2









1 1 1 1 1 −1 1 −1 1 1 −1 −1









R =





2 4 −1 0 2 −1 0 0 2





Use this QR-factorization to find the x that solves min x kb − Axk 2

when b =  7 9 2 4  ^T . (4 p)

4 Givet datam¨ angden: Granted the data set:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

x

y

Beskriv i ord vad h¨ ander om man interpolerar med polynom, med kubiska spline. Vad kr¨ avs f¨ or att man ska kunna g¨ ora minsta-kvadrat-skattning av datat?

Vad ¨ ar l¨ ampligast att g¨ ora i denna situation? Moti-

vera! (3 p)

Motivate in words what happens when you interpo- late with polynomials, with cubic splines. What is required for a least-squares fit of the data? What is the most appropriate thing to do in this situation?

Motivate! (3 p)

2 (3)

5 (a) Approximera integralen

2

Z

0

e ^−x

dx

med en fempunkters, respektive trepunkters

Simpsons formel. (3 p)

(b) Simpsons formel har ett fel med ord- ningstal O(h ⁴ ). F¨ orb¨ attra ordningstalet p˚ a ber¨ akningen i (a) genom att anv¨ anda Richardson-extrapolation p˚ a resultaten i (a).

(2 p)

(c) Ber¨ akningen i (a) ¨ ar ett steg i algoritmen f¨ or ad- aptiv numerisk integrering, som beskrivs i kurs- boken. Hur g˚ ar algoritmen vidare, och under vilka villkor g˚ ar den vidare? (2 p)

(a) Approximate the integral

2

Z

0

e ^−x

dx

with a five point, and a three point Simpson’s

formula. (3 p)

(b) Simpson’s formula has an error of order O(h ⁴ ).

Improve the order of the calculations in (a) by utilizing Richardson extrapolation on the re-

sults in (a). (2 p)

(c) The calculations of (a) is a step of the algorithm for adaptive numerical integration, described in the course book. How does the algorithm pro- ceed, and what are the conditions for continu-

ing? (2 p)

6 Begynnelsev¨ ardesproblemet

y ⁰⁰ + t ² y ⁰ + y = t ² , y(0) = 1, y ⁰ (0) = 0 saknar analytisk l¨ osning. Beskriv hur du ber¨ aknar ett approximativt v¨ arde p˚ a y(2) med Trapetsmeto- den (Heuns metod). Du beh¨ over inte l¨ osa problemet, men ska ange de ekvationer som beh¨ ovs f¨ or att g¨ ora ett steg, samt beskriva hur man tar sig ¨ anda till

t = 2. (5 p)

The initial value problem (IVP)

y ⁰⁰ + t ² y ⁰ + y = t ² , y(0) = 1, y ⁰ (0) = 0 has no analytical solution. Describe how you calcu- late an approximation of y(2) using the Trapezoidal method (Heuns method). You do not have to sol- ve the problem, but you should state the equations required to make a step, and describe how to get all

the way to t = 2. (5 p)

7 Givet randv¨ ardesproblemet

y ⁰⁰ + t ² y ⁰ + y = t ² , y(0) = 1, y(2) = 3 Finn ett linj¨ art ekvationssystem som ger en approx- imativ l¨ osning. Diskretisera t i 0.5, 1.0, 1.5, och ap- proximera y i de punkterna genom att utnyttja finita differens-approximationer av derivatorna. Systemet

beh¨ over ej l¨ osas! (5 p)

Given the boundary value problem

y ⁰⁰ + t ² y ⁰ + y = t ² , y(0) = 1, y(2) = 3 Find a system of linear equations that gives an approximation to the solution. Discretize t in 0.5, 1.0, 1.5, and approximate y in those points, by using finite difference approximations of the deriva- tives. You do not need to solve the system! (5 p)

3 (3)