Lule˚a tekniska universitet TENTAMEN I MATEMATIK. M0018M Institutionen f¨or matematik Linj¨ar analys, 7.5hp.
Mikael Stenlund 19:e december 2008. Tid: 5h.
Hj¨alpmedel: Beta, mathematics handbook.
L¨osningar skall presenteras p˚a ett s˚adant s¨att att r¨akningar och resonemang blir l¨atta att f¨olja. M¨ark varje l¨osningsblad med namn och personnummer.
1. Ber¨akna en l¨osning till
y00+ 2y0 = f (t), y(0) = 1, y0(0) = 2, d¨ar f (t) =
(
e−2t, t≥ 2, 0, 0≤ t < 2.
(5p) 2. a) Ange intervall f¨or konvergens och divergens f¨or potensserien
X∞ n=2
(x/3)n n ln(n).
(4p) Avg¨or om f¨oljande serie ¨ar konvergent eller divergent. Motivera!
b) X∞ n=1
(−1)n+ n√ n n√
n . (1p)
3. Best¨am en begr¨ansad l¨osning till f¨oljande ekvation med hj¨alp av l¨amplig transformmetod.
d2y
dt2 − y = δ + et(H(t)− 1) + e−tH(t), t ∈ R,
d¨ar δ ¨ar Diracs delta funktion och H ¨ar Heavisidefunktionen. (5p) 4. Best¨am en allm¨an l¨osning till f¨oljande med hj¨alp av Fourierserier
d2y
dt2 + π2y = f (t), t∈ R,
d¨ar f (t) = teiπt, t∈ [−1, 1]. Tips: Anv¨and komplexa Fourierserier. (5p) 5. L˚at C vara kurvan som ¨ar sk¨arningen mellan sf¨aren x2+y2+z2 = a2 och planet x−y+z = 0. L˚at kurvan C genoml¨opas moturs sett uppifr˚an z-axelns spets. Ber¨akna kurvintegralen
Z
C
F· dr
d¨ar F = (y2, z2, x3) ¨ar ett vektorf¨alt. (5p)
6. L¨ os endast en av f¨ oljande uppgifter A, B eller C.
A a) Ber¨akna Fouriertransformen av e−|t|ei2t med hj¨alp av definitionen av Fouriertransform.
Redovisa varje steg. (3p)
b) Visa att man kan ber¨akna exakt v¨arde av Z ∞
−∞
e−|t|cos(2t) dt
med hj¨alp av den formel du h¨arledde i a). Vad blir v¨ardet? (2p)
B a) Ber¨akna distributionsderivatan av
f (t) = cos(2t)H(t)− cos(2t)H(t − π/2)
med hj¨alp av r¨akneregler f¨or distributionsderivata. F¨orenkla s˚a l˚angt m¨ojligt. (3p) b) Ber¨akna distributionsderivatan av f (t) =
(
t, −1 < t < 1
0, f¨or ¨ovrigt. , grafiskt. (2p) C a) Bevisa f¨oljande p˚ast˚aende
X∞ n=1
an konvergent =⇒ lim
n→∞an = 0
(3p) b) Ge ett exempel p˚a att omv¨andningen inte g¨aller dvs. ett exempel d¨ar
nlim→∞an = 0 och d¨ar
X∞ n=1
an ej ¨ar konvergent.
(2p)
