Självständigt arbete I, 15 hp
Bilder, laborativt material, ord
och symboler
En studie om hur olika uttrycksformer kan
användas inom arbete med multiplikation och
division
Bilder, laborativt material, ord och symboler
En studie om hur olika uttrycksformer kan användas inom arbete med multiplikation och division
Pictures, concrete materials, words and symbols
A study about how different representations can be used in the work with multiplication and division
Abstrakt
Syftet med denna studie är att undersöka hur och varför olika uttrycksformer kan användas inom matematikundervisningen i lågstadiet för att skapa förståelse och motivera alla elever. Studien genomfördes med ett lärarperspektiv och fokuserar på multiplikation och division. För att undersöka valt område användes lärarintervjuer samt observation.
Resultatet visar på att olika uttrycksformer med fördel kan användas för att öka elevers motivation samt förståelse i de fall där undervisningen individanpassats. För optimalt användande utav olika uttrycksformer framkommer även att kommunikation har en stor betydelse.
Nyckelord
Innehåll
1 Inledning ____________________________________________________________ 1 2 Syfte _______________________________________________________________ 2
2.1 Frågeställningar __________________________________________________ 2
3 Teoriavsnitt och tidigare forskning ______________________________________ 3
3.1 Teori ___________________________________________________________ 3 3.1.1 Olika uttrycksformer ___________________________________________ 3 3.1.2 Förståelse ___________________________________________________ 3 3.1.3 Motivation ___________________________________________________ 3 3.1.4 Alla elever ___________________________________________________ 3 3.1.5 Multiplikation ________________________________________________ 4 3.1.6 Division _____________________________________________________ 4 3.2 Litteraturbakgrund ________________________________________________ 4
3.2.1 Att arbeta med olika uttrycksformer för att skapa förståelse ____________ 5 3.2.2 Att använda olika uttrycksformer för att skapa motivation ______________ 6 3.2.3 Olika undervisningsmetoder _____________________________________ 7 3.2.4 Anpassning __________________________________________________ 7 4 Metod ______________________________________________________________ 9 4.1 Datainsamlingsmetoder ____________________________________________ 9 4.1.1 Internetbaserade intervjuer ______________________________________ 9 4.1.2 Observation __________________________________________________ 9 4.2 Skriftlig intervju _________________________________________________ 10 4.2.1 Urval ______________________________________________________ 10 4.2.2 Genomförande _______________________________________________ 10 4.2.3 Databearbetning _____________________________________________ 11 4.3 Observation _____________________________________________________ 11 4.3.1 Urval ______________________________________________________ 11 4.3.2 Genomförande _______________________________________________ 11 4.3.3 Databearbetning _____________________________________________ 12 4.4 Tillförlitlighet ___________________________________________________ 12 4.5 Etiska aspekter __________________________________________________ 13
5 Resultat och analys __________________________________________________ 14
5.1 Att använda olika uttrycksformer för att skapa motivation ________________ 14
5.2 Användandet av olika uttrycksformer för att skapa förståelse för multiplikation och division _______________________________________________________ 16
5.2.1 Allmänt användande av uttrycksformer ____________________________ 16 5.2.2 Multiplikation _______________________________________________ 17 5.2.3 Division ____________________________________________________ 17 5.2.4 Analys _____________________________________________________ 18 6 Diskussion __________________________________________________________ 21 6.1 Metoddiskussion _________________________________________________ 21 6.2 Resultatdiskussion _______________________________________________ 21
6.2.1 Förslag på fortsatt forskning ____________________________________ 22
6.3 Sammanfattning _________________________________________________ 22
Litteraturförteckning __________________________________________________ 24 Bilagor _______________________________________________________________ I
1 Inledning
Matematikundervisningen ska bidra till att öka elevernas intresse för ämnet samt ge tilltro till den egna förmågan (Skolverket, 2011). Under de VFU-perioder (verksamhetsförlagd utbildning) jag har haft upptäckte jag hur flera elever var motvilliga att arbeta under matematiklektionerna. Detta trots att lärarna till många av dessa elever har poängterat att eleverna tidigare uppskattat ämnet. Min uppfattning är att de har mist tilltron till sin egen förmåga, kanske på grund av att undervisningen varit för svår. Precis som Lüftenegger m.fl. (2015) uppmärksammat i sin studie, där 210 elever fick genomgå olika tester, så blir elever omotiverade och får svårt att lära sig om undervisningen inte är nivåanpassad. De elever som deltog i studien delades in i högpresterande respektive lågpresterande där olika variabler såsom uppgifternas utformning i förhållande till elevernas motivation undersöktes (Lüftenegger, Kollmayer, Bergsmann, Jöstl, Spiel, & Schober, 2015).
I sin matematikundervisning ska eleverna få arbeta med och utveckla olika uttrycksformer såsom bilder, laborativa material och symboler. Eleverna ska kunna uttrycka, beskriva och samtala om olika situationer med hjälp av de olika uttrycksformerna inom matematiken (Skolverket, 2011).
Vidare i kursplanen för matematikämnet står det att undervisningen ska skapa förutsättningar för eleven att tolka olika vardagliga matematiska situationer. De ska samt få utveckla sin förmåga att bland annat kunna formulera problem och reflektera över de strategier och modeller som de valt. De ska även ges möjlighet till utveckling av sin förmåga att värdera sitt resultat (Skolverket, 2011). För att kunna utveckla dessa förmågor måste läraren erbjuda en undervisning där eleverna inte endast får lära sig hur till exempel ett uttryck ska lösas utan även varför och vad exempelvis siffrorna och symbolerna kan stå för och vad dessa betyder. Ji-Eun (2007) skriver om hur en del elever i den klass som hon studerat har lärt sig hur division utförs. Eleverna kunde varje steg i beräkningen men förstod inte varför de gjorde som de gjorde eller vad de olika siffrorna egentligen stod för. Författaren skriver vidare om vikten av att skapa betydelse för eleverna (Ji-Eun, 2007).
Jag har intresserat mig för olika uttrycksformer inom matematiken därför kommer denna studie handla om hur dessa kan användas i undervisningen för att skapa förståelse och motivera alla elever. I mitt arbete kommer jag lägga fokus på alla elever där inkluderat de elever med fallenhet för ämnet och de elever i svårighet. Detta på grund av att jag har upplevt att dessa elever ibland missas eller inte får så mycket fokus då undervisningen i många fall planeras eller skapas för att passa majoriteten av elevernas kunskapsnivå.
Då jag tidigare upplevt att många elever tycker att det är svårare att förstå multiplikation och division än t.ex. addition har jag valt att fokusera på det. Undersökningen kommer att fokusera på matematikundervisning i lågstadiet då det är under den här tiden den grundläggande förståelsen för räknesätten skapas. Det är även i lågstadiet jag ämnar vara verksam.
2 Syfte
Syftet är att utifrån ett lärarperspektiv undersöka hur och varför olika uttrycksformer kan användas inom matematikundervisningen för att skapa förståelse och motivera alla elever. Syftet är även att ta reda på konkreta exempel vid arbete med multiplikation och division.
2.1 Frågeställningar
- Hur beskriver lärare att arbete med olika uttrycksformer kan motivera alla elever?
3 Teoriavsnitt och tidigare forskning
3.1 Teori
3.1.1 Olika uttrycksformer
Matematiska symboler, figurer, grafer, bilder samt olika konkreta material är exempel på olika uttrycksformer som elever kan använda (NCTM, 2000). Att använda sig utav grafer, matematiska symboler och uttryck, såsom olika ekvationer, har länge funnits inom undervisningssammanhang. På senare tid har undervisningen involverat fler uttrycksformer exempelvis olika digitala hjälpmedel där eleverna får använda sig av olika uttrycksformer.
3.1.2 Förståelse
Timmerman (2014) samt NCTM (2000) skriver om förståelse och hur elever måste kunna växla mellan och se sambanden mellan olika uttrycksformer inom ett visst område för att verkligen ha förståelse. De lärare som intervjuats i Timmermans studie berättar om hur de elever som har förståelse ser sambanden mellan olika uttrycksformer då de kan använda ord och bilder för att förklara och lösa olika matematiska problem. För att skapa förståelse och kunna kommunicera matematik är det väsentligt att elever får använda sig av och växla mellan olika uttrycksformer i sin undervisning (NCTM, 2000). De måste både kunna skapa och använda sig utav olika uttrycksformer för att kunna lösa och förstå olika matematiska problem. Olika uttrycksformer kan även användas för att skapa förståelse och hjälpa elever att se helheten gällande till exempel multiplikation och division. En elev som exempelvis kan måla tre grupper med fyra kvadrater, skriva 4+4+4, göra hoppen 4,8,12 samt se sambanden mellan dessa har skapat förståelse för grunden till multiplikation. Undervisningen måste således låta eleverna växla mellan olika uttrycksformer för att de ska kunna förstå ett område eller ett begrepp fullt ut (NCTM, 2000).
3.1.3 Motivation
Linder, Smart och Cribbs (2015) skriver om hur motivationen kan vara inre genom att den handlar om hur eleven ser på sin egen förmåga att lära vilket ofta är ett resultat av de prestationer som gjorts. Motivationen blir således högre hos en elev som presterar bra samtidigt som denne blir villigare att arbeta med mer utmanande uppgifter. Andra faktorer som påverkar motivationen är yttre faktorer såsom klassrumsklimat, val av arbetsmetod, t.ex. att arbeta med teknologi, uppgiftens meningsfullhet samt om eleven finner ämnet intressant (Linder, Smart, & Cribbs, 2015).
I arbetet används begreppet motivation för både inre och yttre motivation. Detta då yttre faktorer kan påverka elevens egen syn på sin förmåga och därmed även öka den inre motivationen.
3.1.4 Alla elever
Med begreppet alla avses de elever inom ordinarie klassrumsundervisning med fallenhet för matematikämnet, de elever i svårighet för matematikämnet samt de elever där emellan. Alla innebär således samtliga elever oavsett deras kunskapsnivå.
fallenhet. Eleverna klarar ofta svårare problem men de löser ofta dessa på olika sätt i jämförelse med varandra. Vissa har lättare att förklara hur de tänker. Andra har svårare att förklara då de hoppar över vissa steg i sin uträkning som anses självklara. Elever med fallenhet har ofta lättare för att se helheten i ett problem utan att missa de detaljer som finns. Detta skiljer sig från de elever som inte har fallenhet för ämnet som oftare försöker ta reda på vilket räknesätt som ska användas. Detta medför att de istället fokuserar enbart på detaljerna och därigenom missar helheten. Elever med fallenhet tenderar även att ha bra minnesförmåga (Pettersson, 2011).
Chan, Au och Tang (2013) lät i sin studie elever i svårigheter genomgå olika tester där olika delar inom matematiken såsom numeriska beräkningar och positionssystemet ingick. I studien delades eleverna in i olika grupper utifrån vilka svårigheter de var i. Dessa grupper presterade olika i de olika testerna. Detta berodde på att eleverna i studien var i matematiksvårigheter av olika anledningar. Exempelvis kan elever ha dyskalkyli vilket gör det svårt att utföra numeriska beräkningar. Alla elever som har svårt för matematikämnet behöver dock inte ha dyskalkyli utan kan vara i mer generella svårigheter. En elev i matematiksvårigheter arbetar oftast långsammare än andra elever (Chan, Au, & Tang, 2013). Elever i svårighet inom matematik kan ha bakomliggande orsaker exempelvis problem med arbetsminnet då det blir svårt för eleverna att hålla den viktiga eller väsentliga informationen i minnet. En annan orsak kan vara problem med att avkoda ord vilket medför svårigheter med att läsning och förståelse vid långa uppgifter eller beskrivningar (Hord & Newton, 2014).
3.1.5 Multiplikation
Med begreppet multiplikation avses det räknesätt där ett tal, även kallad faktor, multipliceras med en annan faktor. Resultatet kallas för produkt (NE, 2016 a). Ett exempel kan vara 3x5=15 där trean och femman är faktorerna och 15 är produkten. Multiplikation är kommutativ vilket innebär att 3x5 och 5x3 ger samma produkt. Vid beräkningar av multiplikation där första faktorn är ett heltal, kan beräkningen utföras med hjälp av upprepad addition såsom 5+5+5 vid multiplikationen 3x5 (NE, 2016 a). Prahmana och Hartono (2012) skriver om hur upprepad addition är grunden för att lära sig multiplikation. Ett annat sätt att räkna multiplikation på är med hjälp av distributiva lagen (Hedrén, 1999). 15x5 kan då 15=10+5 beräknas genom 10x5+5x5=50+25=75.
3.1.6 Division
Division är ett räknesätt där de olika delarna kallas för täljare, nämnare och kvot (NE, 2016 b). Vid divisionen 15/5=3 är 15 täljaren, fem är nämnaren och tre är kvoten. Vid arbete med heltal som täljare och nämnare framkommer ofta en rest, det vill säga att talet inte går att dividera på ett sådant sätt att kvoten blir ett heltal (NE, 2016 b). Division kan kontrolleras med multiplikation genom att använda nämnaren och kvoten som faktorer där täljaren blir produkten i multiplikationen (NE 2016 b, Sollervall 2007). Sollervall (2007) skriver vidare om hur divisioner där täljaren är ett stort tal kan räknas ut med hjälp av kort division. I kort division beräknas kvoten genom att den som dividerar fokuserar på en del i taget. Först divideras hundratalet i täljaren med nämnaren, sedan tiotalet och sist entalet.
3.2 Litteraturbakgrund
en början använda sig av olika laborativa material såsom Bas 10 block som ett exempel på en uttrycksform vid arbetet. När eleverna vande sig vid det abstrakta minskade användandet av laborativt material. Under studien skulle eleverna introduceras för att utföra uppställningar av division. Först fick eleverna samtala kring division och lösa olika divisioner i algoritmer. Vissa av eleverna visste hur de skulle göra steg för steg. När eleverna sedan skulle förklara för varandra hur de löst uppgiften förstod de inte hur de skulle förklara. Eleverna hade alltså inte förstått vad de olika delarna inom divisionen stod för eller varför de skulle finnas med. Eleverna fick då, dels tillsammans och dels enskilt, arbeta med först laborativa material och sedan bilder tillsammans med ord och symboler. Undervisningen anpassades till eleverna och deras förståelse. De fick själva anpassa innehållet eftersom de fick använda sig av laborativt material bland annat i form av Bas 10 block och sedan bilder som de själva skapade. Det var vid undervisningen av stor vikt att eleverna fick arbeta med olika uttycksformer för att skapa förståelse. När de slutligen såg sambandet mellan uttrycksformerna kunde eleverna lösa algoritmerna utan att använda sig av det laborativa materialet då de ändå kunde visualisera det. Eleverna hade här i enlighet med forskarens tolkning av Vygoskys teori internaliserat kunskapen om division (Ji-Eun, 2007).
3.2.1 Att arbeta med olika uttrycksformer för att skapa förståelse
En del elever, framför allt elever i svårigheter, har svårt att förstå vad multiplikation innebär. Zhang, Xin, Harris, Ding (2014) skriver om hur vissa elever adderar talen istället eller lägger samman talen såsom 2x3=23. Eleverna kan lära sig olika strategier som att göra hopp 6,12,18 och så vidare eller att räkna t.ex. fingrar. Genom att låta eleverna arbeta med olika uttrycksformer däribland laborativt material kan de lättare få förståelse för multiplikation och lära sig olika strategier.
Genom att arbeta med olika uttrycksformer kan elever få hjälp med att skapa förståelse för abstrakta symboluttryck samt för att förstå hur olika uppgifter/problem kan lösas. Undervisning som innefattar olika yttre uttrycksformer såsom bilder, tabeller och ord kan kommuniceras mellan personer och därigenom förbättra elevernas förståelse. På så sätt kan de senare skapa inre uttrycksformer för abstrakta uttryck (Pierce, Stacey, Wander, & Ball, 2011). Yttre uttrycksformer handlar om det som finns i verkligheten medan de inre är de som finns i tanken (Hwang, Chen, Dung, & Yang, 2007). Då en elev inte ännu har internaliserat en viss kunskap kan de olika uttrycksformerna fungera som platshållare i elevens tankegång undertiden den löser problemet (NCTM, 2000). I Timmermans (2014) studie ansåg 10 av 16 lärare att det var av stor vikt att använda sig utav olika uttrycksformer och framför allt att arbeta med att eleverna måste se sambandet mellan dessa uttrycksformer. Lärarna ansåg bl.a. att olika laborativa material var väldigt användbart för att lära eleverna att göra kopplingar till det mer abstrakta symbolspråket. En annan stor fördel som framkom i studien var att lärarna fick en tydligare inblick i elevernas tankesätt och förståelse för matematiken jämfört med om eleverna endast ger ett svar (Timmerman, 2014). Genom att använda sig utav olika uttrycksformer kan lärare få en förståelse för hur elever tänker, vad de förstår samt eventuella missförstånd eller kunskapsbrister (NCTM, 2000).
skapar tillfällen för klassen att tillsammans med läraren skapa en koppling mellan de olika uttrycksformerna (Timmerman, 2014).
Lärare måste även skapa ett klimat som uppmanar till att använda olika uttrycksformer. Både lärare och elever måste uppleva att det är fullt acceptabelt. Användandet av olika uttrycksformer kan hjälpa elever att dels komma ihåg vad de gjort men även för att kunna förklara och kommunicera kring sin lösning (NCTM, 2000).
3.2.2 Att använda olika uttrycksformer för att skapa motivation
Det går att arbeta med olika uttrycksformer för att skapa ny förståelse eller för att skapa ytterligare förståelse för tidigare kända begrepp och kunskap. Att arbeta med flera uttrycksformer i de fall där eleverna upplever att de arbetar med samma uppgift flera gånger om kan dock minska motivationen (Pierce, Stacey, Wander, & Ball, 2011). De uppgifter som elever får arbeta med måste, utöver att vara nivåanpassade, ge möjlighet till att lära sig nya saker för att eleverna ska känna sig motiverade (Lüftenegger, Kollmayer, Bergsmann, Jöstl, Spiel, & Schober, 2015). Wester (2015) skriver att vissa elever anser att de lär sig bäst genom att arbeta med flera tal, t.ex. i matteboken då arbete med flera olika uttrycksformer och långa genomgångar i vissa fall kan ses som tidkrävande. Eleverna i det här fallet ansåg att förståelse innebär att kunna göra en beräkning, inte att förstå varför de ska göra på ett visst sätt (Wester, 2015).
Vid arbete med att skapa egna problem kan eleverna välja områden som intresserar dem samt själva lägga undervisningen på en lagom nivå. Genom att eleverna får vara med och styra sin undervisning kan deras motivation öka (Matsko & Thomas, 2014).
Amit och Gilat (2014) genomförde en studie där elever fick arbeta med verklighetsanknutna problem som gick att lösa på olika sätt. Genom att arbeta med uppgifter som var kopplade till verkligheten fick eleverna en verklighetsanknytning och deras motivation ökade. Eleverna tyckte även ofta att det var roligt att arbeta med problem där det fanns olika lösningar. Vissa elever kunde även arbeta med svårare problem än vanligt då problemen hade flera lösningar samt var verklighetsanknutna. En fördel med problem med flera lösningar är att nivån oftast kan anpassas efter olika individer då de kan finna olika lösningar som är anpassade efter sin egen kunskapsnivå. Eleverna i studien upplevde att det inte kändes jobbigt att arbeta med problemen då de kunde lösa problemen som de skulle gjort i verkligheten utan att tänka att de endast jobbade med matematik (Amit & Gilat, 2014). Arbete med ämnen som är meningsfulla för eleverna ökar deras motivation. Det är en fördel om eleverna får sin undervisning kopplad till verkligheten och att de t.ex. kan få se och arbeta med föremål från sin egen vardag för att öka motivationen. Det hjälper även elevernas förståelse kring varför de ska arbeta med ämnet i skolan om de ser en koppling till att det som görs inom matematiken kommer till användning i deras vardag bl.a. när de handlar eller liknande (Linder, Smart, & Cribbs, 2015).
3.2.3 Olika undervisningsmetoder
Genom att låta elever använda sig av olika uttrycksformer för att utföra olika beräkningar och förklara sina svar, t.ex. på en multimedial Whiteboard, kan deras förståelse för olika problem och problemlösning öka. Som tidigare nämnt kan elever uppleva att det är svårt att förklara hur de gjort en uträkning. Genom att använda sig av multimedial Whiteboard kan elever exempelvis skriva ett uttryck såsom 6x7, måla bilder till, såsom sju bananer i en hög och kopiera dessa för att få sex högar. Eleverna kan förklara samt visa för varandra hur de gjort sin uträkning och hitta nya kreativa lösningar samtidigt som läraren får tillfällen att upptäcka eventuella missförstånd. De lösningar eller de arbeten som gjorts kan sparas och tas fram vid ett senare tillfälle. (Hwang, Chen, Dung, & Yang, 2007).
Ett annat sätt att arbeta med olika uttrycksformer är att arbeta med digitalt berättande eller sagor. Vid arbete med digitalt berättande kan olika uttrycksformer framkomma såsom ord, verbalt och visuellt, samt bilder och arbetet går att göra ämnesövergripande. Eleverna får en kontext som gör att matematiken blir mer verklighetsanknuten jämfört med endast symbolspråket (Cotic, Istenic Starcis, Solomonides, & Volk, 2016).
Att låta eleverna själva skriva problem där de använder sig av olika uttrycksformer såsom ord och bilder är ett exempel på hur undervisning med olika uttrycksformer kan utformas. Ytterliggare ett sätt är att lösa problem där eleverna tillsammans med varandra och läraren gör bilder, pratar om vad som egentligen står i problemet och arbetar med laborativt material. Detta ger eleverna en möjliget att fundera på hur de själva tänker samt att sätta sig in i hur andra tänker kring t.ex. olika lösningar (Timmerman, 2014).
Wester (2015) skriver om hur en lärare använder sig utav Youtube för att lägga ut olika filmer på förklaringar kring olika metoder som eleverna själva kan få titta på flera gånger om de skulle behöva eller har glömt bort något.
3.2.4 Anpassning
Wester (2015) kom, i sin studie med elever och lärare, fram till att eleverna själva ansåg att det var av stor nytta att använda laborativt material vid introduktioner av nya områden eller nya arbetssätt. Detta kunde hjälpa till att öka förståelsen och se vad något betyder. Eleverna upplevde dock att det var onödigt och tidskrävande att fortsätta använda laborativt material efter introduktionen. Att fortsätta med laborativt material efter en ny genomgång är något för de som vill eller upplever sig behöva men inget för alla (Wester, 2015).
Matsko och Thomas (2014) har gjort en studie på gymnasienivå med elever i fallenhet där eleverna fick skapa och skriva ner, i form av ord och meningar, egna problem. Att skapa egna problem skapade möjligheter för eleverna att styra sin egen undervisning och inlärning. Eleverna upplevde att det var en större utmaning samt mer lärorikt att skapa egna problem snarare än att lösa redan befintliga problem. Eleverna kunde välja att skapa problem inom områden de själva hade svårare för eller upplevde att de inte arbetat tillräckligt mycket med (Matsko & Thomas, 2014).
4 Metod
4.1 Datainsamlingsmetoder
Under studien användes två olika datainsamlingsmetoder, skriftlig intervju över mail samt observation där löpande protokoll fördes. Jag valde att göra en hermeneutisk studie där jag samlade in kvalitativ data gällande lärares uppfattningar kring de olika frågeställningarna. Observationen genomfördes för att samla in ytterligare kvalitativ data för att undersöka hur olika uttrycksformer kan användas i praktiken. Hermeneutiken handlar, som Allwood och Erikson (2010) beskriver, om tolkningar. I denna studie intresserar jag mig för lärares tolkningar gällande användandet av olika uttrycksformer.
Den skriftliga intervjun var en internetbaserad intervju som till viss del liknade en enkät. Intervjun användes för att söka svar på samtliga frågeställningar medan observationen användes för att få svar på endast den sista frågeställningen gällande hur olika uttrycksformer kan användas för att skapa förståelse inom multiplikation och division.
4.1.1 Internetbaserade intervjuer
Internetbaserade intervjuer kan göras ansikte- mot ansikte genom att använda t.ex. Skype men intervjuerna kan även vara utan någon form av visuell kontakt mellan den som intervjuar och den/de som blir intervjuade. Intervjuer kan genomföras i form av frågor som skickas digitalt och där den intervjuade svarar skriftligt. En aspekt som forskaren bör ha i åtanke vid internetbaserade intervjuer över t.ex. mail är att den som intervjuas har längre tid på sig att svara på frågorna. Det sker alltså en viss fördröjning i tid jämförelse med en intervju som sker ansikte mot ansikte. Detta kan ses som en fördel eller nackdel beroende på vad det är för typ av fråga (Denscombe, 2016).
En stor fördel med en intervju över mail är att den som intervjuar får svaren skriftligt och behöver inte transkribera intervjun vilket tar bort risken för feltranskriberingar. En annan aspekt som kan vara både en fördel och en nackdel beroende på den som intervjuas är avståndet. Den som intervjuas kan uppleva det jobbigare att skriva ner sina svar och därför inte utveckla svaren lika mycket som de skulle göra muntligt. Det kan istället vara så att den som blir intervjuad kan tycka att det är jobbigt att se den som intervjuar vilket gör avståndet till en fördel. Det kan dock vara svårare att uppmärksamma om svaren är uppriktiga vid en intervju över mail (Denscombe, 2016). Johansson och Svedner (2010) skriver även om en annan aspekt som är viktigt att vara medveten om för att minska felkällorna vid intervjuer. Forskaren ska noggrant ha tänkt igenom frågorna och dess utformning och funderat på den så kallade förväntningseffekten. Förväntningseffekten innebär att den som blir intervjuad försöker svara det den tror att den som intervjuar vill ha för svar (Johansson & Svedner, 2010).
4.1.2 Observation
Observationer kan göras på flera olika sätt. Den som ska observera kan i förväg göra observationsschema men denne kan även föra ett löpande protokoll. Vid en observation med löpande protokoll är det en fördel att i förväg ha funderat på, utifrån sina frågeställningar, vad som ska observeras. Observatören ska före observationen ha förberett frågor som denne ska titta efter/fokusera på vid observationen. När dessa frågor är formulerade och observationen har börjat skriver observatören ett löpande protokoll vid de stunder/tillfällen det som ska observeras sker i klassrummet. (Johansson & Svedner, 2010). Det är viktigt att skriva ner det som händer under en observation så snart som är möjligt. Vid de tillfällen det inte går att skriva undertiden ska detta göras direkt efteråt men är det möjligt att skriva undertiden ska denne göra det då det kan vara lätt att glömma viktiga detaljer (Denscombe, 2016).
En sak som observatören bör ha i åtanke vid löpande protokoll är att inte få med sina värderingar i protokollet utan att det som skrivs ska vara sakligt och direkt observerbart (Johansson & Svedner, 2010). Att skriva att någon t.ex. blir arg eller ledsen är en tolkning. Observatören ska istället skriva vad denne person gjorde, t.ex. kasta något, tårar började rinna, höjde tonläget osv.
4.2 Skriftlig intervju
4.2.1 Urval
Jag har valt att använda mig utav ett slumpmässigt urval. Utifrån en lista på de olika grundskolorna i Sverige från Skolverkets hemsida, har jag lottat fram skolor från olika kommuner där jag tillfrågat lärare om de ville delta i en skriftlig intervju över mail. Denscombe (2016) skriver om hur det måste finnas en känd population, en urvalsram samt en slumpmässig urvalsprocedur för att kunna göra ett slumpmässigt urval. Urvalsproceduren blev under det här arbetet att skriva ner de olika kommunerna på lappar för att sedan dra en kommun. Sedan skrevs skolorna inom respektive kommun ner och på samma vis valdes skolorna. Dock så begränsade jag urvalet till viss del då jag valde att endast välja en skola per framlottad kommun. Slumpmässigt urval handlar om tillfälligheten och fungerar som lotteri där varje person har lika stor chans att väljas (Denscombe, 2016)
4.2.1.1 Motivering till urval
Jag valde att lotta fram olika kommuner och sedan en skola från respektive kommun för att jag ville intervjua lärare som jobbar på skolor spritt runt om i landet. Detta för att resultatet skulle bli så generaliserbart som möjligt utifrån de tidsramar som studien hade.
4.2.2 Genomförande
Efter att urvalet gjorts sökte jag på de olika kommunerna och därigenom hittade jag de skolor jag valt. På de skolor där lärarnas mailadresser fanns på webben mailade jag direkt till aktuella lärare. På de sidor där lärarnas mail inte stod utskrivet valde jag att istället kontakta aktuell rektor och bad denne att vidarebefordra mitt mail till de aktuella lärarna.
Intervjufrågorna bestod utav tre inledandefrågor för att få den som blev intervjuad mer avslappnad, fyra innehållsfrågor för att få svar på mina frågeställningar samt en avslutande fråga om lärarna skulle ville lägga till någonting mer (se Bilaga B – Intervjuguide).
4.2.3 Databearbetning
Den data jag sedan fick in valde jag att analysera genom att hitta olika kategorier som svarade på de olika frågeställningarna. Jag har använt mig utav open coding vilket innebär att forskaren letar efter gemensamma kategorier utifrån den data som insamlats (Kvale & Brinkmann, 2015). Kategorierna som framkom kring den första frågeställningen var Individanpassning och Skapa förståelse. Vid analysen av datan kopplad till den tredje frågeställningen framkom kategorierna Allmänt användande, Multiplikation samt Division.
4.3 Observation
4.3.1 Urval
Jag valde att kontakta min handledare från en tidigare VFU-plats för att genomföra min observation och gjorde därmed ett subjektivt urval. Denscombe (2016) definierar ett subjektivt urval som ett urval där forskaren har ett speciellt syfte att välja ut just en eller några speciella personer. Forskaren kan t.ex. ha viss kännedom om dessa personer och tror att dessa skulle passa bra, t.ex. ge värdefull information till studien.
Klassen som observerades var en trea med 19 elever. I klassen fanns det elever med väldigt blandad kunskapsnivå inom ämnet. Under observationen var en elev sjuk och sex elever deltog inte i undervisningen i klassrummet. Detta medförde att endast 12 elever deltog i undervisningssituationen som observerades.
4.3.1.1 Motivering till urval
Läraren till den klass som observerats är inte en av de lärare som intervjuats. Trots detta gjordes bedömningen att det var en stor fördel att observera den här klassen. Jag valde att observera i en klass där läraren och eleverna redan kände sig bekanta med mig. Detta för att fokus inte skulle ligga på att en ny person var med i klassrummet eller att läraren eller eleverna skulle göra sig till inför en ny person. Jag hade kunnat observera hos en av de lärare som deltog i intervjun, då hade jag däremot kommit som ny till klassen och det är troligt att mycket fokus hade hamnat på mig. Det kan även vara så att vissa elever skulle ha kunnat känna sig obekväma när jag som ny skulle lyssna och titta när de arbetar.
Ytterligare en anledning till att jag valde den här klassen är elevernas spridning kunskapsmässigt inom matematiken. I klassen finns elever i svårighet, med fallenhet och samt elever däremellan.
4.3.2 Genomförande
godkänna att jag skulle komma och observera samt information kring observationen (se Bilaga C – Missivbrev observation). I mailet erbjöd jag två veckor som skulle fungera för mig att komma och tillsammans med läraren sattes sedan ett datum och klockslag. Under observationen fokuserade jag på frågorna ”Vilka uttrycksformer används?” och ”Hur används dessa uttrycksformer för att skapa förståelse?” Jag skrev under observationen ett löpande protokoll med dessa frågor i fokus. Andra samtal i klassrummet noterades inte då detta inte var relevant för studien. Under genomgången satt jag i en soffa i klassrummet och antecknade och under pararbetet gick jag runt och lyssnade på eleverna.
4.3.3 Databearbetning
Den data jag fick in bearbetades sedan genom att jag sammanfattade det som observerats vilket svarar på just sista frågeställningen. Denna sammanfattning delades sedan till viss del upp i de kategorier som framkom vid intervjuerna.
4.4 Tillförlitlighet
Genom att jag använde mig utav skriftlig intervju över mail fick de som intervjuades mer tid på sig att besvara frågorna och kunde därför få tid på sig att tänka igenom svaren jämfört med en personlig intervju. Frågorna som ställts i intervjun var formulerade på ett sätt så att de tydligt var sammankopplade med frågeställningarna så att det som undersökts faktiskt svarar på det som skulle undersökas. Allwood och Erikson (2010) skriver om huruvida en uppsats eller en studie hänger samman påverkar studiens validitet. En studie som har undersökt något som inte svarar på studiens frågeställningar eller där de begrepp som ska undersökas inte egentligen har undersökts har låg validitet.
Johansson och Svedner (2010) skriver om reliabilitet som innebär hur tillförlitlig rapporten är och gällande intervjuer kan tillförlitligheten påverkas negativt om olika personer intervjuar eller om de som intervjuas får olika frågor. Även miljön där intervjuerna sker kan påverka svaren och därmed tillförlitligheten (Johansson & Svedner, 2010). I den här studien är det jag själv som har formulerat frågorna vilka har varit ställda på samma sätt till alla. En nackdel skulle dock kunna vara att de som blivit intervjuade kan ha varit i en miljö där de känt sig stressade och därför svarat mer kortfattat. Dock hade exempelvis en muntlig intervju kunnat ha samma effekt då det kan ha hänt saker runt om som skapat stress eller om den som blivit intervjuad skulle känna sig stressade över min närvaro.
Då intervjuer över mail innebär svar i textform behöver, precis som Denscombe (2016) skriver, inte intervjuerna transkriberas vilket tar bort risken för feltranskriberingar som påverkar resultatet.
4.5 Etiska aspekter
I mitt arbete har jag tagit hänsyn till de etiska aspekter som återges i Vetenskapsrådet (2002). I mitt missivbrev har lärarna fått information om vad studien handlar om samt att deltagande i undersökningen är helt frivilligt och kan avbrytas om de skulle ändra sig. Därigenom har jag tagit hänsyn till informationskravet samt samtyckeskravet. Lärarna har även fått information om att deras deltagande kommer att hanteras konfidentiellt, inga namn finns med i arbetet i enlighet med konfidentialitetskravet. Jag har även tagit hänsyn till nyttjande kravet genom att den data som inkommit använts endast i den här studien.
5 Resultat och analys
Resultat och analys är uppdelat utifrån varje frågeställning. Från intervjuerna kunde olika underkategorier skapas. Under sista frågeställningen finns även resultat och analys från observationen.
De fyra lärare som intervjuades namnges nedan i form av en bokstav från A-D.
5.1 Att använda olika uttrycksformer för att skapa motivation
5.1.1 Individanpassning
Samtliga lärare anser att arbete med olika uttrycksformer såsom laborativt material, bild och ord på många olika sätt skapar en möjlighet att individanpassa undervisningen.
”Barn lär sig på olika sätt och behöver olika mycket stöttning i både praktik och teori, med förklaringar, bilder och laborativt
material.”
(Lärare A)
Lärarna anser att genom att anpassa undervisningen så att alla elever inte behöver arbeta på samma sätt utan kan finna det sätt som passar bäst för sig själva individanpassas undervisningen. Det är viktigt som lärare att använda sig utav flera olika uttrycksformer i sitt arbete och vid genomgångar för att nå alla elever. När eleverna sedan har förståelse för ett område eller en metod kan denne arbeta mindre med t.ex. laborativt material och mer i t.ex. matematikbok för att befästa dessa kunskaper.
”Elever tillägnar sig kunskap på olika sätt och därför måste man använda sig utav olika uttrycksformer för att kunna nå
eleverna.”
(Lärare B)
Hos tre av lärarna framkommer hur individanpassningen kan bli problematisk i de fall uttrycksformer används på samma sätt för alla, bland annat vid längre genomgångar.
”En del barn, framförallt de som har lätt för sig i matematik kan tycka att genomgångar och övningar blir för mycket och för
tråkigt. De bjuder inte på en tillräckligt stor utmaning.”
(Lärare A)
Läraren fortsätter med att förklara vikten av att som lärare kunna tillmötesgå sina olika elever trots kunskapsnivå. Vissa elever kan således finna det trist och tidskrävande att sitta och lyssna på långa genomgångar eller göra vissa övningar som inte är anpassade för deras nivå. Att tillmötesgå de olika nivåerna eleverna befinner sig på är en utmaning för respektive lärare. En lärare poängterar att det måste finnas ett bakomliggande syfte och även om läraren använder sig utav olika exempel och illustrationer vid genomgångar menar läraren att denne varierar sig mellan de olika individerna.
”Det är sällan jag använder samma uttrycksform till alla elever”.
Vissa elever får under lektionerna arbeta med t.ex. pengar eller centikuber medan andra inte gör det. Detta för att undervisningen ska bli individanpassad och inte sänka vissa elevers motivation.
Lärare C berättar även om hur användandet av olika uttrycksformer blir ett sätt att göra så att undervisningen inte blir enformig och på så sätt öka motivationen hos de elever som kanske annars skulle kunna vara svåra att få med.
5.1.2 Skapa förståelse
”Genom förståelse kommer motivation lättare”
(Lärare B)
Samtliga lärare anser att det är viktigt att arbeta med olika uttrycksformer för att eleverna verkligen ska få en djupare förståelse för den matematik de arbetar med. Elever lär sig på olika sätt och behöver därför få förklaringar samt arbeta på olika sätt.
”Matte kan bli abstrakt för många elever och de behöver då ”se” och ”känna” matten och talen.”
(Lärare B)
Tre av lärarna beskriver hur de arbetar på olika sätt för att med hjälp av eleverna i klassen öka deras förståelse. Lärarna låter eleverna få berätta för varandra på olika sätt med hjälp av ord och bilder för att öka varandras förståelser och därigenom även motivationen.
5.1.3 Analys
stöd, t.ex. med hjälp av laborativt material, får det medan en annan kanske inte behöver samma uttrycksformer som stöd. Att hitta ett sätt att lägga upp undervisningen där den individanpassas på ett sätt så att alla elever motiveras, oavsett deras behov av struktur eller olika uttrycksformer, ses därigenom som en stor utmaning av lärarna.
5.2 Användandet av olika uttrycksformer för att skapa förståelse för
multiplikation och division
5.2.1 Allmänt användande av uttrycksformer
Lärare A och Lärare D låter eleverna vara delaktiga under genomgångarna genom att de får komma fram och hjälpa till med att skapa samt lösa problem. Därigenom menar lärarna att eleverna får lära av varandra.
Lärare A använder sig mycket av Smartboarden i sin undervisning. Där kan olika problem under genomgångarna lösas med hjälp av laborativa exempel och bilder. Eleverna får ofta komma fram och visa hur de tänker med hjälp av att rita samt förklara med matematikspråk. Eleverna har fått lära sig att använda handstrategier (5 punkter – 5 fingrar) när de arbetat med problemlösning samt textbaserade uppgifter.
”1. Läs hela frågan 2. Förstå frågan 3. Rita enkelt 4. Skriv på mattespråk 5. Är svaret rimligt”
(Lärare A)
Eleverna får genom att fundera på/arbeta med de olika punkterna arbeta med flera olika uttrycksformer. Även läraren som observerats använder sig utav punkter/steg som eleverna ska använda sig av där olika uttrycksformer kommer in.
Stegen är: 1. Vad vet vi? 2. Vad är frågan? 3. Rita en bild. 4. Välj räknesätt.
5. Skriv uttrycket och räkna. 6. Är svaret rimligt?
7. Skriv svar. 8. Skriv enhet.
Lärare D beskriver hur denne arbetar med klassens arbetsbok inom matematik tillsammans med genomgångar, i grupp och helklass, blandat med att denne använder sig utav problemlösningar en lektion per vecka. Under den lektionen skapar lärare eller elever problemlösningsuppgifter som de sen får arbeta med på olika sätt. Problemuppgiften skrivs på tavlan och löses i slutet gemensamt. Eleverna får här visa och berätta hur de tänkt med hjälp utav språk och bild. Läraren poängterar även vikten av kommunikation för att kunna öka elevernas förståelse och lära av varandra. De arbetar även tillsammans med laborativa material för att undervisningen ska bli så konkret som möjligt.
”Att bygga torn av olika slag med hjälp av ritningar och sedan göra uträkningar brukar vara populärt.”
Två av lärarna som intervjuats använder sig även utav spel och/eller dator i sin undervisning för att eleverna ska få stöta på olika uttrycksformer och få befästa sin kunskap.
5.2.2 Multiplikation
Samtliga lärare som intervjuats använder sig mycket av laborativt material framför allt i början för att skapa förståelse för multiplikation.
”Genom att exempelvis visa på sambandet mellan addition och multiplikation går man från det kända mot det okända. Detta
görs enkelt genom laborativt material och bilder.”
(Lärare A)
Dessa lärare menar på att genom att använda sig utav laborativt material såsom centikuber får eleverna en förståelse för vad multiplikation innebär och hur det är uppbyggt. Talet som ska beräknas blir på så sätt mer konkret och lättare för eleverna att se. För att sedan befästa kunskapen arbetar Lärare C med datorer och spel där eleverna bland annat får öva på multiplikationstabellen.
5.2.3 Division
Även vid arbete med division använder sig alla de intervjuade lärarna utav framförallt laborativt material och ser det som en stor fördel för att kunna visa på och konkretisera innebörden för eleverna. En lärare använder sig även här mycket av problemlösning för att skapa förståelse.
”Tex. 12/3: ta 12 centikuber och dela upp i tre högar, hur många blir det i varje hög? Jag tror att många elever behöver ha konkret material när de arbetar med division för att se hur talet
är uppbyggt.”
(Lärare B)
När eleverna sedan har skapat förståelse för begreppen eller räknesättet menar dessa lärare att eleverna måste de få befästa sin kunskap. Alla behöver inte arbeta lika mycket med laborativa material eller bilder för att få förståelse. Under observationen arbetar vissa elever med fler uttrycksformer än andra för att förstå och lösa uppgifterna.
Observationen börjar med att läraren går igenom problemet: ”Det finns 16 äpplen. Hur många påsar behöver du när det får plats 3 äpplen i en påse? Hur många äpplen blir det över?” En elev får högt läsa problemet och därefter går läraren med hjälp utav eleverna igenom de åtta stegen som klassen arbetar med vid problemlösning. Vid steg tre ritar läraren 16 äpplen då en elev sa att det var det som skulle ritas. Vid femte steget skriver läraren utifrån elevernas svar 16/3 därefter får en annan elev komma fram och rita påsar runt äpplena. Läraren frågar då eleverna:
”Ser ni hur många påsar vi får nu? Hur många äpplen blev över, fick inte plats?”
(Lärare från observation)
Eleverna får därefter arbeta i par med ett arbetsblad med olika problemlösningsuppgifter där de får använda sig av de olika stegen som tidigare gicks igenom. På vissa uppgifter finns det en ruta för att rita en bild i medan vissa endast innehåller en rad för uträkning och en för svar. Ett par börjar jobba med en uppgift från arbetsbladet som lyder: ”Bagaren bakar 48 tårtor. Hur många askar behövs när det ska vara 8 tårtor i varje ask?”
Elev 1: Det får inte plats 8 tårtor i en ask! Elev 2 : 8..16…
Elev 2 skriver endast svaret vid den plats som är avsedd för svar innan denne skriver hela uttrycket och visar hur den utfört beräkningen.
Elev 2: Jag måste bara skriva svaret först, så jag inte glömmer. Elev 1: Men vänta, hur skriver man delat med tecknet?
Elev 2: Man skriver 48 streck 8 under. (visar undertiden)
Vid nästa uppgift där fyra barn ska dela på 36 vindruvor försöker samma elever att på samma sätt, med hjälp av hopp, lösa uppgiften. Eleverna börjar med att göra hopp i en slumpmässigt vald tabell och fortsätter tills de hittar en som involverar talet 36. Eleverna kommer fram till att de får nio vindruvor var men kan inte förklara sitt svar. Ett annat par sitter och klurar på en uppgift som lyder: ”Det finns 30 kex. Isa lägger 7 kex i varje påse. Hur många kex får Isa när hon får de kex som är över?” En av eleverna börjar här självmant att måla streck, utan att uppgiften i sig uppmanar till det. Varje streck representerar enligt eleven kexen. Sedan drar eleven ett långt streck tvärsöver de andra, sju åt gången för att markera de kex som läggs i en påse. Eleven försöker undertiden förklara för den som denne arbetar med vad denne målar och de kommer tillsammans fram till att Isa får två kex då det är två streck kvar som inte har ett streck över sig.
Lektionen avslutas med att läraren samlar eleverna och förklarar att denne hade hoppats på att något elevpar skulle få komma fram och förklara samt visa sin lösning för de andra men att detta inte hinns med. Sedan förklarar läraren varför det är bra att jobba tillsammans med uppgifter i par.
”2 är starkare än 1. En kanske kan hjälpa vid ett tillfälle, en annan gång är det den andra som har en superidé”
(Lärare från observation)
5.2.4 Analys
arbeta med uppgifter som de upplever är verklighetsanknutna. Eleven i det här fallet har så stort fokus på att dessa tårtor inte får plats i en ask att denne inte uppmärksammar sin klasskamrats uträkning. Eleven reagerar först när den ser att klasskompisen skriver svar. Lärarna upplever att eleverna lättare förstår det som de arbetar med genom att de kan få se och uppleva talet t.ex. genom kuber eller annat laborativt material. Lärarna hjälper således även till att anpassa undervisningen för de elever som av olika anledningar tycker det är svårt. En elev som t.ex. har svårt med att hålla den väsentliga informationen i arbetsminnet kan få stor nytta av användandet utav laborativt material (Hord & Newton, 2014).
En lärare ger exempel på hur denne på ett tydligt sätt skapar förståelse för division med hjälp av talet 12/3 samt laborativt material. Eleverna får både hjälp med att konkretisera det abstrakta symbolspråket samt se vad division faktiskt innebär. Genom att använda laborativt material kan eleverna få hjälp med att förstå vad täljaren och nämnaren kan stå för och vad det betyder att dividera. Eleverna får hjälp med att förstå varför de ska göra på ett visst sätt istället för att endast lära sig hur som vissa elever i Ji-Euns (2007) studie hade gjort till en början.
En annan lärare visar på hur denne hjälper eleverna att förstå sambandet mellan addition och multiplikation med hjälp av laborativt material och bilder. Att t.ex. visa eleverna att tre högar med tre klossar eller grodor i varje går att beräkna genom 3+3+3 eller 3x3 blir således ett väldigt tydligt sätt för eleverna att lära sig innebörden av multiplikation. En elev som kan förstå och använda sig utav upprepad addition har förståelse för grunden till multiplikation (NCTM, 2000). Genom att lära sig grunden för multiplikation kan således de missuppfattningar vissa elever kan ha, som Zang m.fl. (2014) skriver om, redas ut. Eleverna kan bli hjälpta till att se att 2x5 inte är 7 eller 25 utan att det är detsamma som 5+5. Läraren som observerades visar på sambandet mellan multiplikation och division genom att denne förklarar hur multiplikation kan användas för att kontrollera divisionen.
Timmerman (2014) menar att det är viktigt att eleverna och läraren tillsammans skapar förstålse genom att kommunicera så eleverna ser sambanden mellan de olika uttrycksformerna.
Läraren i observationen var tydlig med att förmedla till eleverna att det är positivt att sammarbeta och att prata med varandra. Utformningen av undervisningen uppmanade hela tiden eleverna till att kommunicera och förklara hur de tänkt med hjälp av ord och bilder. Både lärarna som intervjuades samt Timmerman (2014), NCTM (2000) och Ji-Eun (2007) poängterar hur väsentlig kommunikationen är för att skapa förståelse vid arbete med olika uttrycksformer inom matematik. Genom att eleverna i klassen som observerades, såsom i det elevparet som ritade bilder vid uppgiften med kex, samtalar med varandra kan de hjälpa varandra att förstå och se sambanden mellan de olika uttrycksformerna. Eleven som målade streck hjälpte således till att konkretisera uppgiften och lösningen för den andra eleven och därigenom hjälpte till att öka dennes förståelse.
Första elevparet har en metod att använda men förstår inte hur de ska använda den. De använder sig av en metod som baseras på att göra hopp i multiplikationstabellen och visar således viss förståelse för sambandet mellan multiplikation och division. Då det var fyra barn skulle eleverna direkt börjat med fyrans tabell för att se hur många vindruvor varje barn fått när de använt/delat ut alla. Eleverna förstår således inte varför de ska göra vissa hopp. Skulle eleverna haft full förståelse för sambandet mellan de olika räknesätten skulle de lättare se att ena faktorn i multiplikationen skulle vara densamma som nämnaren i divisionen, alltså fyra. I uppgiften får eleverna reda på täljaren och nämnaren, 36/4, och ska ta reda på kvoten. Med hjälp av multiplikation, i enlighet med NE (2016 b) skulle de kunna arbeta med 4 x okänd faktor = 36, alltså fyra multiplicerat med något ger produkten 36. I det här fallet skulle det kanske varit till hjälp för dem att rita en bild eller använda laborativt material som gör uppgiften konkretare. Genom att arbeta med olika uttrycksformer kan eleverna lättare få förståelse för hur olika problem kan lösas (Pierce, Stacey, Wander, & Ball, 2011).
Ytterligare en intressant punkt är att endast en lärare berättar om hur eleverna får vara med och skapa egna problem. Att skapa egna problem menar Matsko och Thomas (2014) inte bara är motivationshöjande utan ett sätt för eleverna att själva få styra nivån så att de blir utmanade samtidigt som det inte blir för svårt.
6 Diskussion
6.1 Metoddiskussion
Studien har hög validitet då den data som samlats in och analyserats svarar på det syfte och de frågeställningar som studien har. Intervjufrågorna var formulerade på ett sätt så det som skulle undersökas var det som undersöktes. Det resultat som framkom svarar på de frågeställningar som ställts.
Syftet med studien var att undersöka hur och varför olika uttrycksformer kan användas inom matematikundervisning för att skapa förståelse och motivation hos alla elever med ett fokus på multiplikation och division. Den del av syftet gällande varför olika uttrycksformer används besvarades genom lärarnas svar kring användandet av uttrycksformer för att skapa motivation. Frågorna från intervjuerna berörde även hur de kan använda sig utav olika uttrycksformer i sin undervisning för att skapa förståelse för multiplikation och division. Detta resultat besvarade den del av syftet som gäller hur uttrycksformerna används. Lärarna som intervjuades la stort fokus på det mer generella eller allmänna användandet av uttrycksformerna i sin undervisning. Dessa exempel inkluderar användandet av multiplikation och division även om det inte är specifika exempel som endast används vid dessa räknesätt. Observationen användes för att ge ytterligare och mer specifika exempel på hur olika uttrycksformer kan användas inom multiplikation och division.
Ingen av de lärare som intervjuats observerades. Hade det varit fallet så hade det gått att bekräfta att det som sägs i intervjun är hur läraren arbetar i verkligheten. Dock är inte syftet med studien att undersöka hur lärare arbetar med olika uttrycksformer utan hur lärare kan arbeta med olika uttrycksformer. Med detta i åtanke samt att klassen som observerades valdes för tidigare nämnda anledningar valde jag att inte observera någon av de som deltagit i intervjun.
Endast fyra lärare intervjuades och en observation utfördes. Resultatet visar på några lärares erfarenheter och tolkningar gällande användandet av olika uttrycksformer. Studien visar inte på hur alla lärare använder sig av uttrycksformer vilket medför att studien inte är generaliserbar. Skulle jag istället valt att gå ut till skolor och fråga om olika lärare skulle vilja delta och bli intervjuade skulle kanske antalet intervjuer ökat och svaret skulle därmed blivit mer generaliserbart. Vid en mer omfattande studie hade med fördel även flera observationer kunnat genomföras för att samla in mer data. Med det sagt så anser jag att resultatet ändå är betydelsefullt. Det ger en inblick i hur vissa lärare arbetar med uttrycksformer samt varför de väljer att använda sig utav dessa i sitt arbete, både generellt men även vid just arbete med multiplikation och division. Det svar och resultat som framkommit stämmer även överens med vad tidigare forskning säger gällande olika uttrycksformer.
6.2 Resultatdiskussion
Att använda sig av olika uttrycksformer för att introducera multiplikation och division, men även senare för att konkretisera, ses som positivt av både lärare och den tidigare forskning som gjorts. Här har användandet utav laborativt material och bilder stor betydelse. Det är således, precis som NCTM (2000) skriver, oerhört viktigt att lärare arbetar för att skapa ett klassrumsklimat där det är accepterat att använda sig av laborativt material. För att undervisningen ska kunna bli individanpassad måste eleverna känna att det är accepterat att vissa elever använder sig av bilder och laborativt material för att konkretisera matematiken, t.ex. centikuber för att förstå 9/3. De ska inte behöva uppleva att en del elever eller läraren tycker att det är fel för att vissa andra elever kanske inte behöver använda materialet. Lärarna behöver vara medvetna om att alla elever lär sig på olika sätt och förmedla detta till sina elever.
Tidigare forskning såsom Amit och Gilat (2014) lägger vikt vid just att det är en stor fördel både för elevernas motivation samt förståelse att de får arbeta med verklighetsanknutna problem. Detta var det ingen lärare som påpekade, det kan ändå vara så att en del eller alla lärare som deltog ser detta som en självklarhet. Under observationen var de exempel som användes till viss del verklighetsanknutna då de rör problem som skulle kunna inträffa i verkligheten. Alla uppgifter var dock inte kopplade till just elevernas verklighet och situationer som de kanske känner igen sig i eller kan relatera till. Hade undervisningen kopplats mer till just elevernas verklighet och intressen hade kanske motivationen kunnat öka ytterligare.
Inget i varken frågeställningarna eller de frågor som ställts till lärarna rörde kommunikation. Trots detta är det något som fått stor plats, både i tidigare forskning av bland annat Timmerman (2014) och Ji-Eun (2007), samt av alla lärare som deltagit i studien. För att eleverna ska kunna dra nytta av olika uttrycksformer och förstå dessa spelar kommunikation en stor roll. En lärare kan således inte endast sätta sina elever med att arbeta med olika tal eller uppgifter utan att föra en dialog och sedan förvänta sig att eleverna kommer förstå per automatik. Eleverna måste få hjälp med att växla mellan olika uttrycksformer för att se helheten.
6.2.1 Förslag på fortsatt forskning
Den här studien har främst utgått från ett lärarperspektiv gällande lärarnas syn på arbete med olika uttrycksformer. Ett förslag på vidare forskning kan vara att undersöka arbete med olika uttrycksformer utifrån ett elevperspektiv där elevernas syn på arbetet står i fokus.
Under arbetets gång har det framkommit att en väsentlig del i arbete med olika uttrycksformer är att individanpassa undervisningen. Undervisningen måste anpassas utifrån varje elevs nivå. Ett annat förslag på vidare forskning kan vara att undersöka hur läraren kan avgöra/hitta varje elevs nivå.
Ytterligare ett förslag på vidare forskning kan vara att undersöka hur läraren kan arbeta för att skapa ett klassrumsklimat där eleverna upplever att det är okej att vissa använder laborativt material och bilder medan andra inte gör det.
6.3 Sammanfattning
uttrycksformer såsom bilder, ord och laborativt material kan användas för att öka elevernas förståelse och motivation. Studien riktas mot lågstadiet. Under studien har fokus varit riktat mot lärare och deras erfarenheter kring användandet utav dessa uttrycksformer gällande matematikämnet och framför allt gällande multiplikation och division. Detta då just dessa räknesätt kan vara väldigt abstrakta för elever att förstå och den grundläggande förståelsen läggs i lågstadiet.
De metoder som har använts i studien är intervjuer och observation. Intervjuer har utförts över mail med fyra lärare från slumpmässigt utlottade skolor i landet. Lärarna har då frågats kring deras användande av uttrycksformer i sin undervisning samt vad de ser för fördelar samt nackdelar med användandet när det gäller att motivera sina elever. Den observation som gjordes i en utvald klass användes för att söka svar gällande hur olika uttrycksformer kan användas vid arbete med multiplikation och framför allt division som klassen då arbetade med. Klassen valdes utifrån bland annat variationen bland elevernas kunskapsnivå.
Det resultat som framkom var att användandet av olika uttrycksformer med fördel kan användas för att motivera och öka förståelsen hos elever så länge undervisningen är individanpassad. Alla elever lär sig på olika sätt och behöver olika mycket stöd i att konkretisera matematiken på ett sätt som gör den förståelig. Elever som har lättare att lära sig behöver inte lika mycket stöd av till exempel bilder eller laborativt material, såsom pengar eller kuber. En elev som däremot har svårt för matematiken av olika anledningar kan behöva använda laborativt material eller bilder under en längre tid. Olika uttrycksformer är positivt att använda vid introduktioner av ett nytt område och kan även användas när kunskap ska fördjupas men att använda flera olika uttrycksformer hela tiden kan ses som tidskrävande och onödigt för vissa. Klimatet i klassrummet behöver därför vara tillåtande där eleverna känner att de får använda de uttrycksformer som de behöver.
En stor aspekt som framkom vid resultatet var hur viktigt kommunikationen är. Elever behöver hjälp med att förstå hur de ska använda de olika uttrycksformerna och hur de ska pendla mellan exempelvis matematiska symboler och bilder. Genom att prata med varandra och med sina lärare kan eleverna få hjälp att öka sin förståelse.
Slutsatsen i den här studien är att många elever kan bli hjälpta till att förstå den matematik de arbetar med och därmed även motiveras av att använda olika uttrycksformer men undervisningen måste hela tiden individanpassas då alla lär sig på olika sätt. För att kunna individanpassa måste lärare utforma sin undervisning på ett sätt så att varje elev får arbeta med de uttrycksformer som passar eleven bäst. Detta innebär att läraren måste ha i åtanke att alla elever inte blir hjälpta av samma uttrycksformer eller att arbeta med dessa lika mycket.
Litteraturförteckning
Allwood, C. M., & Erikson, M. G. (2010). Grundläggande vetenskapsteori för
psykologi och andra beteendevetenskaper. Lund: Studentlitteratur AB.
Amit, M., & Gilat, T. (2014). Exploring young students creativity. The effect of model eliciting activities. PNA Vol 8 No 2, ss. 51-59.
Chan, W. W., Au, T. K., & Tang, J. (2013). Developmental dyscalculia and low numeracy in Chinese children. Research in Developmental Disabilities 34, ss. 1613-1622.
Cotic, M., Istenic Starcis, A., Solomonides, I., & Volk, M. (January 2016). Engaging preservice primary and preprimary school teachers in digital storytelling for the teaching and learning of mathematics. British Journal of Educational
Technology vol 47 no 1, ss. 29-50.
Denscombe, M. (2016). Forskningshandboken för småskaliga forskningsprojekt inom
samhällsvetenskaperna. Lund: Studentlitteratur AB.
Hedrén, R. (1999). Kan elever hitta på egna skriftliga beräkningsmetoder? Nämnaren nr
4.
Hord, C., & Newton, J. A. (April 2014). Investigating Elementary Mathematics Curricula: Focus on Students with Learning Disabilities. School Science and
Mathematics vol 114 no 4, ss. 191-201.
Hwang, W.-Y., Chen, N.-S., Dung, J.-J., & Yang, Y.-L. (2007). Multiple Representation Skills and Creativity Effects on Mathematical Problem Solving using a
Multimedia Whiteboard System . Educational Technology & Society vol 10 no
2, ss. 191-212.
Ji-Eun, L. (2007). Making sense of the traditional long division algorithm. The Journal
of Mathematical Behavior Vol 26 No 1, ss. 48-59.
Johansson, B., & Svedner, P. O. (2010). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala: Kunskapsföretaget AB.
Kvale, S., & Brinkmann, S. (2015). InterViews: learning the craft of qualitative
research interviewing. Los Angeles: Sage Publications.
Linder, S. M., Smart, J. B., & Cribbs, J. (December 2015). A Multi-Method
Investigation of Mathematics Motivation for Elementary Age Students. School
Science and Mathematics vol115 n8, ss. 392-403.
Lüftenegger, M., Kollmayer, M., Bergsmann, E., Jöstl, G., Spiel, C., & Schober, B. (2015). Mathematically gifted students and high achievement: the role of motivation and classroom structure. High Ability Studies vol 26 no 2, ss. 227-243.
Matsko, V., & Thomas, J. (2014). The Problem Is the Solution: Creating Original Problems in Gifted Mathematics Classes. Journal for the education of the gifted
vol 37 no 2, ss. 153-170.
NCTM. (2000). Principles and standards for school mathematics. National council of teachers of mathematics.
NE. (2016 a). Nationalencyklopedin, multiplikation. Hämtat från
http://www.ne.se.proxy.lnu.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/multiplikation den 29 12 2016
NE. (2016 b). Nationalencyklopedin, division. Hämtat från
http://www.ne.se.proxy.lnu.se/uppslagsverk/encyklopedi/lång/division den 29 12 2016
Pettersson, E. (2011). Studiesituationen för elever med särskilda matematiska förmågor. Linnaeus University Dissertations nr 48.
school mathematics. Technology, Pedagogy and Education vol 20 no 1, ss. 95-112.
Prahmana, R. C., & Hartono, Y. (2012). Learning multiplication using indonesian traditional game in third grade. Indonesian Mathematical Society Journal on
Mathematics Education vol 3 no 2, ss. 115-132.
Skolverket. (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklassen och fritidshemmet Lgr
11. Stockholm: Fritzes.
Sollervall, H. (2007). Tal och de fyra räknesätten. Lund: Studentlitteratur. Timmerman, M. A. (Mars 2014). Making Connections: Elementary Teachers'
Construction of Division Word Problems and Representations. School Science
and Mathematics Vol 114 no 3, ss. 114-124.
Webster, R. S., & Wolfe, M. (October 2013). Incorporating the Aesthetic Dimension into Pedagogy. Australian Journal of Teacher Education, v38 n10 Article 2. Wester, R. (2015). Matematikundervisning utifrån ett elevperspektiv. Malmö Studies in
Educational Sciences: Licentiate Dissertation Series 2015:36. Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom
humanistisk-samhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.
Zang, D., Xin, Y. P., Harris, K., & Ding, Y. (Feb 2014). Improving Multiplication Strategic Development in Children with Math Difficulties. Learning Disability
Bilagor
Bilaga A – Missivbrev intervju
Hejsan.
Mitt namn är Elinor Wahlqvist och jag läser grundlärarprogrammet med inriktning mot förskoleklass till årskurs tre vid Linnéuniversitet i Kalmar. Jag är nu inne på mitt sista år och ska skriva ett självständigt arbete inom matematik.
Syftet med den studie jag gör är att undersöka hur olika uttrycksformer kan användas inom matematikundervisningen vid arbete med multiplikation och division för att skapa förståelse och motivera alla.
För att undersöka mitt valda område använder jag mig utav skriftliga intervjuer över mail och skulle därför uppskatta om du skulle vilja ta dig tid till att svara på några frågor.
Intervjun består av åtta frågor som du får svara fritt på, antingen i punktform eller löpande text, och när jag sedan fått in svaren och läst igenom dessa kan det hända att jag mailar tillbaka någon eller några följdfrågor.
Att svara på frågorna är helt frivilligt och du kan även välja att avbryta din medverkan. Ditt deltagande kommer att behandlas konfidentiellt.
Svaren vill jag ha in senast ___________till min mail.
Har du några frågor eller funderingar, tveka inte på att höra av dig.
Intervjufrågorna finns bifogade.
Tack på förhand för din tid och dina svar! Med vänliga hälsningar,
Elinor Wahlqvist
Bilaga B – Intervjuguide
Inledandefrågor:
1. Hur många år har du varit verksam som lärare?
2. Vilka olika uttrycksformer använder du dig av inom matematikundervisningen?
3. Vilken av ovan nämnda uttrycksformer använder du dig mest av? Innehållsfrågor:
4. Vad anser du att det finns för fördelar med att använda sig utav olika uttrycksformer inom matematikundervisningen?
5. Vad anser du att det finns för nackdelar med att använda sig utav olika uttrycksformer inom matematikundervisningen?
6. På vilka olika sätt anser du att arbete med olika uttrycksformer kan användas för att hjälpa till att skapa förståelse för
- multiplikation?
- division?
7. På vilka olika sätt anser du att arbete med olika uttrycksformer kan användas för att motivera alla elever inom ämnet?
Avslutandefråga:
