Bara börja jobba: Elevers beskrivningar av tal i bråkform

53  Download (0)

Full text

(1)

Högskolan i Halmstad Sektionen för lärarutbildning Lärarprogrammet

Bara bö rja jöbba

Elevers beskrivningar av tal i bråkform

Examensarbete lärarprogrammet Utbildningsvetenskap II

Slutseminarium 2012-01-12 Författare: Caroline Eriksson

Handledare: Catrine Brödje och Ingrid Nilsson

Medexaminatorer: Lars Kristén och Åke Nilsén

Examinator: Anders Nelson

(2)

1 Abstract

Syftet med studien var att ta reda på hur elever i årskurs 5 beskriver tal i bråkform, vilka eventuella missuppfattningar de har samt hur de beskriver användningen och nyttan av att kunna bråk. Studien genomfördes med hjälp av kvalitativa intervjuer med totalt åtta elever.

Intervjuerna transkriberades och tolkades genom meningskoncentrering. För att bråk inte ska ses som en lista av ämneskunskaper som kan bockas av kategoriserades resultat utefter NCM och UFM:s kompetenser. Den empiriska studien visade att eleverna hade svårigheter i att beskriva användningen och nyttan av att kunna bråk. Det förhöll sig till vardagliga händelser som att dela på en pizza eller godis. Eleverna hade även många missuppfattningar inom bråk varav många beskrivs i internationell forskning. Missuppfattningar om tal i bråkform hade eleverna antingen med sig innan undervisningen om bråk startade eller så fick dem de på grund av undervisningen.

Nyckelord:

Bråk

Rationella tal

Kompetenser

Matematik

(3)

2

Innehållsförteckning

1 Inledning ... 4 Syfte ... 4 1.1

Frågeställning ... 5 1.2

2 Teoretiska perspektiv ... 6 Ett sociokulturellt synsätt på lärande ... 6 2.1

Språkets roll i matematiken ... 7 2.1.1

3 Litteraturgenomgång ... 9 Nytta och relevans ... 9 3.1

Kompetenser och matematiklärande ... 10 3.2

Kursplanen i matematik ... 12 3.3

Bråk ... 13 3.4

Vanliga missuppfattningar hos elever om bråk ... 17 3.5

Elevers kunskaper om bråk i internationella studier ... 18 3.6

Läroboken ... 20 3.7

4 Metod ... 22 Datainsamlingsmetod ... 22 4.1

Etiska övervägande ... 24 4.2

Databearbetningsmetod ... 24 4.3

Förförståelse ... 25 4.3.1

Reliabilitet och validitet ... 25 4.4

5 Resultat och analys ... 27 Undervisningen ... 27 5.1

Procedur ... 27 5.2

Problemlösning och resonemang ... 28 5.3

Representation ... 29 5.4

Samband ... 32

5.5

(4)

3

Kommunikation ... 32

5.6 Vad innebär det att kunna matematik? ... 33

5.7 6 Diskussion ... 34

Metoddiskussion ... 34

6.1 Resultatdiskussion ... 34

6.2 7 Slutsatser och didaktiska implikationer ... 38

8 Vidare forskning ... 40

9 Referenslista ... 41

10 Bilagor ... 44

(5)

4

1 Inledning

Den TIMSS-studie (Trends in International Mathematics and Science Study) som

genomfördes 2007 i åk 4 visar att de svenska eleverna har bristande kunskaper i bråk. Det beror dels på att undervisningen haft en procedurell inriktning vilket lett till brister i

begreppsförståelsen, dels på att en del elever inte fått undervisning i bråk fram till vårterminen i åk 4 då TIMSS genomfördes (Skolverket, 2008b, s 139 & 2008c, s 119). Detta trots att bråk finns med i mål att uppnå i åk 5 (Skolverket, 2008a, s 29). 2008 tillkom även mål att uppnå för åk 3 och även där finns bråk med. Undervisningens kvalitet är av stor betydelse för att eleverna ska lyckas och McIntosh (2008, kap 4) påpekar att eleverna får missuppfattningar om tal i bråkform genom felaktig undervisning. Vidare poängterar Palm, Bergqvist &

Eriksson (2004, s 2) att matematik inte får ses som en lista med ämnesmoment som går att bocka av. Istället måste eleverna få träna på de olika kompetenserna för att kunna uppnå syftet med läroplanen.

Barn har ofta tidiga erfarenheter av bråk som att dela äpple eller godis med ett syskon hemma eller med en kamrat i förskolan. För att eleverna ska få en hållbar begreppsuppfattning bör läraren ta utgångspunkt i elevernas erfarenheter. Först efter det bör matematiska symboler införas. Löwing (2006, kap 8.3), som i sin klassrumsforskning studerat hur lärare i

grundskolan hjälper elever att förstå matematik, menar att undervisningen måste bygga på att innehållet ska bli förståeligt för eleverna. Detta måste ske genom konkretisering och läraren måste ha en klar teori för hur man förklarar och konkretiserar ämnesinnehållet.

Intresset för studien om bråk i årskurs 5 har uppkommit efter flera års erfarenhet av att arbeta i årskurs 1-3 med en önskan om utökad kunskap om elevers beskrivningar och erfarenheter i matematik i högre årskurser.

Syfte 1.1

Syftet med studien är att undersöka hur elever beskriver tal i bråkform sent på våren i

årskurs 5, vilket är ett år senare än TIMSS-testet genomfördes. På våren i årskurs 5 bör alla

elever fått undervisning om tal i bråkform då det är ett uppnående mål i årskurs 5. Genom att

ta reda på hur elever beskriver sina tankar om tal i bråkform så är tanken att även få reda på

elevers eventuella missuppfattningar och hur elever beskriver användningen och nyttan av att

kunna bråk. Förhoppningen är att ökad kunskap om elevers uppfattning om tal i bråkform ska

kunna leda till kvalitativt bättre undervisning.

(6)

5 Frågeställning

1.2

Hur beskriver elever sina tankar och sin förståelse om tal i bråkform?

(7)

6

2 Teoretiska perspektiv

Detta kapitel handlar om det teoretiska perspektiv som uppsatsen tar sin utgångspunkt i. Det sociokulturella synsättet på lärande valdes då det ligger väl i linje med grundskolans läroplan.

Även valet att intervjua eleverna i grupp om två utgick från ett sociokulturellt synsätt för att se om och hur kommunikationen påverkade resonemanget.

Ett sociokulturellt synsätt på lärande 2.1

Säljö (2010, kap 1) menar att kunskap är något som skapas i sociala sammanhang, både genom undervisning i skola och även i samhället generellt. Kommunikation och interaktion är viktiga för att kunskap ska föras vidare. Med kunskap menas inte enbart att kunna återberätta fakta eller att kunna tabeller utantill, utan det handlar om att kunna tolka, resonera och argumentera och om att kunna koppla det man lär sig till användning i samhället. Inom matematiken är problemlösning och begreppsbildning centrala områden men det krävs ändå kunskap om matematiska operationer för att veta att svaret på ett problem är rimligt. Förutom kommunikationen poängterar Säljö (2010, s 20-22) redskap. Det finns intellektuella redskap så som multiplikationstabellen och Pytagoras sats. Dessa intellektuella redskap används för att kunna lösa praktiska problem som att bygga en trappa. Förutom de intellektuella redskapen finns även fysiska redskap, som till exempel penna, linjal, dl-mått och miniräknare.

Utvecklingen av de fysiska redskapen går hand i hand med utvecklingen av idéer och

intellektuella kunskaper. Som ett samlingsnamn på de intellektuella och de fysiska redskapen är artefakter. Dessa artefakter är ett tecken på människans förmåga att samla erfarenheter och att använda dem för sina syften. Löwing och Kilborn (2002) menar att ett laborativt arbetssätt i matematik kräver kunskap om hur redskapen ska användas då materialet i sig inte innehåller kunskap. Kunskap upptäcks inte heller genom att elever sitter enskilt och laborerar med materialet. De menar att

en av de viktigaste poängerna med konkretisering har man tappat bort redan när man kallar laborativt material för ett ”konkret material”. Materialet i sig är dött och äger inte någon konkretiserande egenskap. Genom att använda materialet på ett sådant sätt att det underlättar den språkliga förståelsen av en operation eller tankeform, så har man däremot använt

materialet i konkretiserande syfte (Löwing & Kilborn, 2002, s 204).

Även Säljö (2010, s 62-63) poängterar att kunskapen varken finns i materialet eller i

aktiviteten utan i samtalet, beskrivningarna och analyserna tillsammans med personer i

omgivningen. Som ett samlingsnamn på intellektuella redskap, fysiska redskap och den

(8)

7

sociala interaktionen är begreppet kultur. I kulturen ger interaktionen och användningen av de fysiska artefakterna upphov till nya idéer, värderingar och kunskaper (Säljö, 2010, s 29).

Enligt Säljö (2010, kap 5) befinner sig elever och människor ständigt i utveckling och förändring där de har möjlighet att ta till sig kunskaper från medmänniskor i

samspelssituationer. Elever tillägnar sig hela tiden ny kunskap utifrån den kunskap och erfarenheter de redan har. Den ryske psykologen Lev Vygotskij (1896-1934) uttrycker det genom begreppet närmaste utvecklingszonen, ZDP (zone of proximal development).

Utvecklingszonen är inte enbart den kompetens som eleven redan besitter utan det som eleven har möjlighet att åstadkomma genom handledning och stöd av en person som är mer

kompetent. Med hjälp av handledning kan eleven oftast lösa ett problem som skulle vara svårt att klara på egen hand. Med begreppet utvecklingszon betonas alltså inte enbart den

kompetens eleven redan har utan även potentialen, vilket framgår i figur 2.1.

Figur 2.1 Utvecklingszon

Eleven måste dessutom vara mottaglig för stöd och förklaringar från den mer kompetente personen. Stödet kan bestå i hjälp med att förstå vad det frågas efter eller hjälp med att dela upp ett problem i mindre och välbekanta delar.

Språkets roll i matematiken 2.1.1

Vygotskij förespråkar lärande som deltagande, att kunskap inte är en fråga om att först bygga upp en individuell förståelse av begrepp eller procedurer för att sedan kunna samarbeta kring dem, utan det omvända, från det sociala till det individuella (Skott, Jess, Hansen & Lundin, 2010, kap 3). Även Säljö (2010, s 34) poängterar att lärande inte enbart handlar om vad vi själva kan tillägna oss genom egna erfarenheter utan erfarenheter delges genom språket mellan personer. Det är genom kommunikation och samspel som information, kunskaper och färdigheter utbyts. Vygotskij (Skott, Jess, Hansen & Lundin, 2010, kap 3) anser att språket har en central roll för begreppsbildning. Begreppsförståelsen utvecklas inte först för språk är inte ett uttryck för en redan utvecklad tanke utan språk används för att strukturera tänkandet.

Vygotskij särskiljer på vardagliga begrepp och vetenskapliga begrepp. De vardagliga

begreppen kallas även för spontana begrepp då de lärs tillsammans med föräldrar eller i någon

Uppnådd kompetens Utvecklingszon Framtida

kompetens

(9)

8

vardaglig miljö. Ett exempel på ett vardagligt begrepp är ”bror”. Inlärning av vardagliga begrepp sker redan innan barnen börjar skolan. Dessa begrepp är nära förknippade med konkreta, personliga erfarenheter och är inte föremål för egentlig undervisning. De spontana begreppen utvecklas genom användning i konkreta sammanhang och först senare blir barnet medveten om dess formella betydelse och definition. Vetenskapliga begrepp kännetecknas av systematik och abstraktion och är föremål för undervisning. Ett exempel på ett vetenskapligt begrepp är ”tal i bråkform”. Dessa utvecklas omvänt från de spontana begreppen. De

vetenskapliga begreppen introduceras först formellt och definitionsmässigt och betydelsen utvecklas genom användning av dem och att relatera till vardagliga begrepp. För att lära sig de vetenskapliga begreppen inom matematik krävs att de spontana begreppen måste ha utvecklats till en viss nivå innan de vetenskapliga begreppen blir meningsfulla. Löwing skriver i sin doktorsavhandling om kommunikation att språket och terminologin i matematik är viktigt.

Vidare är det språk som används under en matematiklektion mycket speciellt, med ord och uttryck som har en helt annan precision och betydelse än liknande ord i vardagsspråket. En av lärarens svåraste uppgifter är att med hjälp av konkretisering och metaforer bygga en bro mellan elevernas vardag och detta komplexa innehåll. När läraren står vid en elevs bänk för att hjälpa eleven, måste läraren momentant, både tolka elevens behov av hjälp och finna en lämplig förklaringsmodell och uttrycksform. Detta ställer stora krav på såväl lärarens ämneskunskaper som förmåga att använda att adekvat språk (2004, s112).

Löwing (2004, s 245, 253) menar vidare att förutsättningen för en lyckad och meningsfull

kommunikation är att lärare och elever har ett gemensamt språk där de är överens om

innebörden i de matematiska termerna och begreppen som används i undervisningen. Vissa

begrepp inom matematiken blir oklara och tvetydiga om ett vardagsspråk används, samtidigt

som det måste vara uppfattbart för eleverna. En oklar terminologi leder ofta till problem och

missförstånd. Samtidigt menar Löwing (2004, s 251) att det är viktigt att läraren känner till

elevernas förkunskaper för att kunna föra ett mer djupgående samtal. Annars finns en risk att

lärare och elever pratar förbi varandra.

(10)

9

3 Litteraturgenomgång

Litteraturgenomgång anknyter till uppsatsens övergripande innehåll och utgår från ett väletablerat forskningsområde inom matematikdidaktiken. Både nationell och internationell forskning tas upp. Forskningen kan inte ses som politiskt styrd, även om skolverket står bakom en del, då deras forskning går väl i linje med övrig internationell forskning. Nyttan av att kunna bråk presenteras för att visa hur relevant ämnet är för undervisning och för elevers framtida vardagsliv och arbete. Vidare beskrivs även kursplanen (Skolverket, 2008a) för att ge en bild av de förväntade kunskaper elever bör ha i årskurs 5. Att den förra kursplanen tas upp och inte den rådande kursplanen, lgr 11, beror på att intervjuerna skedde under våren 2011, då lpo 94 fortfarande var den som gällde. Då tal i bråkform inte enbart handlar om moment som går att bocka av utan även om kompetenser som eleverna bör få med sig i undervisningen presenteras de. Dessutom görs en beskrivning av tal i bråkform, dess definition och hur bråk förekommer i skilda situationer, samt vilka missuppfattningar som förekommer hos eleverna, för att visa på områdets komplexitet. Avsnittet avslutas med en kort beskrivning av den matematikbok som eleverna i klassen använde då det är viktigt att

forskaren har en förförståelse för att kunna möta eleverna i intervjusituationen. Uppgifterna i kapitlet om bråk jämförs med de situationer som bråk kan förekomma i. Även exempel på uppgifter visas, med tillstånd från bokförlaget.

Nytta och relevans 3.1

Grundläggande kunskaper i bråk behövs för att vi ska klara av vardagliga bestyr som att baka, laga mat och handla. Vardagskunskaper i bråk är viktigt men det är inte tillräckligt i längden, då eleverna kommer att möta bråk via t ex nyheterna, vilket gör att de behöver kunna bråk för att kunna förstå, hantera och påverka sin samhällssituation (Mouwitz, 2004, s 27). Även Niss (1994, s 376-377) påtalar att elever som endast får allmänbildande kunskaper i matematik för att klara sitt sociala och privata liv löper en risk att bli exkluderade från att kunna påverka viktiga processer i samhället.

Även om bråk inte används lika mycket som förr så används bråk mestadels för att representera tal i samband med divisioner som inte går jämt upp, där resultatet inte går att uttrycka exakt. Bråk behövs för att kunna uttrycka storleken av olika andelar och är därför en viktig förkunskap för att förstå tal i decimalform och procentbegreppet (McIntosh, 2008, s 27). Förståelse för bråk är dessutom en viktig del i elevernas taluppfattning. Enligt Reys &

Reys (1995, s 28) är taluppfattning, number sense, en viktig kvalitet för att elever ska nå

(11)

10

framgång i matematik. En god taluppfattning ger en intuitiv känsla för tal och hur de ska tolkas och användas. Elever måste genom en god undervisning få se det meningsfulla i relationer mellan tal och operationer. Även om bråkens roll i samhället till viss del har övertagits av decimaltalen menar Löwing (2008, s 247) att det inte får tolkas som att vi inte behöver undervisa om bråk längre för eleverna behöver fortfarande kunna beskriva andelar och behöver bråk för att klara algebran i högre årskurser.

Kompetenser och matematiklärande 3.2

Niss & Højgaard Jensen (2002, kap 4) tar upp åtta matematikkompetenser som de anser att eleverna bör få med sig i undervisningen förutom rena matematikkunskaper. Dessa olika kompetenser har alla utmärkande drag, men är samtidigt förbundna med varandra. Detta betyder att en elev i allmänhet inte kan behärska endast en kompetens utan att inneha de övriga. Niss & Højgaard Jensen (2002) menar att matematisk kompetens består i följande:

at have viden om, att förstå, udøve, anvende, og kunne tage stilling til matematik og

matematikvirksomhed i en mangfodighed af sammenhӕnge, hvori matematik indgår eller kan komma till at indgå (s 43).

Att behärska en kompetens är något som man kan bättre eller sämre, inget som man kan eller inte kan. Niss & Højgaard Jensen menar att det finns tre dimensioner av att behärska en kompetens. Man ska ha god ”täckningsgrad”, det vill säga behärska många utav

kompetenserna, ha god ”aktionsradie”, det vill säga behärska kompetenser inom många olika matematiska områden och slutligen en ”teknisk nivå”, som innebär att man kan behärska kompetensen inom mer avancerad matematik. Förutom att eleverna ska få med sig de åtta kompetenserna bör de även få med sig ”overblick” och ”dømmekraft”, som innebär att eleven vet när matematik ska användas och i vilka sammanhang, och känna till vilka drivkrafter och mekanismer som funnits med vid utvecklingen av matematiken genom historien.

Palm, Bergqvist & Eriksson (2004, s 2) har analyserat kursplanen i matematik för gymnasieskolan, detta för att göra den mer konkret och mer lättanvänd vid

uppgiftskonstruktion och undervisningssituationer. Deras tolkning och reducering av

kursplanen har lett fram till sex olika kompetenser inom matematik. Även Nationellt centrum

för matematikutbildning (NCM) & Umeå forskningscentrum för matematikdidaktik (UFM)

(2010, s 9-10) beskriver sex olika kompetenser. Dessa kompetenser är problemlösning,

procedurhantering, representation, samband, resonemang och kommunikation.

(12)

11

Problemlösning avser matematikuppgifter där eleven inte har tillgång till en färdig

lösningsmetod till skillnad från procedurhantering där eleven, utifrån uppgiften, ska kunna identifiera vilket räknesätt som ska användas samt kunna genomföra uträkningsproceduren.

Med representation, se figur 3.1, menas att eleverna ska kunna översätta inom och mellan olika representationer som konkreta modeller, vardagsspråk, omvärldssituationer, schematiska bilder, diagram, skriftspråk, matematiktermer, matematisk notation och symboler. Matematik handlar således inte enbart om matematiska symboler utan även om handling, bilder och språk (Skolverket, 1997, s 16).

Figur 3.1 Schematisk bild över representationer i matematik

Samband handlar om att kunna länka samman olika matematiska företeelser som tal i bråkform, tal i decimalform och procent. Med resonemang menas att eleverna ska kunna motivera lösningar och strategier och argumentera för dem. Mönster är också en form av resonemang. Kommunikation handlar om att eleverna ska kunna kommunicera och utbyta idéer både muntligt och skriftligt (NCM & UFM, 2010, s 9-10). Kommunikationen är också viktig för samarbetet mellan elever och mellan lärare och elever.

Kunskapskvaliteterna i kursplanens strävansmål beskriver även Skolinspektionen (2009, s 11-12) med de sex kompetenser som NCM och UFM skrivit fram. Dessa kompetenser tog skolinspektionen (2009 & 2010) utgångspunkt i vid granskningen av

matematikundervisningen i grundskolan 2009 och i gymnasieskolan 2010, där de dels gjorde

(13)

12

observationer av lektioner, dels analyserade undervisningsmaterial, intervjuer med lärare och lärarenkäter. Granskningen av gymnasieskolan visade:

Lärarna har svårt att urskilja de kompetenser som undervisningen syftar att ge eleverna. Ett generellt drag är att de inriktar sitt arbete mot mål att uppnå, innehållsmoment och mekanisk räkning. Mål att sträva mot är ett luddigt begrepp för flertalet lärare och de litar på att läroboken tolkar kursplanen på ett rimligt sätt (Skolinspektionen, 2010, s 7).

Även granskningen av grundskolan visade samma resultat. I lgr 11, den läroplan som började användas höstterminen 2011, skrivs kompetenserna fram tydligare än i lpo 94. I lgr 11 kallas de dock för förmågor. Niss & Højgaard Jensen (2002, kap 4) anser att lärare bör ta

utgångspunkt i matematikkompetenserna när ett matematikområde ska planeras.

Kompetenserna bör även användas för att analysera vad som sker under en matematiklektion.

För att eleverna ska lära sig behärska de olika matematikkompetenserna är det viktigt att lärarna behärskar de olika kompetenserna på en tillfredsställande nivå. Även Lithner (2006, s 22) och Boesen (2006, s 47) påpekar att kompetenserna ska genomsyra undervisningen oavsett matematiskt innehåll. De menar att undervisning, aktiviteter, matematikböcker och lärartest främst tränar procedurhanteringskompetensen i dagens skola. Boesen drar slutsatsen utifrån fyra mindre studier där han intervjuat lärare kring resonemang, jämfört nationellt prov med lärares egentillverkade, intervjuat och samlat in elevers lösningar för att studera deras resonemang.

Då forskningen pekar på att dessa kompetenser är viktiga, att matematik inte enbart handlar om en lista över ämnesmoment används dessa kompetenser vid analysen av elevernas beskrivningar av bråk.

Kursplanen i matematik 3.3

Kursplanen i matematik (Skolverket, 2008a, s 26-32) består bland annat av mål att sträva mot

och mål att uppnå. Mål att sträva mot visar den inriktning på kunskap som eleverna ska

utveckla. Vidare visar mål att sträva mot på de kunskapskvalitéter som eleverna så långt som

möjligt ska utveckla. Målen är till för att inte sätta gränser för elevernas lärande utan ge

utrymme för breddning och fördjupning och det är dessa mål lärarna ska ta utgångspunkt i sin

planering. Som ett resultat av undervisningen ska alla elever nå mål att uppnå. Mål att uppnå

för åk 3, 5 och 9 är den miniminivå av kunskaper som alla elever ska uppnå. För åk 3 står det

om bråk att eleverna ska kunna dela upp helheter i olika antal delar samt kunna beskriva,

jämföra och namnge delarna som enkla bråk. I åk 5 står det att eleverna ska ha en

(14)

13

grundläggande taluppfattning som omfattar naturliga tal och enkla tal i bråk- och

decimalform. Med taluppfattning menar kommentarmaterialet till kursplanen i matematik:

En persons övergripande förståelse för tal och operationer parat med förmåga att använda denna förståelse på olika sätt som underlag för beslut och för att lösa problem. (Skolverket, 1997)

Något som är karakteristiskt för taluppfattning är att elever ska kunna jämföra tals storlek, att tal ska kunna uttryckas på olika sätt och att kunna pricka in tal på tallinjen (Skolverket, 1997, s 22-23).

Tittar man tillbaka historiskt på hur bråk har tagits upp i äldre läroplaner, lgr 69 och lgr 80, ser man att bråk varit inskrivet från tidiga år i skolan (Kilborn, 1990, s 66-78). I lpo 94 (Utbildningsdepartementet, 1994) fanns det från början med mål att uppnå först från

årskurs 5, samtidigt som strävansmålen var svåra att tolka enhetligt, vilket kan ha bidragit till osäkerhet.

Bråk 3.4

Bråk har, enligt Skott, Hansen, Jess & Schou (2010, s 540), historiskt uppkommit då man förr hade stora enheter som en mil eller en timme. För att kunna tala om en mindre del uttryckte man det som en halvmil ( mil) och en kvart ( timme). Tal i bråkform behövs även för att uttrycka resultatet av vissa divisioner exakt, vilket vårt decimalsystem inte klarar av. Ett så enkelt bråk som en tredjedel har en oändlig periodisk decimalutveckling, vilket kan vara svårt att hantera (McIntosh, 2008, s 27).

Ett bråk skrivs med en täljare, en nämnare och ett bråkstreck som skiljer dem åt. Bråk är uttryck av formen . Om a och b är heltal (b≠0) representerar bråken rationella tal. Ett och samma rationella tal kan skrivas som 0,05, , , en tjugondel, 5 % eller 50 promille. Vilken representationsform som ska användas beror på sammanhanget (Skott, Hansen, Jess & Schou, 2010, kap 17). När man tittar på hur bråk används i vardagen, och hur detta speglas i

läromedel och under lektioner, finner man att bråk förekommer i flera olika situationer. Bråk kan uppfattas som ett tal, del av helhet, del av ett antal, division som metafor, andel,

proportion, ett förhållande eller som en skala (Kilborn, 1990, s 46). Innan elever börjar

operera med bråk bör de behärska några grundläggande begrepp. Med grundläggande begrepp

menar Löwing (2008, s 254) att eleverna ska förstå nämnarens innebörd, täljarens innebörd

(15)

14

samt att varje tal i bråkform kan skrivas på oändligt många sätt. Dessutom måste eleverna veta att alla delar ska vara lika stora för att de ska vara bråkdelar. Delarna behöver dock inte ha samma utseende och form. Genom att elever behärskar grundläggande begrepp kan de lättare resonera sig fram till rimliga lösningar på olika problem och dessutom avgöra om lösningarna är rimliga.

Bråk som tal utgår från att bråk kan storleksordnas och föras in på en tallinje. Detta kan göras genom att skriva bråken med samma nämnare. För att ta reda på ett bråks placering på

tallinjen kan man enligt Löwing (2008, s 250) utnyttja metaforen division. Skolverket (2008d, s 31) menar att tallinjen inte bör vara det första eleven möter när bråk introduceras. Då bråk enbart är punkter på en linje ger det inget begreppsligt stöd för elevernas lärande. Om två bråk ska adderas så motsvaras det av två punkter som ska adderas, vilket inte är meningsfullt.

Däremot kan tallinjen med fördel introduceras efter del av helhet, för att utveckla elevernas erfarenheter. Tallinjen kan användas för att åskådliggöra ekvivalenta bråk till exempel att en tredjedel motsvarar två sjättedelar. Detta illustreras i figur 3.2.

Med bråk som del av en helhet menas att man tar en helhet, till exempel en pizza eller chokladkaka och delar den i ett antal delar. För att illustrera del av en helhet kan olika begreppsmodeller användas så som cirkel, kvadrat eller rektangel. Dessa olika

begreppsmodeller har olika fördelar och nackdelar. Cirkelmodellen, även kallad

pizzamodellen, är bra då pizzor är välbekanta för elever. När cirkelmodellen används för att representera två olika bråk måste de båda cirklarna vara lika stora. Vid addition eller

subtraktion av bråk med olika nämnare ger cirkelmodellen begränsad vägledning (Bentley, 2008, s 36). I figur 3.3 demonstreras och med hjälp av pizzamodellen.

1 3

0 1

2 6

0 1

Figur 3.2 Tallinjen

(16)

15

Figur 3.5 Del av antal

Kvadratmodellen och rektangelmodellen ger däremot förutom en bra begreppslig bild även vägledning vid addition och subtraktion i bråk. I figur 3.4 illustreras addition av bråken en halv och en tredjedel. Genom att lägga de bägge kvadraterna ovanpå varandra synliggörs övergången till sjättedelar och en sammanräkning av delarna visar resultatet fem sjättedelar (Bentley, 2008, s 37).

Bråk som del av ett antal beskrivs som andelen av ett antal, till exempel av 15 kulor. För att ta reda på andelen gäller det att hitta ett mönster för hur man kan representera de 15 kulorna.

Eftersom man vill dela kulorna i fem delar är det lämpligt att ordna kulorna i fem kolumner, där varje kolumn innehåller tre kulor. För att ta reda på två femtedelar väljer man två utav kolumnerna, vilket presenteras i figur 3.5. Tekniken är alltså att först ta reda på en femtedel av 15 vilket ger tre kulor och sedan ta två sådana andelar, vilket ger resultatet sex kulor (Löwing, 2008, s 251).

Figur 3.3 Pizzamodellen

+

+ =

1 3

6 6 6

Figur 3.4 Kvadratmodellen

(17)

16

Division som metafor kan utnyttjas vid lösning av olika problem. Generellt gäller att divisionen a/b och bråket svarar mot samma tal. Samtidigt är det viktigt att känna till att bråk och division är två helt olika begrepp som har olika innebörd (Löwing, 2008, s 252).

Då bråk ses som andel står täljaren för det aktuella antalet delar medan nämnaren står för det totala antalet. Exempelvis betyder en av två. För tal som är större än ett fungerar inte andelsmodellen. saknar mening då man inte kan föreställa sig att man tar nio utav fem stycken (Bentley, 2008, s 40). Vid addition av bråk har andelsmodellen brister, vilket illustreras i figur 3.6. Om adderas med så ger modellen ett av två plus ett av tre resultatet två av fem. Detta gör att svaret på additionen blir . Detta är ett känt misstag som elever gör, att de adderar både täljare och nämnare med varandra (Skolverket, 2008c, s 31).

Bråk som andel kan även innebära att bråket översätts till procent. kan uttryckas som eller 40 %. Om man istället vill uttrycka som procent kan division som metafor användas.

Divisionen ger 0,285714… som kan avrundas till 0,29, det vill säga 29 % (Löwing, 2008, s 252).

Bråk som beskriver proportioner kan illustreras med hjälp av saftblandning där

proportionerna saft/vatten är , vilket betyder att det går åt 5 dl vatten till 1 dl saft. Genom att proportionerna för saftblandningen är skriven på saftflaskan kan man vara säker på att saften alltid får samma smak oavsett mängd som ska blandas. Ska dubbelt så mycket saft blandas används 10 dl vatten till 2 dl saft. Det innebär att även kan skrivas

. Detta är ett exempel på hur bråk genom förlängning och förkortning kan skrivas på ett oändligt antal sätt (Löwing, 2008, s 253). Bråk som beskriver proportioner används när helheten är obestämd.

1 av 2 1 av 3 2 av 5

Figur 3.6 Andelsmodellen

(18)

17

Bråk som ett förhållande kan illustreras genom uppdelning av pengar. Om 700 kronor ska fördelas i förhållandet 2 till 5, så gäller inte delarna av 700 kronor respektive av 700 kronor, utan i stället av 700 kronor samt av 700 kronor. De 700 kronorna ska delas i sju lika stora delar (Löwing, 2008, s 253). Bråk som beskriver ett förhållande används när helheten är känd till skillnad från bråk som beskriver proportioner.

Bråk som anger skala innebär tolkning av kartor eller föremål ritade i skala. Om en rektangel är ritad i skala 1:2, så motsvarar rektangelns längd på ritningen av rektangelns längd i verkligheten. Då är ritningen en förminskning av verkligheten (Bentley, 2008, s 42).

Vanliga missuppfattningar hos elever om bråk 3.5

Professor McIntosh har i flera år bedrivit forskning och utvecklingsarbeten i Australien kring tal, taluppfattning och räkning. Genom att låta ett flertal elever lösa matematikuppgifter och intervjua dem har han funnit vilka missuppfattningar och svårigheter elever har inom bland annat bråk. Elever har i grunden erfarenhet av att dela till exempel pizza, godis, pengar och leksaker. Men en känd missuppfattning hos elever är att de inte förstår att delarna måste vara lika stora, så kallad rättvisedelning. I dagligt tal kan man höra någon säga ”Jag vill ha den största halvan”. När elever ska dela i fjärdedelar viker de pappret först på mitten och sedan delar de halvorna en gång till. När eleverna ska dela i tredjedelar kan det uppstå en

missuppfattning som lärarna måste vara uppmärksamma på. En del elever delar nämligen pappret först en gång på mitten och sedan delar de den ena halvan en gång på mitten. Då blir de tre bitarna olika stora. Lärarna måste lägga stor uppmärksamhet på begreppet tredjedel när det introduceras. Språket kan skapa osäkerhet då ordet tredje även är ett ordningstal, vilket kan leda till att eleverna blir förvirrade med hur ordet tredjedel ska tolkas (McIntosh, 2008, s 30).

Hur bråk skrivs kan även ställa till bekymmer då ett bråk skrivs med hjälp av två tal och ett

streck som skiljer dem åt. Att förstå bråk måste ofta vara tillsammans med helheten. Man kan

säga att man har fem kakor, men man kan inte säga hur stor andel de är om man inte känner

till hela mängden. Har man fem kakor så är varje kaka av helheten, men har man sex kakor

så är varje kaka 6 av helheten. Eleverna behöver enligt McIntosh (2008, s 31) flera tillfällen i

undervisningen till att samtala om och åskådliggöra delar av olika helheter.

(19)

18

När elever börjar med tal i bråkform kan de bli osäkra eftersom det går emot det de tidigare lärt sig om tal nämligen att fyra är större än tre vilket i sin tur är större än två. Nu är istället större än som är större än . I bråk handlar det om att dela upp en helhet, så två i nämnaren betyder att helheten delas upp i två lika stora delar. Om helheten istället delas i tre delar blir varje del ännu mindre (Chinn, 2007, s 81). En vanlig missuppfattning som elever kan ha enligt McIntosh (2008, s 31) handlar just om att storleksordna tal i bråkform. De tror att ju större tal i nämnaren desto större är talet, vilket leder till att eleverna tror att en niondel är större än en fjärdedel, eftersom talet nio är större än fyra. Dessutom kan en del elever tro att talet nio i nämnaren betyder att talet nästan är en hel. Dessa missuppfattningar kan bero på att elever får undervisning om tal i decimalform nästan samtidigt. Då 0,9 nästan är 1,0 uppfattar en del elever att en niondel och en tiondel som nästan en hel och en hel. Likaväl tror eleverna att en femtedel är samma som 0,5 och att två femtedelar är 2,5. För en del elever kan det vara märkligt att bråk är utbytbara, att matematiskt är detsamma som

, även om det är en viss skillnad när man ska dela tårtan i verkligheten.

McIntosh (2008, s 32) menar att dessa beskrivna missuppfattningar beror på undervisningen.

Undervisningen måste till större del ta utgångspunkt i verkligheten och att använda konkret material och dessutom resonera tillsammans. Eleverna måste få möjlighet att utveckla en god taluppfattning om begreppet bråk och inte lära sig bråk enbart genom procedurer utan även med förståelse.

Elevers kunskaper om bråk i internationella studier 3.6

TIMSS-testet (Trends in International Mathematics and Science Study) som genomfördes 2007, dess resultat och analys presenteras i ett antal rapporter (Skolverket, b, c & d). I en av rapporterna presenteras de olika uppgifterna som var med på testet samt hur svenska elever klarade uppgifterna. Dessutom presenteras elever som klarade uppgiften inom EU/OECD- länderna, det vill säga de 19 länder som Sverige jämförde sig med. En annan rapport analyserar de svenska elevernas resultat och i en tredje rapport analyseras de svenska elevernas resultat i jämförelse med Hong Kong och Taiwan vars elever presterade bättre i matematik än de svenska eleverna. I detta kapitel refereras till samtliga tre rapporter.

I årskurs 4 visar rapporterna att de svenska eleverna har några missuppfattningar vid

beräkningar med tal i bråkform. Uppgiften i figur 3.7, handlar om ekvivalenta bråk.

(20)

19

Figur 3.7 Ekvivalenta bråk (bild hämtad från skolverket)

Figur 3.8 Addition av två liknämniga bråk (bild hämtad från skolverket)

Eleverna hade fyra olika svarsalternativ att välja mellan. Det svar som förkom oftast, 64,4 %, var . Endast 10,3 % av eleverna svarade korrekt 6 . Ekvivalenta bråk är en del av

uppnåendemålen, men verkar inte ha behandlats i undervisningen eftersom resultatet är så lågt. De EU/OECD länder som Sverige jämfördes med hade också lågt resultat, 20,6 % (Skolverket, 2008b, s 66).

I nästa uppgift, figur 3.8, ska lästalet resultera i en addition av två liknämniga bråk.

På denna uppgift var det enbart 18,8 % av de svenska eleverna som hade rätt lösning. Även denna uppgift är en del av uppnåendemålen i kursplanen. För att klara denna uppgift krävs en förståelse av bråk som andel. Andelsbegreppet verkar relativt okänt för eleverna. Om

undervisningen har haft en procedurell inriktning så har förmodligen andelsbegreppet inte

behandlats. I EU/OECD länderna var den genomsnittliga lösningsfrekvensen högre, 38,5 %

(Skolverket, 2008b, s 67).

(21)

20

Uppgiften i figur 3.9 testar elevernas kunskap på del av helhet och på proportionalitet. 61,2 % svarade korrekt , medan 30,0 % valde distraktorn 6 . Detta alternativ kan eleverna tolkat som ett förhållande mellan de sex och de tolv kvadraterna. Här finns en begreppslig

missuppfattning om andelen av helheten, där helheten består av 18 kvadrater (Skolverket, 2008c, s 69). I EU/OECD länderna var den genomsnittliga lösningsfrekvensen betydligt lägre, 45,8 % (Skolverket, 2008d, s 37).

Figur 3.9 Del av helhet (bild hämtad från skolverket)

Läroboken 3.7

I klassen, där intervjun genomfördes, hade eleverna matematikboken ”Mattedirekt Borgen 5b” (2005). Kapitlet om bråk inleds med fyra mål som eleverna ska kunna efter att ha arbetat med kapitlet. Inget utav målen handlar om de kompetenser som kursplanen och

skolinspektionen poängterar. Uppgifterna i boken är till övervägande del procedurinriktade.

Mer än en femtedal av uppgifterna handlar om del av helhet, att eleverna ska skriva hur stor

del av figuren som är målad eller utifrån ett givet tal i bråkform färglägga en figur. De

uppgifter där eleverna ska tala om hur stor del som är målad används olika begreppsmodeller

som cirkelmodellen, kvadrat- och rektangelmodellen, men även pentagoner. Exempel visas i

figur 3.10.

(22)

21

Även något mer än en femtedel av uppgifterna i kapitlet handlar om del av ett antal vilket illustreras i figur 3.11.

Kapitlet tar även upp bråk som ett tal men illustreras inte med hjälp av en tallinje utan med hjälp av en bråktavla, se figur 3.12. Nästan hälften av uppgifterna handlar om bråk som tal, att storleksordna tal i bråkform, både med olika täljare och med olika nämnare, om

ekvivalenta bråkuttryck och att tal i bråkform ska skrivas som decimaltal eller tvärtom.

Figur 3.12 Jämföra tal i bråkform

I jämförelse till alla de situationer som bråk kan förekomma i tas aldrig division som metafor, andel, proportion, ett förhållande eller som en skala upp. Dessutom förekommer varken addition eller subtraktion av tal i bråkform.

Figur 3.11 Del av ett antal

Figur 3.10 Del av helhet Bilderna är gjorda av Typoform AB.

Bilden är gjord av Typoform AB.

(23)

22

4 Metod

Den metodologiska ansatsen i uppsatsen är hermeneutisk. Hermeneutik är en metod inom forskning där fokus ligger på tolkning och mening (Kvale & Brinkman, 2009, s 30). Inom hermeneutiken handlar det om att tolka och förstå det som sägs i intervjuerna för att få svar på forskningsfrågan (Birkler, 2008, s 100). Innan tolkningen sker finns en viss förkunskap eller föreställning (Kvale & Brinkman, 2009, s 66). Denna förkunskap ligger till grund för den nya förståelse som kommer fram i forskningen. Då förförståelsens påverkar resultatet måste forskarens förförståelse skrivas fram. Birkler (2008, s 108-109) talar om den hermeneutiska cirkeln där förförståelsen sätts i rörelse genom att vara ödmjuk inför att det finns en möjlighet att förförståelsen inte blir bekräftad. Forskarens uppgift är att genom dialogen med de

intervjuade eleverna få förståelse för hur de tänker, inte att varken forskaren eller eleverna har monopol på vad som är rätt eller fel. Det är därför viktigt att forskaren har en öppen och objektiv inställning vid analysen och att den sker systematiskt för att finna andra tolkningar (Kvale & Brinkman, 2009, s 227).

I metodavsnittet beskrivs hur insamlingen av data gick till och hur empirin sedan bearbetades och analyserades. Vidare beskrivs den förförståelse som fanns inför analysen. De etiska överväganden som gjordes beskrivs då intervjuerna gjordes på elever i 11-12 års ålder. Även reliabiliteten och validiteten skrivs fram för att ge en överblick på tillförlitligheten.

Datainsamlingsmetod 4.1

Som metod användes kvalitativa intervjuer med två elever i taget i en klass med enbart svenskfödda elever i årskurs 5 i en F-9 skola på landsbygden. Intervjuerna var

halvstrukturerade, då vissa följdfrågor tillkom och/eller förändrades beroende på elevernas

svar, och gjordes med totalt åtta elever. Med halvstrukturerade intervjuer menas att vissa

frågor är bestämda på förhand men att följdfrågor och ordning bestäms under intervjuns gång

(Kvale & Brinkman, s 2009, s 146). För att få en förförståelse för elevernas kunskap och

förståelse om tal i bråkform genomfördes ett skriftligt förtest, se bilaga 1, med de tjugoen

elever som var i skolan vid tillfället för förtestet. Marton & Booth (2000, s168) menar att det

är viktigt att veta hur bråk framstår i litteratur, i elevernas läromedel och hur eleverna hanterar

bråk för att kunna möta eleverna och ta del av samtalet i intervjun. För att förtestet skulle bli

relevant för eleverna konstruerades testet med utgångspunkt från kursplanen i matematik

(2000), Lithners kompetenser, elevernas lärobok, 2007 års TIMSS-uppgifter samt från Fishers

(2007, kap 14) skrift ”Learning about fractions from assessment”. Fisher ger exempel på

(24)

23

uppgifter om bråk som kan avslöja elevers tankar och förståelse och som i sin tur kan utveckla och förbättra lärares planering och undervisning.

Utifrån elevernas visade förståelse av bråk på förtestet och utifrån Loewenberg Balls (2007, kap 15) intervju med Peoples, en elev i årskurs 6, tillverkades intervjufrågorna. Loewenberg Balls intervju med Peoples handlade om bråk och ägde rum under en MSRI workshop (Mathematical Sciences Research Institute) 2004 inför publik. Anledningen till Loewenberg Balls intervju var att visa på intervjun som ett bedömningsinstrument för att få syn på

elevernas tänkande. En del av Loewenberg Balls intervjufrågor användes i konstruktionen av intervjufrågorna. Intervjufrågorna testades sedan på en elev i årskurs 6 för att se hur

intervjufrågorna fungerade. Detta resulterade i att en del frågor justerades, se bilaga 2.

Urvalet av elever till intervjun byggde dels på deras kunskapsnivå utifrån förtestet, dels utifrån de föräldrar som gett sin tillåtelse. Vid varje intervjutillfälle intervjuades en flicka och en pojke. Sex av de utvalda eleverna var de som klarade förtestet relativt bra och två som hade vissa svårigheter med det. Inga elever som enbart svarat på några enstaka frågor på testet valdes. Djupintervjuer genomfördes med totalt 8 elever i grupp om 2. Valet att intervjua eleverna i grupp hade sin utgångspunkt i ett sociokulturellt perspektiv på lärande, att lärande sker i samverkan mellan elever. Dewey beskriver att: “communication is a process of sharing experience till it becomes a common possession” (I Säljö, 2010, s105). Kommunikationen är dubbelsidig, den har en utsida vänd mot andra och den har en insida vänd mot oss själva och vårt eget tänkande. Inom det sociokulturella perspektivet sker lärandet genom att delta i kommunikativa samspel. Det sätt som eleverna får resonera och tolka verkligheten genom interaktion och kommunikation leder till att eleverna senare kan använda de erfarenheterna för att förstå och kommunicera i nya situationer (Säljö, 2010, s 105). Förhoppningen är att eleverna i intervjusituationen ska få möjlighet att sätta ord på sina tankar och därmed även leda till en lärandesituation.

Intervjuerna genomfördes i ett grupprum och till hjälp fanns papper och pennor. Under

intervjun gjordes ett försök att hålla en balans mellan att pressa på och att hålla avstånd för att

få tillgång till elevernas tankar och reflektioner (Marton & Booth, 2000, s 170). Alla frågor

som fanns med på intervjupappret användes inte. Intervjuer spelades in och transkriberades.

(25)

24 Etiska övervägande

4.2

Då informerat samtycke är en etisk riktlinje inom forskning fick eleverna noggrann information om hur intervjun skulle gå till och i vilket syfte intervjun skulle genomföras.

Eleverna fick förutom att själv ge sin tillåtelse även ha ett skriftligt samtycke från sina föräldrar (Denscombe, 2004, s 225). För att undvika stress och obehag valdes ingen utav de elever som bara svarade på några enstaka frågor på förtestet. De eleverna berättade att de inte kunde svara på frågorna för de hade inte kommit till kapitlet om bråk än. De hade inga gissningar heller.

Intervjuerna gjordes i grupp om två för att de skulle känna sig trygga med en kamrat från klassen. Intervjun inleddes med att tala om att det inte var något prov, att de inte behövde tänka likt varandra och uppmuntrades att våga berätta hur de tänkte. Frågorna var korta och enkla för att passa till elevernas ålder (Kvale & Brinkmann, 2009, s 162). För att skydda elevernas identiteter är deras namn avidentifierade och skolans namn uppges inte.

Databearbetningsmetod 4.3

Under intervjuns gång bildas en första uppfattning av elevernas beskrivningar av tal i bråkform. Här ses forskaren som den som ska lära sig, den som söker efter mening och struktur. Forskaren måste inta ett andra ordningens perspektiv, likt den hermeneutiska principen, om att förståelse och logik är cirkulärt relaterade till varandra. Forskaren ska anta att det eleverna säger är logiskt utifrån deras sätt att erfara bråk, även om den logiken skiljer sig från forskarens egen uppfattning. I denna uppsats handlar det om att avslöja elevernas förståelse (Marton & Booth, 2000, s 174-175).

Det transkriberade materialet lästes igenom ett flertal gånger för att kartlägga elevernas uppfattningar och beskrivningar av tal i bråkform. Då kompetenserna är betydelsefulla för elevers lärande valdes redan på förhand att materialet skulle kategoriseras efter

kompetenserna just för att tal i bråkform inte ska framstå som en lista av ämneskunskaper som

kan bockas av. Dessutom behöver kompetenser uppnås för att de övergripande syftena med

läroplanen ska uppnås (Palm, Bergqvist & Eriksson (2004, s 2, 3). Skolinspektionens

kompetenser valdes som kategorier då skolinspektionens tolkning har gjorts utefter den

svenska kursplanen i matematik. När materialet hade lästs ett flertal gånger urskiljdes vilka

delar av intervjun som kunde kategoriseras efter respektive kompetens, dock kategoriseras

problemlösning och resonemang tillsammans då resonemang till stor del handlar om att

motivera sina lösningar och argumentera för dem. De avsnitt ur det transkriberade materialet,

(26)

25

förtestet och materialet som användes under intervjun så som vikta papper, skrivna bråk och ritade figurer, som behandlade en och samma kompetens analyserades sedan och tolkades.

Tolkningen skedde med inspiration från Kvale & Brinkmanns (2009, s 221) beskrivning av meningskoncentrering, att pressa samman uttalanden till kortare beskrivningar för att sedan kategorisera i olika beskrivningar av bråk. I analysen används mestadels den muntliga intervjun men det skriftliga förtestet analyserades till viss del för att ge en helhetsbild.

Förförståelse 4.3.1

Då resultatet av analysen kan påverkas utav förförståelsen bör den skrivas fram. Den förförståelse som fanns med var 15 års erfarenhet av undervisning av elever i årskurs 1-3, samt undervisning i främst matematikdidaktik på lärarutbildning i 3 år, men mindre erfarenhet av undervisning i årskurs 4-6. Redan före intervjuerna fanns kunskap om bråk och om

kompetenserna medan kunskapen kring elevers tankar och förståelse av bråk i årskurs 5 förhöll sig till den forskning som finns framskriven i litteraturgenomgången.

Reliabilitet och validitet 4.4

Med reliabilitet menas om metoderna som använts vid forskningen är tillförlitliga, att forskningen lett till samma resultat om en annan forskare genomfört forskningen i en annan miljö med andra elever och vid en annan tidpunkt (Kvale & Brinkmann, 2009, s 263).

Reliabiliteten i denna undersökning är på ett sätt låg då eleverna som intervjuades var få och dessutom kom från en och samma klass. Planeringen av intervjuerna var noggranna och även transkriberingen gjordes ordagrant för att öka reliabiliteten. Analysen hade ett bra stöd i den noggranna litteraturgenomgången vilket också ökar reliabiliteten. Analysen måste ändå ses med en viss ödmjukhet eftersom det krävs erfarenhet, varför en mer erfaren forskare kanske skulle komma till ett annat resultat. Dessutom kan analysmetoden, att titta på materialet genom kompetenserna, innebära att andra saker hade framträtt med en annan metod.

Att försvara sitt arbete med hänvisning till validitet är ofta av stor vikt för kvalitativa forskare (Denscombe, 2004, s 125). Med validitet menas bland annat om det är rätt frågor som ställts för att få svar på forskningsfrågorna. Validering handlar inte om ett separat stadium av en undersökning utan genomsyrar hela forskningsprocessen (Kvale & Brinkmann, 2009, s 267).

Även om intervjuerna var noggrant planerade, upptäcktes frågor vid transkriberingen som

kunde ställts annorlunda, frågor som kunde tagits bort och frågor som kunde lagts till. Med

mer erfarenhet av intervjuande hade eleverna fått mer betänketid vid varje fråga och fler

djupgående frågor hade kunnat ställas. Det är därför viktigt att se till forskarens vana av att

(27)

26

intervjua, då intervjuandet kan ses som ett hantverk som man enbart kan lära sig genom att göra intervjuer (Kvale & Brinkmann, 2009, s 33). Om intervjuer dessutom gjorts med elever från olika klasser, som blivit undervisade med olika undervisningsmetoder, hade förmodligen en större variation av svar kunnat urskiljas. Elever som fått undervisning utifrån ett

sociokulturellt perspektiv skulle kanske vara mer vana att tala om begrepp och om matematik

än elever som räknat enskilt i sina matematikböcker.

(28)

27

5 Resultat och analys

I detta kapitel redovisas resultatet och analysen av det insamlade materialet. Resultatet

redovisas utefter skolinspektionens sex kompetenser men resonemang och problemlösning har satts samman då resonemang till stor del handlar om att motivera sina lösningar och

argumentera för dem. Ett inledande avsnitt om undervisningens utformning har lagts till för att läsaren ska få en helhetsbild. När det skriftliga förtestet redovisas är det utifrån de tjugoen elever som deltog och när den transkriberade intervjun redovisas samt det material som användes under intervjun är det utifrån de åtta elever som intervjuades.

Undervisningen 5.1

Eleverna vittnade om en undervisning där de fick arbeta i egen takt i matematikboken.

Undervisningen var läroboksstyrd och läraren hade genomgångar, dock inte vid varje lektionstillfälle. Eleverna jobbade i sin egen takt och det innebar att eleverna inte befann sig inom samma kapitel i matematikboken. Detta kallar Löwing (2006, s 94) för

hastighetsindividualisering och kritiserar arbetsformen för att strida mot Vygotskijs

intentioner. Hon menar att eleverna får problem att uppnå kompetenserna då den personliga kontakten mellan lärare och elev högst blir några minuter varje lektion. Även Niss (1994) menar att undervisningen är avgörande: “As the learning of mathematics does not take place spontaneously and automatically, mathematics needs to be taught” (s 368).

Annelie, en av eleverna i klassen, beskrev ett arbetssätt i klassen som ”Bara börja jobba”.

Procedur 5.2

En proceduruppgift kan beskrivas som en rutinuppgift, en uppgift som är känd för eleverna och där proceduren för att lösa uppgiften är välkänd (NCM & UFM, 2010, s 10). Genom att titta i elevernas matematikbok får man syn på vilka uppgifter som förekommer ett flertal gånger och som bör vara proceduruppgifter för eleverna i klassen. Den första uppgiften på det skriftliga testet var en proceduruppgift, se figur 5.1, att ta reda på

hur stor del av figuren som var skuggad. På testet svarade fjorton elever korrekt . Tre elever svarade , vilket kan tyda på att de istället svarat hur stor del som var vit. En elev svarade 3, en elev 3,4 och två elever lämnade inget svar. En liknande uppgift på det skriftliga förtestet, uppgift 2 a, b och c, att skugga hälften av en figur klarades av samtliga tjugoen elever. Kanske var uppgiften enkel då språket i uppgiften var mer vardagligt, hälften användes i stället för en

Figur 5.1 Proceduruppgift

(29)

28

halv. I kommunikationen mellan lärare och elev menar Löwing & Kilborn (2002, s 239) att det är viktigt att läraren använder ett förståeligt språk samtidigt som läraren har ett ansvar för att bygga upp elevens språkbruk i anslutning till innehållet och att kommunikationen utförs på olika språkliga nivåer, så väl formellt som informellt. Uppgiften därpå, att skugga en tredjedel på olika begreppsmodeller, var nödvändigtvis inte en proceduruppgift då det krävs ett visst resonemang, visade på en del missuppfattningar. Totalt klarade fem elever både a-, b- och c- uppgiften, medan två elever inte försökte på uppgiften. En vanlig missuppfattning var att eleverna delade både cirkeln och kvadraten i fyra lika stora delar och skuggade en eller tre delar. Detta misstag är känt från TIMSS-testet att eleverna ser bråk som ett förhållande (Skolverket, 2008b, s 69), när det ska tolkas som delen av en helhet. Ett annat misstag som eleverna gjorde var att de inte delade in modellerna i tre lika stora delar. Först ritade de ett streck mitt genom cirkeln eller mitt över kvadraten för att sedan dela den ena halvan i lika stora delar. Detta misstag beskriver McIntosh (2008, s 30) och menar att just en tredjedel måste introduceras varsamt i undervisningen då det kan leda till missuppfattningar i hur pappersbitarna ska delas. Fyra elever skuggade tre utav sex rutor på c-uppgiften. Detta kan bero på att eleverna förväxlar ordet tredjedel med antalet tre.

Problemlösning och resonemang 5.3

I början av intervjun fick eleverna resonera kring hur ett litet barn skulle kunna vikt ett papper i hälften, om ett litet barn skulle kunna gjort något misstag. Genom diskussion kom de fram till att ett barn kanske inte skulle klara av att vika kant mot kant. Eleverna fick frågan om det var felaktigt eller om det ändå kunde betraktas som en halv. Eleverna beskrev att barnets vikning inte kunde ses som en halv med motiveringen att båda sidorna måste vara lika stora, att den ska vara vikt på mitten eller som Fabian uttryckte det. ”Kanterna ska vara mot varandra”.

På det skriftliga testet fanns en uppgift där eleverna inte hade ett tydligt sätt att lösa det på, varför uppgiften kan ses som en problemlösningsuppgift (NCM & UFM, 2010, s 9), se figur 5.2.

Uppgiften fanns även med under intervjun för att få med hur eleverna resonerade. På det skriftliga testet klarade enbart två

elever av uppgiften. Fler än hälften av eleverna svarade , 1,4 eller med motiveringen att en ruta av fyra var ifyllda. Eleverna tittade inte på storleken på rutorna utan enbart till antalet rutor. Elevernas förståelse att bråk alltid handlar om rättvisedelning var inte befäst. Detta är

Figur 5.2 Problemlösningsuppgift 1

(30)

29

ett känt problem som McIntosh (2008, s 30) tar upp. En elev svarade vilket tyder på en delförståelse att alla bitar ska vara lika stora, precis som en elev som valde att inte skriva något med motiveringen att det inte kunde bli till ett bråk då delarna inte var lika stora. En elev svarade 1 med motiveringen att det var en ruta som var ifylld. Förutom dessa svar fanns det fyra elever som inte skrev något utan motivering.

Senare under intervjun fick eleverna diskutera uppgiften ovan, figur 5.2, samt uppgiften i figur 5.3. Genom elevernas diskussion av de båda uppgifterna tog de lärdom av varandra vilket ledde till att fler elever klarade av att lösa en eller bägge uppgifterna och dessutom motivera

sin lösning på ett korrekt sätt. Det tyder på att elever som befinner sig i utvecklingszonen har möjlighet att utveckla sina kunskaper genom resonemang och samspel (Säljö 2010, kap 5).

Representation 5.4

En del i representationskompetensen handlar om att kunna sätta in matematiken i

omvärldssituationer (Skolverket, 1997, s 16). Analysen av intervjun visade att eleverna hade svårt att komma på situationer då de hade nytta av att kunna bråk och varför de behövde kunna bråk. Några elever beskrev att de använde bråk när de delade en pizza eller godis, och på samma sätt beskrev eleverna att de behövde kunna bråk i sin framtid. Några kunde inte komma på något tillfälle då de använt bråk, och inte heller på vilket sätt de kommer att få nytta av bråk som vuxna. Så här lät det i intervjun med Gustav och Annelie:

Intervjuaren: Brukar ni använda er utav bråk någon gång i er vardag?

Gustav: Jag tror inte det.

Annelie: Nä.

Intervjuaren: Inte vid något tillfälle?

Annelie: Bara i matten.

Några beskrev att deras föräldrar använde bråk i sin vardag och på jobbet, men att uttrycka i ord hur och varför föräldrarna använde bråk hade eleverna svårt för. Så här lät det i intervjun med David:

Intervjuaren: Vet ni om era föräldrar använder bråk någon gång?

David: Min mamma jobbar ju typ med mat, så hon scannar och sånt. Hon typ scannar maten så att de är rätt längd och sånt. Så mäter de mycket, som mjölkpaketen så att dem är exakt lika långa och sånt.

Intervjuaren: Men hur gör hon då? Vad är det hon behöver bråk till då?

David: Jag vet inte riktigt. Men jag tror att hon gjort det någon gång på vissa grejer.

Figur 5.3 Problemlösningsuppgift 2

(31)

30

Elever behöver kunna se nyttan av att kunna bråk i vardagen och i omvärlden för att kunna vidga sitt eget kunnande (Skolverket, 2008a, s 28).

En annan del av representationskompetensen innebär att eleverna ska kunna översätta mellan talade symboler, skrivna symboler och konkreta modeller (NCM & UFM, 2010, s 10).

Eleverna fick i uppgift att vika ett A-4 papper i en halv och sedan i en fjärdedel, för att sedan skriva talet i bråkform och uttala det. Alla eleverna vek pappret korrekt och nästan alla kunde skriva bråket korrekt. Däremot hade de svårare för att uttala bråken, vilket skrivs fram under 5.6 kommunikation. Eleverna fick sedan ett nytt papper med uppgift att dela pappret i tredjedelar vilket visade sig betydligt svårare. En elev vek pappret först på mitten och sedan varje halva en gång till vilket ledde till att det blev fyra delar. En elev vek först långsidorna så att de mötte varandra och sedan vek hon kortsida mot kortsida vilket ledde till att pappret blev i sex bitar. När de vek upp pappret såg de direkt att det var fel, att sidorna inte var lika stora.

Några gav upp och bad att få rita i stället. Någon menade att det inte gick att vika och en elev ansåg att det var svårt eftersom det inte var ett jämnt tal.

Eleverna fick sedan se olika bråk skrivna på ett papper och sedan visa med hjälp av de papper de hade vikt hur bråket representerades på papper. De fick se ett bråk i taget. Eleverna fick se

, , , och . Eleverna klarade gemensamt av alla bråken utom . Carina menade att det inte gick.

Carina: Det går inte för om man har två rutor så kan man inte dela det på tre.

Några menade att och var samma bråk.

Intervjuaren: Menar du att två tredjedelar är samma som tre andredelar.

David: Ja, det är bara att man vänder på dem.

TIMSS-studien visade att många elever ansåg att dessa två bråk var desamma. Att uppgiften var svår kan bero på att eleverna inte stött på en sådan uppgift förut då deras matematikbok inte tar upp tal i bråkform som är större än ett. Eleverna har enbart mött bråk som del av helhet och har inte arbetat med bråk som ett tal.

Eleverna fick i uppgift att beskriva vilket bråk som är störst utav och . Hälften av eleverna

ansåg att var störst.

(32)

31

Emma: En halv är störst. Ju mer bitar desto mindre. Det finns tre bitar och då måste man ju dela dem i mindre bitar.

Emma tittade enbart på nämnarens storlek. Efter att eleverna hade försökt motivera sitt svar fick de rita de båda bråken. Trots att de skuggade sina bilder korrekt blev de inte övertygade att var det största bråket, utan ansåg fortfarande att var störst. De tittade alltså på hur stor varje enskild del såg ut, så ju mindre tal i nämnare desto större cirkelsektorer. Carina ansåg att de båda bråken var lika stora.

Carina: Man kan säga att de är lika stora eftersom de båda har en som inte är ifylld.

Men sen så har han en poäng eftersom att det är mer rutor, och de är mer ifyllda.

Carina tittade på hur många rutor som inte var ifyllda när hon jämförde bråkens storlek. På det skriftliga förtestet klarade sju av de åtta intervjuade eleverna att är större än samt att

motivera det genom en bild eller med skrift. Då jämförde eleverna två stambråk vilket är något enklare. Tittar man på hela klassen var det dock fler än hälften som inte klarade av att storleksordna de båda stambråken med en korrekt motivering då flera elever ritade bråkens delar olika stora. De kunde inte representera bråken med korrekta bilder.

Både på det skriftliga förtestet och i den muntliga intervjun fanns uppgifter kring tallinjen, för att se om eleverna kunde representera tal i bråkform på tallinjen. På förtestet hade eleverna en tallinje där talet 0, 1 och var utsatta. Elevernas uppgift var att sätta in bråken och . Fem elever klarade det varav fyra av dem var med i intervjun. Hälften av eleverna försökte inte lösa uppgiften. Detta kan bero på att tallinjen inte finns med i elevernas matematikbok i samband med bråk som tal utan i stället representeras utav en bråktavla. Under intervjun fick eleverna en tallinje där enbart talen 0 och 1 var utsatta. Sedan fick eleverna i uppgift att sätta ut ett valfritt bråk. De elever som satte in gjorde det korrekt och motiverade det med att det är mitt på tallinjen. En elev valde och en elev och satte dem på rätt ställe på tallinjen och beskrev sitt val av plats med att hoppa på tallinjen lika många gånger som nämnarens storlek.

Eleven som valt gjorde först om det till tiondelar innan han började hoppa. Det var ingen

under intervjun som använde metaforen division. David satte in 6 vid . Hans förklaring

byggde också på att hoppa på tallinjen men redan vid , som Emma satt dit, var han uppe i 6 .

(33)

32 Samband

5.5

Samband handlar enligt NCM och UFM (2009, s 9-10) om att kunna länka samman olika matematiska företeelser. Eleverna fick i uppgift att tala om hur stor del av figuren som var skuggad, se figur 5.4.

Nästan alla eleverna kunde enkelt beskriva att den skuggade delen var

. Därefter fick de frågan om bråket kunde göras om till tiondelar. Det kunde även de flesta.

De kunde korrekt tala om att det nya bråket skulle bli 6

. De fick även rita in på bilden hur man kunde se att det blev 6 . Eleverna löste det på lite olika sätt. Några valde att dra en horisontell linje mitt över figuren, medan andra valde att rita en vertikal linje i varje ruta.

Därefter fick eleverna beskriva vilket bråk som var störst eller 6 för att se om de hade det sambandet klart för sig. Trots att de hade bilden visuellt framför sig ansåg endast hälften av eleverna att de var lika stora. De som valde att var störst motiverade det med att man får mest då, utan att kunna motivera vidare. Att eleverna tror att är större än 6

kan bero på att de går från det abstrakta till en vardaglig kontext. Delar man en pizza på tio personer så får man en mindre bit pizza än om man är fem personer och delar på pizzan. Carina motiverade sitt svar med att det endast var två ifrån istället för fyra ifrån. Hon tittade alltså på hur stor skillnad det var mellan täljaren och nämnaren. En annan missuppfattning var att 6 var störst för att där är flest rutor. Denna missuppfattning verkar stämma överens med McIntosh (2008, s 32) forskning att en större nämnare automatiskt talar om att det är ett större tal. Att eleverna inte kunde se sambandet kan ha ”sin utgångspunkt i att man arbetar med bråkuttryck isolerade från verkligheten, istället för att arbeta konkret och resonera tillsammans” (McIntosh, 2008, s 32).

Kommunikation 5.6

Kommunikation handlar om att kunna utbyta information inom matematik både muntligt och skriftligt (NCM & UFM, 2010, s 10). Både det skriftliga och det muntliga testet visade att alla elever inte var bekanta med hur tal i bråkform skrivs, utan skrev som 3,4, ett decimaltal, eller 3, ett heltal. Vid några tillfällen användes även decimaltal i antingen täljaren eller både täljaren och nämnaren. Ett bråktal skrivs alltid med heltal i både täljare och nämnare och elever behöver känna till detta. I intervjun framkom att alla elever inte var säkra på hur tal i bråkform uttalas utan sa tre genom fyra, tre delar av fyra eller tre fyra istället för tre

Figur 5.4 Att se samband

(34)

33

fjärdedelar. uttalades även som en och en halv. Löwing och Kilborn (2002, s 240) menar att eleverna måste få kommunicera för att lära sig kommunikation. Kommunikativ kompetens kan inte eleven bygga upp genom att sitta för sig själv och räkna uppgifter ur en bok. Ju mer utvecklat språk eleven har desto lättare har eleven för att formulera frågor till läraren vilket höjer kvaliteten på kommunikationen och risken för missuppfattningar minskar.

Vad innebär det att kunna matematik?

5.7

Eleverna beskrev att man kan matematik när man kan lösa uppgifterna, att man kan lära sig

genom att ställa frågor och att man måste försöka komma ihåg. Man känner sig säker när man

inte behöver titta i facit.

Figure

Updating...

References

Related subjects :