Uppsala Universitet Matematiska institutionen

Uppsala Universitet

Matematiska institutionen

Anders K¨allstr¨om

Prov i matematik

Ordin¨ara differentialekvationer F,Q,W,IT

Civilingenj¨orsutbildningen 1996-06-07

Skrivtid: 15.00 – 21.00. Varje problem ger h¨ogst 5 po¨ang. Till˚atna hj¨alpmedel: Physics Handbook eller Beta. L¨osningarna skall vara ˚atf¨oljda av f¨orklarande text.

1. L¨os differentialekvationen

(x²+ y²)dx + 2xydy = 0.

2. Ekvationen y²dx + (e^x− y)dy = 0 har en integrerande faktor av formen f (ye^x), d¨ar f ∈ C¹. Best¨am denna och l¨os d¨arefter ekvationen fullst¨andigt.

3. Best¨am de kurvor y = y(x) i f¨orsta kvadranten, som har egenskapen att f¨or varje x > 0 s˚a ¨ar y(x) omv¨ant proportionell mot arean mellan kurvan och x-axeln i intervallet (0, x).

4. Best¨am alla kritiska punkter till systemet

( x⁰ = ye^xy y⁰ = xye^xy.

Konstruera ¨aven fasportr¨attet med angivande av riktningen p˚a banorna.

5. L¨os systemet

( x⁰ = 2x − y

y⁰ = y − 2x + 18t.

6. Unders¨ok med hj¨alp av en l¨amplig Lyapunovfunktion stabilitetsegenskaperna hos j¨amviktsl¨aget (0, 0) till systemet

( x⁰ = 2y − x³ y⁰ = −x³− y⁵. 7. Ekvationen

xy⁰⁰− (2x + 1)y⁰+ 2y = 0

har en l¨osning p˚a formen y = e^ax f¨or n˚agot v¨arde p˚a konstanten a. L¨os ekvationen fullst¨andigt.

8. Best¨am de funktioner u(x) som g¨or funktionalen I(y) =

Z 2 0

e^y(y⁰+ y⁰²) dx, y(0) = 0, y(2) = 2

station¨ar. Visa att vi f˚ar samma l¨osningar om I(y) =

Z 2 0

e^yy⁰²dx. F¨orklara varf¨or.

Svar till tentamen i Ordin¨ ara differentialekvationer, 2 po¨ ang 1996-06-07

1. x³

3 + xy² = C d¨ar C ¨ar en godtycklig konstant.

2. f (ye^x) = 1

ye^x. ln |y| − ye^−x = C. (Man ser ocks˚a att y = 0 ¨ar en singul¨ar l¨osning.) 3. y = A

√x.

4. Kritiska punkter ¨ar y = 0.

Fasportr¨attet: y = x²

2 + C, dvs banorna ¨ar parabler. Riktningen inses av att x⁰ > 0 f¨or y > 0 och x⁰ < 0 f¨or y < 0.

5. x = C₁+ C₂e^3t+ 3t²+ 2t och y = 2C₁− C₂e^3t+ 6t²− 2t − 2.

6. E(x, y) = x⁴+ 4y² (positiv definit) och E⁰ = −4x⁶− 8y⁶ (negativt definit) vilket visar att (0, 0) ¨ar asymptotiskt stabil.

7. y = C(2x + 1) + Be^2x d¨ar B och C ¨ar konstanter.

8. u(x) = (e − 1)x + 2.

Termen e^yy⁰ ¨ar ”exakt” (= d

dxe^y) vilket inneb¨ar att den inte ger n˚agot bidrag till Euler- Lagranges ekvation. Den andra funktionalen har s˚aledes samma extremaler.

L¨ osningar till tentamen i ordin¨ ara diff-ekvationer 960607

L¨osning till problem 1. Ekvationen ¨ar exakt med potential U (x, y) = x³

3 + xy² vilket ger l¨osningarna x³

3 + xy² = C d¨ar C ¨ar en godtycklig konstant.

               

L¨osning till problem 2. f (ye^x)y²dx + f (ye^x)(e^x− y)dy = 0 exakt ger villkor

∂

∂x[f (ye^x)(e^x− y)] = ∂

∂y

hf (ye^x)y²ⁱ

vilket efter derivering ger f⁰(ye^x)ye^x = −f (ye^x). S¨att t = ye^x och vi f˚ar differentialek- vationen f⁰(t) = −f (t)

t med l¨osning f (t) = 1

t. En integrerande faktor ¨ar allts˚a 1 ye^x. Multiplikation med denna ger ekvation

ye^−xdx + 1 y − e^−x

!

dy = 0

med potential U (x, y) = ln |y| − ye^−x och l¨osningarna blir s˚aledes ln |y| − ye^−x = C. (Man ser ocks˚a att y = 0 ¨ar en singul¨ar l¨osning.)

               

L¨osning till problem 3. Villkoret ger att y(x) = C

Rx

0 y(t) dt d¨ar C ¨ar en konstant. Om vi s¨atter u(x) =

Z x 0

y(t) dt s˚a blir u⁰(x) = y(x) och u(0) = 0. Vi f˚ar differentialekvationen u⁰(x) = C

u(x) eller uu⁰ = C vilket ger u²/2 = Cx + D. Begynnelsevillkoret u(0) = 0 ⇒ D = 0 och u =√

2Cx. Slutligen ger y = u⁰ att y =

√2C 2√

x = A

√x d¨ar A ¨ar en konstant.

               

L¨osning till problem 4. Kritiska punkter ¨ar naturligtvis y = 0. F¨or att konstruera fasportr¨attet eliminerar vi ”tidsberoendet” genom att ber¨akna

dy = y⁰

= xye^xy

= x

vilket ger att y = x²

2 + C, dvs banorna ¨ar parabler. Riktningen inses av att x⁰ > 0 f¨or y > 0 och x⁰ < 0 f¨or y < 0.

               

L¨osning till problem 5. y = 2x − x⁰, y⁰ = 2x⁰ − x⁰⁰ ger insatt i den andra ekvationen x⁰⁰ − 3x⁰ = −18t. Karakteristisk ekvation m² − 3m = 0 ⇒ homogena l¨osningen x_H = C₁+ C₂e^3t. Ansats f¨or partikul¨ar l¨osning x_P = (At + B)t = At²+ Bt insatt i ekvationen ger

2A − 3(2At + B) = −18t ⇒ A = 3, B = 2

vilket ger totall¨osning x = C1+ C2e^3t+ 3t²+ 2t. Sedan f˚as y = 2x − x⁰ = 2C1− C2e^3t+ 6t²− 2t − 2.

               

L¨osning till problem 6. Ans¨att E = Ax^2m+ By²ⁿ. Vi ber¨aknar E⁰ = 2mAx^2m−1(2y − x³) + 2nBy²ⁿ⁻¹(−x³− y⁵)

= 4mAx^2m−1y − 2nBx³y²ⁿ⁻¹− 2mAx^2m+2− 2nBy²ⁿ⁺⁴

V¨alj 2m − 1 = 3 och 2n − 1 = 1 dvs (m, n) = (2, 1). Detta ger att E = Ax⁴+ By² och E⁰ = (8A − 2B)x³y − 4Ax⁶− 2By⁶.

V¨alj A = 1, B = 4 ger E = x⁴ + 4y² (positivt definit) och E⁰ = −4x⁶ − 8y⁶ (negativt definit) vilket visar att (0, 0) ¨ar asymptotiskt stabil.

               

L¨osning till problem 7. y = e^ax insatt i ekvationen ger (efter division med e^ax) xa² − (2x + 1)a + 2 = 0 f¨or alla x ⇒ a = 2.

Ans¨att nu l¨osning y = e^2xu vilket insatt i ekvationen ger (efter division med e^2x) x(u⁰⁰+ 4u⁰+ 4u) − (2x + 1)(u⁰+ 2u) + 2u = 0 ⇒ u⁰⁰+



2 − 1 x



u⁰ = 0.

Med hj¨alp av integrerande faktor finner man u⁰ = Axe^−2x och efter ytterligaer en inte- gration u = −A

2xe^−2x− A

4e^−2x+ B vilket ger att y = e^2xu = −A

4(2x + 1) + Be^2x dvs av formen y = C(2x + 1) + Be^2x d¨ar B och C ¨ar konstanter.

               

L¨osning till problem 8. S¨att F (x, y, y⁰) = e^y(y⁰ + y⁰²). Detta ger Euler-Lagrange- ekvationen

e^y(y⁰+ y⁰²) − d

dx(e^y(1 + 2y⁰)) = 0 ⇒ e^y(y⁰+ y⁰²) − e^yy⁰(1 + 2y⁰) − e^y· 2y⁰⁰ = 0 ⇒

2y⁰⁰+ y⁰² = 0.

Detta ger ger 2y⁰⁰

y⁰ + y⁰ = 0 ⇒ 2 ln |y⁰| + y = A. (Den singul¨ara l¨osningen svarande mot y⁰ = 0 kan ej uppfylla villkoren y(0) = 0 och y(2) = 2.) Vi f˚ar (y⁰)²e^y = e^A ⇒ e^y/2y⁰ =

±e^A/2 = B. Integration ger 2e^y/2 = Bx + C. Villkoret y(0) = 0 ⇒ B = 2. Sedan ger y(2) = 2 att 2e = 2B + 2 ⇒ B = e − 1. Den s¨okta funktionen ¨ar allts˚a u(x) = (e − 1)x + 2.

Termen e^yy⁰ ¨ar ”exakt” (= d

dxe^y) vilket inneb¨ar att den inte ger n˚agot bidrag till Euler- Lagranges ekvation. Den andra funktionalen har s˚aledes samma extremaler.