• No results found

Antalet matcher är till antalet detsamma som antalet sätt vi kan bilda ett oordnat par med spelare från två olika länder

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Antalet matcher är till antalet detsamma som antalet sätt vi kan bilda ett oordnat par med spelare från två olika länder"

Copied!
3
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Extramaterial till Problemlösningens grunder 1

Kapitel 6 (Kombinatorik)

Exempel 1. I en nationsturnering i schack deltar 10 nationer med fyra spelare från varje land. Varje spelare möter samtliga spelare (i en match) från de övriga nations- lagen. Hur många matcher spelas i turneringen?

(A) En första lösningsstrategi är följande tillämpning av multiplikationsprincipen.

Antalet matcher är till antalet detsamma som antalet sätt vi kan bilda ett oordnat par med spelare från två olika länder. I det första valet väljer vi den ena spelaren, fritt bland de 10×4 = 40 spelarna i turneringen. I det andra valet bestämmer vi den valda spelarens motståndare, detta kan vi göras på 36 sätt, då det nnns 36 spelare med annan nationstillhörighet. Produkten 40×36 ger oss, enligt multiplikationsprincipen, antalet ordnade par med två spelare från olika länder. Eftersom det nns 2! = 2 olika sätt att kasta om ordningen av två spelare/objekt (Exempel 6.4), så ges det totala antalet matcher av

40 × 36

2 = 720.

(B) En alternativ strategi är följande. Återigen tar vi fasta på att antalet sökta matcher är detsamma som antalet sätt vi kan bilda ett oordnat par med spelare från två olika länder. Vi kan nu tänka oss att vi först väljer ut ett par av nationer som ska mötas, detta kan, enligt Exempel 6.8 göras på 10×92 = 45 sätt. När mötande nationer är xerat, återstår det endast att välja ut en spelare från vardera nation. Detta kan, enligt multiplikationsprincipen, göras på 4 × 4 = 16 sätt. Multiplikationsprincipen igen ges oss att det sökta antalet matcher ges av

10 × 9

2 · 4 × 4 = 720.

(C) Låt oss slutligen studera ett tredje sätt att hantera problemet på. Vi tillämpar här resonemanget/principen på sidan 94, detta innebär att vi bestämmet det totala antalet oordande par vi kan bilda utan restriktioner (krav på nationstillhörighet), för att sedan subtrahera bort antalet otillåtna oordnade par med spelare från samma nation. Det totala antalet oordnade par är nu, enligt Exempel 6.8, 40×392 . Antalet oordnade par inom en viss nation är på samma sätt 4×32 . Totalt är det därmed möjligt att bilda 10 ·4×32 oordnade par med spelare inom samma nation. Det sökta antalet matcher ges således av

40 × 39

2 − 10 · 4 × 3

2 = 720, precis som ovan. 

(2)

Extramaterial till Problemlösningens grunder 2

Exempel 2. I guren nedan ser du ett triangulärt gitter av punkter. Hur många rektanglar kan bildas genom att förbinda punkter horisonellt eller vertikalt

såsom är illustrerat (exemplierat) i guren?

Här är det lämpligt att tillämpa Additionsprincipen. Rektangelns högra sida kan ligga utmed utmed fyra möjliga vertikala linjer, linjerna 1  4 i gur nedan. Vi kan

därmed dela in möjliga rektanglar i fyra uteslutande kategorier. Vi bestämmer nu antalet möjliga rektanglar i varje kategori, varpå summering sedan ger det sökta antalet rektanglar.

I kategori 1, där rektangelns högra sida löper utmed linje 1, så nns det 4 möjliga rektanglar. Rektanglarnas höjd (rektanglarnas högra hörnpunkter) är här nämligen bestämda, och vi har fyra möjligheter att välja utmed vilken linje 2  5 som rek- tangels vänstra sida ska ligga utmed.

Betrakta nu kategori två, där alla rektanglar har sin högra sida utmed linje 2. Vi be- stämmer nu först paret av triangelns hörnpunkter utmed linje 2. Det handlar här om att välja ut ett icke upprepat oordnat par bland tre objekt, vi har här alltså 3·22 = 3 valmöjligheter. Därefter bestämmer vi utmed vilken av linjerna 3  5 som rektang- elns vänstra sida ska ligga. Vi har 3 valmöjligheter. Enligt Multiplikationsprincipen är antalet rektanglar inom kategori 2 därför

3 · 2

2 × 3 = 9

(3)

Extramaterial till Problemlösningens grunder 3

till antalet. Med motsvarande resonemang nner vi att antalet rektanglar inom kategori 3 och 4 är

4 · 3 2

| {z }

högra hörnpunkter

× 2

vänstersida|{z}

= 12 respektive 5 · 4

2

| {z }

högra hörnpunkter

× 1

vänstersida|{z}

= 10

Antalet sökta rektanglar ges därmed av

4 + 9 + 12 + 10 = 35 och vi är klara. 

Extraproblem

1. En talföljd kallas summativ då varje tal i följden, från och med det tredje talet, är summan av alla föregående tal. Hur många summativa talföljder nns det bestående av fyra tal, där varje tal är något av heltalen 1, 2, ..., 100.

2. En pokerhand består av fem kort ur en vanlig kortlek. Hur många möjliga pokerhänder utgör en kåk, dvs. består av två kort i samma valör och tre kort i en och samma annan valör?

3. I nalen i det svenska skolmästerskapet i kortspelet bridge deltar ett år 5 lag/skolor, där varje lag/skola representeras av fyra spelare. I en omgång bridge möts två lag, med två spelare i varje lag. Hur många matcher spelas i turne- ringen, då varje par av spelare från samma skola möter varje annat par av spelare från annan skola?

4. En killekorlek består av 42 kort, 21 olika valörer och två likadana kort med samma valör. Hur många möjliga killehänder nns det, då en killehand består av fem kort?

References

Related documents

Jag vill därför uppmana all personal att se till att nedanstående information ställs till expeditionspersonalens förfogande i god tid före.. terminsstart eller start av helt

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen..  Svara kort

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen..  Svara kort

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen..  Svara kort

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen..  Svara kort

 Svara kort och koncist.  Till alla uppgifterna ska fullständiga lösningar lämnas.  Lösningen till varje ny uppgift skall börjas på en ny sida.  Använd bara en sida

Läs noggrant informationen nedan innan du börjar skriva tentamen..  Svara kort

 Efter varje uppgift anges maximala antalet poäng som ges.  Även delvis lösta problem kan