1. Satsen korrekt, men beviset felaktigt (ofullständigt), eller så är 2. Satsen inkorrekt, och därmed även beviset.

Kapitel 1 och 2 (Sats och Bevis).

Nedan följer ett antal satser och tillhörande bevis. Det är dock så att antingen så är:

1. Satsen korrekt, men beviset felaktigt (ofullständigt), eller så är 2. Satsen inkorrekt, och därmed även beviset.

Utred vad det är i bevisen nedan som är inkorrekt. Avgör om satsen är korrekt, och om så är fallet, korrigera beviset.

Sats 1. Talet n + 2 är udda om och endast om 3n + 2 är udda.

Bevis. Antag att n + 2 är udda. Vi ska bevisa att då är 3n + 2 udda. Men enligt förutsättning så kan vi skriva n + 2 = 2k + 1 för något heltal k. Detta ger att n = 2k − 1 så

3n + 2 = 3(2k − 1) + 2 = 6k − 1 = 2(3k − 1) + 1.

Alltså är 3n + 2 udda. Det återstår att bevisa omvändningen, att om 3n + 2 är udda så är n + 2 udda. Så antag att 3n + 2 är udda. Om n är ett jämnt tal, n = 2k, så är 3n + 2 = 6k + 2 jämnt. Vi måste alltså enligt förutsättningarna ha att n är udda.

Så låt n = 2k + 1. Då är

n + 2 = 2k + 3 = 2(k + 1) + 1, vilket visar att n + 2 är udda. Beviset är därmed klart.

Sats 2. Om n är ett heltal sådant att 2n en summa av två heltalskvadrater, då är n omöjligen en summa av två heltalskvadrater.

Bevis. Enligt förutsättning så är n ett heltal sådant att 2n = a ² + b ² för några heltal a och b. Vi ska visa att n inte kan skrivas som en sådan summa av kvadrattal. Men antag att n = x ² + y ² för några heltal x och y. Detta ger att

2n = 2(x ² + y ² ) = 2x ² + 2y ² = ( √

2x) ² + ( √ 2y) ² . Men √

2x och √

2y är nu inga heltal, eftersom x och y är det, vilket motsäger att 2n är en summa av två heltalskvadrater. Alltså kan inte n vara en summa av två heltalskvadrater då 2n är det, beviset är klart. 

Sats 3. Låt a, b, c vara tal sådan att

 a + b − c = 64 a − b + c = 46 Då måste ab − ac = 495.

Bevis. Om vi summerar de båda vänsterleden så får vi (a + b − c) + (a − b + c) = 2a,

Alltså måste 2a = 64 + 46 = 110, så a = 55. Sätter vi in detta värde i vårt ekvationssystem så ger första ekvationen att 55 + b − c = 64, dvs. b = 9 + c. Den andra ekvationen ger att 55 − b + c = 46, vilket ger oss samma samband, b = 9 + c.

Välj därför c = 0, då måste b = 9 så ab − ac = 55 · 9 = 495. 

Sats 4. Låt b vara ett positivt tal. Om a > b eller a < 0 så gäller att a ² > ab . Bevis. Antag att 0 ≤ a ≤ b. Då gäller att a ² = a · a ≤ a · b = ab . Detta visar att om varken a > b eller a < 0 gäller så gäller inte heller a ² > ab . Följdaktligen, om något av villkoren a > b och a < 0 gäller så måste a ² > ab vara uppfyllt. 

Sats 5. Om ^x−1 _x+1 är ett rationellt tal, så är ^x _x

⁻¹ ₊₁ ett rationellt tal.

Bevis. Antag att ^x−1 _x+1 är rationellt. Vi kan då skriva x − 1

x + 1 = p q ,

för några heltal p och q. Men då är x ² − 1 = (x − 1)(x + 1) = pq . Detta ger att x ² − 1

x ² + 1 = pq

(p + 1) ² + 1 = pq p ² + 2p + 2 .

Eftersom p, q är ett heltal så är både täljare pq och nämnare p ² + 2p + 2 här heltal, alltså är ^x _x

⁻¹ ₊₁ rationellt. 

Sats 6. Om a och b är reella tal sådana att a + b = 4, så gäller det att a · b ≤ 4.

Bevis. Satsen säger att för varje tal a så gäller a(4 − a) ≤ 4. Antag att detta inte skulle gälla. Det skulle innebära att det nns ett tal a sådant att a(4 − a) > 4. Men låt a = 2, då gäller att

a(4 − a) = 4,

vilket inte är större än 4. Motsägelsen visar att a(4 − a) ≤ 4 måste gälla för alla a, vilket bevisar satsen. 

Sats 7. Låt a, b, c vara reella tal som uppfyller







a + b = cS b + c = aS c + a = bS

(1)

där S = a + b + c. Då gäller att S = 2.

Bevis. Summerar vi vänsterleden i de tre ekvationerna så erhåller vi (a + b) + (b + c) + (c + a) = 2(a + b + c) = 2S.

Denna summa måste vara lika med summan av högerleden, vilket ger oss 2S = cS + bS + aS ↔ 2S = (a + b + c)S.

Detta visar att a + b + c = 2, och beviset är klart. 

Sats 8. Låt a, b, c vara heltal. Om ekvationen ax ³ + bx + a + b = 0 har en heltals-

lösning, så måste b vara delbart med a.

Bevis. Antag att x 0 är ett heltal sådant att ax ³ 0 + bx 0 + a + b = 0 . Vi kan nu skriva ax ³ + bx + a + b = a(x ³ − x) + (a + b)(x + 1).

Vidare gäller det att x ³ − x = x(x ² − 1) = x(x + 1)(x − 1) , vilket ger oss ax ₀ (x ₀ + 1)(x ₀ − 1) + (a + b)(x ₀ + 1) = 0 ↔ a(x ₀ − 1) + (a + b) = 0

↔ −ax ₀ = b.

Eftersom x 0 är ett heltal så visar detta att a är en delare i b. 

Sats 9. Produkten ab, av ett rationellt tal a och ett irrationellt tal b, är irrationellt.

Bevis. Enligt förutsättning så kan a skrivas a = p/q för några heltal p och q. Det gäller att bevisa att ab inte kan skrivas som en sådan kvot av heltal. Men antag att det nns heltal r och s sådana att ab = r/s. Det innebär att pb/q = r/s, och därmed att b = rq/sp. Talet b är med andra ord irrationellt, vilket motsäger förutsättningarna. Motsägelsen bevisar att ab är irrationellt. 

Sats 10. Talet 0 är det största jämna heltalet.

Bevis. Ett tal n är jämnt då det går att skriva n = 2k för något heltal k. Talet noll är därmed ett jämnt tal, eftersom 0 = 2 · 0. Vi visar nu att 0 är det största jämna heltalet. Men låt m vara det största jämna heltalet. Eftersom 2m är ett jämnt tal så måste 2m ≤ m, så m ≤ 0. Eftersom 0 är jämnt så är även 0 ≤ m. Tillsammans ger detta att m = 0 och beviset är klart. 

Sats 11. Varje heltal kan skrivas som en produkt av två tal som inte är heltal.

Bevis. Låt n vara ett givet heltal. Vi har nu att n = √ 2 · ^{√ n}

2 . Det är klart att √ 2 inte är ett heltal, så vi är klara om vi kan visa att ^{√ n} ₂ inte är ett heltal. Men antag att ^{√ n} ₂ är ett heltal m, m = ^{√ n} ₂ . Då måste √

2 = ^m _n . Med andra ord så måste √ 2 vara ett rationellt tal, eftersom både n och m är heltal. Denna motsägelse bevisar att ^{√ n} ₂ inte är ett heltal, och beviset är klart. 

Sats 12. Låt A, B, C vara punkter på en cirkel. Antag att AB är en diameter och P en punkt på denna. Då gäller att om |P C| = |P B|, så är P cirkelns medelpunkt.

Bevis. Låt M vara cirkelns medelpunkt. Vi ska bevisa att P = M. Antag att detta inte gäller. Det innebär att vi kan bilda två likbenta trianglar 4SCB och 4T CB, enligt guren nedan, där P = S och M = T , eller tvärtom.

Trianglarna 4SCB och 4T CB har nu gemensam basvinkel v = ∠CBA. Detta

innebär att ∠CSB = 180 ^◦ − 2v = ∠CT B, dvs. ∠CSB = ∠CT B. Enligt yttervin-

kelsatsen så är ∠CT B = ∠CSB + ∠SCT , vilket innebär att ∠SCT = 0. Detta ger

att S = T , och vi har en motsägelse. Således måste P = M. 

Sats 13. Låt a, b vara heltal. Om såväl a som produkten ab är kvadraten av ett heltal, så är b också en kvadrat av ett heltal.

Bevis. Enligt förutsättning så kan vi skriva b · n ² = m ² för några heltal n och m.

Det gäller att visa att b = k ² för något heltal k. Om b = 0 eller b = 1 så nns ett sådant k, så vi kan anta att b ≥ 2. Då gäller att b har en primtalsfaktorisering. Varje primtal i vänsterledet m ² måste förekomma ett jämnt antal gånger. På samma sätt så nns det ett jämnt antal av varje primtal i primtalsfaktoriseringen av n ² . Det innebär att varje primtalsfaktor p i i b måste det nnas ett jämnt antal av. Vi har alltså att

b = p ²ⁿ ₁

p ²ⁿ ₂

· ... · p ²ⁿ _r

= (p ⁿ ₁

p ⁿ ₂

· ... · p ⁿ _r

) ² = k ² , där k = p ⁿ 1

p ⁿ ₂

· ... · p ⁿ _r

. Beviset är därmed klart. 

Sats 14. Låt a vara ett positivt heltal. Då är a ⁿ + _a ¹

ett heltal för alla heltal n ≥ 0.

Bevis. Vi tillämpar ett induktionsbevis. Låt a vara ett givet positivt heltal, vi visar nu att a n = a ⁿ + _a ¹

är ett heltal för n = 0, 1, ... Till att börja med konstaterar vi att a ₀ = a ⁰ + _a ¹

= 2 , eftersom a ⁰ = 1 . Antag nu att a n är ett heltal för n = 0, 1, 2, ..., m (induktionsantagandet). Det gäller att bevisa att då är a m+1 också ett heltal. Men vi konstaterar att

a ₁ · a _m =

 a + 1

a

 

a ^m + 1 a ^m



=



a ^m+1 + 1 a ^m+1

 +



a ^m−1 + 1 a ^m−1



= a _m+1 + a _m−1 ,

så a m+1 = a ₁ · a _m − a _m−1 . Eftersom a 0 , ..., a _m nu är heltal, enligt induktionsantagan-

det, så är a m+1 ett heltal. Beviset är klart. 

Facit (kommentarer) Sats:

1. Satsen gäller inte, den gäller dock om n är ett heltal. Vi har att 3n + 2 är ett udda tal då n = 1/3, men n + 2 är då inte ens ett heltal.

2. Satsen gäller, men beviset är felaktigt. Att 2n går att skriva som en summa av kvadraten av två tal som inte är heltal, motsäger inte att 2n går att skriva som en summa av två heltalskvadrater.

3. Satsen gäller. Genom att sätta c till ett värde så håller inte beviset allmänt.

4. Satsen gäller, men beviset är felaktigt. Att bevisa att P medför Q, är inte detsamma som att visa att om P är falskt så är Q falskt. (Felaktigt indirekt bevis.)

5. Satsen gäller. Felet ligger i att anta att x−1 = p och x+1 = q utifrån likheten

x−1 x+1 = ^p _q .

6. Satsen gäller, men beviset är felaktigt. För att motsäga att a(4 − a) > 4 gäller för alla a, så räcker det inte att visa att a(4 − a) > 4 inte gäller för något enstaka tal a.

7. Satsen gäller inte. Om a = b = c = 0 så uppfylls ekvationssystemet, men S = a + b + c = 0 i detta fall.

8. Satsen gäller inte. Vi ser att x = −1 är en heltalsrot oavsett vad a och b är, vilket visar att satsen inte kan gälla.

9. Satsen gäller inte. Låt a vara talet noll, detta är rationellt och därmed även ab = 0 för alla tal b.

10. Satsen gäller inte. Det nns inget största jämnt heltal, att ett sådant tal nns medför därmed att vilket som helst annat påstående. (Om P är falsk så gäller att P → Q för alla utsagor Q.)

11. Satsen gäller inte, heltalet noll kan inte skrivas som en produkt av två heltal som inte är heltal.

12. Satsen gäller inte, den gäller under förutsättning att C inte är samma punkt som B. Satsen gäller alltså om A, B, C antas vara skilda punkter.

13. Satsen gäller inte. Om a = 0 så är a och ab kvadrater av heltal, oavsett vad b är.

14. Satsen gäller inte. Felet ligger i att du inte vet att a 1 är ett heltal efter induk-

tionsantagandet, om m = 0 så är a m+1 = a ₁ .