V (θ2∗) s˚a ¨ar θ1∗ effektivast

1 SAMMANFATTNING VII

1 Sammanfattning VII

1.1 Indikatorvariabel I

Definition 1 I =

{1, med sannolikhet p 0, med sannolihet 1− p

Sats 1 Om I^k oberoende och likaf¨ordelade, p, s˚a ¨ar

∑n k=1

I^k ∈ Bin(n, p).

En v.v.r. skattning av µ ¨ar ex.vis θ^∗ = µ^∗ = 1

n(ξ₁ + ξ₂ + . . . x_n).

1.2 Punktskattning av parametrar

Definition 2 En v.v.r. punktskattning θ^∗ av en parameter θ uppfyller E(θ^∗) = θ.

F¨or tv˚a skattningar θ₁^∗ och θ^∗₂ med V (θ^∗₁) < V (θ₂^∗) s˚a ¨ar θ₁^∗ effektivast.

Sats 2 Antag att ξ_k k = 1, 2, ..., n ¨ar likaf¨ordelade stok.

var. med v¨antev¨arde µ.

D˚a ¨ar θ^∗ = ξ ¨ar en v.v.r. punktskattning av µ.

1

1.3 Tv˚a v.v.r. punktskattningar 1 SAMMANFATTNING VII

1.3 Tv˚a v.v.r. punktskattningar

• Av v¨antev¨arde:

ξ

• Av varians:

1 n− 1

∑n

k=1

(ξ_k − ξ)²

Kommentarer

• Att ta v¨antev¨ardet av 1 n− 1

∑n k=1

(ξ_k − ξ)² och visa att det blir

∑n k=1

ξ_k² − ξ² ¨ar tekniskt sv˚art.

1.4 Intervallskattning d˚a σ k¨and

Intervallskattning av µ i N(µ, σ) Hj¨alpsats:

Antag att ξ ∈ N(µ¹, σ₁) och ζ ∈ N(µ², σ₁2 och ¨ar oberoende.

D˚a ¨ar

ξ + ζ ∈ N(µ1 + µ₂,

√

σ₁² + σ₂²). (1)

Definition 3 Med λ_β(= x) menas den kvantil, s˚adan att

Φ(λ_β) = 1− β.

1- Β Β

Λ_Β x

1- Β

2

1.4 Intervallskattning d˚a σ k¨and 1 SAMMANFATTNING VII

En symmetrisk intervallskattning f¨or µ p˚a a signifikansniv˚a 1− α ¨ar [

ξ − λ_α/2· σ

√n , ξ + λ_α/2· σ

√n ]

(2)

Definition 4 Ett symmetriskt konfidensintervall med konfidensgrad 1− α ¨ar

[

x− λ_α/2· σ

√n , x + λ_α/2· σ

√n ]

(3)

3