Diskrétní waveletová transformace, zhlazování a prahování
Václav Finěk, Dana Černá - TU Liberec
Osnova:
I wavelety,
I diskrétní waveletová transformace,
I srovnání waveletové a Fourierovy transformace,
I zhlazování, prahování a redukce dat,
I diagnostika poruch hnací soustavy.
Podporováno výzkumnými centry 1M06047 a LC06024.
Wim Sweldens: Wavelety jsou stavební bloky, které umožňují rychle dekorelovat data.
Požadované vlastnosti waveletů
I generují bázi,
I kompaktní nosič,
I hladkost (odpovídá poklesu spektra směrem k vysokým frekvencím),
I nulové momenty (odpovídají poklesu spektra směrem k nízkým frekvencím),
I rychlé algoritmy.
Wavelet (pohled matematika)
I je funkce ψ ∈ L2(R).
I Systém funkcí {ψj,k := 2j/2ψ¡
2jx − k¢
}j,k∈Z tvoří ortonormální bázi prostoru L2(R)
f ∈ L2(R) ⇒ f =X
j∈Z
X
k∈Z
hf , ψj,ki ψj,k.
I Konstrukce ortonormální waveletové báze je založena na
„multiresolution analysisÿ (MRA).
I MRA požaduje existenci škálové funkce φ a platnost škálové a waveletové rovnice:
φ(x) =X
k
hkφ(2x − k), ψ(x) =X
k
(−1)kh1−kφ(2x − k).
f ∈ L2(R) ⇒ f =X
k∈Z
hf , φj0,ki φj0,k+ X∞ j=j0
X
k∈Z
hf , ψj,ki ψj,k. (1)
Nejjednodušší příklad waveletu - Haarova funkce:
φ(x) = φ(2x) + φ(2x − 1) a ψ(x) = φ(2x) − φ(2x − 1).
2
0,6 1,5
1
0,4 0,5
0 0,2 0
x
1 0,8
2
0,6 1,5
1
0,4 0,5
0 0,2 0
x
1 0,8
2
0,6 1,5
1
0,4 0,5
0 0,2 0
x
1 0,8
2
0,6 1,5
1
0,4 0,5
0 0,2 0
x
1 0,8
Škálové funkce φ2,0, φ2,1, φ2,2, φ2,3.
0,6 0,4 0,2 0 1,4 1,2 1
0,8 0,6
0,4 0,2 0
x
1
0,8 0 0,2 0,4 0,6
1,4 1,2 1
0,8 0,6
0,4 0,2 0
x
1 0,8
Škálové funkce φ1,0, φ1,1
0,6 0,4 0,2 0 1
0,5
0
x -0,5
-1
1
0,8 0 0,2 0,4 0,6
1
0,5
0
x -0,5
-1
1 0,8
a wavelety ψ1,0, ψ1,1.
2
0,6 1,5
1
0,4 0,5
0 0,2 0
x
1 0,8
1
0,6 0,5
0
0,4
-0,5
-1 0,2 0
x
1 0,8
Škálová funkce φ = φ0,0 a wavelety ψ = ψ0,0,
0,6 0,4 0,2 0 1
0,5
0
x -0,5
-1
1
0,8 0 0,2 0,4 0,6
1
0,5
0
x -0,5
-1
1 0,8
ψ1,0, ψ1,1.
Diskrétní waveletová transformace
Je-li f ∈ L2(R) a označíme-li symbolem yj,k škálové koeficienty funkce f a symbolem xj,k waveletové koeficienty funkce f , potom
xj,k = Z ∞
−∞
f (x)ψj,k(x) dx, yj,k = Z ∞
−∞
f (x)φj,k(x) dx.
Dosadíme-li nyní do těchto rovnic waveletovou (škálovou) rovnici dostaneme algoritmy pro rozklad signálu:
xj,k = 1
√2 X
l
(−1)lh1−lyj+1,2k+l a yj,k = 1
√2 X
l
hlyj+1,2k+l.
Algoritmus pro rekonstrukci získáme porovnáním rovnice (1) pro j0 = l s rovnicí (1) pro j0= l + 1, a po několika úpravách dostaneme:
yl+1,k = 1
√2 X
m
hm−2kyl,m+ 1
√2 X
m
(−1)mh1−m−2kxl,m.
Nejjednodušší příklad transformace s Haarovou funkcí:
Škálová a waveletová rovnice pro Haarův wavelet jsou
φ(x) = φ(2x) + φ(2x − 1) resp. ψ(x) = φ(2x) − φ(2x − 1).
Budeme předpokládat, že vektor [1, 2, 3, 4] reprezentuje koeficienty Haarovy škálové báze pro j0 = 2 ze vztahu (1) na intervalu [0, 1].
První úroveň rozkladu:
·1 + 2
√2 ,3 + 4
√2 ,1 − 2
√2 ,3 − 4
√2
¸
=
· 3
√2, 7
√2,−1
√2,−1
√2
¸
a druhá úroveň rozkladu:
·3 + 7 2 ,3 − 7
2 ,−1
√2,−1
√2
¸
=
·
5, −2,−1
√2,−1
√2
¸ .
Srovnání waveletové a Fourierovy transformace Podívejme se, jak si transformace poradí s nespojitým signálem.
0 100 200 300 400 500 600
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Studovaný signál
Fourier D4 wavelet
0 100 200 300 400 500 600
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 100 200 300 400 500 600
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
Ponecháno 20 v absolutní hodnotě největších koeficientů z 512.
Poprvé byly zanedbány koeficienty - uFT v absolutní hodnotě menší než8, 1079, zatímco u WTv absolutní hodnotě menší než 0, 3087.
Fourier D4 wavelet
0 100 200 300 400 500 600
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
0 100 200 300 400 500 600
−0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Ponecháno 60 v absolutní hodnotě největších koeficientů z 512.
Podruhé byly zanedbány koeficienty - uFT v absolutní hodnotě menší než2, 7375, zatímco u WTv absolutní hodnotě menší než 1, 1 × 10−4.
Waveletová transformace má složitostO(N)zatímco Fourierova transformace má složitostO(NlogN).
Zpracování signálu
I volba waveletu,
I zhlazování signálu,
I prahování
I tvrdé xj,kT =
( 0 pro xj,k< λ, xj,k pro xj,k≥ λ,
I měkké xj,kM =
( 0 pro xj,k < λ,
signum(xj,k)(|xj,k− λ|) pro xj,k ≥ λ,
I volba prahu,
I λ1= σ√ 2 ln M,
I λ2= MED 0, 6745
√2 ln M,
I redukce dat.
Příklad na odstranění šumu pomocí tvrdého prahování
0 100 200 300 400 500 600
−5
−4
−3
−2
−1 0 1 2 3 4 5
Původní signál plus bílý šum s jednotkovým rozptylem.
0 100 200 300 400 500 600
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
0 100 200 300 400 500 600
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
Původní signál a signál po odstranění šumu pomocí waveletu D14.
λ1 ≈ 3, 532230068 a λ2 ≈ 3, 296049822.
Oba odhady vedly k zachování 12 nejdominantnějších koeficientů.
Diagnostika poruch hnací soustavy
Schéma hnací soustavy.
Z vibračního signálu je třeba detekovat následující situace:
A: převodovka i ložiska jsou v pořádku,
B: ložiska jsou v pořádku a závada číslo 1 na převodovce, C: ložiska jsou v pořádku a závada číslo 2 na převodovce, D: vadná ložiska a převodovka je v pořádku,
E: vadná ložiska a závada číslo 1 na převodovce, F: vadná ložiska a závada číslo 2 na převodovce.
Vícevrstvá neuronová síť (metoda backpropagation)
Schéma dvouvrstvé neuronové sítě.
Postup při detekci poruch:
I z každého vzorku bylo vybráno 10 nejdominantnějších koeficientů,
I vstupem do NS byl koeficient a jeho pozice,
I jedna skrytá vrstva se 14 neurony,
I šest výstupních neuronů indikující jednotlivé závady.
Průměrná úspěšnost při klasifikaci testovacích vzorků byla 96%.
Naměřené vibrační signály a výsledky neuronové sítě byly čerpány z práce: B. A. Paya, I. I. Esat, M. N. M. Badi: Artificial Neural Network Based Fault Diagnostics of Rotating Machinery Using Wavelet Transforms as a Preprocessor, Mechanical Systems and Signal Processing, 11(5), 751-765, 1997.
Závěr: Wavelety umožňují účinnou redukci (nadbytečných) dat. Po redukci získáme kompaktnější tvar funkce (signálu), která může být využita například k úspěšné detekci závad hnací soustavy.
Děkuji Vám za pozornost!
