• No results found

Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "Föreläsningsanteckningar till kapitel 8, del 2"

Copied!
5
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

F¨orel¨asningsanteckningar till kapitel 8, del 2

Kasper K. S. Andersen 4 oktober 2018

1 J¨ amf¨ orelse av tv˚ a v¨ antev¨ arden

Ofte vil man j¨amf¨ora tv˚a (eller fler) produkter, behandlingar, processer etc.

med varandra. Vi behandler de tv˚a fall ‘stickprov i par’ och ‘tv˚a oberoende stickprov’ d¨ar man utifr˚an vissa f¨oruts¨attningar kan uttala sig om eventuella skillnader. Vi g¨or bland annat antaganden om normalf¨ordelning: Delvis f¨or att normalf¨ordelningen ¨ar matematisk enkel att hantera och delvis f¨or att man (˚atminstone f¨or stora datamaterial) kan approximera med en normalf¨ordelning enligt centrala gr¨ansv¨ardesatsen.

L˚at oss illustrera de tv˚a situationer genom ett konkret exempel: Vi ¨onsker att unders¨oka effekten av en viss typ medicin p˚a blodtrycket. Vi kan organisera experimentet p˚a ett av f¨oljanda s¨att:

• Man tar n personer och m¨ater blodtrycket hos varje person f¨ore och efter behandling med medicinen. (‘Stickprov i par’)

• Man tar tv˚a grupper personer och behandler personerna i den ena grupp med medicinen. Man m¨ater d˚a blocktrycket p˚a personerna i de tv˚a grup- perna. (‘Tv˚a oberoende stickprov’)

Vi betraktar endast tv˚asidiga konfidensintervall, men ensidiga konfidensin- tervall konstrueras fr˚an dessa p˚a samma s¨att som tidigare.

1.1 Stickprov i par

Den statistiska modellen ¨ar som f¨oljer: Vi har n personer. Blodtrycket f¨ore och efter behandling hos person i kan ses som stokastiska variabler ξi∈ N (µi, σ1) re- spektiva ηi∈ N (µi+ ∆, σ2). Vi till˚ater allts˚a att v¨antev¨ardet beror p˚a personen.

Parametern ∆ anger den systematiska p˚averkning av medicinen p˚a blodtrycket

— vi antar att denna ¨ar ens f¨or alla (jfr Figur 8.8). F¨or att s¨aga att medici- nen p˚averkar blodtrycket skall vi kunna p˚ast˚a att ∆ 6= 0. Vi antar ocks˚a att standardavvikelsen σ1 f¨ore behandling ¨ar samma f¨or alla personer och ocks˚a att standardavvikelsen σ2 efter behandling ¨ar samma f¨or alla personer. De tv˚a standardavvikelser σ1och σ2 kan dock vara olika. Vi antar dessutom att paren (ξ1, η1), . . . , (ξn, ηn) ¨ar oberoende.

S¨att ζi= ηi− ξi. D˚a blir ζ1, . . . , ζn oberoende. Enligt Sats 6B g¨aller ζi∈ N



∆, q

σ12+ σ22

 .

(2)

Allts˚a ¨ar ζ1, . . . , ζn ett stickprov fr˚an N

∆,pσ12+ σ22

. Denna situation ¨ar k¨and fr˚an tidigare, vi har tv˚a fall beroende p˚a om σ1 och σ2 ¨ar k¨anda eller ok¨anda.

Sats: L˚at ξi ∈ N (µi, σ1) och ηi ∈ N (µi + ∆, σ2) f¨or i = 1, . . . , n och anta att paren (ξ1, η1), . . . , (ξn, ηn) ¨ar oberoende. S¨att ζi = ηi − ξi och ζ =

1

n1+ . . . + ζn). En intervallskattning f¨or ∆ med konfidensgrad 1 − α ges av

• σ1 och σ2 k¨anda:

I=



ζ − λα/2· σ

√n, ζ + λα/2· σ

√n



d¨ar σ =pσ21+ σ22.

• σ1 och σ2 ok¨anda:

I=



ζ − tα/2(n − 1) · σ

√n, ζ + tα/2(n − 1) · σ

√n



d¨ar σ= q 1

n−1

Pn

i=1 ζi− ¯ζ2

¨ar punktskattningen av σ med s-metoden.



Exempel: Vi m¨ater blodtryck f¨ore och efter anv¨andning av n˚agon medi- cin p˚a 5 personer. Vi antar att blodtrycketp˚a person i f¨ore och efter ¨ar nor- malf¨ordelade: N (µi, σ1) respektiva N (µi+ ∆, σ2). Ange ett 95% konfidensinter- vall f¨or ∆.

Person 1 2 3 4 5

Blodtryck f¨ore, xi 75 70 75 65 95 Blodtryck efter, yi 85 75 80 80 100 L¨osning: Vi f˚ar med zi = yi− xi

i 1 2 3 4 5

zi 10 5 5 15 5 Vi har n = 5 ochP5

i=1zi= 40 varav ¯z = 405 = 8. D˚a σ1 och σ2 ¨ar ok¨anda ber¨aknes ocks˚a P5

i=1zi2= 400, vilket ger

s = v u u u t

1 n − 1

n

X

i=1

z2i

!

− 1 n·

n

X

i=1

zi

!2

= s

1 4



400 −402 5



=√ 20.

D˚a α = 0.05 ger tabell att tα/2(n − 1) = t0.025(4) ∼= 2.776445. Konfidensinter- vallet blir d˚a

I∆,obs=

"

8 − 2.776445 ·

√20

√5 , 8 + 2.776445 ·

√20

√5

#

= [2.4, 13.6].

D˚a I inneh˚aller ∆ med 95% sannolikhet s˚a verkar medicinen ha blodtrycks- h¨ojande effekt.

(3)

1.2 Tv˚ a oberoende stickprov

Den statistiska modellen ¨ar som f¨oljer: Vi har tv˚a grupper med n1 respektiva n2 personer, d¨ar personerna i grupp 1 inte blir behandlad medan personerna i grupp 2 blir behandlad med n˚agon medicin. Blodtrycket hos personerne i grupp 1 ses som stokastiska variabler ξ1, . . . , ξn1 fr˚an N (µ1, σ1). Motsvarende ses blodtrycket hos personerne i grupp 2 ses som stokastiska variabler η1, . . . , ηn2

fr˚an N (µ2, σ2). F¨or att s¨aga att medicinen p˚averkar blodtrycket skall vi kunna p˚ast˚a att µ16= µ2. Allts˚a ¨ar parametern µ1− µ2ett m˚att f¨or den systematiske p˚averkning av medicinen p˚a blodtrycket. Vi antar (som i fallet ‘Stickprov i par’) att standardavvikelsen σ1utan behandling ¨ar samma f¨or alla personer i grupp 1 och ocks˚a att standardavvikelsen σ2med behandling ¨ar samma f¨or alla personer i grupp 2. De tv˚a standardavvikelser σ1 och σ2 kan dock vara olika om b˚ada

¨ar k¨anda. Om b˚ada ¨ar ok¨anda m˚aste vi anta att σ1= σ2! (Se mera nedan). Vi antar dessutom att alle de stokastiska variablernerna ξ1, . . . , ξn1, η1, . . . , ηn2 ¨ar oberoende.

Man vill j¨amf¨ora µ1och µ2genom att g¨ora en intervallskattning av µ1− µ2. Vi anv¨andar punktskattningerna

µ1= ξ = ξ1+ . . . + ξn1

n1 och µ2= η =η1+ . . . + ηn2

n2 av µ1 respektiva µ2. Enligt Sats 6D g¨aller

ξ ∈ N

 µ1, σ1

√n1



och η ∈ N

 µ2, σ2

√n2

 .

Sats 6B ger d˚a

ξ − η ∈ N

µ1− µ2, s

σ12 n1

22 n2

.

1.2.1 σ1 och σ2 k¨anda

Sats: L˚at ξ1, . . . , ξn1 ∈ N (µ1, σ1) och η1, . . . , ηn2 ∈ N (µ2, σ2) och anta att ξ1, . . . , ξn1, η1, . . . , ηn2 ¨ar oberoende. S¨att

ξ = ξ1+ . . . + ξn1

n1 och η =η1+ . . . + ηn2

n2 .

En intervallskattning av µ1− µ2 med konfidensgrad 1 − α ges av

Iµ1−µ2=

ξ − η − λα/2· s

σ12 n1

22 n2

, ξ − η + λα/2· s

σ21 n1

22 n2

.

1.2.2 σ1 och σ2 ok¨anda

I detta fall m˚aste σ1och σ2 skattas. L˚at

σ1= v u u t

1 n1− 1

n1

X

i=1

ξi− ¯ξ2

och σ2= v u u t

1 n2− 1

n2

X

i=1

i− ¯η)2

(4)

vara punktskattningerna av σ1 respektiva σ2 med s-metoden. Tyv¨arr ¨ar f¨ordel- ningen av

ξ − η − (µ1− µ2) qσ21

n1 +σ22

n2

komplicerad (‘Behrens-Fishers problem’) och en exakt l¨osning ¨ar inte k¨and!

Om man antar σ1= σ2 kan man dock visa att ξ − η − (µ1− µ2)

σ·q

1 n1 +n1

2

∈ t ((n1− 1) + (n2− 1))

d¨ar

σ= s

(n1− 1) · σ12+ (n2− 1) · σ21 (n1− 1) + (n2− 1)

¨ar en sammanv¨agd punktskattning av σ1= σ2. Man kan dessutom visa att σ2∗

¨ar en v¨antev¨ardesriktig punktskattning av σ12= σ22.

Sats: L˚at ξ1, . . . , ξn1 ∈ N (µ1, σ1) och η1, . . . , ηn2 ∈ N (µ2, σ2) och anta att ξ1, . . . , ξn1, η1, . . . , ηn2 ¨ar oberoende. S¨att

ξ = ξ1+ . . . + ξn1

n1 och η =η1+ . . . + ηn2

n2 .

Anta dessutom att σ1= σ2 ¨ar ok¨and. Ett konfidensintervall Iµ1−µ2 f¨or µ1− µ2

med konfidensgrad 1 − α ges av

Iµ1−µ2 =



ξ − η − tα/2(n1+ n2− 2) · σ·r 1 n1

+ 1 n2

, ξ − η + tα/2(n1+ n2− 2) · σ·r 1 n1

+ 1 n2

 .

Exempel: Vi m¨ater blodtryck hos tv˚a grupper personer d¨ar grupp 2 be- handlas med n˚agon medicin. Vi f˚ar f¨oljande resultater

Grupp 1: n1= 6, x = 117.5, s1= 9.7 Grupp 2: n2= 4, y = 126.8, s2= 12.0

Observationerna anses komma fr˚an N (µ1, σ) respektiva N (µ2, σ). Best¨am ett 95% konfidensintervall f¨or µ1− µ2.

L¨osning: Den sammanv¨agda punktskattning av σ blir

σobs= s

(n1− 1) · s21+ (n2− 1) · s22 (n1− 1) + (n2− 1)

= s

(6 − 1) · 9.72+ (4 − 1) · 12.02 (6 − 1) + (4 − 1)

=

r902.45 8

∼= 10.62103.

(5)

Vi har α = 0.05 varav tα/2((n1− 1) + (n2− 1)) = t0.025(8) ∼= 2.306004. Ins¨attning ger d˚a konfidensintervallet

Iµ1−µ2,obs=

"

117.5 − 126.8 ± 2.306004 · 10.62103 · r1

6 +1 4

#

= [−25.52, 6.92].

D˚a 0 ligger inom Iµ1−µ2,obsverkar medicinen inte p˚averka blodtrycket.

§8.4–8.5 ing˚ar inte

References

Related documents

[r]

[r]

Det kan uppst˚ a tv˚ a fall h¨ ar, n¨ amligen degenererade noder (n¨ ar det inte finns tv˚ a linj¨ art oberoende egenvektorer) eller noder (n¨ ar det finns tv˚ a

Element¨ ar gruppteori, hemuppgifter till torsdag vecka 401. Vilka element kan v¨aljas som generator f¨ or

Om det bara finns ett signifikant singul¨ arv¨ arde hos j¨ amf¨ orelsematrisen, betyder detta att alla rader i det n¨ armaste (beroende p˚ a de andra singul¨ arv¨ ardena) ¨ ar

Material i grupp II och III har ocks˚ a h¨ og kompressibilitet f¨ or att de har dels kovalent bindning, dels metallisk bindning, vilket leder till kovalenta kristaller som har ¨

Vi betraktar två oberoende normalfördelade s.v. 1 är känd använder vi formeln.. Man vill jämföra två maskiner A och B med avseende på en viss kvalitetsvariabel hos de

Vi noterar att denna ekvation redan ¨ ar p˚ a “r¨ att” form (skriver vi ekvationen p˚ a standardform och multiplicerar med den integrerande faktorn f˚ as precis detta uttryck),