• No results found

som ¨ ar udda. D¨ arf¨ or om n 2 ¨ ar j¨ amnt det kan inte st¨ ammer att n ¨ ar udda och vi dra slutsatsen att

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "som ¨ ar udda. D¨ arf¨ or om n 2 ¨ ar j¨ amnt det kan inte st¨ ammer att n ¨ ar udda och vi dra slutsatsen att"

Copied!
4
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

TATA79/TEN2 Dugga 2, 2015-12-14 Inledande matematisk analys

1. Visa att l¨ osningar x ∈ R till ekvationen x 2 = 2 ¨ ar irrationella.

Solution: F¨ orst observerar vi att ett heltal n ¨ ar antingen j¨ amnt eller udda men inte b˚ ade och. Om heltalet n ¨ ar udda kan man skriva det som n = 2k + 1 f¨ or n˚ agot heltal k och

n 2 = (2k + 1) 2 = 2(2k + 1) + 1

som ¨ ar udda. D¨ arf¨ or om n 2 ¨ ar j¨ amnt det kan inte st¨ ammer att n ¨ ar udda och vi dra slutsatsen att

om n 2 ¨ ar j¨ amnt s˚ a ¨ ar n j¨ amnt. (1) Nu ger vi ett mots¨ agelse bevis att l¨ osningar x ∈ R till ekvationen x 2 = 2 ¨ ar irrationella. Vi antar att x ¨ ar rationellt: D¨ arf¨ or finns det m ∈ N och n ∈ Z s˚ a att x = n/m. Dessutom f˚ ar vi v¨ alja n och m s˚ adana att de har inga gemensamma delare. Eftersom x 2 = 2 har vi att

n 2 = 2m 2 . (2)

s˚ a n 2 ¨ ar j¨ amnt. D¨ arf¨ or enligt (1) ¨ ar n j¨ amnt och kan d¨ arf¨ or skrivas som n = 2k f¨ or n˚ agot k ∈ Z. Vi s¨ atter det in (2) och f˚ ar att

4k 2 = (2k) 2 = 2m 2 . s˚ a m 2 = 2k 2 och d¨ arf¨ or ¨ ar m 2 j¨ amnt.

S˚ a vi har visat att b˚ ade n och m ¨ ar j¨ amna och d¨ arf¨ or har en gemensamma delare 2. Det ¨ ar en mots¨ agelse till att vi f˚ ar stryka alla gemensamma faktorer och d¨ arf¨ or ¨ ar x irrationellt.

2.

(a) Skissa grafen av den trigonometriska funktionen tangens. Vad ¨ ar funktio- nens definitionsm¨ angd?

(b) Med hj¨ alp av en bild bevisa att

cos(θ + ϕ) = cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ (♣) och

sin(θ + ϕ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ f¨ or θ och ϕ som uppfyller θ ≥ 0, ϕ ≥ 0 och θ + ϕ ≤ π/2.

Solution:

(a) Tangens definitionsm¨ angden ¨ ar {x ∈ R | x 6= π/2 + kπ f¨ or k ∈ Z} och gra- fen ser ut s˚ a h¨ ar:

1

(2)

(b) H¨ ar kommer en bild:

Motliggande sidor av rektangeln har lika l¨ angder s˚ a cos θ cos ϕ = cos(θ + ϕ) + sin θ sin ϕ och

sin(θ + ϕ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ Nu r¨ acker det att skriva om likheterna.

3. Med hj¨ alp av (♣) (som du kan anta g¨ aller f¨ or alla θ, ϕ ∈ R) och den trigonometriska etten (eller genom en annan metod) visa att

sin 2 (θ) = 1 − cos(2θ) 2 f¨ or alla θ ∈ R och speciellt

sin  π 12



=

p 2 − √ 3

2 .

2

(3)

Solution:

Vi skriva om (♣) med ϕ = θ s˚ a att

cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos θ cos θ − sin θ sin θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 1 − 2 sin 2 θ s˚ a

sin 2 (θ) = 1 − cos(2θ)

2 .

Eftersom 0 ≤ π/12 ≤ π/2 ¨ ar sin(π/12) ickenegativt, d¨ arf¨ or kan vi ta kvadratro- ten ur ekvationen och f˚ ar att

sin  π 12



=

r 1 − cos(π/6)

2 = p1 − cos(π/6)

2 =

q 1 − ( √

√ 3/2)

2 =

p 2 − √ 3

2 .

4.

(a) Definiera a x f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) Anv¨ ander r¨ aknareglar f¨ or den exponentialfunktionen f¨ or att visa a x+y = a x a y f¨ or a > 0 och x, y ∈ R.

Solution:

(a) a x := exp(x ln(a)) f¨ or a > 0 och x ∈ R.

(b) Vi r¨ aknar ut att

a x a y = exp(x ln(a)) exp(y ln(a)) =

exp(x + y) = exp(x) exp(y)

exp(x ln(a)+y ln(a)) = exp((x+y) ln(a)) = a x+y .

5. Betrakta ekvationen ax 2 + bx + c = 0 f¨ or givna reella tal a, b och c med a 6= 0. Visa att tecken av b 2 − 4ac best¨ ammer antalet l¨ osningar x ∈ R till ekvationen.

Solution: Vi kan skriva om

ax 2 + bx + c = a

 x + b

2a

 2

− b 2 4a + c s˚ a det ¨ ar lika med 0 om och endast om

a

 x + b

2a

 2

= b 2 4a − c som i sin tur ¨ ar ekvivalent med

 x + b

2a

 2

= b 2 − 4ac

4a 2 (3)

eftersom a 6= 0. Ekvation (3) har tv˚ a l¨ osningar om b 2 − 4ac > 0, igen l¨ osning om b 2 − 4ac < 0 och en l¨ osning om b 2 − 4ac = 0.

3

(4)

6.

(a) Definiera funktionen ln : (0, ∞) → R.

(b) F¨ or vilka x ∈ R ¨ ar

ln  x 2 + 3x − 10 x + 8



+ ln (x + 8) (♦)

definierat? Skriva om (♦) s˚ a att det inh˚ aller h¨ ogst en logaritm. F¨ or vilka x ∈ R ¨ ar din omskrivning definierad?

Solution:

(a) Funktionen ln : (0, ∞) → R definieras som inversen till exponentialfunk- tionen.

(b) Uttrycket ln (x + 8) ¨ ar definierat f¨ or x > −8. Vi kan skriva om ln  x 2 + 3x − 10

x + 8



= ln  (x − 2)(x + 5) x + 8



och kvotet byter tecken (med en linj¨ ar faktor) d˚ a x = −8, −5 och 2. F¨ or st¨ ort x ¨ ar alla faktorerna positiva, d¨ arf¨ or ¨ ar

(x + 3)(x − 4)

x + 1 > 0 om x > 2 eller −8 < x < −5.

D¨ arf¨ or ¨ ar (♦) definierat f¨ or −8 < x < −5 och 2 < x.

Vi kan skriva om ln  x 2 + 3x − 10

x + 8



+ln (x + 8) = ln  (x − 2)(x + 5) x + 8



+ln (x + 8) = ln ((x − 2)(x + 5)) och polynomet

(x − 2)(x + 5)

byter tecken d˚ a x = −5 och 2. D¨ arf¨ or ¨ ar kvotet positivt om x < −5 eller x > 2, och

ln  (x + 3) 2 (x − 4) x + 1



¨ ar definierat f¨ or x < −5 och x > 2.

7. Hitta fem l¨ osningar z ∈ C till ekvationen z 5 = 2.

Solution:

Vi skriva om 2 som 2 = 2e 2kπi f¨ or k ∈ Z s˚ a man kan kolla direkt att z = 2 1/5 e 2kπi/5 l¨ oser ekvationen z 5 = 2. Talen 2 1/5 e 2kπi/5 ¨ ar olika f¨ or till exempel k = 0, 1, 2, 3, 4.

4

References

Related documents

ENIRO’S LOCAL SEARCH SERVICES CREATE BUSINESS Eniro is the leading directory and search company in the Nordic media market and has operations in Sweden, Norway, Denmark, Finland and

Antal på grund av arbetsolycks- fall förlorade arbetsdagar per tu­ sental arbetstimmar (svårhetstal) år 1963 med fördelning inom olika näringsgrenar efter huvud­

Po¨ angen p˚ a godk¨ anda duggor summeras och avg¨ or slutbetyget.. L¨ osningarna skall vara v¨ almotiverade och

Du m˚ aste inte r¨ akna ut eventuella potenser i de tv˚ a

Hos de hdr studerade arterna Arpedium quadrum (Grav.) och Eucnecosum brachypterum (Grav.) iir livscykeln kand endast hos den senare

ningar av dcn lokala faunan kan vara av stort intresse och ge lika stor tillfredsstallelse sonl att aka land och rikc runt pa jakt cftcr raritctcr till den privata

Liksom de övriga är den uppförd av kalksten samt putsad med undantag för omfattningar av huggen

Ni har visat att de algebraiska talen ¨ ar uppr¨ akneligt m˚ anga, och f¨ oljdaktligen att det finns ¨ overuppr¨ akneligt m˚ anga transcendenta tal: d¨ aremot har ni inte visat