TATA79/TEN2 Dugga 2, 2015-12-14 Inledande matematisk analys
1. Visa att l¨ osningar x ∈ R till ekvationen x 2 = 2 ¨ ar irrationella.
Solution: F¨ orst observerar vi att ett heltal n ¨ ar antingen j¨ amnt eller udda men inte b˚ ade och. Om heltalet n ¨ ar udda kan man skriva det som n = 2k + 1 f¨ or n˚ agot heltal k och
n 2 = (2k + 1) 2 = 2(2k + 1) + 1
som ¨ ar udda. D¨ arf¨ or om n 2 ¨ ar j¨ amnt det kan inte st¨ ammer att n ¨ ar udda och vi dra slutsatsen att
om n 2 ¨ ar j¨ amnt s˚ a ¨ ar n j¨ amnt. (1) Nu ger vi ett mots¨ agelse bevis att l¨ osningar x ∈ R till ekvationen x 2 = 2 ¨ ar irrationella. Vi antar att x ¨ ar rationellt: D¨ arf¨ or finns det m ∈ N och n ∈ Z s˚ a att x = n/m. Dessutom f˚ ar vi v¨ alja n och m s˚ adana att de har inga gemensamma delare. Eftersom x 2 = 2 har vi att
n 2 = 2m 2 . (2)
s˚ a n 2 ¨ ar j¨ amnt. D¨ arf¨ or enligt (1) ¨ ar n j¨ amnt och kan d¨ arf¨ or skrivas som n = 2k f¨ or n˚ agot k ∈ Z. Vi s¨ atter det in (2) och f˚ ar att
4k 2 = (2k) 2 = 2m 2 . s˚ a m 2 = 2k 2 och d¨ arf¨ or ¨ ar m 2 j¨ amnt.
S˚ a vi har visat att b˚ ade n och m ¨ ar j¨ amna och d¨ arf¨ or har en gemensamma delare 2. Det ¨ ar en mots¨ agelse till att vi f˚ ar stryka alla gemensamma faktorer och d¨ arf¨ or ¨ ar x irrationellt.
2.
(a) Skissa grafen av den trigonometriska funktionen tangens. Vad ¨ ar funktio- nens definitionsm¨ angd?
(b) Med hj¨ alp av en bild bevisa att
cos(θ + ϕ) = cos θ cos ϕ − sin θ sin ϕ (♣) och
sin(θ + ϕ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ f¨ or θ och ϕ som uppfyller θ ≥ 0, ϕ ≥ 0 och θ + ϕ ≤ π/2.
Solution:
(a) Tangens definitionsm¨ angden ¨ ar {x ∈ R | x 6= π/2 + kπ f¨ or k ∈ Z} och gra- fen ser ut s˚ a h¨ ar:
1
(b) H¨ ar kommer en bild:
Motliggande sidor av rektangeln har lika l¨ angder s˚ a cos θ cos ϕ = cos(θ + ϕ) + sin θ sin ϕ och
sin(θ + ϕ) = sin θ cos ϕ + cos θ sin ϕ Nu r¨ acker det att skriva om likheterna.
3. Med hj¨ alp av (♣) (som du kan anta g¨ aller f¨ or alla θ, ϕ ∈ R) och den trigonometriska etten (eller genom en annan metod) visa att
sin 2 (θ) = 1 − cos(2θ) 2 f¨ or alla θ ∈ R och speciellt
sin π 12
=
p 2 − √ 3
2 .
2
Solution:
Vi skriva om (♣) med ϕ = θ s˚ a att
cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos θ cos θ − sin θ sin θ = cos 2 θ − sin 2 θ = 1 − 2 sin 2 θ s˚ a
sin 2 (θ) = 1 − cos(2θ)
2 .
Eftersom 0 ≤ π/12 ≤ π/2 ¨ ar sin(π/12) ickenegativt, d¨ arf¨ or kan vi ta kvadratro- ten ur ekvationen och f˚ ar att
sin π 12
=
r 1 − cos(π/6)
2 = p1 − cos(π/6)
√
2 =
q 1 − ( √
√ 3/2)
2 =
p 2 − √ 3
2 .
4.
(a) Definiera a x f¨ or a > 0 och x ∈ R.
(b) Anv¨ ander r¨ aknareglar f¨ or den exponentialfunktionen f¨ or att visa a x+y = a x a y f¨ or a > 0 och x, y ∈ R.
Solution:
(a) a x := exp(x ln(a)) f¨ or a > 0 och x ∈ R.
(b) Vi r¨ aknar ut att
a x a y = exp(x ln(a)) exp(y ln(a)) =
↑
exp(x + y) = exp(x) exp(y)