Po¨ang totalt f¨or del 1: 25 (8 uppgifter) Tentamensdatum 2012-01-13 Po¨ang totalt f¨or del 2: 30 (3 uppgifter) Skrivtid 09.00 – 14.00 L¨arare: Adam Jonsson, Ove Edlund, Inge S¨oderkvist
Jourhavande l¨arare: Adam Jonsson Tel: 0920-491948
Till˚atna hj¨alpmedel: • R¨aknedosa,
• Kursboken V¨annman: Matematisk statistik. I kursboken f˚ar anteckningar och post-it lappar finnas, men inte l¨osta exempel.
• Kompendium i regressionsanalys
• Formelblad
• Tabeller
Tentamen best˚ar av tv˚a delar. P˚a den f¨orsta delen, som ¨ar obligatorisk f¨or att kunna bli godk¨and, ska enbart svar l¨amnas in, men l¨osningar f˚ar bifogas. Observera dock att dessa kommer ej att bed¨omas utan enbart anv¨andas vid gr¨ansfall f¨or att avg¨ora om n˚agon uppgift kan ”r¨attas upp” p˚a grund av slarvfel. P˚a del 1 ges inga delpo¨ang p˚a uppgifterna.
Svaren f¨or del 1 ska fyllas i p˚a det blad som bifogas tentamen. Detta blad m˚aste l¨amnas in. L¨agg detta blad f¨orst bland l¨osningarna. Om inte det ifyllda svarsbladet har l¨amnats in s˚a bed¨oms tentamen som underk¨and. F¨or godk¨ant kr¨avs minst 17 po¨ang p˚a del 1. Med 2 extrapo¨ang fr˚an laborationerna och KGB s˚a r¨acker det allts˚a med 15 po¨ang av de 25 m¨ojliga f¨or godk¨ant.
P˚a den andra delen, som g¨aller tentamen f¨or ¨overbetyg, ska fullst¨andiga l¨osningar l¨amnas in. T¨ank p˚a att redovisa dina l¨osningar p˚a ett klart och tydligt s¨att och motivera resonemangen. Vid bed¨omningen av l¨osningarna l¨aggs stor vikt vid hur l¨osningarna ¨ar motiverade och redovisade. F¨or betyg 4 kr¨avs godk¨ant p˚a den f¨orsta obligatoriska delen samt minst 13 po¨ang fr˚an den andra delen f¨or ¨overbetyg. F¨or betyg 5 kr¨avs godk¨ant p˚a den f¨orsta obligatoriska delen samt minst 23 po¨ang fr˚an den andra delen f¨or ¨overbetyg.
OBS! Det g˚ar inte att kompensera underk¨ant p˚a den f¨orsta korta delen av tentamen med po¨ang p˚a den andra delen.
Ange p˚a tentamensomslaget om du har l¨amnat in l¨osningar p˚a del 2 genom att kryssa f¨or de sista tre uppgifterna.
Om du plussar f¨or ¨overbetyg s˚a skriv detta p˚a tentamensomslaget.
LYCKA TILL!
1. I textilfabriken kontrollerar de tv˚a kontrollanterna Anders och Bertil alla plagg efter att de sytts ihop. De ska b˚ada tv˚a granska alla plagg, och de ska genomf¨ora granskningarna oberoende av varandra. Anta att en viss typ av plagg ¨ar defekt, och att sannolikheten att Anders uppt¨acker detta ¨ar 89 %. Motsvarande sannolikhet f¨or Bertil ¨ar 94%.
(a) Ber¨akna sannolikheten att exakt en av dom uppt¨acker defekten. (2p) (b) Givet att minst en av dom upp¨acker defekten, hur stor ¨ar sanno-
likheten att Bertil uppt¨acker defekten? (2p) 2. Den kontinuerliga slumpvariablen ξ har frekvensfunktionen
f (x) =
(µ om 8 ≤ x ≤ 12, 0 annars,
d¨ar µ ¨ar en konstant. Ber¨akna sannolikheten P (9.5 ≤ ξ ≤ 10.5).
Kommentar: µ skall inte ing˚a som en ok¨and konstant i svaret. (2p) 3. Antag att du har ett stickprov ξ1, ξ2, . . . , ξ20 av storlek 20 fr˚an en kon-
tinuerlig f¨ordelning. Den ¨ovre kvartilen i f¨ordelningen, som betecknas q3, definieras via P (ξ < q3) = 0.75.
(a) Ber¨akna sannolikheten att alla de 20 variablerna ¨ar mindre ¨an q3. (1p) (b) Ber¨akna sannolikheten att minst 12 av de 20 variablerna ¨ar min-
dre ¨an q3. (2p)
4. P˚a en gata finns tv˚a aff¨arer, aff¨ar A och aff¨ar B. Antalet kunder som bes¨oker de tv˚a aff¨arerna en timme kan beskrivas med Poissonf¨ordelningar.
Det genomsnittliga antalet kunder som bes¨oker de tv˚a aff¨arerna ¨ar 1.3 respektive 1.5. Aff¨ar A s¨aljer m¨obler och aff¨ar B exotiska kryddor, och vi antar d¨arf¨or att antalet kunder som bes¨oker de tv˚a aff¨arerna ¨ar oberoende.
(a) Ber¨akna sannolikheten att de tv˚a aff¨arerna tillsammans tar emot
h¨ogst 1 kund under en timme. (2p)
(b) Ber¨akna variansen f¨or det totala antalet kunder som kommer in
i de tv˚a aff¨arerna under en timme. (2p)
5. Den str¨acka (enhet: mil) som en bilist kan f¨ordas p˚a en full tank bensin kan betraktas som en normalf¨ordelad slumpvariabel med v¨antev¨arde 60 och standardavvikelse 5.
(a) Bilisten vill best¨amma den str¨acka S som hon med 97 % sanno- likhet (minst) kan f¨ardas p˚a en full tank. Ber¨akna S. (1p)
6. En l¨akare vill veta om svenska m¨an har st¨orre ¨overarmsm˚att p˚a h¨oger sida eller om m˚attet p˚a h¨oger och v¨anster sida i genomsnitt ¨ar det- samma. Hon hittar en unders¨okning av 10 m¨an som genomf¨orts av en kollega. Kollegan har dock inte noterat de faktiska m¨atv¨ardena, utan endast angivit (med +) om det h¨ogra ¨overarmsm˚attet var st¨orre eller (med −) om ¨overarmsm˚attet var st¨orre p˚a v¨anster sida. Resultatet
˚aterges nedan:
Man nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
M¨atning - - + - - - -
L¨akaren tycker att det ¨ar rimligt att anv¨anda antalet + tecken som testvariabel f¨or att testa
H0 : “Det finns ingen genomsnittlig skillnad”
H1 : ”Det finns genomsnittliga skillnader”
och f¨orkasta H0 om antalet + tecken antingen ¨ar st¨orre ¨an 7 eller mindre ¨an 3. Hon f¨orkastar d¨arf¨or hypotesen att m˚atten i genomsnitt
¨ar lika p˚a h¨oger och v¨anster sida.
Vilken signifikansniv˚a har det test som l¨akaren till¨ampat? (2p) 7. Antag att du har ett stickprov av storlek 16 fr˚an en normalf¨ordelning
med v¨antev¨arde µ och standardavvikelse 4.6. Du ska testa hypotesen H0 : µ = µ0 = 14.5 mot H1 : µ < 14.5. Du anv¨ander en beslutsregel som inneb¨ar att det ensidiga 95 %-iga konfidensintervallet
(−∞, ¯x + 1.891635]
ber¨aknas, varp˚a H0 f¨orkastas om intervallet inte t¨acker µ0 = 14.5.
Best¨am testets styrka d˚a µ = 12. (2p)
8. Denna uppgift behandlar borrning av lodr¨ata h˚al i berggrunden. En unders¨okning har gjorts av hur tiden det tar att borra 5 feet (TIME, minuter) varierar med hur djupt borren befinner sig (DEPTH, feet).
M¨atningen har gjorts med tv˚a typer av borrar (DRILL) som ¨ar kodade med en dummyvariabel som ¨ar 0 eller 1. En regressionsanalys f¨or 34 observationer redovisas i tabell 1.
(a) Best¨am justerade f¨orklaringsgraden R2a. (1p) (b) Kan man p˚a 5% signifikansniv˚a p˚ast˚a att djupets effekt p˚a bor-
rtiden beror av borrtypen? Svara med (Ja/Nej) samt det P-v¨arde du anv¨ande f¨or att dra din slutsats. (2p) (c) Best¨am ett 95 % konfidensintervall f¨or hur mycket tiden (TIME)
¨andras d˚a djupet (DEPTH) ¨okas med en enhet och borrtyp 0 anv¨ands. Svara med den ¨ovre gr¨ansen. (2p)
Tabell 1: Regression Analysis: TIME versus DEPTH; DRILL; DEPTH*DRIL
The regression equation is TIME = 4,79 + 0,0144 DEPTH + 1,75 DRILL - 0,00790 DEPTH*DRILL
Predictor Coef SE Coef T P
Constant 4,7896 0,5771 8,30 0,000 DEPTH 0,014388 0,002466 5,83 0,000
DRILL 1,7517 0,8161 2,15 0,040
DEPTH*DRILL -0,007896 0,003487 -2,26 0,031 S = 1,24037 R-Sq = 57,8% R-Sq(adj) = ?
Analysis of Variance
Source DF SS MS F P
Regression ? 63,300 21,100 13,71 0,000 Residual Error ? 46,155 1,539
Total ? 109,455
Slut p˚a del 1. Gl¨om inte att bifoga svarsbladet med tentan!
Tabell f¨or svar till del 1
Riv ut och l¨agg svarsbladet f¨orst i tentamen
Namn: . . . . Personnummer: . . . .
Fr˚aga Svar Po¨ang
1 a Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 15.68 2
b Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 94.62 2
2 Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 25.00 2
3 a Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 0.32 (procent) 1
b Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 95.91 2
4 a Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 23.11 2
b Varians (tv˚a decimaler) 2.8 2
5 a S (mil, tre decimaler) 50.6 1
b Sannolikhet (procent, tv˚a decimaler) 7.93 (1-Φ(1.41)) 2
6 Signifikansniv˚a (procent, tv˚a decimaler) 10.94 2
7 Styrka (procent, tre decimaler) 70.16 exakt,
Φ(0.53) = 70.19
2 8 a Just. f¨orklaringsgrad R2a (%, fyra decimaler) 53.6152 1 b P-v¨arde (tre decimaler) samt JA eller NEJ 0.031, JA 2 c Ovre gr¨¨ ans (tre decimaler) 0.019, 0.01857280 ex-
akt (med f = 30 i t- f¨ordelningen)
2
Totalt antal po¨ang 25
Vid bed¨omningen av l¨osningarna av uppgifterna i del 2 l¨aggs stor vikt vid hur l¨osningarna ¨ar motiverade och redovisade. T¨ank p˚a att noga redovisa inf¨orda beteckningar och eventuella antaganden.
9. Satserna 6B och 6D ¨ar specialfall av Sats 6C. Dvs varken Sats 6B eller Sats 6D ger n˚agon ytterligare information d˚a man vet att resultatet i Sats 6C g¨aller.
(a) Visa att (dvs f¨orklara tydligt varf¨or) Sats 6B f¨oljer av Sats 6C. (3p)
(b) Visa att Sats 6D f¨oljer av Sats 6C. (3p)
Sats 6B f¨oljer d¨aremot inte av Sats 5B.
(c) Vad f¨or nytt har tillkommit i Sats 6B som inte finns i Sats 5B? (2p) L¨osningsskiss:
(a) Om vi s¨atter c1 = c2 = 1 respektive c1= 1, c2 = −1 i Sats 6C s˚a f˚ar vi Sats 6B.
(b) Om vi s¨atter ci= 1/n, i = 1, . . . , n, i Sats 6C s˚a f˚ar vi Sats 6D.
(c) Det som ¨ar nytt ¨ar att Pn
j=1ξj har en normalf¨ordelning (om variablerna ¨ar oberoende och normalf¨ordelade).
10. Du arbetar p˚a ett f¨oretag som tillverkar elektriska komponenter. En- heternas vikter kan betraktas som observationer fr˚an en kontinuerlig f¨ordelning. Man vet dock ingen ´ytterligare information om f¨ordelningen, f¨orutom att den ¨ar symmetrisk. Du f˚ar i uppgift att med hj¨alp av 16 observationer (se nedan) konstruera ett konfidensintervall f¨or den genomsnittliga vikten, dvs f¨ordelningens v¨antev¨arde.
Obs. nr 1 2 3 4 5 6 7 8
Vikt 5.31 5.27 12.84 5.49 2.09 5.58 5.09 10.21
Obs. nr 9 10 11 12 13 14 15 16
Vikt 6.12 3.86 3.88 2.41 15.09 8.52 5.93 4.79 Ber¨akna ett konfidensintervall f¨or v¨antev¨ardet som har en konfidens-
grad som ligger s˚a n¨ara 95 procent som m¨ojligt. (12p) L¨osningsskiss: Att f¨ordelningen ¨ar symmetrisk betyder att v¨antev¨ardet
¨
ar lika med medianen. Eftersom f¨ordelning ¨ar kontinuerlig kan vi anv¨anda metoden med teckenintervall. L˚at Ik = [x(1 + k), x(16 − k)], k = 0, 1, . . . , 7, d¨ar x(1), . . . , x(16) betecknar det ordnade stickprovet. Kon- fidensgraderna f¨or intervallen I0, I1, I2, I3, I4, . . . ¨ar 0.9999695, 0.9994812, 0.995819, 0.9787292, 0.9231873, . . . . S˚a I4 = [3.88, 8.52] passar b¨ast.
Kommentar: P˚a tentan stod det ”. . . som har en konfidensgrad som ligger s˚a n¨ara 5 procent som m¨ojligt”. Om man r¨aknat p˚a det s˚a ¨ar det OK.
11. En person utf¨or slumpvandring p˚a den 67 breddgraden. Det g˚ar till s˚a att personen varje sekund kastar en enkrona och tar ett steg ¨osterut om det blir klave och ett steg v¨asterut om det blir krona. Antag att per-
efter en timme befinner sig minst 100 meter fr˚an sin ursprungsposition.
Rimliga och v¨almotiverade approximationer godtas. (10p) L¨osningsskiss: L˚at ξ vara antalet steg i ¨ostlig riktning efter 3600 steg
(en timme). Personens position ζ efter en timme (med 67 breddgraden som x-axel) ¨ar antalet steg i ¨ostlig riktning minus antalet steg i v¨astlig riktning. Allts˚a ζ = ξ − (3600 − ξ) = 2ξ − 3600. Att |ζ| ≥ 100 ¨ar samma sak som att ξ ≥ 1850 eller ξ ≤ 1750. Vi har ξ ∈ Bin(3600, 0.5) ' N (1800, 30) enligt CGS. Det ger P (ξ ≥ 1850 eller ξ ≤ 1750) ' 0.9.
