A f de ä n d r i n g a r i n e d e r s k o l a n s m a t e m a t i k k u r s e r , s o m d e n n y l i g e n u t g i f n a k u r s p l a n e n för r e a l s k o l a n å s t a d k o m - m i t , är d e t s ä r s k i l d t t v ä n n e , s o m k o m m a a t t v e r k a b e f r u k - t a n d e p å m a t e m a t i k e n s s t u d i u m i s k o l a n . D e n ena ä n d - ringen är d e n , a t t i k u r s p l a n e n f ö r e s k r i f v i t s , a t t u n d e r v i s - n i n g e n i a l g e b r a s k a l l i n l e d a s m e d l ö s a n d e t a f e n k l a siffer- e k v a t i o n e r ; d e n a n d r a b e t y d e l s e f u l l a f ö r ä n d r i n g e n är d e n , a t t i k u r s e n för klass 5 u p p t a g i t s » u p p r i t n i n g a f e n k l a d i a g r a m . »
B e t y d e l s e n af d e n förra r e f o r m e n f r a m g å r t i l l f u l l o a f d e n m o t i v e r i n g för d e n s a m m a , s o m l e m n a t s i d e n senaste l ä r o v e r k s k o m m i t t é n s förslag t i l l k u r s e r för de a l l m ä n n a l ä r o v e r k e n ( s i d . 148 och följ.) och d e n s k a l l h ä r i c k e g ö r a s f ö r e m å l för n å g o n u n d e r s ö k n i n g . U p p t a g a n d e t a f l ä r a n o m g e o m e t r i s k a d i a g r a m t o r d e e m e l l e r t i d h a f v a l i k a s t o r b e t y d e l s e för en f r u k t b r i n g a n d e m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g , f ö r u t s a t t a t t d e t n ä m n d a s t u d i e t ej tages s o m n å g o t f r i - s t å e n d e u t a n a n v ä n d e s för a t t k l a r g ö r a s a m b a n d e t m e l l a n de o l i k a d e l a r n a a f m a t e m a t i k k u r s e r n a . I s t a d g a n s m e t o - d i s k a a n v i s n i n g a r f ö r e s k r i f v e s n ä r m a r e , h u r d e n n ä m n d a u n d e r v i s n i n g e n t a n k e s a n o r d n a d .
»I s j ä t t e klassen, e v e n t u e l l t i d e n f e m t e , b ö r , i s a m -
b a n d m e d de p l a n i m e t r i s k a r ä k n i n g a r n a införas b e g r e p p e t
i r r a t i o n e l l t t a l , o c h s ä r s k i l d t b ö r a l ä r j u n g a r n a v i n n a för-
t r o g e n h e t m e d b e g r e p p e t k v a d r a t r o t . — — D e t t o r d e
e m e l l e r t i d i c k e v a r a l ä m p l i g t a t t g e n o m g å d e n v a n l i g a m e -
t o d e n för u t d r a g n i n g a f k v a d r a t r ö t t e r . Däremot böra lär-
jungarna sjålfva på grafisk väg, helst genom konstruktion
af ett diagram, få bestämma approximativa vården på kvad-
ratrötter ur en följd af siffertal och på grund hår af upprätta ett
stycke af enkvadratrottabell. »(Sv. Förf. s a m l . n : r 1 0 . 1 9 0 6 S . 2 9 ) .
I s a m b a n d m e d d e n g e o m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n n a m n e s
längre f r a m ( i e n n o t å s i d . 31) några d i a g r a m s o m anses l ä m p l i g a a t t u p p r i t a : »ett eller annat diagram rörande nå- gon statistisk fråga, såsom folkmängdens tillväxt under en viss period i åtskilliga länder; någon kurva bestämd genom sin geometriska definition {ex. ellipsen, hyperbeln) eller ge- nom sin'ekvation {ex. de räta linierna y — 2x; y = jx—2;
1
hyperbeln y=~; parabeln y = \ % eller x = y2, hvaraf lärjung- arna sedan kunna begagna sig för att upprätta en tabell öfver siffertals kvadratrötter); diagram öfver kapitalets till- växt med tiden vid enkel och sammansatt ränteräkning.*
D e t är sålunda i c k e m e n i n g e n , a t t frågan o m g r a f i s k framställning a f talförhållanden s k a l l inskränkas t i l l d e t e n d a först n ä m n d a e x e m p l e t , k v a d r a t r ö t t e r u r s i f f e r t a l . M e n å a n d r a s i d a n n a m n e s i c k e , a t t de g e o m e t r i s k a d i a - g r a m m e n s k o l a a n v ä n d a s för a t t å s t a d k o m m a åskådlighet i a l g e b r a u n d e r v i s n i n g e n u t o m i d e t e n d a f a l l e t : b e r ä k n i n g af k v a d r a t r ö t t e r . M e n p å d e t ifrågavarande s t a d i e t t o r d e d e n g e o m e t r i s k a b e t y d e l s e n a f d i a g r a m r i t n i n g e n ej g å u p p e m o t de fördelar, s o m d e n n a k a n m e d f ö r a för a l g e b r a u n d e r - v i s n i n g e n . N å g o t d j u p a r e i n g å e n d e p å d e n a n a l y t i s k a g e o m e t r i e n k a n n ä m l i g e n i c k e k o m m a ifråga. R e s u l t a t e t t o r d e u r g e o m e t r i s k s y n p u n k t i n s k r ä n k a s i g t i l l a t t lär- j u n g a r n a få r e d a p å n a m n e t o c h u t s e e n d e t hos e n o c h a n - n a n k r o k l i n i e . U r a l l m ä n b i l d n i n g e n s s y n p u n k t är d e t v i - d a r e e n s t o r fördel, a t t r e a l s k o l a n s elever få r e d a p å d e t v a n l i g a g r a f i s k a framställningssättet a f s t a t i s t i s k a f a k t a .
F ö r a t t d e n ifrågavarande d i a g r a m r i t n i n g e n s k a l l b l i så f r u k t b r i n g a n d e s o m m ö j l i g t v o r e d e t e m e l l e r t i d l ä m p - l i g t a t t i s k o l k u r s e n införa f u n k t i o n s b e g r e p p e t , s o m l i g g e r t i l l g r u n d f ö r h e l a d e t a n v ä n d a framställningssättet. I n - förandet a f d e n g r a f i s k a framställningen v i s a r t y d l i g e n , a t t d e t är m e n i n g e n a t t m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n n u s k a l l ske a n n o r l u n d a än förr. D ä r p å t y d a o c k s å de k u r s e r , s o m 1 K g l . Cirkulär h i t t i l l s fastställts för g y m n a s i e t s 1 :a o c h 2 :a r i n g a r . E n jämförelse m e l l a n k u r s e n för dessa r i n g a r å r e a l l i n i e n o c h d e n , s o m g e n o m g å t t s i de f o r n a 6:e n e d r e och 6: e öfre r e a l k l a s s e r n a v i s a r , a t t e n s t o r ö k n i n g a f k u r - sen v i d t a g i t s så a t t i dessa klasser n u s k a l l m e d h i n n a s t . e x . t r i g o n o m e t r i s k b e r ä k n i n g a f t r i a n g l a r , s o m förut först
g e n o m g i c k s i klass 7 : 1 . D e t t o r d e därför v a r a af intresse a t t u n d e r s ö k a de fördelar, s o m e t t i n f ö r a n d e af f u n k - t i o n s b e g r e p p e t i s k o l k u r s e n s k u l l e m e d f ö r a .
I n f ö r a n d e t a f f u n k t i o n s b e g r e p p e t på s k o l s t a d i e t är
•en sak, s o m p å senaste t i d e n m y c k e t d e b a t t e r a t s i d e n p e d a g o g i s k a l i t t e r a t u r e n . K r a f v e t i h ä r p å h a r d å o f t a i n n e - f a t t a t s i e t t a l l m ä n t t a l o m »en t i d s e n l i g o m b i l d n i n g af m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n i de h ö g r e skolorna.» I Frank- rike är en s å d a n o m b i l d n i n g r e d a n f ö r e t a g e n g e n o m de n y a s k o l p l a n e r n a af 1902 o c h där äro r e d a n f l e r a u t m ä r k t a l ä r o - b ö c k e r1 u t g i f n a , b e h a n d l a n d e s k o l m a t e m a t i k e n efter de s y n p u n k t e r , s o m afse f u n k t i o n s b e g r e p p e t s i n f ö r a n d e i s k o - l o r n a . I Tyskland s t å r f r å g a n för n ä r v a r a n d e u n d e r l i f l i g d i s k u s s i o n o c h s ä r s k i l d t f ö r f ä k t a s saken af p r o f . K l e i n3 i G ö t t i n g e n .
D e t är e m e l l e r t i d i England, s o m dessa s t r ä f v a n d e n först f r a m k o m m i t , o c h de i n g å d ä r s o m e t t m o m e n t i d e n
•efter s i n u p p h o f s m a n b e n ä m n d a P e r r y - r ö r e l s e n3, s o m ö n s k a r införa en m e r » p r a k t i s k » m a t e m a t i k - u n d e r v i s n i n g . M å l s m ä n för u p p t a g a n d e af f u n k t i o n s b e g r e p p e t i s k o l - k u r s e n f i n n a s ä f v e n i Österrike, d ä r p r o f . C z u b e r4 n y l i - gen f r a m s t ä l l t ö n s k e m å l i d e n n a r i k t n i n g . I s a m m a r i k t - n i n g u t t a l a r sig ä f v e n b e t r ä f f a n d e Danmarks s k o l o r T . B o n n e s e n i en u p p s a t s i 16: e årg. af N y t . T i s k r . f. M a t . , i h v i l k e n u p p s a t s ä f v e n citeras m å l s m ä n för s a m m a u p p - f a t t n i n g i Schweiz6.
H v a d Sverige b e t r ä f f a r i n g å r l ä r a n o m g r a f i s k f r a m - s t ä l l n i n g r e d a n i d e n år 1887 af l e k t o r K . P . N o r d l u n d u t -
1 A f Borel, B o u r l e t m . fl.
2 F . K l e i n : tJbev eine zeitgemässe TJmgestaltung etc. L e i p z i g , 1904. U n d e r t r y c k n i n g e n af föreliggande uppsats har u t k o m m i t af samma förf.: Vorträge uber den roat. U n t e r r i c h t . Bearb. v o n E Schimack.
3 Angående Perryrörelsen hänvisas t i l l l e k t o r E . Göranssons n y l i - gen u t g i f n a föreläsningar: »Nyare r i k t l i n j e r för m a t e m a t i k u n d e r v i s - ningen.»
* Jahresber. der Deutsch. M a t e m a t i k e r - V e r e i u i g u n g , B a n d 15, s. 116.
5 E r a n d e t t a l a n d härstammar äfven en uppsats af H . F e b r : L a n o t i o n de fonction dans 1'enseignement. . L E n s e i g n e m e n t m a t h . 1905, s. 177.
g i f n a » E l e m e n t a r b o k i A l g e b r a » . D e n här a f h a n d l a d e frågan beröres d e s s u t o m i p e d a g o g i s k a u p p s a t s e r , s o m p å de- senaste'; åren p u b l i c e r a t s a f p r o f . B j e r k n e s1, r e k t o r J o s e p h s o n ,2 l e k t o r K . P . N o r d l u n d3 ä f v e n s o m i d e t . n y s s c i t e r a d e a r b e t e t af l e k t o r Göransson.
D e n fråga, s o m är föremålet för d e n n a u p p s a t s , är sålunda i c k e n y , u t a n d e n h a r sedan flere år d e b a t t e r a t s i o l i k a länder. F o r d r a n p å en »tidsenlig o m b i l d n i n g » a f m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n h a r t y d l i g e n u p p k o m m i t d ä r i - g e n o m , a t t d i s k o n t i n u i t e t e n m e l l a n s k o l m a t e m a t i k e n o c h d e n m a t e m a t i s k a v e t e n s k a p e n b l i f v i t a l l t för s t o r . U n - d e r v i s n i n g e n i e t t s k o l ä m n e m å s t e a l l t i d i viss m å n följa m e d s i n v e t e n s k a p s u t v e c k l i n g . D e t k a n a n n a r s m y c k e t lätt h ä n d a , a t t d e t m e d d e l a d e lärostoffet k o m m e r a t t v a r a o b e t y d l i g a d e t a l j e r u t a n v e r k l i g t innehåll.
D e n n a d i s k o n t i n u i t e t m e l l a n s k o l m a t e m a t i k e n o c h d e n v e t e n s k a p l i g a m a t e m a t i k e n s k u l l e u p p h ä f v a s , o m f u n k t i o n s b e g r e p p e t b l e f v e en i n t e g r e r a n d e d e l i d e n m a - t e m a t i s k a u n d e r v i s n i n g e n . L i k s o m n u m e r a d e t af d e n f y s i s k a v e t e n s k a p e n b e g a g n a d e k r a f t l i n j e b e g r e p p e t a l l - m ä n t a n v ä n d e s för a t t förklara de o l i k a f e n o m e n e n p å i n - d u k t i o n s e l e k t r i c i t e t e n s o m r å d e , b ö r d e t af d e n m a t e m a - t i s k a v e t e n s k a p e n g e n o m a r b e t a d e f u n k t i o n s b e g r e p p e t k u n - n a a n v ä n d a s för a t t t . ex. å s k å d l i g g ö r a s a m b a n d e t m e l l a n e k v a t i o n e r s lösning o c h a n a l y t i s k g e o m e t r i . D e fördelar, s o m e t t i n f ö r a n d e af d e t t a b e g r e p p s k u l l e m e d f ö r a i m a t e m a - t i k u n d e r v s i n i n g e n s k o l a n ä r m a r e beröras v i d d i s k u s s i o n e n o m dess a p t e r a n d e v i d u n d e r v i s n i n g e n i de o l i k a k l a s s e r n a . M a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n b ö r sålunda följa m e d v e - t e n s k a p e n s u t v e c k l i n g l i k s o m h v a r j e a n n a n u n d e r v i s n i n g . D e t k a n förefalla u n d e r l i g t a t t t a l a o m u t v e c k l i n g i fråga o m e t t ä m n e sådant s o m m a t e m a t i k e n , h v a r s r e s u l t a t väl i c k e k u n n a b l i o r i k t i g a . S k o l a n b ö r v ä l , t y c k e s d e t ,
1 O m m a t e m a t i k e n i skolen. Skolan. A r g . 1, s. 241.
2 T i l l frågan o m gymnasiets m a t e m a t i k k u r s e r . Pedagogisk t i d - s k r i f t 1905 s. 301.
3 E t t tillägg i den algebraiska kursen. Pedagogisk t i d s k r i f t 1907 s. 2. Denna uppsats och l e k t o r Göranssons arbete hade ännu ej u t - k o m m i t , då föreliggande uppsats utarbetades.
ä m n a u n d e r v i s n i n g i d e n e l e m e n t ä r a m a t e m a t i k e n o c h i n - t e t m e r . M e n d e t ä r j u s t b e g r e p p e t e l e m e n t ä r m a t e m a t i k , som u t v e c k l a t s u n d e r t i d e r n a s l o p p . M y c k e t af h v a d s o m n u r ä k n a s t i l l d e n e l e m e n t ä r a m a t e m a t i k e n o c h d ä r m e d t i l l s k o l k u r s e n a n s å g s förr l i g g a u t o m d e n s a m m a . S å h a f v a f ö r s t så s m å n i n g o m a l g e b r a , de n e g a t i v a s t o r h e t e r n a , l o g a - r i t m e r n a u p p t a g i t s b l a n d s k o l a n s p e n s a .1 A t t m a t e m a t i k - k u r s e r n a t i l l m o g e n h e t s e x a m e n n u u n d e r å r t i o n d e n v a r i t u n g e f ä r d e s a m m a k a n n a t u r l i g t v i s i c k e u t g ö r a n å g o t b e v i s för a t t de i c k e k u n n a m o d i f i e r a s . I en u p p s a t s a f d å v . d o c . W a h l g r e n i P e d a g o g i s k T i d s k r i f t för år 1905 s i d . 65 o c h f.
h a r p å v i s a t s , a t t en g o d d e l af d e n n u v a r a n d e k u r s e n p å l a - t i n g y m n a s i e t ( o c h s å l u n d a m o t s v a r a n d e k u r s e r ä f v e n p å r e a l g y m n a s i e t ) b ö r a b o r t m ö n s t r a s s å s o m s a k n a n d e v ä r d e för å s t a d k o m m a n d e af de m å l m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n h a r i s k o l a n . D e t b ö r s å l u n d a k u n n a beredas g o d t i d t i l l i n f ö r a n d e a f n y t t 5>modernt» s t o f f i d e t g a m l a s s t ä l l e , u t a n a t t u n d e r v i s n i n g e n ä n d å b e h ö f v e r b e t u n g a s m e d för s t o r a k u r s e r .
V i d b e s t ä m m a n d e t af m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n s a n o r d - n i n g b ö r m a n , s å s o m d e n senaste l ä r o v e r k s k o m m i t t é n f r a m - håller, s t ä d s e b e t ä n k a , a t t l ä r j u n g e n m e d i n t r e s s e k a n o m - f a t t a b l o t t d e t , h v a r s ä n d a m å l h a n f a t t a r . I n f ö r a n d e t a f f u n k t i o n s b e g r e p p e t s k u l l e , t y c k e s m i g , l ä m n a g o d h j ä l p v i d p l a n l ä g g a n d e t af m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n efter d e n - n a s y n p u n k t .
E t t i n f ö r a n d e af d e t n y a b e g r e p p e t s k u l l e n a t u r l i g t - vis i c k e ske förr än p å d e t s t a d i e t , d ä r d e n n u f ö r e s k r i f n a d i a g r a m r i t n i n g e n p å b ö r j a s d . v . s. i 5 :te klassen. L ä m p l i - g a s t förefaller a t t b ö r j a m e d g r a f i s k f r a m s t ä l l n i n g af e n serie t e r m o m e t e r - eller b a r o m e t e r o b s e r v a t i o n e r , n a t u r l i g t - vis u n d e r f ö r u t s ä t t n i n g a t t förut g e n o m g å t t s d e n g e o m e t - r i s k a r e p r e s e n t a t i o n e n af de p o s i t i v a o c h n e g a t i v a t a l e n s o m p u n k t e r p å e n r ä t l i n i e . O m u t g å n g s p u n k t e n b l i r d e n n ä m n d a , k o m m a b l o t t s å d a n a frågor a t t b e h a n d l a s , som l ä r j u n g a r n a r e d a n k ä n n a t i l l .2 I 4 : de k l a s s e n h a f v a
1 Se t. ex. Klein anf. uppsats sid. 7 o. f.
2 Denna utgångspunkt väljes t. ex. af Borel i hans algebra af- sedd för Classe de Quatriéme B ungefär motsvarande vår 5:e klass.
Den torde för öfrigt användas vid de läroverk i vårt land, där en un dervisning sådan som den föreslagna redan meddelas.
l ä r j u n g a r n a a n t i n g e n s j ä l f v a g j o r t eller s e t t l ä r a r e n g ö r a o b s e r v a t i o n e r m e d t e r m o m e t e r o c h b a r o m e t e r , h v i l k a o b - s e r v a t i o n e r s r e s u l t a t o f t a n o g t o r d e h a å s k å d l i g g j o r t s g e n o m u p p r i t a n d e af k u r v o r p å r u t a d t p a p p e r . I sam- b a n d m e d r e d o g ö r e l s e n för t e r m o m e t e r k u r v o r k u n n a e x e m - p e l a n g å e n d e m e d e l v ä r d e n b e h a n d l a s (ss. t . ex. C o l l i n s ex.
n : r 135 i d e n n y a u p p l a g a n af H a g l u n d s e x e m p e l s a m l i n g del I , s, 2 1 . ) S o m en l ä m p l i g förberedelse för d e n g r a f i s - k a f r a m s t ä l l n i n g e n s k u l l e d e t k a n s k e o c k s å t j ä n a a t t v i d h v a r j e l ä r o v e r k p å e t t för l ä r j u n g a r n a t i l l g ä n g l i g t ställe u p p h ä n g a en s j ä l f r e g i s t r e r a n d e t e r m o m e t e r och b a r o m e - t e r . I d e n f ö r u t c i t e r a d e a l g e b r a n a f B o r e l ( 2E c y c l e af sedd för »Classe de seconde, sections C e t D » n ä r m a s t m o t s v a r a n d e d e n f o r n a klass V I : 2 , l a t i n l i n j e n B o c h r e a l l i n j e n ) är i n t a g e n en f i g u r f ö r e s t ä l l a n d e en s å d a n r e g i s t r e - r i n g s a p p a r a t .1
S e d a n p r i n c i p e n för u p p r i t n i n g af d i a g r a m g e n o m g å t t s k u n n a d y l i k a u p p r i t a s för b e l y s a n d e af s t a t i s t i s k a f r å g o r o c h för u p p r i t a n d e af e n k l a funktioner s å d a n a s o m y = 2 X , y = 3 X — 2 , y = x2. H u r u v i d a d e t t a k a n g ö r a s i klass 5 eller klass 6 t o r d e b e r o p å o m s t ä n d i g h e t e r n a . P å d e t n ä m n d a s ä t t e t fås e m e l l e r t i d en n a t u r l i g ö f v e r g å n g t i l l i n f ö - r a n d e t af f u n k t i o n s - o c h k o o r d i n a t b e g r e p p e n .
F ö r klass 6 t o r d e d e t l ä m p a sig a t t a n v ä n d a d e n g r a - f i s k a f r a m s t ä l l n i n g s m e t o d e n2 p å p r o b l e m r ö r a n d e l i k f o r - m i g r ö r e l s e3 m e d s ä r s k i l d t afseende fäst v i d t i l l ä m p n i n g e n p å g r a f i s k a j ä r n v ä g s t i d t a b e l l e r . I s a m b a n d m e d k u r v o r n a y = x3 o c h y = Vx k a n g e n o m g å s f r å g a n o m i n t e r p o l a -
1 Hvad den »tidsenliga omgestaltningen» af matematikundervis- ningen innebär synes kanske bäst däraf, att den nämnda läroboken i algebra innehåller 59 figurer, hvaribland, utom den nämnda registre- ringsapparaten med exempel på registrerade kurvor, äfven figurer öf- ver Frankrikes höjdförhållanden (tvärsnitt med kartor), feberkurvor,, grafiska järnvägstidtabeller o. d.
2 I samband med diagram sådana som y = 2x — 3 torde vara lämpligt att genomgå den allmänna karaktäen af uttryck sådana som ax + b ( = »Variations du binome de premier degré», enl. Borel).
3 Metodens tillämpning på dylika problem förordas t. ex. af E . Mosch: Die Bevregungsleichungen; Lehrgänge und Lehrprobe aus der Praxis der G3^mnasien etc. Årg: 1906. — Framställningen säges af förf. vara afsedd för tertia ( = 4:e och 5:e).
t i o n u r e n t a b e l l och m ö j l i g e n äfven p å p e k a s , h u r e k v a t i o - ner k u n n a a p p r o x i m a t i v t lösas g e n o m u p p r i t a n d e a f geo- m e t r i s k a d i a g r a m . O m h e l a t i d e n f u n k t i o n s b e g r e p p e t göres t i l l d e t c e n t r a l a v i d u n d e r v i s n i n g e n , t o r d e i c k e d e n n a k u r s v a r a o m ö j l i g a t t m e d h i n n a i r e a l s k o l a n .
Ä f v e n p å g y m n a s i e t b ö r f u n k t i o n s b e g r e p p e t b l i f ö r - h ä r s k a n d e v i d a l g e b r a u n d e r v i s n i n g e n . I r i n g I ( h ä r afses r e a l l i n j e n . m e n i tillämpliga d e l a r b ö r d e t gå a t t t i l l ä m p a s a m - m a g r u n d s a t s e r för l a t i n l i n j e n ) är k u r s e n d e l v i s d e n s a m m a s o m i klass 6. A f d e n för klass 6 o m t a l a d e k u r s e n är d e t e g e n t l i g e n b l o t t läran o m e k v a t i o n e r s a p p r o x i m a t i v a l ö s - n i n g , s o m b ö r u p p s k j u t a s , n ä m l i g e n t i l l s a n d r a g r a d s e k v a - t i o n e n m e d e n o b e k a n t g e n o m g å t t s . V i d b e h a n d l i n g e n a f d e n n a utgås från f u n k t i o n s b e g r e p p e t A n t a g t . e x . a t t d e t gäller a t t lösa e k v a t i o n e n x2 = 9. P r o b l e m e t är d å : För hvilka x-värden får funktionen y = a;2 värdet g ? H ä r f ö r b e h ö f v e s n a t u r l i g e n i n g e n g e o m e t r i s k f r a m - ställning, u t a n m e d s t ö d a f förut k ä n d a f ö r h å l l a n d e n inses o m e d e l b a r t , a t t b l a n d p o s i t i v a t a l k a n x ej v a r a a n n a t än 3, b l a n d n e g a t i v a t a l e n d a s t — 3 d . v . s. e k v a t i o n e n h a r r ö t t e r n a +_ 3. S e d a n e k v a t i o n e r a f o l i k a slag g e n o m g å t t s , k o n s t r u e r a s för o l i k a f a l l k u r v a n
y = a x2 + b x + c
o c h k a n d ä r m e d åskådliggöras de o l i k a m ö j l i g h e t e r , s o m k u n n a inträffa v i d lösningen a f e k v a t i o n e n
a x2 + b x + c = o
D e f a l l , d å d e n n a e k v a t i o n i c k e h a r r e e l l a r ö t t e r , m o t s v a r a s då af s å d a n a lägen hos k u r v a n , a t t d e n ej träffas af x - a x e l n ( d . v . s., o m t e o r i e n f ö r k o m p l e x a t a l ö f v e r h o p p a s , e k v a - t i o n e n s a k n a r r ö t t e r . )
E k v a t i o n e r a f högre g r a d t a l g e n o m g å s p å l i k n a n d e sätt. K u r v o r n a k o n s t r u e r a s o c h r ö t t e r n a b e s t ä m m a s g e n o m a t t efterse abscissans v ä r d e i de p u n k t e r , d ä r k u r - v a n skär x - a x e l n . D e n n u b r u k l i g a m e t o d e n b e h ö f v e r o c h b ö r n a t u r l i g e n i c k e försummas, m e n d e n g r a f i s k a f r a m - ställningen m e d f ö r d e n fördelen, a t t lärjungarna få lära sig e n m e t o d , s o m de a l l t i d k u n n a t i l l g r i p a äfven o m d e n e k v a t i o n , s o m d e t gäller, i c k e s k u l l e g å a t t lösa m e d e l s t t e - o r i e n för a n d r a g r a d s e k v a t i o n e r . — F ö r r o t e k v a t i o n e r t o r d e de e m e l l e r t i d i c k e v a r a l ö n t a t t t i l l ä m p a d e n g r a f i s k a m e t o d e n , s o m i d e t t a f a l l b l i r a l l t för besvärlig.
R e d a n m e d n u g ä l l a n d e k u r s e r g e n o m g å s o f t a u p p r i - t a n d e af f u n k t i o n s k u r v o r för å s k å d l i g g ö r a n d e af t e o r i e n för m a x i m a o c h m i n i m a . I C o l l i n s b e a r b e t n i n g af H a g l u n d s a l g e b r a f i n n a s t . o. m . f i g u r e r t i l l f l e r a af de b e h a n d l a d e e x e m p l e n . M e n a t t först h ä r a n v ä n d a d e n g r a f i s k a m e t o d e n för å s k å d l i g g ö r a n d e a f a l g e b r a i s k a frågor m e d f ö r p å l a t i n - l i n j e n d e n o l ä g e n h e t e n , a t t l ä r j u n g a r n a så sent f å - r e d a p å m e t o d e n , a t t d e n a l d r i g r i k t i g t s m ä l t e s o c h b o r t g l ö m m e s efter de få l e k t i o n e r , s o m k u n n a ä g n a s m a x i m a o c h m i n i m a . V i d u p p r i t a n d e a f de k u r v o r , s o m e r h å l l a s v i d l ö s n i n g e n af e k v a t i o n e r , k a n d e t v a r a l ä m p l i g t a t t införa b e g r e p p e n m a x i m a o c h m i n i m a s a m t p å p e k a dessas l ä g e n . S j ä l f v a b e r ä k n i n g e n i de f a l l , d å d e t t a är m ö j l i g t , m å s t e få a n s t å l ä n g r e eller k o r t a r e t i d b e r o e n d e p å d e n l ä r o b o k , s o m a n - v ä n d e s1, f ö r u t s a t t a t t b o k e n s o r d n i n g följes ;frågan o m m a x i - m a o c h m i n i m a s k a l l å t e r u p p t a g a s l ä n g r e f r a m .
E k v a t i o n s s y s t e m m e d t v å o b e k a n t a k u n n a o c k s å l ö - sas m e d t i l l ä m p n i n g af d e n g r a f i s k a m e t o d e n . G e n o m af- l ä s n i n g a r p å m i l l i m e t e r p a p p e r k u n n a d å t . ex. d i o f a n t i s k a e k v a t i o n e r lösas s y n n e r l i g e n l ä t t .
De n u af h a n d l a d e d e l a r n e af a l g e b r a n äro e n l . d e n g ä l - l a n d e p r o v i s o r i s k a k u r s p l a n e n afsedda a t t i h u f v u d s a k ge- n o m g å s i I R . K u r s e n för d e n n a r i n g förefaller v ä l d r y g och m e d d e t n u f ö r e s l a g n a g r u n d l i g a r e t i l l v ä g a g å n g s ä t t e t b l i r n o g n ö d v ä n d i g t a t t l å t a en d e l a n s t å t i l l n ä s t a klass.
D e n h ä r föreskrifna a l g e b r a k u r s e n u t g ö r e s af l ä r a n o m p o t e n s e r o c h l o g a r i t m e r . H u r d e n n a b ö r b e h a n d l a s u r d e n g r a f i s k a f r a m s t ä l l n i n g e n s s y n p u n k t m e d d e l a s u t f ö r l i g t af R e k t o r Josephson i hans förut c i t e r a d e u p p s a t s .2 T i l l h a n s f r a m s t ä l l n i n g b ö r v ä l l ä g g a s , a t t d e t b e r ä t t i g a d e i d e t v a n - l i g a i n t e r p o l a t i o n s f ö r f a r a n d e t v i d a n v ä n d n i n g e n af l o g a r i t m - t a b e l l e r k a n visas g e n o m a t t p å p e k a l o g a r i t m k u r v a n s u t - seende. I s a m b a n d m e d k u r v a n för k a p i t a l e t s t i l l v ä x t efter r ä n t a p å r ä n t a k a n d e t o c k s å v a r a l ä m p l i g t a t t g ö r a j ä m - förelse m e d en k u r v a a n g i f v a n d e t . ex. b e f o l k n i n g e n s t i l l - v ä x t u n d e r en viss p e r i o d i n å g o t e u r o p e i s k t l a n d .
L ä r a n o m s a m m a n s a t t r ä n t a k o m m e r v ä l a t t t i l l h ö r a
1 I den omnämnda läroboken at C o l l i n behandlas m a x i m a och m i n i m a efter sammansatt ränta.
2 Sid. 307.
k u r s e n för I I I R . I d e n n a klass k a n f u n k t i o n s b e g r e p p e t lämp- l i g e n u t s t r ä c k a s t i l l t r i g o n o m e t r i e n såsom o c k s å föreslås i d e n af C. F . R y d b e r g n y l i g e n u t g i f n a läroboken. I d e n n a f ö r e k o m m a f u n k t i o n s k u r v o r n a d o c k för långt f r a m i t r i - g o n o m e t r i k u r s e n . F ö r v i n n a n d e af åskådlighet b ö r a de ifrågavarande k u r v o r n a s t u d e r a s långt förut.
I r i n g I I I s k a l l äfven d e n a n a l y t i s k a g e o m e t r i e n på- börjas. M e n , o m i a l g e b r a u n d e r v i s n i n g e n en s t ä n d i g h ä n - v i s n i n g g j o r t s t i l l f u n k t i o n e r n a s g e o m e t r i s k a r e p r e s e n t a - t i o n , äro lärjungarna r e d a n f u l l t f ö r t r o g n a m e d d e n a n a l y - t i s k a g e o m e t r i e n s g r u n d b e g r e p p . K u r s e n i a n a l y t i s k g e o m e - t r i b ö r s å l u n d a k u n n a m e d h i n n a s på m y c k e t k o r t a r e t i d än förut, o c h , o m ej e n d a s t kägelsnitten b e h a n d l a s , b ö r d e n n a del af m a t e m a t i k e n e r b j u d a m y c k e t m e r af i n t r e s s e ä n förr. D e t finnes då i n t e t skäl a t t g ö r a b e s t ä m n i n g e n a f k r o k l i n j e r s t a n g e n t e r e n l i g t speciella m e t o d e r för h v a r j e särskild k u r v a . När lärjungarna äro f ö r t r o g n a m e d f u n k - t i o n s b e g r e p p e t o c h g r ä n s v ä r d e n f l e r a g å n g e r f ö r e k o m m i t i deras a l g e b r a k u r s , b ö r d e t ej e r b j u d a n å g o n svårighet a t t på s k o l s t a d i e t d e f i n i e r a b e g r e p p e t d e r i v a t a . M e d d e t t a s t i l l - hjälp k a n då s t u d i e t af a l l a de g e n o m g å n g n a k u r v o r n a y t - t e r l i g a r e fördjupas o c h t e o r i e n för m a x i m a o c h m i n i m a ge- n o m g å s p å e t t e n k e l t o c h n a t u r l i g t sätt.
F ö r y t b e r ä k n i n g a r behöf- ves i n t e g r a l b e g r e p p e t , h v i l k e t e n k l a s t t o r d e d e f i n i e r a s på så sätt, a t t d e n af k u r v a n :
y = f (x)
i v i d s t å e n d e f i g u r begränsa- de y t a n A visas v a r a en f u n k - t i o n af x sådan, a t t
I n n e b ö r d e n a f b e t e c k n i n g s s ä t t e t :
k a n s e d a n klargöras u r f i g u r e n .
