• No results found

B e t y d e l s e n af d e n förra r e f o r m e n f r a m g å r t i l l f u l l o a f d e n m o t i v e r i n g för d e n s a m m a , s o m l e m n a t s i d e n senaste l ä r o v e r k s k o m m i t t é n s förslag t i l l k u r s e r för

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "B e t y d e l s e n af d e n förra r e f o r m e n f r a m g å r t i l l f u l l o a f d e n m o t i v e r i n g för d e n s a m m a , s o m l e m n a t s i d e n senaste l ä r o v e r k s k o m m i t t é n s förslag t i l l k u r s e r för"

Copied!
10
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

A f de ä n d r i n g a r i n e d e r s k o l a n s m a t e m a t i k k u r s e r , s o m d e n n y l i g e n u t g i f n a k u r s p l a n e n för r e a l s k o l a n å s t a d k o m - m i t , är d e t s ä r s k i l d t t v ä n n e , s o m k o m m a a t t v e r k a b e f r u k - t a n d e p å m a t e m a t i k e n s s t u d i u m i s k o l a n . D e n ena ä n d - ringen är d e n , a t t i k u r s p l a n e n f ö r e s k r i f v i t s , a t t u n d e r v i s - n i n g e n i a l g e b r a s k a l l i n l e d a s m e d l ö s a n d e t a f e n k l a siffer- e k v a t i o n e r ; d e n a n d r a b e t y d e l s e f u l l a f ö r ä n d r i n g e n är d e n , a t t i k u r s e n för klass 5 u p p t a g i t s » u p p r i t n i n g a f e n k l a d i a g r a m . »

B e t y d e l s e n af d e n förra r e f o r m e n f r a m g å r t i l l f u l l o a f d e n m o t i v e r i n g för d e n s a m m a , s o m l e m n a t s i d e n senaste l ä r o v e r k s k o m m i t t é n s förslag t i l l k u r s e r för de a l l m ä n n a l ä r o v e r k e n ( s i d . 148 och följ.) och d e n s k a l l h ä r i c k e g ö r a s f ö r e m å l för n å g o n u n d e r s ö k n i n g . U p p t a g a n d e t a f l ä r a n o m g e o m e t r i s k a d i a g r a m t o r d e e m e l l e r t i d h a f v a l i k a s t o r b e t y d e l s e för en f r u k t b r i n g a n d e m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g , f ö r u t s a t t a t t d e t n ä m n d a s t u d i e t ej tages s o m n å g o t f r i - s t å e n d e u t a n a n v ä n d e s för a t t k l a r g ö r a s a m b a n d e t m e l l a n de o l i k a d e l a r n a a f m a t e m a t i k k u r s e r n a . I s t a d g a n s m e t o - d i s k a a n v i s n i n g a r f ö r e s k r i f v e s n ä r m a r e , h u r d e n n ä m n d a u n d e r v i s n i n g e n t a n k e s a n o r d n a d .

»I s j ä t t e klassen, e v e n t u e l l t i d e n f e m t e , b ö r , i s a m -

b a n d m e d de p l a n i m e t r i s k a r ä k n i n g a r n a införas b e g r e p p e t

i r r a t i o n e l l t t a l , o c h s ä r s k i l d t b ö r a l ä r j u n g a r n a v i n n a för-

t r o g e n h e t m e d b e g r e p p e t k v a d r a t r o t . — — D e t t o r d e

e m e l l e r t i d i c k e v a r a l ä m p l i g t a t t g e n o m g å d e n v a n l i g a m e -

t o d e n för u t d r a g n i n g a f k v a d r a t r ö t t e r . Däremot böra lär-

jungarna sjålfva på grafisk väg, helst genom konstruktion

af ett diagram, få bestämma approximativa vården på kvad-

ratrötter ur en följd af siffertal och på grund hår af upprätta ett

stycke af enkvadratrottabell. »(Sv. Förf. s a m l . n : r 1 0 . 1 9 0 6 S . 2 9 ) .

I s a m b a n d m e d d e n g e o m e t r i s k a u n d e r v i s n i n g e n n a m n e s

(2)

längre f r a m ( i e n n o t å s i d . 31) några d i a g r a m s o m anses l ä m p l i g a a t t u p p r i t a : »ett eller annat diagram rörande nå- gon statistisk fråga, såsom folkmängdens tillväxt under en viss period i åtskilliga länder; någon kurva bestämd genom sin geometriska definition {ex. ellipsen, hyperbeln) eller ge- nom sin'ekvation {ex. de räta linierna y — 2x; y = jx—2;

1

hyperbeln y=~; parabeln y = \ % eller x = y2, hvaraf lärjung- arna sedan kunna begagna sig för att upprätta en tabell öfver siffertals kvadratrötter); diagram öfver kapitalets till- växt med tiden vid enkel och sammansatt ränteräkning.*

D e t är sålunda i c k e m e n i n g e n , a t t frågan o m g r a f i s k framställning a f talförhållanden s k a l l inskränkas t i l l d e t e n d a först n ä m n d a e x e m p l e t , k v a d r a t r ö t t e r u r s i f f e r t a l . M e n å a n d r a s i d a n n a m n e s i c k e , a t t de g e o m e t r i s k a d i a - g r a m m e n s k o l a a n v ä n d a s för a t t å s t a d k o m m a åskådlighet i a l g e b r a u n d e r v i s n i n g e n u t o m i d e t e n d a f a l l e t : b e r ä k n i n g af k v a d r a t r ö t t e r . M e n p å d e t ifrågavarande s t a d i e t t o r d e d e n g e o m e t r i s k a b e t y d e l s e n a f d i a g r a m r i t n i n g e n ej g å u p p e m o t de fördelar, s o m d e n n a k a n m e d f ö r a för a l g e b r a u n d e r - v i s n i n g e n . N å g o t d j u p a r e i n g å e n d e p å d e n a n a l y t i s k a g e o m e t r i e n k a n n ä m l i g e n i c k e k o m m a ifråga. R e s u l t a t e t t o r d e u r g e o m e t r i s k s y n p u n k t i n s k r ä n k a s i g t i l l a t t lär- j u n g a r n a få r e d a p å n a m n e t o c h u t s e e n d e t hos e n o c h a n - n a n k r o k l i n i e . U r a l l m ä n b i l d n i n g e n s s y n p u n k t är d e t v i - d a r e e n s t o r fördel, a t t r e a l s k o l a n s elever få r e d a p å d e t v a n l i g a g r a f i s k a framställningssättet a f s t a t i s t i s k a f a k t a .

F ö r a t t d e n ifrågavarande d i a g r a m r i t n i n g e n s k a l l b l i så f r u k t b r i n g a n d e s o m m ö j l i g t v o r e d e t e m e l l e r t i d l ä m p - l i g t a t t i s k o l k u r s e n införa f u n k t i o n s b e g r e p p e t , s o m l i g g e r t i l l g r u n d f ö r h e l a d e t a n v ä n d a framställningssättet. I n - förandet a f d e n g r a f i s k a framställningen v i s a r t y d l i g e n , a t t d e t är m e n i n g e n a t t m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n n u s k a l l ske a n n o r l u n d a än förr. D ä r p å t y d a o c k s å de k u r s e r , s o m 1 K g l . Cirkulär h i t t i l l s fastställts för g y m n a s i e t s 1 :a o c h 2 :a r i n g a r . E n jämförelse m e l l a n k u r s e n för dessa r i n g a r å r e a l l i n i e n o c h d e n , s o m g e n o m g å t t s i de f o r n a 6:e n e d r e och 6: e öfre r e a l k l a s s e r n a v i s a r , a t t e n s t o r ö k n i n g a f k u r - sen v i d t a g i t s så a t t i dessa klasser n u s k a l l m e d h i n n a s t . e x . t r i g o n o m e t r i s k b e r ä k n i n g a f t r i a n g l a r , s o m förut först

(3)

g e n o m g i c k s i klass 7 : 1 . D e t t o r d e därför v a r a af intresse a t t u n d e r s ö k a de fördelar, s o m e t t i n f ö r a n d e af f u n k - t i o n s b e g r e p p e t i s k o l k u r s e n s k u l l e m e d f ö r a .

I n f ö r a n d e t a f f u n k t i o n s b e g r e p p e t på s k o l s t a d i e t är

•en sak, s o m p å senaste t i d e n m y c k e t d e b a t t e r a t s i d e n p e d a g o g i s k a l i t t e r a t u r e n . K r a f v e t i h ä r p å h a r d å o f t a i n n e - f a t t a t s i e t t a l l m ä n t t a l o m »en t i d s e n l i g o m b i l d n i n g af m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n i de h ö g r e skolorna.» I Frank- rike är en s å d a n o m b i l d n i n g r e d a n f ö r e t a g e n g e n o m de n y a s k o l p l a n e r n a af 1902 o c h där äro r e d a n f l e r a u t m ä r k t a l ä r o - b ö c k e r1 u t g i f n a , b e h a n d l a n d e s k o l m a t e m a t i k e n efter de s y n p u n k t e r , s o m afse f u n k t i o n s b e g r e p p e t s i n f ö r a n d e i s k o - l o r n a . I Tyskland s t å r f r å g a n för n ä r v a r a n d e u n d e r l i f l i g d i s k u s s i o n o c h s ä r s k i l d t f ö r f ä k t a s saken af p r o f . K l e i n3 i G ö t t i n g e n .

D e t är e m e l l e r t i d i England, s o m dessa s t r ä f v a n d e n först f r a m k o m m i t , o c h de i n g å d ä r s o m e t t m o m e n t i d e n

•efter s i n u p p h o f s m a n b e n ä m n d a P e r r y - r ö r e l s e n3, s o m ö n s k a r införa en m e r » p r a k t i s k » m a t e m a t i k - u n d e r v i s n i n g . M å l s m ä n för u p p t a g a n d e af f u n k t i o n s b e g r e p p e t i s k o l - k u r s e n f i n n a s ä f v e n i Österrike, d ä r p r o f . C z u b e r4 n y l i - gen f r a m s t ä l l t ö n s k e m å l i d e n n a r i k t n i n g . I s a m m a r i k t - n i n g u t t a l a r sig ä f v e n b e t r ä f f a n d e Danmarks s k o l o r T . B o n n e s e n i en u p p s a t s i 16: e årg. af N y t . T i s k r . f. M a t . , i h v i l k e n u p p s a t s ä f v e n citeras m å l s m ä n för s a m m a u p p - f a t t n i n g i Schweiz6.

H v a d Sverige b e t r ä f f a r i n g å r l ä r a n o m g r a f i s k f r a m - s t ä l l n i n g r e d a n i d e n år 1887 af l e k t o r K . P . N o r d l u n d u t -

1 A f Borel, B o u r l e t m . fl.

2 F . K l e i n : tJbev eine zeitgemässe TJmgestaltung etc. L e i p z i g , 1904. U n d e r t r y c k n i n g e n af föreliggande uppsats har u t k o m m i t af samma förf.: Vorträge uber den roat. U n t e r r i c h t . Bearb. v o n E Schimack.

3 Angående Perryrörelsen hänvisas t i l l l e k t o r E . Göranssons n y l i - gen u t g i f n a föreläsningar: »Nyare r i k t l i n j e r för m a t e m a t i k u n d e r v i s - ningen.»

* Jahresber. der Deutsch. M a t e m a t i k e r - V e r e i u i g u n g , B a n d 15, s. 116.

5 E r a n d e t t a l a n d härstammar äfven en uppsats af H . F e b r : L a n o t i o n de fonction dans 1'enseignement. . L E n s e i g n e m e n t m a t h . 1905, s. 177.

(4)

g i f n a » E l e m e n t a r b o k i A l g e b r a » . D e n här a f h a n d l a d e frågan beröres d e s s u t o m i p e d a g o g i s k a u p p s a t s e r , s o m p å de- senaste'; åren p u b l i c e r a t s a f p r o f . B j e r k n e s1, r e k t o r J o s e p h s o n ,2 l e k t o r K . P . N o r d l u n d3 ä f v e n s o m i d e t . n y s s c i t e r a d e a r b e t e t af l e k t o r Göransson.

D e n fråga, s o m är föremålet för d e n n a u p p s a t s , är sålunda i c k e n y , u t a n d e n h a r sedan flere år d e b a t t e r a t s i o l i k a länder. F o r d r a n p å en »tidsenlig o m b i l d n i n g » a f m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n h a r t y d l i g e n u p p k o m m i t d ä r i - g e n o m , a t t d i s k o n t i n u i t e t e n m e l l a n s k o l m a t e m a t i k e n o c h d e n m a t e m a t i s k a v e t e n s k a p e n b l i f v i t a l l t för s t o r . U n - d e r v i s n i n g e n i e t t s k o l ä m n e m å s t e a l l t i d i viss m å n följa m e d s i n v e t e n s k a p s u t v e c k l i n g . D e t k a n a n n a r s m y c k e t lätt h ä n d a , a t t d e t m e d d e l a d e lärostoffet k o m m e r a t t v a r a o b e t y d l i g a d e t a l j e r u t a n v e r k l i g t innehåll.

D e n n a d i s k o n t i n u i t e t m e l l a n s k o l m a t e m a t i k e n o c h d e n v e t e n s k a p l i g a m a t e m a t i k e n s k u l l e u p p h ä f v a s , o m f u n k t i o n s b e g r e p p e t b l e f v e en i n t e g r e r a n d e d e l i d e n m a - t e m a t i s k a u n d e r v i s n i n g e n . L i k s o m n u m e r a d e t af d e n f y s i s k a v e t e n s k a p e n b e g a g n a d e k r a f t l i n j e b e g r e p p e t a l l - m ä n t a n v ä n d e s för a t t förklara de o l i k a f e n o m e n e n p å i n - d u k t i o n s e l e k t r i c i t e t e n s o m r å d e , b ö r d e t af d e n m a t e m a - t i s k a v e t e n s k a p e n g e n o m a r b e t a d e f u n k t i o n s b e g r e p p e t k u n - n a a n v ä n d a s för a t t t . ex. å s k å d l i g g ö r a s a m b a n d e t m e l l a n e k v a t i o n e r s lösning o c h a n a l y t i s k g e o m e t r i . D e fördelar, s o m e t t i n f ö r a n d e af d e t t a b e g r e p p s k u l l e m e d f ö r a i m a t e m a - t i k u n d e r v s i n i n g e n s k o l a n ä r m a r e beröras v i d d i s k u s s i o n e n o m dess a p t e r a n d e v i d u n d e r v i s n i n g e n i de o l i k a k l a s s e r n a . M a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n b ö r sålunda följa m e d v e - t e n s k a p e n s u t v e c k l i n g l i k s o m h v a r j e a n n a n u n d e r v i s n i n g . D e t k a n förefalla u n d e r l i g t a t t t a l a o m u t v e c k l i n g i fråga o m e t t ä m n e sådant s o m m a t e m a t i k e n , h v a r s r e s u l t a t väl i c k e k u n n a b l i o r i k t i g a . S k o l a n b ö r v ä l , t y c k e s d e t ,

1 O m m a t e m a t i k e n i skolen. Skolan. A r g . 1, s. 241.

2 T i l l frågan o m gymnasiets m a t e m a t i k k u r s e r . Pedagogisk t i d - s k r i f t 1905 s. 301.

3 E t t tillägg i den algebraiska kursen. Pedagogisk t i d s k r i f t 1907 s. 2. Denna uppsats och l e k t o r Göranssons arbete hade ännu ej u t - k o m m i t , då föreliggande uppsats utarbetades.

(5)

ä m n a u n d e r v i s n i n g i d e n e l e m e n t ä r a m a t e m a t i k e n o c h i n - t e t m e r . M e n d e t ä r j u s t b e g r e p p e t e l e m e n t ä r m a t e m a t i k , som u t v e c k l a t s u n d e r t i d e r n a s l o p p . M y c k e t af h v a d s o m n u r ä k n a s t i l l d e n e l e m e n t ä r a m a t e m a t i k e n o c h d ä r m e d t i l l s k o l k u r s e n a n s å g s förr l i g g a u t o m d e n s a m m a . S å h a f v a f ö r s t så s m å n i n g o m a l g e b r a , de n e g a t i v a s t o r h e t e r n a , l o g a - r i t m e r n a u p p t a g i t s b l a n d s k o l a n s p e n s a .1 A t t m a t e m a t i k - k u r s e r n a t i l l m o g e n h e t s e x a m e n n u u n d e r å r t i o n d e n v a r i t u n g e f ä r d e s a m m a k a n n a t u r l i g t v i s i c k e u t g ö r a n å g o t b e v i s för a t t de i c k e k u n n a m o d i f i e r a s . I en u p p s a t s a f d å v . d o c . W a h l g r e n i P e d a g o g i s k T i d s k r i f t för år 1905 s i d . 65 o c h f.

h a r p å v i s a t s , a t t en g o d d e l af d e n n u v a r a n d e k u r s e n p å l a - t i n g y m n a s i e t ( o c h s å l u n d a m o t s v a r a n d e k u r s e r ä f v e n p å r e a l g y m n a s i e t ) b ö r a b o r t m ö n s t r a s s å s o m s a k n a n d e v ä r d e för å s t a d k o m m a n d e af de m å l m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n h a r i s k o l a n . D e t b ö r s å l u n d a k u n n a beredas g o d t i d t i l l i n f ö r a n d e a f n y t t 5>modernt» s t o f f i d e t g a m l a s s t ä l l e , u t a n a t t u n d e r v i s n i n g e n ä n d å b e h ö f v e r b e t u n g a s m e d för s t o r a k u r s e r .

V i d b e s t ä m m a n d e t af m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n s a n o r d - n i n g b ö r m a n , s å s o m d e n senaste l ä r o v e r k s k o m m i t t é n f r a m - håller, s t ä d s e b e t ä n k a , a t t l ä r j u n g e n m e d i n t r e s s e k a n o m - f a t t a b l o t t d e t , h v a r s ä n d a m å l h a n f a t t a r . I n f ö r a n d e t a f f u n k t i o n s b e g r e p p e t s k u l l e , t y c k e s m i g , l ä m n a g o d h j ä l p v i d p l a n l ä g g a n d e t af m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n efter d e n - n a s y n p u n k t .

E t t i n f ö r a n d e af d e t n y a b e g r e p p e t s k u l l e n a t u r l i g t - vis i c k e ske förr än p å d e t s t a d i e t , d ä r d e n n u f ö r e s k r i f n a d i a g r a m r i t n i n g e n p å b ö r j a s d . v . s. i 5 :te klassen. L ä m p l i - g a s t förefaller a t t b ö r j a m e d g r a f i s k f r a m s t ä l l n i n g af e n serie t e r m o m e t e r - eller b a r o m e t e r o b s e r v a t i o n e r , n a t u r l i g t - vis u n d e r f ö r u t s ä t t n i n g a t t förut g e n o m g å t t s d e n g e o m e t - r i s k a r e p r e s e n t a t i o n e n af de p o s i t i v a o c h n e g a t i v a t a l e n s o m p u n k t e r p å e n r ä t l i n i e . O m u t g å n g s p u n k t e n b l i r d e n n ä m n d a , k o m m a b l o t t s å d a n a frågor a t t b e h a n d l a s , som l ä r j u n g a r n a r e d a n k ä n n a t i l l .2 I 4 : de k l a s s e n h a f v a

1 Se t. ex. Klein anf. uppsats sid. 7 o. f.

2 Denna utgångspunkt väljes t. ex. af Borel i hans algebra af- sedd för Classe de Quatriéme B ungefär motsvarande vår 5:e klass.

Den torde för öfrigt användas vid de läroverk i vårt land, där en un dervisning sådan som den föreslagna redan meddelas.

(6)

l ä r j u n g a r n a a n t i n g e n s j ä l f v a g j o r t eller s e t t l ä r a r e n g ö r a o b s e r v a t i o n e r m e d t e r m o m e t e r o c h b a r o m e t e r , h v i l k a o b - s e r v a t i o n e r s r e s u l t a t o f t a n o g t o r d e h a å s k å d l i g g j o r t s g e n o m u p p r i t a n d e af k u r v o r p å r u t a d t p a p p e r . I sam- b a n d m e d r e d o g ö r e l s e n för t e r m o m e t e r k u r v o r k u n n a e x e m - p e l a n g å e n d e m e d e l v ä r d e n b e h a n d l a s (ss. t . ex. C o l l i n s ex.

n : r 135 i d e n n y a u p p l a g a n af H a g l u n d s e x e m p e l s a m l i n g del I , s, 2 1 . ) S o m en l ä m p l i g förberedelse för d e n g r a f i s - k a f r a m s t ä l l n i n g e n s k u l l e d e t k a n s k e o c k s å t j ä n a a t t v i d h v a r j e l ä r o v e r k p å e t t för l ä r j u n g a r n a t i l l g ä n g l i g t ställe u p p h ä n g a en s j ä l f r e g i s t r e r a n d e t e r m o m e t e r och b a r o m e - t e r . I d e n f ö r u t c i t e r a d e a l g e b r a n a f B o r e l ( 2E c y c l e af sedd för »Classe de seconde, sections C e t D » n ä r m a s t m o t s v a r a n d e d e n f o r n a klass V I : 2 , l a t i n l i n j e n B o c h r e a l l i n j e n ) är i n t a g e n en f i g u r f ö r e s t ä l l a n d e en s å d a n r e g i s t r e - r i n g s a p p a r a t .1

S e d a n p r i n c i p e n för u p p r i t n i n g af d i a g r a m g e n o m g å t t s k u n n a d y l i k a u p p r i t a s för b e l y s a n d e af s t a t i s t i s k a f r å g o r o c h för u p p r i t a n d e af e n k l a funktioner s å d a n a s o m y = 2 X , y = 3 X — 2 , y = x2. H u r u v i d a d e t t a k a n g ö r a s i klass 5 eller klass 6 t o r d e b e r o p å o m s t ä n d i g h e t e r n a . P å d e t n ä m n d a s ä t t e t fås e m e l l e r t i d en n a t u r l i g ö f v e r g å n g t i l l i n f ö - r a n d e t af f u n k t i o n s - o c h k o o r d i n a t b e g r e p p e n .

F ö r klass 6 t o r d e d e t l ä m p a sig a t t a n v ä n d a d e n g r a - f i s k a f r a m s t ä l l n i n g s m e t o d e n2 p å p r o b l e m r ö r a n d e l i k f o r - m i g r ö r e l s e3 m e d s ä r s k i l d t afseende fäst v i d t i l l ä m p n i n g e n p å g r a f i s k a j ä r n v ä g s t i d t a b e l l e r . I s a m b a n d m e d k u r v o r n a y = x3 o c h y = Vx k a n g e n o m g å s f r å g a n o m i n t e r p o l a -

1 Hvad den »tidsenliga omgestaltningen» af matematikundervis- ningen innebär synes kanske bäst däraf, att den nämnda läroboken i algebra innehåller 59 figurer, hvaribland, utom den nämnda registre- ringsapparaten med exempel på registrerade kurvor, äfven figurer öf- ver Frankrikes höjdförhållanden (tvärsnitt med kartor), feberkurvor,, grafiska järnvägstidtabeller o. d.

2 I samband med diagram sådana som y = 2x — 3 torde vara lämpligt att genomgå den allmänna karaktäen af uttryck sådana som ax + b ( = »Variations du binome de premier degré», enl. Borel).

3 Metodens tillämpning på dylika problem förordas t. ex. af E . Mosch: Die Bevregungsleichungen; Lehrgänge und Lehrprobe aus der Praxis der G3^mnasien etc. Årg: 1906. — Framställningen säges af förf. vara afsedd för tertia ( = 4:e och 5:e).

(7)

t i o n u r e n t a b e l l och m ö j l i g e n äfven p å p e k a s , h u r e k v a t i o - ner k u n n a a p p r o x i m a t i v t lösas g e n o m u p p r i t a n d e a f geo- m e t r i s k a d i a g r a m . O m h e l a t i d e n f u n k t i o n s b e g r e p p e t göres t i l l d e t c e n t r a l a v i d u n d e r v i s n i n g e n , t o r d e i c k e d e n n a k u r s v a r a o m ö j l i g a t t m e d h i n n a i r e a l s k o l a n .

Ä f v e n p å g y m n a s i e t b ö r f u n k t i o n s b e g r e p p e t b l i f ö r - h ä r s k a n d e v i d a l g e b r a u n d e r v i s n i n g e n . I r i n g I ( h ä r afses r e a l l i n j e n . m e n i tillämpliga d e l a r b ö r d e t gå a t t t i l l ä m p a s a m - m a g r u n d s a t s e r för l a t i n l i n j e n ) är k u r s e n d e l v i s d e n s a m m a s o m i klass 6. A f d e n för klass 6 o m t a l a d e k u r s e n är d e t e g e n t l i g e n b l o t t läran o m e k v a t i o n e r s a p p r o x i m a t i v a l ö s - n i n g , s o m b ö r u p p s k j u t a s , n ä m l i g e n t i l l s a n d r a g r a d s e k v a - t i o n e n m e d e n o b e k a n t g e n o m g å t t s . V i d b e h a n d l i n g e n a f d e n n a utgås från f u n k t i o n s b e g r e p p e t A n t a g t . e x . a t t d e t gäller a t t lösa e k v a t i o n e n x2 = 9. P r o b l e m e t är d å : För hvilka x-värden får funktionen y = a;2 värdet g ? H ä r f ö r b e h ö f v e s n a t u r l i g e n i n g e n g e o m e t r i s k f r a m - ställning, u t a n m e d s t ö d a f förut k ä n d a f ö r h å l l a n d e n inses o m e d e l b a r t , a t t b l a n d p o s i t i v a t a l k a n x ej v a r a a n n a t än 3, b l a n d n e g a t i v a t a l e n d a s t — 3 d . v . s. e k v a t i o n e n h a r r ö t t e r n a +_ 3. S e d a n e k v a t i o n e r a f o l i k a slag g e n o m g å t t s , k o n s t r u e r a s för o l i k a f a l l k u r v a n

y = a x2 + b x + c

o c h k a n d ä r m e d åskådliggöras de o l i k a m ö j l i g h e t e r , s o m k u n n a inträffa v i d lösningen a f e k v a t i o n e n

a x2 + b x + c = o

D e f a l l , d å d e n n a e k v a t i o n i c k e h a r r e e l l a r ö t t e r , m o t s v a r a s då af s å d a n a lägen hos k u r v a n , a t t d e n ej träffas af x - a x e l n ( d . v . s., o m t e o r i e n f ö r k o m p l e x a t a l ö f v e r h o p p a s , e k v a - t i o n e n s a k n a r r ö t t e r . )

E k v a t i o n e r a f högre g r a d t a l g e n o m g å s p å l i k n a n d e sätt. K u r v o r n a k o n s t r u e r a s o c h r ö t t e r n a b e s t ä m m a s g e n o m a t t efterse abscissans v ä r d e i de p u n k t e r , d ä r k u r - v a n skär x - a x e l n . D e n n u b r u k l i g a m e t o d e n b e h ö f v e r o c h b ö r n a t u r l i g e n i c k e försummas, m e n d e n g r a f i s k a f r a m - ställningen m e d f ö r d e n fördelen, a t t lärjungarna få lära sig e n m e t o d , s o m de a l l t i d k u n n a t i l l g r i p a äfven o m d e n e k v a t i o n , s o m d e t gäller, i c k e s k u l l e g å a t t lösa m e d e l s t t e - o r i e n för a n d r a g r a d s e k v a t i o n e r . — F ö r r o t e k v a t i o n e r t o r d e de e m e l l e r t i d i c k e v a r a l ö n t a t t t i l l ä m p a d e n g r a f i s k a m e t o d e n , s o m i d e t t a f a l l b l i r a l l t för besvärlig.

(8)

R e d a n m e d n u g ä l l a n d e k u r s e r g e n o m g å s o f t a u p p r i - t a n d e af f u n k t i o n s k u r v o r för å s k å d l i g g ö r a n d e af t e o r i e n för m a x i m a o c h m i n i m a . I C o l l i n s b e a r b e t n i n g af H a g l u n d s a l g e b r a f i n n a s t . o. m . f i g u r e r t i l l f l e r a af de b e h a n d l a d e e x e m p l e n . M e n a t t först h ä r a n v ä n d a d e n g r a f i s k a m e t o d e n för å s k å d l i g g ö r a n d e a f a l g e b r a i s k a frågor m e d f ö r p å l a t i n - l i n j e n d e n o l ä g e n h e t e n , a t t l ä r j u n g a r n a så sent f å - r e d a p å m e t o d e n , a t t d e n a l d r i g r i k t i g t s m ä l t e s o c h b o r t g l ö m m e s efter de få l e k t i o n e r , s o m k u n n a ä g n a s m a x i m a o c h m i n i m a . V i d u p p r i t a n d e a f de k u r v o r , s o m e r h å l l a s v i d l ö s n i n g e n af e k v a t i o n e r , k a n d e t v a r a l ä m p l i g t a t t införa b e g r e p p e n m a x i m a o c h m i n i m a s a m t p å p e k a dessas l ä g e n . S j ä l f v a b e r ä k n i n g e n i de f a l l , d å d e t t a är m ö j l i g t , m å s t e få a n s t å l ä n g r e eller k o r t a r e t i d b e r o e n d e p å d e n l ä r o b o k , s o m a n - v ä n d e s1, f ö r u t s a t t a t t b o k e n s o r d n i n g följes ;frågan o m m a x i - m a o c h m i n i m a s k a l l å t e r u p p t a g a s l ä n g r e f r a m .

E k v a t i o n s s y s t e m m e d t v å o b e k a n t a k u n n a o c k s å l ö - sas m e d t i l l ä m p n i n g af d e n g r a f i s k a m e t o d e n . G e n o m af- l ä s n i n g a r p å m i l l i m e t e r p a p p e r k u n n a d å t . ex. d i o f a n t i s k a e k v a t i o n e r lösas s y n n e r l i g e n l ä t t .

De n u af h a n d l a d e d e l a r n e af a l g e b r a n äro e n l . d e n g ä l - l a n d e p r o v i s o r i s k a k u r s p l a n e n afsedda a t t i h u f v u d s a k ge- n o m g å s i I R . K u r s e n för d e n n a r i n g förefaller v ä l d r y g och m e d d e t n u f ö r e s l a g n a g r u n d l i g a r e t i l l v ä g a g å n g s ä t t e t b l i r n o g n ö d v ä n d i g t a t t l å t a en d e l a n s t å t i l l n ä s t a klass.

D e n h ä r föreskrifna a l g e b r a k u r s e n u t g ö r e s af l ä r a n o m p o t e n s e r o c h l o g a r i t m e r . H u r d e n n a b ö r b e h a n d l a s u r d e n g r a f i s k a f r a m s t ä l l n i n g e n s s y n p u n k t m e d d e l a s u t f ö r l i g t af R e k t o r Josephson i hans förut c i t e r a d e u p p s a t s .2 T i l l h a n s f r a m s t ä l l n i n g b ö r v ä l l ä g g a s , a t t d e t b e r ä t t i g a d e i d e t v a n - l i g a i n t e r p o l a t i o n s f ö r f a r a n d e t v i d a n v ä n d n i n g e n af l o g a r i t m - t a b e l l e r k a n visas g e n o m a t t p å p e k a l o g a r i t m k u r v a n s u t - seende. I s a m b a n d m e d k u r v a n för k a p i t a l e t s t i l l v ä x t efter r ä n t a p å r ä n t a k a n d e t o c k s å v a r a l ä m p l i g t a t t g ö r a j ä m - förelse m e d en k u r v a a n g i f v a n d e t . ex. b e f o l k n i n g e n s t i l l - v ä x t u n d e r en viss p e r i o d i n å g o t e u r o p e i s k t l a n d .

L ä r a n o m s a m m a n s a t t r ä n t a k o m m e r v ä l a t t t i l l h ö r a

1 I den omnämnda läroboken at C o l l i n behandlas m a x i m a och m i n i m a efter sammansatt ränta.

2 Sid. 307.

(9)

k u r s e n för I I I R . I d e n n a klass k a n f u n k t i o n s b e g r e p p e t lämp- l i g e n u t s t r ä c k a s t i l l t r i g o n o m e t r i e n såsom o c k s å föreslås i d e n af C. F . R y d b e r g n y l i g e n u t g i f n a läroboken. I d e n n a f ö r e k o m m a f u n k t i o n s k u r v o r n a d o c k för långt f r a m i t r i - g o n o m e t r i k u r s e n . F ö r v i n n a n d e af åskådlighet b ö r a de ifrågavarande k u r v o r n a s t u d e r a s långt förut.

I r i n g I I I s k a l l äfven d e n a n a l y t i s k a g e o m e t r i e n på- börjas. M e n , o m i a l g e b r a u n d e r v i s n i n g e n en s t ä n d i g h ä n - v i s n i n g g j o r t s t i l l f u n k t i o n e r n a s g e o m e t r i s k a r e p r e s e n t a - t i o n , äro lärjungarna r e d a n f u l l t f ö r t r o g n a m e d d e n a n a l y - t i s k a g e o m e t r i e n s g r u n d b e g r e p p . K u r s e n i a n a l y t i s k g e o m e - t r i b ö r s å l u n d a k u n n a m e d h i n n a s på m y c k e t k o r t a r e t i d än förut, o c h , o m ej e n d a s t kägelsnitten b e h a n d l a s , b ö r d e n n a del af m a t e m a t i k e n e r b j u d a m y c k e t m e r af i n t r e s s e ä n förr. D e t finnes då i n t e t skäl a t t g ö r a b e s t ä m n i n g e n a f k r o k l i n j e r s t a n g e n t e r e n l i g t speciella m e t o d e r för h v a r j e särskild k u r v a . När lärjungarna äro f ö r t r o g n a m e d f u n k - t i o n s b e g r e p p e t o c h g r ä n s v ä r d e n f l e r a g å n g e r f ö r e k o m m i t i deras a l g e b r a k u r s , b ö r d e t ej e r b j u d a n å g o n svårighet a t t på s k o l s t a d i e t d e f i n i e r a b e g r e p p e t d e r i v a t a . M e d d e t t a s t i l l - hjälp k a n då s t u d i e t af a l l a de g e n o m g å n g n a k u r v o r n a y t - t e r l i g a r e fördjupas o c h t e o r i e n för m a x i m a o c h m i n i m a ge- n o m g å s p å e t t e n k e l t o c h n a t u r l i g t sätt.

F ö r y t b e r ä k n i n g a r behöf- ves i n t e g r a l b e g r e p p e t , h v i l k e t e n k l a s t t o r d e d e f i n i e r a s på så sätt, a t t d e n af k u r v a n :

y = f (x)

i v i d s t å e n d e f i g u r begränsa- de y t a n A visas v a r a en f u n k - t i o n af x sådan, a t t

I n n e b ö r d e n a f b e t e c k n i n g s s ä t t e t :

k a n s e d a n klargöras u r f i g u r e n .

(10)

B e t y d e l s e n af d i f f e r e n t i a l - o c h i n t e g r a l k a l k y l e n s u p p - t a g a n d e i s k o l k u r s e n är t y d l i g . P å a l l a de s t ä l l e n i d e n n u - v a r a n d e s k o l k u r s e n , d ä r d i f f e r e n t i a t i o n eller i n t e g r a t i o n f ö r e t a g e s u t a n a t t o p e r a t i o n e r n a s n a m n u t s ä g a s , k o m m e r d å e t t o c h s a m m a f ö r f a r i n g s s ä t t a t t a n v ä n d a s . S ä r s k i l d t för u n d e r v i s n i n g e n i s t e r e o m e t r i och i d y n a m i k m å s t e d e t t a m e d f ö r a e n s t o r fördel.

A n g å e n d e o m f å n g e t af d e n k u r s i i n f i n i t e s i m a l k a l k y l ,

s o m b ö r m e d d e l a s i s k o l a n ärö i d e n u t l ä n d s k a l i t t e r a t u -

r e n f l e r a förslag f r a m s t ä l l d a . S å i n n e h å l l e r Bonnesens

o f v a n c i t e r a d e u p p s a t s e t t d e t a l j e r a d t k u r s f ö r s l a g för de d a n -

s k a s k o l o r n a . E n l i g t d e t t a förslag o m f a t t a r k u r s e n d i f f e r e n -

t i a t i o n o c h i n t e g r a t i o n af de e l e m e n t ä r a f u n k t i o n e r n a , T a y -

lors f o r m e l u t a n r e s t t e r m e n s b e r ä k n a n d e o c h dess t i l l ä m p -

n i n g p å de e l e m e n t ä r a f u n k t i o n e r n a . D e t t a förslag ö f v e r -

e n s s t ä m m e r m e d de af K l e i n i hans u p p s a t s e r f r a m l a g d a

å s i k t e r n a . L ä r o b ö c k e r för de h ö g s t a g y m n a s i a l k l a s s e r n a äro

p u b l i c e r a d e b å d e i F r a n k r i k e o c h T y s k l a n d t . ex. a f B o u r l e t

(sista delen a f : Leeons d ' a l g é b r e é l e m e n t a i r e ) och Lesser

( D i e I n f i n i t e s i m a l r e c h n u n g i m U n t e r r i c h t e der P r i m a .

B e r l i n 1906). D e n förra af dessa f r a m s t ä l l n i n g a r i n n e f a t t a r

e n d a s t d i f f e r e n t i a t i o n s r e g l e r n a för de i a l g e b r a n b e h a n d -

lade f u n k t i o n e r n a , d e n senare d ä r e m o t t o r d e m o t s v a r a be-

h o f v e t v i d s k o l o r n a , e h u r u i n n e h å l l e t förefaller a t t v a r a

n å g o t för o m f a t t a n d e för de sv e n s k a s k o l o r n a s behof. A t t

n ä r m a r e u n d e r s ö k a d e t t a i n g å r e m e l l e r t i d i c k e i m å l e t för

d e n n a u p p s a t s , s o m e n d a s t v e l a t u t g ö r a e n b i d r a g t i l l d i s -

k u s s i o n e n , o m det är möjligt, a t t i m a t e m a t i k u n d e r v i s n i n g e n

v i d de svenska l ä r o v e r k e n införa f u n k t i o n s b e g r e p p e t .

References

Related documents

Ett start foder till slaktgrisar eller ett slutfoder för smågrisar inför försäljning eller flytt till slaktsvinsstall... Vi tillverkar dessutom kon- centrat

Vi bevakar och stödjer utvecklingen av gruv- och stålindustrin, och arbetar med att sprida kunskap till medlemmarna kring den framtida och moderna näringens behov, möjligheter

Vilka åtgärder skulle ditt bolag, utöver de som redan vidtagits, vilja att regeringen prioriterar för att stödja näringslivet med anledning av coronakrisen..

»över mittrum- met lyfte sig», säger beskrivaren i Sveriges kyrkor, >en på fyra pelare vilande 'rundel' till 15 alnars höjd från golvet.» Åtminstone indirekt buro dessa

[r]

2) Sextifyra är sexton-ialden af fyra. 3) Sextifyra är tre-potens af fyra. 2) Fyra är sexton-delen af sextifyra. 3) Fyra är tredjedels-potensen af sextifyra.. Hvilket är priset på

Stolz, Allgemeine

Förhållandet mellan en rektangel och en cirkel, i hvilken diametern är lm, är lika stort med produkten af basens och höjdens metertal samt förhållandet mellan 4 och n... Tiden