Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Skärningspunkter mellan linjer och plan
SKÄRNINGSPUNKTER MELLAN LINJER OCH PLAN
====================================================
I) Skärningspunkter mellan en linje och ett plan
1. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen L1:
+ +
=
t t
t
z y x
2 1
och planet
=1 + +y z
x .
Lösning.
Vi skriver linjens tre skalära ekvationer och löser systemet
= + +
+
=
= +
=
. 1 2
1
z y x
t z
t y
t x
Vi substituerar x= 1+t, y= och t z= 2+t i planets ekvation x+y+z=1 och får 3
/ 2 2
3 1 2
1+t+t+ +t= ⇒ t =− ⇒t=− .
Därmed är x=1−2/3=1/3, y=−2/3 och z=2−2/3=4/3. Svar: En skärningspunkt: P=(1/3, -2/3, 4/3)
2. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen L1:
+
− +
=
t t t
z y x
2 2 1
och planet
=3 + +y z
x .
Lösning: Substitutionen av x= 1+t, y=−2t och z= 2+t i planets ekvation x+y+z=3 ger 1+t−2t+2+t =3⇒0=0 (sant för alla t) .
Oändligt många lösningar. Alla punkter på linjen ligger också i planet (dvs hela linjen ligger i planet)
3. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen L1:
+
− +
=
t t t
z y x
2 2 1
och planet
=1 + +y z
x .
Svar: Ingen gemensam punkt.
II) Skärningspunkter mellan två eller flera plan
4. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan följande två plan a) x+ y+z=1 och 2x+2y+2z=5
b) x+y+z=1 och x+2y+2z=3 c) x+ y+z=1 och 3x+3y+3z=3
1 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Skärningspunkter mellan linjer och plan
Lösning:
a) Vi löser systemet
= + +
= + +
5 2 2 2
1
z y x
z y
x ⇔
=
= + +
3 0
1 z y
x
Systamet saknar lösning ⇔ Ingen skärningspunkt (De två planen är parallella) .
b)
= + +
= + +
3 2 2
1 z y x
z y
x ⇔
= +
= + +
2 1 z y
z y x
Två ledande variabler x och y samt en fri variabel z. Vi betecknar z= och får t y= 2−t och x=−1. Oändligt många lösningar
Lösningsmängden
−
−
=
t t z
y x
2 1
innehåller en parameter.
Skärningspunkter bildar räta linjen
−
−
=
t t z
y x
2 1
.
c) Det är uppenbar att båda ekvationen x+ y+z=1 och 3x+3y+3z=3 beskriver samma plan (eftersom ekv2 är 3* ekv1).
Anmärkning: Om vi löser systemet
= + +
= + +
3 3 3 3
1 z y x
z y
x ⇔
=
= + +
0 0
1 z y
x
som ger (två fria variabel) z= , t y=s och x= 1−s−t får vi samma plan på parameterformen
−
+
−
+
=
1 0 1 0
1 1 0
0 1
t s
z y x
Svar: a) Ingen skärningspunkt b) Skärningspunkter bildar räta linjen
−
−
=
t t z
y x
2 1
. c) De två plan sammanfaller.
5. Bestäm eventuella gemensamma punkter för följande tre plan:
a) x+ y+z=2, x+2y+2z=3 och 2x+3y+3z=1 b) x+ y+z=2, x+2y+2z=3 och x+2y+3z=4 c) x+ y+z=2, x+2y+3z=3 och y+2z=1 Svar: a) Inga gemensamma punkter (för all tre plan).
2 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Skärningspunkter mellan linjer och plan
b) Punkten (1,0 1) ligger i alla tre plan.
c) Gemensamma punkter är alla punkter på linjen
− +
=
t t t
z y x
2 1
1 .
III) Skärningspunkter mellan två linjer
6. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen L1:
+ +
=
t t
t
z y x
1 1
och linjen L2:
− +
−
=
t t t
z y x
4 1 .
Anmärkning: Uppgiften är från en gammal KS. Mer korrekt är att använda (i själva frågan) en annan parameter för den andra linje, t ex parameter s.
Lösning: En punkt P=
0 0 0
z y x
ligger på L1 om det finns ett parametervärde t1 så att
+ +
=
1 1
1
0 0 0
1 1
t t
t
z y x
. Samma punkt P ligger på L2 om det finns ett parametervärde t2 så att
− +
−
=
2 2 2
0 0 0
4 1
t t t
z y x
. Observera att vi måste ha olika beteckningar på parametrarna eftersom en skärningspunkt kan svara mot skilda parametervärden.
För att finna eventuella skärningspunkter löser vi
+ +
1 1
1
1 1
t t
t
=
− +
−
2 2 2
4 1
t t t
dvs
−
= +
+
−
=
= +
2 1
2 1
2 1
4 1
1 1
t t
t t
t t
⇔
= +
−
=
−
−
=
−
3 1 1
2 1
2 1
2 1
t t
t t
t t
⇔
=
=
−
=
−
4 2
0 0
1
2 2 1
t t t
⇔
=
=
−
=
−
0 0
2 1
2 2 1
t t t
Härav t1=1 och t2 =2 som gör en skärningspunkt
=
+ +
=
2 1 2 1
1
1 1
1
0 0 0
t t
t
z y x
.
3 av 4
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Skärningspunkter mellan linjer och plan
Alternativt,
=
− +
−
=
2 1 2 4
1
2 2 2
0 0 0
t t t
z y x
Svar: En skärningspunkt
2 1 2
.
2. Bestäm eventuella skärningspunkter mellan linjen L1 som går genom punkterna A= (1,1,1) och B=(1,2,2) och linjen L2 som går genom punkterna C=(0,2,2) och D=(1,4,2).
Lösning:
= 1 1 0
AB är en riktningsvektor för linjen L1 som därmed har ekvationen
+
=
1 1 0 1 1 1
t z
y x
eller L1:
+ +
=
t t z
y x
1 1 1
(*)
På samma sätt får vi ekvationen för L2:
+
=
0 2 1 2
2 0
s z
y x
eller
L2:
+
=
2 2
2 s
s
z y x
. (**)
Linjerna (*) och (**) skär varandra om det finns t och s sådana att
+ + t t 1 1 1
=
+
2 2
2 s
s . Detta gör systemet
= +
+
= +
=
2 1
2 2 1
1 t
s t
s
⇔
=
= +
−
=
1 1 2
1 t
t s s
⇔
=
=
=
1 3 1 t t s
⇔
−
=
=
=
2 0
3 1 t s
⇒Ingen lösning.
Systemet saknar lösning, med andra ord, L1 och L2 har ingen gemensam punkt.
4 av 4
