[a,b] så finns ett tal c,

(1)

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR Integralkalkylens medelvärdessats. Analysens huvudsats

INTEGRALKALKYLENS MEDELVÄRDESSATS.

ANALYSENS HUVUDSATS.

INSÄTTNINGSFORMEL

INTEGRALKALKYLENS MEDELVÄRDESSATS. Om funktionen

f ( x )

är kontinuerlig i

[a,b] så finns ett tal c,

a≤c≤b

, sådant att

f(x)dx f(c)(b a)

b

a

−

∫

=

{ eller ⁼ ₋

∫

^b

a

dx x a f

c b

f ( )

) ( ) 1

( }.

Bevis. En kontinuerlig funktion på ett slutet interval [a,b] har minsta och största värde på intervallet.

Beteckna m min f ( x )

b x a≤ ≤

=

och

M max f ( x )

b x a≤ ≤

=

. Då gäller

M x f

m ≤ ( ) ≤

och därför

∫

^≤ ^≤ ^b

a b

a

Mdx dx

x f

mdx ( )

dvs m(b a) f(x)dx M(b a)

b

a

−

≤

−

∫

. Vi delar med (b-a) och får

M dx x a f

m b

b

a

− ≤

≤ ₍ ¹ ₎

∫

⁽ ⁾ .

Alltså är

₋

∫

^b

a

dx x a f

b ( )

) (

1

ett tal som ligger mellan minimum och maximum till f ( x ) .

En funktion som är kontinuerlig på intervallet [a,b] antar alla värden mellan sitt minimum och sitt maximum. Därför finns ett tal c i [a,b] så att

−

∫

=

b

a

dx x a f

c b

f ( )

) ( ) 1

(

eller

⁻ ⁼

∫

^b

a

dx x f a b c

f( )( ) ( )

, vad skulle bevisas.

Definition. Medelvärdet av en funktion f ( x ) som är integrerbar på [ a , b ]

betecknas f och definieras som ⁼ ₋

∫

^b

a

dx x a f

f b ( )

) (

1

.

1 / 4

(2)

Sats 1. (ANALYSENS HUVUDSATS)

Låt f ( x ) vara en kontinuerlig funktion på ett intervallet I som innehåller punkten a. Om vi definierar

⁼

∫

^x

a

dt t f x

S( ) ( )

då gäller: Funktionen S ( x ) är deriverbar på intervallet I och S ′ ( x ) = f ( x ) för x ∈ I

.

Bevis. Vi bevisar satsen med hjälp av derivatans definition.

− =

= +

′

→

h

x S h x x S

S

h

) ( ) lim (

) (

0

( definitionen av S(x))

=

  =



 

 ∫

⁺

− ∫

→

x

a h

x

h a

f t dt f t dt

h ( ) ( )

lim 1

0

(räknelagar för integraler)

 =



 



=

→

 ∫

⁺

h x

f t dt

h ( )

lim 1

0 (medelvärdessatsen för integraler )

=

⋅

=

→

1 ( ) lim

→

( )

lim

0 0 h

h h

h

h f c f c

h

(Från

x ≤ c

_h

≤ x + h

har vi att

c

_h

→ x

då h→0, samt

f ( x )

kontinuerlig)

= f ( x )

, vad skulle bevisas.

Analysens huvudsats på kortare sätt:{

f ( x )

är kontinuerlig i

[ a , b ]

och a<x<b } ⇒ )

( )

(t dt f x dx f

d ^x

a

∫

= ^.

Exempel. [e² sin(t³)]dt e ² sin(x³) dx

d x

x

a

t + = +

∫

2 / 4

(3)

Insättningsformeln (=Leibniz- Newton formel) Antag att 1.

f ( x )

är kontinuerlig på

[ a , b ]

och

2.

F ( x )

är en primitiv funktion till

f ( x )

(dvs

F ' ( x ) = f ( x )

Då gäller

� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥^𝑏𝑏

𝑎𝑎 = [𝐹𝐹(𝑥𝑥)]_𝑎𝑎^𝑏𝑏 = 𝐹𝐹(𝑏𝑏) − 𝐹𝐹(𝑎𝑎)

Exempel 1. Beräkna

∫

^π

0

sin xdx

Lösning: Notera att 1. Funktionen

f ( x ) = sin x

är kontinuerlig och 2.

F ( x ) = − cos x

är en primitiv funktion till

f ( x ) = sin x

eftersom

( − cos x )' = sin x

.

Enligt insättningsformeln gäller

∫

π 0

sin xdx=

[ cos ] [ cos 0 ] 2 ] 0

cos

[ − π = − π − − =

x

Exempel b) Vi får inte använda insättningsformeln på integralen

−

∫

1

1dx

x eftersom funktionen

x x

f 1

)

( =

är inte kontinuerligt på

[− 1 , 1 ]

.

---

Uppgift 1. Bestäm medelvärdet av funktionen

f(x)=sin(x)

på intervallet [ 0 , π ]

.

Lösning:

π π π

π

π 2

]0 cos 1[ ) ) sin(

0 ( ) 1 ) (

( 1

0

=

−

− =

= _b _a

∫

^f ^x ^dx

∫

^x ^dx ^x

f

b

a

Uppgift 2. Använd analysens huvudsats för att bestämma nedanstående derivator.

a) Bestäm

S ' x ( )

om ^S ^x ⁼

∫

^x^e ^t ^dt

2 3²

)

(

.

b) Bestäm

S ' t ( )

om ^S ^t ⁼

∫

^t ^x ^dx

2

2) sin(

)

(

.

3 / 4

(4)

c)

_Bestäm

S ' y ( )

om ^S ^y ⁼

∫

^y_^^e ^v ⁺ _v^v_^^dv

4

3 sin

)

( ²

, där y > 0

.

(Notera att 0 inte ligger i

[ 4 , y ]

så att integranden är kontinuerlig i integrationsintervallet)

.

d)

Bestäm

S′ (z )

om ^S ^z ⁼

∫

^z_^ _u^u⁺ ^u_^^du

5

arctan ) ln

(

, där

z>0.

Svar: a)

S′(x)=e³^x² b)

S′ (t )

=

sin( t

²

)

c)

y e y

y

S

^y

sin

)

( =

³ ²

+

′

d)

z

z z z

S ln arctan

)

( = +

′

Uppgift 3. Låt ^S ^x ⁼

∫

^x ^t⁻^t ^e^t^dt

0

2) 2 ( )

(

, x ∈ [ 1 , 3 ]

. För vilka

x ∈ [ 1 , 3 ]

växer/ avtar funktionen

S ( x )

?

För vilket x-värde har funktionen

S ( x )

sitt största värde?

Lösning:

S ′ ( x ) = ( 2 x − x

²

) e

^x

. 0

)

( =

S ′ x

⇒ x=0 eller x=2. Eftersom

x ∈ [ 1 , 3 ]

har vi en stationär punkt x=2. Derivatans tecken

1 x=2 3

) ( x

S ′

+ 0 –

) ( x

S

växer max avtar

Alltså har funktionen sitt största värde i punkten x=2.

Uppgift 4. Beräkna följande integraler:

a)

∫

³

2

dt

e

^t b)

∫

^/²

0

cos

π

xdx

c)

∫

¹

₊

0

2

1 1 dx

x

d)

∫

^/⁴

0

cos

2 π

1 z dz

Svar: a) e³−e² b) 1 c) 4

π

d) 1

4 / 4