• No results found

STOKASTISKA VARIABLER

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "STOKASTISKA VARIABLER "

Copied!
9
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

1 av 9

STOKASTISKA VARIABLER

Resultat till ett försök är ofta ett tal. Talet kallas en stokastisk variabel (kortare s. v.).

Definition 1. En reellvärd funktion definierad på ett utfallsrum Ω kallas en (endimensionell) stokastisk variabel.

Stokastiska variabler betecknas oftast med versaler X, Y, Z,... eller med grekiska bokstäver, ξ (ksi eller xi) , η (eta) , ζ (zeta).

Exempel: I en låda finns fem lappar med talet 40, tre lappar markerade med 80 och 12 lappar markerade med 90. Vi tar ut en lapp på måfå. Möjliga utfall är följande reella tal 40, 80 ,90. Vi betecknar resultat med X. Då är X en stokastisk variabel.

Sannolikheten att X får värdet x betecknar vi med P(X=x).

T ex P(X=40)=5/20 eller P(X=80)=3/20. I det här fallet (ändligt antal möjliga utfall) kan vi ange alla möjliga resultat med motsvarande sannolikheter:

X 40 80 90

P(X=x) 5/20 3/20 12/20

DISKRETA STOKASTISKA VARIABLER

Definition 2 En stokastisk variabel kallas DISKRET om den antar numrerbart (=uppräkneligt) antal olika värden.

Sannolikhetsfördelning för en diskret stokastisk variabel oftast anges med en tabell:

ξ … …

… … 1

Definition 3. Låt  vara en diskret stokastisk variabel. Funktionen p(x) P(  x) kallas sannolikhetsfunktionen till  .

(2)

2 av 9

Definition 4. Låt vara en diskret stokastisk variabel. Följande funktion

kallas fördelningsfunktionen för .

För en diskret s.v. kan fördelningsfunktionen bestämmas genom att addera alla pk för de xk

som är mindre eller lika med x:

x x

k

k

x p x

F ( ) ( )

==========================================================

VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS för diskreta s.v.

VÄNTEVÄRDET för en diskret s.v.  betecknas m, µ eller , och definieras som

∙ där

VARIANSEN för en diskret s.v.  betecknas , Var, eller och definieras som

STANDARDAVVIKELSEN för en diskret s.v.  betecknas eller s och definieras som

(3)

3 av 9 NÅGRA VIKTIGA DISKRETA FÖRDELNINGAR

Fördelning Sannolikhetsfunk.

)

( x

P Väntevärde Varians

Binomial Bin(n,p)

np np(1 p)

Poisson ) (Po

...

3 , 2 , 1 , 0

!

x e x

x

 

Hypergeometrisk Hyp(N,n,p) N=N1 +N2

/ 

 



 

 

 

n N

x n

N x

N1 2 np

1 ) )(

1 (

N

n N p np

========================================================

ÖVNINGSUPPGIFTER

Uppgift 1.

I nedanstående tabell finns sannolikhetsfördelning för en diskret stokastisk variabel ξ.

  ξ  3  4  5  8  10    0.2  0.1  0.3  0.1  0.3 

a) Bestäm väntevärdet och variansen och standardavvikelsen för ξ.

b) Rita stolpdiagrammet för tillhörande sannolikhetsfunktion . c) Bestäm och rita grafen till fördelningsfunktion .

d) Beräkna följande sannolikheter:

) 8 4

(  

P , P(4 8), P(4 8), P(4 8), )

8 ( 

P , P( 8), P(4), P(4), )

10 ( 

P , P( 10), P( 3), P( 3). Lösning:

a) VÄNTEVÄRDET:

∙ 3 ∙ 0.2 4 ∙ 0.1 5 ∙ 0.3 8 ∙ 0.1 10 ∙ 0.3 6.3 n

x

p x p

n x n x

,..., 1 , 0

) 1 (

 

 

(4)

4 av 9

VARIANSEN: V(ξ) ∑ ∙

3 6.3 ∙ 0.2 4 6.3 ∙ 0.1 5 6.3 ∙ 0.3 8 6.3 ∙ 0.1 10 6.3 ∙ 0.3 7.61

STANDARDAVVIKELSEN :

√ √7.61 2.7586

b) Grafen till sannolikhetsfunktionen (stolpdiagram)

c) Fördelningsfunktion bestäms av kumulativa sannolikheter:





x x

x x x x

x F

10 om 1

10 8

om 7 . 0

8 5

om 6 . 0

5 4

om 3 . 0

4 3

om 2 . 0

3 om 0

) (

0 0,1 0,2 0,3 0,4

3 4 5 8 10

(5)

5 av 9 d) Från tabellen

  ξ  3  4  5  8  10    0.2  0.1  0.3  0.1  0.3 

får vi:

5 . 0 1 . 0 3 . 0 1 . 0 ) 8 4

(      

P ,

4 . 0 1 . 0 3 . 0 ) 8 4

(     

P ,

4 . 0 3 . 0 1 . 0 ) 8 4

(     

P ,

3 . 0 ) 8 4

(   

P ,

7 . 0 1 . 0 3 . 0 1 . 0 2 . 0 ) 8

(      

P ,

6 . 0 3 . 0 1 . 0 2 . 0 ) 8

(     

P ,

7 . 0 3 , 0 1 . 0 3 . 0 ) 4

(     

P ,

P(4)0.10.30.10.30.8, 1

) 10 (  

P ,

0 ) 10 (  

P ,

P( 3)0, 1 ) 3 (  

P .

(6)

Uppgift

Om hju kr.

a) Bestä pengar u b) Man studentk Lösning sannolik

X P(X=

a) Vi be genoms

) ( X

E

b) Om m nettovin Därmed Svar: a)

Uppgift Bland 1 Bestäm a) ingen b) exak c) minst

Lösning

t 2. Studen

ulet stannar

äm priset pe under kväll

antar att kå kåren vill h g. Vi kan be khetsfördeln

10 

=x)  0.40

estämmer vä snitt per ett s

1 1p

x  

 

man vill tjän nst per spel.

d är det sökt ) 59 kr. b)

t 3. (Hyper 5 produkter sannolikhe n defekt kt en defekt

t en defekt.

g:

ntkåren på K

t. ex. på de

er ett spel om en (dvs om åren säljer 5 ha (approxi etrakta resu ning

50  100 0  0.30  0.20

äntevärdet f spel.

4 4p

x =10·0 na totalt 500 ta priset lika ) 69

rgeometris r finns 5 def eten att få

KTH organi

en blå färge

m studentkå de förvänta 00 spel und mativt) tota ltat (i ett sp

0  200  0  0.10 

för X som v 0.40+50·0.3 00 kr denna a med 59+1

k fördelnin fekta. Man

6 av 9 iserar en spe

en (sannolik

åren vill (ap ar nettoresu der kvällen.

al nettovinst pel) som en

visar (approx 30+100·0.20 a kväll ( med

0=69 kr.

ng)

väljer på m

elkväll med

kheten för de

pproximativ ltat=0 kr)

Bestäm pri t = 5000 kr stokastisk v

ximativt) h 0+200·0.10=

d 500 spel)

måfå 4 produ

d nedanståen

etta = 0.30)

vt) varken v set per ett s i slutet av s variabel X m

hur mycket

=4+15+20+

) då blir 500

ukter.

nde lyckohj

då får spel

vinna eller spel om spelkvällen.

med följand

en spelare +20=59 kr.

00/500=10 k ul.

laren 50

förlora

. de

får i

kr

(7)

7 av 9

∙ 2

13 0.1538

b)

0.43956

c)

∙ 2

13 0.8462

Binomialfördelning

Låt A vara en händelse som inträffar med sannolikheten p vid ett försök.

1

Vi upprepar försöket n gånger och kollar hur många gånger A inträffar.

Låt ξ vara antalet gånger A inträffar vid n försök.

Då gäller

1 , 0, 1, ⋯ , .

Vi säger att variabeln ξ är binomialfördelad med parametrar n och p och betecknar

∈ , .

Man betecknar ofta

1

. Föregående formel kan då skrivas kortare

, 0, 1, ⋯ , .

För en binomialfördelad s. v. ξ med parametrar n (antalet upprepningar av ett försök A) och p (sannolikheten för ett försök A) gäller följande formler

Väntevärdet: E(ξ) =np Variansen: V(ξ) =npq och standardavvikelsen:   npq

(8)

8 av 9 Uppgift 4. (Binomialfördelning)

Vi planerar att producera 10 st produkter i en maskin. Sannolikheten för att en produkt blir defekt är 5%.

Bestäm sannolikheten att få a) exakt 1 defekt produkt b) högst 1 defekt produkt c) minst 1 defekt

d) ingen defekt e) alla defekta

Lösning: Antalet defekta är en s. v. som vi betecknar med ξ . Variabeln är binomialfördelad med parametrar

10 och 0.05 ( och 1 0.95), som vi betecknar ξ Bin(10,0.05)

a) Sannolikheten att få exakt 1 defekt produkt är

1 10

1 0.3151

b) Sannolikheten för högst 1 defekt produkt är där

0 10

0 0.5987

(

har vi beräknat i a)

Därför gäller att P( högst en defekt) = 0.9139 .

c)

Eftersom ⋯ 1 har vi

1 1 0.5987 0.4013

d) Sannolikheten för ingen defekt är

0 10

0 0.5987

e) Sannolikheten för alla defekta är

10 10

10 9.766 ∙ 10

Svar: a) 0.3151 b) 0.9139 c) 0.4013

d) 0.5987 e) 9.766 ∙ 10 0 Poissonfördelning.

Poissonfördelningen används oftast i modeller som beskriver antalet oberoende händelser under ett tidsintervall.

Om för en stokastisk variabel ξ gäller

!

, ä 0, 1, 2, 3, ….

(9)

9 av 9

För en Poissonfördelad s. v. med parameter gäller följande formler Väntevärdet: E(ξ) = λ

Variansen: V(ξ) = λ och standardavvikelsen:

==============================

APPROXIMATION av Bin(n,p) med .

Om n är stor och p litet ( tumregel 10, 0.1) i en binomialfördelning Bin(n,p) då kan fördelningen Bin(n,p) approximeras med Poissonfördelningen med .

Uppgift 5. (Poissonfördelning)

Till en telefonväxel ankommer i genomsnitt 90 anrop per timme. Vi antar att ankomster är Poissonfördelade. Bestäm sannolikheten att exakt 2 anrop kommer under ett tidsintervall som är en minut långt.

Lösning.

Viktigt: Parameter λ i en Poissonfördelad s.v. ξ är lika med väntevärdet E(ξ).

Vi har i genomsnitt 90 ankomster per timme och därför 90/60=1.5 ankomster per minut.

Vi betecknar antalet ankomster per minut med λ. Då är ∈ . där λ = 1.5 ankomster per minut. Vi använder formeln

! ,

och substituerar 1.5 och 2.

2 1.5

2!

.

0.2510

Uppgift 6. (APPROXIMATION. Binomialfördelning, Poissonfördelning)

Man ska tillverka 1000 produkter. Vad är sannolikheten att få exakt 2 defekta produkter bland 1000, om felsannolikheten (sannolikheten att en produkt blir defekt) är 0.003.

Lösning:

Låt beteckna antalet defekta produkter. Då gäller

∈ 1000,0.003 .

Metod 1. Vi beräknar sannolikheten direkt (binomialfördelningen)

1 , 0, 1, ⋯ , .

dvs

1000

2 1 0.2242

Metod 2. Vi kan approximera sannolikheten med hjälp av Poissonfördelningen med

parameter λ=np=1000·0.003=3.

! 3

2! 0.2240

References

Related documents

Det epost-API som kommer skapas för detta arbete kommer att hantera utskick av e-post, där olika http-metoder kommer att användas för att hantera resurser och på så

(Ledning: Använd t.ex.. Visa att S är sluten under matrismultiplikation, dvs.. Visa att S har ett neutralt element vid matrismultiplikation, dvs. Om vi vid definitionen av S

Brinnande fordon Bärgning, ett körfält blockerat Djur på vägbanan Djur på vägbanan, fara Fordon på fel vägbana Föremål på vägbanan, ett körfält blockerat Föremål

En stokastisk variabel ξ ¨ar normalf¨ordelad med parametrarna µ och σ > 0 om den har t¨atheten (se fig. Bj¨orup & Ed´en: Analys i en och flera dimensioner s.. En

Ber¨akna v¨antev¨ardet och variansen f¨or summan av tio oberoende stokastiska variabler, som alla ¨ar likformigt f¨ordelade i intervallet (1,

L˚ at µ och σ 2 beteckna v¨ antev¨ ardet respektive variansen f¨ or tre i.i.d... F¨ or att skatta en kvadrats yta m¨ ater man dess sida n

Per promenerar fr˚ an en ort till en annan p˚ a tv˚ a timmar och Anna g˚ ar samma v¨ag men i motsatt riktning p˚ a tre timmar.. Per och Anna v¨aljer sina starttider slumpm¨ assigt

[r]