O m dessa u p p g i f t e r m å t i l l en början a n m ä r k a s , a t t d e n a n v ä n d a m e t o d e n , o m den ö v e r h u v u d leder t i l l e t t resultat, i n g a l u n d a , s å s o m f o r m u l e r i n g e n synes ge v i d

R e d a n i första u p p l a g a n av Möllers L ä r o k u r s i a l g e b r a (Senare delen, L u n d 1 8 9 2 , s i d . 11) f ö r e k o m m e r i k a p i t l e t

»Kvadratrötter» följande fråga t i l l b e s v a r a n d e : »För v i l k e t v ä r d e p å x är

x ^4, — 4 x ³ + 6 x ² + x — ¹⁴

en j ä m n k v a d r a t , o c h v i l k e n är då dess k v a d r a t r o t ? » D e t närmast föregående e x e m p l e t i b o k e n o c h de b å d a efterfölj- ande äro av s a m m a art. Författaren har tänkt sig, a t t v i d lösningen följande förfarande s k a l l a n v ä n d a s . M a n försöker e n l i g t känd m e t o d a t t b e r ä k n a k v a d r a t r o t e n ur den g i v n a f u n k t i o n e n o c h finner då, a t t r o t u t d r a g n i n g e n i c k e g å r j ä m t upp, u t a n a t t m a n får en rest: $x—15. F ö r x = 3 b l i r denna rest = o och den g i v n a f u n k t i o n e n alltså en j ä m n k v a d r a t : 16. S a m m a u p p g i f t e r återfinnas i fjärde u p p l a g a n ( 1 9 0 9 ) . I M a t t s o n s L ä r o b o k i a l g e b r a för g y m n a s i e t I (Stock- h o l m 1 9 1 3 ) finner m a n på sid. 1 3 1 ett l i k n a n d e e x e m p e l ( 6 9 7 ) , avsett a t t behandlas på s a m m a s ä t t ; o c h H e d s t r ö m — R e n d a h l h a v a på s i d . 6 3 i sin A l g e b r a för g y m n a s i e t ( S t o c k - h o l m 1 9 1 5 ) t v å e x e m p e l av s a m m a a r t ( 4 1 4 a o c h b).

O m dessa u p p g i f t e r m å t i l l en början a n m ä r k a s , a t t d e n a n v ä n d a m e t o d e n , o m den ö v e r h u v u d leder t i l l e t t resultat, i n g a l u n d a , s å s o m f o r m u l e r i n g e n synes ge v i d h a n d e n , med s ä k e r h e t ger det enda r a t i o n e l l a ;r-värde, för v i l k e t f u n k t i o n e n b l i r en j ä m n k v a d r a t . E t t e x e m p e l h ä r p å är f u n k t i o n e n

x' 1 — ^{4 - r}

^{+ 8} x 2 + x — 2

som, b e h a n d l a d på d e t t a sätt, ger resten ( 9 x—6), v a r a v 2 1 x = - . F u n k t i o n e n b l i r e m e l l e r t i d en j ä m n k v a d r a t ä v e n

3

för x = 1 och x= 2 , a n d r a v ä r d e n a t t förtiga. A t t m e t o d e n s t u n d o m k a n slå alldeles fel, visar följande e x e m p e l . F u n k - t i o n e n

X

— ^{14 .V}

^{+ 4 9 X}

^{+ 2 I}

lämnar v i d r o t u t d r a g n i n g resten 2 1 m e n är det o a k t a t en j ä m n k v a d r a t för j r = 5 .

O r s a k e n t i l l a t t metodens a n v ä n d n i n g i c k e slår bättre

ut är den, att dessa u p p g i f t e r höra t i l l ett h e l t annat område

än det, t i l l v i l k e t läroboksförfattarna hänfört d e m . T y d l i g a s t s k a l l d e t t a k a n s k e framgå av e t t e n k e l t e x e m p e l . S ö k e r m a n e t t r a t i o n e l l t v ä r d e p å x, som g ö r f u n k t i o n e n (3 . r ² + 4 ) t i l l en j ä m n k v a d r a t , så är d e n n a u p p g i f t t y d l i g e n löst p å s a m m a g å n g s o m e k v a t i o n e n

(m y 3 x- + 4 = — x + 2 I

där m o c h ?z b e t e c k n a t v å r e l a t i v a p r i m t a l . D e n n a e k v a t i o n har t v å rötter

4 vi n

x — o o c h x — — 5-.

3 ir — m

D e t finnes s å l e d e s o ä n d l i g t m å n g a r a t i o n e l l a .r-värden, för v i l k a f u n k t i o n e n b l i r en j ä m n k v a d r a t . N å g r a specialfall m å n ä m n a s .

vi = 1 ; n = 1 ger x = 2

vi = 3 ; n = 2 » x = 8 7/2 = 5 ;

= 3 » JC = 3 0

= 1 2 ; « = 7 » x = 1 1 2

; « = 1 9 ; « = I I » . r = 4 i 8 .

O m varje h e l f u n k t i o n av a n d r a g r a d e n k a n d e t b e v i - sas, a t t o m d e t finnes ett r a t i o n e l l t x-vårde, s o m g ö r d e n t i l l en j ä m n k v a d r a t , så är a n t a l e t s å d a n a .r-värden o ä n d l i g t stort. A l l a f u n k t i o n e r av a n d r a g r a d e n äro likväl icke av denna beskaffenhet.

F ö r f u n k t i o n e r av tredje o c h fjärde g r a d e n ställer s i g

u n d e r s ö k n i n g e n b e t y d l i g t svårare. I vissa specialfall k a n

m a n d o c k m e d m y c k e t e n k l a m e d e l framställa ett b e g r ä n s a t

a n t a l lösningar. Ett s å d a n t m e d e l är d e n i de o v a n n ä m n d a

l ä r o b ö c k e r n a a n v ä n d a m e t o d e n . I i n t e t fall h a v a e m e l l e r t i d

författarna f u n n i t m e r än en e n d a lösning. V i d e t t av dessa fall v i l l j a g här u p p e h å l l a m i g , e m e d a n det är m y c k e t e n k e l t a t t u p p v i s a åtskilliga lösningar u t ö v e r d e n funna. E x e m p l e t 4 1 4 a hos H e d s t r ö m - R e n d a h l l y d e r : F ö r v i l k e t ,r-värde är u t t r y c k e t

3 x + 2 , T

+ 3 x ² + ,r ^l + 4

en j ä m n k v a d r a t ? O r d n a s t e r m e r n a efter fallande d i g n i t e t e r av x o c h v e r k s t ä l l e s r o t u t d r a g n i n g , s å erhålles resten (x + 3 ) , v a r a v lösningen x— — 3 , d e n e n d a s o m finnes i f a c i t b o k e n . E n a n n a n lösning, s o m genast faller i ö g o n e n , är x=o.

N å g r a a n d r a lösningar f r a m k o m m a g e n o m följande förfa- r a n d e . M a n sätter d e n g i v n a f u n k t i o n e n

x A + 2 x 3 + 3 x 2 + 3 x + 4 = {x 2 + a x + 2 )

o c h s ö k e r b e s t ä m m a a så, a t t e k v a t i o n e n far en r a t i o n e l l r o t . E f t e r k v a d r e r i n g o c h r e d u k t i o n erhålles

2 (a — i)x 3 + (a 2 + i)x 2 + ( 4 a — 3 ) x = o,

där den k ä n d a r o t e n x = O k a n d i v i d e r a s b o r t , så a t t m a n får

2 (a — i)x ² + (a ² + 1) x + (4 a — ^{3 ) = o .}

H ä r k a n m a n sätta a = 1 , så a t t den första t e r m e n försvin- ner, då m a n erhåller l ö s n i n g e n

_ 3 — \

_

X ~ a ² + 1 2 '

3

eller o c k s å sätter m a n a = - , sa a t t den sista t e r m e n för- 4

svinner, då m a n erhåller en n y l ö s n i n g

a ² + i 25

* ⁼ 2(1 —a) ⁼ ¥ "

Y t t e r l i g a r e e t t par lösningar får m a n g e n o m a t t b i l d a den l i k n a n d e e k v a t i o n e n

x A + 2 x 3 + 3 x 2 + $x + 4 = [x % + ax — 2)

som t r a n s f o r m e r a s t i l l

2 ( a — i)x 2 + [a 2 — 7 ) A - — ( 4 a + 3) = o, v i l k e n för a = 1 ger lösningen

4 « + 3 7

# = - 5 = — • - ,

a* — 7 6

3

m e d a n v ä r d e t a — leder t i l l l ö s n i n g e n 4

7 — a 2 103

2 ( a — 1 ) 5 6

U t a n n ä m n v ä r d m ö d a h a r d e t s å l e d e s l y c k a t s a t t utö- ver d e n i b o k e n a n g i v n a lösningen x = — 3 finna fem a n d r a . O c h d ä r m e d är a n t a l e t s ä k e r l i g e n icke uttömt.

F u n k t i o n e n i M a t t s o n s e x e m p e l

x ^l + 4x ^a + 1 o x ² — wx + 53

är av en m e r a k o m p l i c e r a d t y p o c h därför b e s v ä r l i g a r e a t t k o m m a t i l l rätta m e d . M a n finner d o c k m e d lätthet, a t t den b l i r en j ä m n k v a d r a t , u t o m för d e t av författaren funna vär- det x = 2, ä v e n för x = .

2

L i k a s å b l i r d e n i Möllers näst sista e x e m p e l behandlade f u n k t i o n e n

x* — 2 x 3 + 5 x 2 — 5 x — 6

en j ä m n k v a d r a t , u t o m för d e t i f a c i t b o k e n a n g i v n a v ä r d e t x = — i o , även för x= 2.

D e t anförda t o r d e vara tillräckligt för a t t visa, a t t

d e t t a slag av u p p g i f t e r e g e n t l i g e n hör h e m m a i t a l t e o r i n .

A n l e d n i n g e n t i l l , a t t j a g här sysselsatt m i g m e d d e m , är i c k e

den, a t t j a g tillmäter frågan o m deras förekomst o c h behand-

l i n g i en s k o l b o k n å g o n större b e t y d e l s e , u t a n den, a t t

H e d s t r ö m - R e n d a h l s e x e m p e l 4 1 4 a g e n o m sin t y p i s k a enkel-

h e t särskilt i n b j u d i t t i l l p å p e k a n d e a v n å g r a sakförhållanden,

s o m s y n t s m i g vara på m e r än e t t håll förbisedda. O c h

förbiseenden äro lätta a t t g ö r a , d e t är en konst, s o m v i

alla k u n n a .