Den goda matematikuppgiften under ett förstoringsglas

__________________________________________________________________________________________

Den goda matematikuppgiften under ett förstoringsglas

Henrik Johansson och Magnus Åkerblad

C-uppsats 2005 Handledare: Arne Engström

Pedagogik

med

didaktisk

inriktning

C

________________________________________________________________

C-uppsatser vid Pedagogiska institutionen, Örebro universitet

Sammanfattning

Syftet med denna studie ¨ar att utifr˚an ett konstruktivistiskt perspektiv utveckla te-orier om vad som ¨ar en god matematikuppgift och sedan testa hur v¨al en s˚adan fungerar i klassrumsmilj¨o.

Vi unders¨oker f¨orst vad ett konstruktivistiskt perspektiv f˚ar f¨or konsekvenser f¨or undervisningen i matematik och presenterar en didaktisk ansats med sexton karakt¨aristiska drag hos en bra uppgift. Tanken med dessa sexton drag ¨ar att de ska vara ett hj¨alpmedel vid konstruktion och analys av matematikuppgifter. Vidare s˚a exemplifierar vi med ett antal st¨orre uppgifter som tas fram och analyseras utifr˚an de sexton karakt¨arsdragen.

F¨or att besvara fr˚agest¨allningen om hur en matematikuppgift konstruerad uti-fr˚an ett konstruktivistiskt perspektiv fungerar i praktiken s˚a genomf¨ordes en empi-risk unders¨okning d¨ar en av matematikuppgifterna testades i tre gymnasieklasser. Resultatet utav denna unders¨okning var att uppgiften bem¨ottes positivt utav elever-na. Unders¨okning visar ocks˚a p˚a hur elever kan utveckla problemst¨allningen och g¨ora uppgiften till sin egen. Grupparbetet fungerade mindre bra, d¨arf¨or rekommen-derar vi grupper med tv˚a personer som sedan kan ut¨okas n¨ar eleverna ¨ar mer vana vid arbetss¨attet. Gruppernas arbetsfl¨ode visar att uppgiften var v¨al anpassad till en lektionstimme.

Inneh˚all

1 Inledning 4

1.1 Bakgrund . . . 5

1.2 Syfte . . . 6

2 Teori 7 2.1 N˚agra teoretiska perspektiv p˚a l¨arande . . . 7

2.1.1 Behaviorism . . . 7

2.1.2 Kognitivism . . . 8

2.1.3 Konstruktivism . . . 9

2.1.4 Sociokulturell teori . . . 10

2.2 Konsekvenser f¨or matematikundervisningen . . . 10

2.2.1 Analys av konsekvenser f¨or undervisningen . . . 12

3 Vad ¨ar en bra uppgift? 16 3.1 Karakt¨arsdrag hos en bra uppgift . . . 17

3.2 F¨orslag p˚a goda uppgifter . . . 18

3.2.1 St˚alkulan . . . 18

3.2.2 Plastflaskan . . . 20

3.2.3 Resan . . . 21

3.2.4 Glassarna . . . 23

3.2.5 Sammanfattande j¨amf¨orelse av uppgifterna . . . 25

4 Metod 26 4.1 Vetenskapsteori . . . 26 4.2 Paradigm . . . 27 4.2.1 Positivism . . . 27 4.2.2 Humanvetenskap . . . 27 4.3 Forskningsmetodik . . . 28 4.3.1 Konstruktivismens konsekvenser . . . 29 4.3.2 Observation . . . 30 4.3.3 Forskningsetik . . . 31

4.4 V˚ar empiriska unders¨okning . . . 32

4.4.1 Urval . . . 32

4.4.2 Genomf¨orande . . . 33

4.4.3 Observat¨orens arbete . . . 34

5 Resultat av den empiriska unders¨okningen 37

5.1 Grupp 1 . . . 37

5.1.1 Gruppens arbete med uppgiften . . . 37

5.1.2 Allm¨anna kommentarer om arbetet i grupp 1 . . . 43

5.2 Grupp 2 . . . 43

5.2.1 Gruppens arbete med uppgiften . . . 43

5.2.2 Allm¨anna kommentarer om arbetet i grupp 2 . . . 47

5.3 Grupp 3 . . . 48

5.3.1 Gruppens arbete med uppgiften . . . 48

5.3.2 Allm¨anna kommentarer om arbetet i grupp 3 . . . 53

5.4 Sammanfattning av resultaten . . . 53

6 Diskussion 55 6.1 Diskussion kring vad som ¨ar en bra uppgift . . . 55

6.2 Diskussion kring den empiriska unders¨okningen . . . 55

1 Inledning

Denna studie behandlar l¨arande i matematik. Fokus ligger p˚a anv¨andningen av matematik b˚ade i och utanf¨or skolan och p˚a inspirerande matematikuppgifter som inneb¨ar mer t¨ankande och mindre mekaniskt r¨aknande.

Vi som utf¨ort denna studie har b˚ada en bakgrund som civilingenj¨or och har undervisat p˚a universitetsniv˚a i matematik. Under tiden vi undervisat och under hela v˚ar utbildning har till¨ampningen av matematik varit viktig eftersom matematiken ¨ar ett oumb¨arligt verktyg inom alla ingenj¨ors¨amnen. D¨arf¨or anser vi att det ¨ar av yttersta vikt att eleverna i grund- och gymna-sieskolan f˚ar till¨ampa och f˚ar se till¨ampningar av matematiken. Detta kommer att ¨oka intresset f¨or matematik.

Enligt ett antal rapporter ska det vara roligt och lustfyllt att l¨ara sig matematik (Skolverket 2003). F¨or att ˚astadkomma detta f¨oresl˚ar rapporten att matematiken ska f¨oras in i vardagen och att eleverna skall f˚a flera m¨ojligheter f¨or samtal om matematik b˚ade i och framf¨orallt utanf¨or skolan. Detta f¨or att g¨ora ¨amnet tillg¨angligt och naturligt f¨or alla.

L¨aroboken styr undervisningen i h¨og grad i dagens skola. En av anledningarna till detta kan vara att det ¨ar en enkel utv¨ag f¨or l¨araren. Vi anser att l¨arobokens dominans ofta leder till ett mekaniskt r¨aknande och att detta minskar elevernas f¨orst˚aelse och lust att l¨ara matematik.

Matematikl¨arare beh¨over f¨orst˚aelse f¨or matematik och dess till¨ampningar f¨or att f¨orst˚a vad en probleml¨osningsuppgift ¨ar. Viljan att skapa s˚adana uppgifter finns, men brist p˚a f¨orst˚aelse g¨or att l¨araren ofta bara omvandlar vanliga rutinuppgifter till problem genom att linda in dem i text. Detta ¨ar inte vad som menas med ett matematiskt problem (Bj¨orkqvist 2001). I den-na studie presenterar vi ett antal karakt¨arsdrag som belyser viktiga aspekter att t¨anka p˚a vid konstruktion av probleml¨osningsuppgifter.

Uppl¨agget p˚a denna studie ¨ar s˚adant att vi b¨orjar med att unders¨oka n˚agra olika teorierna som behandlar hur vetskap erh˚alles om elevers tankar kring matematik. Vi utvecklar dessa teorier och tar fram konsekvenser f¨or undervisningen i syfte att klarl¨agga vad som egentligen ¨ar en bra matematikuppgift.

F¨or att ¨oka inspirationen hos eleverna s˚a har vi f¨ors¨okt att skapa exempel som har verk-lighetsanknytning. Vidare har det varit v˚ar tanke att konstruera matematikaktiviteter som bry-ter mot det traditionella lektionsuppl¨agget och d¨armed skapar mer variation i undervisningen. Verklighetsanknytning ¨ar en av de sexton aspekter som vi lyfter fram i kapitlet som behandlar v˚ar didaktiska ansats om vad som ¨ar en bra uppgift.

F¨or att kunna se hur en icke-traditionell matematikaktivitet fungerar i praktiken valde vi att anv¨anda en av de egenkonstruerade uppgifterna i en klassrumssituation. Elevernas arbe-te studerades med hj¨alp av observationsschema och audioinspelning f¨or att kunna analysera viktiga aspekter i deras arbete med uppgiften. En detaljerad beskrivning av observationens

ge-nomf¨orande finns beskriven i kapitlet som behandlar metod.

Avslutningsvis redovisas resultatet av unders¨okningen och en diskussion kring detta arbete och f¨orslag till framtida forskning inom omr˚adet l¨arande i matematik.

1.1 Bakgrund

Matematik genomsyrar det dagliga livet b˚ade inom det humanistiska och tekniska omr˚adet. Alla anv¨ander matematik p˚a n˚agon niv˚a. Matematikl¨ararens uppgift ¨ar d¨arf¨or att g¨ora matematik tillg¨angligt f¨or medborgaren s˚a att denne kan ha anv¨andning av matematik i sitt dagliga liv (Teppo 1998, s.8).

Det har skett en f¨or¨andring i den svenska skolan p˚a senare ˚ar i och med tillkomsten av nya l¨aroplaner, timplaner och kursplaner. Denna f¨or¨andring kan ¨aven ses tydligt i utvecklingen ¨over tid av de nationella proven d¨ar fokus skiftats fr˚an mekaniskt r¨aknande till mer omfattande uppgifter som kr¨aver st¨orre f¨orst˚aelse. L¨arare och elever har ¨aven f˚att st¨orre ansvar f¨or utform-ningen av lektionen, detta inkluderar b˚ade arbetss¨att och inneh˚all. Detta st¨aller nya krav p˚a arbetet i skolan.

Probleml¨osning ¨ar en central del av matematiken. Denna ger m¨ojlighet att p˚a ett inspirerat s¨att f¨ora in nya begrepp och leder till f¨ornyade utmaningar i form av variation och generalise-ring. Probleml¨osning handlar om att anv¨anda kunskaper inom ett omr˚ade i en annan kontext och ger eleverna en metod att l¨osa problem inom m˚anga olika omr˚aden. (Bj¨orkqvist 2001)

Det finns en tendens i l¨aroplaner och betygskriterier mot mer kreativitet, probleml¨osning och vardagsanknytning av matematiken. Konstruktivistiska id´eer har f˚att genomslag i l¨aropla-nerna. I skolverkets kursplan f¨or matematik st˚ar t.ex. f¨oljande:

eleverna skall kunna analysera, kritiskt bed¨oma och l¨osa problem f¨or att sj¨alvst¨andigt kun-na ta st¨allning i fr˚agor, som ¨ar viktiga b˚ade f¨or dem sj¨alva och samh¨allet, som t.ex. etiska fr˚agor och milj¨ofr˚agor (Skolverket 2000)

Med en s˚adan formulering ¨okar kraven p˚a elevernas f¨orm˚aga att kunna generalisera, analy-sera, v¨ardera och dra slutsatser. Ett flertal forskningsrapporter visar ocks˚a p˚a denna utveckling. En av dessa rapporter ¨ar Lusten att l¨ara med fokus p˚a matematik (Skolverket 2003). I den ges ett antal f¨orslag p˚a hur utbildningens kvalitet kan f¨orb¨attras, bl.a.

• mer varierande undervisning,

• en minskning av l¨arobokens n¨astan totala dominans, • ¨amnes¨overgripande samarbete,

• mer varierat arbetss¨att med inslag av laborativa metoder (Skolverket 2003, s.57-58).

Det ¨ar viktigt att eleverna har lust att l¨ara men det ¨ar inget som garanterar att de verkligen l¨ar sig matematik, dock anser vi att f¨oruts¨attningarna f¨or l¨arande ¨ar b¨attre om eleverna har lust att l¨ara.

1.2 Syfte

Syftet med denna studie ¨ar att ta fram en matematikuppgift utifr˚an konstruktivistiska teorier och sedan testa hur v¨al denna fungerar i klassrumsmilj¨o. Vi har valt att dela upp arbetet med den goda matematikuppgiften i tv˚a delar. F¨orst s˚a g¨or vi en teorisk analys av vad en god mate-matikuppgift b¨or inneh˚alla. Vi utg˚ar fr˚an det socialkonstruktivistiska perspektivet eftersom vi anser att det ¨ar viktigt att utg˚a och bygga vidare fr˚an en etablerad teoribildning. Konstruktivis-tiska id´eer har ocks˚a f˚att genomslag i l¨aroplaner och det finns forskning inom omr˚adet relaterat till l¨arande i matematik. F¨or att avgr¨ansa den teoretiska analysen s˚a har vi valt att st¨alla f¨oljande fr˚aga:

• Hur kan en bra uppgift utformas i konstruktivistiskt perspektiv?

I den andra delen s˚a g¨or vi en empirisk unders¨okning. D¨ar vi testar hur en av de analyserade uppgifterna fungerar i klassrumsmilj¨o. I den andra delen st¨aller vi f¨oljande fr˚agor:

• Hur v¨al fungerar en uppgift utformad i ett konstruktivistiskt perspektiv i praktiken? • Hur arbetar eleverna med en uppgift?

V˚ar intention med denna studie ¨ar dels att se hur den testade matematikuppgiften b¨or anpassas och dels att skapa ett hj¨alpmedel vid konstruktion av liknande matematikuppgifter.

Med fr˚agan hur v¨al en uppgift fungerar i praktiken avser vi huruvida den inspirerar till kreativt arbete, har en v¨al anpassad tids˚atg˚ang och g˚ar att niv˚aanpassa. Vid fr˚agan om hur eleverna arbetar med en uppgift s˚a fokuserar vi p˚a arbetsfl¨odet, elevernas matematiska spr˚ak, det matematiska samtalet och elevernas f¨orst˚aelse. I uppsatsen anv¨ander vi bra uppgift och god uppgift synonymt.

2 Teori

F¨or att skapa n˚agonting v¨algrundat m˚aste det finnas en stabil teoretisk bakgrund att st˚a p˚a. Teorierna beskriver id´eer om hur m¨anniskan f¨orv¨arvar kunskap och om hur l¨arande fungerar. F¨or att kunna f¨orverkliga dessa teorier i praktiken ¨ar det viktigt att f¨orst oms¨atta den teoretiska kunskapen i konsekvenser f¨or undervisningen och sedan i mer praktikn¨ara situationer. Detta kr¨aver en stor arbetsinsats d˚a avst˚andet mellan teori och praktik ofta ¨ar mycket stort.

Samband finns mellan vetenskapliga teorier kring l¨arande och utveckling och hur undervis-ningsverksamheten utformas men det ¨ar inte s¨akert att l¨araren alltid ¨ar medveten om detta. En l¨arares agerande, spr˚ak och val av uppgifter kan dock m˚anga g˚anger kategoriseras enligt n˚agra olika teoretiska perspektiv p˚a l¨arande (S¨alj¨o 2000, Wyndhamn, Riesbeck & Schoultz 2000).

Syftet med detta teorikapitel ¨ar att ge en ¨overblick ¨over de ledande teoretiska perspektiven som ˚aterfinns inom diskussionen om l¨arande i matematik. Teorierna f¨oreskriver dock inte hur en l¨arare skall agera eller hur undervisning skall g˚a till utan ¨ar framf¨orallt beskrivande. D¨arf¨or kommer vi i detta kapitel inledningsvis att beskriva n˚agra grundl¨aggande teoretiska aspekter p˚a l¨arande och d¨arefter dess konsekvenser f¨or undervisningen i matematik.

2.1 N˚agra teoretiska perspektiv p˚a l¨arande

En l¨arares f¨orh˚allningss¨att kommer att p˚averkas av m˚anga olika id´eer. D¨arf¨or g˚ar det inte att dra slutsatsen att en l¨arare agerar konsekvent enligt en viss teori om l¨arande. I detta avsnitt beskriver vi fyra huvudteorier om hur l¨arande g˚ar till, behaviorism, kognitivism, konstruktivism och sociokulturell teori.

2.1.1 Behaviorism

Inom behaviorismen studeras f¨or¨andringar i en individs beteende. Med beteende menas ett s¨att att uppf¨ora sig som kan observeras.(Wyndhamn et al. 2000).

De tv˚a huvudtermerna inom behaviorismen ¨ar respons och stimuli. Stimuli ¨ar en h¨andelse i omgivningen som ger upphov till en observerbar respons hos individen. Detta inneb¨ar att olika stimuli ger villkoren f¨or att nya beteenden ska uppst˚a.

F¨or att uppn˚a ett ¨onskat beteende kan stimuli anpassas, detta kallas konsekvens. F¨orst¨ark-ning av ett beteende sker n¨ar individen f˚ar positiv feedback, t.ex. ber¨om. Detta kan leda till att individen repeterar beteendet och att det inf¨orlivas.

De typiska dragen i behaviorismen kan sammanfattas i f¨oljande drag:

• Kunskapen ¨ar given och absolut.

• L¨arande ¨ar till ¨overv¨agande passivt ¨aven om den sker under programmatiska och

• Eleven ses som en passiv recipient.

• L¨ararens roll ¨ar auktoritativ, anvisande och kontrollerande. (Wyndhamn et al. 2000)

STIMULI RESPONS

POSITIV FEEDBACK

Figur 1: Beskrivning av positiv feedback

Behavioristerna fokuserar sin forskning p˚a hur stimuli kan skapas och vilka respons som kan observeras, de ¨ar allts˚a inte intresserade av att unders¨oka de mentala processerna. (Wyndhamn et al. 2000)

2.1.2 Kognitivism

Till skillnad fr˚an den behavioristiska teorin s˚a studerar den kognitivistiska l¨aran hur individer behandlar de stimuli de m¨oter. Det ¨ar d¨arf¨or viktigt f¨or kognitivisterna att f¨orst˚a de bakomlig-gande mentala processerna som leder fram till ett f¨or¨andrat beteende. (Wyndhamn et al. 2000)

Kognitivismen betonar m¨anniskans t¨ankande som det intressanta att studera och handlar om de tankefunktioner med vars hj¨alp vi hanterar information. Utg˚angsantagandet i kognitivismen ¨ar att det finns en grundl¨aggande mekanism som utg¨or t¨ankandets centrum. Kognitivism som en l¨arandeteori g˚ar ut p˚a att utnyttja befintliga tankem¨onster och v¨arderingar.

De centrala dragen i kognitivismen kan sammanfattas i f¨oljande id´eer:

• Kropp och intellekt ¨ar ˚atskilda. • T¨ankandet kan studeras f¨or sig.

• Inl¨arning sker genom integrering av nya och redan existerande erfarenheter. • Kulturella och sociala skillnader ¨ar inte betydelsefulla.

2.1.3 Konstruktivism

Inom konstruktivismen betonas individens egen konstruktion av kunskap till skillnad fr˚an be-haviorism och kognitivism d¨ar individen mer ses som en passiv mottagare av information. (Wyndhamn et al. 2000).

Tv˚a huvudbegrepp inom konstruktivistisk teori ¨ar assimilation och ackommodation. Med assimilation menas den process d¨ar en person behandlar h¨andelser i relation till tidigare erfa-renheter. Ifall denna h¨andelse ¨ar i konflikt med tidigare erfarenheter s˚a m˚aste personen anpassa sitt t¨ankande i relation till denna h¨andelse, denna process kallas ackommodation.

Konstruktivismen ¨ar en omfattande teori som t¨acker in m˚anga olika teoretiska positioner. Konstruktivism kan delas in i ett antal undergrupper, ”gemensamt f¨or de olika formerna av konstruktivism ¨ar metaforen konstruktion” (Ernest 1998b, s 22). Med konstruktion menas att bygga upp strukturer fr˚an erfarenheter och minnen.

Svag konstruktivism inneb¨ar att kunskap konstrueras aktivt av den enskilda individen. En-ligt svag konstruktivism ¨ar kunskap n˚agot som inte existerar p˚a f¨orhand utan konstrueras indi-viduellt och ¨ar allts˚a personligt. Detta inneb¨ar f¨or l¨araren att hon inte kan se undervisning som en ¨overf¨oring av kunskap utan att hon m˚aste se till att eleven aktiveras i sitt kunskapss¨okande.

P˚a samma s¨att som svag konstruktivism s˚a bygger ¨aven radikal konstruktivism p˚a att kun-skap endast existerar hos den enskilda individen. I radikal konstruktivism s˚a kun-skapas kunkun-skap genom att individen hela tiden str¨avar efter anpassning till situationen ist¨allet f¨or att f¨ors¨oka uppt¨acka en objektiv verklighet. Det ¨ar d¨arf¨or om¨ojligt att tala om n˚agon absolut sanning. En kritik som ofta riktas mot den radikala konstruktivismen ¨ar att den inte tar h¨ansyn till samspelet mellan individen och omv¨arlden. (Engstr¨om 1998b)

Det centrala inom social konstruktivism ¨ar betoningen p˚a spr˚aket och det sociala samspelet mellan m¨anniskor. Verkligheten upplevs som socialt konstruerad genom gruppens gemensam-ma erfarenheter. Synen p˚a verkligheten f¨or¨andras st¨andigt d¨arf¨or finns det aldrig en absolut sanning, detta har social konstruktivism gemensamt med den radikala konstruktivismen. Social konstruktivism kan ses som en sammanl¨ankning av dessa tv˚a aspekter:

• M¨anniskan f˚ar inte id´eer, hon f¨orf¨ardigar dem.

• M¨anniskan konstruerar ny kunskap n¨ar hon ¨ar aktivt engagerad i n˚agot som ¨ar

menings-fullt f¨or henne sj¨alv eller f¨or andra omkring henne. (Wyndhamn et al. 2000, s 94)

Samtalet ¨ar en central del i konstruerandet av den gemensamma s˚av¨al som den individuella kunskapen d¨arf¨or tilldelas spr˚aket en framtr¨adande roll inom social konstruktivism. Samtalet konstruerar mening.

2.1.4 Sociokulturell teori

F¨or att ytterligare betona det sociala samspelet s˚a ser det sociokulturella perspektivet kunskap som n˚agot gemensamt f¨or gruppen och ser d¨arf¨or kunskap ur ett kulturellt och historiskt per-spektiv (Wyndhamn et al. 2000, s 96–98).

Den sociokulturella teorin anser att den milj¨o, rum och tid som m¨anniskan befinner sig i b˚ade p˚averkas av och p˚averkar hennes t¨ankande, d¨arf¨or ¨ar det viktigt att ta h¨ansyn till att kun-skap kan medieras av kulturella objekt. All intellektuell utveckling, s˚asom minne, perception och medvetenhet har sitt upphov i sociala processer.

Skillnaden mellan de konstruktivistiska och sociokulturella teorierna ¨ar att fokus skiftar fr˚an att se m¨anniskan och v¨arlden som tv˚a skilda system till att se m¨anniskan och hennes milj¨o som en helhet. (Wyndhamn et al. 2000, s 96–98).

2.2 Konsekvenser f¨or matematikundervisningen

Vi utg˚ar i detta arbete fr˚an ett socialkonstruktivistiskt perspektiv p˚a l¨arande d¨arf¨or kommer vi i detta stycke att presentera ett antal konsekvenser som detta perspektiv f˚ar f¨or undervisningen i matematik. Det konstruktivistiska s¨attet att t¨anka kommer f˚a betydelse f¨or hur undervisningen i matematik bedrivs.

I litteratur och aktuell forskning beskrivs konsekvenserna f¨or undervisningen p˚a ett antal olika s¨att som har liknande drag. Vi har d¨arf¨or valt att f¨orst presentera n˚agra av litteraturens hu-vudtankar som vi funnit intressanta ur ett konstruktivistiskt perspektiv. Det visar sig att punkter-na i flera fall ¨overlappar varandra varf¨or vi avslutningsvis f¨ors¨oker l¨anka samman och diskutera dessa punkter f¨or att f¨ors¨oka skapa en mer ¨overgripande bild av omr˚adet.

I boken Rika matematiska problem (Hagland, Hedr´en & Taflin 2005, s 17–19) vill f¨orfattar-na inspirera l¨arare att anv¨anda probleml¨osning som ett f¨orfattar-naturligt inslag i undervisningen. De ger ett stort antal f¨orslag p˚a uppgifter av det probleml¨osande slaget samt id´eer om hur en uppgift kan anpassas till olika ˚aldrar. Som teoretisk bakgrund inleder f¨orfattarna med att presentera sina teorier om hur l¨arande i matematik g˚ar till. Dessa id´eer anknyter till socialkonstruktivistisk teori och de presenterar f¨oljande id´eer:

H1 Eleven ¨ar aktiv.

H2 Eleven konstruerar sin kunskap tillsammans med andra. H3 Kognitiv konflikt.

H4 Elevens n¨armaste utvecklingszon.

Ett annat s¨att att se p˚a konstruktivismens konsekvenser f¨or matematikundervisningen ˚ater-finns i Matematik och reflektion (Engstr¨om 1998b). D¨ar presenterar Paul Ernest n˚agra av de konsekvenser som radikala och sociala konstruktivistiska id´eer f˚ar f¨or undervisningen (Ernest 1998b, s 21–33).

Konsekvenserna f¨or undervisningen finns ocks˚a citerade och anv¨ands som teoretisk bak-grund i Probleml¨osning som metafor och praktik (Wyndhamn et al. 2000, s 95–96). I boken redog¨or f¨orfattarna f¨or olika aspekter av probleml¨osning i str¨avan efter att f¨or¨andra matematik-undervisningen fr˚an att vara en stelnad praktik.

Paul Ernest f¨or bl.a. fram f¨oljande aspekter:

E1 H¨ansynstagande till elevens tidigare kognitiva konstruktioner.

E2 Diagnostisk undervisning som syftar till att r¨atta till missuppfattningar p˚a ett effektivt konfliktl¨osande vis.

E3 Uppm¨arksamhet p˚a den l¨arandes metakognition. E4 Beaktande av elevens strategiska sj¨alvreglering.

E5 Nyttjandet av m˚anga olika representationer av matematiska begrepp.

E6 H¨ansynstagande till elevens egen konstruktion av mening och hur detta leder till en per-sonlig matematikv¨arld.

E7 Intresse f¨or elevens t¨ankande och dennes uppfattning om vad som ¨ar sant.

E8 L¨ararens medvetenhet om sin egen kunskap och dennes uppfattning om vad som ¨ar sant. E9 Det finns ingen undervisningsmetod som ¨ar den enda sanna v¨agen till kunskap.

E10 Medvetenhet om vikten av m˚al f¨or den l¨arande och att elev och l¨arare kan ha olika m˚al. E11 Beaktande av det matematiska symbolspr˚akets viktiga roll.

E12 Medvetenhet om att matematik kan konstrueras i ett socialt sammanhang vilket leder till att l¨araren b¨or nyttja grupparbeten och diskussioner som ett komplement till den ¨ovriga undervisningen.

E13 Medvetenhet om vikten av sociala sammanhang, t.ex. skillnaden mellan matematik i och utanf¨or skolan.

Ytterligare ett s¨att att beakta konstruktivismens konsekvenser f¨or undervisningspraktiken ¨ar sammanfattat av Arne Engstr¨om i Matematik och reflektion (Engstr¨om 1998a, s.11-12) d¨ar f¨orfattaren f¨ors¨oker redovisa olika konstruktivistiska f¨oretr¨adares ˚asikter. Denna sammanfatt-ning ger n˚agra f¨orh˚allanden som ¨ar av vikt f¨or utformsammanfatt-ningen av uppgifter och matematiska aktiviteterna under lektionen och utformningen av uppgifter:

A1 L¨araren f¨orst˚ar elevernas bakgrund eftersom k¨arnan i konstruktivismen bygger p˚a att elever utg˚ar fr˚an tidigare konstruktioner av matematiken f¨or att skapa mening.

A2 Eleverna ges tid att reflektera.

A3 Eleverna ges m¨ojlighet att arbeta med laborativa aktiviteter s˚a de kan konstruera sin egen matematik.

A4 Arbete i grupp sker s˚a att eleverna f˚ar diskutera med j¨amlika och utveckla sitt matema-tiska spr˚ak.

A5 F¨orankring i elevernas verklighet.

A6 Uppgifterna ¨ar ¨oppet formulerade s˚a att eleverna stimuleras att konstruera olika l¨osningar. A7 Kreativa aktiviteter och uppgifter utan ett givet svar.

A8 Uppgifter av det probleml¨osande slaget d¨ar eleverna ges m¨ojlighet att arbeta med b˚ade fr˚agest¨allning och l¨osning.

2.2.1 Analys av konsekvenser f¨or undervisningen

F¨or att f¨ortydliga de socialkonstruktivistiska teorierna ovan s˚a utvecklar vi, diskuterar och ana-lyserar n˚agra av ovanst˚aende teoretiska aspekter i detta avsnitt. Vi f¨ors¨oker knyta samman aspekterna och ¨aven relatera till ¨ovrig litteratur inom omr˚adet. Varje paragraf avslutas med en referens till respektive punkt i f¨oreg˚aende avsnitt. Med E1 menar vi t.ex. att texten ansluter till Paul Ernests aspekt om h¨ansynstagande till elevens tidigare kognitiva konstruktioner

Att eleven ¨ar aktiv inneb¨ar att eleven sj¨alv bygger upp kunskapen genom att bearbeta sin-nesintryck. Konstruktionerna bygger p˚a tidigare erfarenheter, eleven f¨ors¨oker anpassa den nya kunskapen till den kunskapsv¨arld som hon redan har f¨or att skapa mening (H1, E1 och A1).

Kunskapen blir subjektiv genom att eleven sj¨alv konstruerar den. ¨Aven om alla elever i en grupp f˚att samma information och identiska intryck blir kunskapen unik och personlig f¨or varje elev. Detta leder till att l¨ararens huvuduppgift blir att skapa en god milj¨o f¨or l¨arande. Eftersom alla elever har konstruerat sin egen kunskap s˚a finns det ingen undervisningsmetod som ¨ar den enda r¨atta (H1, E1, E9 och A1).

Kunskapskonstruktion tillsammans med andra inneb¨ar att interaktionen mellan eleverna spelar stor roll vid kunskapsbyggandet det ¨ar d¨arf¨or viktigt att eleverna f˚ar m¨ojlighet att till-sammans diskutera matematiska begrepp. I grupparbetet f˚ar eleverna m¨ojlighet att kritisera och v¨ardera varandras l¨osningar, de f˚ar m¨ojligheten att diskutera med j¨amlika. Det ¨ar l¨attare att kri-tisera en kamrats l¨osning ¨an att ifr˚agas¨atta en auktorit¨ar l¨arare. Under sj¨alva grupparbetet f˚ar eleverna ¨aven en m¨ojlighet att utveckla sitt matematiska spr˚ak dvs. de tr¨anas i att uttrycka sitt matematiska t¨ankande b˚ade muntligt och skriftligt (H2, E12, A4).

Vid en kognitiv konflikt s˚a ¨ar en h¨andelse i konflikt med tidigare erfarenheter. En s˚adan h¨andelse kan t.ex. vara n¨ar elevens uppfattning inte st¨ammer ¨overens med studiekamratens ˚asikt eller med redovisade fakta. Detta inneb¨ar att personen m˚aste anpassa sitt t¨ankande i relation till denna h¨andelse, denna process kallas ackommodation (H3).

Det omr˚ade d¨ar en elev kan klara en uppgift med lite hj¨alp, fr˚an t.ex. en l¨arare, kallas elevens n¨armaste utvecklingszon. Lektionen b¨or d¨arf¨or vara utformad s˚a att sv˚arighetsniv˚an ligger i elevernas n¨armaste utvecklingszon f¨or att ¨oka sannolikheten att eleverna tillgodog¨or sig ny kunskap (H4).

F¨or att eleven skall kunna konstruera sin egen matematik ¨ar det viktigt att matematikak-tiviteten leder till f¨orst˚aelse och inte bara facitsvar (Holden 2001, s 168). Detta kan skapas genom att eleven f˚ar arbeta med probleml¨osande och laborativa aktiviteter. Det ¨ar viktigt att eleverna f˚ar en k¨ansla av att de ¨ager sina egna l¨osningar och de d¨armed skapar en personlig matematikv¨arld (E6, A3).

Med en ¨oppen formulerad uppgift menar vi att uppgiften ska inbjuda till nya fr˚agor och motivera eleven till egna utforskningar. P˚a s˚a s¨att g¨or eleven uppgiften till sin egen (Holden 2001, s 173) (A6).

En uppgift formulerad s˚a den leder till kreativa aktiviteter utan ett givet svar kan vara l¨amplig f¨or diskussion i helklass d¨ar elever f˚ar argumentera f¨or sina l¨osningar och svar. Detta inneb¨ar att eleverna f˚ar en k¨ansla av att kunna bidra med n˚agot eget (Holden 2001, s 175). Att eleven f˚ar m¨ojlighet att utveckla sin matematiska kreativitet ¨ar ocks˚a i enlighet med kursplanen i matematik (Skolverket 2000) (A7).

Ett s¨att att f˚a uppgiften f¨orankrad i elevernas verklighet ¨ar att den resulterar i ett konkret resultat. Detta kan t.ex. vara n˚agot som kan s¨attas upp p˚a v¨aggen eller anv¨andas i det fortsatta arbetet. Ett annat s¨att att arbeta med detta ¨ar att ta vara elevernas f¨orslag och visa entusiasm inf¨or dessa, detta visar ett intresse f¨or elevernas verklighet och vad de h˚aller f¨or sant. F¨or att kunna vara v¨al insatt i elevernas verklighet m˚aste l¨araren var v¨al medveten om sin egen verklighetsuppfattning och hur denna p˚averkar l¨ararens syn p˚a undervisning (A5, E7, E8).

Att ge elever m¨ojligheten att arbeta med b˚ade fr˚agest¨allning och l¨osning inneb¨ar att eleverna f˚ar en mer aktiv roll n¨ar de formulerar fr˚agor och problem p˚a egen hand ist¨allet f¨or att passivt mottaga och acceptera l¨ardom som kommer fr˚an auktoriteter eller tradition. Formulering av

fr˚agor ¨ar inte bara en uppgift f¨or l¨arare och l¨aroboksf¨orfattare utan ¨aven en aktivitet som ing˚ar i probleml¨osning. Vi f¨orst˚ar n˚agonting b¨ast n¨ar vi kan variera det, dvs. l¨arande sker b¨ast i en milj¨o d¨ar problemst¨allningen kan f¨or¨andras (Brown & Walter 1990). M¨ojligheten att arbeta med problemst¨allning kan ¨aven vara ett s¨att att komma ¨over emotionella faktorer s˚asom ¨angslan f¨or matematik och problemst¨allaren (A8).

Ett stort problem f¨or l¨araren ¨ar att m˚anga gymnasieklasser ¨ar v¨aldigt heterogena i sina mate-matikkunskaper. Detta st¨aller h¨oga krav p˚a l¨ararens f¨orm˚aga att individualisera undervisningen. Att individualisera inneb¨ar att anpassa materialet och undervisningsmetoderna, inte att grup-pera eleverna (Engstr¨om 2003, s 30). Alla elever har konstruerat sin egen kunskap och har vitt skilda tidigare erfarenheter. Det ¨ar d¨arf¨or viktigt att anv¨anda sig av uppgifter av s˚adan ka-rakt¨ar att de kan l¨osas p˚a olika niv˚aer vilket inneb¨ar att de ¨ar anpassade f¨or heterogena grupper (Holden 2001, s 173). En och samma uppgift kan ha m˚anga olika ing˚angsniv˚aer vilket ocks˚a ¨ar intressant ur ett specialpedagogisk perspektiv.

F¨or m˚anga elever kan det vara sv˚art att v¨axla mellan olika representationer av matematiska begrepp. Dessa variationer ¨ar dock mycket viktiga f¨or elevernas f¨orst˚aelse av begreppen. Ett s¨att att arbeta med detta ¨ar att visa samma matematiska begrepp p˚a flera olika s¨att genom att ge eleverna m¨ojlighet att se dessa i olika former s˚asom bild, skrift, geometrisk form, animering. Ytterligare en m¨ojlighet att ge olika vinklingar ¨ar att visa p˚a flera olika l¨osningar av samma problem (E5).

Det stora antalet symboler i matematiken kan vara ett problem f¨or m˚anga elever. V¨alk¨anda symboler tas f¨or sj¨alvklara medan en obekant symbol kan vara mycket oklar. Symboler m˚aste alltid tolkas, d¨arf¨or ¨ar det viktigt att b˚ade elev och l¨arare har en stor f¨orst˚aelse f¨or semiotik. Betydelsen av en symbol m˚aste noggrant f¨orklaras och s¨attas in i sitt sammanhang. Eleven m˚aste ocks˚a ges m¨ojlighet att sj¨alv f˚a anv¨anda symbolen i olika sammanhang f¨or att kunna konstruera sin egen mening av symbolen (Mason, Graham & Johnston-Wilder 2005, s 154). Detta stycke anknyter starkt till det f¨oreg˚aende stycket och visar p˚a ytterligare en sv˚arighet f¨or eleven att v¨axla mellan olika representationer (E11).

Metakognition handlar om medvetenhet om sitt eget l¨arande och t¨ankande, om f¨orm˚agan att styra och v¨ardera sitt eget l¨arande och f¨orst˚aelsen f¨or vad som l¨arts och varf¨or (Skolverket 2003, s 9). Uppm¨arksamhet p˚a elevers metakognition ¨ar speciellt viktigt n¨ar det g¨aller probleml¨osning och grupparbeten. F¨oljden av detta ¨ar att det ¨ar av vikt att undervisningen i matematik inneh˚aller diskussioner om l¨arprocesser, val av strategier och tillv¨agag˚angss¨att vid probleml¨osning (E3).

En vanlig situation ¨ar att eleverna l¨ar sig anv¨anda matematik i klassrummet men inte utanf¨or dvs. de ser inte kopplingen mellan matematik i skolan och utanf¨or. Det kan ¨aven finnas problem f¨or eleverna att anv¨anda matematik i andra ¨amnen. Det ¨ar d¨arf¨or viktigt att eleven f˚ar ¨ova p˚a matematik i flera olika kontexter och att l¨araren ofta belyser hur matematiken anv¨ands i vardagen. Det ¨ar ocks˚a av vikt att l¨araren arbetar ¨amnes¨overskridande och har god kunskap om

3 Vad ¨ar en bra uppgift?

Det konstruktivistiska s¨attet att t¨anka kommer f˚a betydelse f¨or hur undervisningen i matema-tik bedrivs. I detta kapitel beskriver vi karakt¨arsdragen hos en bra uppgift konstruerad ur ett konstruktivistiskt perspektiv. Vi ger ocks˚a f¨orslag och analyserar n˚agra uppgifter.

Vi har sj¨alva valt ut specifika karakt¨arsdrag hos en god uppgift utifr˚an den teoretiska basen h¨amtad fr˚an f¨oreg˚aende kapitel. V˚ar didaktiska ansats ¨ar att en god uppgift skall inneh˚alla s˚a m˚anga av dessa karakt¨arsdrag som m¨ojligt. F¨or att illustrera v˚ar didaktiska ansats om en bra matematikuppgift exemplifierar vi denna genom att presentera och analysera ett antal uppgifter. En av dessa, st˚alkulan, kommer att testas i en empirisk unders¨okning som presenteras i kapitel 4 och vars resultat finns i kapitel 5.

F¨or att karakt¨arisera vad som ¨ar en god uppgift g¨or vi f¨orst en uppdelning i olika typer av uppgifter. En liknande uppdelning finns i (Hagland et al. 2005). En uppgift kan vara:

• en rutinuppgift som leder till ren f¨ardighetstr¨aning.

• en textuppgift d¨ar uppgiften ¨ar given i textform. Denna kan leda till rutinuppgift eller ett

problem.

• ett problem om den ¨ar omfattande och eleven inte har n˚agon procedur f¨or att l¨osa detta.

UPPGIFT

TEXT PROBLEM

RUTIN

Figur 2: Uppgift uppdelad i rutinuppgift, textuppgift och problem

Beroende p˚a elevernas bakgrund kan en textuppgift vara ett problem f¨or vissa och en rutinupp-gift f¨or andra. En vanlig uppfattning bland l¨arare ¨ar att en textupprutinupp-gift alltid ¨ar ett problem. I m˚anga fall leder dock textuppgifter till rent rutinm¨assigt arbete. Vid konstruktion av uppgifter ¨ar det vanligt att utg˚a fr˚an en rutinuppgift och sedan forma en text runt denna. Detta kommer in-te att leda till kreativa main-tematiska aktiviin-tein-ter utan snarare en slags avkodning av in-texin-ten d¨arf¨or kommer vi i n¨asta avsnitt att beskriva vad som menas med ett problem som ¨ar en bra uppgift.

3.1 Karakt¨arsdrag hos en bra uppgift

Vi har valt att presentera karakt¨arsdragen f¨or den goda uppgiften med en lista och i form av en figur, se figur 3. Vi har sj¨alva valt ut specifika karakt¨arsdrag hos en god uppgift utifr˚an den teoretiska basen h¨amtad fr˚an f¨oreg˚aende kapitel. Naturligtvis finns det m˚anga karakt¨arsdrag hos en bra uppgift men vi har valt att begr¨ansa oss till 16 aspekter f¨or att f˚anga de enligt oss viktigaste aspekterna hos en god uppgift. Denna lista kan ses som ett hj¨alpmedel vid konstruk-tion av uppgifter och kan anv¨andas som en komih˚aglista. Den kan ¨aven anv¨andas vid analys av uppgifter och som en checklista. Uppgiften b¨or vara formulerad s˚a att:

U1 Den ¨ar unders¨okande och stimulerar till aktivt arbete fr˚an elevens sida. U2 Den ¨ar anpassad f¨or arbete i par eller grupp.

U3 Den ¨ar utmanande och leder till kognitiv konflikt. U4 Den ¨ar anpassad till elevernas tidigare kunskaper.

U5 Den kan l¨osas p˚a olika niv˚aer vilket inneb¨ar att uppgiften g˚ar att sv˚arighetsanpassa. U6 Den utvecklar elevernas probleml¨osningsprocess.

U7 Den visar p˚a flera olika l¨osningar av samma uppgift.

U8 Den inneh˚aller flera olika matematiska representationer och symboler. U9 Den leder till kreativa aktiviteter utan ett givet svar.

U10 Den ¨ar f¨orankrad i elevernas verklighet. U11 Den leder till konkreta resultat.

U12 Den ¨ar ¨amnes¨overgripande.

U13 Den anknyter till vardagsproblem och inspirerar till matematik utanf¨or klassrummet. U14 Den ger eleverna tillr¨ackligt med tid att reflektera.

U15 Den ¨ar ¨oppen vilket g¨or att eleverna stimuleras att konstruera olika l¨osningar.

U16 Den ¨ar av det probleml¨osande slaget vilket ger m¨ojlighet att arbeta med b˚ade fr˚age-st¨allning och l¨osning.

Ben¨amningen U1 ¨ar en intern referens som syftar till den f¨orsta aspekten hos den goda upp-giften. Vi anser att en v¨al fungerande matematikuppgift b¨or inneh˚alla dessa karakt¨arsdrag i s˚a h¨og grad som m¨ojligt men en uppgift kan f¨orst˚as inte inneh˚alla alla p˚a en g˚ang. I n¨asta avsnitt kommer vi att visa exempel p˚a hur uppgifter kan analyseras med hj¨alp av den ovan utformad checklistan.

Öppen Inget Givet Svar Olika Lösningar Verklighets -anpassad Kreativ Utmanande Diskussion Undersökande Ämnes-överskridande Vardags-problem Tidigare kunskaper

BRA

UPPGIFT

Figur 3: En bra uppgift kan symboliseras av dessa karakt¨arsdrag

3.2 F¨orslag p˚a goda uppgifter

I det h¨ar avsnittet konstruerar vi ett antal uppgifter som exemplifierar den konstruktivistiska synen p˚a en god uppgift. Vidare s˚a kommer vi att analysera uppgifterna utifr˚an checklistan i f¨oreg˚aende avsnitt. Varje paragraf avslutas med en referens till respektive punkt i listan ovan. Vi kommer ¨aven att visa hur dessa exempel ¨ar relaterade till det som st˚ar i skolans styrdokument. 3.2.1 St˚alkulan

Ett s¨att att behandla geometri p˚a ett till¨ampat vis ¨ar detta exempel som ¨ar h¨amtat fr˚an Tull¨angs-skolan. Uppgiften ¨ar f¨oljande:

Ovan f¨or entr´en till skolan finns en kula. Ni ska f¨ors¨oka uppskatta hur stor volym kulan har vidare ska ni best¨amma vikten p˚a kulan under vissa antaganden som ni sj¨alva f˚ar g¨ora. Ett antagande kan vara att den inte ¨ar solid och gjord av ett visst material. Uppgiften ska utf¨oras i grupper om tv˚a eller tre personer. Den ska re-dovisas s˚av¨al muntligt som skriftligt. Kreativa l¨osningar premieras. Extrauppgift: F¨ors¨ok l¨osa uppgiften p˚a ytterligare ett s¨att.

Figur 4: Bild av kulan ovanf¨or entr´en.

M˚alet med denna uppgift ¨ar att eleverna ska f˚a en st¨orre f¨orst˚aelse f¨or geometriska former och uttryck. Eleverna ska ocks˚a ¨ova sig p˚a att bed¨oma rimligheten i sitt resultat. Detta ¨ar i enlighet med m˚al att str¨ava mot i kursplanen i matematik (Skolverket 2000).

Eleverna kan anv¨anda sig av skala s˚av¨al som geometri f¨or att l¨osa uppgiften. Skala kan anv¨andas eftersom kulan symboliserar solen och det finns andra kulor som planeter. Detta var ingenting som eleverna informerades om. Ytterligare s¨att att l¨osa uppgiften p˚a ¨ar att t.ex. anv¨anda sig av skuggan fr˚an kulan eller likformighet genom att m¨ata storleken p˚a ett f¨orem˚al som placeras p˚a ett visst avst˚and framf¨or kulan. F¨or att bed¨oma rimligheten i sin uppskattning kan sidan p˚a huset som kulan ¨ar placerad p˚a m¨atas vilket ger en tydlig ¨ovre gr¨ans f¨or kulans diameter. Alternativt kan metoder som kr¨aver mer avancerade kunskaper i matematik anv¨andas s˚asom vinkelm¨atningar och parallaxmetoden.

Den h¨ar uppgiften ¨ar ¨oppen eftersom eleverna f˚ar fritt v¨alja sin l¨osningsmetod. Uppgiften inbjuder ¨aven till egen utforskning d˚a de kan se kulan men inte ta eller m¨ata p˚a den. Detta leder till att eleverna utvecklar sin f¨orm˚aga att tolka en problemsituation och att formulera den med matematiska begrepp, i enlighet med kursplanen i matematik (Skolverket 2000). Eleverna m˚aste arbeta p˚a ett kreativt s¨att eftersom det inte finns n˚agot givet s¨att att l¨osa uppgiften p˚a, den har inte behandlats p˚a n˚agon lektion eller i l¨aroboken. Det finns heller inget givet svar s˚a fokus ligger p˚a l¨osningen (U1, U15, U16).

Eftersom uppgiften ¨ar s˚a ¨oppen och eleverna arbetar i grupp m˚aste de diskutera b˚ade l¨os-ningsmetod och l¨osningsg˚ang med varandra. Detta inneb¨ar ¨aven att de m˚aste reflektera ¨over sina probleml¨osningsstrategier. N¨ar de sedan ska presentera uppgiften kr¨avs det att de argu-menterar f¨or sin l¨osning och sitt resultat. Avsaknaden av ett facitsvar kan generera en intressant diskussion vid redovisningen (U2, U3, U6, U9).

Utf¨orandet av uppgiften sker under tv˚a lektionstillf¨allen vilket inneb¨ar att eleverna ges tillf¨alle till reflektion under lektionen och tiden emellan. Extrauppgiften inbjuder eleverna till att hitta nya l¨osningar till uppgiften och inse hur dessa leder till liknande resultat (U7, U14).

Denna uppgift ¨ar l¨ampad f¨or de tekniska och naturvetenskapliga programmen d˚a den gr¨ansar till ¨amnen s˚asom fysik och konstruktion (U12).

¨

Aven om kulan finns i verkligheten och ¨ar n˚agot som eleverna ser dagligen s˚a har den ingen st¨orre f¨orankring i deras verklighet eftersom det inte finns n˚agon anv¨andning eller till¨ampning av resultatet. Detta ¨ar en nackdel. En annan nackdel ¨ar att uppgiften har en h¨og ing˚angsniv˚a. F¨or att anpassa den till olika niv˚aer kan l¨araren ge mer information till grupper i behov. Detta kan t.ex. vara tips p˚a l¨osningsmetod eller referenser till relevanta kapitel i l¨aroboken. Samman-fattnings kan s¨agas att denna uppgift inte inneh˚aller punkterna U4, U5, U8, U10, U11 och U13 i n˚agon st¨orre omfattning.

3.2.2 Plastflaskan

Ett s¨att att knyta ihop begreppen inom geometri p˚a ett till¨ampat vis ¨ar detta exempel som ¨ar konstruerat av oss sj¨alva. Uppgiften ¨ar f¨oljande:

Varje grupp f˚ar en plastflaska. Uppgiften ¨ar att ber¨akna volymen av flaskan s˚a nog-grant som m¨ojligt. De tillg¨angliga hj¨alpmedlen ¨ar linjal, m˚attband, minir¨aknare. Uppgiften ska utf¨oras i grupper om tv˚a eller tre personer. Den ska redovisas s˚av¨al muntligt som skriftligt.

Figur 5: Best¨am plastflaskans volym.

M˚alet ¨aven f¨or denna uppgift ¨ar att eleverna ska f˚a en st¨orre f¨orst˚aelse f¨or geometriska former och uttryck. Eleverna ska f¨orst g¨ora en matematisk modell av flaskan vilket inneb¨ar en kombination av en cylinder och en kon. Eleverna m˚aste ocks˚a avg¨ora vilka delar som ¨ar v¨art att

ta med i den matematiska modellen, dvs. de m˚aste g¨ora l¨ampliga approximationer och kunna bed¨oma vad som ¨ar rimligt.

Den h¨ar uppgiften kan anses som halv¨oppen eftersom eleverna f˚ar fritt v¨alja sin l¨osnings-metod men ¨ar relativt begr¨ansade till standardl¨osnings-metoder (U15).

Uppgiften inspirerar till ett kreativt arbetss¨att eftersom den inneh˚aller flera moment, ¨over-s¨attning (modellering), m¨atning och r¨akning. Eleverna f˚ar anv¨anda flera av sina sinnen, det finns n˚agot att ta och se p˚a. De f˚ar ¨aven anv¨anda sig av flera matematiska representationer. Eftersom eleverna inte m¨ott denna uppgift tidigare p˚a n˚agon lektion eller i l¨aroboken s˚a ¨ar de inte l˚asta vid n˚agon specifik l¨osningsg˚ang utan stimuleras att konstruera sina egna l¨osningar (U1, U8).

Eleverna arbetar i grupp vilket g¨or att de m˚aste diskutera b˚ade l¨osningsmetod och l¨osnings-g˚ang med varandra. Genom att uppgiften ska presenteras muntligt och skriftligt utvecklar ele-verna sitt matematiska spr˚ak. Eleele-verna f˚ar m¨ojlighet till reflektion eftersom de f˚ar se hur andra grupper l¨oser uppgiften (U2, U16).

F¨or att anpassa uppgiften till olika niv˚aer kan l¨araren ge olika flaskor med varierande form till olika grupper. Olika information kan ges till olika grupper, vissa grupper kan vara i behov att l¨araren pekar ut de olika geometriska formerna. Andra s¨att att anpassa niv˚an p˚a ¨ar att f˚a eleverna att anv¨anda flera m¨atningar f¨or att f˚a ett noggrannare svar. Detta g¨or att den h¨ar uppgiften ¨ar bra ur ett specialpedagogiskt perspektiv. Med hj¨alp av niv˚aanpassningen i denna uppgift s˚a b¨or anpassningsbar till elevernas tidigare kunskaper, dvs. ligga inom deras n¨armaste utvecklingszon (U4, U5).

Det finns flera m¨ojligheter att ut¨oka denna uppgift. Ett s¨atta ¨ar att l¨agga in ett t¨avlings-moment. Den grupp som kommer n¨armast den verkliga volymen vinner. Ett annat s¨att ¨ar att eleverna f˚ar m¨ata upp den verkliga volymen genom att h¨alla vatten i flaskan. Detta kan gene-rera en intressant diskussion d˚a den ber¨aknade volymen skiljer sig fr˚an den uppm¨atta. Genom att eleverna f˚ar m¨ata upp den verkliga volymen med vatten f˚as en koppling mellan teori och verklighet (U11).

Utf¨orandet av uppgiften sker under ett lektionstillf¨alle eller inleds i slutet av en lektion och redovisas n¨asta g˚ang s˚a att eleverna ges tillf¨alle till mer reflektion (U14).

¨

Aven om eleverna dricker l¨ask i verkligheten s˚a ¨ar det f˚a elever som funderar ¨over hur volymen av en flaska kan ber¨aknas. D¨arf¨or ¨ar det sv˚art att s¨aga att uppgiften ¨ar f¨orankrad i elevernas verklighet vilket ¨ar en nackdel. ¨Aven med ut¨okad sv˚arighetsgrad kan uppgiften vara v¨al enkel f¨or vissa elever. Sammanfattnings kan s¨agas att denna uppgift inte inneh˚aller punkterna U3, U6, U7, U9, U10, U12 och U13 i n˚agon st¨orre omfattning.

3.2.3 Resan

Ett roligt s¨att att arbeta med aritmetik ¨ar detta exempel som ¨ar konstruerat av oss, men inspirerat fr˚an Anna Anderssons uppgift En resa (Andersson 2005). Uppgiften ¨ar f¨oljande:

Figur 6: Resan

Du och en kompis har sparat pengar till en utlandsresa. Ni ska tillsammans: V¨alja en resa utanf¨or Europa, ni har en budget p˚a 30 000 kronor som ska r¨acka till allt under semestern dvs. resa, mat och fickpengar. G¨or upp en tidsplanering med avresetider och ankomsttider f¨or buss/t˚ag/flyg. V¨axla pengar f¨or mat och shopping till landets valuta (Tips: aktuella valutakurser hittar ni t.ex. p˚a www.forex.se) Ni ska ringa hem till Sverige i 10 minuter vad kan det kosta?

Uppgiften skall presenteras muntligt och med en poster. I redovisningen skall f¨olj-ande ing˚a:

En ber¨akning av alla kostnader, mat, shopping och alla till¨agg som kan f¨orekom-ma t.ex. resef¨ors¨akring och flygtill¨agg. Redovisa hur stor andel i procent som ni l¨agger p˚a de olika kostnaderna. Ber¨akna hur l˚ang tid resan tar och ange hur stor del av resan som spenderas p˚a respektive f¨ards¨att (Tips: t¨ank p˚a tidsskillnaden). Konstruera en tabell som visar valutaomvandlingar. Tabellen skall t.ex. visa hur mycket 500 i landets valuta ger i svenska kronor och ¨aven i Euro.

M˚alet f¨or denna uppgift ¨ar att ¨ova aritmetiska ber¨akningar i en verklighetsanpassad situ-ation. Eleverna tr¨anas i att arbeta metodiskt och att anv¨anda procent och andelsber¨akningar. Uppgiften ger ocks˚a eleverna m¨ojligheter att ¨ova p˚a tidsber¨akningar och valutaomvandlingar.

De flesta m¨anniskor gillar att fantisera om att resa s˚a denna uppgift kommer att ha en stark f¨orankring i elevernas verklighet. Detta kommer att motivera eleverna i arbetet. Eftersom upp-giften inneh˚aller en stor del informationsinh¨amtning l¨oses den l¨ampligen i par (U2, U10).

Den h¨ar uppgiften ¨ar ¨oppen eftersom eleverna sj¨alva f˚ar v¨alja ing˚aende data, l¨osningsg˚ang och f¨ordelning av pengarna. Arbetet kommer att inkludera m˚anga kreativa aktiviteter s˚asom design av poster, inh¨amtning av information, val av resm˚al och transports¨att. Det finns heller inget givet svar s˚a fokus ligger p˚a l¨osningen (U1, U9, U15, U16).

Denna uppgift kan tyckas inneh˚alla relativt f˚a matematiska ¨ovningar och en stor del in-formationss¨okning. ¨Aven detta ¨ar dock verklighetsanpassat. Uppgiften visar p˚a att matematik verkligen anv¨ands i vardagen utanf¨or matematiklektionen och utanf¨or matematikboken. Ak-tiviteten leder till att eleverna t¨anker matematiskt och anv¨ander matematik i olika situationer i enlighet med m˚al att str¨ava mot i kursplanen i matematik (Skolverket 2000). Uppgiften ger f¨orhoppningsvis eleverna en aha-upplevelse (U13).

Denna uppgiften kan anv¨andas inom flera omr˚aden t.ex. aritmetik, procentr¨akning och sta-tistik. Detta skapar en r¨od tr˚ad genom undervisningen vilket m¨ojligg¨or att eleverna kan utg˚a fr˚an tidigare konstruktioner av matematiken f¨or att skapa ny mening. Presentationsmaterialet kommer att inneh˚alla flera olika representationer av matematiska begrepp och det kan vara f¨ordelaktigt att s¨atta upp detta i lektionssalen. P˚a s˚a vis skapas en inspirerande matematikmilj¨o. Materialet kan tas ner och ˚ateranv¨andas (U4, U8, U11).

Exemplet kan med f¨ordel anv¨andas vid integration med andra ¨amnen, t.ex. samh¨allskun-skap. Detta kan vara ytterligare en faktor som bidrar till verklighetsanknytningen (U12).

Ett problem med uppgiften ¨ar att den kan vara sv˚ar att niv˚aanpassa dock ¨ar ing˚angsniv˚an l˚ag s˚a alla elever f˚ar m¨ojlighet att g¨ora n˚agot. Sammanfattningsvis kan s¨agas att denna uppgift inte inneh˚aller punkterna U3, U5, U6, U7 och U14 i n˚agon st¨orre omfattning.

3.2.4 Glassarna

Ett inspirerande s¨att att arbeta med generalisering ¨ar detta exempel som ¨ar h¨amtat fr˚an boken

Rika matematiska problem (Hagland et al. 2005, s 39). Uppgiften ¨ar f¨oljande:

Du ska k¨opa l¨osglass i kulor och kan v¨alja p˚a fyra olika smaker. Du vill ha tv˚a kulor och du bryr dig inte om i vilken ordning de kommer. Det ¨ar inte m¨ojligt att v¨alja samma smak flera g˚anger. P˚a hur m˚anga olika s¨att kan din glasstrut se ut? Ifall det hade funnits n olika sorters glass p˚a hur m˚anga olika s¨att hade du d˚a kunnat v¨alja din glass? F¨ors¨ok komma p˚a en allm¨an formel f¨or detta. Hur kommer resultatet att f¨or¨andras ifall ordningen av kulorna har betydelse?

M˚alet med denna uppgift ¨ar att eleverna f¨orst ska ta fram ett uttryck och sedan utifr˚an ett logiskt resonemang h¨arleda en generell formel. Sv˚arighetsgraden p˚a denna uppgift ¨ar h¨og varf¨or ett antal l¨osningsstrategier diskuteras nedan.

Det finns tre olika resonemang som leder fram till tre olika generella formler med samma inneb¨ord. Det f¨orsta resonemanget ¨ar baserat p˚a att f¨or varje ny smak s˚a ¨okar antalet m¨ojliga kombinationer med antalet smaker minus ett, dvs. eleverna kommer fram till en rekursiv formel,

Figur 7: Best¨am hur m˚anga kombinationer av glassar det finns.

Det andra resonemanget ¨ar grundat p˚a att eleverna summerar antalet kombinationer f¨or varje smak, d¨ar smak n kan kombineras p˚a n − 1 olika s¨att och d¨ar smak n − 1 kan kombineras p˚a n − 2 olika s¨att, osv. Formeln i detta fall blir Sn = 1 + 2 + . . . + (n − 1).

Det tredje resonemanget ¨ar baserat p˚a en tabell som visar p˚a alla m¨ojliga kombinationer. Utifr˚an tabellen kan det avl¨asas att alla m¨ojliga kombinationer kommer att ges av de kombina-tioner som finns ¨over diagonalen. De som ¨ar under ¨ar endast speglingar av de ¨ovre och r¨aknas d¨armed inte och diagonalen ¨ar tv˚a kulor av samma smak vilket inte ¨ar till˚atet. Formeln kan i detta fall uttryckas som Sn= n(n−1)₂ .

Den h¨ar uppgiften ¨ar unders¨okande eftersom eleverna sj¨alva f˚ar pr¨ova sig fram till en b¨orjan. Det ¨ar l¨att att r¨akna ut hur m˚anga kombinationer som finns f¨or f˚a smaker men det finns ingen given l¨osningsg˚ang som eleverna tidigare st¨ott p˚a f¨or det generella fallet, uppgiften kan d¨armed anses vara ¨oppen (U1, U15).

D˚a uppgiften ¨ar relativ sv˚ar och utmanande ¨ar den v¨al anpassad f¨or arbete i grupp d˚a flera olika elever kan komma med olika infallsvinklar. Uppgiften g˚ar ¨aven att l¨osa individuellt. I denna uppgift ¨ar det viktigt att ge tid f¨or reflektion eftersom den kr¨aver insikt om vad en generell formel ¨ar och hur den anv¨ands (U2, U3, U14).

Vid redovisningen av denna uppgift s˚a har klassen f¨orhoppningsvis kommit fram till de olika formlerna enligt ovan. Detta inneb¨ar att eleverna kan f˚a se hur dessa formler ¨ar relaterade till varandra och visar p˚a olika l¨osningar av samma uppgift (U7).

Anpassningar f¨or att f˚a eleverna att arbeta med b˚ade fr˚agest¨allning och l¨osning kan g¨oras genom att t.ex. inte specificera hur m˚anga smaker som finns och l˚ata eleverna sj¨alva komma in p˚a och utforska vad som h¨ander n¨ar antalet smaker ¨ar stort. F¨or att ytterligare ¨oka friheten kan eleverna sj¨alva f˚a komma in p˚a och best¨amma om ordningen skall ha betydelse och om varje smak ska f˚a v¨aljas flera g˚anger (U16).

¨

Aven om alla elever kan hitta m¨ojliga kombinationer f¨or f˚a antal smaker s˚a ¨ar det ett stort steg till den generella formeln. Det ¨ar ¨aven sv˚art att ge ledtr˚adar som leder fram till denna. Det ¨ar troligtvis f˚a elever som funderar ¨over hur glassmaker kan kombineras. D¨arf¨or ¨ar det sv˚art att s¨aga att uppgiften ¨ar f¨orankrad i elevernas verklighet vilket ¨ar en nackdel. Sammanfattnings kan s¨agas att denna uppgift inte inneh˚aller punkterna U4, U5, U6, U8, U9, U10, U11, U12 och U13 i n˚agon st¨orre omfattning.

3.2.5 Sammanfattande j¨amf¨orelse av uppgifterna

Analysen av uppgifterna ovan presenteras ¨oversiktligt i tabell 1. Uppgifterna visar p˚a fyra vitt skilda problem och t¨acker tillsammans, dock inte enskilt, in samtliga karakt¨arsdrag hos en god uppgift. Summan av antalet kryss i tabellen kan ge en fingervisning om hur bra en uppgift ¨ar men ¨ar inte avg¨orande f¨or vilken uppgift som ¨ar b¨ast. En uppgift som t¨acker in f˚a av katego-rierna b¨or dock omformuleras. M˚anga av uppgifterna i de l¨arob¨ocker som anv¨ands p˚a inom matematikundervisningen p˚a gymnasiet torde endast t¨acka in ett f˚atal av kategorierna.

St˚alkulan Plastflaskan Resan Glassarna

U1 X X X X U2 X X X X U3 X X U4 X X U5 X U6 X U7 X X U8 X X U9 X X U10 X U11 X X U12 X X U13 X U14 X X X U15 X X X X U16 X X X X

4 Metod

I detta kapitel beskrivs den teoretiska bakgrunden till vetenskapsteori, vidare presenteras de tv˚a huvudparadigmen inom forskning. De metoder som anv¨ands inom huvudparadigmen in-delas d¨arefter i kvalitativa och kvantitativa. Vi kommer endast att anv¨anda oss av en av dessa inriktningar i den empiriska unders¨okningen men v¨aljer ¨and˚a att presentera b˚ada f¨or att kon-trastera dem mot varandra. Avslutningsvis presenteras metoden och tillv¨agag˚angss¨attet f¨or v˚ar unders¨okning som faller inom omr˚adet undervisningsforskning.

Olika former av undervisningsunders¨okningar ¨ar inte bara formade av olika vetenskapliga forskningstraditioner utan ocks˚a utav forskarens epistemologiska antaganden dvs. dennes bild av v¨arlden och hur kunskap skapas. Om forskarens tro ¨ar s˚adan att kunskap ¨ar n˚agot objek-tivt s˚a kommer unders¨okaren att beskriva och m¨ata v¨arlden i observerbara verkligheter f¨or att f¨orklara dessa. En s˚adan tro leder till att forskaren v¨aljer objektiva forskningsmetoder och att han f¨ors¨oker fr˚anskilja sig fr˚an det han unders¨oker. Om forskaren d¨aremot tror att kunskap ¨ar subjektiv kommer han att f¨ors¨oka hitta nya v¨agar att delta i v¨arlden genom konstruktion av prelimin¨ara teorier och genom att demonstrera en ¨oppenhet mot f¨or¨anderlig f¨orst˚aelse och alternativa synvinklar. S˚adan tro om kunskap ¨ar mer trolig att leda till forskning som ¨ar mer varierad och kvalitativ till sin natur (Mousley, Sullivan & Waywood 1998, s 128).

4.1 Vetenskapsteori

Inom vetenskap g¨ors ofta en indelning mellan natur- och kulturvetenskap d¨ar det finns oli-ka syn p˚a f¨orh˚allandet till det forskningens inneh˚all. Inom naturvetensoli-kaplig forskning ¨ar det vanligt att forskaren har en objektiv h˚allning till inneh˚allet medan inom kulturvetenskapen s˚a ¨ar unders¨okaren alltid en del av sin egen forskning. En indelning som kan g¨oras f¨or att dra en gr¨ans mellan de b˚ada vetenskaperna ¨ar att skilja p˚a nomotetisk och idiografisk vetenskap (Molander 1998, s 220).

Inom naturvetenskapen anv¨ands nomotetisk vetenskap som har som m˚al att fastst¨alla an-tagna lagbundenheter. Ett exempel p˚a detta ¨ar forskares arbete med att fastst¨alla naturlagar. Nomotetisk vetenskap str¨avar efter att uppt¨acka och f¨orklara orsaker genom att fastst¨alla det karakteristiska i olika situationer. Vetenskapsmannen f¨ors¨oker generalisera s˚a att kunskapen kan anv¨andas i andra sammanhang ¨an det sammanhang som den var skapad i (Stemsmo 2002, s 11).

Inom kulturvetenskapen anv¨ands idiografisk vetenskap som har som m˚al att studera det uni-ka i en situation, dvs. beskriva det s¨aregna. Till skillnad fr˚an den nomotetisuni-ka vetensuni-kapen s˚a str¨avar den idiografiska efter att finna det specifika och individuella i en h¨andelse. Den utg˚ar fr˚an att det inte finns n˚agon lagbundenhet att finna och att kunskap ¨ar kontextuell, dvs. kunska-pen ¨ar individuell och lokal och fr¨amst g¨aller i det situation d¨ar den frambringades. Forskarna

f¨ors¨oker besvara sina fr˚agor genom att s¨oka f¨orst˚aelse, mening och inneb¨ord i den enskilda h¨andelsen (Stemsmo 2002, s 11). Den kulturvetenskapliga vetenskapsteori kommer att utg¨ora basen f¨or v˚ar empiriska unders¨okning.

4.2 Paradigm

Ur de ovan beskrivna vetenskapsteorierna kan tv˚a huvudsakliga paradigm urskiljas n¨ar det g¨aller perspektiv och metod. Den positivistiska vetenskapsuppfattningen anknyter till den no-motetiska vetenskapsteorin och den humanvetenskapliga anknyter till idiografiska. V˚ar studie faller inom det humanvetenskapliga omr˚adet varf¨or vi v¨aljer att fokusera v˚ar presentation nedan p˚a den inriktningen men som kontrast presenteras ¨aven den positivistiska synen kortfattat. 4.2.1 Positivism

Kunskap enligt positivismen f˚as genom dels iakttagelser och dels genom logiska slutsatser utifr˚an dessa iakttagelser. Vetenskapandet ¨ar v¨aldigt strukturerat och f¨or att kunna fastst¨alla vad som ¨ar fakta m˚aste alla p˚ast˚aenden och iakttagelser kritiskt granskas. Positivismen betonar ett vetenskapligt f¨orh˚allningss¨att och tar avst˚and fr˚an spekulation och metafysik (Molander 1998, s 178). Nedan redovisas n˚agra f˚a grundbegrepp som ¨ar k¨annetecknande f¨or den positivism som v¨axt fram under 1900-talet :

• Vid observation av verkligheten f¨ors¨oker forskaren med ¨ogat eller speciella instrument

beskriva det som observeras s˚a exakt och objektivt som m¨ojligt.

• De teoretiska begreppen ¨ar abstraktioner som skall vara v¨al f¨orankrade i observerbara

fakta. De m˚aste ¨aven vara m¨ojliga att verifiera.

• Vetenskapen ¨ar neutral och bygger inte p˚a v¨arderingar. (Stemsmo 2002, Molander 1998)

4.2.2 Humanvetenskap

Detta paradigm fokuserar m¨anniskan och hennes aktiviteter. Humanvetenskap, eller humanism som det ¨aven kallas, ¨ar en kritisk kontrast till positivismen och menar att det inte g˚ar att beskriva m¨anniskor p˚a det s¨att som positivismen ¨onskar eftersom m¨anniskor inte ¨ar regelbundna och f¨oruts¨agbara. Humanisterna tar ist¨allet fasta p˚a m¨anniskans individualitet och v¨arderingar.

Nedan redovisas n˚agra grundbegrepp som ¨ar k¨annetecknande f¨or humanvetenskap :

• Vetenskap om m¨anniskan och naturen har olika f¨oruts¨attningar. Det g˚ar inte att objektivt

beskriva en m¨anniska p˚a samma s¨att som naturen eftersom m¨anniskan har tankar och k¨anslor som styr hennes handlingar.

• Spr˚aket och dess produkter ¨ar centralt inom humanvetenskapen och ¨ar dess huvudsakliga

arbetsmaterial.

• Genom analys av spr˚ak och texter kan forskaren f˚a en insyn i m¨anskligt beteende. Dessa

studier av m¨anskligt medvetande kallas fenomenologi och de fokuserar p˚a m¨anniskors upplevelser och perceptioner.

• Vid analys av m¨anskliga aktiviteter anv¨ands tolkningsprinciper. Dessa principer kallas

hermeneutiska. Hermeneutik betyder tolkningsl¨ara.

• Hermeneutik kan anv¨andas f¨or att f¨orst˚a texters mening. Hermeneutiska tolkningar ¨ar

kontextuella vilket betyder att texterna m˚aste f¨orst˚as ur ett historiskt, socialt och kulturellt sammanhang.

• I kontrast till positivismens orsaksf¨orklaringar anv¨ander sig humanismen av

¨andam˚als-f¨orklaringar. Intentionen med dessa ¨ar att f¨orst˚a syftet i m¨anniskas handlingar. Detta kr¨aver empati, att s¨atta sig in i m¨anniskans situation.

• Humanvetenskapen utg˚ar fr˚an enskilda fall f¨or att skapa en allm¨an princip, det kallas

in-duktion. Genom induktion utformas en hypotes som anv¨ands f¨or att h¨arleda konsekvenser som sedan pr¨ovas. Detta arbetss¨att kallas grundad teori.

• Vilar p˚a uttalade eller outtalade v¨arderingar. Arbetar f¨or att f¨orb¨attra m¨anniskans

ex-istensvillkor.

• Unders¨oker unika egenskaper och omst¨andigheter som finns hos det speciella fallet.

Hu-vudsyftet ¨ar dock inte att gr¨ava ner sig i specifika f¨oreteelser hos det enskilda fallet utan att ta vara p˚a den rikedom som finns i fallet och att generalisera detta. (Stems-mo 2002, Ernest 1998a)

4.3 Forskningsmetodik

Baserat p˚a de tv˚a paradigmen, positivism och humanvetenskap, s˚a g¨ors vanligen en uppdelning i tv˚a huvudinriktningar inom forskningsmetodik, det kvalitativa och det kvantitativa perspekti-vet. Inom humanism anv¨ands fr¨amst den kvalitativa metodiken och inom positivism fr¨amst den kvantitativa. Vi fokuserar p˚a den kvalitativa metodiken eftersom den anv¨ands i v˚ar empiriska unders¨okning.

F¨orst˚aelse av t.ex. k¨ansla eller handling kr¨aver mjuka data och h¨or samman med kvalitativ metodik medan m¨atningar av tyngd eller storlek beh¨over h˚arda data och h¨or samman med den kvantitativa metodiken.

Olika typer av intervjuer ¨ar ett illustrativt s¨att att beskriva distinktionen mellan kvalitativa och kvantitativa metoder. ¨Oppna intervjuer och deltagande observation ¨ar typiskt kvalitativa metoder. En kvantitativ intervju ¨ar d¨aremot h˚art styrd och kan t.ex. i sin mest primitiva form best˚a av ja och nej fr˚agor. Kvalitativt inriktade forskare ¨ar mer fokuserade p˚a insikt ¨an statistisk analys (Bell 2000, s 13).

N¨ar det g¨aller utrymme f¨or tolkningar och f¨orst˚aelse av inneb¨orden i det en person s¨ager ¨ar den kvalitativa metodiken att f¨oredra. Denna ¨ar inte heller avgr¨ansad utan h˚aller sig till ett vitt fr˚ageomr˚ade vilket ger vidsynthet. Tolkningsm¨ojligheten och avsaknaden av h˚arda regler g¨or att den kvalitativa metodiken kan ses som mer subjektiv ¨an den kvantitativa. P˚a s˚a s¨att ¨ar den kvalitativa mer s¨okande medan den kvantitativa ¨ar mer styrd. Bundenheten h¨anger samman med att det finns fler regler och d¨armed kan den kvantitativa metoden ocks˚a anses mer objektiv. Kvalitativa studier kan vara av mycket varierande typ men ¨ar vanligtvis tolkande under-s¨okningar som baseras p˚a f¨orst˚aelse av handlande. Studierna anv¨ands d˚a n˚agot inte kan m¨atas direkt som vid unders¨okningar av k¨anslor, upplevelser, handlings- och tankem¨onster. Inom den kvalitativa forskningen klassificeras f¨oreteelser i kategorier och huvudproblemet ¨ar att g¨ora r¨att klassificeringar av kategorierna och korrekta avgr¨ansningar. Att hitta k¨annetecken och in-neb¨order kan vara ett mer digert arbete ¨an att klassificera och finna samband varf¨or en kvalitativ metod kan ta mer tid i anspr˚ak (Wall´en 1996, s 73–75).

Inom b˚ade kvalitativ och kvantitativ metodik finns ett stort antal olika m¨ojligheter att ge-nomf¨ora unders¨okningar p˚a. En av dessa ¨ar observation som faller inom det kvalitativa omr˚adet. Denna metod kommer att presenteras n¨armare i avsnittet om observation eftersom den metoden anv¨ands i v˚ar unders¨okning.

4.3.1 Konstruktivismens konsekvenser

Det ¨ar viktigt att inse att den teoretiska bakgrund som forskaren har kommer att p˚averka arbetet i stort. Vi utg˚ar i detta arbete fr˚an konstruktivistiska teorier. D¨arf¨or ¨ar det viktigt att ta h¨ansyn till vilka konsekvenser en konstruktivistisk syn p˚a l¨arande ger f¨or unders¨okningen. Det ¨ar viktigt att vara uppm¨arksam p˚a f¨oljande :

• Elevens tidigare konstruktioner. • Den sociala kontexten.

• Elevens subjektiva kunskap.

• Att det inte finns n˚agon gyllene v¨ag till sanningen, varf¨or f¨orsiktighet med metodik b¨or

iakttagas.

• Elevens, l¨ararens och forskarens kognition, m˚al och metakognition.

• Personlig kunskap konstrueras av spr˚ak, diskussioner, samarbete och delade meningar.

(Ernest 1998a, s 31)

Dessa aspekter visar p˚a komplexiteten av en unders¨okning som genomf¨ors ur ett konstruktivis-tiskt perspektiv. Observat¨oren m˚aste ta h¨ansyn till alla dessa olika aspekter. Konstruktivismen ¨ar antagligen en av de stora anledningarna till att forskningen inom matematikundervisningen anv¨ander sig av allt mer kvalitativ metodik.

4.3.2 Observation

Vid studier av grupper eller individer kan observation anv¨andas som forskningsmetod. Obser-vat¨orens uppgift ¨ar att s˚a objektivt och korrekt som m¨ojligt observera, dokumentera och tolka sina iakttagelser. Beroende p˚a vad som efters¨oks kan olika f¨orfaranden anv¨andas f¨or att regi-strera vad som h¨ander, t.ex. observationsscheman, ljud-/videoupptagningar eller anteckningar (Bell 2000, s 140).

Observationer kan ha olika grad av struktur. Ostrukturerade observationer ¨ar anv¨andbara f¨or att generera hypoteser men de ¨ar omfattande och tar mycket tid i anspr˚ak. N¨ar det g¨aller kortare projekt d¨ar tiden till f¨orfogande ¨ar liten s˚a ¨ar det av vikt att strukturera observationerna t.ex. genom att registrera data p˚a ett visst s¨att med hj¨alp av n˚agon form av ett observationsschema.

Det ¨ar viktigt att v¨al definiera vad unders¨okningen syftar till och varf¨or den beh¨over g¨oras. Fr˚agor som beh¨over st¨allas innan observationen och h˚allas i liv under hela arbetet ¨ar (Bell 2000, s 146):

• Vad beh¨over jag veta?

• Varf¨or m˚aste jag ha reda p˚a det?

• Vad ska jag g¨ora med informationen n¨ar jag v¨al f˚att tag i den?

Fokus kan ligga p˚a flera olika aspekter beroende p˚a vad som egentligen ska studeras ef-tersom det i princip ¨ar om¨ojligt att iaktta och registrera allting. I studier av t.ex. en lektion kan fokus ligga p˚a:

• Inneh˚allet • Processen • Eleverna • Samspelet • L¨ararens bidrag

• N˚agot skeende

N¨ar fokus v¨al ¨ar best¨amt ¨ar viktigt att och att strukturera unders¨okningen. Tillv¨agag˚angs-s¨attet planeras och struktureras noga i f¨orv¨ag efter de aspekter som bed¨omts viktiga f¨or un-ders¨okningen. De nedanst˚aende id´eer ¨ar betydelsefulla att beakta n¨ar det g¨aller observerande unders¨okningar :

• Intersubjektivitet, dvs. att varje m¨anniska i den aktuella situationen skulle ha gjort samma

observation.

• Att observationen b¨or kunna registreras med n˚agot mekaniskt hj¨alpmedel, t.ex. video

eller ljudupptagning.

• Risken att misstolka och f¨orbise n˚agot.

• Att observat¨oren skall sm¨alta in i bakgrunden och vara s˚a osynlig som m¨ojligt. • Att ha utvecklat och ¨ovat in ett system med f¨orkortningar.

• Vad som ska observeras och observationernas frekvens.

• Beakta den stora risken f¨or f¨orutfattade meningar och f¨ordomar.

• Att vara v¨al f¨orberedd eftersom det finns f˚a eller inga chanser att g¨ora om observationen. • Tacka personer som deltagit i observationen. (Bell 2000, Rosing 1996)

Ett problem som kan uppst˚a som observat¨or ¨ar att vara objektiv om det finns en anknytning till gruppen, t.ex. l¨arare - elev. Risken f¨or skevhet och subjektivitet ¨okar d˚a vilket kan g¨ora att observat¨oren f¨orbiser viktiga aspekter. Ett bra s¨att att kontrollera sina tolkningar ¨ar d˚a att genomf¨ora en gemensam observation med hj¨alp av en person som inte tillh¨or den observerade organisationen. (Bell 2000, s 138–139)

4.3.3 Forskningsetik

Vetenskapsr˚adet har tagit fram en etisk kod f¨or utbildningsvetenskaplig forskning. Den bygger p˚a fyra krav som en studie skall f¨olja f¨or att skydda individen :

• Information. Varje person som deltar i studien m˚aste informeras av forskaren vilka

vill-kor som g¨aller f¨or deras deltagande. Deltagarna skall vidare informeras om att deras deltagande ¨ar frivilligt och att de har r¨atten att avbryta sin medverkan i studien.

• Samtycke. Forskaren har en skyldighet att inh¨amta deltagarnas till˚atelse f¨or att genomf¨ora

en unders¨okning. Ifall deltagarna ¨ar under 16 ˚ar skall ¨aven v˚ardnadshavarens samtycke inh¨amtas. All p˚atryckning om personens deltagande ¨ar str¨angt f¨orbjuden och det b¨or inte finnas n˚agot beroendef¨orh˚allande mellan forskare och deltagare.

• Konfidentialitet. All information av k¨anslig natur m˚aste skyddas och forskaren har

tyst-nadsplikt betr¨affande dessa uppgifter. Informationsmaterialet skall vara lagrat och pre-senterat s˚a att det ej g˚ar att identifiera de enskilda m¨anniskorna f¨or en utomst˚aende.

• Nyttjande. Det insamlade materialet f˚ar inte anv¨andas eller utl˚atas f¨or kommersiellt bruk

eller andra icke-vetenskapliga syften.(Stemsmo 2002, s 26–27)

Forskningsetik ¨ar av yttersta vikt i utbildningsvetenskaplig forskning av flera anledningar. F¨or det f¨orsta handlar det ofta om unga personer. F¨or det andra s˚a bedrivs ofta forskningen med hj¨alp av ljud- och filmupptagningar vilket g¨or att identifiering av deltagarna ¨ar l¨attare. Ett tredje sk¨al ¨ar att det ¨ar m¨ojligt att sp˚ara deltagarna via klasslistor klassfoton, osv.

4.4 V˚ar empiriska unders¨okning

V˚ar unders¨okning fokuserades p˚a att studera hur v¨al en st¨orre matematikuppgift fungerar i klassrumsmilj¨o. Vidare s˚a ¨onskade vi unders¨oka hur eleverna arbetade med uppgiften. Den uppgift vi valde att testa ¨ar st˚alkulan och denna finns presenterad och analyserad i kapitel 3.

Syftet med denna unders¨okning ¨ar att testa hur v¨al en st¨orre uppgift fungerar. Dels f¨or att se huruvida uppgiften b¨or anpassas och dels f¨or att kunna konstruera liknande uppgifter som kan f¨or¨andra matematikundervisningen. Det enda s¨attet att testa hur en uppgift fungerar ¨ar att l˚ata elever arbeta med en s˚adan i sin naturliga milj¨o.

I detta avsnitt beskrivs utf¨orandet av v˚ar unders¨okning i detalj. F¨orst introduceras milj¨on d¨ar unders¨okningen ¨agde rum och d¨arefter hur den genomf¨ordes. Avslutningsvis presenteras observat¨orens arbete och kategoriseringar som st¨od till observationsschemat tillsammans med en kort redog¨orelse av unders¨okningens validitet.

4.4.1 Urval

Den empiriska unders¨okningen genomf¨ordes i en skola som finns i utkanten av en stor, mel-lansvensk kommun. Skolan ¨ar en medelstor gymnasieskola med teknisk inriktning och har om-kring 700 elever. Vi valde att studera tre klasser p˚a skolan, ˚arskurs 1, inom kursen matematik A. Unders¨okningen genomf¨ordes i slutet av augusti och varade under en 60 minuters lektion per klass. Tre klasser deltog i unders¨okningen vid tre olika tillf¨allen, ett tillf¨alle per klass. Dessa hade vardera 17, 16, 17 stycken elever vid respektive unders¨okningstillf¨alle. K¨onsf¨ordelningen