Prissättning av livsfallsförsäkring

Priss¨

attning

av

livsfallsf¨

ors¨

akring

Anders Aronsson

Emil Nordstr¨om

9 juni 2005

Denna uppsats behandlar problemet att priss¨atta livsfallsf¨ors¨akringar. Vi h¨arleder en enkel teoretisk modell f¨or priss¨attning. Givet antagande om d¨odlighet och r¨anta kan modellen anv¨andas f¨or att best¨amma priset f¨or en godtycklig livsfallsf¨ors¨akring. Baserat p˚a prisofferter h¨arleds de parameterantaganden som tv˚a svenska livbolag har gjort betr¨affande d¨odlighet och r¨anta. Slutsatsen ¨ar att bolagens antaganden skiljer sig markant ˚at. Vi best¨ammer ocks˚a ett teoretiskt pris som i st¨orsta utstr¨ackning ¨ar ”r¨attvist” och konstaterar att detta ¨ar betydligt l¨agre ¨an det pris bolagen tar ut.

1 Inledning 1

2 Livsfallsf¨ors¨akring 3

3 Priss¨attningsmodell 5

3.1 Livsl¨angd och d¨odlighet . . . 5

3.2 Stokastiska kassafl¨oden . . . 10 3.3 Olika kontraktstyper . . . 11 3.4 Ekvivalensprincipen . . . 12 3.5 Priset . . . 13 4 Empiriska studier 14 4.1 Livbolag A . . . 14 4.2 Livbolag B . . . 17

5 R¨attvis priss¨attning 19 5.1 D¨odsantagande . . . 19 5.2 R¨anteantagande . . . 20 5.3 Pris . . . 22 6 Resultatsammanst¨allning 22 7 Slutsatser 23 Referenser 23

A.1 Kontinuerliga kassafl¨oden . . . 25 A.2 Diskonteringsmetod . . . 26

B Vissa h¨arledningar r¨orande livsl¨angd 27

B.1 H¨arledning av uttrycket f¨or πs . . . 27

B.2 H¨arledning av uttrycket f¨or E[T |{T > s}] . . . 27 B.3 H¨arledning av uttrycket f¨or E[Vx¯

1

Inledning

I denna uppsats behandlas problemet att priss¨atta livsfallsf¨ors¨akringar. En vanlig typ av livs-fallsf¨ors¨akring ¨ar den traditionella pensionsf¨ors¨akringen d¨ar ett avtal uppr¨attats mellan tv˚a parter, en f¨ors¨akringstagare och en f¨ors¨akringsgivare. F¨ors¨akringsgivaren ˚atar sig att betala ut ett framtida kassafl¨ode till f¨ors¨akringstagaren mot att denna, under perioden fram till utbetalningens b¨orjan, betalat f¨or detta. Kontraktet inneb¨ar s˚aledes att f¨ors¨akringstagaren byter ett kassafl¨ode mot ett annat. Vid kontraktets uppr¨attande best¨ams det kassafl¨ode som ska betalas in s˚a att detta st˚ar i en ”r¨attvis” relation till det kassafl¨ode som ska betalas ut. Kontraktet upph¨or att g¨alla vid f¨ors¨akringstagarens bortg˚ang. Det faktum att utbetalning ¨ar villkorad p˚a att f¨ors¨akringstagaren lever inf¨or risk i kontraktet. F¨or f¨ors¨akringstagarens del inneb¨ar en tidig bortg˚ang att han inte kommer att f˚a del av det utlovade kassafl¨odet. F¨or f¨ors¨akringsgivarens del best˚ar risken i att den f¨ors¨akrade lever l¨angre ¨an f¨orv¨antat.

Det finns ¨aven avtal vars varaktighet str¨acker sig l¨angre ¨an till individens d¨odsdag. Betalning sker i dessa avtalskonstruktioner till den f¨ors¨akrades efterlevande (f¨orutsatt att det finns n˚agon). Denna f¨ors¨akringsform kommer inte att ges n˚agot utrymme i denna redog¨orelse men stora delar av det ramverk som vi framl¨agger ¨ar direkt applikabelt.

Huvudsyftet med denna uppsats ¨ar att ge klarhet i vilka parameterantaganden tv˚a svenska livbolag g¨or ang˚aende d¨odlighet och r¨anta vid priss¨attningen av en livsfallsf¨ors¨akring. F¨or detta ¨andam˚al utvecklas en teoretisk priss¨attningsrelation (priss¨attningsmodell) f¨or livsfallsf¨ors¨akringar. Modeller av den h¨ar typen ¨ar inget nytt fenomen utan litteraturen ¨ar full av bra framst¨allningar. En enkel och utf¨orlig redog¨orelse ¨ar [3] och en kortfattat och koncis expos´e ¨ar [6]. Baserat p˚a prisofferter h¨arleds de parameterantaganden som tv˚a svenska livbolag gjort betr¨affande d¨odlighet och r¨anta. Med modellen best¨ams ocks˚a det teoretiska pris som ¨ar f¨orenligt med faktiska antaganden om d¨odlighet och med marknadsm¨assiga antaganden om r¨antan.

V˚ara slutsatser ¨ar att det f¨oreligger stora skillnader mellan bolagens antaganden om d¨odlighet och r¨anta f¨or identiska f¨ors¨akringskontrakt. Prisskillnaden mellan bolagen kan direkt h¨arledas till dessa antaganden. Trots att avvikelserna i antagandena ¨ar stora blir skillnaden i priset relativt l˚agt d˚a olikheterna p˚averkar priset ˚at olika h˚all. Slutligen konstateras att det av oss best¨amda teoretiska priset kraftigt underskrider bolagens offererade pris.

Denna uppsats ¨ar organiserad som f¨oljer; I avsnitt 2 diskuteras livsfallsf¨ors¨akring i allm¨anhet. De komponenter som ing˚ar i priss¨attningsmodellen g˚as igenom i avsitt 3. Empiriska studier

sam-manst¨alls i avsnitt 4. En diskussion om ”r¨attvis priss¨attning” sker i avsnitt 5. Resultat redovisas i avsnitt 6 och slutsatser summeras i avsnitt 7. L¨angre h¨arledningar och ber¨akningar ¨ar f¨orpassade till appendix.

2

Livsfallsf¨

ors¨

akring

Livsfallsf¨ors¨akringens syfte ¨ar att skydda den f¨ors¨akrade mot f¨ors¨orjningsproblematiken som f¨oljer av ett l˚angt liv d¨ar arbetsf¨orm˚agan ¨ar nedsatt. Konstruktionen ¨ar s˚adan att om den f¨ors¨akrade fortfarande ¨ar vid liv efter en f¨orutbest¨amd tidpunkt erh˚aller denne en f¨orm˚an i form av en eller flera utbetalningar under en period som eventuellt ¨ar livsvarig. Avlider individen innan utsatt tidpunkt s˚a f¨orfaller f¨ors¨akringen helt eller delvis. Denna typ av livsfallsf¨ors¨akring upptr¨ader ofta i form av en pensionsf¨ors¨akring, d¨ar f¨orm˚anen b¨orjar g¨alla vid pensions˚aldern.

Ett livbolag som itr¨ader sig rollen att garantera en f¨orm˚an g¨or detta till ett pris som ¨ar baserat p˚a sannolikheten att den f¨ors¨akrade kommer att avlida inom den givna perioden. Desto l¨angre en individ f¨orv¨antas leva desto st¨orre blir bolagets kostnader f¨or f¨orm˚anen och s˚aledes ocks˚a det pris som st¨alls. Systemet att basera premien p˚a sannolikheter att avlida kallas assessmentism, se [6] s. 980.

En livsfallsf¨ors¨akring ¨ar egentligen ett inget annat ¨an ett, vid n˚agon tidpunkt avtalat, kassafl¨ode som ¨ar betingat p˚a en individs livstillst˚and (’d¨od’ eller ’levande’). Den ena delen av fl¨odet be-talas in under f¨ors¨akringstagarens aktiva period, ofta arbetsf¨ora del, av livet. Vid n˚agon senare tidpunkt, exempelvis vid pensionering, uppst˚ar ett fl¨ode tillbaka till den f¨ors¨akrade. Priset f¨or en livsfallsf¨ors¨akring kan s˚aledes identifieras med v¨ardet av det kassafl¨ode som f¨ors¨akringstagaren ˚al¨aggs att st˚a f¨or.1

Givet en best¨amd ˚arlig f¨orm˚an q kan f¨ors¨akringskontraktet administreras p˚a, i huvudsak, tv˚a olika s¨att. I figur 1 illustreras ett kontrakt d¨ar en premie betalas in vid ett flertal tillf¨allen fram till pensions˚aldern z. Figur 2 exemplifierar ett kontrakt d¨ar hela premien betalas in vid ett enskilt tillf¨alle. Den streckade linjen visar hur kapitalet ackumuleras och utbetalas under kontraktsperi-oden. Denna linje ¨ar skalad 1:10. Som tidigare n¨amnts, ligger risken f¨or f¨ors¨akringstagaren i att denne d¨or innan det ackumulerade kapitalet betalats ut till fullo, d.v.s. innan den streckade linjen sk¨ar ˚aldersaxeln. Bolagets risk ˚a andra sidan best˚ar i att individen lever s˚a pass l¨ange att den kapitalstock som f¨ors¨akringstagaren byggt upp t¨oms och blir negativ. Den grafiska inneb¨orden ¨ar att den f¨ors¨akrade fortfarande lever bortom sk¨arningspunkten.

1

En v¨ardering av ett kassafl¨ode kommer alltid att bero av en diskonteringsr¨anta. Implicit kommer d¨arf¨or r¨anteantagandet att f˚a en avg¨orande roll f¨or prisets storlek.

t z ... −p

0 q

Age

Figur 1: Exempel p˚a kassafl¨odet associerat till periodiskt betald livsfallsf¨ors¨akring.

t z ...

−P 0 q

Age

3

Priss¨

attningsmodell

I detta avsnitt behandlar vi de komponenter som ing˚ar den teoretiska beskrivningen av livs-fallsf¨ors¨akringar.

3.1

Livsl¨

angd och d¨

odlighet

Som redan konstaterats spelar den f¨ors¨akrades livsl¨angd en avg¨orande roll f¨or riskf¨ordelningen i en livsfallsf¨ors¨akring. Det ¨ar om¨ojligt att med s¨akerhet s¨aga hur l¨ange en individ kommer att leva. Av denna anledning beskrivs livsl¨angden som en stokastisk variabel, d.v.s. som en funktion av ett os¨akert utfall.

3.1.1 Statistisk beskrivning av livsl¨angd

Livsl¨angden beskrivs av den stokastiska variabeln T . Sannolikheten att en individ som lever vid ˚aldern t d¨or innan denne uppn˚att ˚aldern t + h, h > 0, beskrivs av sambandet

P({T ≤ t + h}|{T > t}) = µ(t) · h + o(h), (1)

d¨ar µ ¨ar d¨odsintensiteten och o(h)/h → 0 d˚a h → 0. Sannolikheten att avlida under en framtida tidsperiod ¨ar allts˚a proportionell mot produkten av d¨odsintensiteten och periodens l¨angd. Som vi kommer se senare ¨okar d¨odsintensiteten, och s˚aledes sannolikheten att avlida, ju ¨aldre en individ blir. Det ¨ar enkelt att visa, se [2], att T har f¨ordelningsfunktionen

FT(t), P({T ≤ t}) = 1 − exp  − Z t 0 µ(u) du  . (2)

Differentieras ekvation (2) erh˚alls sannolikhetst¨athetsfunktionen f¨or T , fT(t) = µ(t)e−

t

0µ(u) du. (3)

V¨antev¨ardet f¨or T kan best¨ammas enligt relationen E[T ] = Z ∞ 0 tfT(t) dt = Z ∞ 0 tµ(t)e− 0tµ(u) dudt. (4)

En storhet som kommer att spela en avg¨orande betydelse f¨or priss¨attningen av livsfallsf¨ors¨akringar ¨

ar sannolikheten att en individ som lever vid ˚aldern s ¨ar i liv vid ˚aldern t. Denna funktion betecknas med πs(t) och symboliserar allts˚a

I appendix B visas att πs(t) =    1, 0 ≤ t ≤ s e− _stµ(u) du_{, s < t.} (6)

I m˚anga situationer ¨ar vi intresserade av att veta den f¨orv¨antade livsl¨angden givet att individen har uppn˚att en viss ˚alder s. Denna storhet ges av uttrycket

E[T |{T > s}] = − Z ∞

s

tπ0

s(t) dt, (7)

vilket ocks˚a visas i appendix B.

3.1.2 D¨odlighetsantagandet

I v˚ar redog¨orelse kommer vi anta att d¨odsintensiteten ¨ar en strikt v¨axande funktion p˚a formen

µ(t) = αeβt, (8)

d¨ar α, β > 0 ¨ar konstanter och t ¨ar individens ˚alder. Detta ¨ar, som l¨asaren f¨orst˚ar, en approximation av verkligheten. En empiriskt h¨arledd funktion skulle anta h¨ogre v¨arden vid riktigt l˚aga ˚aldrar. Ett s¨att att kompensera f¨or detta, som ocks˚a tar h¨ansyn till att en individ kan vara d¨od vid f¨odseln, ¨

ar att placera en Dirac-funktion, se [1] s. 910, vid t = 0, d.v.s.

µ(t) = αeβt+ γδ(t), (9)

d¨ar γ > 0 ¨ar ytterligare en konstant. I praktiken tecknas s¨allan livsfallsf¨ors¨akringar i den h¨ar ˚aldergruppen och vi kommer d¨arf¨or att bortse fr˚an detta och anv¨anda en d¨odintensitet av den f¨orsta typen. Antagandena om parametrarna kan vara beroende p˚a k¨on, civilstatus, inkomst m.m. I denna studie kommer vi endast g¨ora ett antagande f¨or m¨an som en helhetsgrupp.

Anv¨ander vi d¨odsintensiteten i ekvation (8) blir sannolikheten att en individ av ˚aldern s lever vid ˚aldern t, enligt ekvation (6)

πs(t) =    1, 0 ≤ t ≤ s exp−α_β(eβt_{− e}βs₎_{, s < t.} (10) 3.1.3 Exempel

I figur 3 visas v¨antev¨ardet av livsl¨angden T f¨or en nyf¨odd individ, ber¨aknad enligt ekvation (4), som en funktion av parametrarna α och β. Som v¨antat avtar den f¨orv¨antade livsl¨angden d˚a d¨odligheten

¨

okar, d.v.s. d˚a α och β ¨okar. F¨or att illustrera n˚agra andra funktionsformer som har diskuterats antas att α = 1.54 × 10−5 _{och β = 0.103.}2 _{Figur 4 visar d¨odsintensitet µ som en funktion av}

˚aldern. Figur 5 ˚ask˚adligg¨or t¨athetsfunktionen f¨or T ber¨aknad enligt ekvation (3). Den streckade linjen i figuren indikerar f¨ordelningens v¨antev¨arde. I figur 6 illustras sannolikheten att en individ av ˚alder x ska leva ytterligare τ ˚ar. Detta ¨ar allts˚a funktionen πx(x + τ ).

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 x 10−5 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 α β 66 68 68 70 70 70 72 72 72 74 74 74 74 76 76 76 76 78 78 78 78 80 80 80 80 82 82 82 82 84 84 84 84 86 86 86 86 88 88 88 88 90 90 90 90 92 92 92 94 94 94 96 96 98 98 100 102

Figur 3: V¨antev¨ardet E[T ] som en funktion av parametrarna α och β.

2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Age x Death intensity µ

Figur 4: D¨odsintensiteten µ som en funktion av ˚aldern x.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 Age x P.d.f. of T , f T

3.2

Stokastiska kassafl¨

oden

Som n¨amnts i avsnitt 2 beskrivs ett livsfallskontrakt av ett kassafl¨ode. Kassafl¨odet beskriver stor-leken och tidpunkten f¨or in- och utbetalningar som skett eller som kommer att ske i framtiden. Ofta kommer vi att v¨alja att betrakta kassafl¨oden som kontinuerliga. Anledningen till denna kon-vention ¨ar att ber¨akningar f¨orenklas i stor utstr¨ackning och att det i f¨ors¨akringsmatematik ¨ar att betrakta som norm, se exempelvis [3].

Ett kassafl¨ode ¨ar stokastiskt om det f¨or n˚agon tidpunkt beror av ett os¨akert, stokastiskt utfall ω. Exempelvis ¨ar kassafl¨odet som inneb¨ar att en krona betalas ut om ett ˚ar, f¨orutsatt att du d˚a ¨

ar vid liv, stokastiskt. Utfallsrummet ¨ar i detta exempel Ω = {’D¨od’, ’Levande’} och utbetalning f¨oruts¨atter att utfallet ω = ’Levande’. Vi kommer att fokusera p˚a kassafl¨oden som ¨ar en funktion av en stokastisk variabel Y = Y (ω), ω ∈ Ω, p˚a formen ¯x(t, ω) = f (t, Y (ω)), d¨ar f ¨ar en deterministisk funktion3_.

Ett typiskt kassafl¨ode som upptr¨ader i livf¨ors¨akringssammanhang beror f¨orutom ˚aldern av en stokastisk livsl¨angd. Om vi l˚ater x vara ett deterministiskt kassafl¨ode kan vi skapa ett stokastiskt kassafl¨ode ¯x genom att l˚ata

¯

x(t, ω) = x(t)1{T (ω)>t}, (11)

d¨ar indikatorfunktionen ska uppfattas som 1{T (ω)>t}=    1, T (ω) > t 0, T (ω) ≤ t, (12)

d.v.s. som en funktion p˚a Ω. I forts¨attningen kommer utfallet ω utel¨amnas ur definitionen. Det diskonterade v¨ardet av beloppet ¯x(u)du vid ˚aldern t ges av

dVx¯

t (u) = e−(u−t)rt(u)x(u) du = e¯ −(u−t)rt(u)x(u)1{T >u}du, (13)

d¨ar vi nu till˚ater r¨antan rtatt vara stokastisk.4Summeras bidragen till nuv¨ardet fr˚an alla framtida

˚aldrar t f˚as Vtx¯= Z R+ dVtx¯(u) = Z R+

e−(u−t)rt(u)_x(u)1

{T >u}du. (14)

I m˚anga situationer ¨ar vi intresserade av v¨antev¨ardet av Vx¯

t givet att individen ¨ar i liv vid tiden

s, d.v.s. givet att T > s. I denna redog¨orelse kommer r¨antan r antas vara deterministisk. Enligt

3

En deterministisk funktion ¨ar per definition konstant p˚a hela utfallsrummet Ω.

4

appendix B best¨ams v¨antev¨ardet av E[Vt¯x|{T > s}] = Z R+ e−(u−t)rt(u)_π s(u)x(u) du. (15)

3.3

Olika kontraktstyper

Som vi s˚ag i avsnitt 2 ¨ar ett typiskt livsfallskontrakt ett kassafl¨ode p˚a formen ¯x(t) = x(t)1{T >t},

d¨ar x ¨ar ett deterministisk kassafl¨ode. Detta kassafl¨ode kan i sin tur delas upp i tv˚a delar: ˇx som g¨aller f¨or inbetalningsperioden och ˆx som g¨aller f¨or utbetalningsperioden. Om gr¨ansen f¨or perioderna betecknas z (ofta pensions˚aldern) g¨aller

x(t) = −ˇx(t)1[t0,z)(t) + ˆx(t)1[z,∞)(t), (16)

d¨ar t0 ¨ar ˚aldern vid kontraktets uppr¨attande.

3.3.1 L¨opande inbetalningar

Som vi tittade p˚a i avsnitt 2 kan inbetalningar g¨oras periodiskt fram till pensionering. Omvandlat till ett kontinuerligt problem skulle detta avtal motsvaras av kassafl¨odet ¯x(t) = x(t)1{T >t}, d¨ar

x(t) =    −p, t0≤ t < z q, t ≥ z. (17)

H¨ar ¨ar p premien som individen betalar till livbolaget per ˚ar fram till pensionering och q f¨or-s¨akringstagarens ˚arliga f¨orm˚an efter pensionering. D.v.s. ˇx(t) = p och ˆx(t) = q. Denna typ av kontrakt kommer att refereras till som typ 1.

3.3.2 Eng˚angsinbetalning

Den andra kontrakttypen, h¨adanefter kallad typ 2, inneb¨ar att en eng˚angspremie P betalas in vid kontraktets uppr¨attande, d˚a individen ¨ar t0˚ar. Den ˚arliga f¨orm˚anen q kommer sedan betalas

ut s˚a l¨ange individen ¨ar vid liv. Kontraktet beskrivs allts˚a av ˇx(t) = P δt0(t) och ˆx(t) = q.

5

5

3.3.3 Kontrakt med ˚aterbetalningsskydd

˚

Aterbetalningsskydd inneb¨ar att om individen avlider innan utbetalningsperioden inletts, d.v.s. T < z, ˚aterbetalas nuv¨ardet av den inbetalade premien. Ett kontrakt som f¨orsetts med ˚ ater-betalningsskydd eliminerar all risk fram till ˚aldern z. Oberoende om kontraktet ¨ar av typ 1 eller typ 2 kan kassafl¨odet x skrivas om p˚a den ekvivalenta formen

˜

x(t) = −F δz(t) + q1[z,∞)(t), t ≥ z, (18)

d¨ar F ¨ar det s.k. garantibeloppet. Vidare m˚aste inbetalningsstr¨ommen ˇx uppfylla relationen

F = Vzxˇ. (19)

Garantibeloppet ¨ar s˚aledes lika med den summa som ackumulerats under inbetalningsperioden och det belopp som kr¨avs f¨or t¨acka f¨orm˚anen.

3.4

Ekvivalensprincipen

Det teoretiska, aktuariella, priset f¨or en livsfallsf¨ors¨akring best¨ams enligt ekvivalensprincipen, se [6] s. 987. Denna princip inneb¨ar att kassafl¨odet ¯x ska konstrueras s˚a att v¨antev¨ardet av nuv¨ardet av detta vid kontraktets uppr¨attande ¨ar noll. Matematiskt inneb¨ar detta att

E[Vt¯x0|{T > t0}] = 0, (20)

g¨aller vid tiden t0, d¨ar t0 ¨ar ˚aldern p˚a den f¨ors¨akrade individen d˚a kontraktet best¨ams. F¨or de

kontrakt vi studerat p˚a formen ¯x(t) = x(t)1{T >t}g¨aller enligt ekvation (15) att x m˚aste uppfylla

Z

R+

e−(u−t0)rt(u)_π

t0(u)x(u) du = 0. (21)

Med x uppdelad p˚a ˇx och ˆx och med konstant r¨anta r erh˚alls − Z z t0 e−(u−t0)r_π t0(u)ˇx(u) du + Z ∞ z e−(u−t0)r_π t0(u)ˆx(u) du = 0. (22)

3.5

Priset

3.5.1 L¨opande inbetalningar

F¨or kontraktet av typ 1, d¨ar vi betraktar f¨orm˚ansdelen ˆx = q som fast, ska premien enligt ekvivalensprincipen (22), best¨ammas s˚a att premiedelen ˇx = p uppfyller

−p Z z t0 e−(u−t0)r_π t0(u) du + q Z ∞ z e−(u−t0)r_π t0(u) du = 0, (23)

vid tiden t0. Ur denna ekvation kan p enkelt l¨oses ut som

p = q R∞ z e−(u−t0)rπt0(u) du Rz t0e −(u−t0)rπ t0(u) du . (24) 3.5.2 Eng˚angsinbetalning

Enligt ekvivalensprincipen skall premien P f¨or ett kontrakt av typ 2 best¨ammas s˚a att P = q

Z ∞

z

e−(u−t0)r_π

t0(u) du. (25)

3.5.3 Kontrakt med ˚aterbetalningsskydd

F¨or detta kontrakt g¨aller ˇ˜x(t) = F δz(t) och ˆx(t) = q. Enligt ekvivalensprincipen m˚˜ aste vid tiden

z det g¨alla att −F + q Z ∞ z e−(u−z)rπz(u) du = 0, (26) d.v.s. F = q Z ∞ z

e−(u−z)rπz(u) du. (27)

Slutligen m˚aste nuv¨ardet av den ursprungliga inbetalningsstr¨ommen ˇx vid ˚aldern z vara lika med garantibeloppet,

Vzxˇ= F. (28)

Med konstant r¨anta kan detta skrivas om p˚a den ekvivalenta formen (se appendix A) Vtxˇ0= V

F δz

t0 , (29)

4

Empiriska studier

Vi har fr˚an tv˚a livbolag best¨allt offerter p˚a samma typ av f¨orm˚an med den skillnaden att det ena kontraktet kr¨aver eng˚angsinbetalning och det andra l¨opande m˚anatliga inbetalningar. Den aktuella f¨orm˚anen i kontraktet ¨ar en ers¨attning om 40 000 kr i m˚anaden livsvarigt (d.v.s. till det att personen avlider) fr˚an 65 ˚ars ˚alder. Samtliga kontrakt har ˚aterbetalningsskydd och de presumtiva f¨ors¨akringstagarna ¨ar tre m¨an i ˚aldrarna 35, 45 respektive 55 ˚ar. F¨or dessa bolag kommer vi att h¨arleda garantibelopp, r¨ante- och d¨odsantagande.

4.1

Livbolag A

F¨or livbolag A har vi beg¨art priset p˚a f¨ors¨akringen som en eng˚angsinbetalning vid kontraktets uppr¨attande. Vi antar att samma d¨odlighets- och r¨anteantagande g¨allt f¨or de tre individerna d˚a bolaget best¨amt premierna. Enligt resonemanget i avsnitt 3.4 kommer garantibeloppet F d˚a vara det samma f¨or individerna. Vidare antas att samma r¨anta har anv¨ands f¨or att ber¨akna premierna f¨or de tre kontrakten.

Individerna ¨ar ti˚ar gamla vid kontraktets uppr¨attande och den premie de enligt kontraktet ska

betala ¨ar Pi, dvs kassafl¨odet fram till pensioneringen beskrivs av

ˇ

xi(t) = −Piδti(t), ti< t < z, i = 1, 2, 3. (30)

Kontraktets f¨orm˚ansdel best¨ams av kassafl¨odet ˆ

xi(t) = q, z ≤ t, i = 1, 2, 3. (31)

Kontraktet ¨ar allts˚a av typ 2 med ˚aterbetalningsskydd.

4.1.1 H¨arledning av r¨anteantagande och garantibelopp

Nuv¨ardet d˚a inbetalning sker vid ˚aldern tiav garantibeloppet F ges av

VF δz_(t

i) = e−r(z−ti)F, (32)

d¨ar z ¨ar pensions˚aldern och tidpunkten f¨or utbetalningens inledning. Enligt ekvation (29) g¨aller att

eftersom Vxˇ

ti = Pi, i = 1, 2, 3. Logaritmeras uttrycket (32) erh˚alls den linj¨ara relationen

ln VF δz_(t

i) = ln F − (z − ti)r. (34)

F¨or att skatta F och r anv¨ands minsta kvadratmetoden som ger estimatet ˆF = 8 966 702 och ˆ

r = 2.0036%. I figur 7 ser vi skattningen av VF δz _{som en funktion av z − t. Notera att}

y-skalan ¨ar logaritmisk. Som framg˚ar av figuren ligger estimaten v¨aldigt n¨ara observationerna. I tabell 1 redovisas givna samt skattade premier f¨or samtliga individer. Notera att vi har anv¨ant konventionen ˆPi= ˆVF δz(ti) d¨ar ln ˆVF δz_(t i), ln ˆF − (z − ti)ˆr. (35) 0 5 10 15 20 25 30 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9 9.5

Time to retirement z − t [years]

Present Value

V

F

δ z [MSEK]

Figur 7: Det skattade nuv¨ardet ˆVF δz _{som en funktion av tiden till pension z − t tillsammans med}

observationer.

i ti Pi Pˆi Pˆi− Pi

1 35.40 4 955 659 4 955 617 -42 2 45.40 6 054 038 6 054 141 103 3 55.38 7 395 428 7 395 365 -63

Tabell 1: Givna Pi samt skattade ˆPi premier f¨or livbolag A.

ˆ

r, garantibeloppet ˆF samt v˚ar nuv¨ardeskalkyl ¨ar f¨orenlig med bolagets parameterantaganden och nuv¨ardesmodell.

4.1.2 H¨arledning av d¨odsantagande

N¨ar r¨antan och garantibeloppet ¨ar estimerat upptas unders¨okningen av d¨odlighetsantagandet. Enligt v˚ar prisbildningsmodell m˚aste relationen (27)

q Z ∞

z

e−(u−z)ˆrπz(u) du = ˆF , (36)

vara uppfylld. H¨ar ska πz, given av ekvation (6), tolkas som en funktion av α och β s˚av¨al som av

˚aldern. Vi l¨oser ekvationssystemet numeriskt i Matlab6_{f¨or α ∈ [1.3×10}−5_{, 1.8×10}−5_{]. L¨osningen}

β kommer s˚aledes att vara en funktion av α, d.v.s. β = β(α). L¨osningsm¨angden ˚ask˚adligg¨ors i figur 8 som en kraftig linje. De tunnare linjerna motsvarar f¨orv¨antad livsl¨angd givet att individen uppn˚att ˚aldern 65 ˚ar. Alla l¨osningar (α, β) i detta omr˚ade motsvarar en f¨orv¨antad livsl¨angd om ca 89.5 ˚ar. 1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 x 10−5 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 α β 76 76 76 78 78 78 80 80 80 82 82 82 84 84 84 86 86 86 88 88 88 90 90 90 92 92 92 94 94 94 96 96 96 98 98 98 100 100 100 102

Figur 8: L¨osningen (α, β) till ekvation (36).

6

I den fortsatta redog¨orelsen ska numeriska l¨osningar f¨oruts¨attas vara gjorda i Matlab om inte annat explicit framg˚ar.

4.2

Livbolag B

F¨or detta bolag har vi beg¨art priset p˚a f¨orm˚anen som ett l¨opande betalnings˚al¨aggande d¨ar en pre-mie betalas in varje m˚anad fr˚an och med kontraktets uppr¨attande till b¨orjan av utbetalningspe-rioden. ˚Aterigen antar vi att garantibeloppet F och r¨antan r ¨ar lika f¨or varje individ samt att d¨odligheten ¨ar den samma.

Individerna ¨ar ti˚ar gamla vid kontraktets uppr¨attande och den premie de enligt kontraktet ska

be-tala ¨ar pikronor per m˚anad. Eftersom vi anv¨ander en kontinuerlig kassafl¨odesmodell approximeras

inbetalningsdelen av kassafl¨odet med funktionen ˇ

xi(t) = 12pi, t < z, i = 1, 2, 3. (37)

Utbetalningsdelen av kontraktet ¨ar identisk med det som g¨allde f¨or livbolag A, d.v.s. ˆ

xi(t) = q, z ≤ t, i = 1, 2, 3. (38)

Kontraktet ¨ar allts˚a av typ 1 med ˚aterbetalningsskydd.

4.2.1 H¨arledning av r¨anteantagande och garantibelopp

Nuv¨ardet vid pensions˚aldern z av kassafl¨odet ˇxi(t)1[ti,z] best¨ams av ekvationen

Vˇxi1_[ti,z] z (r) = Z R e−r(u−z)_xˇ i(u)1[ti,z](u) du = Z z ti e−r(u−z)_12p idu = 12pi r h er(z−ti)_{− 1}i_{. (39)}

Detta belopp m˚aste enligt ekvation (28) vara lika med garantibeloppet F f¨or samtliga kontrakt. Plottas detta v¨arde upp som en funktion av r¨antan r uppt¨acker man dock att problemet saknar en exakt l¨osning, se figur 9. Vad detta beror p˚a ¨ar sv˚art att bed¨oma, och vi ¨amnar inte l¨agga ner n˚agon tid att analysera detta. V˚ar ambition blir ist¨allet att best¨amma den r¨anta r och det garantibelopp F som minimerar n˚agon l¨amplig felfunktion. Vi har valt att anv¨anda roten ur summan av de kvadratiska felen f¨or detta ¨andam˚al, eller formaliserat

 = v u u t 3 X i=1 |Vxi z (r) − F |2. (40)

Med hj¨alp av en numerisk ekvationsl¨osare erh¨olls v¨ardena ˆr = 1.7693% och ˆF = 8 038 945 kronor. L¨osningen ¨ar inritad i figur 9. I tabell 2 presenteras m˚anadspremien och nuv¨ardet av den givna inbetalningsstr¨ommen, h¨ar betecknad ˆPi, diskonterad till ˚aldern ti med r¨antan ˆr.

1.7 1.74 1.78 1.82 1.86 1.9 7.95 8 8.05 8.1 8.15 8.2 8.25x 10 6 ← (1.7693, 8038945) Interest Rate r [%] Forward Value V z x [SEK]

Figur 9: Nuv¨ardet vid pensions˚aldern Vxi

z som en funktion av r¨antan r f¨or de tre kontrakten.

i ti pi pˆi pˆi− pi Pˆi

1 35.40 17 258 17 221 -37 4 771 913

2 45.40 28 485 28 595 110 5 661 410

3 55.38 64 056 63 879 -177 6 799 553

Tabell 2: Givna pi samt skattade ˆpi m˚anadspremier f¨or livbolag B. Nuv¨ardet av de skattade

m˚anadspremierna betecknas ˆPi.

4.2.2 H¨arledning av d¨odsantagande

¨

Aven f¨or detta kontrakt m˚aste v˚ar priss¨attningsrelation (27) q

Z ∞

z

e−(u−z)ˆrπz(u) du = ˆF , (41)

vara uppfylld. H¨ar ska πz, given av ekvation (6), tolkas som en funktion av α och β s˚av¨al som

av ˚aldern. Vi l¨oser ekvationssystemet f¨or α ∈ [1.3 × 10−5_{, 1.8 × 10}−5_{] p˚a samma s¨att som f¨or}

livbolag A. L¨osningsm¨angden ˚ask˚adligg¨ors i figur 10 som en kraftig linje. De tunnare linjerna motsvarar f¨orv¨antad livsl¨angd givet att individen uppn˚att ˚aldern 65 ˚ar. Alla l¨osningar (α, β) i detta omr˚ade motsvarar en f¨orv¨antad livsl¨angd om ca 85.6 ˚ar.

1.3 1.35 1.4 1.45 1.5 1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 x 10−5 0.08 0.085 0.09 0.095 0.1 0.105 0.11 0.115 0.12 α β 76 76 76 78 78 78 80 80 80 82 82 82 84 84 84 86 86 86 88 88 88 90 90 90 92 92 92 94 94 94 96 96 96 98 98 98 100 100 100 102

Figur 10: L¨osningen (α, β) till ekvation (41).

5

R¨

attvis priss¨

attning

I det f¨oreg˚aende avsnittet anv¨andes priss¨attningsmodellen p˚a ett indirekt s¨att f¨or att h¨arleda parameterantaganden f¨or tv˚a livbolag. I detta avsnitt utnyttjas modellen p˚a ett mer direkt s¨att f¨or att best¨amma priset p˚a samma f¨orm˚an med ˚aterbetalningsskydd, som vi tidigare studerat, givet antaganden som vi upplever som korrekta. Vi anser att detta pris ska ber¨aknas med utg˚angspunkt fr˚an det d¨odlighetsantangande som SCB tillhandah˚aller.7 _{I detta s.k. ”r¨attvisa pris” ing˚ar inga}

avgifter ut¨over skatt. Vidare ska r¨anteantagandet vara f¨orenligt med marknadsobservationer.

5.1

D¨

odsantagande

SCB l¨amnar uppgifter om medellivsl¨angden f¨or en person som f¨ods idag och f¨or denna person givet att han lever vid 65 ˚ars ˚alder, se tabell 3. F¨or att vi ska kunna anv¨anda v˚ar modell beh¨over vi k¨anna till d¨odsintensiten. Vi antar att d¨odsintensiteten ¨ar p˚a samma form som i ekvation (8).

7

E[T ] 78.29 E[T |{T ≥ 65}] 82.25

Tabell 3: F¨orv¨antad livsl¨angd vid f¨odsel och vid ˚aldern 65 ˚ar. Parametrarna α och β i d¨odsintensiteten best¨ams genom att vi kr¨aver att

E[T ](α, β) = 78.29, (42)

samt

E[T |{T ≥ 65}](α, β) = 82.25. (43)

S¨atts ekvation (8) in i ekvation (4) erh˚alls ett uttryck f¨or E[T ] som enbart beror av α och β. D˚a h¨ogerledet ¨ar k¨ant, enligt ekvation (42), kan denna ekvation l¨osas numeriskt. P˚a samma s¨att kan, genom att utnyttja ekvation (8) tillsammans med ekvation (7), v¨ansterledet i ekvation (43) skrivas om som en funktion av α och β. F¨or alla α i intervallet [2×10−5_{, 3×10}−5_{] l¨oses ekvationerna f¨or β.}

L¨osningen β f¨or varje samband kommer vara en funktion av α, d.v.s. β = β(α). Vi s¨oker en l¨osning (α∗_{, β}∗_{) som uppfyller b˚ada ekvationerna simultant och ¨ar allts˚a en sk¨arningen (om den existerar)}

mellan l¨osningsm¨angderna. I figur 11 ¨ar de tv˚a l¨osningsm¨angderna utritade (’Unconditional’ syftar till den f¨orsta ekvationen och ’Conditional’ syftar till den andra). Genom att slutligen l¨osa detta icke-linj¨ara ekvationssystem erh˚alls l¨osningen α∗_{= 2.650 × 10}. −5_{och β}∗_{= 0.09753.}.

5.2

R¨

anteantagande

Som vi tidigare diskuterat s˚a anv¨ander bolagen en egen diskonteringsr¨anta f¨or att ber¨akna premier p˚a f¨ors¨akringskontrakt. I dessa r¨anteantaganden ligger antaganden om omkostnader, skatter och m¨ojlighet till avkastning p˚a kapitalet. En r¨attvis r¨anta i v˚ar mening ¨ar den r¨antan som g¨aller f¨or statsobligationer med l¨optid som motsvarar mot utbetalningen. I v˚art fall har vi flera utbetalningar ¨

over en tidsperiod. Nuv¨ardet av varje utbetalning diskonteras med den r¨anta som har motsvarande l¨optid. Den l¨angsta emitterade svenska statsobligationen har idag en l¨optid om 15 ˚ar och vi har ˚ataganden i kontrakten som ligger l˚angt utanf¨or denna period. Vi kan d¨arf¨or inte anv¨anda detta

tillv¨agag˚angss¨att.

En alternativ metod f¨or att ber¨akna en r¨attvis diskonteringsr¨anta skulle kunna vara den som Finansinspektionen (FI) anmodar livbolagen, pensionskassor och st¨orre stiftelser att anv¨anda. I FI:s tolkning av tj¨anstepensionsdirektivet, se [5], och av aktsamhetsprincipen, se [4], s˚a s¨ager FI

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 x 10−5 0.09 0.095 0.1 0.105 α β Unconditional Conditional

Figur 11: L¨osningen (α, β) till nuv¨ardet.

bland annat att livbolag skall anv¨anda ”den riskfria r¨antan som motsvarar ˚atagandets duration” eller ”den l¨angsta riskfria r¨anta, f¨or ˚ataganden med l¨angre duration ¨an den l¨angsta riskfria mark-nadsr¨antan”. Vi v¨aljer att anv¨anda FI:s andra alternativ och diskonterar allts˚a kassafl¨oden med r¨antan p˚a det 15 ˚ariga statspapper SO-1047, som per den 15 maj 2005 var 3.947%.8

En mer korrekt ben¨amning p˚a det vi tidigare kallat ’r¨anta’ ¨ar ’nettor¨anta’. Denna ¨ar definierad som bruttor¨antan, d.v.s. marknadsr¨antan rm, minus skatter och antagna omkostnader. Vi antar

f¨or ett r¨attvist pris att avgifterna ¨ar lika med noll. Skatten f¨or pensionsf¨orsk¨aringar ¨ar 15% multi-plicerat med den genomsnittliga statsl˚aner¨antan rslfr˚an f¨oreg˚aende ˚ar. Vi kommer att anta dagens

medelv¨arde p˚a statsl˚aner¨anta som ligger p˚a 3.56%.9_{. Vi f˚ar allts˚a}

r = rm− 0.15 × rsl= 3.947% − 0.15 × 3.56%= 3.413%.. (44)

8

Se www.rgk.se.

9

5.3

Pris

Vi anv¨ander nu modellen fr˚an avsnitt 3 och v˚ara ”faktiska” antaganden om d¨odlighet och diskon-teringsr¨anta f¨or att ber¨akna det ”r¨attvisa priset” f¨or de f¨orm˚aner vi studerat i avsnitt 4.

Givet den ˚arliga f¨orm˚anen q = 12 × 40 000, r¨anteantagandet och d¨odlighetsantagandet (α∗_{, β}∗₎

ber¨aknas garantibeloppet F enligt ekvation (28). Premien Πi, som g¨aller eng˚angsinbetalning med

˚aterbetalningsskydd kan sedermera best¨ammas ur ekvation (29). I tabell 4 presenteras de r¨attvisa priserna f¨or de tre f¨orm˚anerna. Garantibeloppet ¨ar som vanligt betecknat med F och Πi ¨ar den

r¨attvisa premien, d.v.s. garantibeloppet diskonterat med r¨antan.

i ti F Πi

1 35.40 5 922 806 2 156 664 2 45.40 5 922 806 3 033 941 3 55.38 5 922 806 4 265 160

Tabell 4: Resultatsammanst¨allning, garantibelopp F och eng˚angspremie Π.

6

Resultatsammanst¨

allning

I tabell 5 sammanst¨aller vi det priser som offererats fr˚an bolagen tillsammans med v˚ara ber¨aknade ”r¨attvisa priser”. F¨or samtliga individer g¨aller att livbolag B ¨ar billigare ¨an livbolag A. Det i ¨

ogonfallande ¨ar ¨and˚a skillnaden mellan det r¨attvisa priset och givet pris fr˚an bolagen. F¨or t.ex. individ 1 ¨ar priset som livbolag A offererar c:a 130% h¨ogre ¨an det ”r¨attvisa priset”.

Individ 1 2 3 ˚ Alder 35.40 45.40 55.38 Livbolag A 4 955 659 6 054 038 7 395 428 Livbolag B 4 771 913 5 661 410 6 799 553 R¨attvis ber¨akning 2 156 664 3 033 941 4 265 160 Tabell 5: Prissammanst¨allning.

I tabell 6 presenteras vissa nyckelv¨arden. H¨ar ser vi den huvudsakliga orsaken till skillnaderna i priset som ¨ar garantibeloppet F . B˚ada livbolagen har ett garantibelopp som ligger v¨asentligt h¨ogre ¨an det vi ber¨aknade med hj¨alp av SCB:s antaganden om d¨odlighet och Finansinspektionens direktiv betr¨affande diskonteringsr¨anta. Differensen i garantibeloppen bolagen emellan uppg˚ar till

n¨astan 1 msek. F¨orklaringen till detta ligger i parameterantagandena. Som framg˚ar i tabellen anv¨ander livbolag A en h¨ogre diskonteringsr¨anta ¨an bolag B. Allt annat lika, skulle detta in-neb¨ara ett l¨agre garantibelopp f¨or bolag A. Vidare framg˚ar ur tabellen att bolag A har ett l¨agre d¨odlighetsantagande ¨an bolag B och d¨armed lever deras f¨ors¨akringstagare l¨angre. Betr¨affande medellivsl¨angd inneb¨ar detta 4.2 ˚ar (= 87.0 − 82.8). J¨amf¨ort med FI:s direktiv ¨ar den diskonter-ingsr¨anta bolagen anv¨ander klart l¨agre. Exempelvis diskonterar bolag B kassafl¨oden med en r¨anta (1.7639%) som ¨ar n¨astan h¨alften s˚a stor (3.413%). Slutligen kan man notera att bolagens antagan-den om d¨odlighetsantaganantagan-den vida understiger SCB:s som visas p˚a raden ”R¨attvis ber¨akning”.

F r E[T ] E[T |{T ≥ 65}] Livbolag A 8 966 702 2.0036% 87.0 89.5 Livbolag B 8 038 945 1.7693% 82.8 85.6 R¨attvis ber¨akning 5 922 806 3.4130% 78.29 82.25 Tabell 6: Parametersammanst¨allning.

7

Slutsatser

Att de garantibelopp som h¨arletts f¨or bolag A, s˚av¨al som f¨or bolag B, var s˚a pass mycket h¨ogre ¨an v˚art ”r¨attvist” ber¨aknade belopp var synnerligen ov¨antat. Naturligtvis kan en del av skillnaden f¨orklaras av att bolagen har omkostnader f¨or administration och dylikt. Resterande del ¨ar mar-ginaler som bolagen tar ut f¨or att kompensera f¨or of¨orutsedda betalnings˚ataganden. Om storleken av dessa verkligen st˚ar i relation till risken f¨or de specifika bolagen ¨ar n˚agot vi g¨arna skulle se fortsatt forskning kring.

¨

An mer f¨orv˚anade ¨ar att det dessutom f¨oreligger en stor skillnad (11.5%) i garantibelopp bolagen emellan. Tv˚a anledningar till skillnaden har identifierats med hj¨alp av v˚ar modell. Den f¨orsta ¨ar d¨odlighetsantagandet d¨ar livbolag A f¨oruts¨atter att en f¨ors¨akringstagare lever betydligt l¨angre. Isolerat p˚averkar detta garantibeloppet upp˚at. Den andra anledningen ¨ar r¨anteantagandet, vilket f¨or livbolag B ¨ar l¨agre. Ett l˚agt r¨anteantagande har ocks˚a en positiv verkan p˚a garantibeloppet. D˚a garantibeloppet f¨or bolag A ¨ar h¨ogre, ¨ar det skillnaden i d¨odlighetsantagandet som f˚ar dominerade effekt.

Referenser

[1] R. A. Adams, Calculus: a compete course (Addision-Wesley Publishers Limited, 3rd ed., 1995). [2] G. Blom, Sannolikhetsteori med till¨ampningar (Studentlitteratur, Lund, 1998).

[3] K. H. Borch, Economics of insurance (North-Holland, New York, 1990).

[4] Finansinspektionen, Analytikertr¨aff om kommande f¨ors¨akringsregler (Finansinspektionen, Maj 2005).

[5] G. Lund, ‘Sou 2004:101 genomf¨orande av tj¨anstepensionssytemet’, Tech. Report (Finansde-partementet, Sep. 2004). www.regeringen.se/sb/d/361.

[6] J. L. Teugels and B. Sundt, Encyclopedia of actuarial science (Wiley, 19–).

A

Kassafl¨

oden

A.1

Kontinuerliga kassafl¨

oden

L˚at x(t) beskriva kassafl¨odet (i t.ex. kronor per ˚ar) vid tiden t ¨over ett tidsintervall I. Med denna konvention kommer x(t)dt vara storleken av transaktionen som sker under perioden [t, t + dt). V¨ardet av denna utbetalning vid tiden s ges av e−(t−s)rs(t)_{x(t)dt, d¨ar r}

s(t) antingen ¨ar

up-pr¨akningsr¨antan (t < s) eller diskonteringsr¨antan (s ≤ t). Summeras bidragen fr˚an alla tidpunkter i intervallet I erh˚alls v¨ardet av hela kassafl¨odet,

Vx(s), Z

I

e−rs(t)(t−s)_{x(t) dt. (1)}

I m˚anga situationer kommer vi anv¨anda notationen Vx

s f¨or att beteckna Vx(s). Notera att v¨ardet

¨

ar linj¨art i x, d.v.s. v¨ardet av α1x1+ α2x2, d¨ar x1, x2 ¨ar kassafl¨oden och α1, α2¨ar konstanter, ges

vid tiden s av

Vα1x1+α2x2_{(s) = α}

1Vx1(s) + α2Vx2(s). (2)

¨

Ar r¨antan r konstant kan v¨ardet enkelt translateras i tiden. V¨ardet av kassafl¨odet x vid tiden s + τ ges av

Vx_{(s + τ ) = e}rτ_Vx_{(s). (3)}

Denna relation visas enkelt genom att anv¨anda ekvation (1).

En utbetalning av en krona vid en isolerad tidpunkt t0 beskrivs av x(t) = δt0(t), d¨ar δ ¨ar Diracs

deltafunktion, se [1] s. 910. V¨ardet av denna transaktion vid tiden s ges enligt ekvation (1) av Vδ_{t0(s) =}Z

I

e−rs(t)(t−s)_δ

t0(t) dt = e

−rs(t0)(t0−s)_{. (4)}

Exempel. Om vi l˚ater r¨antan vara konstant kan vi best¨amma v¨ardet vid tiden s av kassafl¨odet som inneb¨ar att beloppet A betalas ut (kontinuerligt) ˚arligen10_{mellan tidpunkterna t}

1och t2, d¨ar

s ≤ t1< t2. Kassafl¨odet beskrivas av funktionen x(t) = A1[t1,t2](t), d¨ar

1B(t) =    1, t ∈ B 0, t /∈ B (5) ¨

ar indikatorfunktionen f¨or m¨angden B ⊂ R. Enligt ekvation (1) g¨aller Vx(s) = Z R e−r(t−s)x(t) dt = Z R e−r(t−s)A1[t1,t2](t) dt = A Z t2 t1 e−r(t−s)dt =A r h e−r(t1−s)_{− e}−r(t2−s)i₌ A r V δ_{t1(s) − V}δ_{t2(s) .} 10

A.2

Diskonteringsmetod

Betrakta ett kassafl¨ode som inneb¨ar att beloppet A betalas ut ˚arligen. ˚Aret delas in i k lika l˚anga perioder och i b¨orjan av varje s˚adan period betalas beloppet A/k ut. Kassafl¨odets varaktighet ¨ar m perioder och beskrivs av

˜ x(t) = m−1 X i=0 A kδi/k(t). (6)

Om nuv¨ardet vi tiden t = 0 ber¨aknas med konstant rak r¨anta ˜r 6= 0 blir detta ˜ Vx˜(0) = A k m−1 X i=0 ˜ Vδi/k_{(0) =} A k m−1 X i=0 1 (1 + ˜r/k)i = A k 1 − (1 + ˜r/k)−m 1 − (1 + ˜r/k)−1, (7)

d¨ar den f¨orsta likheten f¨oljer av ekvation (2). Om vi ist¨allet antar att konventionen ¨ar att r¨antan r 6= 0 ackumuleras kontinuerligt skulle nuv¨ardet av kassafl¨odet bli

Vx˜(0) = m−1 X i=0 A ke −ri/k₌ A k 1 − e−rm/k 1 − e−r/k . (8)

Ett villkor f¨or j¨amf¨orelse av diskonteringsmetoderna ¨ar att den effektiva ˚arsr¨antan ¨ar lika, d.v.s. att er _{= (1 + ˜r/k)}k _{eller, ekvivalent, att r = k ln(1 + ˜r/k). Ins¨atts denna relation i ekvation (8)}

erh˚alls

Vx˜(0) = A k

1 − (1 + ˜r/k)−m

1 − (1 + ˜r/k)−1, (9)

d.v.s. V˜x_{(0) = ˜V}x˜_{(0). Slutsatsen blir s˚aledes att diskonteringsmetoden saknar betydelse f¨or}

nuv¨ardesber¨akningen av denna typ av kassafl¨ode s˚a l¨ange den effektiva r¨antan ¨ar lika.

I den tidigare redog¨orelsen l¨at vi kassafl¨odet beskrivas av en (delvis) kontinuerlig funktion. An-ledningen till detta ¨ar att ber¨akningar f¨orenklas i m˚anga avseenden. Eftersom detta knappast sker i praktiken skulle en feluppskattning av approximationen vara ¨onskv¨ard. F¨or att ”replikera” det tidigare kassafl¨odet anv¨ander vi funktionen x(t) = A1[0,m/k](t). Nuv¨ardet vid tiden t = 0

diskonterat med kontinuerlig r¨anta blir Vx(0) = Z R e−rtA1[0,m/k](t) dt = Z m/k 0 e−rtA dt = A r(1 − e −rm/k_{). (10)} S¨atts r = k ln(1 + ˜r/k) in i ekvationen f˚as Vx(0) = A k ln(1 + ˜r/k)1 − (1 + ˜r/k) −m_{ . (11)}

Den relativa skillnaden mellan de tv˚a v¨ardena ¨ar Vx_{(0) − ˜V}x˜₍₀₎ ˜ V˜x₍₀₎ = 1 k ˜ r(1 + ˜r/k) ln(1 + ˜r/k) − 1. (12)

I detta l¨age ¨ar det intressant att notera att denna storhet endast beror av antalet perioder per ˚ar k och inte p˚a det totala antalet perioder m. Om ln(1 + ˜r/k) Maclaurin-utvecklas och s¨atts in i sambandet (12) erh˚alls efter viss f¨orenkling

Vx_{(0) − ˜V}x˜₍₀₎ ˜ V˜x₍₀₎ ≈ − 1 2 ˜ r k+ 5 12  ˜r k 2 − O((˜r k) 3_{), (13)}

d¨ar O ¨ar st¨orre eller lika med noll f¨or r/k ∈ [0, 1]. F¨or t.ex. k = 12, och ˜r = 2.4% blir felet mindre ¨

an 0.1%.

B

Vissa h¨

arledningar r¨

orande livsl¨

angd

B.1

H¨

arledning av uttrycket f¨

or π

Sannolikheten att en individ som lever vid ˚aldern s ¨ar i liv vid ˚aldern t ¨ar πs(t), P({T > t}|{T >

s}). Fr˚an Bayes sats, se [2], f¨oljer att πs(t) = P({T > t} ∩ {T > s})

P({T > s}) =

P({T > t ∨ s})

P({T > s}) , (14)

d¨ar a ∨ b ≡ max{a, b}. Uppenbarligen g¨aller att πs(t) = 1 f¨or t ∈ [0, s] och f¨or s < t g¨aller

πs(t) = 1 − FT(t)

1 − FT(s)

. (15)

Ins¨atts uttrycket f¨or FT, ekvation (2) fr˚an avsnitt 3.1, i uttrycket ovan erh˚alls

πs(t) =

e− ₀tµ(u) du

e− 0sµ(u) du

= e− stµ(u) du, s < t. (16)

Sammanfattningsvis har vi visat att πs(t) =    1, 0 ≤ t ≤ s e− _stµ(u) du_{, s < t,} (17)

och f¨or fullst¨andighetes skull redovisas ¨aven derivatan av πs

π0s(t) =    0, 0 ≤ t ≤ s −αeβt_exp₋α β(e βt_{− e}βs₎_{, s < t.} (18)

B.2

H¨

arledning av uttrycket f¨

or E[T |{T > s}]

I m˚anga situationer ¨ar vi intresserade av att veta den f¨orv¨antade livsl¨angden givet att individen har uppn˚att en viss ˚alder s. Vi studerar d¨arf¨or den betingade f¨ordelningsfunktionen

Differentieras denna ekvation med avseende p˚a t erh˚alls t¨athetsfunktionen

fT |{T >s}= −π0s(t). (20)

Det betingade v¨antev¨ardet p˚a livsl¨angden givet att en individ uppn˚att ˚aldern s ¨ar s˚aledes E[T |{T > s}] = Z ∞ 0 tfT |{T >s}dt = Z ∞ 0 t(−π0s(t)) dt = − Z ∞ s tπ0s(t) dt, (21)

d¨ar den sista likheten f¨oljer av definitionen av πs.

B.3

H¨

arledning av uttrycket f¨

or E[V

t

|{T > s}]

V¨antev¨ardet av Vx¯

t givet att individen ¨ar i liv vid tiden s, d.v.s. att T > s, ges av

E[Vt¯x|{T > s}] = E

" Z

R+

e−(u−t)rt(u)_x(u)1

{T >u}du | {T > s}

#

, (22)

och enligt Fubinis teorem, se [7] s.˜77 g¨aller att E[Vt¯x|{T > s}] =

Z

R+

Ehe−(u−t)rt(u)_x(u)1

{T >u}|{T > s}

i

du. (23)

Vidare kan r och T utan inskr¨ankning antas vara oberoende. V¨antev¨ardet blir d˚a (definitions-m¨assigt) separabelt och vi kan skriva

E[Vt¯x|{T > s}] =

Z

R+

E[e−(u−t)rt(u)_]E[1

{T >u}|{T > s}]x(u) du. (24)

Utnyttjas relationen E[1A] = P(A), A ⊂ Ω och definitionen av πsf˚as

E[Vt¯x|{T > s}] =

Z

R+

E[e−(u−t)rt(u)_{]P({T > u}|{T > s}]x(u) du}

= Z

R+

E[e−(u−t)rt(u)_]π