Lösningar Fysik 2 Heureka Kapitel 5

Lösningar Heureka 2

Kapitel 5 Magnetfält

Lösningar Fysik 2 Heureka Kapitel 5

5.1)

Utanför en magnet går flödeslinjerna från Nord till Sydändan. Jordens magnetfält försummas. Se figuren.

5.2)

Nålen kommer att peka från dig.

Skruvregeln ger riktningen hos de cirkulära flödeslinjerna. Se figuren. Genom punkter rakt till höger om ledaren går

flödeslinjerna vinkelrät in i pappret, alltså i tangentens riktning. Kompassnålens nordända kommer då att peka i den riktningen.

5.3) _{a) Kompassnålen pekar åt höger, den cirkulära}

flödeslinjen genom P är alltså riktad rakt åt höger och då måste strömmen gå inåt i figuren.

b) Se figuren. Det är en cirkel som går genom P, medurs, med centrum i P.

5.4)

Utan ström i ledaren skulle flödeslinjerna vara parallella och på lika avstånd från varandra. Med ström i tråden deformeras fältet så att linjerna är tätare till vänster om ledaren och glesare till höger. Fältet från ledaren måste alltså förstärka fältet på vänstra sidan. Där är flödeslinjerna uppåtriktade enligt

skruvregeln, det homogena fältet måste alltså vara uppåtriktad.

5.5)

En kort bit av ett varv kan vi betrakta som en del av en rak ledare i tangentens riktning. Enligt skruvregeln får vi flödeslinjernas riktning som i figur a) Inuti spolen är det samlade magnetiska flödet från alla varven riktad åt vänster som i figur b) Utanför spolen liknar fältet som en stavmagnet har. Spolens nordända är alltså den vänstra.

5.6)

a) När strömmen slås på förändras vågutslaget med: (438 − 435,8) = 2,2𝑔

Det betyder att magneten påverkas nedåt med en kraft som motsvarar tyngden av 2,2 gram, dvs. med:

0,0022 ∙ 9,82 ≈ 22 ∙ 10−3_{𝑁 = 22𝑚𝑁} b) Magneten påverkas nedåt och det betyder att kraften på ledaren är riktad uppåt. Högerhandsregeln ger strömriktningen mot oss.

De sökta krafterna bestämmer vi med högerhandsregeln. Se figuren. I figur 6 är ledaren parallell med flödeslinjerna och ingen kraft uppkommer.

5.8)

Vi vet att:

𝐹 = 𝐼 ∙ 𝑙 ∙ 𝐵⊥ = 20 ∙ 0,3 ∙ 0,5 = 3𝑁 𝑖𝑛 𝑖 𝑝𝑎𝑝𝑝𝑒𝑟𝑒𝑡

b) Den projektionen av ledaren ST som är vinkelrät mot fältet har längden:

𝑙 = 0,3 ∙ cos 45(𝑚)

𝐹 = 0,3 ∙ 𝑐𝑜𝑠45(𝑚) ∙ 20 ∙ 0,5 ≈ 2,1𝑁

Ett annat sätt är att vi räknar ut fältets komposant som är vinkelrät mot ledaren: 𝐵 = 0,5 ∙ 𝑐𝑜𝑠45 (𝑇)

5.9) Krafterna försöker vrida tillbaka bygeln till utgångsläget.

5.10)

a) Den magnetiska flödestätheten inuti spolen

betraktas som homogen och riktad längs spolens axel. Bara delen l påverkas av en kraft som måste vara nedåtriktad och vara lika stor som tyngden av vikten R. Momentarmarna är lika långa och vi har jämvikt. Med hjälp av högerhandsregeln ser vi att kraften på l verkligen är nedåtriktad.

b) Enligt a) har vi:

𝑚𝑔 = 𝐵⊥∙ 𝐼 ∙ 𝑙 ↔ 20 ∙ 10−6∙ 9,82 = 𝐵⊥∙ 2 ∙ 0,03 → 𝐵⊥ =20 ∙ 10

−6_{∙ 9,82}

2 ∙ 0,03 ≈ 3,3 ∙ 10−3𝑇

c) Eftersom flödestätheten är proportionell mot strömmen, om strömmen halveras, halveras

flödestätheten.

d) Antingen placeras vikten på halva avståndet från E eller vi ökar strömmen genom vågen till

4A

5.11) Det är det homogena fältet som ger kraften. 5.12)

Vi tillämpar skruvregeln på fyrkantens alla sidor. I fall 1) samverkar uppåtriktade krafter från alla fyra sidorna till flödestätheten i P. I fall 2) blir bidraget noll från vänstra sidan och nedåtriktade, lika stora krafter som i fall 1) från de övriga tre. I båda fallen är strömmen i ledarna fram, respektive bort från öglan detsamma. Dess bidrag till flödestätheten i P kan alltså inte påverka slutsatsen.

Varje ruta motsvarar 0,15𝑚𝑇

3 = 0,05𝑚𝑇. Avståndet till punkten M är lika långt som till L, från den strömförande ledaren. Vi betecknar det med a.

𝐵 = 𝑘 ∙_𝑎𝐼

Det betyder alltså att flödestätheten B i M är 0,15mT.

Avståndet till N är tre gånger så långt och flödestätheten blir då: 0,15

3 = 0,05𝑚𝑇.

Skruvregeln ger riktningen uppåt i både M och N. Se figuren. M:0,15mT uppåt

N: 0,05mT uppåt

fig1

b) I L, M och N får vi flödestätheterna på motsvarande sätt, men enbart från den högra ledaren. Vi får krafterna genom vektoraddition i figur 1) och 2)

L: 0,2mT, nedåt M: 0

fig 2

c) Vi får krafterna genom vektoraddition i figur 2) och figur 3)

fig 3 L: 0,1mT nedåt

M: 0,3mT uppåt N: 0,1mT nedåt

5.14)

Vi betecknar en rutlängd med l. Vi använder sambandet för flödestäthet och får:

𝐵 = 𝑘 ∙_{𝑎 → 𝐵}𝐼 𝑃 = 𝑘 ∙10_{2𝑙 = 100𝜇𝑇(𝑢𝑝𝑝 𝑢𝑟 𝑝𝑎𝑝𝑝𝑟𝑒𝑡)} I punkten Q får vi:

𝐵𝑄 = 𝑘 ∙10_{𝑙 , 𝑑𝑣𝑠 𝑑𝑢𝑏𝑏𝑒𝑙𝑡 𝑠å 𝑚𝑦𝑐𝑘𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑚 𝐵}𝑃, 𝑚𝑒𝑛 𝑚𝑒𝑑 𝑟𝑖𝑘𝑡𝑛𝑖𝑛𝑔𝑒𝑛 𝑛𝑒𝑑å𝑡. Svar: 200𝜇𝑇

𝐵𝑃1 = 𝑘 ∙10_{2𝑙 = 𝑘 ∙}5_{𝑙 = 100𝜇𝑇 𝑢𝑝𝑝 𝑢𝑟 𝑝𝑎𝑝𝑝𝑟𝑒𝑡} 2)

𝐵𝑃2 = 𝑘 ∙5_{𝑙 = 100𝜇𝑇 𝑖𝑛 𝑖 𝑝𝑎𝑝𝑝𝑟𝑒𝑡} Vektoraddition ger 100𝜇𝑇 − 100𝜇𝑇 = 0 För punkten Q har vi:

𝐵𝑄1 = 𝑘 ∙10_{𝑙 𝑖𝑛 𝑖 𝑝𝑎𝑝𝑝𝑟𝑒𝑡; 𝐵}𝑄2 = 𝑘 ∙5_{𝑙 𝑢𝑡 𝑢𝑟 𝑝𝑎𝑝𝑝𝑟𝑒𝑡;} 200𝜇𝑇 − 100𝜇𝑇 = 100𝜇𝑇 𝑖𝑛 𝑖 𝑝𝑎𝑝𝑝𝑟𝑒𝑡

5.15)

a) Kompassen är 3meter under ledaren. Vi använder formeln för flödestäthet:

𝐵 = 𝑘 ∙_{𝑎 → 𝐼 =}𝐼 𝐵 ∙ 𝑎_{𝑘 =}2 ∙ 10_{2 ∙ 10}−6₋₇∙ 3= 300𝐴

b) Om nålen avviker till vänster betyder att de cirkulära flödeslinjerna går medurs runt

ledaren för någon som tittar norrut. Det betyder att strömmen måste gå norrut.

c) Nålen hinner inte med att svänga 100gånger varje sekund, alltså den kommer att peka

norrut.

5.16)

a) Se figuren. Ni ser att 𝐿₁utsätts för magnetfältet från strömmen genom L2. Dess storlek får vi ur kraften per meter på 𝐿₁

𝐹 = 𝐼𝑙𝐵𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑟ä𝑡 𝑔𝑒𝑟 𝑎𝑡𝑡 0,12 = 200 ∙ 1 ∙ 𝐵𝐿2 Alltså

b) Sambandet 𝐵𝐿2 = 2 ∙ 10−7∙𝐼_{𝑎 med siffror: 0,6 ∙ 10}𝐿2 −3 =2 ∙ 10 −7_{∙ 300} 𝑎 ger att 𝑎 =2 ∙ 10_{0,6 ∙ 10}−7∙ 300₋₃ = 0,1𝑚

c) Kraften på L2 är lika stor som kraften på 𝐿1men har motsatt riktning

(Tänk på kraft och reaktionskraft) Svar: 0,12 N.

5.17)

a)Se figuren. Båda bidragen till flödestätheten i mittpunkten M är riktade åt samma håll.

De är också lika stora (-40μT) eftersom såväl ström I som avstånd a överensstämmer. Vi har då att

𝐵 = 𝑘 ∙_{𝑎 ≫ 𝐼 =}𝐼 𝐵 ∙ 𝑎_{𝑘 =}4 ∙ 10_{2 ∙ 10}−6∙ 0,05₋₇ = 10𝐴

b)Där den vänstra ledaren befinner sig är flödestätheten från strömmen i den högra 20 μT

eftersom avståndet a är dubbelt så stort som i beräkningen ovan. Sambandet 𝐹 = 𝐼𝑙𝐵_{𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙} ger F=10·l·20·10−6 = 0,2mN (åt vänster).

Alternativ 1)

Se figuren. Vi beräknar först storleken hos flödestätheterna 𝐵_𝐿1 och 𝐵_𝐿3 från strömmarna i 𝐿1 respektive 𝐿3.

Resultanten B är då 0,12 ∙ √2 mT riktad åt "nordost". Vi vet också att 𝐹 = 𝐼𝑙𝐵_⊥ som ger

F= 600 ·1·0,12·√2 ·10−3 = 0,10 N åt sydost enligt högerhands regeln Alternativ 2)

Vi beräknar krafterna från 𝐿₁ respektive 𝐿₃ var för sig och sätter sedan samman till en resultant:

Högerhandsregeln visar att FL1 är riktad åt höger och FL3 nedåt. Resultanten blir 0,072 ·√2 = 0,1𝑁 5.19) Vi tillämpar sambandet 𝐵 = 𝜇0∙𝑁 ∙ 𝐼_{𝑙 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 10}−7∙800 ∙ 0,1_1,2 = 8,37 ∙ 10−5𝑇 = 0,84𝜇𝑇 5.20) Återigen använder vi 𝐵 = 𝜇0∙𝑁 ∙ 𝐼_{𝑙 som ger𝐼 =𝑁 ∙ 𝜇}𝐵 ∙ 𝑙 0

Ohms lag ger att U=R·I Alltså 𝑈 = 𝑅 ∙ 𝐼 =𝑅 ∙ 𝐵 ∙ 𝑙_{𝑁 ∙ 𝜇} 0 = 8 ∙ 5,2 ∙ 10−3_{∙ 0,2} 600 ∙ 4𝜋 ∙ 10−7 = 11𝑉 5.21)

Ett lindningsvarv får längden 2𝜋 ∙ 0,01𝑚, 6,3 m tråd räcker till 𝑁 =_{2𝜋 ∙ 0,01 = 100𝑣𝑎𝑟𝑣}6,3

Då är

𝐵 = 𝜇0∙𝑁 ∙ 𝐼_{𝑙 = 4𝜋 ∙ 10}−7∙100 ∙ 2_{0,3 = 8,4 ∙ 10}−4 𝑇 = 0,84𝑚𝑇

5.22)

Elektronstrålen som kommer mot oss kan ses som en ström i motsatt riktning.

a) Den nedåtriktade flödestätheten ger med högerhandsregeln en kraft åt vänster. b) Den högerriktade flödestätheten ger med högerhandsregeln en kraft nedåt i figuren.

a) Elektronerna måste påverkas av en avböjande kraft (centripetalkraft). Vid mitten av den

krökta banan är den riktad åt "sydost". Enligt högerhandsregeln kräver detta att strömmen går från P mot R. Men eftersom elektroner har negativ laddning, är deras rörelseriktning den motsatta, alltså från R mot P.

b) Kraften är vinkelrät mot hastigheten och accelerationen är en centripetalacceleration. Hastigheten ändrar bara riktning.

5.24)

Den cirkulära delen av banan kräver en centripetalkraft av den magnetiska kraften på protonerna

𝐹𝐶 = 𝑚 ∙𝑣 2 𝑟

Enligt högerhandsregeln måste då flödestätheten B vara riktad vinkelrätt in i papperet. Vi får

𝑒𝑣𝐵 = 𝑚 ∙𝑣_{𝑟 ≫ 𝐵 =}2 𝑚𝑣_{𝑒𝑟 , 𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟 𝑓ö𝑟𝑒𝑛𝑘𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑚𝑒𝑑 𝑣}

5.25)

Den magnetiska kraften utgör den nödvändiga centripetalkraften, alltså: 𝑞𝑣𝐵 = 𝑚 ∙𝑣_𝑟2

a) Dividera med v och multiplicera med r och vi får:

𝑝 = 𝑚𝑣 = 𝑞 ∙ 𝐵 ∙ 𝑟

b) Omloppstiden är

𝑇 = 2𝜋𝑟_𝑣 Löser ut 𝑟

𝑣 från 𝑚𝑣 = 𝑞𝐵𝑟 (formeln ovan) och sätter in i uttrycket för T. 𝑟 𝑣 = 𝑚 𝑞𝐵 𝑜𝑐ℎ 𝑓å𝑟 𝑇 = 2𝜋𝑚 𝑞𝐵 5.26)

a) Vid samma ström måste lika många ledningselektroner passera genom varje tvärsnitt av

plattan. Lägre elektrontäthet kräver då högre fart. Svaret är 𝑃₂

b) Ja, den större farten hos laddningsbärarna innebär större Hall-spänning. 5.27)

a) Protonstrålen kan ses som en ström i protonernas rörelseriktning. Högerhands regeln ger en

uppåtriktad magnetisk kraft på protonerna. Den kraften måste motverkas av en lika stor elektrisk kraft som är nedåtriktad. Det elektriska fältet är då nedåtriktat (en proton har en positiv elementarladdning e).

b)De skulle böjas av uppåt av den magnetiska kraften.

c) Sambandet = 𝑒 ∙ 𝑣 ∙ 𝐵_{𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙} ger 𝐹 = 0,16 ∙ 10−18∙ 2 ∙ 0,12 = 3,84 ∙ 10−14𝑁

d) Den elektriska kraften på en elementar laddning ska vara lika stor som den magnetiska.

Vi får:

38,4 ∙ 10−15 _{= 𝐸 ∙ 0,16 ∙ 10}−18_{, 𝑒𝑙𝑙𝑒𝑟 𝐸 =}38,4 ∙ 10−15

0,16 ∙ 10−18 = 0,24 ∙ 106𝑁/𝐶 = 0,24𝑀𝑁/𝐶

e) I ett visst ögonblick finns N protoner på sträckan l mellan 𝑆₁och 𝑆₂ På tiden t = l/v har alla hunnit passera S2. Strömmen I är den totala laddning per sekund som passerar vid till exempel 𝑆₂

𝐼 = _{𝑡 = 𝑙} = _0,07 = 1,828 ∙ 10 𝐴 = 1,8𝜇𝐴

f)

𝐹 = 𝐼𝑙𝐵𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙 = 1,828 ∙ 10−6∙ 0,07 ∙ 0,12 = 1,53 ∙ 10−8𝑁 = 15𝑛𝑁

5.28)

a) Beteckna jonernas laddning med Q. Att jonerna inte

avlänkas betyder att den elektriska kraften är lika stor som den magnetiska men motsatt riktad, alltså QvB = QE 𝑣 =𝐸_{𝐵 =}14 ∙ 10_{0,25 = 56 ∙ 10}3 3 _{𝑚/𝑠 = 56𝑘𝑚/𝑠}

b) Den magnetiska kraften utgör den centripetalkraften

som är nödvändigt. Vi vet också att 𝑟 = 11,14 ∙ 10₂ −2 = 0,0557𝑚 vi får då:

𝑒𝑣𝐵 = 𝑚 ∙𝑣_{𝑟 ≫ 𝑚 =}2 𝑒𝐵𝑟_{𝑣 =}0,16 ∙ 10−18_{56 ∙ 10}∙ 0,25 ∙ 0,0557₃ ≈ 4 ∙ 10−26_𝑘𝑔

c) Beteckna de två banradierna med 𝑟₁och 𝑟₂ Det sökta avståndet är skillnaden mellan banornas diametrar 2𝑟₂− 2𝑟₁ Sambandet = 𝑚𝑣2

𝑟 ger för banradien 𝑟 = 𝑚𝑣_𝑒𝐵

2𝑟2− 2𝑟1 = 2 ∙𝑚_{𝑒𝐵 − 2 ∙}2∙ 𝑣 𝑚_{𝑒𝐵 =}1∙ 𝑣 _𝑒𝐵2𝑣(𝑚2− 𝑚2) Vi förutsätter att de jämförda jonerna har lika stora laddningar av samma tecken

Som framgår av resultatet i a) är det enbart de korsade fältens inbördes styrka som avgör

5.29

a) Centripetalkraften på protonen p är riktad åt vänster.

Strömriktningen är protonens rörelseriktning. Högerhandsregeln ger magnetfältsriktning inåt.

b) Vi set att p har den minst krökta banan, dvs den med störst radie.

𝑚 ∙ 𝑣2

𝑟 = 𝑄𝑣𝐵 ↔ 𝑚𝑣 = 𝐵𝑄𝑟 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 ∙ 𝑟

Eftersom p har störst radie har den störst rörelsemängd.

c) När elektronerna joniserar vätet förlorar de energi, farten minskar

och banradien likaså.

5.30)

Den cirkulära banans radie ändras från 30 mm/2 = 15 mm till 18 mm/2 = 9 mm. 𝑚𝑣2 𝑟 = 𝑞𝑣𝐵 ≫ 𝑚𝑣 = 𝑞𝐵𝑟 𝐸𝐾 =𝑚𝑣 2 2 =(𝑚𝑣)2∙ 1 2𝑚 = (𝑞𝐵𝑟)2 2𝑚 = 𝑞2_{∙ 𝐵}2 2𝑚 ∙ 𝑟2 = 𝑘 ∙ 𝑟2 𝑑ä𝑟 𝑘 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 𝐸𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟 𝐸𝑓ö𝑟𝑒 = 𝑟𝑒𝑓𝑡𝑒𝑟2 𝑟_{𝑓ö𝑟𝑒}2 = 92 152 = 0,36 Svaret blir då: 1-0,36=0,64, dvs 64% 5.31)

Med högerhandsregeln bestämmer vi strömriktningen utåt från papprets plan. Strömmen går utåt alltså elektronerna åker inåt in i papprets plan.

b) Se uppgiften 5.28 a)

𝑣 =𝐸_{𝐵 =0,5 ∙ 10}100 ∙ 10₋₃2 = 2 ∙ 107 _𝑚/𝑠

5.32)

a) Se figuren ovan där jordmagnetiska flödestätheten representerats med en vektor. Det

framgår att den är vinkelrät mot ledningen. Sambandet = 𝐼𝑙𝐵_{𝑣𝑖𝑛𝑘𝑒𝑙𝑟ä𝑡} ger 𝐹 = 103_{∙ 50 ∙ 50 ∙ 10}−6_{= 2,5𝑁}

5.33)

a) Den sökta flödestätheten kallar vi B. Vi får:

𝑡𝑎𝑛27° ₌ 𝐵 15 ∙ 10−6

𝐵 = 15 ∙ 10−6_{∙ 𝑡𝑎𝑛27 = 7,6 ∙ 10}−6_{𝑇 = 7,6𝜇𝑇}

Kompassnålen riktar in sig efter resultanten till de två flödestätheterna.

b) Den nya ostliga flödestätheten är nu 2 ∙ 7,6 ∙ 10−6 𝑇 = 15,2 𝜇𝑇. Vi får då att: 𝑡𝑎𝑛𝛼 =15,2 ∙ 10_{15 ∙ 10−6}−6, 𝑠𝑜𝑚 𝑔𝑒𝑟 𝛼 = 46°