NATUR–MILJÖ-SAMHÄLLE
Examensarbete i fördjupningsämnet
Matematik och lärande
15 högskolepoäng, avancerad nivå
Undervisning genom problemlösning
Hur normer och interaktion påverkar utmaningsmöjligheterna
för en elev med fallenhet för matematik i årskurs 1
Teaching through problem solving
How norms and interaction affect the challenges for a first grade
mathematically talented student
Frida Nensén
Grundlärarexamen, 240 hp Handledare: Ange handledare
Slutseminarium 2018-03-19
Examinator: Annica Andersson Handledare: Christina Svensson
Förord
Följande fallstudie är ett examensarbete utfört våren 2018 på Malmö universitet inom grundlärarutbildningen med inriktning mot förskoleklass och årskurs 1-3. Examensarbetet skrivs inom fördjupningsämnet matematik och lärarande.
Mitt intresse för en undervisning genom problemlösning skapades när jag i lärarutbildningens andra matematikkurs läste kurslitteraturen Elefanten i klassrummet: - att hjälpa elever till ett lustfyllt lärande i matematik av Jo Boaler. I samma kurs uppmärksammades jag om att forskning och kunskap om hur undervisningen ska möta matematiskt begåvade elever var relativt begränsad. Därmed började mina funderingar över hur en undervisning genom problemlösning möjligen skulle fungera för att möta matematiskt begåvade elever i ordinarie undervisning. Under mitt första självständiga arbete fick jag möjlighet att göra en litteraturöversikt inom området och föreliggande studie bygger vidare inom forskningsområdet.
Jag vill rikta ett stort tack till min handledare Christina Svensson. Jag vill tacka särskilt för handledningsträffar vilka innehållit rika diskussioner som i sin tur väglett mig framåt i arbetet. Jag vill även tacka den medverkande läraren som möjliggjort genomförandet av studien.
Sammanfattning
Med bakgrund i de svårigheter som finns i att skapa en undervisning som utmanar de elever som är i behov av extra utmaning i matematikundervisningen syftar föreliggande fallstudie till att skapa förståelse för hur en undervisning genom problemlösning kan utmana elever med fallenhet för matematik i årskurs 1. Fallstudien prövar Wood, Wiliams och McNeal (2006) antaganden om att interaktionen påverkar elevernas matematiska tänkande, med ett ramverk av Cobb och Yackel (1996) som analysverktyg. Fallstudien undersöker därmed hur normer kommer till utryck i interaktionen och hur interaktionen i sin tur påverkar utmaningsmöjligheterna genom högre tänkande för en elev med fallenhet för matematik. Datainsamling sker genom film och ljudinspelningar i en spetsgruppsundervisning och i en ordinarie matematikundervisning samt genom intervjuer med undervisande lärare och utvald elev. Resultatet visar att trots samma lärare med sin syn på den allmänna matematiska aktiviteten kan både lärarens sätt att organisera diskussioner och interagera i klassrummet utveckla olika sociomatematiska normer som i sin tur ger olika möjligheter för högre tänkande. Resultatet stödjer Wood et al. (2006) argument om att fler möjligheter för högre tänkande skapas om eleverna får diskutera hur de tänker samt argumentera för varför.
Nyckelord: Elever med fallenhet för matematik, högre tänkande, interaktion, matematisk begåvning, normer, ordinarie matematikundervisning, spetsgruppsundervisning, undervisning genom problemlösning, utmanande undervisning
Innehåll
Förord ... 3!
Sammanfattning ... 4!
Innehåll ... 5!
1. Inledning ... 7!
2. Syfte och frågeställningar ... 9!
3. Teori ... 10!
3.1 Teoretiskt perspektiv!...!10!
3.1.1 Socialkonstruktivismens utveckling!...!10!
3.1.2 Cobb och Yackels ramverk!...!11!
3.1.3 Sociomatematiska normer och lärande!...!12!
3.2 Högre tänkande kopplat till klassrumskulturer!...!13!
3.3 Tillämpning!...!14!
4. Tidigare forskning ... 15!
4.1 Matematisk begåvning!...!15!
4.2 Undervisning genom problemlösning!...!16!
4.2.1 Problemlösning i grupp!...!16!
4.2.2 Rätt stöd och frågor!...!17!
4.2.3 Helklassdiskussioner!...!18!
4.4 Problemlösning för alla!...!19!
4.3 Spetsgrupp eller ordinarie undervisning?!...!20!
5. Metod ... 21!
5.1 Definition och utformning!...!21!
5.1.1 Val av skola och lärare!...!21!
5.1.2 Val av elev!...!22!
5.1.3 Val av problem!...!22!
5.2 Datainsamling!...!22!
5.2.1 Observationer!...!22!
5.2.2 Intervju med lärare!...!23!
5.2.3 Intervju med elev!...!23!
5.3 Reliabilitet och validitet!...!24!
5.4 Analysförfarande!...!24!
5.5 Forskningsetiska överväganden!...!25!
6. Resultat och Analys ... 27!
6.2 Spetsgrupp!...!27! 6.2.1 Problemet!...!28! 6.2.2 Hur vi tänker!...!28! 6.2.3 Alla ska förstå!...!30! 6.2.4 Utmaning för Erik!...!31! 6.3 Ordinarie matematikundervisning!...!32! 6.3.1 Problemet!...!32! 6.3.2 Hur vi tänker!...!33! 6.3.3 Alla ska förstå!...!33! 6.3.4 Utmaning för Erik!...!34! 7. Diskussion ... 36! 7.1 Slutsatser!...!36! 7.2 Resultatdiskussion!...!37! 7.3 Metoddiskussion!...!38!
7.4 Betydelse, konsekvenser och generaliserbarhet!...!39!
Referenser ... 41! Bilaga 1 ... 45! Bilaga 2 ... 46! Bilaga 3 ... 47! Bilaga 4 ... 48! Bilaga 5 ... 49!
1. Inledning
Den här fallstudien tar avstamp i den problematik som finns kring hur lärare ska kunna utmana de elever som behöver extra utmaning i matematik. Dessa elever kan vara högpresterande eller särskilt begåvade. Särskilt begåvade elever är inte alltid högpresterande. De kan snarare underprestera vid brist på bland annat utmaningar (Skolverket, 2015). Denna fallstudie fokuserar främst på hur undervisningen kan möta matematiskt begåvade elever. Det är dock rent praktiskt svårt att identifiera dessa elever (Mellroth et al., 2016), därför kommer benämningen elever med fallenhet för matematik användas.
Pettersson (2011) visar att den vanligaste nivåanpassningen för elever med fallenhet för matematik är arbeta vidare i matematikboken, en svårare matematikbok eller räkna fler liknande eller ibland svårare uppgifter inom det pågående arbetsområdet. Det är med andra ord mycket enskilt arbete (Pettersson & Wistedt, 2013), vilket även Boesen, Helenius, Bergqvist, Bergqvist, Lithner, Palm och Palmberg (2014) bekräftar är en stor del av den svenska matematikundervisningen. Petterson (2011) poängterar dock att det är svårt för lärare att upptäcka och utveckla elevernas matematiska förmågor med enskilt arbete. Enligt Pettersson (ibid.) finns det skolor som arbetar framgångsrikt med problemlösning, undersökande aktiviteter och matematiska diskussioner som i sin tur ger större möjlighet att utveckla elevernas matematiska förmågor.
Flera studier (Dimitriadis, 2012; Pettersson, 2011; Szabo, 2017) visar att undervisning i spetsgrupp varit framgångsrikt för elever med fallenhet för matematik. En spetsgruppsundervisning är en nivågrupperad undervisning för de elever som behöver extra utmaning inom matematik. Hur den ordinarie undervisningen ska tillgodose behoven hos elever med fallenhet för matematik är fortfarande, enligt Dimitriadis (2016), ett olöst problem. Detta speglas också i skolinspektionens granskning (Skolinspektionen, 2014) som visar att det är svårt att organisera undervisningen så att den möter varje elevs nivå. Enligt en enkätundersökning i Pettersson (2011) kan vara så lite som fem procent av Sveriges kommuner som ger något stöd till yngre elever med fallenhet för matematik. I skollagen framhävs dock följande:
Alla barn och elever ska ges den ledning och stimulans som de behöver i sitt lärande och sin personliga utveckling för att de utifrån sina egna förutsättningar ska kunna utvecklas så långt som möjligt enligt utbildningens mål (SFS 2010:800 3 kap, 3 §).
Enligt Boesen et al. (2014) har en undervisning genom problemlösning stor potential att utveckla elevernas matematiska förmågor, eftersom eleverna har möjlighet att använda de förmågor vilka ska utvecklas enligt den svenska läroplanen under större delen av lektionen. Dessa förmågor är problemlösnings-, begrepps-, procedurs-, resonemangs- och kommunikationsförmågan (Skolverket, 2016). I denna typ av undervisning introduceras ny matematik genom problemlösningen. Den nya matematiken belyses framförallt i en avslutande diskussion kring elevernas lösningar (Taflin, 2007).
Komplexa problemlösningsuppgifter har också visat sig vara ett bra sätt för att kunna utmana elever med fallenhet för matematik (Heinze, 2005; Krutetskii, 1976; Mellroth et al., 2016; Nolte, 2012; Pettersson, 2011). Denna typ av problemlösningsuppgifter kan vara öppna problem med flera olika svar (Hershkovitz, Peled och Littler, 2009). Det kan även vara problem med endast ett svar men som kan lösas på många sätt och har ett rikt matematiskt innehåll (ibid.). Det sistnämnda beskrivs enligt Taflin (2007) som rika matematiska problem. Rika matematiska problem är problemuppgifter vilka kan vara utmanande på olika nivåer, går att lösa på många olika sätt, med olika representationsformer och som innehåller viktiga matematiska idéer.
Utifrån ovanstående argument borde en undervisning genom problemlösning ha goda förutsättningar för att kunna möta elever med fallenhet för matematik även i en ordinarie undervisning.
Elever med fallenhet för matematik behöver mötas av en undervisning som bjuder in till högre tänkande (Dimitriadis, 2012; Schoenfeld, 1992; Sheffield, 2009). Wood, Wiliams och McNeal (2006) undersökte hur elevernas möjligheter till högre tänkande kunde kopplas till vilken typ av interaktion som sker i klassrummet. Detta är mycket intressant eftersom det i Taflin (2007) framkommer att avslutande diskussioner kring elevernas lösningar är en mycket viktig del om eleverna ska lära matematik genom problemlösning. Pettersson (2011) kommer fram till att det verkar som att klassrumsnormer kan sätta käppar i hjulet för elever med fallenhet för matematik eftersom de samtal som förs kring olika lösningar tenderar att hamna på en låg nivå i den ordinarie undervisningen.
2. Syfte och frågeställningar
Syftet med föreliggande fallstudie är att skapa en förståelse för hur en undervisning genom problemlösning kan utmana elever med fallenhet för matematik i årskurs 1.
Baserat på resultatet från Pettersson (2011) skriver skolverkets stödmaterial för matematiskt begåvade elever (Eriksson & Petersson, 2015) att lärare bör reflektera över klassrummets rådande normer. De rådande normerna skapas och återskapas i den interaktion som sker i klassrummet (Cobb & Yackel, 1996).
I relation till studiens syfte kommer följande frågeställningar att undersökas:
• Vilka sociala normer samt sociomatematiska normer skapas i interaktionen i en undervisning genom problemlösning, i en årskurs 1, i spetsgrupp och ordinarie matematikundervisning?
• Hur påverkar interaktionen utmaningsmöjligheterna genom högre tänkande för en elev med fallenhet för matematik?
3. Teori
I följande kapitel presenteras den här studiens analytiska verktyg. Först redogörs för hur studiens teoretiska perspektiv vuxit fram och hur det senare faller ut i studiens analytiska ramverk. Dessutom presenteras de antaganden som studien prövar angående högre tänkande kopplat till olika typer av interaktion. Slutligen beskrivs hur teorin kommer att användas i den här studien.
3.1 Teoretiskt perspektiv
Föreliggande fallstudie tar sin utgångspunkt ur ett socialkonstruktivistiskt perspektiv på matematikundervisningen. Inom teoribildningen har Paul Cobb varit en centralgestalt (Scott, Jess, Hansen & Lundin, 2010).
3.1.1 Socialkonstruktivismens utveckling
Teoribildningen startade ur ett radikalkonstruktivistiskt perspektiv. Cobb började sin forskningskarriär tillsammans med Ernst von Glaserfeld i början på 1980-talet (Yackel, Gravemeijer & Sfard, 2011).
Von Glaserfeld (1995) vidareutvecklade Piagets teorier till vad som idag benämns som radikal konstruktivism. Inom radikal konstruktivism skapar varje individ sin egen kunskap och sitt mentala schema genom assimilation och ackommodation. Ett mentalt schema består av individens nuvarande förståelse. Assimilation äger rum när nya erfarenheter går att spegla i den förståelse individen redan har. Det sker då, enligt von Glasersfeld, en reflektiv abstraktion. Vid ackommodation sker istället en omprövning av det mentala schemat, med andra ord en revidering av individens förförståelse. Enligt von Glasersfeld är kommunikation och social interaktion, trots att kunskapen skapas inom människan, mycket viktigt för tillägnandet av ny kunskap. För att individen ska kunna ackommodera behövs obalans, en upplevd motsägelse och utmaning, vilket skapas i mötet med andra människor.
Utifrån ett radikalkonstruktivistiskt perspektiv undersökte Cobb tillsammans med Erna Yackel och Terry Wood elevernas matematiska lärande genom aritmetiska resonemang. De samlade in empiriskt material från helklassdiskussioner och
smågruppsdiskussioner i en årskurs två under ett års tid (Cobb & Bauersfeld, 1995). Mycket tidigt i analysen upptäckte forskarna de sociala normernas inverkan på elevernas matematiklärande. Kort därpå, när Cobb kom i kontakt med forskning från Bauersfeld insåg han att hans perspektiv på social interaktion inte var tillräckligt (ibid.). Bauersfeld utgick från ett interaktionistiskt perspektiv där kulturella och sociala processer är väsentliga i den matematiska aktiviteten (Cobb & Bauersfeld, 1995). Bauersfeld (1993) menar att lärandet sker genom deltagandet i en kultur av matematisk praxis.
Cobb, Yackel och Wood startade senare ett treårigt forskningsprojekt tillsammans med Bauersfeld, Voigt och Krummheuer, i syfte att koordinera konstruktivismen med ett interaktionistiskt perspektiv (Cobb & Bauersfeld, 1995). Med grund i detta skapade Cobb och Yackel (1996) ett ramverk som enligt Cobb (2007) bättre kan förklara vad som påverkar lärandet i en klassrumssituation.
3.1.2 Cobb och Yackels ramverk
(Cobb och Yackel, 1996 s. 177)
Cobb och Yackels (1996) ramverk kan läsas vertikalt och horisontellt. Varje kolumn är reflektivt i båda riktningarna, vilket innebär att de ömsesidigt påverkar varandra.
Cobb och Yackel (1996) beskriver sociala normer som normer vilka ger den grundläggande strukturen för undervisningen. Sociala normer är inte specifikt kopplat till matematiken även om normerna påverkar den matematiska aktiviteten. Det kan exempelvis vara att arbeta i grupp eller att räcka upp handen.
Enligt Cobb och Yackel (1996) är sociomatematiska normer de normer som är specifikt kopplade till matematisk aktivitet. Tillexempel vad som anses vara en bra eller annorlunda förklaring. Dessa skapas och återskapas genom matematiska diskussioner.
Det sociala perspektivet Det psykologiska perspektivet
Sociala normer i klassrummet Föreställningar om ens egen och andras roll i klassrummet och om den allmänna karaktären hos matematisk aktivitet
Sociomatematiska normer Föreställningar om och värden förbundna med matematik och matematisk aktivitet
Det kan vara så att läraren frågar om någon har löst ett problem på ett annorlunda sätt. En elev kommer då med ett lösningsförslag. I detta skapas sociomatematiska normer om vad som karaktäriserar en annorlunda lösning.
Klassrummets matematiska praxis är enligt Cobb och Yackel (1996) mer precist de ämnesinnehåll som eleverna deltar i. Det kan exempelvis vara så att ”en elev på lågstadiet […] för första gången adderar 19 genom att lägga till 20 och ta bort 1. Att detta fungerar kräver en motivation” (Scott et al., 2010 s. 130). Efter ett tag kommer detta betraktas som gemensamt förmodat i den sociala kontext som de befinner sig i och behöver därför inte längre motiveras. Det har nu blivit en del av den matematiska praxisen (ibid).
Den matematiska praxisen påverkas ömsesidigt av vilka sociala och sociomatematiska normer som förekommer i klassrummet. Den matematiska praxisen är i sin tur reflektivt med elevernas matematiska förståelse (Scott et al. 2010).
3.1.3 Sociomatematiska normer och lärande
Enligt Cobb och Yackel (1996) är individens individuella konstruktion situerat och reflektivt med den praktik de samverkar i. Det är således kolumnerna inom det sociala perspektivet i Cobb och Yackels ramverk som skapar möjligheterna till lärande (Scott et al., 2010) På så sätt kan interaktionen både möjliggöra och begränsa lärandet. Wood (2001) menar att om elever ska lära matematik med förståelse behöver de vistas i miljöer som uppmuntrar till att tänka och resonera. Yackel och Cobb (1996) menar att vilka sociomatematiska normer som skapas i klassrummet är direkt kopplat till lärandet. Enligt Yackel och Cobb (1996) skapas lärandemöjligheter bland annat när eleverna försöker förstå eller jämföra sina lösningar eller sätt att tänka med varandra. Huruvida eleverna får möjlighet till denna jämförelse har då en direkt koppling till vilka sociomatematiska normer som utvecklas i klassrummet. Utvecklar läraren sociomatematiska normer genom att exempelvis ställa frågan Har någon löst en uppgift på ett annat sätt? bidrar detta till att elever tvingas jämföra sina lösningar med den lösning som precis varit (Yackel & Cobb, 1996). Yackel och Cobb menar vidare att dessa sociomatematiska normer ger eleverna möjlighet att utvecklas mot en intellektuell självständighet. Intellektuellt självständiga betyder inte att eleverna ska utvecklas mot att arbeta självständigt, det innebär att elever lär sig använda sina egna matematiska förmågor i matematiska diskussioner tillsammans med andra (Yackel & Cobb, 1996).
3.2 Högre tänkande kopplat till klassrumskulturer
Under fem år utförde Wood, Wiliams och McNeal (2006) empiriska analyser på data från 42 lektioner i fem olika klassrum i årkurs 2 och 3 i Amerikanska skolor. Studien bygger antaganden om att matematiskt tänkande och resonerande är väsentligt i utvecklingen av begreppslig förståelse. Vidare att kunskap är socialt konstruerat och att sociala och sociomatematiska normer påverkar lärandet.
Wood et al. (2006) undersökte elevernas matematiska tänkande kopplat till fyra olika typer av klassrumskulturer. Två klassrumskulturer ansågs traditionella utifrån undervisning med matematikbok och traditionell problemlösning. Vidare återfanns två reformerade klassrumskulturer. Den första benämner Wood et al. (ibid.) som en rapporterande klassrumskultur och den andra som en undersökande/argumenterande klassrumskultur. I en rapporterande klassrumskultur ligger fokus framförallt på att eleverna presenterar sina olika lösningsförslag. Eleverna får ofta berätta hur de har gjort för att lösa ett problem eller en uppgift. I en undersökande/argumenterande klassrumskultur sker utöver vad som karaktäriserar en rapporterande klassrumskultur även en diskussion kring varför. Elever motiverar sina lösningar i syfte att få andra elever i klassrummet att förstå. Läraren ställer frågor för att ta eleverna vidare i sina resonemang. Wood et al. (ibid) menar dessutom att i dessa klassrum kan det skapas meningsskiljaktigheter som på så sätt gör det nödvändigt för eleverna att förklara hur de har tänkt. I sitt resultat fann de att möjligheterna för högre tänkande var betydligt fler i den undersökande/argumenterande klassrumskulturen.
Wood et al. (2006) utgår från Krutetskii (1976) och definierar matematiskt tänkande som en mental aktivitet som involverar abstraktion och generaliseringar av matematiska idéer. Wood et al. (2006) utgår från att förstå är den lägsta nivån på tänkande, vidare kommer använda. Dessa två nivåer innebär att minnas kunskap. Nästa nivå är att analysera. Det innebär att använda matematiska kunskaper i nya situationer. Vidare beskriver Wood et al. syntetisk analys, vilket innebär att kunna finna likheter och skillnader mellan sin egen och andras sätt att lösa ett problem på. Evaluerande analys innebär att kunna finna styrkor och brister i lösningar samt upptäcka mönster. De högsta nivåerna på matematiskt tänkande är enligt Wood et al. skapa och värdera. Skapa innebär att kunna argumentera för upptäckta mönster samt lösa problem på olika sätt. Värdera betyder att eleverna utvärderar sina lösningar och finner eventuella begränsningar för en lösning att kunna fungera i ett annat fall.
I de traditionella undervisningarna var tänkandet framförallt kopplat till att minnas. I den rapporterande klassrumskulturen var den övervägande delen av tänkandet kopplat till att använda och analysera. I den undersökande/argumenterande klassrumskulturen var spridningen över alla olika nivåer större. Den typ av undervisning vilken Yackel och Cobb (1996) menar leder till bildandet av sociomatematiska normer som vidare skapar möjlighet att utvecklas mot en intellektuell självständighet stämmer väl överens med den typ av undervisning vilken förekommer i en undersökande/argumenterande klassrumskultur. Möjligheter till syntetisk analys, evaluerande analys, skapande och värdering uppstår om eleverna utvecklar förmågan att självständigt kunna göra matematiska bedömningar av vad som tillexempel är en annorlunda lösning.
3.3 Tillämpning
I föreliggande studie tolkas Cobb och Yackels (1996) ramverk både vertikalt och horisontellt. Detta med utgångspunkt i lärarens syn på sin och elevernas roll i klassrummet vilket i sin tur är reflektivt med klassrummets sociala normer. Scott et al. (2010) skriver att klassrummets rådande normer inte går att utläsa från enstaka sekvenser, därför behöver undervisningen analyseras på ett övergripande plan först. Woods et al. (2006) använde olika interaktionsmönster för att synliggöra klassrumskulturerna i sin studie. Larsson (2015a) har, utifrån Wood et al. (2006), skapat två ramverk, ett med interaktionsmönster kopplade till traditionell undervisning och ett med interaktionsmönster kopplade till reformerad undervisning. I denna studie används Larssons (2015a) ramverk kopplat till en reformerad undervisning (se bilaga 1) för en första kategorisering av undervisningen.
4. Tidigare forskning
I följande kapitel presenteras tidigare studiers resultat om vad som utgör matematisk begåvning. Vidare presenteras forskning om undervisning genom problemlösning sett ur ett perspektiv för att utmana elever med fallenhet för matematik, samt angående helklassdiskussioner. Slutligen presenteras forskning om hur komplexa problemlösningsuppgifter fungerar i ordinarie undervisning samt forskning angående undervisning för elever med fallenhet för matematik i spetsgrupp och ordinarie matematikundervisning.
4.1 Matematisk begåvning
Krutetskiis (1976) forskning ligger till grund för en stor del av den forskning som bedrivs kring matematiskt begåvade elever (Eriksson & Petersson, 2015; Pettersson, 2011; Szabo, 2017). Krutetskii (1976) menar att matematiska förmågor är utvecklingsbara hos alla elever. Matematiskt begåvade elever har däremot medfödda egenskaper som är gynnsamma för utvecklandet av matematiska förmågor. Krutetskii (1976) studerade 200 elever, allt från dem vilka presterade mycket lågt till de med exceptionellt höga prestationer. Krutetskii observerade dessa elever när de tänkte högt vid problemlösning. Krutetskii studerade då vilka förmågor som användes. Pettersson och Wistedt (2013) har översatt och sammanställt dessa förmågor:
• Förmåga att formalisera matematiskt material, d.v.s. förmåga att skilja form från innehåll och att arbeta med formella strukturer av relationer och samband.
• Förmåga att generalisera matematiskt material, att upptäcka vad som är viktigt, att välja bort det som är irrelevant och se vad som är gemensamt i det som ytligt sett kan te sig olika.
• Förmåga att operera med siffor och andra symboler.
• Förmåga till sekventiellt, logiskt resonerande är förmågan att kunna skilja på förutsättningar för och slutsatser av ett resonemang och förmågan att dra logiska slutsatser från de givna premisserna.
• Förmåga att förkorta resonemang till förmån för klarhet och enkelhet i lösningsprocessen.
• Flexibilitet och reversibilitet i tänkandet, d.v.s. rörlighet i tänkandet och förmåga att vända tankegång eller skifta tankemodell.
använda den gjorda erfarenheten i nya problemlösningssituationer, d.v.s. minne för relationer mellan storheter, typiska drag i resonemang, argumentationsscheman, bevis m.m., och slutligen en mer generell förmåga:
• fallenhet och intresse för matematik, en förmåga som ofta tar sig utryck i en lust att söka matematiska aspekter av omvärlden.
(Pettersson & Wistedt, 2013 s. 11) Dessa förmågor menar Krutetskii (1976) är särskilt framträdande hos matematiskt begåvade elever, även om förmågor kan framträda olika mycket hos olika elever. Vidare skiljer Krutetskii på förmåga och färdighet. Förmågor ger eleverna möjlighet att ta sig an en uppgift medan färdigheten ligger i hur uppgiften är utförd. Förmågorna utvecklas därmed i matematiska aktiviteter och Krutetskii menar att problemlösning är centrum för all matematisk aktivitet (ibid.). Aktiviteterna bör nämligen innehålla möjligheter till högre tänkande (Dimitriadis 2012; Schoenfeld, 1992; Sheffield, 2009), vilket Pettersson och Wistedt (2013) menar att till exempel rika matematiska problem har goda förutsättningar att göra.
Matematisk kreativitet kan också vara ett tecken på matematisk begåvning (Eriksson & Petersson, 2015). Enligt Sheffield (2009) innebär matematisk kreativitet en förmåga att kunna växla mellan olika representationer och strategier. Vidare är matematiskt kreativa elever dessutom ofta nyfikna, tålmodiga och ställer mycket frågor. Leikin, Berman och Koichu (2009) menar att det finns ett samband mellan matematisk kreativitet och matematisk begåvning och att matematisk kreativitet är något som alla elever kan utveckla.
4.2 Undervisning genom problemlösning
I följande avsnitt presenteras studier angående elever med fallenhet för matematik och grupparbete, vilken typ av frågor läraren kan använda för att utmana samt hur läraren kan orkestrera utmanande helklassdiskussioner.
4.2.1 Problemlösning i grupp
Diezmann och Watters (2001) undersökte relationen mellan matematiskt begåvade elevers benägenhet att vilja diskutera i grupp vid utmanade problemlösning. Sex matematiskt begåvade elever i Australien, vilka var 11 och 12 år, fick lösa fyra problem i varierande svårighetsgrad. Klassrummet delades in i fyra zoner. En tyst zon, där
eleverna kunde arbeta självständigt. En arbetarzon där eleverna hade möjlighet att sitta bredvid någon och ta hjälp om så behövdes. En lärarzon där eleverna hade möjlighet att be om hjälp samt hämta material. Slutligen fanns även en diskussionszon, där eleverna hade möjlighet att diskutera och lösa problem tillsammans. Författarnas (ibid.) resultat visar att eleverna föredrog att arbeta enskilt på de två enklare problemen men i takt med att svårigheten ökade valde eleverna att gå till lärarzonen och diskussionszonen. Diezmann och Watters (ibid.) menar att när problemet var tillräckligt utmanande hade interaktionen kognitiva, metakognitiva och motiverande fördelar för eleverna. Eleverna byggde på varandras tänkande för att komma vidare i sitt eget.
4.2.2 Rätt stöd och frågor
Enligt Nolte (2012) är utmanade problemlösningsuppgifter mycket viktigt för att stödja matematisk begåvade elever. Nolte betonar dock vikten av ytterligare stöd från läraren eftersom de yngre matematiskt begåvade eleverna ofta använder avancerade tankemönster utan att veta om det. Problemlösningsuppgifter vilka består av flera frågor och som leder eleverna i riktning mot abstraktion och generalisering menar Nolte är ett sätt att stödja eleverna. Vidare kan läraren uppmuntra eleverna att argumentera för hur de tänker tillsammans med andra elever (ibid.).
Diezmann och Watters (2000) analyserade en situation när en tioårig matematiskt begåvad elev skulle lösa kombinatorikproblemet hur många gånger skakar fem personer hand om alla ska skaka hand med varandra? Baserat på Diezmann och Watters (ibid.) analys uppfattades problemet först som enkelt eftersom eleven hade en strategi för att lösa det. På grund av att läraren bad eleven fundera över ett högre antal personer tvingades eleven byta strategi. Författarna menar att lärarens stöd bidrog till att problemet blev utmanande för eleven.
Dimitriadis (2012a, 2012b) forskning baseras på fyra fallstudier med fyra lärare och sammanlagt 20 elever med fallenhet för matematik i åldrarna sju till elva år i England. I en av sina artiklar analyserade Dimitriadis (2012a) huruvida eleverna fick möjlighet till högre tänkande utifrån Blooms taxonomi (Bloom, 1956). Dimitriadis (2012a) kopplade lärarnas frågor och stöd till möjligheter att analysera, skapa och utvärdera, vilket enligt Blooms taxonomi (1956) tillhör de högre nivåerna. För att skapa möjligheter för eleverna att analysera kan läraren uppmuntra eleverna att förklara sina lösningar, lösa problemet/uppgiften på ett annat sätt eller försöka hitta mönster. För skapa kan eleverna inspireras till att hitta på ett liknande problem eller utmanas med frågan men om vi har
såhär många istället? För utvärdera kan läraren eller andra elever ställa frågor som Varför fungerar inte det? Utvärdera sker även när läraren uppmuntrar eleverna utvärdera sin egen eller annans lösning eller metod. Lärarens stöd med frågor som kräver högre tänkande hos eleverna är betydelsefullt för huruvida eleverna behåller motivation, fullföljer uppgifterna och utmanas i klassrummet (ibid.).
4.2.3 Helklassdiskussioner
Taflin (2007) består av fyra studier. I en av studierna undersöktes tillfällen till matematiklärande i en undervisning genom problemlösning. Studien baseras på undervisning av fyra lärare och dess klasser från årkurs 7 till 9 i Sverige. De observerade undervisningssituationerna innehöll fyra faser, introduktion, lösningsfas, jämförelsefas och helklassdiskussion. Resultatet visar att tillfällen till lärande återfanns i alla faserna men att de avslutande diskussionerna utgjorde en viktig roll i matematiklärandet eftersom det framförallt var då olika matematiska idéer synliggjordes. Studien visade dock att den avslutande helklassdiskussionen saknades vid flera tillfällen, vilket gjorde att flera elevers missuppfattningar aldrig blev synliggjorda eller lyftes till diskussion.
Larsson (2015c) består av sex studier med syfte att utveckla stöd för läraren i att orkestrera helklassdiskussioner i undervisning genom problemlösning på högstadiet. Larsson (ibid.) menar att skapandet av en undersökande/argumenterande klassrumskultur viktigt för givande klassrumsdiskussioner. Den fjärde studien (Larsson, 2015b) görs i syfte orkestrera helklassdiskussioner för att stödja argumentationen i klassrummet. Resultatet tyder på att en avgörande aspekt kan vara att läraren inte avslöjar huruvida en lösning är korrekt eller inte. Vidare ges förslag på hur läraren kan organisera helklassdiskussionen för att främja argumentationen. Larsson (2015b) poängterar att det kan vara bra att börja med att lyfta en vanlig missuppfattning. Därefter en mer strukturerad lösning vilken är lätt att följa med i. Vidare fortsätta med en variation av lösningar, där även lite mer komplexa varianter presenteras. Först mot slutet kan det vanligaste lösningsförslaget presenteras för att sedan avslutas med en lösning som gör problemet lätt att förstå (ibid.).
Taflin (2007) hävdar att möjligheterna till lärande i klassrumsdiskussionerna kan bero på lärarens förberedelser. Både Larsson (2015c) och Taflin (2007) menar därmed att det är viktigt att redan vid planeringen av lektionen ha gjort en noggrann analys av
skriver att läraren dessutom behöver vara öppen och flexibel för att även kunna lyfta oväntade och felaktiga lösningar till diskussionen.
4.4 Problemlösning för alla
I Hamburg återfinns ett forskningsprojekt där matematiskt begåvade elever i årskurs tre och fyra får komma till universitetet i Hamburg för att utmanas med problemlösning (Nolte & Pamperiens, 2017). Problemlösningsuppgifterna skapas av forskarna vid universitetet för att utveckla elevernas förmågor att generalisera, argumentera och bevisa. Nolte och Pamperiens (2017) studie undersökte hur dessa problemlösningsuppgifter fungerar i en ordinarie heterogen matematikundervisning i två klasser, en årskurs 3 och en årskurs 4 i Tyskland. Även de matematik begåvade eleverna i universitetsgruppen fick lösa problemen. Ett av problemen från studien var:
Ingång
Detta är ett museum. Du vill se alla rum. Hitta alla möjliga utgångar! Regler: Du måste gå igenom alla rum och du får aldrig besöka ett rum två gånger.
(Nolte & Pamperien, 2017)
Resultatet visade att eleverna i de vanliga heterogena klasserna blev väldigt motiverade av denna typ av problemlösningsuppgifter. Även om de matematiskt begåvade eleverna i universitetsgruppen kom längre mot att generalisera menar Nolte och Pamperien (2017) att den här typen av problem fungerar bra att använda i vanlig klassrumsundervisning i de lägre åldrarna.
Hershkovitz, Peled och Littler (2009) undersökte två olika typer av problemlösningsuppgifter i årskurs 4 och i årskurs 5. Både en öppen problemlösningsuppgift och en problemlösningsuppgift med ett svar men en variation av lösningar. Hershkovitz et al. (ibid.) menar att båda problemtyperna skapar potential för att utveckla matematisk kreativitet för alla elever. Huruvida matematisk kreativitet utvecklas är dock i slutänden beroende av läraren eftersom det är läraren som implementerar problemet i klassrummet (ibid.).
4.3 Spetsgrupp eller ordinarie undervisning?
Minten (2013) skriver i sin forskningsöversikt kring klassrumsforskning att elever som presterar på låg- och mellannivå gynnas av heterogena grupper. De elever vilka är högpresterande påverkas däremot inte negativt av nivågruppering. Att ingå i spetsgrupper har visat sig ha en positiv inverkan på de elever vilka har fallenhet för matematik (Dimitriadis 2012b; Pettersson 2011; Szabo, 2017).
Dimitriadis (2012b) studerade hur lärare organiserar undervisningen specifikt riktat mot elever med fallenhet för matematik i åldrarna sju till elva år i England. Två lärare undervisade i stora klasser på 29 och 30 elever. Två andra lärare undervisade i små spetsgrupper på fem respektive sex elever. Vid bedömning av elevernas kunskapsutveckling visade eleverna i spetsgrupperna större progression. I alla klasser arbetade eleverna i huvudsak enskilt. Den tydliga skillnaden mellan klassrummen var gruppstorleken och lärarens självförtroende i att möta dessa elever. I de mindre grupperna hade läraren större möjlighet att utmana eleverna med frågor som uppmuntrade till högre tänkande.
I Pettersson (2011) presenteras fyra longitudinella fallstudier. Pettersson har i följt fyra elever i Sverige med fallenhet för matematik, i två fall elever i de lägre åldrarna. Syftet med avhandlingen var att kartlägga studiesituationen för dessa elever. Fallstudierna analyserades utifrån Cobb och Yackels (1996) teorier om normernas inverkan på matematiklärandet. Utifrån Pettersons (2011) analys återfanns en social norm om att alla skulle förstå, vilket i den observerade halvklassundervisningen gjorde att nivån på undervisningen blev låg på grund av att läraren avvisade elevens sätt att tänka som för svårt.
Resultatet i Pettersson (2011) visar också på positiva effekter av nivågruppering. I en av fallstudierna, där en elev ingår i en spetsgrupp, diskuterades lösningsförslag genom att eleverna fick argumentera för sina resonemang. Pettersson identifierade även i spetsgruppen den sociala normen att alla skulle förstå, skillnaden låg dock i att klassrumsklimatet var mer öppet. Enligt Pettersson stödjer det öppna klimatet bildandet av goda sociomatematiska normer vilka bidrar till ökad kunskapsutveckling. I Petterssons studie var det dessutom, utifrån ett elevperspektiv, positivt att undervisas i matematik tillsammans med andra elever vilka var lika intresserade av matematik.
5. Metod
Denna studie syftar till att skapa en förståelse för hur undervisning genom problemlösning kan utmana elever med fallenhet för matematik. Forskningsfrågorna är specifikt inriktade mot vad som händer i klassrummet i en undervisningssituation och behöver därför undersökas på plats i en autentisk situation. Därmed föll metodvalet på att göra en fallstudie. En fallstudie lämpar sig eftersom undersökningen syftar till att förstå något i en komplex miljö (Merriam, 1993).
5.1 Definition och utformning
Utifrån syftet formulerades hypotesen att normerna i klassrummet kan tänkas påverka huruvida elever med fallenhet för matematik får utmanas i klassrummet. Detta baseras framförallt på Pettersson (2011). Vidare har det legat till grund för valet av teoretiskt perspektiv och formuleringen av forskningsfrågor. Därmed även vilka avgränsningar som gjorts i relation till studiens syfte. Utifrån forskningsfrågorna valdes observation med film och ljudinspelning som huvudsaklig datainsamlingsmetod samt intervjuer som kompletterande.
Det specifika fallet definieras sedan genom ett antal val. Dessa val var målinriktade, vilket Merriam (1993) skriver är det vanligaste och mest lämpliga vid fallstudier. Detta innebär att urvalet sker beroende av forskningsfrågorna (Bryman, 2011). För den här fallstudien var det viktigt att välja en skola vilken identifierat elever med fallenhet för matematik samt hade en spetsgruppsundervisning.
5.1.1 Val av skola och lärare
Skolan som valdes är en f-9 skola i södra Sverige. Spetsgruppen består av elever från tre klasser i årskurs 1. Det föll sig vidare lämpligt utifrån metodval att välja den lärare på skolan som undervisar i spetsgruppen och dessutom undervisar alla klasser i årskurs 1 minst en gång i veckan.
5.1.2 Val av elev
Alla elever i årskurs 1 på den givna skolan gjorde Skolverkets obligatoriska bedömningsstöd i taluppfattning, årskurs 1-3. Av dessa elever valdes de som utifrån lärarnas bedömningar ansågs högpresterande för att delta i spetsgruppen. Valet av elev att följa även i ordinarie matematikundervisning gjordes efter första observationen. Den utvalda eleven kallas här för Erik. Erik var den elev som enligt läraren ansågs som möjligen matematiskt begåvad. Erik beskrivs som högpresterande i alla ämnen. Han har ett gediget intresse för matematik och baserat på mina observationer en förmåga att snabbt utveckla förståelse för matematiska begrepp samt använda dem i nya situationer.
5.1.3 Val av problem
Först valdes ett antal problem som sedan skickades till läraren. Det var ett dokument av Hagland, Sundberg & Hårrskog (2014) som ingått i matematiklyftets problemlösningsmodul för årskurs 1-3. Detta dokument bestod av 30 rika matematiska problem. Problemen var uppdelade i flera nivåer med förslag på ytterligare förenklingar och vidareutvecklingar. Författarna beskrev även matematiken i problemen samt vanliga missuppfattningar. Vidare valdes även ett kombinatorikproblem från Palmér och van Bommel (2016). Även här beskrevs matematiken och hur författarna hade arbetat med problemet i sin förskoleklass. Det var sedan upp till läraren att välja ut vilka problem som skulle vara utgångspunkten i den ordinarie matematikundervisningen samt i spetsgruppen. Taflin (2007) understryker nämligen att problemet måste väljas med omsorg och det är bara läraren som vet huruvida problemet kommer vara utmanande i just sin klass.
5.2 Datainsamling
Tre datainsamlingsmetoder användes. Syftet med att använda flera metoder var att skapa möjlighet till triangulering. Detta diskuteras vidare i avsnittet 5.3 Reliabilitet och validitet.
5.2.1 Observationer
observation är viktigt att tänka på att närvaron i klassrummet kan påverka resultatet. Eftersom syftet med observationen är att studera klassrumsmiljön så oberoende av min närvaro som möjligt valde jag att avstå från deltagande i undervisningen.
Tre observationer genomfördes, två i spetsgruppen och en i ordinarie matematikundervisning. Spetsgruppen bestod vid första tillfället av 14 elever och vid andra tillfället av 12 elever. Den ordinarie matematikundervisningen bestod av 22 elever. Observationerna dokumenterades genom minnesanteckningar samt diktafoner och en filmkamera. Första observationen i spetsgruppen kan betraktas som en pilotobservation eftersom val av elev bestämdes först efter. Då placerades kameran längst bak i klassrummet med ljudupptagningskällor på tre olika platser i klassrummet. Andra observationen i spetsgruppen samt i ordinarie undervisning placerades filmkameran så att Erik, tavlan och så mycket som möjligt av klassrummet kom med. En diktafon placerades vid Erik och en vid tavlan. Varje undervisningsobservation transkriberades sedan utifrån ett par-/grupperspektiv och ett helklassperspektiv.
5.2.2 Intervju med lärare
Det gjordes två intervjuer med läraren. I den här fallstudien genomfördes semistrukturerade intervjuer. Detta är en kvalitativ intervjuform vilken passar om syftet är att ta reda på respondentens syn på en viss företeelse (Bryman, 2011). Intervjuerna genomfördes utifrån intervjuguider (se bilaga 2 och 3) baserade på ett antal öppna frågor specifikt inriktade på de observerande lektionerna. Den första intervjun gjordes efter andra observationen i spetsgruppen och den andra intervjun gjordes efter lektionen i Eriks ordinarie klass. Intervjuerna spelades in med diktafon och transkriberades.
5.2.3 Intervju med elev
Två kortare intervjuer på ungefär fem minuter gjordes med eleven Erik efter andra lektionen i spetsgruppen och efter den ordinarie matematikundervisningen. Syftet var att få elevens syn på huruvida undervisningen var utmanande för honom. Intervjun var semistrukturerad och gjordes med stöd av en utvärderingsblankett (se bilaga 4). Intervjuerna spelades in och transkriberades.
5.3 Reliabilitet och validitet
I fallstudier är det särskilt viktigt att tänka på den interna validiteten (Merriam, 1993). Med intern validitet menas huruvida resultaten stämmer överens med verkligheten. Merriam menar att triangulering är ett sätt för att öka den interna validiteten. Triangulering innebär att data samlas in på flera sätt, och om resultatet från olika källor pekar i samma riktning stärker det den interna validiteten (ibid.). I studien har de sekvenser som valts ut för vidare analys synliggjorts som lärarens syn på den allmänna matematiska aktiviteten i intervjun. Vidare har de synliggjorts som sociala normer i den observerade undervisningen.
Triangulering kan också stärka reliabiliteten (Merriam, 1993). Hög reliabilitet i fallstudier innebär att om en annan forskare hade genomfört samma fallstudie hade resultaten och slutsatserna blivit detsamma (Yin, 2007). För att få en hög reliabilitet krävs med andra ord en tydligt beskriven metod med ett detaljerat analysförfarande samt en korrekt användning av de begrepp som används. Min insamlade data är mycket rik men min förhoppning är att min beskrivning av mitt analysförfarande samt att mitt val av flera datainsamlingskällor ska göra att arbetet håller nämnda höga reliabilitet.
5.4 Analysförfarande
Yin (2007) skriver att det inte finns någon generell metod för hur en fallstudie ska analyseras. Hur analysen ser ut varierar från fall till fall beroende på dess syfte och frågeställningar. Därför har analysen helt genomförts på basis av vad som varit lämpligast för att besvara den här studiens frågeställningar.
Analysprocessen delades in i tre faser. I analysens första fas kategoriserades empirin från klassrumsobservationerna med stöd av Larssons (2015a) ramverk (se bilaga 1) genom en analys av syftet med varje interaktionssekvens. Vidare gjordes en analys på den kategoriserade empirin för att upptäcka vanligt förekommande mönster i lärarens sätt att interagera. Detta jämfördes sedan med den syn på undervisning som framkommit i intervjuerna med läraren. På så sätt upptäcktes sociala normer skapade av läraren och därmed kunde frågeställningen utifrån vilka sociala normer som förekommer i interaktionen besvaras.
I analysens andra fas gjordes ett val av interaktionssekvenser för vidare analys. Delar ur spetsgruppsundervisningen och den ordinarie matematikundervisningen som särskilt synliggjorde de observerade sociala normerna valdes ut.
I analysens tredje fas gjordes en analys av de sekvenser vilka valdes ut i analysens andra fas. Nu analyserades interaktionen i relation till vilka sociomatematiska normer som skapas, hur interaktion förefaller i relation till den syn på interaktion och lärande som presenteras i teoriavsnittet. I denna fas återgick jag i några fall till den ursprungliga empirin för att välja sekvenser som underbyggde de reflektiva som analyserades fram utifrån Cobb och Yackels (1996) ramverk. I och med detta kunde även vilka sociomatematiska normer som skapas i interaktionen besvaras. Vidare tolkades utmaningsmöjligheterna för eleven Erik med stöd av Wood et al. (2006) nivåer av högre tänkande, vilket tillsammans med vad som framkommit tidigare i analysen skulle besvara frågeställningen om hur interaktionen påverkar utmaningsmöjligheterna genom högre tänkande. Det är analysens tredje fas som presenteras under kapitel 6 resultat och analys.
5.5 Forskningsetiska överväganden
Eftersom fallstudien innebar film och ljudinspelning skickades samtyckesblanketter (se bilaga 5) ut till alla elever vilka skulle ingå i de observerade undervisningssituationerna. Detta på grund av de forskningsetiska krav vilka är viktiga att ta hänsyn till (Vetenskapsrådet, 2002).
Blanketterna skickades ut i god tid och läraren hjälpte till att dela ut samt samla in blanketterna. Alla medverkande elevers vårdnadshavare hade skrivit under blanketterna och medgav därmed sitt samtycke.
I blanketten informerades elever och vårdnadshavare om syftet med fallstudien, vilket innebär att hänsyn tagits till informationskravet. Vidare har hänsyn tagits till samtyckeskravet eftersom elever och vårdnadshavare skrivit under blanketten och därigenom även informerats om att deltagande är frivilligt med möjlighet till avbrott. Vidare informerades även om att all data presenteras anonymt. I uppsatsen är därmed alla namn fiktiva. I och med detta har hänsyn även tagits till konfidentialitetskravet. För att ta hänsyn till nyttjandekravet har insamlad data endast används i forskningsändamål.
Inför studien, i ett möte med läraren, informerades även läraren om de fyra forskningsetiska kraven. Läraren har dessutom fått ta del av resultatet.
Kopplat till konfidentialitetskravet är det, enligt Merriam (1993), ofta svårt att erbjuda fullständig anonymitet vid fallstudier. I den här studien beskrivas eleven Erik på ett sätt som eventuellt möjliggör igenkänning. Detta sker mot bakgrund av skapa genomskinlighet på så sätt att läsaren medvetengörs om på vilka grunder eleven valts ut. Däremot är beskrivningar av skolan och läraren mindre relevant i relation till den här studiens syfte och frågeställningar. Genom att utesluta vidare beskrivningar av skola och lärare minskar trots allt risken för igenkänning av eleven.
6. Resultat och Analys
I resultatet presenteras och analyseras empiri från två matematiklektioner i spetsgrupp, en lektion i eleven Eriks ordinarie matematikundervisning, två intervjuer med undervisande lärare samt två intervjuer med eleven Erik.
6.1 Matematisk aktivitet
Lärarens syn på sin roll, elevernas roll och på den allmänna matematiska aktiviteten är reflektivt med de sociala normer vilka förekommer i klassrummet (Cobb & Yackel, 1996). I den observerade lärarens båda klassrum återfanns en social norm vilken säger att alla ska förstå. Det finns även en social norm om att det är hur vi tänker som är det viktiga i matematisk aktivitet, vilket följande utdrag ger utryck för.
För har de fått veta att det är rätt svar då är de liksom nöjda. Då behöver de inte anstränga sig mer. Men det gör de så länge jag inte säger… eller så länge jag kan uppmuntra dem att tänka vidare. Då har vi ju ett matematiskt tänkande på våra lektioner och det är ju egentligen det jag är ute efter. – Läraren
Som en följd av detta går det att urskilja att läraren är sparsam med att berätta huruvida ett svar är rätt eller inte. Hur dessa sociala normer sedan kommer till utryck i interaktionen är dock olika i spetsgruppen och i den ordinarie matematikundervisningen. Detta får i sin tur konsekvenser för vilka utmaningsmöjligheter som skapas för Erik.
6.2 Spetsgrupp
I följande avsnitt presenteras hur de sociala normerna kommer till utryck i interaktionen i spetsgruppen. Vidare vilka sociomatematiska normer som utvecklas som en följd av interaktionen samt vilka utmaningsmöjligheter genom högre tänkande som skapas för eleven Erik.
6.2.1 Problemet
Kim ska köpa fiskar till sitt akvarium. I djuraffären kostar 4 fiskar 10 kr. (1) Hur många fiskar får Kim för 20 kr? (2) Hur många fiskar får Kim för 15 kr? (3) Hur mycket kostar 10 fiskar?
6.2.2 Hur vi tänker
I spetsgruppen löser eleverna problemen i grupper om fyra till fem elever. Läraren lyfter sedan problemen efter hand för en gemensam diskussion. Strukturen för undervisningen kan utifrån Cobb och Yackel (1996) tolkas som en social norm, vilket valts av läraren på grund av sin syn på den allmänna matematiska aktiviteten. I följande utdrag synliggörs vilka förväntningar läraren har på elevernas roll i den matematiska aktiviteten:
Läraren: Då löser man det tillsammans med sin grupp och så kollar ni hur ni har gjort och så pratar man om hur man gjorde och varför och så. Är ni med på det?
Eleverna: Ja.
Lärarens fokus på processen synliggörs dessutom genom att läraren poängterar att eleverna förväntas prata om hur man gjorde och varför. Utifrån Cobb och Yackels (1996) ramverk är detta reflektivt med elevernas uppfattning om deras deltagande i gruppen, vilket framgår i följande utdrag då alla eleverna i gruppen gör ett försök att motivera varför svaret är åtta.
Ella: Jag tänker att det blir så att 8… för 10 + 10 är 20. Och fyra fiskar kostar ju 10 kr… då borde det vara 8.
Emma: Mm… för att 4… jag lägger upp 4. Vi räknar tillsammans okej? 4, 5, 6, 7 och sen 8. Så då är alltså talet 8.
Erik: Aa, för här är 4 och här är 4. 1, 2, 3, 4, det är 10. 1, 2, 3, 4, det är 10. Och 10 + 10 blir 20. 4 + 4 blir 8.
Den sociala normen om att eleverna ska förklara hur de tänker och varför blir, utifrån Cobb och Yackels (1996) ramverk, sedan reflektivt med en sociomatematisk norm om att en bra matematisk förklarning innehåller en förklaring till varför ett svar är rätt. Detta leder i sin tur till att den matematiska diskussionen först tar slut när alla elever känner att de är säkra, vilket framgår i föregående utdrag då eleverna inte nöjer sig med
generella karaktären på elevernas resonemang tolkas därmed som av en undersökande/argumenterande karaktär.
I efterföljande diskussion kring hur många fiskar Kim får för 15 kr är läraren sparsam med att värdera första gruppens svar att det är 6 fiskar för 15 kr. Detta kan ses som en följd av att läraren vill betona processen.
Läraren: Någon annan som fått fram något annat? Vad har ni fått fram? Sixten: Till 7.
Läraren: Hur tänkte ni när ni kom fram till 7?
Sixten: Vi tänkte att 5+5+5+5 det är 20. Sen… så räknar dom att… vi räkna som att man tar bort en fisk så blir det 7.
Läraren: Hur kom ni fram till att ni skulle ta bort en fisk precis. Kan ni berätta om det? Sixten: För att vi tänkte att fem räknas som att man ta bort en.
Läraren: Då undrar jag lite, om ni tar bort en femma till? Hur många fiskar får ni då? Sixten: Då får vi 6.
Läraren: Så helt plötsligt får ni 6 fiskar för 10 kr? Sixten: Näe…
Läraren: Joo…
Gruppen: Jo det gör vi. Fast… joo… näe… joo…
Läraren: Ja men då, vad tror ni. Är det någonting som blivit lite tokigt då? Gruppen: Jaa…
Sixten: Ja det är 6. Läraren: 6 för? Sixten: För 15 kr. Läraren: Aha…
Sixten: Sen om man tar bort en femma till då tar man bort två femmor och då blir det fyra fiskar för 10 kr.
Genom att läraren väljer att inte bedöma huruvida den första gruppens förslag var rätt fortsatte Sixten att presentera sin grupps sätt att tänka. Detta kan ses som positivt eftersom det synliggörs en missuppfattning om att en peng (5 kr) är lika med en fisk, vilket Larsson (2015b) lyfter som betydelsefullt. I utdraget syns även den sociomatematiska normen att en bra lösning innehåller en förklaring till varför eftersom Sixten trots att läraren inte ber om det avslutar med att motivera varför 6 är rätt svar. Det är vidare Sixten som poängterar att svaret är 6, inte läraren. Detta kan i sin tur tolkas som positivt för utvecklandet mot en undersökande/argumenterade klassrumskultur eftersom eleverna lär sig argumentera för varför (Wood et al. 2006).
Lärarens frågeställning någon som fått fram något annat? Är dock till viss del problematisk i relation till lärarens strävan att skapa en klassrumskultur vilken betonar processen. Det som för eleverna blir något annat är om de fått fram ett annat svar, inte huruvida eleverna tänkt på ett annat sätt. De sociomatematiska normerna kan tolkas som att skillnaderna mellan lösningarna ligger i svaret. De sociomatematiska normerna som utvecklas främjar därmed inte elevernas möjligheter att se likheter och skillnader mellan varandras lösningar (eller sätt att tänka), vilket enligt Yackel och Cobb (1996) är en viktig del i lärandeprocessen. Det är också den typ av interaktion som leder till att eleverna utvecklar en intellektuell självständighet. Interaktionen skapar därför inte heller samma möjligheter för syntetisk analys som interaktionen hade gjort om diskussionens fokus hade legat på olika sätt att tänka.
6.2.3 Alla ska förstå
För att alla elever säkert ska förstå använder läraren interaktionsmönstret bygga konsensus, vilket kan tolkas utifrån följande reflektion:
För ibland när man ställer frågor med högre tal så inser man ju att de inte fattat strategin utan de kunde bara räkna ut det i alla fall – Läraren
I avslutet på andra lektionen får eleverna testa sin kunskap i ett ännu ett nytt sammanhang vilket synliggörs i klassrummet utifrån följande:
Läraren: Då vet ni hur ni ska lösa det här? Om jag nu säger att jag vill handla… Vill handla för 50 kr?
Alla 12 eleverna samlas framför tavlan där de under ledning av Erik och Emma får lösa problemet med hjälp av konkret material. När eleverna, efter lite om och men, känner sig nöjda frågar Emma om det är rätt svar.
Läraren: Är det det? Flera elever: Jaa…
Läraren: Är ni helt säkra?
Sixten: Ja det är rätt svar!!! Eftersom att fyra… Fyra fiskar kostar ju 10 kr. Och det är fyra på varje rad. Det är korrekt.
Erik: Ja det är det. Stefan: Ja faktiskt.
Läraren: Ja men vad var det då? Sixten: 20!!!
Emma: Vi hade rätt!! Liam: Jag tänkte också så.
Lärarens val att skapa förståelse genom ett nytt problem kan här tolkas som att eleverna får möjlighet till utveckling i riktning mot en intellektuell självständighet. Detta på grund av att eleverna utvecklar sin förmåga mot att själva kunna ta reda på huruvida ett svar är rätt eller fel när de får möjlighet att argumentera för sitt tänkande.
6.2.4 Utmaning för Erik
I stepsgruppen möts eleverna av ett problem uppdelat i flera frågor med stigande svårighet. Detta innebär att det skapas flera tillfällen för analys eftersom eleverna måste tillämpa sina kunskaper i nya situationer.
I gruppresonemanget synliggörs även hur Erik gör en evaluerande analys eftersom Erik genom sin förmåga till rimlighetsbedömning ser brister i Emmas resonemang. Emma: För 20 + 5 blir 25… Så då får han alltså 25 fiskar till sitt akvarium… 25 fiskar… så det
blir alltså 33 fiskar till sitt akvarium? Erik: Kanske lite väl många?
Stina: 10?
Erik: Näe det kan inte vara tio… Stina: Joo…
Erik räknar fiskarna på bordet och kommer upp till 10.
Stina: Jo det är 10…
Erik: Ja men det betyder inte att det kostar… Fyra kostar tio, fyra kostar tio, två kostar fem. I utdraget är det inte bara uppgiften i sig som är utmanade utan eleverna utmanar varandras tänkande. I utdraget syns en meningsskiljaktighet mellan Erik och Stina som gör att Erik tvingas försöka argumentera för sitt tänkande.
I efterföljande diskussion är det framförallt lärarens val av att låta Erik förklara varför som utmanar till högre tänkande. I ett fall blir Erik ombedd att förklara varför 2 fiskar kostar 5 kr.
Läraren: 2 fiskar kostar 5? Hur kommer man fram till det då?
Erik får här argumentera för sitt upptäckta mönster, ett proportionellt samband, att dela både antalet kronor och antalet fiskar på hälften. Detta är enligt Woods et al. (2006) exempel på skapa, och högre tänkande. Å andra sidan är det inget som lyfts vidare i diskussionen i klassrummet. Enligt Erik verkade i alla fall undervisningen vara lagom utmanande, vilket poängteras i efterföljande intervju.
Jag tyckte att den [lektionen] var något mellan ganska lätt och ganska svår. – Erik
Erik poängterar direkt när eleverna i grupp ska lösa problemet hur många fiskar får Kim för 15 kr?:
Erik: Jag är ganska säker på att jag vet.
Utifrån ovanstående utdrag går det att tolka varför undervisningen möjligen upplevts som ganska lätt. Men trots att Erik verkar ha en tanke för hur problemet ska lösas har eleverna en lång diskussion, vilket till slut resulterar i att eleverna presenterar att det är tio fiskar för 15 kr. Läraren poängterar i intervjun:
Det han [Erik] behöver, även om han kan räkna ut saker, så behöver han träna på att förklara. – Läraren
Utifrån lärarens uttalande och utdragen ur gruppdiskussionerna kan det därmed tolkas som att interaktionen skapade utmaningsmöjligheter för Erik.
6.3 Ordinarie matematikundervisning
I kommande avsnitt presenteras hur de sociala normerna kommer till utryck i interaktionen i Eriks ordinarie klass, hur de sociomatematiska normerna utvecklas som en följd av interaktionen samt hur denna interaktion påverkar utmaningsmöjligheterna genom högre tänkande för Erik.
6.3.1 Problemet
Tre nallar ska sitta på rad. Hur många olika sätt kan de sitta på innan de sitter likadant igen?
6.3.2 Hur vi tänker
Strukturen på undervisningen är i den ordinarie matematikundervisningen utifrån den sociala normen EPA, tänka enskilt, diskutera i par, diskutera i helklass. Här blir, åtminstone för Erik, tänkandet framförallt individuellt eftersom Erik hinner lösa problemet innan pardiskussionen börjar. Dessutom blir det inte mycket till pardiskussion då Erik och Markus framförallt sitter tysta.
När det sedan är dags för helklassdiskussion börjar läraren med att fråga alla elevpar hur många olika sätt de har kommit fram till. Elevernas svar ligger mellan tre till sex. En elev ändrar sig sedan och säger att det är 7 olika sätt.
Läraren: Jaha, det var 7 olika sätt. Intressant faktiskt, mycket intressant. Men jag tänker såhär, Vi kan ju ta och kolla. Är det någon som har en grön björn?
Som framgår i första avsnittets utdrag ur intervjun med läraren visar även ovanstående utdrag att läraren är sparsam med hintar om vilket svar som är rätt. För att ta reda på hur vi tänker börjar läraren undersöka problemet tillsammans med eleverna. Tre elever agerar nallar framme på tre stolar. Eleverna får sedan komma fram och byta plats på de tre eleverna. Läraren systematiserar mönstret genom att sätta upp nallar på tavlan. Läraren: Okej, Vad har vi då närmst mig?
Eleverna: Gul.
Läraren: Vad kommer sen? Eleverna: Grön… och röd.
Istället för att samtalet utvecklas till en matematisk diskussion där eleverna för matematiska resonemang hindrar interaktionen snarare och som framgår i utdraget resulterar det i en rapportering av nallarnas färger.
6.3.3 Alla ska förstå
När eleverna fått pröva sig fram ett tag styr läraren in dem på ett mer systematiskt sätt att tänka. Detta gör läraren genom att byta interaktionsmönster från att utforska metoder till interaktionsmönstret bevis via material. Läraren visar då med det konkreta materialet hur eleverna kan bli säkra på att de hittat alla sätt. Det som är den stora skillnaden mellan lektionen i spetsgruppen och i ordinarie matematikundervisningen är att det i den
sistnämnda är läraren som står för varför, vilket synliggörs när läraren i följande utdrag uttrycker:
Läraren: Okej, så? Om jag nu ska ha kvar den gröna nallen. Finns det då fler sätt då den gröna kan sitta här?
Eleverna: Näe…
Läraren: Då vet vi ju det. Den gröna kan sitta där två gånger. Om vi då tar den gula där? Eleverna: Jaaa…
Interaktionen mellan lärare och elever förmedlar därmed ett sätt att tänka, vilket blir något som eleverna ska försöka förstå. De sociomatematiska normerna om vad som karaktäriserar ett bra tänkande för att systematisera lösningen blir därmed, det som i interaktionen förmedlas av läraren.
6.3.4 Utmaning för Erik
Under lösningsfasen när Erik ska diskutera i par med Markus blir det som tidigare nämnts ingen pardiskussion. I den interaktion som förekommer under pardiskussionen går det att tolka som att Erik snarare hamnar i en position som undervisare.
Erik: Det här är alla sätt att dela upp mina på. Vad har du för sätt att dela upp dina på? Markus: Jag har inte kommit så långt.
De tittar tillsammans på Markus papper.
Erik: Oj, det var inte långt. Men det där… Nu har du bara ritat en gång. Nu kan du, om du byter plats på dom två kanske. Vad får man då?
Eftersom Erik redan från det enskilda arbetet kommit fram till att det är 6 olika sätt erbjuder inte interaktionen i klassrummet någon vidare utmaning i den bemärkelsen att han utmanas med möjligheter till högre tänkande, vilket följande utdrag ur intervjun bekräftar:
Erik: Ja den var ju ganska lätt… Frida*: På vilket sätt var det ganska lätt?
Erik: Alltså, eller, alltså den var ganska svår för att det var ganska kul att klura. Men den var ganska lätt när man väl hade kommit fram till svaret.
Detta kan tolkas som att pardiskussionen och helklassdiskussionen inte erbjöd några utmaningar för Erik eftersom han löste problemet redan under det enskilda arbetet. Det är först efteråt, i intervjun med Erik som det synliggörs hur interaktionen ändå bidragit till möjligheter för högre tänkande för Erik:
Frida: Tyckte du att du lärde dig något nytt? Eller vad lärde du dig rättare sagt?
Erik: Jag tyckte att jag lärde mig något nytt och det var… ehm… Vad hette det där begreppet nu igen?
Frida: Kombinatorik? Erik: Ja.
Frida: Vad var det inom kombinatorik som du kände att du lärde dig? Erik: Ja men det var som att jag lärde mig hela, nästan.
Frida: Kan du berätta lite mer?
Erik: Aa, ja… kombinera många färger… Jag har ett kombinationslås på min cykel.
Frida: Jaha, tror du att du skulle kunna räkna ut hur många olika kombinationer du har där då? Erik: Oj, nä.
Frida: Varför inte?
Erik: För att det är upp till nio och de har med noll. Frida: Så det skulle inte gå att räkna ut på det här sättet? Erik: Jo det skulle gå, men det skulle ta väldigt lång tid.
I utdraget kan det tolkas som att Erik trots ett interaktionsmönster som undervisare värderar den strategi som användes i klassrummet, vilket enligt Wood et al. (2006) är den högsta nivån på matematiskt tänkande. Detta får dock inte Erik möjlighet till i den ordinarie matematikundervisningen eftersom undervisningen stannar på problemets ingångsnivå hur många olika sätt kan tre nallar sitta på rad. Detta går att likställa med hur många fiskar får Kim för 20 kr? som presenterades i spetsgruppen. I spetsgruppen fick eleverna möta fler problem liknande det som erbjuds vid reflektionen kring kombinationslåset. Detta sker i sin tur inte i den ordinarie matematikundervisningen. I intervjun efter undervisningen poängterar läraren däremot att:
[…] Jag tänker att vi ska jobba vidare med detta och då kommer jag väll att lägga in en fjärde nalle – Läraren
7. Diskussion
I följande kapitel redogörs för slutsatser om vilka sociala och sociomatematiska normer som skapas i interaktionen i en undervisning genom problemlösning och hur interaktionen påverkar utmaningsmöjligheterna genom högre tänkande för en elev med fallenhet för matematik i årskurs 1. Vidare diskuteras resultatet i relation till tidigare forskning inom området. Avslutningsvis diskuteras även studiens metodval samt studiens betydelse, konsekvenser och generaliserbarhet.
7.1 Slutsatser
Utifrån föreliggande studie kan slutsatser dras att när läraren betonar processen på ett sätt som skapar möjligheter för eleverna att argumentera för hur de tänker och varför skapas fler utmaningsmöjligheter genom högre tänkande för en elev med fallenhet för matematik än om läraren väljer att undervisa kring hur eleverna kan tänka. Studien visar även på hur denna argumentation kan användas för att bygga förståelse. Utifrån Wood, Williams och McNeals (2006) studie är en diskussion kring varför viktigt för att skapa en undersökande/argumenterande klassrumskultur, vilket utifrån deras studie, och även föreliggande, också kopplas till fler möjligheter för högre tänkande. I den här studien synliggjordes möjligheter för högre tänkande i spetsgruppen när meningsskiljaktigheter uppstod i gruppdiskussionen samt när läraren uppmanade Erik till att förklara varför ett svar var rätt.
De sociala normerna om hur eleverna förväntades diskutera med varandra i de båda klassrummen visade på skillnader i utmaningsmöjligheter. När Erik löser problem tillsammans med gruppen i spetsgruppsundervisningen syns en undersökande/argumenterande diskussion. I den ordinarie undervisningen används den sociala normen EPA och när Erik löser problemet enskilt uteblir sedan diskussionen i par. Diezmann och Watters (2001) studie visar att om problemet är tillräckligt utmanande ökar benägenheten till social interaktion. Om problemet redan är löst kan det därför tänkas vara så att intresset för att diskutera försvinner, vilket syns i den här studiens resultat när pardiskussionen mellan Erik och Markus uteblir.
Den här studiens resultat visar, likt Larssons (2015b), att det för vidare diskussion är nödvändigt att inte avslöja huruvida ett svar är rätt, detta gjorde läraren vid flera
