Matematikundervisningen i IB, International Baccalaureate, programmet. En jämförelse med svenska program

Malmö Högskola

Examensarbete

Lärarutbildningen

VT 2004

Gymnasielärarutbildning

Matematikundervisningen i IB, International

Baccalaureate, programmet.

En jämförelse med svenska program.

Sammanfattning

Syftet med detta arbete är att jämföra International Baccalaureate Diploma Programme (IB), med svenska SP och NV program. Detta görs genom att besvara frågan hur innehållen i matematikkurserna på IB programmet skiljer sig från matematikkurser som ges i de svenska programmen. Inte enbart innehållet i kurserna jämförs utan även timplanen granskas för att undersöka om arbetsbördan i programmen skiljer sig åt.

Den lättaste matematikkursen som undervisas i IB programmet, Mathematical Studies är mest lik de svenska Matematik A-C kurserna. Den andra IB kursen, Mathematical Methods täcker framförallt Matematik A-E kurserna medan den tredje kursen, Mathematics Higher Level stämmer bäst överens med Matematik kurserna A-F och Matematik-diskret. För alla IB kurser gäller att de täcker områden som inte tas upp i de svenska programmen. IB kurserna innehåller flera avsnitt och ger en djupare kunskap om ämnet matematik. De undervisas också i ett högre tempo än de motsvarande svenska kurserna. Detta gäller framförallt Mathematical Methods och Mathematics Higher Level.

Nyckelord: International Baccalaureate, IB Matematik

Svensk gymnasium

Innehållsförteckning

1. Inledning 4

1.1 Syfte och frågeställning 4

1.2 Allmänt om International Baccalaureate 4

1.2.1 Historiken om IB 5

1.2.2 IB-programmet 5

1.2.3 Ämnen på IB-programmet 6

1.3 Allmänt om svenska program 7

1.3.1 Samhällsvetenskapsprogrammet SP 7 1.3.2 Naturvetenskapsprogrammet NV 8

2. Metod 9

3. Resultat 10

3.1 Matematikkurser i svenska program 10

3.2 Matematikkurser inom IB 11

3.2.1 Mathematical Studies 12

3.2.2 Mathematical Methods 12

3.2.3 Mathematics Higher Level 13

3.3 Slutsats 13

4. Diskussion 14

5. Refe renser 15

6. Bilaga: Innehållsförteckning matematikkurser 16

Matematik A- D 16

Matematik E,F och Matematik-diskret 17

Mathematical Studies 18

Mathematical Methods 20

1. Inledning

1.1 Syfte och frågeställning

Globaliseringsfrågor och internationaliseringsfrågor präglar vårt samhälle.

Utbildningsdepartementet (1994) skriver i sin läroplan för de frivilliga skolformerna, Lpf 94, bland annat: ”internationaliseringen ställer nya krav på människors kunskaper och sätt att arbeta”. ”Ett internationellt perspektiv i undervisningen är viktigt för att kunna se den egna verkligheten i ett globalt sammanhang, för att skapa internationell solidaritet och för att förbereda eleverna för ett samhälle med allt tätare kontakter över nations- och kulturgränser.” I vissa städer erbjuds eleverna i gymnasieskolan förutom de vanliga svenska programmen också ett internationellt program, International Baccalaureate (IB), där all undervisning sker på engelska och där man efter avslutad examen får ett internationellt erkänt diplom. Frågan man ställer sig då är varför svenska ungdomar skulle välja en utbildning på ett internationellt program i stället för en utbildning i de vanliga svenska programmen såsom SP eller NV? Om man som elev tvekar vilket program som skulle passa bäst är en viktig fråga hur undervisningen i ett internationellt program skiljer sig från den i ett svenskt program.

Men hur skall eleven kunna jämföra undervisningen i de olika skolformerna? I så fall behövs en jämförelse mellan mängden av ämnen, ämnenas innehåll och även kunskapssynen som präglar undervisningen. Det medför att alla kursplaner och timplaner för de olika

programmen behöver granskas. Det är utanför gränserna för det här arbetet.

Därför valde jag att fokusera på endast ett ämne, nämligen matematik. Matematiken lämpar sig väl, för den är obligatorisk i alla skolformer. Undervisningen i ämnet matematik är också oberoende av språk och kultur.

I och med att IB programmet är ett studieförberedande program jämför jag

matematikundervisningen i IB med den i andra studieförberedande program, nämligen i samhällsvetenskapsprogrammet, SP, och i naturvetenskapsprogrammet, NV.

Den frågan jag vill besvara i första hand är: vad ingår i de matematikkurser som undervisas på IB programmet? Hur stämmer innehållet överens med det i matematikkurser som undervisas i de svenska programmen?

En annan fråga som jag anser viktig är: hur ser arbetsbördan ut i IB programmet jämfört med den i ett SP eller NV program? Därför presenterar och jämför jag också timplanen för de olika matematikkurserna.

Jämförelsen gäller programmen vid Filbornaskolan i Helsingborg där jag är verksam. Förhoppningen är att denna jämförelse kan vara en vägledning för eleven inför valet av gymnasieprogram.

1.2 Allmänt om International Baccalaureate (IB)

Innan jag fokuserar på matematiken är en kort presentation av IB programmet i sin helhet viktigt. Dels för att man skall kunna förstå hur studierna bedrivs på det internationella programmet jämfört med de svenska program och dels för att belysa vilka möjligheter samt begränsningar det internationella programmet har jämfört med de svenska programmen.

1.2.1 Historiken om IB

International Baccalaureate Organisation (1997a), IBO, skriver att IBO startades under 1960 talet i Genève. Tanken var att internationella skolor skulle kunna erbjuda ett enhetligt program för elever som flyttar omkring i olika länder. Förutom det praktiska argumentet fanns också en idealistisk tanke, nämligen att akademisk undervisning som lägger vikten vid ett kritiskt tänkesätt och en öppenhet för olika idéer fostrar eleverna till toleranta medborgare med förståelse för olika kulturer. Dessa tankar återfinns också i den nuvarande svenska läroplanen för de frivilliga skolformerna av Utbildningsdepartementet (1994), Lpf 94. Organisationen etablerades 1965 under namnet ”the International Schools Examination Syndicate (ISES)”. Tack vare ett fastställt kursutbud, curriculum, och en väl utarbetad bedömning av dessa kurser utvecklades organisationen och kallades från 1967 International Baccalaureate Organisation, IBO. IBO riktar sig numera inte längre enbart till elever som under sin uppväxt bor i olika länder. Även elever som är internationellt intresserade eller har planer på att studera utomlands efter gymnasiet är välkomna. IBO har mer än 900 skolor i ungefär 100 länder över hela världen.

I Sverige är utbildningen avgiftsfri eftersom den ingår i den svenska skolan.

1.2.2 IB-programme t

IB kurserna är sammanställda för att fullgöra krav från olika nationella undervisningssystem. Studieplanen på IB sammanfattas i en hexagon. I kärnan av hexagonen finns tre villkor som är karakteristiska för IB programmet. De kallas för ”Extended Essay”, ”Theory of

Knowledge (TOK)” och “Creativity, Action, Service (CAS)”. I hexagonens hörn finns sex grupper som innehåller olika ämnen. Det finns bestämda föreskrifter från IBO om vilka ämnen som får ingå i de grupperna. Ämnena i grupperna 3 och 4 kan variera i olika skolor. Enligt Filbornaskolan (2003a) Information om International Baccalaureate (IB), kan ämnen väljas enligt figuren nedanför.

Extended Essay (specialarbete) Theory of Knowledge (vetenskapsteori) Creativity, Action, Service

1

2

4

6

3

5

Ett ämne ur 3 eller 4 Franska B

Spanska B Tyska B

Grupperna är numrerade från 1 till 6.

1. Grupp 1 innehåller alltid modersmålet som ämne. 2. I grupp 2 finns det första främmande språket.

3. Grupp 3 innehåller ämnen som är samhällsvetenskapsorienterade.

4. I grupp 4 ingår de ämnena som tillhör den naturvetenskapliga inriktningen. 5. Grupp 5 innehåller matematikkurser.

6. I grupp 6 väljer eleven ett ämne från grupp 3 eller 4 eller ett andra främmande språk. Ämnena kan läsas på två nivåer: en hög nivå eller en standard nivå. Av de sex ämnen man väljer måste åtminstone tre, men inte mer än fyra, läsas på hög nivå.

Ämnen på hög nivå innehåller 240 timmars undervisning per kurs och ämnen på standard nivå 150 timmar.

Theory of Knowledge (TOK), Vetenskapsteori

TOK kursen skall förmå eleven att reflektera över de olika ämnen eleven lär sig. Kursen skall främja kritiskt tänkande och behandla de etiska, politiska och estetiska val man gör i det dagliga livet. TOK skall innefatta åtminstone 100 undervisningstimmar. Eleven bedöms i slutet av utbildningstiden efter två skrivna arbeten bestående av 1000 till 1500 ord var. Det första arbetet kan väljas fritt medan det andra arbetet väljs från en lista med titlar.

The Extended Essay, Specialarbete

Eleven skall skriva ett arbete som innehåller omkring 4000 ord inom ett område i en av kurserna. Därmed ges eleven möjligheten att fördjupa sig inom ett område som eleven är intresserad av. Eleven lär sig vad det innebär att bedriva forskning och skriftligt redogöra sina resultat som förberedelse för universitetsstudier. Eleven rekommenderas att ägna omkring 40 timmar åt studier och skrivande till ”extended essay”.

Creativity, Action, Service, CAS

För att erhålla sitt IB diplom måste eleven ägna 50 timmar åt ett kreativt eller konstnärligt arbete (creativity), 50 timmar åt en idrottsrelaterad sysselsättning och 50 timmar åt ett ideellt arbete.

1.2.3 Ämnen på IB-programmet

IB-programmet är i sig självt tvåårigt och bygger på 10 års tidigare skolgång. De flesta elever kommer oftast direkt från årskurs 9 och läser därför ett förberedande år, PreIB. Under det första halvåret får alla PreIB elever alla kurser som ingår i IB-programmets utbud. Under det andra halvåret i PreIB väljer eleverna de 6 grundkurser de vill fortsätta läsa under IB tiden, som kallas IB1 och IB2.

Det finns alltid tre ämnen som ingår i IB-programmet: svenska, engelska (grupp 1 och 2) och matematik (grupp 5). Väljer eleven svenska som modersmål blir engelska det första

språket. Matematik ingår alla tre åren. Förutom dessa tre ämnen ingår enligt Filbornaskolan (2003b) Timplan PreIB, också följande ämnen under det första halvåret på PreIB: B-språk (franska, tyska eller spanska), datakunskap, idrott, biologi, fysik, kemi, ekonomi, historia, psykologi och individuellt val som är extra engelska.

Under det andra halvåret på PreIB väljer eleven enbart de ämnen den tänker fortsätta med under de två IB åren. Eleven väljer då inriktning på programmet. Det finns

samhällsinriktning (Social Sciences, SOS) eller naturvetenskaplig inriktning (Natural Sciences, NAS).

Om eleven opterar för samhällsinriktning väljs två samhällsvetenskapliga ämnen från grupp 3, nämligen historia och ekonomi eller ekonomi och psykologi och sedan ett av de tre

naturvetenskapliga ämnen, fysik eller kemi eller biologi.

Om eleven väljer naturvetenskaplig inriktning väljer eleven i första hand två

naturvetenskapliga ämnen från grupp 4, t ex fysik och kemi eller kemi och biologi. Det sjätte ämnet väljs i grupp 3, bland de samhällsorienterade kurserna historia, ekonomi och psykologi. Det är möjligt att läsa ett tredje språk (franska, tyska eller spanska) på Filbornaskolan. Då väljs detta som ett sjunde ämne. Detta ämne är inte med på diplomet, men eleven får ett certifikat om att kursen har fullgjorts.

Dessutom ingår fortfarande under andra terminen av PreIB året datakunskap, idrott och ett individuellt val som är engelska.

Under de följande två IB åren läser eleven de 6 eller 7 ämnen den har valt, skriver en extended essay och fullgör sin CAS verksamhet och TOK arbete.

Det andra året IB2 avslutas sedan med examen i alla sex eller sju ämnen. Före examen får eleven tre veckor ledigt för att kunna förbereda sig i lugn och ro. Examinationen bedöms externt för att garantera en objektiv värdering. Betygssättningen görs efter en sjugradig skala och maxpoängen är 45. Minst 24 poäng krävs för ett godkänt IB-diplom. IB diplomet gäller enbart sex ämnen. För det sjunde ämnet får eleven ett certifikat.

IB-diplomet ger möjlighet att söka till universitet över hela världen, men IB-studenterna måste konkurrera om platserna. Naturligtvis kan man också välja att fortsätta läsa här i Sverige. Högskoleverket har riktlinjer för bedömning av IB-programmet.

1.3 Allmänt om svenska program

För att belysa de svenska programmens uppbyggnad av kurser återger jag en sammanfattning av Filbornaskolan (2003c, d) Timplan och poängplan för samhällsvetenskapsprogrammet och naturvetenskapsprogrammet.

1.3.1 Samhällsvetenskapsprogrammet SP

I SP programmet läser eleven 8 kärnämnen som tillsammans ger 750 poäng och 9 gemensamma kurser i karaktärsämnen som ger sammantaget 800 poäng. Vissa av

karaktärsämnena är en fortsättning på kärnämnena. Så ingår t ex Matematik A som kärnämne och Matematik B som karaktärsämne.

Eleven kan välja bland 3 inriktningar inom SP programmet: ekono mi (350 p), kultur (400 p), samhällsvetenskap (250) och språk (400).

Eleven skall även utföra ett projektarbete som motsvarar 100 poäng. Vidare skall eleven välja en eller flera valbara kurser, bland 15 möjliga, som skall motsvara 150 till 300 poäng. Bara Matematik C skall erbjudas. Dessutom gör eleven ett individuellt val som motsvarar 300 poäng.

Sammanfattat läser eleven minst 12 olika ämnen under 3 års tid.

1.3.2 Naturvetenskapsprogrammet NV

I NV programmet ingår också 8 kärnämneskurser som sammanlagt ger 750 poäng och 9 gemensamma kurser i karaktärsämnen som tillsammans ger 850 poäng, ett projektarbete som ger 100 poäng och ett individuellt val på 300 poäng. Eleven kan välja bland följande

inriktningar: naturvetenskap (300 p), matematik och datave tenskap (300 p) och

miljövetenskap (300 p). Dessutom ingår en mängd valbara kurser, varav Biologi B, Fysik B, Kemi B och Matematik E skall erbjudas. Valbara kurser skall motsvara 200 poäng.

Även i det här programmet läser eleven minst 12 ämnen under 3 år.

2. Metod

För att jämföra innehållet i matematikkurser inom det internationella programmet och programmen i den svenska skolan använder jag mig främst av kursplaner och läroböcker. De svenska kursplanerna som beskrivs i Naturvetenskapsprogrammet Gy 2000 har inget detaljerat innehåll. Därför använder jag mig också av böckerna författade av Björck Lars-Eric, Brolin Hans och ibland Ekstig Kerstin. Deras böcker används i stor utsträckning inom de svenska programmen och ger en bra beskrivning av innehållet för de svenska

matematikkurserna.

International Baccalaureate Organisation framställer själv kursplaner för matematikkurserna för IB programmet. Förutom målen finns en detaljerad innehållsbeskrivning som även anger hur många timmar undervisning ett visst avsnitt skall ta.

För sammanställning av antalet undervisningstimmar i de svenska programmen använder jag mig av Filbornaskolans timplaner.

3. Resultat

3.1 Matematikkurser i svenska program

Skolverket och Fritzes (2000) Naturvetenskapsprogrammet Gy 2000, s.75 beskriver ämnet matematik i gymnasieskolan på följande sätt. ”Matematikämnet i gymnasieskolan är uppbyggt av flera områden: aritmetik, algebra, geometri, sannolikhetslära, statistik,

funktionslära, trigonometri samt differential- och integralkalkyl med differentialekvationer.” Vidare står det. ” I ämnet matematik ingår 7 kurser, Matematik A-E, som bygger på varandra samt Matematik-diskret och Matematik-breddning.”

Sedan följer en kort beskrivning av varje kurs. Jag återger informationen om innehållet i varje kurs.

Matematik A är en kärnämneskurs och ingår i alla program. Kursen bygger vidare på

matematikutbildningen i grundskolan och erbjuder breddade och fördjupade kunskaper inom områdena aritmetik, algebra, geometri, statistik och funktionslära.

Matematik B bygger vidare på kunskaper motsvarande grundskolans sannolikhetslära och på Matematik A inom områdena geometri, statistik, algebra och funktionslära.

Matematik C bygger vidare på Matematik B inom aritmetik, algebra och funktionslära. Den innehåller även differentialkalkyl.

Matematik D bygger vidare på Matematik C och innehåller trigonometri och differential- och integralkalkyl.

Matematik E bygger vidare på Matematik D och ger eleven tillfälle att i en syntes använda tidigare kunskaper om talbegreppet samt kunskaper från algebra, funktionslära, trigonometri, geometri och differential- och integralkalkyl. Kursen behandlar komplexa tal samt fördjupad differential- och integralkalkyl.

Matematik -diskret bygger på kunskaper från Matematik C. Kursen skall erbjuda eleven kunskaper om mängder, de hela talens egenskaper, talföljder, kombinatorik samt satslogik. Kursen är valbar.

Matematik -breddning bygger på kunskaper från Matematik C. Kursen är valbar.

För varje kurs finns sedan en målbeskrivning. Där finns angiven vilka olika moment kurserna skall innehålla, dock utan en detaljerad beskrivning, det är snarare riktlinjer som ges.

Skolverket och Fritzes (2000) Naturvetenskapsprogrammet Gy 2000, beskriver mål som eleverna skall ha uppnått efter avslutad kurs för Matematik A på sida 80, för Matematik B på sida 83, Matematik C på sida 86, Matematik D på sida 89, Matematik E på sida 92 och för Matematik diskret på sida 77.

Matematikkurserna A, C och D motsvarar 100 poäng, medan B, E och Matematik-diskret motsvarar 50 poäng.

Innehållet för varje matematikkurs finns i bilagan s.16 och 17.

I Filbornaskolan (2003c, d) Timplan för samhällsvetenskapsprogrammet och naturvetenskaps- programmet är följande antal undervisningstimmar för de olika matematikkurserna angivna. Matematik A: 100 timmar

Matematik B: 60 timmar för SP programmet, 50 timmar för NV programmet. Matematik C: 100 timmar

Matematik E: 40 timmar Matematik diskret: 40 timmar

Inom det samhällsvetenskapsprogrammet (SP) är enbart Matematik A och B obligatoriska. Matematik A läses under årskurs 1 och Matematik B under årskurs 2. Både kurser brukar avslutas med ett nationellt prov. Matematik C kan vä ljas i årskurs 3.

I det naturvetenskapsprogrammet (NV) är Matematik A till och med D obligatoriska. Om eleven väljer inriktningen matematik och datavetenskap ingår också Matematik E och Matematik-diskret. Matematik-breddning ingår ej.

I NV programmet läser eleven ungefär 2 matematikkurser om året. Kurserna A och B läses under det första året. Eleverna avslutar både kurserna med ett nationellt prov. Sedan fortsätter eleven att läsa kurserna C under andra året och påbörjar D kursen, som avslutas under tredje året med ett nationellt prov. Om eleven väljer inriktningen matematik och datavetenskap ingår ytterligare Matematik E och Matematik-diskret.

I de svenska kurserna är fördjupningar och miniprojekt ej obligatoriska.

3.2 Matematikkurser inom IB

Under det första förberedelseåret, PreIB, läser eleverna en matematikkurs som motsvarar både Matematik A och Matematik B. I slutet av PreIB avlägger eleverna nationella prov i

Matematik A och B i en engelsk version. Anledningen till att eleverna gör båda proven i slutet av PreIB har att göra med att den engelska kursboken sammanväver den svenska Matematik A och B kursen. Den internationella matematikkursen är upplagd så att man inleder nya abstrakta matematiska begrepp på en mycket enkel nivå tidigare än inom den svenska kursen. Senare tränger man djupare in i begreppen och gör mera avancerade uppgifter. Inom den svenska matematikkursen lär man sig vissa begrepp senare men man satsar omedelbart på svårare problemlösning.

När eleverna påbörjar IB1 kan de välja bland tre olika alternativ av matematikkurser. Från lättast till svårast betecknas de:

- Mathematical Studies - Mathematical Methods - Mathematics Higher Level

Kursen Mathematical Studies lämpar sig för elever som har bestämt sig för

samhällsinriktningen (SOS) och inte vill fördjupa sig för mycket i ämnet matematik. Mathematical Methods riktar sig till elever (SOS och NAS) som behöver djupa kunskaper inom matematiken för vidare studier som t ex inom biologi, kemi, ekonomi, geografi eller psykologi. Den sista kursen Mathematics Higher Level vänder sig till elever som behöver mycket matematik i sina fortsätta studier bl a matematiker eller fysiker.

Varje kurs består av en obligatorisk del och en mindre del där eleverna och läraren själva får välja ett avsnitt. Dessutom behöver eleverna genomföra ett eller flera projektarbeten i vilka de visar att de kan tillämpa de förvärvade matematikkunskaperna.

En utförlig beskrivning av innehållet i de tre kurserna är sammanställt i var sin Syllabus av International Baccalaureate Organisation, se bilagan s. 18 - 26.

Vissa avsnitt behandlas inte i den svenska kursen och i så fall har jag skrivit att den ej ingår. Ibland finns endast en del i den svenska kursen. Jag har då angett den kursen i vilken

materialet finns och därefter skrivit delvis.

3.2.1 Mathematical Studies

Eleverna på IB programmet kan inte avsluta sina matematikstudier efter PreIB. Det enklaste de kan välja är i så fall Mathematical Studies. Enligt International Baccalaureate

Organisation (1997b) Mathematical Studies SL, Syllabus Details skall kursen omfatta minst 150 timmars undervisning, varav 100 timmar är obligatoriska avsnitt. Sedan väljs 25 timmars undervisning bland 3 valbara avsnitt. Dessutom skall eleven göra ett projektarbete som motsvarar 25 timmars arbete.

Innehållet i Mathematical Studies återges i bilagan, sidorna 18 och 19. Därifrån framgår att Mathematical Studiers främst innehåller delar som finns i de svenska matematikkurserna A till och med C. Framförallt om avsnitt 9 väljs täcks den största delen av C kursen förutom logaritmer. Även en del av D kursen ingår, nämligen triangelsatser och trigonometriska funktioner, samt en introduktion till integralberäkning om avsnitt 9 väljs. Omkring 10 % av kursen innehåller avsnitt som återfinns i Matematik-diskret och Matematik F. För omkring 20 % av innehållet i Mathematical Studies finns inga motsvariga avsnitt i de svenska

matematikkurserna. Detta berör områden inom sannolikhet, statistik, vektorer, matriser och geometri i 3 dimensioner.

Den här kursen undervisas på 150 timmar. Av dessa 150 timmar ägnas 25 timmar åt eget arbete så att den egentliga undervisningstiden blir 125 timmar. Inom SP och NV undervisas enbart matematik C kursen i 100 timmar.

3.2.2 Mathematical Methods

Mathematical methods är den andra matematikkursen på standard level, dvs att den också omfattar sammanlagt 150 timmars undervisning. Från International Baccalaureate Organisation (1997c) Mathematical Methods SL, Syllabus Details framgår dock att fördelningen av undervisningstimmar är annorlunda än i Mathematical Studies. Den

obligatoriska delen innefattar 105 timmar och den valbara delen 35. Dessutom är 10 timmar avsatta till 5 arbeten som eleven skall genomföra inom olika områden av kursen. Genom arbetena skall eleven visa att hon/han kan undersöka ett problem på ett matematiskt sätt, lösa problemet och bygga en matematisk modell. Innehållet av Mathematical Methods

sammanfattas i bilagan på sidorna 20 till och med 22.

Såsom i studies är den obligatoriska delen uppbyggd av 6 delar och därefter finns 3 valbara avsnitt av vilka eleverna väljer 1.

Från tabellerna framgår tydligt att den här kursen är mer omfattande än Mathematical Studies. Innehållet i kursen Mathematical Methods täcker främst områden som finns i kurserna B till och med D, i synnerhet om avsnitt 8 väljs. Det enda från D kursen som inte tas upp är rotationsvolymer. Dessutom finns i Mathematical Methods minst 25 % som inte ingår i de svenska kurserna. Områdena som berörs är sannolikhet, statistik, vektorgeometri och användning av matriser för transformationer i geometri och lösning av ekvationssystem. Under 1993-1994 bedömdes kursen Mathematical Methods av samtliga tekniska högskolor, däribland KTH, LTH och Chalmers. Slutsatsen var att Mathematical Methods motsvarar de svenska matematikkurserna A till och med E. Information om detta finns författad av Verket för Högskoleservice och är tillgänglig på dess internetadress.

Mathematical Methods undervisas på 150 timmar varav 10 timmar är avsedda för 5 egna arbeten. Matematik C, D och E kursen undervisas tillsammans på 250 timmar. Det betyder att tempot på den här kursen är jämförelsevis mycket högt eftersom det finns även en del som inte har någon motsvarighet i det svenska programmet.

3.2.3 Mathematics Higher Level

Kursen Mathematics Higher Level innefattar 240 timmars undervisning. Innehållet återfinns på sidorna 23 till och med 26 i bilagan. Kursen är indelad i 13 avsnitt. De första 8 är

obligatoriska och sträcker sig över totalt 195 timmar. Av de 5 återstående avsnitt väljer klassen 1, som tar 35 timmars undervisning. Sedan återstår för eleven att skriva 5 arbeten inom olika områden i kursen som visar att eleven har förmågan att göra en matematisk undersökning, att lösa ett matematiskt problem, kan skapa en matematisk modell och utföra matematisk forskning. Dessa arbeten skall motsvara 10 timmars studier.

Mathematics Higher Level är en mycket gedigen matematikkurs. Den täcker främst innehållen i de svenska matematikkurserna C till och med F. Matematik-diskret finns dessutom som en valbar del. Det finns dock 2 avsnitt som inte behandlas jämfört med den svenska kursen, nämligen rotationsvolymer och andra grads differentialekvationer. Däremot ingår minst 35 % av kursens innehåll inte i de svenska kurserna. Såsom tidigare gäller det områden inom sannolikhet, statistik, vektorgeometri, matriser för att lösa ekvationssystem, matriser inom geometriska transformationer och serier.

Antalet undervisningstimmar är 240 varav 10 timmar är avsedda för eget arbete. Inom det svenska programmet finns totalt 290 timmar för Matematik C, D, E och Matematik-diskret. Det betyder att även här är tempot på kursen mycket högt.

Det finns en annan syn på matematikkurserna inom IB programmet än i de svenska SP och NV programmen. Medan de svenska kurserna nästan enbart inriktar sig på problemlösning och matematiska tillämpningar, fokuserar man inom IB på ämnet matema tik i sig.

Matematiska symboler introduceras genast och används genomgående i ett korrekt matematiskt språk i resonemangen inför tillämpningar. Inom IB kurserna utförs också en betydande del av uppgifterna på grafritande räknare.

3.3 Slutsats

En jämförelse mellan innehållet i IB kurserna och det i svenska matematikkurser ger följande resultat.

Matematikkursen Mathematical Studies motsvarar minst Matematik A-C, Mathematical Methods täcker främst Matematik A-E och Mathematics Higher Level innehåller mera än Matematik A-F och Matematik-diskret. Alla tre kurser omfattar områden inom matematiken som man har valt bort i Sverige. Att IB kurserna är mera innehållsrika än de svenska kurserna är inte på något sätt förvånansvärt då eleverna på IB enbart läser 6 eller 7 ämnen istället för minst 12 ämnen i de svenska programmen. Märkligt är dock att dessa omfattande kurser täcks av så få undervisningstimmar. Om man ser till innehållet och antal

undervisningstimmar i Mathematical Methods och Mathematics Higher Le vel visar det sig att tempot är väsentligt högre än tempot i motsvarande svenska kurser. Även kursen

4. Diskussion

För en elev som skall välja mellan IB programmet och ett SP eller NV program finns flera skillnader som kan hjälpa eleven i sitt beslut.

I de svenska programmen läses minst 12 ämnen, uppdelade i många mindre kurser som tenteras av var för sig. Det är den undervisande läraren som sätter betyg i varje kurs. Inom IB programmet läser eleven maximalt 7 ämnen. Dessa ämnen läses på hög nivå så att eleven får en fördjupad kunskap. Inom ett ämne ryms flera svenska kurser. Alla ämnen tenteras av efter två års studier under en examensperiod. Examen bedöms externt.

Detta innebär att elever som väljer IB programmet behöver ta ett stort ansvar för sina studier och tvingas till en effektiv studieteknik. Det medför också att elev och lärare tillsammans har ett mål att arbeta mot, nämligen att nå ett så bra examensresultat som möjligt. På IB

programmet blir därför relationen mellan elev och lärare annorlunda än i ett svenskt program.

Slutligen vill jag påpeka att en elev som väljer IB programmet inte blir bunden av sitt val av inriktning på samma sätt som en elev i de svenska programmen. Även en elev med

samhällsinriktning har t ex möjlighet att läsa Mathematical Methods som motsvarar

matematikkurser som enbart elever inom den naturvetenskapliga inriktningen i det svenska programmet kan läsa.

5. Referenser

Björk Lars-Eric, Brolin Hans (2000). Matematik 3000, Kurs A och B lärobok, Naturvetenskap och teknik. Stockholm: Natur och Kultur.

Björk Lars-Eric, Brolin Hans, Ekstig Kerstin (2000). Matematik 3000, Kurs C. Stockholm: Natur och Kultur.

Björk Lars-Eric, Brolin Hans (1995). Matematik 2000, Kurs D. Stockholm: Natur och Kultur.

Björk Lars-Eric, Brolin Hans (2001). Matematik 3000, Kurs E. Stockholm: Natur och Kultur.

Björk Lars-Eric, Brolin Hans (1996) Matematik 2000, Fördjupningsbok (”kurs F”), Bokförlaget Natur och Kultur.

Filbornaskolan (2003a). International Baccalaureate (IB)

http://www.fisk.helsingborg.se/program/ib/ib.html 2003-10-23 Filbornaskolan (2003b) Timplan för PreIB

http://www.fish.helsingborg.se/program/ib/timplan%20pre-IB.htm 2003-11-04 Filbornaskolan (2003c) Timplan för samhällsvetenskapsprogrammet

http://www.fish.helsingborg.se/program/sp/sp_egen/hemsidesnytt.htm 2003-11-04 Filbornaskolan (2003d). Timplan för naturvetenskapsprogrammet

http://www.fish.helsingborg.se/program/Helsingborg%20idrottsgymnasium/timplaner/T implan%20NVNAS.htm 2003-11-04

International Baccalaureate Organisation (1997a). Guide to the Diploma Programme. Geneva

International Baccalaureate Organisation (1997b). Mathematical Studies SL, Syllabus Details.

International Baccalaureate Organisation (1997c). Mathematical Methods SL, Syllabus Details.

International Baccalaureate Organisation (1998). Mathematics Higher Level HL, Syllabus Details.

Skolverket och Fritzes (2000). Naturvetenskapsprogrammet Gy 2000 Upplaga 1. Progammål, kursplaner, betygskriterier och kommentarer NV 2000:4.

Borås: Centraltryckeriet.

Utbildningsdepartementet (1994). Läroplaner för det Obligatoriska Skolväsendet och de Frivilliga Skolformerna Lpo 94, Lpf 94.

Bilaga:

Matematik A: 100 p

Avsnitt Innehåll

1. Basfärdigheter. Tal och numerisk räkning, ekvationer och formler, procent, formler och geometri, kalkylprogram. 2. Rita och tolka grafer. Tabeller, formler och grafer, funktioner. 3. Förändringsfaktor, potenser och

exponentialfunktioner.

Procentuella förändringar, potenser, exponentialfunktioner.

4. Geometri. Vinklar, likformighet, trigonometri.

5. Statistik. Tolka diagram, lägesmått, sammanställa data Matematik B: 50 p

Avsnitt Innehåll

1. Algebra och geometri. Algebra, några satser i geometri, koordinatgeometri. 2. Funktioner. Grundbegrepp, linjära funktioner, linjära ekvationssystem,

andragradsfunktioner. 3. Sannolikhetslära och

statistik.

Enkla slumpförsök, slumpförsök med flera föremål eller steg, statistik, statistiska undersökningar.

Fördjupningar till Kurs A och Kurs B

Basfärdigheter, rita och tolka grafer, förändringsfaktor, potenser och exponentialfunktioner, geometri, algebra och geometri, funktioner, sannolikhetslära.

Matematik C: 100 p

Avsnitt Innehåll

1. Algebra och funktioner. Polynom, rationella uttryck, linjära och kvadradiska funktioner, exponential- och potensfunktioner, logaritmer. 2. Förändringshastigheter och

derivator.

Förändringshastigheter, begreppet derivata, deriveringsregler. 3. Kurvor och derivator. Vad säger förstaderivatan om grafen, derivator och

tillämpningar.

4. Talföljder och summor. Talföljder, summor, tillämpningar, kalkylmodeller. Matematik D: 100 p

Avsnitt Innehåll 1. Trigonometri

och algebra.

Rätvinkliga trianglar, några ekvationer, logaritmlagarna.

2. Trigonometri. Triangelsatsern, trigonometriska formler och ekvationer, trigonometriska kurvor, radianbegreppet, derivata av trigonometriska funktioner,

numerisk ekvationslösning.

3. Integraler. Primitiva funktioner, integralbegreppet, numerisk beräkning av integraler, exakt beräkning av integraler, tillämpningar, exponential-, logaritm- och potensfunktioner, rotationsvolymer.

Matematik E: 50 p

Avsnitt Innehåll

1. Komplexa tal. Inledning, räkning med komplexa tal, det komplexa talplanet, potenser av komplexa tal, polynomekvationer.

2. Derivator och integraler.

Derivator, extremvärden, primitiva funktioner och integraler, volymberäkning med integraler.

3.

Differentialekvationer.

Inledning, differentialekvationer av första ordningen, numeriska lösningsmetoder, matematiska modeller med differentialekvationer, differentialekvationer av andra ordningen.

Matematik-diskret

För Matematik-diskret finns för närvarande inget kursmaterial på Filbornaskolan. Därför återger jag innehållet från Naturvetenskapsprogrammet Gy 2000, s. 77.

Avsnitt Innehåll

1. Mängdlära Egenskaper hos mängden av de hela talen. Operationer på mängder 2. Induktion och

rekursion

Användning inom datatillämpningar.

3.Kombinatorik. Tillämpningar vid t ex analys av algoritmer. 4. Relation. Samband mellan datamängder.

5. Satslogik. Användning i programmering och problemlösning. Matematik F:

Avsnitt Innehåll

1. Diskret matematik. Kombinatorik, talföljder, serier, induktionsbevis 2. Mängder, logik och

talteori.

Mängder, satslogik, talteori. 3. Sannolikhetslära

och statistik.

Elementär sannolikhetslära, fördjupad sannolikhetslära, insamla, bearbeta och tolka data, normalfördelning, intervallskattning 4. Funktioner. Integrationsmetoder, inversa finktioner, approximation med

polynom, symbolhanterande program. 5. Vektorer och

matriser.

Vektorer i planet, vektorer i rymden, räta linjer och plan i rymden, vinklar i rymden, matriser, ekvationssystem, matriser och

Mathematical Studies

1. Tal och Algebra: 15 timmar svensk kurs

Olika uppsättningar av tal: N, Z Q R. A

Avrunda tal, värdesiffror. A

Grundpotensform. A

Absoluta och Relativa fel. Fördjupning A,B

Fel i beräkningar. Fördjupning A,B

Talföljd, aritmetisk och geometrisk summa. F

Olikheter. A

Lösa kvadratiska ekvationer, x→ ax2 +bx+c, genom faktorisering. D Lösa kvadratiska ekvationer, x→ ax2 +bx+c, med hjälp av grafer. B

2. Mängdlära och logik: 12 timmar svensk kurs

Grundbegrepp inom mängdlära. Diskret, F

Venn diagram. Diskret, F

Grundbegrepp inom logiken. Diskret, F

Sammansatta påståenden. F

Sanningstabeller. Ingår ej

Definition av slutledning, logisk likvärdighet. Diskret, F

Test av giltigheten av enkla bevisföringar. F

Begreppen motsägelse och tautologi. Ingår ej

3. Geometri och trigonometri: 15 timmar svensk kurs Triangelsatser: Sinussatsen, cosinussatsen, areasatsen. D

Koordinater i 2 och 3 dimensioner, linjer, mittpunktsformeln, vinklar. Avstånd mellan punkter, storlek på vinklar, rät vinkel.

A, B, F Ekvation av en linje i 2 dimensioner y=mx+c, ax+by+c=0

Linjers skärningspunkter, parallella och vinkelräta linjer.

B Geometri i 3 D kroppar: kub, prisma, pyramid

Längden av olika diagonaler, vinklar mellan 2 linjer, mellan linjer och plan.

F delvis

Vektor som förflyttning i ett plan, representation som en kolumn. F

Räkneoperationer med vektorer. F

4. Statistik och sannolikhetslära: 25 timmar svensk kurs

Klassifikation av data. A

Spridningsdiagram, anpassning till rät linje. Fördjupning A,B

Frekvenstabeller, olika diagram. A

Kumulativa frekvenstabeller och diagram. Ingår ej

Variationsbredd, kvartilavstånd. B, F

Lägesmått. A

Modal grupp, 50 percentile. Ingår ej

Normalfördelning, standardavvikelse. F

Sannolikhetslära, bl a träddiagram. B

Beskrivning med logik, Venn diagram. Ingår ej

5. Funktioner: 20 timmar svensk kurs

Grundbegrepp, definitions- och värdemängd. B

Linjära olikheter och deras grafer. B

Andragradsfunktioner x→ax2 +bx+c B

Trigonometriska kurvor. D

Exponentialfunktioner och deras grafer. A, C

Asymptotiskt beteende. C

6. Matematik inom ekonomi: 13 timmar svensk kurs

Valuta omräkning. A

Enkel ränta. A

Sammansatt intrest, exponentiell tillväxt. A, C

Kalkylmodeller och tabeller till lån och återbetalning. C delvis

Linjär programmering. Ingår ej

Valbara avsnitt: enbart ett avsnitt bland de tre följande väljs av hela klassen.

7. Matriser och grafteori: 25 timmar svensk kurs

Matrisbegreppet, räkna med matriser. F

Determinant, invers matrix. F

Teori om grafer, definitioner. Ingår ej

Matrisrepresentation av en graf. Ingår ej

Grafer med riktning, stadsplan. Diskret

Enkla Markov kedjor. Ingår ej

Enkla spel. Ingår ej

8. Mera statistik och sannolikhet: 25 timmar svensk kurs

Normalfördelning, medelvärde. Fördjupning A,B

Standardavvikelse, tillämpningar. Fördjupning A,B

Korrelation, linjär anpassning, regression. Ingår ej

?² test. Ingår ej

9. Derivata introduktion: 25 timmar svensk kurs

Derivatans definition och tolkning. C

Derivatan av polynomfunktioner. C

Växande och avtagande funktioner, grafisk tolkning. C

Lokala maxima och minima. C

Tillämpningar av derivata. C

Mathematical Methods

1. Tal och Algebra: 15 timmar svensk kurs

Olika uppsättningar av tal: N, Z Q R. A

Talföljd, aritmetisk och geometrisk summa. C

Tillämpningar. C

Potenser och logaritmer x

a , x

e , logx, lnx C, D

Lagar för potenser och logaritmer. C

Potensekvationer, exponentialekvationer. C

Binomialsats, expansion av n

b a )

( + F

2. Funktioner och ekvationer: 25 timmar svensk kurs

Funktionsbegrepp: definitions- och värdemängd. B

Sammansatta funktioner f?g, identitets och inversa funktioner. Ingår ej Funktionens graf, användning av grafritande räknare. B Transformationer av grafer: translation (förflyttning), stretch, reflektion i axlarna.

1

−

f s graf som reflektion i linjen y=x av funktionen f .

B F Linjära funktioner x →ax+b B Reciprok funktion x x→ 1 , x ≠0 F

Den kvadratiska funktionen x→ ax2 +bx+c _B

Lösningsformeln för kvadratisk ekvation. B

Potens- och exponentialfunktioner, definitions- och värdemängd. C Logaritmiska funktioner, y=logx och y =lnx C, D Grafer : x a y = , x e y = , y=log_a x, y=lnx C, D Exponentialekvation ax =b C

3. Trigonometriska funktioner: 15 timmar svensk kurs Cirkeln, radian, area och omkrets cirkelsektor. A, D

Enhetsscirkeln definition av sinθ och cos samtθ tan θ 1

sin

cos2θ + 2θ = , sin 2θ =2sinθcosθ , cos2θ =cos2θ−sin2θ

D x

x x,cos ,tan

sin : definitions- och värdemängd. D

Deras grafer och periodicitet. D

Inversa funktioner: arcsin x,arccosx,arctanx F Sammansatta funktioner f (x)=asin b(x+c) D Triangelsatser: sinussatsen, cosinussatsen, areasatsen. D

4. Vektorgeometri: 15 timmar svensk kurs

Vektor som förflyttning i ett plan, representation som en kolumn. F Räkneoperarioner med vektorer, invers vektor. F delvis

Vektorlängd. F

Skalär produkt och dess egenskaper. F

Parallella och vinkelräta vektorer. F

Representation av en linje i ett plan. F

Vinkeln mellan två vektorer. F

5. Statistik och sannolikhet: 20 timmar svensk kurs

Population, data, frekvenstabeller. A

Presentation av data, histogram. A

Lägesmått, medelvärde, median. A

Kumulativ frekvens, grafer, kvartil. Ingår ej

Standardavvikelser. Fördjupning A,B

Sannolikhet för en händelse, komplementära händelser. Användning av mängdlära.

B delvis Ingår ej Flera försök efter varandra. Användning av mängdlära. B delvis Beskrivning av sannolikheter med Venn diagram. Ingår ej Användning av Venn diagram, träddiagram, tabeller. B delvis 6. Differential- och integral kalkyl, Calculus: 20 timmar Svensk kurs

Begreppen limes och konvergens. C

Derivata av n

x

y = , n∈Q, y=sin x, y =cosx, y =tanx, x

e y= , x

y =ln . Derivata av deras summor och multipler.

C, D Derivata av sammansatta funktioner, kedjeregeln. D

Tillämpningar av första derivatan. C

Integral som anti-derivata.

Integral av y =xn, n∈Q, y =sin x, y=cosx, y=ex och sammansatta funktioner med y =ax+b.

Tillämpningar.

D, E

Primitiva funktioner med villkor. Areor som begränsas av kurvor. D Valbara avsnitt

7. Statistiska metoder: 35 timmar Svensk kurs

Normalfördelning, kurvans egenskaper. Fördjupning A,B

Standardiserad normalfördelning. F

Användning av tabeller för att beräkna sannolikhet. Fördjupning A,B Stickprovsundersökning, deras fördelning, medelvärde. F

Sannolikheter vid standardiserad normalfördelning. F

Signifikans test och hypotes test. Ingår ej

Signifikans nivåer, kritiska områden och värden. Ingår ej

Statistik av test och slutsats. Ingår ej

Kontingens tabeller och ?² test, 2 faktorers beroende. Ingår ej Bivariata data, scatter diagram, korrelationsbegrepp. Ingår ej

Kovarians, korrelationsmått. Ingår ej

Regressionslinjer (minsta kvadratmetoden) och deras användning. Ingår ej

8. Mera calculus: 35 timmar Svensk kurs

Derivata av produkt och kvot. D

Vertikala och horisontella asymptot. E

Andra derivata, lokala maxima och minima, terrasspunkter. C, E

Iteration, divergens från, konvergens till. D

Numerisk ekvationslösning, Newton- Raphsons metod. D

Integralberäkning genom variabelsubstitution. F

Arean av ett område mellan två kurvor. D

9. Mera geometri: 35 timmar Svensk kurs Geometriska transformationer av plan.

Förflyttning (translation), rotation, reflektion, förstoring, osv.

Ingår ej

Sammansatta tranformationer. Ingår ej

Matriser, addition, subtraktion och multiplikation av matriser. F

Den inversa matrisen. F

Elementära transformationer och deras matriser. F

Determinant av en matris och dess egenskaper. F

Determinanter av elementära matriser. F

Determinanter för rotation och reflektion. F

Mathematics Higher Level

1. Tal och Algebra: 20 timmar Svensk kurs

Talföljd, aritmetisk och geometrisk summa och tillämpningar. C Potenser och logaritmer ax, ex, logx, lnx och dess lagar. C, D

Potensekvationer, exponentialekvationer. C

Binomialsats, expansion av (a+b)n F

Induktionsbevis F

Komplexa tal z =a+ib, z=r(cosθ i+ sinθ), det komplexa planet. E Summa, multiplikation och kvot av komplexa tal. E De Moivres sats: potenser och rötter av komplexa tal. E

Rötter (konjugata) av ekvationer. E

2. Funktioner och ekvationer: 25 timmar Svensk kurs Funktionsbegrepp: definitions- och värdemängd. B - E

Sammansatta funktioner f?g, identitets och inversa funktioner. F delvis Funktionens graf, användning av grafritande räknare. B Transformationer av grafer, translationer (förflyttningar), stretch och

reflektioner.

1

−

f s graf som reflektion i linjen y=x av funktionen f .

B F Reciprok funktion

x

x→ 1 , x ≠0 F

Den kvadratiska funktionen x→ ax2 +bx+c B

Lösningsformeln för kvadratisk ekvation. B

Potens- och exponentialfunktioner, definitions- och värdemängd. C Logaritmiska funktioner, y=logx och y =lnx C Grafer : y =ax, y =ex, y=log_a x, y=lnx C

Exponentialekvation ax =b C

Olikheter med en variabel f(x)≥g(x), grafisk representation. D delvis Polynomfunktioner: faktorsatsen, polynomekvationer och olikheter. E delvis 3. Trigonometriska funktioner: 25 timmar Svensk kurs Cirkeln, radian, area och omkrets cirkelsektor. A, D

Enhetscirkeln definition av sinθ och cos θ 1

sin

cos2θ + 2θ = ,1+tan2θ =sec2θ , 1+cot2θ =csc2θ

D delvis De 6 trigonometriska funktionerna sin x,cosx,tanx,cscx,secx,cotx,

deras grafer och periodicitet.

D delvis

Inversa funktioner: arcsin, arccos, arctan F

Formler med summa av vinklar, dubbla och halva vinklar sin(A+B), sin 2A, sin(A/2). Den sammansatta formeln acosx±bsin x =Rcos(xmα)

D, E Sammansatta funktioner f (x)=asin b(x+c) D Triangelsatser: sinussatsen, cosinussatsen, areasatsen. D

4. Vektorgeometri: 25 timmar Svensk kurs

Vektor som förflyttning i ett plan och i 3 dimensioner, representation som en kolumn. Algebra med vektorer, invers vektor. Vektorlängd. Enhetsvektorer.

F

Skalär produkt och dess egenskaper. Parallella och vinkelräta vektorer. F Vinkeln mellan två vektorer, projektion av en vektor på en annan vektor F

och tillämpningar.

Vektorprodukt av två vektorer. Arean av en triangel. Ingår ej Vektorekvation av en linje och av ett plan. Användning av

normalvektor.

Kartesiska ekvationer av en linje och ett plan .

F

Skärning mellan två linjer, en linje med ett plan och två plan. F Avstånd i 2 och 3 dimensioner mellan punkter, linjer och plan. F

5. Matriser och transformationer: 20 timmar Svensk kurs Definition av en matris. Rader, kolumner, dimension. F

Algebra med matriser. Enhetsmatrisen. F

Matrisens determinant. F

Invers av en n×n matris och produkt av matriser. F Linjära transformationer av vektorer i 2 dimensioner och deras matris

representation: rotationer, reflektioner och förstoringar. Determinantens geometriska betydelse.

F delvis

Sammansatta linjära transformationer. Ingår ej

Ekvationssystem (max 3 ekvationer med 3 variabler). Villkor för en lösning, ingen lösning eller oändligt många.

F delvis

6. Statistik: 10 timmar Svensk kurs

Population, data, frekvenstabeller. A

Presentation av data, histogram. A

Lägesmått, medelvärde, median. A

Kumulativ frekvens, grafer, kvartil. Ingår ej

Kvartilavstånd, standardavvikelse s och n sn−1 som uppskattning av

populationens standardavvikelse σ .

Fördjupning A,B delvis

7. Sannolikhet: 20 timmar Svensk kurs

Sannolikhet för en händelse. Komplementära händelser. Användning av mängdlära.

B, F delvis Flera försök efter varandra. Oberoende händelser. Användning av

mängdlära. Bayes sats för två händelser.

B, F delvis Användning av Venn diagram, träddiagram, tabeller. B, F delvis

Permutationer och kombinationer. F

Diskreta sannolikhetsfördelningar. Ingår ej

Binomialfördelningen: medelvärde och varians. F

Kontinuerliga sannolikhetsfördelningen: median, varians, standardavvikelse

F Normalfördelningen. Standardiserad normalfördelning. Användning av standardiserade normalfördelningstabeller.

F delvis 8. Differential- och integral kalkyl, Calculus: 50 timmar Svensk kurs Begreppen limes och konvergens. lim sin 1

0 = → θ θ θ C delvis Definition av derivata.

Derivata av y =xn, n∈Q, y=sin x, y =cosx, y =tanx, y=ex, x

y =ln

C, D

Derivata av deras summor och multipler. C, D

Derivata av sammansatta funktioner, kedjeregeln. D Derivatan av en produkt och en kvot. Andra derivatan.

Derivata av y =ax och y=loga x

Beskrivning av grafer: tangenter, singularitet, asymptot. Användning av andra derivatan: lokala maxima och minima, terrasspunkter.

D, Fördjupning E

Tillämpningar av första och andra derivata i maxima och minima problem.

E Derivata av de inversa trigonometriska funktionerna. Ingår ej Integral som anti-derivata.

Integral av y=xn, n∈Q, y =sin x, y=cosx, y=ex och sammansatta funktioner med y =ax+b.

Tillämpningar.

D, E

Primitiva funktioner med villkor. Areor som begränsas av kurvor. D, E

Integralberäkning genom variabelsubstitution. F

Numeriska beräkningar av integral. D delvis

Separabla differentialekvationer av första ordningen. E

I Mathematics Higher Level kan sedan ett av följande 5 avsnitt väljas. Ett av avsnitten innehåller matematik diskret som också kan väljas inom det natur vetenskapliga programmet. De andra 4 ingår ej i något svenskt program.

9. Statistik: 35 timmar Svensk kurs

Poisson fördelning: medelvärde och varians. Ingår ej Medelvärde och varians av linjära kombinationer av 2 oberoende

variabler.

Ingår ej

Medelvärdets fördelning och standard fel. Ingår ej

Konfidensintervall för medelvärdet av en normalfördelning. Ingår ej Signifikans test, null hypotes och alternativ hypotes, signifikans nivåer,

kritiskt område och kritiska nivåer, slutsats.

Ingår ej ?² fördelning, frihetsgrader, ?²statistik och ?² anpassning Ingår ej Kontingens tabeller, ?² test för 2 oberoende faktorer Ingår ej 10. Mängdlära, relationer och grupper: 35 timmar Svensk kurs Ändliga och oändliga mängder. Operationer: union, intersektion

(skärning), komplement. De Morgans lagar.

Diskret, F Ordnade par, kartesisk produkt av en mängd. Relationer, ekvivalenta

relationer.

Diskret delvis Funktioner: injektioner, surjektioner, bijektioner.

Sammansättning av funktioner och inversa funktioner.

Ingår ej Binära operationer: definition, operationstabeller. Ingår ej Den associativa, distributiva och kommutativa egenskaper av binära

operationer.

Ingår ej Identitetselementet e. Invers a−1 av elementet a . Ingår ej

Abelian grupper Ingår ej

Exempel från grupperna R,Q,Z och C Ingår ej

Ändliga och oändliga grupper Ingår ej

Cykliska grupper, alla är Abelian Ingår ej

Definition subgrupp. Lagranges sats Ingår ej

11. Matematik diskret: 35 timmar Svensk kurs

Naturliga tal. Diskret, F

Kvot och algoritm från Euklides. Ingår ej

Kongruens. Ingår ej

Återkommande relationer. Diskret delvis

Enkla grafer. Ingår ej

Hamilton paths och cykler, trails och circuits av Euler. Ingår ej 12. Analys och approximation: 35 timmar Svensk kurs Oändliga serier, konvergens. Olika konvergenstester. Ingår ej

Alternerande serier. Ingår ej

Potens serier. Ingår ej

Rolles sats. Tillämpningar. Ingår ej

Användning av expansion av Taylors serie. Maclaurin serier. Taylor polynomer.

F Numerisk integralberäkning. Trapetsregeln, Simpsons regel. D delvis Lösning av icke linjära ekvationer genom iterativa metoder. Ingår ej Newton-Raphsons metod, grafisk tolkning.

Iteratio n från en fast punkt, begreppet konvergens

D delvis 13. Euklidisk geometri och koniska sektorer: 35 timmar Svensk kurs

Principer av geometriska bevis. Ingår ej

Trianglar och deras konstruktion. Eulers cirkel. Ingår ej Proportionell längd och delning av en segment av en linje.

Euclides sats.

Ingår ej

Cirkelns geometri. Ingår ej

Satser av Appolinius, Menelaus, Ceva, Ptolemeus. Ingår ej Koniska sektorer. Cirkel, parabola, hyperbola, ellips.

Parametriska ekvationer, allmän andragradsekvation, rotation av axler.