• No results found

Elevers begreppsförståelse i matematik

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Elevers begreppsförståelse i matematik"

Copied!
70
0
0

Loading.... (view fulltext now)

Full text

(1)

Lärarutbildningen

Skolutveckling och ledarskap

Examensarbete

10 poäng

Elevers begreppsförståelse i matematik

Pupils concept understanding in mathematics

Remzi Ratkoceri

Magisterkurs i pedagogik, 61-80 p Handledare: Lotta Andersson

(2)

Malmö Högskola Lärarutbildningen

Skolutveckling och ledarskap Magisterkurs i pedagogik Vårterminen 2005

Ratkoceri, Remzi. (2005). Elevers begreppsförståelse i matematik (Pupils concept understanding in mathematics). Skolutveckling och ledarskap, Magisterkurs i pe-dagogik, Lärarutbildningen, Malmö högskola.

Syftet med följande arbete är att kartlägga elevers svårigheter i samband med ett antal matematikuppgifter inom taluppfattning, uttryck och ekvationer, samt att be-lysa deras begreppsförståelse.

Arbetet ger en översikt av tidigare forskning inom matematikdidaktik. Med hjälp av en diagnos och en enkät ville jag undersöka elevers begreppsförståelse och deras attityder till matematik.

Resultaten pekar på att en del elever har åtskilliga brister när det gäller rationella tal och algebra. De största hindren som elever stöter på när de löser matematikuppgif-ter är textförståelse, matematiska begrepp, talförståelse och uppmärksamhet. Dess-utom kan jag konstatera att elevers svårigheter i matematik inte tycks ha något stör-re inflytande över deras inställning till matematik.

Nyckelord: attityder, begreppsförståelse, matematiska begrepp, talförståelse, text- förståelse.

Remzi Ratkoceri Handledare: Lotta Andersson Rödkullastigen 6C Examinator: Sten-Sture Olofsson 214 57 Malmö

(3)
(4)

FÖRORD

Jag vill börja med att tacka min familj som bistått och stöttat mig i detta arbete. Jag riktar även ett stort tack till alla elever och lärare på de skolor där jag har genomfört undersökningen. Slutligen vill jag tacka min handledare Lotta Andersson för stort engagemang och god vägledning.

(5)

INNEHÅLL

1 INLEDNING

7

1.1 Bakgrund

8

1.2 Syfte och problemformulering

9

2 LITTERATURGENOMGÅNG

11

2.1 Kunskap och begreppsförståelse i matematik

11

2.2 Taluppfattning

12

2.3 Uttryck och ekvationer

12

2.4 Matematik, läroplanen och samhället

13

2.5 Elevers attityder till matematik

14

2.6 Matematikdidaktisk forskning

15

3 TEORIER FÖR TOLKNING

19

3.1 Piagets stadieteori

19

3.2 Vygotskijs teori

20

3.3 Sammanfattning

21

4 METOD

23

4.1 Metodövervägande

23

4.2 Val av metod

23

4.3 Undersökningsgrupp

24

4.4 Urval och etik

24

4.5 Datainsamling 25

4.6 Bearbetning av data

25

4.7 Validitet och reliabilitet 26

4.8 Tolkning av elevers lösning

27

5 RESULTAT

29

5.1 Resultat av enkäten

29

5.2 Resultat av diagnos

35

5.2.1 Kategori 1

36

5.2.2 Kategori 2

38

5.3 Sammanfattning

51

(6)

6 DISKUSSION

53

6.1 Diskussion av resultat

53

6.2 Brister i relation till olika teorier och tidigare forskning 55

6.3 Metoddiskussion

56

6.3.1 Undersökningens svagheter

58

6.4 Didaktiska implikationer

58

6.5 Förslag till fortsatt forskning

60

REFERENSER

63

(7)

1 INLEDNING

Matematik är ett av skolans viktigaste ämnen, ett så kallat kärnämne. Det innebär att den elev som inte når godkänt slutbetyg inte har rätt att söka in till något av de nationella gymnasieprogrammen.

Det problem som ligger till grund för denna studie är varför många elever har svårt att lära sig matematik och att nå läroplanens mål i ämnet. Skolans möjlighet att förbättra situationen för dessa elever är att förändra undervisningen.

Begrepp, metoder och modeller från matematik används i såväl vardags- och yrkesliv, som i samhällelig och vetenskaplig verksamhet. Matematikkunskaper behöver alla elever för att lösa vardagsproblem, kunna förstå och granska det ökande flödet av information, samt för att kunna vara aktiva deltagare i samhället.

Läroplanen och läroböckerna i matematik ställer höga krav på elevernas läsförståelse och förmåga att resonera och tänka abstrakt. Begreppsförståelse och begreppsbildning är av avgörande betydelse för att eleverna ska utveckla sina matematikkunskaper. Det matematiska språket använder speciella begrepp, formler, terminologi som eleverna måste känna till för att läsa och förstå en matematisk text (uppgift). Anderberg (1992) menar att det är viktigt att beräkningar bygger på en fast begreppsbildning och inte bara på kännedom om olika beräkningsregler.

Min förhoppning är att föreliggande undersökning kommer att bidra till min egen förståelse samt att den kan tillföra matematikundervisningen ny kunskap om elevers matematikutveckling. Jag hoppas att mitt arbete blir en tillgång som leder till nya insikter och tankeprocesser för personal i skolan och skolledning. Samtidigt kan arbetet även vara av intresse för studerande och lärare på lärarutbildningar samt till alla som är intresserade av skolutveckling.

Med föreliggande arbete avser jag att belysa elevers begreppsförståelse i matematik inom taluppfattning, uttryck och ekvationer. Begreppsförståelse belyses genom att jag studerar och beskriver hur elever i årskurs nio löser ett antal matematikuppgifter. Elevernas inställning till matematik undersöks med ett enkätformulär.

(8)

1.1 BAKGRUND

Nästan varje dag kan man läsa i tidningar om elevers bristande kunskaper i matematik. Enligt Skolverkets statistik för åren 2000 – 2003 blev till exempel 12 %, 16 %, 13 % och 14 % av eleverna ej godkända på det nationella provet i matematik i skolår 9. Samtidigt blev nästan varannan elev på gymnasieskolans yrkesinriktade program ej godkänd på det nationella prov i matematik som ges på A-kursen (Skolverket 2000, Skolverket 2001, Skolverket 2002, Skolverket 2003a).

Tre stora utvärderingar publicerades under slutet av år 2004, nämligen den nationella utvärderingen (NU) och två internationella utvärderingar, PISA (Programme for International Student Assessment) och TIMSS (Third International Mathematic and Science Study). Utvärderingarna visar att det framförallt är i matematik och de naturvetenskapliga ämnena som svenska elevers resultat har försämrats under det senaste årtiondet (www.skolverket.se). Många elever lämnar grundskolan utan att ha sådana kunskaper i matematik som behövs för att tolka det ökade flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället. Liknande situationer finns i gymnasieskolan, där många elever saknar adekvata baskunskaper för att kunna följa undervisningen i matematik, samt har svårt att tillämpa sina matematikkunskaper inom karaktärsämnena. Enligt Skolverkets kvalitetsgranskning (2003b) är en orsak till detta att elevernas lust att lära minskar i takt med att innehållet inte känns relevant och begripligt.

Under mina år som lärare har jag märkt att många elever när de löser matematikuppgifter, endast är intresserade av att resultatet skall stämma överens med facit. Dessa elever lär sig endast hur man gör och förstår inte vad uppgiften handlar om. Ett annat problem som jag ser är att matematikundervisningen är alltför problemlösningsorienterad. Efter korta genomgångar på tavlan förväntas eleverna snabbt lösa problem, samt befästa den begreppsliga kunskapen. De flesta lyckas inte lösa problem efter en genomgång på grund av att de inte fick den tid som behövs för att bygga upp en förståelse för matematiska begrepp. Med anledning av karaktären ett examensarbete har, valde jag att begränsa mig till elevers begreppsförståelse i matematik inom taluppfattning, uttryck och ekvationer. Hade jag haft andra förutsättningar för examensarbetet, t.ex. mer tid, hade jag genomfört en mer omfattande undersökning , och studerat elevers begreppsförståelse inom flera kunskapsområden. Dessa tre kunskapsområden utgör en begränsad del av grundskolmatematikens innehåll men omfattar baskunskaper som är viktiga för olika delar av matematisk kunskap.

(9)

Trots att jag har gjort begränsningar i ämnesval, anser jag ändå att arbetet kan ge viktig information om vad som kan förbättras i högstadiets matematikundervisning.

1.2 SYFTE OCH PROBLEMFORMULERING

I den svenska skolan arbetar eleverna enskilt med matematiska uppgifter. De löser uppgifterna på egen hand och upplever svårigheter av olika slag. Då en elev försöker lösa en uppgift blir svaret inte alltid rätt. Det är viktigt för en lärare att känna till de olika fel som eleverna gör vid lösning av uppgifter, eftersom de då lättare kan ge dem stöd.

Undersökningens syfte är att kartlägga elevers svårigheter i samband med ett antal matematiska uppgifter inom taluppfattning, uttryck och ekvationer. Vidare syftar undersökningen till att finna ”mönster” av resultat som närmare kan belysa deras begreppssvårigheter.

Med detta som bakgrund kan följande frågeställningar preciseras:

• Hur förstår eleverna de viktigaste begreppen inom taluppfattning, uttryck och ekvationer?

• Vilka hinder elever stöter på när de löser uppgifterna? • Vilka attityder har eleverna till matematik?

(10)
(11)

2 LITTERATURGENOMGÅNG

I mitt arbete är jag intresserad av att undersöka elevers begreppsförståelse i matematik i samband med ett antal uppgifter. I den första delen av kapitlet ger jag en kort översiktig beskrivning av valda matematikområden. Sedan behandlas matematikdidaktisk forskning som har anknytning till mitt arbete.

2.1 KUNSKAP OCH BEGREPPSFÖRSTÅELSE I MATEMATIK

Större delen av den mer grundläggande matematiken har vuxit fram som en följd av ett vardags- eller yrkesbehov. Det betyder att den typ av matematik går att konkretisera, därför att den har rötter i vardagen och vanliga människors verklighet. Löwing och Killborn (2002) menar att en stor del av den matematikundervisningen som har sina rötter i vardagen har gjorts mer abstrakt än nödvändigt. Sådana exempel är procenträkning och division av tal i bråkform. De anser att vi måste vara uppmärksamma på räkneoperationernas praktiska innebörd och söka rötter såväl i nutidens vardag som i ett historiskt perspektiv, om man vill göra matematikundervisningen begriplig för fler elever. Begreppskunskapen grundar sig på förståelse av matematiska begrepp. Heibert och Lefevre (1986) definierar begreppskunskapen som ett nätverk av relationer. Ökning av begreppskunskap sker genom att nya kunskapselement knyts ihop med den gamla kunskapsstrukturen. De anser att skolmatematiken har två olika kunskapskvalitéer, färdighet (procedural knowledge) och begreppslig kunskap (conceptual knowledge). De menar att ett av problemen i skolmatematiken är att begreppslig kunskap inte relateras till färdighetsträning som bedrivs i skolan. Kunskap i form av förståelse av matematiska begrepp och hur en uppgift löses måste ges större utrymme i skolan och att den bör komma före färdigheten. Sfard (1991) anser att matematiska begrepp först uppfattas som en operation och sedan som en struktur. En operation handlar om processer (algoritmer), medan strukturen är en högre grad av abstraktion, dvs. egenskaperna hos de matematiska objekten. Sfard menar att i utvecklingen av ett matematiskt begrepp är den strukturella uppfattningen ett mer avancerat stadium.

Engström (1997) hävdar att begrepp och begreppsutveckling hör till det mest centrala inom matematikundervisningen. Han skiljer mellan begreppsomfång och begreppsinnehåll. Omfång avser alla de objekt som faller under begreppet, medan innehåll avser de kännetecken som identifierar begreppet. För förståelse är begreppsinnehåll främst av betydelse.

(12)

2.2 TALUPPFATTNING

Talen är exakta eller approximativa. Det finns bråktal, decimaltal, procenttal, positiva tal, negativa tal etc. Det är en komplikation för elever när det gäller begreppsbildning av talbegreppet eftersom ett tal kan ha så många olika betydelser. Enligt Rönnlund (1990) grundas ordningstalsbegreppet tidigare hos barn än antalsbegreppet. Av det skälet borde den tidiga talträningen grundas på övningar som tar upp jämförelser av storlekar hos föremål istället för antal element i mängden. Detta kan uppnås genom att barnen t.ex. får arbeta med långa pinnar eller olika tunga kulor. Därefter ska dessa ordnas i stigande eller fallande storleksordning genom att jämföras två och två. Rönnlund hävdar att talbegreppet grundläggs genom sådana övningar (ordinering) och det har visat sig att detta senare ger en stark positiv påverkan på räknefärdigheter.

Sfards studier (1991) har visat att abstrakta begrepp såsom ett rationellt tal har två aspekter, nämligen en operationell och en strukturell. Till exempel uttrycket 15/6 kan representera dels en operation, dvs. 15 dividerat med 6, dels ett objekt, det rationella talet femton sjättedelar. Båda är lika viktiga för förståelse av matematiska begrepp. Enligt Sfard kan den operationella aspekten betraktas som en process och den strukturella som ett objekt. Dessa båda aspekter kompletterar varandra. Observationer och undersökningar visar att det är lättare för elever att ta till sig den operativa aspekten än den strukturella. Därför bör nya begrepp och symboler i matematikundervisningen behandlas först operationellt.

2.3 UTTRYCK OCH EKVATIONER

Inom algebran använder vi bokstäver som symboler för tal. Vi räknar inte med bokstäver utan med tal symboliserade av bokstäver. Genom detta uttrycker vi matematiska begrepp och relationer på ett koncist och lätthanterligt sätt. Själva kärnan i den algebraiska metoden är att ett uttryck inte bara beskriver samband mellan storheter utan även att det kan skrivas om, så att uttrycket eller omskrivningen behåller sin relation till det som det representerar. Genom att använda bokstavssymboler istället för siffersymboler blir det möjligt att räkna med godtyckliga tal.

Skolmatematiken har alltid ägnat avsevärd tid åt ekvationslösning. Ekvationer är en viktig baskunskap för den som skall fortsätta med matematik på gymnasiet. Enligt min erfarenhet är det för många elever som har svårt att räkna med ”bokstäver” (algebraiska uttryck) och lösa ekvationer. Många elever ser inte någon mening med att lära sig att lösa ekvationer. Därför är det mycket viktigt

(13)

att introduktionen av ekvationer sker på ett sätt där eleverna själva får chansen att upptäcka strategier och metoder för att lösa problem från vardagslivet.

I dagens samhälle behöver allt fler kunna förstå och använda formler, tabeller och diagram. Alla har glädje av algebraiskt tänkande som verktyg vid generalisering, problemlösning och beskrivning av mönster och samband mellan storheter (Malmer, 2002 , s. 146).

Malmer anser att eleverna kan börja syssla med prealgebra redan från år 1-5, sedan med förberedande algebra år 6-7 och med algebra år 8-9. Genom konkretisering med stavar kan eleverna utveckla en förförståelse till algebran redan från de tidigare grundskolåren.

2.4 MATEMATIK, LÄROPLANEN OCH SAMHÄLLET

Alla människor behöver matematikkunskaper. Det kan handla om att kunna sköta sin hushållsbudget eller att man kan ta del av den omfattande samhällsinformation som ges med hjälp av matematik. Alla elever skall ha möjlighet att skaffa sig matematikkunskaper. De behöver dem för att lösa vardagsproblem, kunna förstå och granska information och reklam, samt kunna värdera och kritiskt granska påståenden från t.ex. politiker, journalister och marknadsförare.

Matematikundervisningens tidigare huvuduppgift, dvs. att kunna räkna, har nu förskjutits till att utveckla ett djupare matematiskt kunnande som innebär god lösningsförmåga, att se sammanhang och att kunna dra slutsatser.

Skolans uppdrag att främja lärande förutsätter en aktiv diskussion i den enskilda skolan om kunskapsbegrepp, om vad som är viktig kunskap idag och i framtiden, och om hur kunskapsutvecklingen sker, olika aspekter på kunskap och lärande är naturliga utgångspunkter i en sådan diskussion (Lpo 94, s. 8). I läroplanen för grundskolan (Lpo 94) anges att skolan ansvarar för att varje elev efter genomgången grundskola behärskar grundläggande matematiskt tänkande och kan tillämpa det i vardagslivet. Skolans uppdrag är också att fostra eleverna till att omfatta demokratins värde, visa respekt och känna ansvar för sina medmänniskor.

Kursplanen för grundskolan beskriver att syftet med matematikundervisningen är att hjälpa eleven att utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs i vardagliga situationer och som behövs för att kunna vara en aktiv deltagare i

(14)

samhället. Utgående från dessa syften skall undervisningen arrangeras på ett sådant sätt att alla elever når uppnåendemålen vid slutet av det nionde skolåret. Några sådana mål är:

• ha utvecklat sin taluppfattning till att omfatta hela tal och rationella tal i bråk- och decimalform,

• ha goda färdigheter och kunna använda överslagsräkning med naturliga tal och tal i decimalform samt procent och proportionalitet i huvudet med hjälp av skriftliga räknemetoder och med tekniska hjälpmedel (s. 28).

Det handlar om en förståelse om tal och räkneoperationer, samt att utveckla effektiva strategier för att använda tal och operationer i olika sammanhang. Kursplanen betonar vikten att läraren skapar målinriktade och stimulerande aktiviteter där eleverna får större möjligheter att lära sig matematik med god förståelse.

Att kunna matematik är både tillfredställande och berikande. Matematik-utbildningen är inte för en utvald elit utan en självklar rättighet för alla, och alla elever ska ha möjlighet att lära sig väsentlig matematik. Under mål att sträva mot framträder det kunnande som skolan skall inrikta sig mot. Enligt Skolverkets kursplaner år 2000 skall skolan i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven:

• inser att matematiken har spelat och spelar en viktig roll i olika kulturer och verksamheter och får kännedom om historiska sammanhang där viktiga begrepp och metoder inom matematiken utvecklas och används, • inser värdet av och använder matematikens uttrycksformer,

• utvecklar sin förmåga att formulera, gestalta och lösa problem med hjälp av matematik, samt tolka, jämföra och värdera lösningarna i förhållande till den ursprungliga problemsituationen (Skolverket, 2000, s. 26).

Matematik har en flera tusenårig historia och är idag en problemlösande verksamhet i ständig utveckling som har stor användning i vardags- och yrkesliv samt i samhällelig och vetenskaplig verksamhet.

2.5 ELEVERS ATTITYDER TILL MATEMATIK

Lärande är inte bara en intellektuell process utan har också en annan viktig komponent som ofta kallas det affektiva. Utan intresse och motivation vet vi lärare att det inte blir något lärande. På grund av detta är skapandet av en positiv inställning till skolan en viktig uppgift.

(15)

Olof Magne (1998) definierar affekt som en samlingsbeteckning på alla upplevelsetillstånd som åtföljer lust och olust, emotion, känsloutbrott, chock, stress, ängslighet, motivation, attityd, missanpassning, hämning och självkänsla. Eftersom matematik är ett prestigeladdat ämne kan detta leda till olika känsloreaktioner. Magne anger fyra viktiga ängslihetskomponenter:

• Allmän oro, stress och ängslan som inte är nödvändigtvis kopplad till matematik.

• Allmän matematikängslan, som i de svåraste fallen kan leda till matematikfobi.

• Provängslan.

• Abstraktionsängslan.

Magne menar att upplevelsen av ängslan inte är alltid negativ. Om en elev är riktigt motiverad och önskar att göra bra ifrån sig, så skapas en positiv stress. Skolverket genomför regelbundna undersökningar bland elever i år 7-9 samt gymnasiet, lärare, föräldrar och allmänhet. Skolverkets rapport (2004) visar att eleverna tycker att idrott är det roligaste ämnet, medan matematik hamnar i den nedre delen av skalan. De ämnen som eleverna tycker är roligast anses inte alltid vara viktigaste. Grundskolelever tycker att engelska, svenska och matematik är de viktigaste ämnen i skolan. De har en mer positiv inställning till samtliga ämnen än gymnasieelever.

2.6 MATEMATIKDIDAKTISK FORSKNING

Matematikdidaktik är ett relativt ungt forskningsområde och har under de tre senaste decennierna blivit etablerat som forskningsdisciplin. Enligt Niss (2001) är det övergripande syftet med matematikdidaktisk verksamhet att främja och förbättra elevers och studenters matematikinlärning och att de skall tillägna sig matematisk kompetens.

Här nedan skall jag ge några exempel på sådan forskning inom matematikdidaktiska fältet som kan ha anknytning till min undersökning.

Olof Magne, forskare och Arne Engström, lärarutbildare vid Örebro universitet, har gjort en undersökning s.k. Medelsta projekt, som är täcknamnet för en genomsnittlig svensk kommun, vid tre olika tillfällen år 1977, 1986 och 2002. Undersökningen visar att lösningsfrekvensen uppgift för uppgift, och årskurs för årskurs i allt väsentligt var lika de tre åren, samt tycks det som om läroplanera spelar en försumbar roll för undervisningsresultat.

(16)

En orsak till detta kan vara att undervisningen genomförs på liknande sätt trots olikheterna i de tre läroplanerna.

Studerar man inom vilka områden bristerna finns så förekommer följande:

• Taluppfattning har acceptabla lösningsfrekvenser så länge det handlar om naturliga tal. Brister finns även i åk 9, framförallt när det gäller bråk och procent. 2002 års elever presterar här sämre än eleverna i de tidigare undersökningsåren.

• Problemlösning och språkuppfattning har låga lösningsfrekvenser • Geometri och mätningar uppvisar stora brister.

Vår hypotes är att elevers misslyckande i matematikundervisningen beror på bristande kognitiv behärskning av stoffet. Om en elev har låg lösningsfrekvens i en given uppgiftskategori, antar vi bristande logisk insikt. Kanske är det en effekt av mekanisk inlärnings-/och eller undervisningsmetod (Engström & Magne, 2003, s. 129).

Magne och Engström har särskild studerat de 15 procent lägst presterande eleverna. Den genomsnittliga prestationen för denna grupp elever i åk 9 motsvarar prestationerna för en genomsnittlig elev i åk 4. En av orsakerna kan ligga i matematikämnets natur. Matematik är ett ämne som kräver både abstraktionsförmåga och koncentrationsförmåga. Förmodligen har dessa elever inte fått det stöd dem var av behov för att kunna utveckla sådana förmågor. Lisen Häggblom som är lektor i matematikdidaktik vid Institutionen för lärarutbildning i Vasa (Finland), har gjort en omfattande studie om barns matematiska utveckling från 6-15 års ålder. Från 6 till 9 års ålder utvecklas barnens kunskaper i matematik kraftigt. När sedan talområdet utvidgas med decimaltal och bråktal får en del av eleverna uppenbara svårigheter. Studien visar (Häggblom, 2000) att vid 15 års ålder kan mellan 50 procent och 80 procent av eleverna hantera positionssystemet och bråkstrukturer, och ungefär hälften av eleverna kan använda procenträkning.

Ebbe Möllehed (2001) visar i sin doktorsavhandling på vilka svårigheter elever i år 4-9 främst har i matematik. De dominanta svårigheterna är:

• textförståelse, där eleven i första hand missförstår texten • relationer mellan helhet och dess delar

• räkneförmåga, att utelämna eller ge ett ofullständigt svar • visuell förståelse, förstår inte alla delar i en geometrisk figur.

(17)

Resultat från min undersökning visar att anledningen till att eleverna gör fel vid problemlösning i matematik i mer än hälften av fallen beror på brister i deras kognitiva förmågor. Svårigheter med att lösa problem tillskrivs ofta brister i de matematiska kunskaperna, medan den egentliga orsaken återfinns i elevens kognitiva utveckling (Möllehed, 2001, s. 142).

Elevers kognitiva utveckling är en av faktorerna, men jag tycker att det finns många andra faktorer som påverkar elevers kunskaper i matematik, så som organisering av undervisningen, attityder till ämnet, undervisningsmiljön etc. År 1992 genomfördes den nationella utvärderingen (NU 92) av grundskolan. Det övergripande syftet, när det gäller matematik, var att studera elevernas kunskaper och färdigheter i matematik. I huvudrapporten (Pettersson, 1993) konstaterades att ungefär 90 procent av eleverna behärskade de enligt läroplanen nödvändiga kunskaperna och färdigheterna i matematik på högstadiet. I huvudsak visar resultaten att enkla vardagsnära uppgifter har de flesta löst rätt, men eleverna har betydligt svårare för mer komplexa uppgifter. Beträffande elevernas motivation och upplevda problem är hälften av eleverna nöjda med sina prestationer. En femte del av eleverna har haft problem med matematik på högstadiet.

I ett internationellt perspektiv har eleverna uppvisat goda resultat i matematik jämfört med många andra länder. År 1995 genomfördes en internationell studie kallad TIMSS (Trends In International Mathematics and Science Study). Studien visar (Skolverket, 1996) att svenska elever är speciellt framgångsrika på uppgifter som omfattar matematik i användning och tillämpning. När det gäller algebra och geometri presterade svenska elever sämst i jämförelse med elever från andra deltagande länder.

En annan internationell studie där svenska elever har visat goda prestationer är en OECD-studie kallad PISA-2000 (Programme for International Student Assessement). Studien har till uppgift att undersöka hur femtonåringar från olika OECD-länder är rustade att möta framtiden (Skolverket, 2001). Undersökningen utgår från tre kunskapsområden, nämligen läsförståelse, matematik och naturkunskap. Studien visar att svenska femtonåringar är goda läsare sett i ett internationellt perspektiv. När det gäller matematik utgår undersökningen från två teman. Den ena omfattar förändring och samband, funktioner och tillväxt, statistik och algebra. Det andra temat innehåller mönster, rumsuppfattning, geometri och mätningar. Undersökningen visar att svenska elever är betydligt bättre på statistik och rumsuppfattning och sämre på algebra, funktioner och geometri. Vidare visar studien att svenska elever har ett betydligt större läsintresse än matematikintresse. Sverige tillhör till de länder där eleverna har lägst självuppfattning i matematik, speciellt flickorna.

(18)

Man kan göra en intressant iakttagelse i internationella studier där svenska elever visar sämre resultat i algebra jämfört med elever från andra länder. Resultaten är kanske inte så överraskande när man vet att svenska elever börjar med algebra under de senare skolåren.

(19)

3 TEORIER FÖR TOLKNING

Undersökningen avser att ta reda på elevers begreppsförståelse vid lösning av ett antal matematikuppgifter. När det gäller att studera elevernas lösningar kan man som bas använda framförallt Piagets och Vygotskijs teorier, vilka jag kommer att redovisa i det här kapitlet.

3.1 PIAGETS STADIETEORI

Jean Piaget (1896–1980) utvecklade intresset för kunskapsteorier och för barns kognitiva utveckling. Han ansåg att varje enskild individ skulle utvecklas i sin egen takt, och utvecklingen sker utan att någon större vikt läggs vid samspelet med omgivningen. Piaget är kanske mest känd för sin stadieteori. Den bygger på att barnet går igenom olika stadier under sin uppväxt. Han urskiljer fyra olika stadier i en utvecklingsprocess. Piagets teori om barns utveckling är en stadieteori. Den bygger på att barnet går igenom olika stadier under sin uppväxt. Piaget urskiljer fyra olika stadier i en utvecklingsprocess:

- det sensomotoriska stadiet (0-2 år) - det preoperationella stadiet (2-6 år)

- det konkret operationella stadiet (6-11 år) - det formellt operationella stadiet (från 11 år).

Åldersgränserna är ungefärliga och inte någon huvudsak i Piagets teori. Det väsentliga är att de följer efter varandra, bygger på varandra och inte kan hoppas över. Enligt Piaget (Sjøberg, 2000) präglas barnets utveckling i tidiga år fram till det konkreta operationella stadiet, av att vara egocentrisk. Piaget använder begreppet egocentrisk mer i en kognitiv, intellektuell betydelse. Han hävdar att barnets logik är nära förbunden med dem själva, och att barnet har sitt ego som centrum. I det konkret operationella stadiet utvecklas det operationella tänkandet. Det vill säga barnets förmåga att tänka logiskt och att kunna utföra logiska handlingar. I det här stadiet kan barnet vara kritiskt till sina egna ståndpunkter, se objektivt på sig själv eller sin egen grupp. Enligt (Sjøberg, 2000) på det konkret operationella stadiet har barnet t.ex. förmågan att klassificera och serieordna. Men först på det formellt operationella stadiet har barnet förmågan att tänka hypotetiskt-deduktivt med abstrakta modeller, proportionalitet och kontroll av variabler. Det är först på det stadiet som barn kan använda systematik vid problemlösning istället för metoden försök-misstag.

(20)

3.2 VYGOTSKIJS TEORI

Utvecklingspsykologen Lev S Vygotskij (1896-1934) betonar språkets betydelse för allt lärande. Tänkandet utvecklas i samspel med andra människor. Det sociala samspelet med människor ligger till grund för begreppsutvecklingen och skapandet av tankestrukturer.

Vygotskijs teori har flera likheter med Piagets, men den skiljer sig också radikalt åt i synen på språket och dess roll för tänkandet. Han var överens med Piaget om att barn inte tänker på samma sätt som vuxna. Han betonade också det faktum att Piaget (till skillnad från de flesta barnpsykologer före honom) inte försökte ta reda på vad barnen inte kunde göra i jämförelse med vuxna, utan att han var ute efter att beskriva vad de kunde göra och vad de faktiskt gjorde. Barns sätt att prata är emellertid enligt Vygotskij inte något personligt eller egocentriskt utan tvärtom, att det är socialt och kommunikativt både till ursprung och avsikt (Wood, 1999, s. 39).

Enligt Vygotskij (1981) är inlärningen en förutsättning för utvecklingen. Inlärningen går alltså före utvecklingen och skapar vad Vygotskij kallar zonen för proximal (närmaste) utveckling. Proximala zonen är en generell beteckning på den klyfta som finns mellan vad en individ kan göra på egen hand å ena sidan, och vad han/hon kan göra i samspelet med andra som har mer kunskaper (t.ex. vuxna, kamrater) å den andra.

En del barn har större proximala utvecklingszoner (dvs. större mottagningspotential för undervisning) än andra barn, trots att deras nuvarande nivå är densamma. Sådana barn kan alltså lära sig mer av undervisning även om detta inte gäller alla områden (Wood, 1999, s. 37).

Barnet måste dock ha en beredskap och mognad för att kunna möta de nya begreppen och handlingar som omgivningen ställer till förfoganden.

Vygotskij ser begreppsbildning och tänkande som sociala och kulturella fenomen. Genom samarbete och interaktion med en vuxen, en lärare eller en duktigare kamrat, får eleven tillgång till kunskap och färdigheter, samtidigt blir eleven delaktig i en gemensam kultur med dess värderingar och normer. Han skiljer på vardags och vetenskapliga begrepp. Han menade att eleverna lär sig vetenskapliga begrepp genom att uppmärksamma den spänning som finns mellan deras eget vardagstänkande och en mer kompetent persons föreställningar och uppfattningar. Vardagsbegrepp är spontana begrepp som bildats genom elevernas livserfarenhet.

(21)

3.3 SAMMANFATTNING

Jag kommer att tolka elevernas lösningar av matematikuppgifter huvudsakligen i relation till Piagets och Vygotskijs teorier.

I det preoperationella stadiet kan barnet vid lösning av matematikuppgifter inte hålla mer än en relation i minnet. I det här stadiet har barnet egocentriskt tänkande och har svårt att se relationen mellan delarna och helheten. Vidare kan barnet inte ta till sig antal, vikt, area och volym. I det konkreta operationella stadiet kan barnet ordna element i serier och se sambandet mellan helheten och delarna. Vid lösning av uppgifter använder barnet inte någon systematik utan metoden försök - misstag. Det är i det formellt operationella stadiet som barnet kan handskas med proportionalitet och korrelation. Det är först i det här stadiet som barnet kan använda systematik istället för metoden med försök – misstag. Barnet har förmågan att handskas med abstrakta modeller, proportionalitet och kontroll av variabler.

Vygotskij betonade språkets betydelse för inlärning. Han hävdar att det begreppsliga tänkandet uppträder under puberteten. Då kan barnet relatera begreppen till varandra och genomföra abstrakta resonemang. Han menade att språkets betydelse är avgörande för lärande i matematik. Genom att lära sig algebra höjs det aritmetiska tänkandet till en högre nivå. Vygotskij ansåg att algebra höjer förståelsen av aritmetiska operationer och ger därmed abstraktare och mer generaliserad syn på innebörden av räkneoperationer.

(22)
(23)

4 METOD

Det övergripande syftet med detta arbete är, som jag inledningsvis noterade att undersöka hur elever i årskurs nio löser ett antal matematikuppgifter. I de föregående kapitlen har jag beskrivit valda matematikområden samt matematikdidaktisk forskning. Detta kapitel inleds med metodövervägande och går över till att beskriva undersökningsgrupp, datainsamling och bearbetning av data.

4.1 METODÖVERVÄGANDE

Det finns olika tekniker som datainsamlingsmetoder. I min undersökning kan jag tänka mig använda enkäter, intervjuer, observationer, tester och prov. Ingen av dessa tekniker kan sägas vara bättre eller sämre än någon annan. Det som avgör vilken teknik som används är enligt Patel och Davidsson (1994), den som verkar ge bäst syn på den frågeställning man har i förhållande till den tid och de medel som står till förfogande. Både intervjuer och enkäter bygger på frågor där intervjuaren har ett stort ansvar i frågornas utformning, ordning och struktur. Enkäten som är en kvantitativ datainsamlingsmetod kan innehålla olika skalor för att mäta attityder eller fasta svarsalternativ och tillgång till många respondenter. Enligt Holme och Solvang (1997) ligger styrkan i kvantitativa metoder att informationen som tas fram möjliggör generaliseringar. Svagheten i denna metod är att det inte finns någon garanti för att informationen som samlas in är relevant för frågeställningen. Om man önskar få mer nyanserade svar på sina frågor är intervju att föredra. Fördelen med intervjuer är att det är lättare att få veta om personen som intervjuas har uppfattat frågan rätt. Holme och Solvang menar vidare att kvalitativ datainsamlingsmetod präglas av flexibilitet, dvs. om vi under undersökningens gång upptäcker att vissa frågeställningar har formulerats fel eller glömts bort, kan dessa rättas. Nackdelen med intervjuer är att den intervjuade inte är anonym och risken är att svaret inte blir helt ärligt.

4.2 VAL AV METOD

I min undersökning är jag intresserad av att studera hur elever i årskurs nio löser ett antal uppgifter, samt vilka hinder de stöter på. För att undersöka detta finns två metoder, nämligen intervju eller studium av skriftliga lösningar. Jag valde att studera elevernas lösningar. Anledningen till att jag valde det andra alternativet är att jag ville ha ett större underlag än vad jag kan få av intervjuer. En annan

(24)

anledning var att det är svårt att hitta elever som är intresserade av att ställa upp för intervju. Det skulle kunna vara en fördel att kombinera de båda metoderna. Anledningen till att jag inte valde att göra det är att det tar tid att studera de skriftliga lösningarna, genomföra intervjuer med elever man väljer ut, och sedan analysera.

Ett annat syfte med min undersökning är att undersöka elevers attityder till matematik. Jag ansåg att enkätundersökningen på bästa sätt kunde svara mot detta syfte. Att jag valt denna metod beror på att jag vill ha bredd på undersökningen, det vill säga nå ut flera respodenter. En annan anledning är att det tar inte så mycket av elevernas tid i anspråk och då kanske det är lättare för dem att besvara en enkät.

Avsikten med de valda metoderna har varit att skapa goda möjligheter att både beskriva elevers förståelse för grundläggande begreppen i matematik, samt deras inställning till matematikämnet. De metoderna kompletterar varandra så att de tillsammans ger möjlighet att besvara undersökningens syften.

4.3 UNDERSÖKNINGSGRUPP

Undersökningsgrupp utgörs av elever i årskurs nio från två skolor i Malmö. Skola A rekryterar ett blandat elevklientel från de omgivande villakvarteren och från höghusområden och representerar ett genomsnitt av Malmös skolor. Skola B är belägen i ett invandrartätt område och mer än 90 procent av eleverna har ett annat modersmål än svenska. Fördelningen av eleverna, som deltog i undersökningen, enligt kön var 66 flickor och 61 pojkar. Fördelningen enligt språktillhörighet var 53 elever med svenska som modersmål medan 74 elever hade ett annat språk som modersmål.

4.4 URVAL OCH ETIK

För att kunna genomföra min undersökning tog jag inledningsvis kontakt med skolledare och lärare på några skolor i Malmö och informerade dem om syftet med mitt examensarbete (bilaga 3). De lärare som hade tid gav mig positiv respons på förfrågan om de hade möjlighet att tillåta mig genomföra undersökningen med deras elever. Diagnosen och enkäten genomfördes under ordinarie matematiklektioner. När jag träffade eleverna berättade jag för dem vilket syfte min undersökning hade och vad den skulle användas till. Jag har varit noga med att poängtera anonymiteten och frivilligheten i undersökningen. Jag försäkrade undersökningspersonerna om att de inlämnade svaren inte skulle användas i annat syfte än det jag informerat om och att jag kommer att skicka ett

(25)

exemplar av det färdiga arbetet till deras skola. Av de 139 tillfrågade elever deltog 127 elever i undersökningen, vilket utgör en svarsfrekvens på 91 procent. Tolv elever ville inte delta i undersökningen.

4.5 DATAINSAMLING

Datainsamlingen genomfördes under vårterminen 2005 med en enkät (bilaga 1) och med en diagnos (bilaga 2). Enkäten konstruerades med hjälp av Likert-skala. De utfrågade har genom att ta ställning till olika påståenden med fem olika svarsalternativ fått ge sin syn på undervisningen i matematik. Förutom de elva påståenden innehöll enkäten en öppen fråga med vilken jag ville att de utfrågade eleverna skulle ge några förslag om hur undervisningen i matematik kan bli roligare och mer intressant.

Diagnosen innehöll tretton uppgifter som behandlar taluppfattning, uttryck och ekvationer. Uppgifterna har konstruerats med hjälp av läroböcker och tidigare nationella prov. Utgående från den gällande kursplanen för matematik (Skolverket, 2000) utformades ett innehåll som kunde anses vara representativt inom respektive matematikområde, nämligen taluppfattning, uttryck och ekvationer.

4.6 BEARBETNING AV DATA

Data från enkätundersökningen har bearbetats påstående för påstående. För att presentera svaren på de olika påstående på ett överskådligt sätt gjordes stapeldiagram. Det finns ett diagram för varje påstående.

Bearbetning av elevernas lösningar har pågått i flera månader och det har varit nödvändigt att kontinuerlig anteckna och pendla fram och tillbaka för att tolka elevernas lösningar och sedan kategorisera. Nedan skall jag kortfattat beskriva min arbetsgång:

• Varje elevs lösning på respektive uppgift har förts till en lista för varje klass. Därefter har alla lösningar till varje uppgift samanförts till en ny lista med alla variationer angivna. Även antalet elever som inte har löst uppgiften har noterats.

• Nästa steg har varit att försöka kategorisera olika variationer av lösningar. Lösningar med likartade fel och tankegångar har kategoriserats i nya rubriker.

(26)

• Det sista steget har varit att beskriva lösningsmetoden som eleven använt och till sist kategorisera hinder (brister) som den enskilde eleven stöter på när han (hon) löser uppgiften.

Lösningsfrekvenserna har ordnats i fyra kolumner, två för rätta svar och två kolumner för felaktiga svar. Frekvenserna har avrundats till heltalsvärden.

I min databearbetnings metod fanns olika tolkningar inbyggda. Under rubriken ”Beskrivning av metod” har jag fört samman liknande lösningar till en metod för att i det sista steget försöka bestämma hinder (brister). I flertal fall har det varit svårt att bedöma och bestämma brister och då har jag varit tvungen att gå tillbaka och kontrollera och jämföra med tidigare bedömningar. På så sätt har resultaten hela tiden varit föremål för omtolkningar.

Min arbetsmetod bygger på att genom analys av elevernas fel och lösningsstrategier bedöma kunskapens kvalitet. Magne och Thörn (1987) poängterar att det är genom att studera fel som man förstår förmågan att lösa uppgiften rätt. Frånvaron av fel tolkas som god kunskap. De uttrycker detta på följande sätt: ”Vi väljer att studera felen, eftersom det är lättare att analysera ett fel än att undersöka hur eller varför en elev gör rätt” (Magne & Thörn 1987, s. 23).

4.7 VALIDITET OCH RELIABILITET

För att en undersökning ska ha en god reliabilitet måste resultaten vara tillförlitliga. Enligt Svenning (1999) om ingenting förändras i en population ska två undersökningar med samma syfte och samma metod ge samma resultat. Jag anser att reliabiliteten är relativt hög, eftersom 91 procent av undersökningspersonerna har besvarat enkäten och diagnosen. Enkätkonstruktionen gav svarspersonerna tydliga svarsalternativ på en femgradig skala. Patel och Davidsson (1994) anser att vi kan få en god mått på reliabiliteten när vi använder oss av en attitydskala. Enligt Holme och Solvang (1997) räcker det inte med att ha reliabelinformation. Om informationen mäter något annat än det vi vill, kan den inte användas för att pröva våra frågeställningar.

Diagnosen innehöll tretton uppgifter som behandlar taluppfattning, uttryck och ekvationer. Enligt Slavin (1984) finns det problem angående innehållsspecifika test därför att testmaterialet kan innehålla uppgifter som alla elever antingen klarar av eller missar. Jag ansåg att detta kunde undvikas genom att ta ett flertal uppgifter som täcker så många aspekter som möjligt av respektive matematikområde. För att öka innehållsvaliditeten har jag tagit uppgifter med

(27)

varierande svårighetsgrad. Förutom detta ansåg jag att med detta dels stimulera elever som har svårigheter med matematik och dels intressera mer avancerade elever. Att hitta rätt svårighetsgrad är dock inte så lätt, varför några enstaka uppgifter har mycket låg lösningsfrekvens. Uppgifterna återspeglade det som undervisas i skolan och innehöll inga främmande moment enligt lärarnas kommentarer.

4.8 TOLKNING AV ELEVERS LÖSNINGAR

För att tolka elevers lösningar av ett antal uppgifter i matematik har jag valt en tolkningsmetod som har anknytning till hermeneutik, fenomenologi och fenomenografi. Metoden är kvalitativ till sin karaktär. ”Att en metod är kvalitativ innebär det att den handlar om hur man ska karakterisera något – hur man ska gestalta det” ( Larsson, 1986, s. 7). Larsson menar att det centrala är att man försöker finna de kategorier som bäst beskriver något fenomen eller sammanhang i omvärlden. Här nedan ska jag kortfattat beskriva de tre ansatserna, nämligen hermeneutiken, fenomenologin och fenomenografin.

Hermeneutik handlar om delens och helhetens förhållande till en rimlig tolkning

av något, t.ex. en text. Enligt Sjöström (1994) är gåendet mellan del och helhet som brukar kallas att man arbetar inom den hermeneutiska cirkeln. Förförståelsen är som utgångspunkt för en vis helhetsuppfattning. Pendlandet mellan del och helhet leder fram till förståelsen. Tolkningen av de olika delarna medför att denna helhetsuppfattning ändras, utgångspunkten flyttas och vid en ny tolkning av delarna påverkas åter helhetsuppfattning.

Fenomenologi är en tradition inom kvalitativ analys. Metoden som grundas på

bestämda filosofiska antaganden syftar till att beskriva människors upplevelser av fenomen. Larsson (1986) menar att man önskar utröna vad som är essänsen, det som är omöjligt att tänka bort från ett fenomen. För fenomenologin gäller det att tolka fenomen som de framträder i det egna medvetandet. Egidius (2000) anser att poängen med denna metod är att man genom inblick i människors tankevärld kan förstå deras attityder, förhållningssätt, reaktioner, ställningstagande och handlingar.

Fenomenografin studerar hur ett visst fenomen ter sig på olika människor.

Huvudtanken är att det inte finns en given omvärld som uppfattas lika av alla människor. Marton och Booth (2000) anser att det som är grundläggande för ansatsen är distinktionen mellan hur något är och hur något uppfattas vara. När man gör en analys, måste man inta motpartens plats och försöka se fenomenet med dennes ögon och uppleva personen erfarande i dennes ställe. Under varje

(28)

stadium i det fenomenografiska forskningsprojektet måste forskaren medvetet ta ett steg tillbaka från sitt eget erfarande av fenomenet, och endast använda det för att belysa andras sätt att prata om det, hantera, erfara och förstå det.

Barbosa da Silva och Wahlenberg (1994) menar att hermeneutiken utgår från att varje förståelse bygger på en bestämd förförståelse, samt att i varje förståelse eller tolkning är delar beroende av helheten och vice versa. I ett osorterat data kan tolkaren då känna igen många detaljer. För att kunna tolka den matematikdidaktiska innebörden krävs det att man är väl insatt i territoriet. Under min tjänstgöring som matematiklärare har jag genom provrättning och diskussioner med elever fått en viss inblick i elevernas feltyper. Vid tolkningen av elevernas lösningar har jag försökt leva mig in i deras tankegångar och använda min erfarenhet endast för att belysa deras sätt att förstå fenomenet (uppgiften). Här finns anknytning till fenomenografin och fenomenologin. Först beskrivs de olika fenomen som uppträder i tänkandet och sedan sammanfattas i kategorier med gemensamma drag. Därefter tolkas relationen mellan de olika delarna till en helhetsförståelse av olika fenomen, som i stora drag överensstämmer med en fenomenologisk metod. På detta sätt byggdes en arbetsmetod upp, som har fenomenologisk och fenomenografisk anknytning, men det finns också ett hermeneutiskt drag i detta genom pendlandet mellan delarna och helheten. Delarna är detaljerna i elevernas lösningar och helheten är hinder (brister). Det gäller att hitta brister som speglar elevernas tankegångar. I de flesta fall är det inte svårt, men i tvetydiga fall är denna process mycket tidskrävande. Då har jag varit tvungen att gå tillbaka och göra en ny genomgång av materialet och en ny tolkning. På detta sätt har det skett en ständig koppling mellan gamla och nya tolkningar. Ibland har detta lett till revideringar av slutsatserna. Denna process har jag uppfattat som en hermeneutisk spiral med en nästan oändlig pendling mellan delar och helhet. Det är bara tidsfaktorn som kan stoppa den oändliga processen, nämligen att vara klar med arbetet.

Ödman (1979) och Sjöström (1994) tar upp förmedlingsproblemet och vikten av att det klart framgår på vilka grunder man gjort tolkningarna. Därför kommer jag att i det kommande kapitlet, i så stor utsträckning som möjligt redovisa data, samt visa min egen tolkning för att hjälpa läsaren att förstå innebörden i min arbetsgång.

Min tolkning av datamaterialet är personligt färgad. Andra personer skulle kanske hitta andra namn på kategorier samt ett annat antal hinder (brister), men detta ligger i hermeneutikens och fenomenologins natur.

(29)

5 RESULTAT

I detta kapitel analyserar och värderar jag vunna resultat av enkät och diagnos, påstående för påstående respektive uppgift för uppgift. Detta sätt att analysera ger information om elevers inställning till matematik och deras begreppsförståelse i matematik.

5.1 RESULTAT AV ENKÄTEN

I syfte att undersöka elevernas attityder till matematik har jag genomfört en enkät med elever i årskurs nio. Enkäten innehåller elva påståenden och en öppen fråga. Eleverna har genom att ta ställning till olika påståenden fått ge sin syn på undervisningen i matematik. Den sista frågan var en öppen fråga. Jag ville att eleverna skulle ge några förslag om hur matematikundervisningen kan förbättras.

1. Det är spännande att se vad man kan lära sig i matte.

Diagrammet nedan visar vilket av dem fem alternativen eleverna valt

Diagram 5.1 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)

0 10 20 30 40 50

Aldrig Sällan Ibland Ofta Alltid

Skola A Skola B

Drygt var tionde elev på båda skolorna tycker att det är spännande att se vad kan man lära sig i matematik, medan knappt tre av tio elever på skola A och nästan hälften av eleverna på skola B har angett alternativet ofta.

(30)

2. Jag har lätt för att lära i matte.

Diagram 5.2 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)

0 10 20 30 40 50

Aldrig Sällan Ibland Ofta Alltid

Skola A Skola B

Drygt 40 % på båda skolorna har åtminstone ofta lätt att lära sig matematik, medan 6 % av eleverna på båda skolorna är övertygade om att de inte har lätt för att lära sig matematik.

3. När vi har prov i matte känner jag mig orolig och nervös.

Diagram 5.3 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)

0 5 10 15 20 25 30 35

Aldrig Sällan Ibland Ofta Alltid

Skola A Skola B

Det påståendet är koncentrerat kring prov. Om vi tittar på svarsalternativen ”alltid” och ”ofta” ser vi att 47 % av eleverna på skola A och 36% av eleverna på skola B känner sig oroliga när de har prov. Endast 5% av eleverna på båda skolorna känner sig inte oroliga och nervösa inför provet i matematik.

(31)

4. Det är roligt att lösa matematiska problem.

Diagram 5.4 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)

0 10 20 30 40 50

Aldrig Sällan Ibland Ofta Alltid

Skola A Skola B

Diagram 5.4 visar att bara 2 procent av eleverna på skola A och 12 procent på skola B tycker att det är alltid roligt att lösa matematiska problem. Nästan hälften av eleverna på skola A och nästan var tredje elev på skola B tycker inte att det är roligt att lösa matematiska problem.

5. Jag längtar efter mattelektionerna.

Diagram 5.5 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Aldrig Sällan Ibland Ofta Alltid

Skola A Skola B

När det gäller längtan efter matematiklektionerna, är det endast 4 procent av eleverna på skola A och ingen av eleverna på skola B som kryssat för alternativet ”alltid”.

(32)

6. Jag önskar att jag kunde välja bort matte och läsa något annat istället.

Diagram 5.6 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Aldrig Sällan Ibland Ofta Alltid

Skola A Skola B

Diagram 5.6 visar att drygt var tredje elev på skola A och drygt var fjärde elev på skola B vill välja bort matematik och läsa något annat istället.

7. Min lärare ger bra tips om vad jag bör jobba med i matte.

Diagram 5.7 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)

0 5 10 15 20 25 30 35

Aldrig Sällan Iband Ofta Alltid

Skola A Skola B

Av diagram 5.7 framgår att drygt var tionde elev på skola A och knappt var fjärde elev på skola B tycker att de alltid får bra tips om vad de ska arbeta med i matematik, medan drygt var femte elev på skola A och knappt var tionde elev på skola B tycker att de aldrig får bra tips om vad de ska arbeta med i matematik.

(33)

8. Jag är oroligt för matematiktimmar.

Diagram 5.8 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)

0 10 20 30 40 50

Aldrig Sällan Ibland Ofta Alltid

Skoa A Skola B

Nästan hälften av eleverna på skola A och knappt var tredje elev på skola B är inte oroliga för matematiktimmarna.

9. På mattelektionerna tycker jag att vi lär oss något värdefullt.

Diagram 5.9 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Aldrig Sällan Ibland Ofta Alltid

Skola A Skola B

Ungefär var femte elev på skola A och var tredje elev på skola B tycker att de alltid lär sig något värdefullt på mattelektionerna.

(34)

10. Min lärare anpassar matten så att det blir lättare att hänga med när det är svårt.

Diagram 5.10 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n= 127)

Nästan hälften av eleverna på skola A och två av tre elever på skola B tycker att läraren alltid eller ibland anpassar undervisningen efter deras behov.

11. Min lärare vill att vi ska lära oss genom att diskutera matte med varandra.

Diagram 5.11 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n= 127)

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Aldrig Sällan Ibland Ofta Alltid

Skola A Skola B

Av diagram 5.11 framgår att endast 2 procent av eleverna på skola A och 3 procent av eleverna på skola B tycker att deras lärare vill att de ska lära sig genom att diskutera matematik med varandra. Detta visar att grupparbete och diskussion i matematik förekommer i mycket ringa utsträckning.

Den sista frågan i enkäten var en öppen fråga. Jag ville att eleverna skulle ge några förslag om hur undervisningen i matematik skulle kunna förbättras. Det

(35)

mest frekventa förslaget som eleverna angett är att de vill ha mer arbete i grupper och att oftare diskutera matematik.

”Mer arbete i grupper”.

”Lösa och diskutera uppgifter i grupper”.

”Om hela klassen jobbar med samma uppgift det kan bli rolig diskussion”.

Ett annat förslag är att eleverna efterlyser mer genomgångar på tavlan med lite svårare uppgifter.

”Bättre genomgångar, matte är roligare om man förstår vad man gör”. ”Läraren går sällan igenom det som vi inte kan”.

”Gå genom läxan, alltså svårare uppgifter”.

Några elever tycker att de arbetar i stora grupper och får inte den hjälp som de behöver.

”Om ska lära sig matte, tycker jag att man ska vara i mindre grupper så att man kan få mer hjälp”.

”Man ska vara i en liten grupp då är lättare att förstå”.

En mindre del av eleverna är nöjda med undervisningen, som den är. ”Jag är nöjd och jag tycker att det funkar bra som det är”.

”Det bra som det är”.

En annan liten grupp elever har en negativ inställning till matematik. ”Matte är sjukt tråkigt”.

”Det går inte, gillar inte matte”.

”Matematik har uppfunnits tråkigt för det mesta så att man kan inte göra något för att den ska bli rolig. Tyvärr!!!”.

5.2 RESULTAT AV DIAGNOS

I syfte att undersöka elevernas förståelse för grundläggande begrepp inom taluppfattning, uttryck och ekvationer, har jag genomfört en diagnos med eleverna i årskurs nio. Diagnosen innehåller tretton uppgifter. Uppgifterna behandlar moment som tas upp i grundskolans matematik. De mäter både begreppsförståelse och räkneteknisk förmåga. De flesta av uppgifterna ställer stora krav på textförståelse samt att välja rätt information för att lösa dem. För att kunna lösa uppgifterna måste eleverna utöver räknetekniska färdigheter ha både faktakunskaper och begreppsförståelse. De ska tillämpa sina kunskaper på uppgifter som både kan vara av rutinmässig och icke- rutinmässig karaktär. På

(36)

många uppgifter måste de arbeta i flera steg. Vidare måste de förstå uppgiften samt ha en lösningsmetod.

Jag har valt att presentera resultat av diagnosen genom att dela upp elevernas svar i två kategorier. I den första kategorin redovisar jag svaren på de uppgifter där lösningsfrekvensen är över 50 procent. I den andra kategorin kommer jag att redovisa svaren på de uppgifter där lösningsfrekvensen är under 50 procent.

5.2.1 KATEGORI 1

Tabellen nedan visar resultat på de uppgifter där lösningsfrekvensen är över 50 procent. Siffrorna anger hur stor andel av eleverna som svarat rätt eller fel på respektive uppgift.

Tabell 5.1 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127) Rätt Fel Uppgift Skola A Skola B Skola A Skola B

Exempel på fel svar

1a) Skriv i decimalform:

fem hundradelar 81 42 19 58 5/100; 0,005; 0,500; 5 1b) Skriv i decimalform:

fjorton hundradelar 60 30 40 70 0,014; 0,0014; 14/100; 14% 3 Ange ett tal som är större än 50 men

mindre än 50,1

86 79 14 21 50,99; 50,00; 50,25; 50,50; 500

5 Hassan tjänade 18.000 kr per månad. Vid ett tillfälle höjdes hans lön med 4,5 %. Hur stor blev hans lön?

55 52 45 48 26.100 kr; 81.000 kr; 22.000 kr; 4000 kr

6a) Hur skriver man ett uttryck som är tre gånger så stort som x?

82 55 18 45 x^3 ; x3; 3 > x

6b) Hur skriver man ett uttryck som

är 10 mindre än x? 65 21 35 79 10 – x; x/10; x < 10; x^10 9a) Lös ekvationen: x + 5 = 17 79 45 21 55 17x = 5, x = 3,4; 5x = 17; x = 12 + 15 = 17; x = 10 9b) Lös ekvationen: 4x = 32 82 55 18 45 4x + 32; x = 48 9c) Lös ekvationen: x/3 + 8 = 16 62 24 28 76 x = 2; x = 40; x = 2,7; x = 32; x = 9 9d) Lös ekvationen: 0,35x + 0,65x = 2 60 21 40 79 x = 1; x = 0; x = 0,5

(37)

Tabell 5.1 visar hur stor andel av eleverna som svarat rätt eller fel på respektive uppgift. Av tabellen framgår det att lösningsfrekvensen för dessa uppgifter för eleverna på skola A varierar mellan 55 % och 86 %, medan det för eleverna på skola B är betydligt lägre, nämligen mellan 20 % och 79 %.

De fem lättaste uppgifterna för eleverna på skolan A, där ungefär 4 av 5 elever svarat rätt är uppgifterna: 1a, 3, 6a, 9a och 9b. Den lättaste uppgiften för eleverna på skolan B är uppgift 3, där ungefär 4 av 5 elever svarat rätt. Vidare har mer än hälften av eleverna på skola B svarat rätt på uppgifterna 5, 6a och 9b. Det är bara på uppgift 5 som båda elevgrupperna har ungefär samma lösningsfrekvens, 55 % respektive 52 %.

Om man studerar uppgift 1 kan man göra den intressanta iakttagelsen, att lösningsfrekvensen för uppgift 1a (elever på skola A) är 81 %, medan den för uppgift 1b är mer än 20 procentenheter lägre. För elever på skola B är lösningsfrekvensen på samma uppgift 42 % respektive 30 %. Uppgiften mäter elevernas taluppfattning. Det absolut vanligaste felet på uppgift 1b är 0,014, som fler än fler än två tredje delar av de felsvarande eleverna angivit. Ett annat felaktigt svar är 14/100. De felaktiga svaren visar att eleverna har svårigheter med begreppet decimalform.

Nästan hälften av eleverna i båda grupperna har svarat fel på uppgift 5. Det vanligaste felaktiga svaret är 26100 kr, som ungefär var fjärde felsvarande elev angett. De har fått 4,5 % av 18 000 kr till 8100 kr (istället för 810 kr) och sedan adderat med 18000 kr. Eleverna har troligtvis inte gjort ett överslag på hur mycket resultatet ungefär bör vara. Ett annat felaktigt svar som förekommer är 22000 kr. Ungefär var femte elev har inte försökt lösa uppgiften. De felaktiga svaren tyder på att eleverna har svårigheter med procentbegreppet och att de inte har klart för sig hur man beräknar delen av det hela.

En annan uppgift där eleverna på skola B hade stora svårigheter är uppgift 6b som behandlar momentet algebraiska uttryck. Endast 20 % av eleverna svarade rätt, medan elevgruppen på skola A visade betydligt bättre resultat, nämligen hela 65 % av eleverna svarade rätt. Det mest förekommande felaktiga svaret är 10 – x. Var fjärde elev på skola B har angett det svaret, medan var tionde elev på skola A gjorde detsamma. Andra felaktiga svar är -10x, x < 10, x^10. Förmodligen är uttrycket ”mindre än” svårt för elever, särskilt för dem på skola B. Var tredje elev i denna grupp har lämnat uppgiften obesvarad, jämfört med knappt var tionde elev i den andra gruppen.

Uppgift 3 var den lättaste uppgiften för båda elevgrupperna och lösningsfrekvensen är 86 % respektive 79 %. Det vanligaste svaret bland elever som svarat rätt är 50,05 som en tredjedel av eleverna angett. Övriga rätta svar är 50,01; 50,03; 50,07; 50,09.

Uppgift 9 prövar elevernas kunskaper inom området ekvationer. Lösningsfrekvensen för 9a och 9b är 75 % respektive 82 % för elever på skola

(38)

A, medan den för elever på skola B är betydligt lägre, nämligen 45 % respektive 55 %. Uppgifterna 9c och 9d vållade stora problem, i synnerhet för elever på skola B. Knappt var fjärde elev respektive drygt var femte elev svarade rätt. Det mest frekventa felaktiga svaret på uppgift 9c är x = 8, vilket tyder på att de har glömt multiplicera båda leden med tre, eller att de har svårigheter med tal i bråkform. Ungefär sju av tio elever på skola B och tre av tio på skola A har lämnat uppgiften obesvarad. När det gäller uppgift 9d förekommer följande felaktiga svar: x = 0; x = 0,5 och x = 1. En större andel elever i de båda elevgrupperna försöker inte lösa uppgifterna (36 % respektive 65 %).

Resultatet av felanalysen på uppgifterna i kategori 1 tyder på att:

• Drygt hälften av eleverna har svårigheter med begreppet decimalform, de vet inte hur hundradelar skrivs.

• 50 % har svårt att lösa ekvationer med tal i decimal- eller bråkform. • Cirka 45 % av eleverna uppvisar således en bristfällig förståelse för

procentbegreppet, de har inte kunnat beräkna lönen efter en procentuell löneförhöjning.

• En större andel av elever (48 %) har språkliga svårigheter med uttrycket ”mindre än”.

5.2.2 KATEGORI 2

Här redovisar jag resultat på de uppgifter där lösningsfrekvensen är under 50 %. Resultaten redovisas uppgift för uppgift. Lösningar med samma tankegång eller likartade fel har förts samman, sedan har jag beskrivit vilken lösningsmetod eleven använder och till sist har jag noterat dess brister.

(39)

Uppgift 2a. Beräkna i bråkform: 1/9 + 2/3

Tabell 5.2 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127) Rätt Fel

Exempel på lösning Skola A Skola B Skola A Skola B Beskrivning av metoder Brister 54 12 46 88 1/9+6/9=7/9 54 12 Korrekta beräkningar 1/9+2/3=3/12 10 33 Adderar täljarna för sig och nämnarna för sig Matematiska begrepp, talförståelse 26/3+2/3=28/3 3 Meningslösa beräkningar Förstår ej bråktal Talförståelse, matematiska begrepp (1·2)/(9·2)+(2·6)/(3·6)=12/18=6/9 4 9 Räknefel Uppmärksamhet

9/4+18/9=27/9=3 3 Förstår ej bråktal Talförståelse, matematiska begrepp 9/9+6/9=15/9 3 6 Felaktiga beräkningar. Förstår ej bråktal Talförståelse, matematiska begrepp 1/1+2/3=1/6 6 Svårtydbara beräkningar Talförståelse, matematiska begrepp 0,1+0,6=0,7 6 Felaktiga beräkningar i decimalform Talförståelse, matemetiska begrepp Inget svar 23 28 Går ej att ange

Tabell 5.2 visar att 54 % av eleverna på skola A och endast 12 % på skola B har svarat rätt. Det vanligaste förekommande felet är att eleverna adderar täljaren för sig och nämnaren för sig. Var tionde elev på skola A och var tredje elev på skola B har inte klart för sig hur man adderar två bråk med olika nämnare.

(40)

Uppgift 2b. Beräkna i bråkform: 2/3-1/2

Tabell 5.3 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127) Rätt Fel

Exempel på lösning Skola A Skola B Skola A Skola B Beskrivning av metoder Brister 55 6 45 94 4/6 – 3/6 = 1/6 55 6 Korrekta beräkningar 2/3 – ½ = 1

11 24 Subtraherar tälj. för sig och nämn. för sig Talförståelse mat. begrepp 2/3 – ½ = 66 – 50 = 10 6 Förstår ej innebörden av bråktal och decimaltal Talförståelse mat. begrepp 0,6 – 0,5 = 0,1 6 Beräknar uppg. i decimalform Matematiska begrepp

0,66 – 0,5 = 0,16 6 Beräknar uppg. i Decimalform Matematiska begrepp

(2·2)/(3·2) – (1·3)/(3·2) = 7/6

4 Svårtydbara beräkningar Talförståelse mat. begrepp

2/3 – ½ = 5/2 – ½ = 4/2 2 Svårtydbara beräkningar Talförståelse mat. begrepp

4/6 – 1/6 = 3/6 2 Räknefel Uppmärksamhet

Bara fel svar 9 Svårt att ange

Inget svar 26 33 Går ej att ange

Lösningsfrekvensen för uppgift 2b är 55 % respektive 6 %. Här upprepas samma mönster av fel, nämligen var fjärde elev på skola B och var tionde elev på skola A subtraherar nämnarna för sig och täljarna för sig. Några andra felaktiga svarsalternativ uppkom när talen i bråkform skrevs i decimalform och eleverna fick orimliga svar t ex 66 – 50 = 10. De felaktiga svaren visar at eleverna har brister i talförståelse och matematiska begrepp.

(41)

Uppgift 2c. Beräkna: 3·2/7

Tabell 5.4 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127) Rätt Fel Exempel på lösning Skola A Skola B Skola A Skola B Beskrivning av metoder Brister 40 6 60 94 3 · 2/7 = 6/7 40 6 Korrekta beräkningar

3 · 2/7 = 6/21 9 27 Multiplicerar både tälj. och nämn. med 3 Matematiska begrepp 3 · 28 = 84 15 Svårtydbara beräkningar Talförståelse Matematiska begrepp 3 · 2/7 = 21 + 2 = 23 9 Multiplicerar nämn. med 3 Talförståelse Matematiska begrepp 3 · 0,3 = 0,9 6 Förvandlar bråktalet till decimaltal, sedan multiplicerar Talförståelse Matematiska begrepp

3/1 + 2/7 = 21/7 + 2/7= 23/7 3 Adderar för att i stället multiplicera

Talförståelse Matematiska begrepp 3 · 7/2 = 21/2 3 Inverterar bråktalet, sedan

multiplicerar Talförståelse Matematiska begrepp 2 · 7/7 · 2/7 = 14 2 Svårtydbara beräkningar Talförståelse Matematiska begrepp Bara fel svar 8 Svårt att ange

Inget svar 35 37 Går ej att ange

Uppgift 2c mäter elevernas kunskaper i multiplikation av ett bråktal med ett heltal. Lösningsfrekvensen är ganska låg för båda elevgrupperna, nämligen 40 % respektive 6 %. Det mest frekventa felaktiga svaret är 6/21, vilket eleverna fick genom att multiplicera både täljaren och nämnaren med 3. En del elever anger orimliga svar som 84, 23, 14, 21/2. Fler än var tredje elev i båda grupperna har inte försökt lösa uppgiften.

(42)

Uppgift 2d. Beräkna i bråkform: (6/5)/3

Tabell 5.5 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127) Rätt Fel Exempel på lösning Skola A Skola B Skola A Skola B Beskrivning av metoder Brister 14 0 86 100 (6/5)/3 = 2/5 6 6/5 · 1/3 = 6/15 = 2/5 8 Inverterar nämnaren och sedan multiplicerar

(6/5)/3 = 1,2/3 = 0,4 12 15

Förvandlar bråktal till decimaltal, och sedan dividerar. Svarar i

decimalform. Textförståelse, matematiska begrepp (6/5)/3 = 2,5 3 Svårtydbara

beräkningar Talförståelse, matematiska begrepp (6/5)3 = 10 6 Svårtydbara

beräkningar Talförståelse, matematiska begrepp

5/6 · 3/1 = 15/6 4 6 Inverterar 6/5 i stället för 3 och sedan

multiplicerar Matematiska begrepp (6/5)/3 =2/3 4 9 Svårtydbara

beräkningar Talförståelse, matematiska begrepp (6/5)/3 = 0,333 2 3

Utför felaktiga beräkningar i

decimalform Talförståelse, matematiska begrepp Bara fel svar 3 6

Svårt att ange Inget svar 58 55

Går ej att ange

Uppgift 2d vållade stora problem bland elever i båda grupperna. Endast 14 % av eleverna på skola A och ingen av eleverna på skola B har svarat rätt. De elever som svarade rätt använder två strategier. Den ena strategin är att skriva om nämnaren till 3/1 och sedan invertera nämnaren och utföra multiplikation. Den andra strategin är att direkt dividera bråket 6/5 med 3. Den största andelen felsvarande elever förvandlar bråk till decimalform och sedan utför division. En annan feltyp är att utföra multiplikation utan att invertera nämnaren. En mindre andel av eleverna utför beräkningar som är svåra att tolka. Mer än hälften av eleverna i båda grupperna lämnar uppgiften obesvarad.

Figure

Diagram 5.1 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)
Diagram 5.3 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)
Diagram 5.4 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)
Diagram 5.7 Sammanställning av procentuell fördelning av elevsvar (n = 127)
+7

References

Related documents

Om intervjufrågorna till lärarna hade handlat om de elever vi först intervjuade och om observationerna hade inriktat sig specifikt på de intervjuade eleverna hade

Elever med låg motivation för matematik anser att deras lärare inte visar på olika sätt att lösa uppgifterna, och detta väcker flera frågor.. Är det så att elever med

Genom att anpassa uppgifterna med olika svårighetsgrader och även att läraren bevakar varje elev under arbetets gång leder detta till att läraren får kunskap om alla elever

A) …. jag inte pluggat tillräckligt mycket för det. I matematik är det viktigt för mig att jag får bättre resultat på proven än andra elever. I matematik är det viktigt för

föräldrarnas bakgrund tydligt av en lärare som menar att hen idag får utöva sin profession som lärare till skillnad mot tidigare skolor hen arbetat på. Läraren anser

Eftersom det är svårt att särskilja vissa begrepp kommer de centrala begreppen att utgå ifrån Philipp (2007) som grund. De centrala begreppen för denna studie är affect,

Förutom det som nämns i det centrala innehållet för årskurs 7–9 om ”hur musik används i olika medier, till exempel film och datorspel” (Skolverket 2011c, s. 4) återfinns

The ethnographic material offers more complex insights into young men’s practices and use of motor vehicles than the narrow scope of traffic safety or transport studies have